《平面向量的运算》平面向量及其应用PPT课件(第3课时向量的数乘运算)

（1） a 2e,b 2e; （2） a e1 e2,b 2e1 2e2; （3） a e1 e2,b e1 2e2 。
（1）共线 （2）共线 （3） 不共线
向量的数乘运算
例练结合
例1：计算 (1) (3) 4a; 解：（1）原式= (-3 4) a 12a;
(2) 3(a b) 2(a b) a;
（2）原式= 3a 3b 2a 2b a 5b;
(3) (2a 3b c) (3a 2b c).
（3）原式= 2a 3b c 3a 2b c a 5b 2c.
向量的数乘运算
方法小结
3:6
向量的数乘运算
例练结合
例2：□ABCD的两条对角线相交于点M，且 AB a, AD b, 试用 a, b
解析：因为A→B∥C→D，|A→B|＝2|C→D|，所以A→B＝2D→C，D→C＝1A→B. 2
(1)A→C＝A→D＋D→C＝e2＋12e1.
(2)M→N＝M→D＋D→A＋A→N＝－1D→C－A→D＋1A→B＝－1e1－e2＋1e1＝1e1－e2.
2
2
4
24
向量的数乘运算
例练结合
在本例中，若条件改为B→C＝e1，A→D＝e2，试用 e1，e2 表示向量M→N.
B．－1A→B－1A→D 22
C．－1A→B＋1A→D D．1A→B－1A→D
22
22
4.已知 e1，e2 是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若 a 与 b 是共线向量，则实数
k＝________.
1.B 2.C 3.D 4.－2
向量的数乘运算
课堂小结
思考：
(1)通过这节课，你学到了什么知识？ (2)在解决问题时，用到了哪些数学思想？

返回导航 上页 下页
向量 a 在向量 b 上的投影向量的求法 将已知量代入 a 在 b 方向上的投影向量公式|a|cos θ e(e 是与 b 方向相同的单位向量， 且 e＝|bb|)中计算即可．
必修第二册·人教数学A版
返回导航 上页 下页
2．已知|a|＝4，|b|＝6，a 与 b 的夹角为 60°，则向量 a 在向量 b 上的投影向量是________． 解析：向量 a 在向量 b 上的投影向量是|a|cos 60°|bb|＝4×12×16b＝13b. 答案：13b
我们称上述变换为向量 a 向向量 b 投影 ，A→1B1叫做向量 a 在向量 b 上的 投影向量 ．
必修第二册·人教数学A版
返回导航 上页 下页
(2)如图，在平面内任取一点 O，作O→M＝a，O→N＝b，设 与 b 方向相同的单位向量为 e，a 与 b 的夹角为 θ，过点 M 作直线 ON 的垂线，垂足为 M1，则O→M1＝ |a|ecos θ . 特别地，当 θ＝0 时，O→M1＝ |a|e . 当 θ＝π 时，O→M1＝ －|a|e . 当 θ＝π2时，O→M1＝0.
返回导航 上页 下页
必修第二册·人教数学A版
⑥cos θ＝|aa|·|bb|.
必修第二册·人教数学A版
返回导航 上页 下页
知识点五 平面向量数量积的性质
预习教材，思考问题
根据实数乘法的运算律，类比得出向量数量积的运算律，如下表，这些结果正确吗？
运算律 实数乘法
平面向量数量积
交换律
ab＝ba
a·b＝b·a
结合律
(ab)c＝a(bc)
(a·b)·c＝a·(b·c) (λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)
解析：(2a＋3b)·(3a－2b) ＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2 ＝6|a|2＋5a·b－6|b|2 ＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72 ＝－268.

变式训练1已知a,b是两个非零向量,判断下列各说法的正确性,并说明理由.
(1)2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍;
2
(2)-2a的方向与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的 5 ;
(3)-2a与2a是一对相反向量;
(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量;
(5)若a,b不共线,则0a与b不共线.
解析 3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,即x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
数乘向量的概念
【例1】 (1)已知非零向量a,b满足a=4b,则( C )
A.|a|=|b|
B.4|a|=|b|
C.a与b的方向相同
D.a与b的方向相反
解析 ∵a=4b,4>0,
知识点3 向量的线性运算
向量的 加法、减法、数乘向量
以及它们的混合运算,统称为向量的线
性运算.
名师点睛
对向量的线性运算的理解
(1)已知某些向量,要化简与它们有关的向量式,其解题方法可类比初中所
学的“求代数的值”,即先化简向量式,代入,再化简,求值,这样能简化解题
过程.
(2)解向量的线性方程组的方法,同解代数方程组一样,进行消元,其消元方
m=
3
2
a+ b
11 11
,n=
1
3
a- b
11 11
.
解析∵3m+2n=a,①
m-3n=b,②
3×②得3m-9n=3b,③
①-③得
1
3
11n=a-3b,∴n= a- b.④
11 11

问题1：在上面的动画中，小马所走路
线如何用向量a表示？
++
问题2：该向量的长度为多少？与
向量 的模长有何关系？
Ԧ
| + + | = = ||
问题3：该向量方向与向量 Ԧ 有何关系？
相同
新知生成



O
A

B
C
= + + = Ԧ + Ԧ + .
2

3
，=
b=2 Ԧ
1

3
1
b=− Ԧ
2
7
b=− Ԧ
4
（2）=8 ，=-14
（4）=−
3
，
4
=−
2

3
8
b= Ԧ
9
实数与向量的积与原向量有何位置关系？
向量共线定理：
向量 （ ≠ 0 ）与 共线的充要条件：存在唯一一个实数 λ ，
使 = .
四、向量共线定理
【考点一】判定向量共线与三点共线
= λ(或者 = λ)即可。
四、向量共线定理
例4：如图，已知任意两个非零向量 ，，试做
Ԧ
= Ԧ + ，
= Ԧ + 2， = Ԧ + 3.猜想A, B, C三点之间的位置关系，
并证明你的猜想。
证明：由题意可知
= − = (Ԧ + 2) − (Ԧ + ) =
= − = (Ԧ + 3) − (Ԧ + ) = 2
所以， = 2，且有公共点A
因此A，B，C三点共线。

C
B
A

故选 B.
→
→
→
→
即时训练 3-2:在四边形 ABCD 中,=,若||=||,则四边形 ABCD 的
形状为
.
→
→
解析:由=,可得四边形 ABCD 为平行四边形,
→
→
由||=||,可得邻边相等,此平行四边形是菱形,
所以四边形 ABCD 为菱形.
答案:菱形
→
→
→
→
[备用例 3] 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|-|=|-+
探究点二
向量加法运算律的应用
[例 2] 化简:
→
→
(1)+;
→
→
→
→
→
解:(1)+=+=.
[例 2] 化简:
→
→
→
(2)++;
→
→
→
→
→
→
解:(2)++=++
→
→
→
=(+)+
→→Biblioteka =+=0.
[例 2] 化简:
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
解:(2)原式=--+=(-)+(-)=+=0.
→
→
→
[备用例 2] 化简:--.
→
→
→
→
→
→
解:法一 --=-=.
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→

包权
人书友圈7.三端同步
向量加法运算及其几何意义
探究:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
E
O
E
O
F
F1+F2=F
力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用 产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力.
向量加法运算及其几何意义
VIP有效期内享有搜索结果页以及文档阅读页免广告特权，清爽阅读没有阻碍。
知识影响格局，格局决定命运！ 多端互通
抽奖特权
VIP有效期内可以无限制将选中的文档内容一键发送到手机，轻松实现多端同步。 开通VIP后可以在VIP福利专区不定期抽奖，千万奖池送不停！
福利特权
开通VIP后可在VIP福利专区定期领取多种福利礼券。
0下载券文档一键搜索 VIP用户可在搜索时使用专有高级功能：一键搜索0下载券文档，下载券不够用不再有压力！
内容特 无限次复制特权 权 文档格式转换
知识影响格局，格局决定命运！ VIP有效期内可以无限次复制文档内容，不用下载即可获取文档内容
VIP有效期内可以将PDF文档转换成word或ppt格式，一键转换，轻松编辑！
阅读页去广告
VIP有效期内享有搜索结果页以及文档阅读页免广告特权，清爽阅读没有阻碍。
多端互通
抽奖特权 福利特权
其他特 VIP专享精彩活动
权
VIP专属身份标识
VIP有效期内可以无限制将选中的文档内容一键发送到手机，轻松实现多端同步。 开通VIP后可以在VIP福利专区不定期抽奖，千万奖池送不停！ 开通VIP后可在VIP福利专区定期领取多种福利礼券。 开通VIP后可以享受不定期的VIP优惠活动，活动多多，优惠多多。

化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
(2)(λ＋μ)a＝__λ_a_＋__μ_a_______． 地理课件：/kejian/dili/
历史课件：www.1ppt.c om /ke j ia n/lishi/
P P T素材：www.1ppt.c om /suc a i/
P P T背景：www.1ppt.c om /be ij ing/
P P T图表：www.1ppt.c om /tubia o/
P P T下载：www.1ppt.c om /xia za i/
PPT教程： /powerpoint/
语文课件：/kejian/y uwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/
6.2 平面向量的运算 6.2.3 向量的数乘运算
第六章 平面向量及其应用
考点 向量数乘运算 的定义及运算律
向量共线定理
学习目标
核心素养
理解向量数乘的定义及 几何意义，掌握向量数乘 的运算律
数学抽象、 直观想象
掌握向量共线定理，会判 断或证明两个向量共线
逻辑推理
第六章 平面向量及其应用
P P T模板：www.1ppt.c om /m oba n/
P P T素材：www.1ppt.c om /suc a i/
P P T背景：www.1ppt.c om /be ij ing/
P P T图表：www.1ppt.c om /tubia o/
P P T下载：www.1ppt.c om /xia za i/
PPT教程： /powerpoint/
科学课件：/kejian/kexu e/ 物理课件：/kejian/wuli/

《向量数乘运算》ppt课件
• 向量数乘运算的基本概念 • 向量数乘运算的规则与性质 • 向量数乘运算的应用场景 • 向量数乘运算的几何解释 • 向量数乘运算的注意事项与常见错误
01
向量数乘运算的基本概念
向量的定义与表示
总结词
理解向量的定义和表示方法是学习向量数乘运算的基础。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，起点为 原点。在二维平面上，向量可以用有序对（x, y）表示，在三 维空间中，向量可以用有序三元组（x, y, z）表示。
数乘运算的定义
总结词
理解数乘运算的定义是掌握向量数乘 运算的关键。
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量 相乘，结果仍为一个向量。标量可以 是实数或复数，与向量相乘时，标量 可以乘以向量的每一个分量。
向量数乘运算的意义
总结词
了解向量数乘运算的意义有助于理解其在物理和工程领域的应用。
详细描述
向量数乘运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解、交流电的相量表示等。通过向量数乘运算，可以方便地描述 和解决物理问题，简化计算过程。
分类与回归分析
在分类与回归分析中，向量数乘运算用于训练模型和预测结果。通过向量数乘运算，可以对数据进行特 征提取和变换，进而训练分类器或回归模型。同时，向量数乘运算也用于预测新数据的分类或回归结果 。
04
向量数乘运算的几何解释
向量的模与方向
总结词
描述向量的模与方向的概念。
详细描述
向量的模表示向量的大小，方向表示向量的指向。通过几何图形可以直观地表示 向量，其中箭头长度代表向量的模，箭头指向代表向量的方向。
详细描述
在进行向量数乘运算时，如果数乘的系数过 大或过小，可能会导致结果溢出或下溢。为 了避免这种情况，应选择合适的数据类型和 算法，或者采用适当的缩放因子来调整数乘 的系数，以确保结果的精度和准确性。同时 ，在编写代码时，可以使用异常处理机制来

[解] 因为 a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， 又(ka＋b)∥(a－3b)， 故－4(k－3)＝10(2k＋2)，即 k＝－13. 这时 ka＋b＝－130，43， 且 a－3b 与－13a＋b 的对应坐标异号， 故当 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且是反向的．
2解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三 点共线，由两向量无公共点确定直线平行.
[变式训练 5] 已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线 AC 与 OB 交点 P 的坐标．
解：设点 P(x，y)，则O→P＝(x，y)，O→B＝(4,4)， ∵P，B，O 三点共线，∴O→P∥O→B. ∴4x－4y＝0. 又A→P＝O→P－O→A＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)， A→C＝O→C－O→A＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
[变式训练 1] 如图，在△ABC 中，已知 A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D 分 别是 AB，AC，BC 的中点，且 MN 与 AD 交于点 F，求D→F的坐标．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)， ∴A→B＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)． A→C＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)． ∵D 是 BC 的中点，
∵P，A，C 三点共线，∴A→P∥A→C， ∴6(x－4)＋2y＝0. 由64xx－－44y＝＋02，y＝0， 得yx＝＝33.， ∴点 P 的坐标为(3,3)．
1．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( D )
A．(－2，－1) B．(－2,1)

1、平面向量的数乘运算的定义： 一般地，实数 与向量 a 的积，记作 a ， (a表示一个向量)
它的长度与方向规定如下：
(1) | a | | || a |；
(2) 当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同； 当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反 ；
当 0 时，a 0 .
练习1、向量a和b方向相反，长度是b的 1 , 3
AC 与AE 共线 .
又 AC 与AE 有共同起点A . A、C、E三点共线.
E D
AC AE
将向量换成O为起点
OC OA (OE OA)
进一步化简
OC OE (1 )OA
A,B,C共线的等价条件为：OC OA (1 )OB
例 5：非零向量a,b,OA a b,OB a 2b,OC a 3b, A, B,C是否共xian？
2
2
DE 1 AC 1 AB 1 ( AC AB) 1 BC
2
2
2
2
DE // 1 BC 2
例 4： 如图，已知 AD 3AB ，DE 3BC . 证明A、C、E共线 .
（分析：证明AC AE)
解： AE AD DE
3AB 3BC
C
A B
3( AB BC)
3AC ，
a,b方向相同
a,b方向相反
思考：若上述不等式中a，b为实数时还成立吗？有何区别？
高中数学《必修四》
平面向量的数乘运算
1、平面向量的数乘运算的定义：
已知非零向量 a ，作出：a a a 和 (a) (a) (a) .
a
a
a
a
O
AB
C
OC a a a 3a
N
a a a

B
a
b
b
O
BA a b
a
A
新知探究
我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面
向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？
探究 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它们
的长度和方向是怎样的？
a
O
a
A
a
a
B
C
OA AB AC
a a a 3a
注：①向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与λ以及 a有关；
+ − a，
a 无意义；
②实数和向量可以相乘，但不能相加减，
习题演练
5
2
AC 5

，则 AC _____
2. 点C在线段AB上，且
AB
,
BC
=
______
AB.
7
7
CB 2
A
C
B
新知探究
探究:实数与向量积的运算律

3(2a )
∴AC 2 AB .
2b
A
∴AC与 AB共线.
因此,A,B,C 三点共线.
推论 : A, B , C 三点共线 存在 R, 使 AB AC
b
a
O
归纳小结
证明或判断A、B、C三点共线的方法：
AC BC
有公共点B
C
A、B、C三点共线
B
A
新知探究
追问：已知不共线向量a，b，作向量a+λ2b，你能发现向量

a

2a

= 6a

3(2a )

【对点练清】 1．若典例 3 中条件“―A→B ＝2e1－8e2”改为“―A→B ＝2e1＋ke2”且 A，B，D
三点共线，如何求 k 的值？
解：因为 A，B，D 三点共线，所以―A→B 与―B→D 共线．设―A→B ＝λ―B→D (λ∈R)， ∵―B→D ＝―C→D －―C→B ＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
2e2＝3e1＋6e2， ―B→D ＝―B→C ＋―C→D ＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2e1＋4e2， ―A→C ＝―A→B ＋―B→C ＝e1＋2e2－5e1＋6e2＝－4e1＋8e2. (1)―A→D ＝3(e1＋2e2)＝3―A→B ，∴―A→B 与―A→D 共线． (2)―B→C 与―B→D 不共线．(3)―C→D 与―A→C 不共线．
【对点练清】
1．设向量
a
＝3i＋2j，b
＝2i－j，求13a
－b
－a
－23b
＋(2b
－a
)．
解：原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a
＝13－1－1a ＋－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b
＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j)＝－53i－5j.
2．已知 a 与 b ，且 5x＋2y ＝a ,3x－y ＝b ，求 x，y .
知识点一 向量的数乘运算 (一)教材梳理填空 1．向量的数乘运算：
定义
一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个_向__量___，这种运算叫做 向量的数乘，记作 λa
长度
|λa |＝|λ||a |
λ＝0
方 向
λ＞0
λ＝0
λa 的方向与 a 的方向_相__同___ λa ＝_0__
λa 的方向与 a 的方向_相__反___

拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
平面向量的加法减法与数乘运算
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷Байду номын сангаас屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿

返回导航
第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
题型二 用向量的线性运算表示未知向量
典例 2 如图所示，四边形 OADB 是以向量O→A＝a，O→B＝b 为邻边 的平行四边形，又 BM＝31BC，CN＝13CD，试用 a，b 表示O→M、O→N、M→N.
[分析] 用a，b表示B→M → 表示O→M，O→N → M→N＝O→N－O→M
A．－a
B．－4b
C．c
D．a－b
返回导航
第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
[解析] (1)①③④正确，②错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－ b.
(2)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b ＋c)＝a－2a＝－a.
返回导航
第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝__(λ_μ_)_a___. (2)(λ＋μ)a＝__λa_＋__μ_a___. (3)λ(a＋b)＝__λa_＋__λ_b___. 特别地，我们有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
返回导航
第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
关键能力·攻重难
返回导航
第六章 平面向量及其应用
题型探究 题型一 向量的线性运算
典例 1 计算： (1)4(a＋b)－3(a－b)－8a； (2)(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)； (3)32[(4a－3b)＋13b－14(6a－7b)]. [分析] 运用向量数乘的运算律求解.
于
(D )
A．13A→C＋32A→B

1
+
3
；
原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
1
2
② [(3a＋2b)－ +
原式＝
1
2
3
2
1

2
] －2
3
4
1

2
+
3
4
3

8
3
4
；
2 + －a－ b＝a＋ b－a－ b＝0.
③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
题型突破
题型突破
题型二
探究问题
向量共线定理
1．如何证明向量a与b共线？
提示：要证明向量a与b共线，只需证明存在实数λ，使得b
＝λa(a≠0)即可，一般地，把a和b用相同的两个向量m，n表
示出来，视察a与b具有倍数关系即可．
2．如何证明A，B，C三点在同一直线上？
提示：要证三点A，B，C共线，只需证明与或与
(3)当＝0时，若b ＝ 0 ，则对任意实数，都有b ＝a ，与由唯一一个实数
矛盾
探索新知
例 7 如图，已知任意两个非零向量 a，b，试作 OA a b ， OB a 2b ，
OC a 3b .猜想 A，B，C 三点之间的位置关系，并证明你的猜想.
分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，为此只要看其中
实数看成向量的系数.向量也可以通过列方程来解，即把所求向量当成
未知量，利用解代数方程的方法求解.
(2)要清楚向量数乘与实数乘法的区分，前者的结果是一个向量，后者
的结果是一个实数.

[归纳提升] 向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中 去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中 也可以使用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向 量的系数．
【对点练习】❶ (1)下列各式计算正确的有
( C)
①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；
A→P＝tA→B表示过点 A，B 的直线 l，其中A→B称为直线 l 的方向向量． 思考 3：已知△ABC 的三个顶点 A，B，C 及平面内一点 P，且P→A＋P→B ＋P→C＝A→B，则 P 在△ABC 内部，外部，还是哪条边上？ 提示：将条件变形为P→A＋P→B＋P→C＝P→B－P→A，所以P→C＝－2P→A，所以 P 在边 AC 上．
③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8
D．4 个
(2)若 a＝b＋c，化简 3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为 ( A )
A．－a
B．－4b
C．c
D．a－b
[解析] (1)①③④正确,②错,7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b. (2)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b ＋c)＝a－2a＝－a.
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若 λa＝0，则 λ＝0.
(×)
(2)3a 的方向与 a 的方向相同，且 3a 的模是 a 的模的 3 倍．( √ )
(3)－2a 的方向与 3a 的方向相反，且－2a 的模是 3a 的模的23倍．
(√ )
(4)－5a 与 5a 是一对相反向量．
(3)234a－3b＋13b－146a－7b.