甘肃省甘谷县第一中学高三数学第四次检测考试试题 文

一.选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1.已知全集U=R，集则（） A B． C． D． 2.复数为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是 ( ) A． B． C． D．若a>b，则下列不等式正确的是( ) A.b3C．a2>b2 D．a>|b| 若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( ) A．－ B. C. D. 5已知等差数列前项和，则 （ ） A. B. C. D. 6.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ） A．．．． 7. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ） A．向左平移单位 B．向右平移单位 向左平移 D．向右平移 8.下图为函数，，在同一直角坐标系下的部分图像，则下列结论正确的是 （ ）A . B. C. D. 9等比数列中，，则=（ ） A． B． C． D． 10设f(x)＝x2＋bx－3，且f(－2)＝f(0)，则f(x)≤0的解集为( ) A．(－3,1) B．[－3,1] C．[－3，－1] D．(－3，－1] 曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ) A．－9 B．－3 C．9 D．15 是定义在R上的函数，对任意都有，若函数的图象关于直线对称，且，则等于 （ ） A．2B．3C．4D．6 二、填空题．（本大题共4小题,每小题5分，共20分．） 13. 已知cos 2α＝，则sin2α＝________. 均为正数，且，则的最小值为 . 15已知ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为__________． 观察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 …… 照此规律，第个等式为________________________________（本小题满分12分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.若·＝·＝k(kR)． (1)判断ABC的形状； (2)若k＝2，求b的值． （本小题满分12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2＋a4＝14，S7＝70. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，则数列{bn}的最小项是第几项？并求出该项的值． 19．（本小题满分12分）． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若时，的最小值为1，求的值，并指出这时的值． 20.（本小题满分12分） 等比数列{a的各项均为正数，且2a＋3a＝1，a＝9a(1)求数列{a的通项公式；(2)设b＝＋＋…＋，求数列{的前n项和．（本小题满分12分）已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1. (1)试求常数a，b，c的值； (2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由. 小设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)解不等式f(x)＞3；(2)若f(x)＞a对xR恒成立，求实数a的取值范围．小已知两点A，B的极坐标分别为(4，)，(4，)． (1)求A，B两点间的距离； (2)求直线AB的极坐标方程．甘谷一中2012-2013学年高三级第四次检测 数学试卷(文) 参考答案 18. （本小题满分12分） 又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1. 高考学习网： 高考学习网：。

卜人入州八九几市潮王学校甘谷第一2021届高三数学上学期第四次检测考试试题理一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．) 1．)(2143=+-iiA ．i 21-B ．i -2 C.i --2D ．i 21-- 2．全集为R ,集合{}02|2<-+=x x x A ，{}0|2<+-=x xx B ，那么)()(=B C A RA ．[)+∞--∞,1)2,(B ．),1(]0,(+∞-∞ C.]1,2(-D ．]1,1(-3．在等差数列{}n a 中，578a a +=，那么该数列前11项和11s =〔〕A ．44B.55 C.143D1764．函数||3cos )()(x e x x x x f +=的大致图象是〔〕5.动点A 在圆122=+y x 上挪动时，它与定点()0,3B 连线的中点的轨迹方程是〔〕A.02322=+++x y x B.02322=+-+x y xC.02322=+++y y xD.02322=+-+y y x6．设n m ,是两条不同的直线，βα,〕 A.假设βα⊥n m ,//且n m ⊥，那么βα⊥B ．假设βα⊥⊥n m ,且n m //，那么βα//C ．假设βα⊥,//n m 且α//m ，那么β⊥n D ．假设βα⊂⊂n m ,且n m //，那么βα//7.函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的局部图象如下列图,那么,ωϕ的值分别是〔〕A.2,6π-B.4,6π-C.2,3π-D.4,3π8．泰山有“五岳之首〞“天下第一山〞之称，登泰山的道路有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进展如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的选项是〔〕A ．甲走桃花峪登山线路B ．乙走红门盘道徒步线路C ．丙走桃花峪登山线路D ．甲走天烛峰登山线路 9．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为)6,,2,1(,1 =i E i 分别是棱的中点，那么多面体6543211E E E E E E B 的体积为〔〕A ．169B ．41C.83D ．31 10．圆0462:22=+--+y x y xC 与直线0:=++b y x l ，假设直线l 与圆C 交于B A ,两点，O AOB (90︒=∠为坐标原点〕，那么b 的值是〔〕 A ．1-B ．2- C.1D ．2 11．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的外表上，BCD AB 平面⊥，BCD △是边长为3的等边三角形，假设2=AB ，那么球O 的外表积为()A.π16B ．π332C ．π12D ．π3212．如图1四边形ABCD 与四边形ADEF 分别为正方形和等腰梯形，,2,//=AF EF AD 2,4==EF AD ,沿AD 边将四边形ADEF 折起，使得平面⊥ADEF 平面ABCD ，如图2，动点M 在线段EF 上，G N ,分别是BC AB ,的中点，设异面直线MN 与AG 所成的角为α，那么αcos 的最大值为〔〕A ．1030B ．510C.1010D ．55 第II 卷二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.) 13．假设向量(1,2)x =+a 和向量(1,2)=-b 垂直，那么-=a b _______．14．函数2ln 2)(3+-=x x x f 的图象在1=x 处的切线方程为.15．各项都是正数的等比数列{}n a 中，2312,21,a a a 成等差数列，那么=++87109a a a a .16．函数R x x x x f ∈+=|,3|)(2.假设方程0|1|)(=--x a x f 恰有3个互异的实数根，那么实数a 的取值集合为__________．三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.)17.〔本小题总分值是10分〕如图，在三棱柱C B A ABC '''-中，⊥'C C 平面ABC ， 90=∠ACB ，3=BC ，4='=C C AC .(1) 求证：B A C A '⊥'；(2) 求直线C C '与平面C AB '所成角的正弦值.18.〔本小题总分值是12分〕半径长为5的圆C 截y 轴所得弦长为6，圆心在第一象限且到直线02:=+y x l 的间隔为556．〔1〕求这个圆的方程；〔2〕求经过()1,0P-与圆C 相切的直线方程．19.〔本小题总分值是12分〕如图，在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 长为3，且10cos 8B =，1cos 4ADC ∠=-． 〔1〕求sin BAD ∠的值； 〔2〕求AC 边的长．20.〔本小题总分值是12分〕数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(22*∈-=N n a S n n .〔1〕求数列{}n a 的通项n a .〔2〕设n na n c )1(+=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．21.〔本小题总分值是12分〕椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为MF F ,,21为椭圆上一动点，当21F MF ∆的面积最大时，其内切圆半径为3b，设过点2F 的直线l 被椭圆C 截得的线段RS ,当x l⊥轴时，3=RS .（1）求椭圆C 的HY 方程；（2）假设点A 为椭圆C 的左顶点，Q P ,是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线AQ AP ,的斜率分别为21,k k ，假设4121-=k k ，试问直线PQ 是否过定点？假设过定点，求该定点的坐标；假设不过定点，请说明理由.22.〔本小题总分值是12分〕函数m xx x x f 3)ln 1)(1()(-++=，x mx x g ln )(+-=)R (∈m .(1) 求函数)(x g 的单调区间与极值.(2) 当0>m 时，是否存在[]2,1,21∈x x ，使得)()(21x g x f >成立？假设存在，务实数m 的取值范围，假设不存在，请说明理由.甘谷一中2021～2021高三级第四次检测考试数学理答案一、选择题1—5题DCAAB6—10题BCDCB11—12题AA二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.) 1502=+-y x ＋216.{}9,1 三、解答题17.解：〔1〕如图，连接C A '，因为⊥'C C 平面ABC ，⊂AC 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以AC C C ⊥'，BC C C ⊥'...........................................1分又4='=C C AC ，所以四边形A C AC ''为正方形，所以C A C A '⊥'.因为90=∠ACB ，所以CBAC ⊥.又⊂AC 平面A C AC ''，⊂'C C 平面A C AC ''，C C C AC =' ，所以，⊥BC 平面A C AC ''...........................................3分因为⊂'C A 平面A C AC ''，所以C A BC '⊥.又⊂'C A 平面CB A '，⊂BC 平面CB A '，C BC C A =' ，所以⊥'C A 平面CB A '.因为⊂'B A 平面CB A '，所以B A C A '⊥'...............................5分（2）解法1:在ABC ∆中，90=∠ACB ，3=BC ，4=AC ，所以64321=⨯⨯=∆ABC S . 又⊥'C C 平面ABC ，4='C C ，所以三棱锥ABC C -'的体积8311='⋅⋅=∆C C S V ABC (7)分易知522=+=BC AC AB ，522=+'='BC C C C B ，2422=+'='AC C C C A ，所以3428-252421=⨯⨯='∆C AB S ................................8分 设点C 到平面C AB '的间隔为h ，那么三棱锥C AB C '-的体积h h S V C AB 3342312=⋅⋅='∆， 由等体积法可知21V V =，那么83342=h ，解得17346=h .设直线C C '与平面C AB '所成的角为θ，那么34343sin ='=C C h θ，故直线C C '与平面C AB '所成角的正弦值为34343..............10分解法2：(2)由〔1〕知，CA ，CB ，C C '两两垂直，以C 为坐标原点，以CA ，CB ，C C '所在的直线分别为x ，y ，z 3=BC ，4='=C C AC .所以）（0,0,0C ，）（0,0,4A ，）（0,3,0B ，）（4,0,0C '，........6分所以）（4,0,0='C C ，）（0,3,4-=AB ，）（4,0,4-='C A ...............7分 设平面C AB '的法向量为）（z y x n ,,=，那么⎪⎩⎪⎨⎧='⋅=⋅0C A n AB n ，即⎩⎨⎧=+-=+-044034z x y x ，令4=y ，3==z x ，所以）（3,4,3=n 为平面C AB '的一个法向量，那么34343,cos =''<C C n C C n .......................9分 设直线C C '与平面C AB '所成的角为θ，那么34343,cos sin =>'<=C C n θ，故直线C C '与平面C AB '所成角的正弦值为34343.......................10分18.〔1〕由题圆心),(b a C ，半径r =5 截y 轴弦长为60,2592>=+∴a a 4=∴a ………2分由C 到直线02:=+y x l 的间隔为556，,5565|24|=+=b d ,1=b ........4分所以圆的方程为25)1()4(22=-+-y x ............................6分〔2〕分情况讨论：当直线存在斜率时，设切线方程为：)1(+=x k y由C 到直线)1(+=x k y 的间隔51152=+-kk ……………8分512-=∴k ∴切线方程：012512=++y x ……………10分 当直线过点()1,0-且斜率不存在时，方程1x =-也是所求的切线方程.综上，切线方程为012512=++y x 和1x =-………………………12分19.〔1〕;863sin ,,810cos =∴=B B 415sin ,41cos =∠∴-=∠ADC ADC ;46)sin(sin =∠-∠=∠∴B ADC BAD ..............................6分 （2）在ABD ∆中,由正弦定理,得sin sin AD BDB BAD=∠,即84=,解得2BD =…故2DC =,从而在ADC ∆中,由余弦定理,得2222cos ACAD DC AD DC ADC =+-⋅∠22132232()164=+-⨯⨯⨯-=；AC=4...............................12分20.〔1〕),2(22,2211*--∈≥-=-=N n n a S a S n n n n ......................1分两式相减得1122---=-n n n na a S S 12-=∴n n a a ，)2(21*-∈≥=∴N n n a a n n，即数列{a n }是等比数列．..........................3分 ),2(2221*-∈≥=⋅=∴N n n a n n n ),1(211*∈≥=∴=N n n a S a n n ..........5分(2)nnn c 2)1(+=n n n n n T 2)1(22423221321⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=-①................7分14322)1(22423222+⨯++⨯⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n n n T ②...............8分①﹣②得14322)1(22224+⨯+-+⋅⋅⋅++++=-n n nn T)1(2)1(21)21(22+⨯+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=n n n ..........................................10分 11122)1(2+++⋅-=⨯+-=n n n n n ...........................................11分 12+⋅=∴n n n T .............................................12分21.解：〔1〕由题意及三角形内切圆的性质可得3)22(21221b c a b c ⋅+=⋅⋅，得21=a c ①......2分 将c x =代入12222=+b y a x ，结合222c b a +=②，得ab y 2±=，...................4分所以322=a b ③，由①②③得3,2==b a ....................5分 故椭圆C 的HY 方程为13422=+y x ....................6分 （2）设点Q P ,的坐标分别为）（11,y x ，）（22,y x .①当直线PQ 的斜率不存在时，由题意得），（），，（231231-Q P 或者），（），，（231231Q P -， 直线PQ 的方程为1=x ....................7分 ②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为m kx y +=，联立得⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y y x 13422，消去y 得0124834222=-+++m kmx x k ）（， 由0)34(48)124)(34(464222222>+-=-+-=∆m k m k m k ，得2234m k >+)1.(34124,3482221221+-=+-=+k m x x k km x x ...................〔8分〕 由,41)2)(2(212121-=++=x x y y k k 可得0)2)(2(42121=+++x x y y ，得0)2)(2())((42121=+++++x x m kx m kx ，整理得)2(,044))(24()14(221212=++++++m x x km x x k由〔1〕和〔2〕得0222=--k km m，解得k m 2=或者k m -=...................〔10分〕当k m 2=时，直线PQ 的方程为k kx y 2+=，过定点)0,2(-，不合题意；.........〔11分〕 当k m -=时，直线PQ 的方程为k kx y -=，过定点)0,1(，综上直线PQ 过定点，定点坐标为)0,1(....................〔12分〕22解：〔1〕)0(1)(>+-='x x m x g ，........................1分 当0≤m 时，01)(>+-='xm x g 恒成立，即函数)(x g 的单调增区间为），（∞+0，无单调减区间，所以不存在极值.........................2分 当0>m 时，令01)(=+-='x m x g ，得mx 1=,当mx 10<<时，0)(>'x g ，当mx 1>时，0)(<'x g ，故函数)(x g 的单调增区间为），（m 10，单调减区间为），（∞+m 1，此时函数)(x g 在mx 1=处获得极大值，极大值为m mm m m g ln 11ln 1)1(--=+⨯-=，无极小值.........................3分综上，当0≤m 时，函数)(x g 的单调增区间为），（∞+0，无单调减区间，不存在极值.当0>m 时，函数)(x g 的单调增区间为），（m 10，单调减区间为），（∞+m1，极大值为m ln 1--，无极小值.......4分 （3）当0>m 时，假设存在[]2,1,21∈x x ，使得)()(21x g x f >成立，那么对[]2,1∈x ，满足min max )()(x g x f >.................................5分由mxx x x f 3)ln 1)(1()(-++=[]）（2,1∈x 可得， 22ln )ln 1)(1()11ln 1()(x x x x x x x x x x f -=++-+++='. 令[]）（2,1ln )(∈-=x x x x h ，那么011)(≥-='xx h ，所以)(x h 在[]2,1上单调递增，所以1)1()(=≥h x h ，所以0)(>'x f ，所以)(x f 在[]2,1上单调递增，所以m m f x f 32)2ln 1(332)2ln 1)(12()2()(max -+=-++==............7分由〔1〕可知，①当110≤<m时，即1≥m 时，函数)(x g 在[]2,1上单调递减，所以)(x g 的最小值是2ln 2)2(+-=m g ....................................................8分②当21≥m ，即210≤<m 时，函数)(x g 在[]2,1上单调递增， 所以)(x g 的最小值是m g -=)1(.......................9分③当211<<m时，即121<<m 时，函数)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡m 1,1上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,1m m m m g g -=+-=-2ln 22ln )1()2(，所以当2ln 21<<m 时，)(x g 在[]2,1上的最小值是mg -=)1(.当12ln <≤m 时，)(x g 在[]2,1上的最小值是m g 22ln )2(-=.............................10分所以当2ln 0<<m 时，)(x g 在[]2,1上的最小值是m g -=)1(，故m m ->-+32)2ln 1(3，解得m >+4)2ln 1(3,所以02ln >>m .......................11分 当m ≤2ln 时，函数)(x g 在[]2,1上的最小值是m g 22ln )2(-=，故m m 22ln 32)2ln 1(3->-+，解得m >+22ln 3，所以22ln 32ln +<≤m .故实数m 的取值范围是），（22ln 30+.........12分。

甘肃省甘谷县2017届高三数学第四次检测考试试题 文第Ⅰ卷一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知集合)(是实数集R R U =,{}{}02112<-=≤≤-=x x x B x x A ，,则()=B C A U （ ）A ．[]01-，B ．[]2,1C ．[]1,0 D.(][)∞+∞，，21- 2.已知b a ,为实数，则“55b a <”是“b a 22<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件 3.若复数2(4)(2)z a a i =-++为纯虚数，则21a ii+-的值为（ ） A ．2 B ．2i - C ．2i D ．i - 4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A ．2 B ．1 C ．2 D ．4 5．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？” A ．3 B ．4 C ．5 D ．66.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x ，则y x z -=2的最大值是（ ）A ．1B ．34C ．4D ．2 7.向量,a b 均为非零向量， (2),(2)a b a b a b -⊥-⊥，则,a b 的夹角为 （ ） A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π8.已知函数)(x f 在(]2,∞-为增函数，且)2(+x f 是R 上的偶函数，若)3()(f a f ≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1≤aB ．3≥aC ．31≤≤a D.31≥≤a a 或 9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若100162016162016=-s s ，则d 的值（ ） A ．201 B ．101 C ．10 D ．2010.已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数)(x f y =的图象（ ） A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于直线12π=x 对称C ．关于点)125,0(π对称D ．关于直线125π=x 对称 11.已知数列}{n a 前n 项和为)13()1(1714118521--+⋅⋅⋅+-+-+-=-n S n n ，则312215S S S -+的值是（ ）A ．57-B ．37-C ．16D ．57 12.定义在R 上的函数)(x f 满足：xe x xf x f ⋅=-)()('，且21)0(=f ，则)()('x f x f 的最大值为（ ）A ．0B ．21C ．1D ．2 第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若点)1,1(A 在直线03=-+mn ny mx 上，其中，0>mn ，则n m +的最小值为 ． 14.曲线21cos sin sin )(-+=x x x x f 在点)0,4(πM 处的切线的斜为 .15.在数列{}n a 中，11=a ，若,221）（*+∈+=N n a a n n 则=n a . 16.设函数()(0)22xf x x x ，观察：1()()22xf x f x x ； 21()(())64xf x f f x x ；32()(())148xf x f f x x ；43()(())3016x f x f f x x ……根据以上事实，当n ∈N *时，由归纳推理可得：(1)n f ．三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,18-22题各12分） 17.（12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，272cos 2sin 42=-+C B A （1）求角C ；（2）若边3=c ，3=+b a ，求边a 和b 的值．18.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(22*∈-=N n a S n n .（1）求数列{}n a 的通项n a .（2）设n n a n c )1(+=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19.（12分）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （2）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．20.（12分）已知函数).(2)1()(2R a x a ax x f ∈++-= （1）当2=a 时，解不等式1)(>x f ；（2）若对任意[]3,1-∈x ，都有0)(≥x f 成立，求实数a 的取值范围．21.（12分）已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，点))(,(*∈N n S n n 均在函数x x x f 23)(2-=的图象上．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13+=n n n a a b ,n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20152-≤λn T 对所有*∈N n 都成立的实数λ的范围．22．（12分）设函数()21ln 2f x x ax bx =--. （1）当3,2=-=b a 时，求函数()f x 的极值； （2）令()()()21032aF x f x ax bx x x=+++<≤，其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当0,1a b ==-时，方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内恰有两个实数解，求实数m 的取值范围.高三第四次检测考试数学（文）答案一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.D2.B3.C4.B5.A6.A7.B8.D9.B 10.D 11.A 12.D 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13.34 14.21 15.2231-⋅-n 16.2231-⋅n三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,18-22各题12分,共70分） 17.(1)解:由 272cos 2sin 42=-+C B A ，及π=++C B A 得[]271cos 2)cos(122=+-+-C B A即01cos 4cos 42=++C C ， ........................（3分）故1)1cos 2(2=-C 解得21cos =C 30ππ=∴<<C C .......（5分）（2）由余弦定理，ab c b a C 2cos 222-+= 而21cos =C ，212222=-+∴ab c b a ab c b a =-+∴2223=c 又.......................（7分）ab b a 33)(2=-+∴2=∴ab 3=+b a 又...........................（8分）联立⎩⎨⎧==+23ab b a⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴1221b a b a 或.............................（10分） 18.（1）),2(22,2211*--∈≥-=-=N n n a S a S n n n n 两式相减得1122---=-n n n n a a S S 12-=∴n n a a ， )2(21*-∈≥=∴N n n a a n n，即数列{a n }是等比数列． ),2(2221*-∈≥=⋅=∴N n n a n n n ),1(211*∈≥=∴=N n n a S a n n（2）nn n c 2)1(+=nn n n n T 2)1(22423221321⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=-…①...............（7分）14322)1(22423222+⨯++⨯⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n n n T …②..............（8分） ①﹣②得14322)1(22224+⨯+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n T)1(2)1(21)21(22+⨯+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=n n n ........................................（10分） 11122)1(2+++⋅-=⨯+-=n n n n n .........................................（11分） 12+⋅=∴n n n T ................ ........ .....................（12分）19.解：（1）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++．.........................（1分） 因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =，.........（2分） 即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）．.............................................（3分） 所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-． 当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭，.......................（5分）当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=.............................（6分） （2）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1π31313cos 2sin 2cos2sin 2262222x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．.................................................（9分） 当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时， 函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数，.................................（11分） 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）．..............（12分）20.解：（1）2=a 时，函数232)(2+-=x x x f ，01321)(2>+-∴>x x x f ，解得121><x x 或，.........................（1分）所以该不等式的解集为{}121><x x x 或......................................（5分）（2）由对任意[]3,1-∈x ，都有0)(>x f 成立；讨论：①当0=a 时，2)(+-=x x f 在区间[]3,1-上是单调减函数，且0123)3(<-=+-=f ，不满足题意；.................................（6分） ②当0>a 时，二次函数)(x f 图象的对称轴为212121>+=a x ， 若32121<+a ，则51>a ，函数)(x f 在区间[]3,1-上的最小值为0)2121(≥+a f ，即0162≤+-a a ，解得223223+≤≤-a ，取22351+≤<a ；........（7分）若32121≥+a ，则510≤<a ，函数)(x f 在区间[]3,1-上的最小值为0)3(≥f ， 解得61≥a ，取5161≤≤a ；..............................................（9分）当0<a 时，二次函数)(x f 图象的对称轴为212121<+=a x ，函数)(x f 在区间[]3,1-上的最小值为0)3(≥f ，解得61≥a ，此时a 不存在；综上，实数a 的取值范围是22361+≤≤a ．............................（12分）解：（1）∵点),(n S n 在函数x x x f 23)(2-=的图象上，n n S n 232-=∴)2(58321≥+-=∴-n n n S n )2(561≥-=-=∴-n n S S a n n n ,..................(3分)11S a = )1(56≥-=∴n n a n ............................................（6分）（2）[])161561(215)1(6)56(331+--=-+-==+n n n n a a b n n n ...............（7分）)1611(21)161561()13171()711(21+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++=n n n b b b T n n …（9分）1221<∴<n n T T .......................................................（10分）又20152-≤λn T 对所有*∈N n 都成立12015≥-λ即2016≥λ..............（12分）22. (1)依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞， 当3,2=-=b a 时，)0(,3ln )(2>-+=x x x x x f ， 令121,0)1)(12()(/===--=x x x x x x f 或得.............................（1分）12100)('><<>x x x f 或得，1210)('<<<x x f 得........................（2分）故)(x f 在),1()21,0(+∞∈和x 上为增函数，在)1,21(∈x 上为减函数.即()f x 的极大值为452ln )21(--=f ，()f x 的极小值为2)1(-=f ...........（4分）(2) ]3,0(,ln )(∈+=x xax x F ，则有00201(),2x a k F x x -'==≤在]3,0(上有解，∴max 020)21(x x a +-≥ ............................................（7分） 所以 当1=x 时，02021x x +-取得最大值为21 21≥∴a ...............（8分）(3) 当1,0-==b a 时，,ln )(mx x x x f =+=得[]有两个实数解，，在21ln 1e xxm +=x x x g ln 1)(+=不妨令 20)('10)('0)('e x e x g e x x g e x x g <<⇒<<<⇒>=⇒=，， ..........（9分）为减函数，上为增函数，在在),(),1()(2e e x e x x g ∈∈,11)()(max e e g x g +==∴..（10分）)1(21)(22g e e g >+= 又)11,12[2++∈∴ee m 时方程有两个实数解...........（12分）。

甘谷一中2015——2016学年高三第四次检测考试数学（理）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1．设a R ∈，则1a >是11a< 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若0<<b a ，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．b a > B ．ab a 11>- C ．b a 11> D ．22b a >3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．214．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ．3B ．2C ．-2D ．-35．若函数2()lg(1)f x x ax a =+--在区间［2，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,-+∞B ．[)3,-+∞C ．()4,-+∞D ．[)4,-+∞ 6．定积分⎰的值为（ ）A ．9πB ．3πC ．94π D ．92π7．不等式()()a x a x 224210-++-≥的解集是空集，则实数a 的范围为（ ） A ．6(2,)5- B ．6[2,)5- C ．6[2,]5- D ．6[2,){2}5-U 8．已知数列{}n a 中，32a =，71a =，若1{}1n a +为等差数列，则19a =（ ） A ．0 B ．12 C ．23D ．2 9．已知函数()1211xf x e x+=-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,131,C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，3131, 10．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：()OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r，λ∈（0，＋∞），则直线AP 一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心11．已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0（a ＞0）的解集为（x 1，x 2），则x 1＋x 2＋12ax x 的最小值是（ ） A12．已知函数222()(2)2xx f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A 、7(,)4+∞ B 、7(,)4-∞ C 、7(0,)4 D 、7(,2)4二 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若{}n a 的前n 项和127n S =，则n 的值为________．14．已知向量a ＝（sin x ，cos x ），向量b ＝（1），则|a ＋b|的最大值是________． 15．两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a = ．16．已知点P （x ，y ）的坐标满足条件12220x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩记2y x +的最大值为a ，x 2＋ （y）2的最小值为b ，则a ＋b ＝ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分。

第一学期高三第四次检测考试数学试题（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足z (1+2i )=i ，则复数z 在复平面内对应点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知全集U =R ，集合{|14}A x x x =<->或，23{|}B x x =-≤≤，那么阴影部分表示的集合为（ ）A ．4{|}2x x -≤<B ．{|34}x x x ≤≥或C ．{|21}x x -≤≤-D ．{|13}x x -≤≤3．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4. 下列有关命题的说法中错误的是（ ）A ．在ABC 中，若AB >，则sin sin A B > B ．“1x =”是“1≥x ”的必要不充分条件C ．“1sin 2x =”的一个充分不必要条件是“6x π=” D ．若命题p ：“∃实数x ，使20x ≥”，则命题p 的否定为“x ∀∈R ，都有20x <”5.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是A ． 1-B ． 1C ． 10D ． 126.函数()()2e 2xf x x x x =--∈R 的图像大致为（ ）7．数列{}n a ，满足12a =，()111++=∈-n na n N a ，则2019a =（ ）. A ．-2 B ．-1C ．2D ．128．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为51- 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）A ．(35)π-B ．(51)π-C ．(51)π+D ．(52)π-9. 设向量11,22a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ）A. //a bB. a b ⊥C. a 与b 的夹角为34π D. b 在a 方向上的投影为2210．设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9 B ．7π6 C ．4π3D ．3π211．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12. 已知函数()()201941,01log ,1x x x f x x x ⎧-≤≤=⎨>⎩，若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是（ ）A ．()1,2020B ．()1,2019C ．()2,2020D ．()2,2019)1,0(=b二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知13sin sin =⎪⎭⎫⎝⎛++πθθ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin πθ__________． 14．如图，在ABC 中，13AN NC →→=，P 是BN 上的一点，若311AP AB AC m →→→=+，则实数m 的值为________.15．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.16.函数1()xx f x e+=，ln ()(0)a x g x a x =>．若对任意实数1x ，都存在正数2x ，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.（12分）已知函数.x x x x f cos sin 3sin )(2+=（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.18．（12分）已知等差数列｛a n ｝的公差不为零，1a =25，且1a ，11a ，13a 成等比数列.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求23741...-++++n a a a a19．（12分）给出一下两个条件：①数列{}n a 的首项12a =，且12n n n a a +-=②数列{}n a 为等比数列，且132nn n a a ++=⋅.从上面①②两个条件中任选一个解答下面的问题(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).（1）求数列{}n a 的通项公式；.（2）设数列{}n b 满足2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 20.（12分）的内角C B A ,,对的边为c b a ,,,向量()b a m 3,=与()B A cos ,cos n =平行.(1)求角A ;. c b ,2)2(的取值范围求若+=a21.（12分）已知函数()1ln ()f x ax x a R =--∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数()f x 在1x =处取得极值，对(0,),()2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围.22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l:(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点M 的直角坐标为()3,5,直线l 与曲线C 的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.2020—2021学年第一学期高三第四次检测考试数学答案（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．解析：D 2.【答案】D【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为()U C A B ⋂，求出U C A ，计算得到答案 【详解】阴影部分表示的集合为()U C A B ⋂，{|14}A x x x =-或{|14}U C A x x ∴=-≤≤ {|23}B x x =-≤≤(){|13}U C A B x x ∴⋂=-≤≤故选D 3．【答案】B【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．4. 【答案】B【分析】利用大边对大角定理结合正弦定理可判断A 选项的正误；利用集合的包含关系可判断B 选项的正误；解方程1sin 2x =，利用集合的包含关系可判断C 选项的正误；利用特称命题的否定可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由大边对大角定理以及正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，A 选项正确； 对于B 选项，{}1 {}1x x ≥，则“1x =”是“1≥x ”的充分不必要条件，B 选项错误；对于C 选项，解方程1sin 2x =可得26x x k ππ⎧=+⎨⎩或52,6x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭， 因为6π⎧⎫⎨⎬⎩⎭26x x k ππ⎧=+⎨⎩或52,6x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭， 所以，“1sin 2x =”的一个充分不必要条件是“6x π=”，C 选项正确； 对于D 选项，命题p 为特称命题，该命题的否定为“x ∀∈R ，都有20x <”，D 选项正确. 故选：B. 5.【答案】C 6.【答案】B【考点】函数的图象与性质【解析】法一：由题意可作出函数x e y =与函数x x y 22+=的图象，得到有3个交点，即函数()x f 有3个零点，则故答案选B.法二：因为()0211<--=e f ，可排除选项A 、D ；且当-∞→x ，()()-∞→+-=2x x e x f x，排除选项C ，故答案选B.法三：因为()22--='x e x f x，设()()22--='=x e x f x g x，则()2-='xe x g ，令()0='x g ，可得2ln =x ，所以当2ln <x 时，()0<'x g ，则()x g ，在()2ln ，∞-上单调递减；当2ln >x 时，()0>'x g ，则()x g ，在()∞+，2ln 上单调递增，又()()02ln 222ln 222ln 2ln <-=--='=f g ，即函数()x f 有两个极值点，排除选项C 、D ；而()0211<--=e f ，所以排除选项A ，故答案选B. 7．【答案】D【分析】写出数列的前几项，观察数列的周期性，据此求解即可. 【详解】根据递推公式，以及12a =， 可得123456112,1,,2,1,22a a a a a a ==-===-=由此可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列， 故2019312a a ==. 故选：D. 8．解析：A 9. 【答案】C【分析】利用向量平行，垂直，夹角以及向量投影坐标公式对各个选项进行检验即可. 【详解】A.110122⎛⎫⎛⎫-⨯≠-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即两个向量不满足平行的坐标公式，故错误； B.1101022⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即不满足向量垂直的坐标公式，故错误；C.12cos 2||||2a b a b θ-⋅===-，[]0,θπ∈，所以夹角为34π，正确； 的D.b 在a 方向上的投影为1222a b a-⋅==-，故错误.故选：C 10．【答案】C【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解. 【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C 11．【答案】C【解析】当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()23224f x x x x =⋅-⨯=-；所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()34f x x =-在(]1,2单调递增，且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，则()f x 在[]22-,上单调递增， 所以()()13f m f m +≤得：21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得1223m ≤≤，故选C ．12. 【答案】C【分析】画出函数图像，根据对称得到1a b +=，再得到12019c <<，最后得到答案. 【详解】()()201941,01log ,1x x x f x x x ⎧-≤≤=⎨>⎩画出函数图像：()()()f a f b f c ==，设a b c << 则1a b +=()411,01x x x -≤≤≤2019log 12019x x <⇒<即12019c <<()2,2020a b c ++∈故答案选C二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【详解】由题意可得：1sin sin 122θθθ++=，则：3sin 12θθ=1cos 2θθ+=，从而有：sin coscos sin663ππθθ+=，即sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭14．【答案】211【分析】解法1：先根据13AN NC →→=得到4AC AN →→=，从而可得3411AP AB N m A →→→=+，再根据三点共线定理，即可得到m 的值.解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底AB AC →→，去表示AP →，根据图形可得：AP AB BP →→→=+，设BP BN λ→→=，通过向量线性运算可得：()14AP AB AC λλ→→→=-+，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得m 的值.【详解】解法1：因为13AN NC →→=，所以4AC AN →→=，又311AP AB AC m →→→=+， 所以3411AP AB N m A →→→=+ 因为点,,P B N 三点共线， 所以3+4111m =， 解得：211m =. 解法2：因为AP AB BP →→→=+，设BP BN λ→→=， 所以AP AB BN λ→→→=+，因为13AN NC →→=，所以14AN AC →→=，又BN AN AB →→→=-，所以14BN AC AB →→→=-，所以()=4141AP AB AC AB AB AC λλλ→→→→→→⎛⎫=+-+ ⎝-⎪⎭，又311AP AB AC m →→→=+，所以31114m λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得：8=11211m λ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以211m =. 故答案为：211. 15．【答案】2y x =【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题. 16【答案】[),e +∞ 【解析】【详解】若对任意实数1x ，都存在正数2x ，使得21()()g x f x =成立， 得()f x 的值域是()g x 值域的子集；()(),xxf x f x e-=∴'在()0-∞，上递增，在(0)+∞，上递减， ()01f =,x →+∞时，()0f x →； ()x f x →-∞→-∞，，()1f x ∴≤；()()21a lnx g xx -'=，当0a >时，()g x 在(0,)e 上递增， 在(,)e +∞上递减，(),(),1a a ag e g x a e e e e=∴≤∴≥∴≥; 当0a <时，()g x 在(0,)e 上递减，在(,)e +∞上递增，()a g x e∴≥，不符合题意舍去， 故a 的取值范围是[),e +∞.【点睛】双变量一个任意，一个存在的问题，转化为值域包含的问题，主要是求两个函数的值域，再转化为两个集合的子集问题即得解三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.（12分）【答案】（Ⅰ）π ；（Ⅱ）π3. 【分析】（I ）将()f x 化简整理成()sin()f x A x ωϕ=+的形式，利用公式2||T πω=可求最小正周期；（II ）根据[,]3x m π∈-，可求26x π-的范围，结合函数图象的性质，可得参数m 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）()1cos23311π1cos2sin 222262x f x x x x x -⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦. 要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32， 即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 所以ππ262m -≥，即π3m ≥. 所以m 的最小值为π3. 点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.18．【答案】（Ⅰ）227n a n =-+；（Ⅱ）2328n n -+.【详解】(1)设{a n }的公差为d.由题意，a 112＝a 1a 13，即(a 1＋10d)2＝a 1(a 1＋12d)，于是d(2a 1＋25d)＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2.故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝2n(a 1＋a 3n －2)＝2n (－6n ＋56)＝－3n 2＋28n.19．（12分）【答案】条件选择见解析，（1）2n n a =；（2）1n nT n =+.【分析】若选条件①.（1）令1n =，可得212a a -=，令2n =，可得2322a a -=，依次类推可得：112n n n a a ---=，将这一系列等式求和可得：21122222n nn a a --=+++=-.其中12a =，故可得2nn a =.（2）由（1）得，22log log 2nn n b a n ===， 则有()1111111n n b b n n n n +==-++，则其前n 项和为：11111111122311n T n n n =-+-++-=-++1nn =+若选条件②.由条件132n n n a a ++=⨯，得12132n n n a a ++++=⨯， 则公比121132232n n n nn n a a q a a +++++⨯===+⨯， 令1n =，可得2132a a +=⨯，即1126a a +=，所以12a =，从而有1222n n n a -=⨯=.（2）由（1）得，22log log 2n n n b a n ===， 则有()1111111n n b b n n n n +==-++， 则其前n 项和为：11111111122311n T n n n =-+-++-=-++ 1n n =+. 【点睛】本题主要靠查了由递推公式求数列的通项公式，采用累加法考查了裂项相消求和，属于中档题.（12分）20.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由于与平行，∴，--------2分 ∴， ∵，∴- --------------------4分 ，∵，∴. ---------------------6分（2）∵，∴， ---------------------8分∴，---------------------10分∵，∴， ∴. -----------------------------------12分 21.（12分）【答案】（Ⅰ）时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（Ⅱ）211b e -≤． 【详解】试题分析：（Ⅰ）显然函数的定义域为()0,∞+. 因为()1ln ()f x ax x a R =--∈，所以， 当时，()0f x '<在上恒成立，函数在单调递减， ∴在上没有极值点； 当时，由()0f x '<得10x a <<，由()0f x '>得1x a>， ∴在1(0,)a 上递减，在1(,)a +∞上递增，即在处有极小值． ∴当时在上没有极值点，当时在上有一个极值点 （Ⅱ）∵函数在处取得极值，由（Ⅰ）结论知， ∴，令，所以2221ln 1ln 2()x x x x g x x x x ⋅--=--='， 令()0g x '<可得在上递减，令()0g x '>可得在上递增， ∴，即211b e -≤. 考点：本小题主要考查函数的求导、函数的单调性、函数的极值最值和恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力.点评：导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题.对于题目条件较复杂，设问较多的题目审题时，应该细致严谨，将题目条件条目化，一一分析，细心推敲.对于设问较多的题目，一般前面的问题较简单，问题难度阶梯式上升，先由条件将前面的问题正确解答，然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件，注意问题之间的相互联系，使问题化难为易，层层解决.22.（10分）【解析】(1)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ. ① -------------------------2分将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.②--------------------5分（2）将代入②,得t2+5t+18=0. ------------------7分设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|·|MB|=|t1t2|=18.------------------10分。

高中数学学习材料唐玲出品2015-2016学年甘肃省天水市甘谷一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．（文）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件 B．充分但不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．若a＜b＜0下列不等式中不成立的是的是（）A．|a|＞|b| B．＞C．＞D．a2＞b23．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．4．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣35．若函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．[﹣3，+∞）C．（﹣4，+∞）D．[﹣4，+∞）6．定积分dx的值为（）A．9πB．3πC．D．7．不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，则实数a的范围为（）A．B．C．D．8．已知数列{a n}中，a3=2，a7=1，若{}为等差数列，则a19=（）A．0 B．C．D．29．已知函数f（x）=e1+|x|﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A． B．C．（﹣，）D．10．O是平面上一点，A，B，C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足+，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的（）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心11．关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．在等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，若{a n}前n项和S n=127，则n的值为．14．已知向量=（sinx，cosx），向量=（1，），则|+|的最大值为．15．两个等差数列{a n}，{b n}，=，则=．16．已知点P（x，y）的坐标满足条件，记的最大值为a，x2+（y+）2的最小值为b，则a+b=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．接下列不等式（Ⅰ）﹣3x2﹣5x+2＜0（Ⅱ）x2+（1﹣a）x﹣a＜0．18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，己知=（cosA，sinA），=（2cosA，﹣2cosA），•=﹣1．（Ⅰ）若a=2，c=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）求的值．=2a n+119．设数列{a n}满足a1=1，a n+1（1）求{a n}的通项公式；（2）记b n=log2（a n+1），求数列{b n•a n}的前n项和为S n．20．已知向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），函数f（x）=2•（x∈R）（1）求函数f（x）的最小正周期及x∈[0，]上的最值；（2）若关于x的方程f（x）=m在区间[0，]上只有一个实根，求实数m的取值范围．21．数列{a n}首项a1=1，前n项和S n与a n之间满足a n=（n≥2）（1）求证：数列{}是等差数列（2）求数列{a n}的通项公式（3）设存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k对于一切n∈N*都成立，求k 的最大值．22．已知f（x）=2ax﹣+lnx在x=1与x=处都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）设函数g（x）=x2﹣2mx+m，若对任意的x1∈[，2]，总存在x2∈[，2]，使得g （x1）≥f（x2）﹣lnx2，求实数m的取值范围．2015-2016学年甘肃省天水市甘谷一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．（文）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件 B．充分但不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】不等关系与不等式；充要条件．【分析】根据由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如a=﹣1时），从而得到结论．【解答】解：由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如a=﹣1时），故a＞1是＜1 的充分不必要条件，故选B．2．若a＜b＜0下列不等式中不成立的是的是（）A．|a|＞|b| B．＞C．＞D．a2＞b2【考点】不等关系与不等式．【分析】由a＜b＜0，可得a＜a﹣b＜0，可得．即可判断出．【解答】解：∵a＜b＜0，∴a＜a﹣b＜0，∴．因此B不正确．故选：B．3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．【考点】等差数列的性质．【分析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．4．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B5．若函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．[﹣3，+∞）C．（﹣4，+∞）D．[﹣4，+∞）【考点】复合函数的单调性．【分析】由复合函数为增函数，且外函数为增函数，则只需内函数在区间[2，+∞）上单调递增且其最小值大于0，由此列不等式组求解a的范围．【解答】解：令t=x2+ax﹣a﹣1，∵函数f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）在区间[2，+∞）上单调递增，又外层函数y=lgt为定义域内的增函数，∴需要内层函数t=x2+ax﹣a﹣1在区间[2，+∞）上单调递增，且其最小值大于0，即，解得：a＞﹣3．∴实数a的取值范围是（﹣3，+∞）．故选：A．6．定积分dx的值为（）A．9πB．3πC． D．【考点】定积分．【分析】本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与直线x=0，x=3所围成的图形的面积即可．【解答】解：由定积分的几何意义知是由曲线，直线x=0，x=3围成的封闭图形的面积，故=，故选C．7．不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，则实数a的范围为（）A．B．C．D．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据二次项的系数含有参数故分两种情况，再由解集是空集和二次方程的解法列出不等式分别求解，最后再把结果并在一起．【解答】解：根据题意需分两种情况：①当a2﹣4=0时，即a=±2，若a=2时，原不等式为4x﹣1≥0，解得x≥，故舍去，若a=﹣2时，原不等式为﹣1≥0，无解，符合题意；②当a2﹣4≠0时，即a≠±2，∵（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，∴，解得﹣2＜a＜，综上得，实数a的取值范围是[﹣2，）．故选：B．8．已知数列{a n}中，a3=2，a7=1，若{}为等差数列，则a19=（）A．0 B．C．D．2【考点】等差数列的性质．【分析】求出数列{}的公差，利用=+12d，即可求出a19．【解答】解：设数列{}的公差为d∵数列{a n}中，a3=2，a7=1，数列{}}是等差数列∴=+4d将a3=2，a7=1代入得：d=∴=+12d=1∴a19=0．故选：A．9．已知函数f（x）=e1+|x|﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A． B．C．（﹣，）D．【考点】函数单调性的性质．【分析】由已知可得，函数f（x）为偶函数，且在x≥0时为增函数，在x≤0时为减函数，若f（x）＞f（2x﹣1），则|x|＞|2x﹣1|，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）=e1+|x|﹣满足f（﹣x）=f（x），故函数f（x）为偶函数，当x≥0时，y=e1+|x|=e1+x为增函数，y=为减函数，故函数f（x）在x≥0时为增函数，在x≤0时为减函数，若f（x）＞f（2x﹣1），则|x|＞|2x﹣1|，即x2＞4x2﹣4x+1，即3x2﹣4x+1＜0，解得：x∈，故选：A．10．O是平面上一点，A，B，C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足+，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的（）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】设出BC的中点D，由题意可得==2λ，进而可得=2λ，可得A、P、D三点共线，进而可得答案．【解答】解：设BC中点为D，则AD为△ABC中BC边上的中线，由向量的运算法则可得，∵+，∴==2λ，∴=2λ∴A、P、D三点共线所以点P一定过△ABC的重心．故选C11．关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】由不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），利用根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，再利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），∴△=16a2﹣12a2=4a2＞0，又a＞0，可得a＞0．∴x1+x2=4a，，∴=4a+==，当且仅当a=时取等号．∴的最小值是．故选：C．12．已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．在等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，若{a n}前n项和S n=127，则n的值为7．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的前n项和公式可得，127=解方程可求n【解答】解：由等比数列的前n项和公式可得，127=解可得，n=7故答案为：714．已知向量=（sinx，cosx），向量=（1，），则|+|的最大值为3．【考点】正弦函数的定义域和值域；向量的模；两角和与差的正弦函数．【分析】利用向量=（sinx，cosx），向量=（1，），先求出+=（sinx+1，cosx+），再由向量的模的概念知|+|=，然后利用三角函数的性质求|+|的最大值．【解答】解：∵向量=（sinx，cosx），向量=（1，），∴+=（sinx+1，cosx+）∴|+|===，∴|+|max==3，故答案为：3．15．两个等差数列{a n}，{b n}，=，则=．【考点】等差数列的性质．【分析】由题意，==，利用条件，代入计算，即可得出结论．【解答】解：由题意，====．故答案为：．16．已知点P（x，y）的坐标满足条件，记的最大值为a，x2+（y+）2的最小值为b，则a+b=5．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据斜率和距离的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设k=，则k的几何意义是区域内的点到E（﹣2，0）的斜率，设z=x2+（y+）2，则z的几何意义为区域内的点到点F（0，﹣）的距离的平方，由图象知AF的斜率最大，由，得，即A（0，2），则k=，即a=1，C（1，0）到F到的距离最小，此时|CF|===2，故d=|CF|2=4，则a+b=1+4=5，故答案为：5．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．接下列不等式（Ⅰ）﹣3x2﹣5x+2＜0（Ⅱ）x2+（1﹣a）x﹣a＜0．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用因式分解即可求出，（Ⅱ）需要分类讨论．【解答】解：（Ⅰ）﹣3x2﹣5x+2＜0，∴3x2+5x﹣2＞0，∴（3x﹣1）（x+2）＞0，解的x＞，或x＜﹣2，∴不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）（Ⅱ）x2+（1﹣a）x﹣a＜0，∴（x+1）（x﹣a）＜0，若a＞﹣1时，解集为{x|﹣1＜x＜a}，若a=﹣1时，解集为∅，若a＜﹣1时，解集为{x|a＜x＜﹣1}．18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，己知=（cosA，sinA），=（2cosA，﹣2cosA），•=﹣1．（Ⅰ）若a=2，c=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）求的值．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量数量积为﹣1，利用平面向量数量积运算法则计算列出关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，确定出A的度数，由a与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，即可确定出△ABC的面积；（Ⅱ）原式利用正弦定理化简后，根据A的度数，得到B+C的度数，用C表示出B，代入关系式整理后约分即可得到结果．【解答】解：（Ⅰ）∵=（cosA，sinA），=（2cosA，﹣2cosA），•=﹣1．∴2cos2A﹣2sinAcosA=cos2A﹣sin2A+1=﹣1，即﹣2（sin2A﹣cos2A）=﹣2，∴sin（2A﹣）=1，∵A为三角形内角，∴2A﹣=，即A=，∵a=2，c=2，∴由正弦定理=，得：sinC===，∵C为三角形内角，∴C=，∴B=，=×2×2=2；则S△ABC（Ⅱ）∵===2R，即a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∴原式======2．19．设数列{a n }满足a 1=1，a n +1=2a n +1 （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =log 2（a n +1），求数列{b n •a n }的前n 项和为S n ． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）通过对a n +1=2a n +1变形可得（a n +1+1）=2（a n +1），进而可得{a n +1}是以2为公比、2为首项的等比数列，计算即得结论；（2）通过，可得b n •a n =n •2n ﹣n ，记A=1×21+2×22+…+n •2n ，利用错位相减法计算A ﹣2A 的值，进而计算可得结论． 【解答】解：（1）∵a n +1=2a n +1， ∴（a n +1+1）=2（a n +1） ∵a 1+1=2≠0，∴a n +1≠0，∴，∴{a n +1}是以2为公比、2为首项的等比数列，∴，∴；（2）∵，∴，∴，记A=1×21+2×22+…+n •2n ，∴2A=1×22+…+（n ﹣1）•2n +n •2n +1， ∴﹣A=A ﹣2A=2+22+…+2n ﹣n •2n +1 =﹣n •2n +1=（1﹣n ）•2n +1﹣2， ∴A=（n ﹣1）•2n +1+2，故．20．已知向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），函数f（x）=2•（x∈R）（1）求函数f（x）的最小正周期及x∈[0，]上的最值；（2）若关于x的方程f（x）=m在区间[0，]上只有一个实根，求实数m的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由平面向量数量积的运算化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+1，由周期公式可求周期，由时，可求2x﹣∈[﹣，]，从而由函数单调性可求最值．（2）由正弦函数的单调性知f（x）在[0，]上递增，在[，]上递减，又f（0）=0，f（）=，f（）=2，结合图象可知实数m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=2=2sinxcosx+2sin2x…=sin2x+1﹣cos2x…=sin（2x﹣）+1…所以最小正周期T=π…当时，2x﹣∈[﹣，]，…故当2x﹣=即x=时，f（x）取得最大值当2x﹣=﹣即x=0时，f（x）取得最小值所以函数f（x）的最大值为f（）=，最小值为f（0）=0…（少求一个最值扣一分，两个全错扣三分）（2）由正弦函数的单调性知f（x）在[0，]上递增，在[，]上递减…又f（0）=0，f（）=，f（）=2…要想方程f（x）=m在区间[0，]上只有一个实根，结合图象可知只需满足m=或0≤m≤2…（若有分析过程，但无图象，不扣分，若只画出了函数的大致图象，但没有得出答案，则扣两分）21．数列{a n }首项a 1=1，前n 项和S n 与a n 之间满足a n =（n ≥2）（1）求证：数列{}是等差数列（2）求数列{a n }的通项公式（3）设存在正数k ，使（1+S 1）（1+S 2）…（1+S n ）≥k 对于一切n ∈N *都成立，求k的最大值．【考点】数列与不等式的综合；等差关系的确定；数列递推式． 【分析】（1）由数列的性质对其进行变形整理出可以判断数列为等差数列的形式即可． （2）由（1）先求出S n ，进而可求求数列{a n }的通项公式；（3）先构造函数F （n ）判断其单调性，然后再由F （n ）在n ∈N *上递增，要使F （n ）≥k 恒成立，只需[F （n ）]min ≥k ，即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1∴S n ﹣S n ﹣1=，∴S n ﹣1﹣S n =2S n S n ﹣1 ∴（n ≥2），∴数列{|是以=1为首项，以2为公差的等差数列．（2）解：由（1）知=1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1，∴S n =，∴n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣∵a 1=S 1=1，∴a n =．（3）设F （n ）=，则=∴F （n ）在n ∈N *上递增，要使F （n ）≥k 恒成立，只需[F （n ）]min ≥k∵[F （n ）]min =F （1）=，∴0＜k ≤，k max =．22．已知f （x ）=2ax ﹣+lnx 在x=1与x=处都取得极值． （Ⅰ） 求a ，b 的值；（Ⅱ）设函数g （x ）=x 2﹣2mx +m ，若对任意的x 1∈[，2]，总存在x 2∈[，2]，使得g （x 1）≥f （x 2）﹣lnx 2，求实数m 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）求导数f ′（x ），由f （x ）在x=1与处都取得极值，得f'（1）=0，，得关于a ，b 的方程组，解出a ，b ，然后检验；（Ⅱ）对任意的，总存在，使得g （x 1）≥f （x 2）﹣lnx 2，等价于g （x ）min ≥[f （x ）﹣lnx ]min ，利用函数单调性易求[f （x ）﹣lnx ]min ，按照对称轴在区间[，2]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论可求得g （x ）min ，然后解不等式g （x ）min ≥[f （x ）﹣lnx ]min 可得答案；【解答】解：（Ⅰ）∵，∵在x=1与处都取得极值，∴f'（1）=0，，∴，解得，当时，，所以函数f （x ）在x=1与处都取得极值．∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函数在上递减，∴[f （x ）﹣g （x ）]min =﹣+=﹣，又函数g （x ）=x 2﹣2mx +m 图象的对称轴是x=m ，（1）当时：，依题意有成立，∴；（2）当时：，∴，即6m 2﹣6m ﹣7≤0，解得：，又∵，∴；（3）当m ＞2时，g （x ）min =g （2）=4﹣3m ，∴，解得，又m＞2，∴m∈ϕ；综上：，所以，实数m的取值范围为．2016年10月24日。

甘谷一中2017届高三第四次实战演练数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1.已知集合{1,2,3}M =，{|(1)(2)0,}N x x x x Z =+-<∈，则MN =（ ）A ．{0,1,2,3}B ．{1,2}C ．{1}D ．{1,0,1,2,3}- 2. 复数11iz i-=+（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i - 3．“p 或q 是假命题”是“非q 为真命题”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =,2cos 3A =,则b=（ ）C.2D.3 5．下列大小关系正确的是（ ）A ．30.440.43log 3<<B ．30.44log 30.43<<C ．30.440.4log 33<<D ．0.434log 330.4<<6．一个空间几何体的正（主）视图、侧（左）视图均为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于( ) A ．22+B ．23+C ．24+D ．67．为了得到函数)32sin(21π-=x y 的图象，只需将函数x x y cos sin =的图象( )A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位8.道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄灯时，如已超过停车线须继续行进，某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯48秒，红灯47秒，黄灯5秒，小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口不等待的概率为（ ）A ．0.95B ．0.05 C. 0.47 D ．0.48 9. 执行如图程序语句，输入20172cos3a π=， 20172tan4b π=，则输出y 的值是（ ） A ．3 B ．4 C. 6 D ．-1 10.函数()cos y x x x ππ=-≤≤的图象可能是（ ）11．若双曲线12222=-b y a x 与椭圆12222=+by m x （0,0>>>b m a ）的离心率之积大于1，则以m b a ,,为边长的三角形一定是（ ）A ．等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形12．设定义在R 上的函数1,(2),2()1,(2)xx f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩． 若关于x 的方程2()()0f x b f x c++=有3个不同的实数解1x ，2x ，3x ，则123x x x ++等于（ ）A ． 3B ．6C ．1b --D ．c二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．)13．若1,,230x x y R x y y x ≥⎧⎪∈-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为__________.14. 已知向量(5,)a m =，(2,2)b =-且()a b b +⊥，则m =_______.15. 已知三棱锥A BCD -中， AB ⊥平面BCD ，,1,BC CD BC CD AB ⊥==则该三棱锥外接球的体积为__________．16．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是_______________．三、解答题（本大题共6小题，共70分。

2020—2021学年第一学期高三第四次检测考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足z (1+2i )=i ，则复数z 在复平面内对应点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 已知集合{}0,1,2,3A =，{}|02B x R x =∈≤≤，则AB 的子集个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 83. “18a =”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.若正数,m n 满足12=+n m ，则11m n+的最小值为 A ．223+ B．3+C．2+D ．35.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是A ． 1-B ． 1C ． 10D ． 126.函数()()2e 2xf x x x x =--∈R 的图像大致为（ ）7．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为51- 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）A ．(35)π-B ．(51)π-C ．(51)π+D ．(52)π-8.若函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图像如图所示，则函数()f x 图像的一条对称轴是（ ）A. 56x π=-B. 1112x π=-C. 1112x π=D. 116x π=9. 设向量 ，11,22a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ） A. //a bB. a b ⊥C. a 与b 的夹角为34π D. b 在a 方向上的投影为22）（1,0=b10 已知正项数列{}n a 满足：11a =，2212n n a a +-=，则使7n a <成立的n 的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 24D. 2511. 已知函数()f x 在定义域上的值不全为零，若函数()1f x +的图象关于()1,0对称，函数()3f x +的图象关于直线1x =对称，则下列式子中错误的是（ ）A. ()()f x f x -=B. (2)(6)f x f x -=+C. (2)(2)0f x f x -++--=D. (3)(3)0f x f x ++-=12. 若函数()sin xxf x e e x x -=-+-，则满足2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立的实数a 的取值范围为（ ）A. 12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B. 1ln 2,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C. 7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设{a n }是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{a n }的通项公式为__________． 14.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===， 则ABC △的面积为_________．15. 在边长为2的正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 交BD 于F . 若23AF x AB y AD =+，则x y +=________.16. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1b =，()1sin cos sin 2B BC C =+，则当角B 取最大值时，ABC 的周长为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.（12分）在△ABC 中，a =3，b −c =2，21cosB -=． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B –C ）的值．18.（12分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1=−7，S 3=−15．（1）求{a n }的通项公式； （2）求S n ，并求S n 的最小值．19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和nS ，满足3=1+2n nS a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{(21)}n n a -的前n 项和n S ．20.（12分）在①()()()a b a b a c c +-=-，②22cos a c b C -=cos )sin a b C c B -=三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足__________，b =（1）若4a c +=，求ABC ∆的面积； （2）求a c +的取值范围.21.（12分）已知函数()ln ()af x x x a R x=++∈.（1）若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，求a 的取值范围；（2）若函数2()()(1)g x xf x a x x =-+-有两个不同的极值点，记作1x ，2x ，且12x x <，证明：2312x x e >.22.（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为22x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； （2）若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求MN ．2020—2021学年第一学期高三第四次检测考试数学答案（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．解析：D 2. 【答案】D 【分析】先求出AB 集合元素个数，再根据求子集的公式求得子集个数．【详解】因为集合{}0,1,2,3A =，{}=02,B x x x R ≤≤∈ 所以{}0,1,2AB =所以子集个数为328= 个 故选：D 3.解析：A 4.【答案】A【解析】由题意，因为12=+n m ， 则11112()(2)333n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=+， 的当且仅当2n m m n=，即2n m =时等号成立， 所以11m n+的最小值为223+，故选A. 5【答案】C【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。