【全国百强校】甘肃省静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题

2019年甘肃省高三（上）第一次段测数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）2．设i为虚数单位，复数z1=1﹣i，z2=2i﹣1，则复数z1•z2在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列命题，其中说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x ﹣4≠0”B．“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m ≠0或n≠0”4．如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…a7=（）A．14 B．21 C．28 D．355．已知向量||=3，||=2，=m+n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为（）A．B．C．6 D．46．已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度7．执行如图所示的程序框图，输出的T=（）A．29 B．44 C．52 D．628．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12πB．8πC．D．9．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）A．B．C．D．10．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．B． C． D．11．已知直线与抛物线y2=4x交于A，B两点（A在x轴上方），与x轴交于F点，，则λ﹣μ=（）A．B． C．D．12．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p，q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[15，+∞）B．[6，+∞）C．（﹣∞，15]D．（﹣∞，6]二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．化简的结果是．14．实数x，y满足，则的最小值为．15．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是（填序号）16．设直线l为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=4，=2，则p=．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17．设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．18．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X表示身高在180cm以上的男生人数，求随机变量X的分布列和数学期望EX．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（，1），且焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=k（x+1）与椭圆C相交于不同的两点A、B，定点P的坐标为（，0），证明：•+是常数．21．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]22．已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≤6的解集A；（2）若m，n∈A，试证：|m﹣n|≤．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）【考点】1E：交集及其运算；33：函数的定义域及其求法．【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A和B，即可求得A∩B．【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y=的定义域[﹣2，2]，由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1），则A∩B=[﹣2，1），故选D．2．设i为虚数单位，复数z1=1﹣i，z2=2i﹣1，则复数z1•z2在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z1•z2=（1﹣i）（2i﹣1）=1+3i在复平面上对应的点（1，3）在第一象限．故选：A．3．下列命题，其中说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x ﹣4≠0”B．“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m ≠0或n≠0”【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0；“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件；命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题是假命题；命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”．【解答】解：命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”，故A正确；∵“x=4”⇒“x2﹣3x﹣4=0”，“x2﹣3x﹣4=0”⇒“x=4，或x=﹣1”，∴“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件，故B正确；命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为：∵若方程x2+x﹣m=0有实根，则△=1+4m≥0，解得m，∴“若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0”，是假命题，故C不正确；命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，故D正确．故选C．4．如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由等差数列的性质和题意求出a4的值，再由等差数列的性质化简所求的式子，把a4代入求值即可．【解答】解：由等差数列的性质得，3a4=a3+a4+a5=12，解得a4=4，所以a1+a2+…a7=7a4=28，故选：C．5．已知向量||=3，||=2，=m+n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为（）A．B．C．6 D．4【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，先求得的值，再根据=0求得实数的值．【解答】解：∵向量||=3，||=2，=m+n，若与的夹角为60°，∴•=3•2•cos60°=3，∴=（﹣）•（m+n）=（m﹣n）•﹣m+n•=3（m﹣n）﹣9m+4n=﹣6m+n=0，∴实数=，故选：A．6．已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期函数的周期计算公式算得ω=2．接下来将f（x）的表达式转化成与g（x）同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．【解答】解：由题知ω==2，所以f（x）=sin（2x+）=cos[﹣（2x+）]=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），故选：C．7．执行如图所示的程序框图，输出的T=（）A．29 B．44 C．52 D．62【考点】E7：循环结构．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T，n的值，当S=12，n=4，T=29时，满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．【解答】解：执行程序框图，有S=3，n=1，T=2，不满足条件T＞2S，S=6，n=2，T=8不满足条件T＞2S，S=9，n=3，T=17不满足条件T＞2S，S=12，n=4，T=29满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．故选：A．8．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12πB．8πC．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图得该几何体的上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱，圆锥的高为2，底面半径是2，圆柱的高为4，底面半径为1，由此能求出这个几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图得该几何体的上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱，圆锥的高为2，底面半径是2，圆柱的高为4，底面半径为1，∴这个几何体的体积：V=×2=．故选：D．9．如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）A．B．C．D．【考点】67：定积分；CF：几何概型．【分析】先由积分的知识求解阴影部分的面积，然后可求试验的区域所对应的矩形的面积，由几何概率的求解公式代入可求【解答】解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S=2×=1+=1﹣ln=1+ln2∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为1+ln2，矩形的面积为2由集合概率的求解可得P=故选C10．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．B． C． D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意确定正三棱锥的顶点到底面的距离为1，求出正三棱柱的棱长，求出底面面积，然后可得体积．【解答】解：由题意易知正三棱锥的顶点到底面的距离为1．∵底面是正三角形且球半径为1．∴底面边长为，∴底面积为，∴V=××1=．故选C．11．已知直线与抛物线y2=4x交于A，B两点（A在x轴上方），与x轴交于F点，，则λ﹣μ=（）A．B． C．D．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】直线过抛物线的焦点F（1，0），把直线方程代入抛物线的方程解得A、B 的坐标，由，得到3λ+μ=1，2λ﹣μ=0，解方程从而求得λ﹣μ的值．【解答】解：直线过抛物线的焦点F（1，0），把直线方程代入抛物线的方程y2=4x，解得，或，不妨设A（3，2）、B （，﹣）．∵，∴（1，0）=（3λ，2λ）+（μ，﹣μ）=（3λ+μ，2λ﹣μ ）．∴3λ+μ=1，2λ﹣μ=0，∴λ=，μ=，则λ﹣μ=﹣．故选：B．12．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，在区间（0，1）内任取两个不相等的实数p，q，若不等式＞1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[15，+∞）B．[6，+∞）C．（﹣∞，15]D．（﹣∞，6]【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由不等式进行转化判断函数的单调性，求函数的导数，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：因为p≠q，不妨设p＞q，由于，所以f（p+1）﹣f（q+1）＞p﹣q，得[f（p+1）﹣（p+1）]﹣[f（q+1）﹣（q+1）]＞0，因为p＞q，所以p+1＞q+1，所以g（x）=f（x+1）﹣（x+1）在（0，1）内是增函数，所以g'（x）＞0在（0，1）内恒成立，即恒成立，所以a＞（2x+3）（x+2）的最大值，因为x∈（0，1）时（2x+3）（x+2）＜15，所以实数a的取值范围为[15，+∞）．故选：A．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．化简的结果是1．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，诱导公式，把要求的式子化为==，从而求得结果．【解答】解：=====1，故答案为：1．14．实数x，y满足，则的最小值为．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（4，0）连线的斜率求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），的几何意义为可行域内的动点与定点P（4，0）连线的斜率，由图可知，的最小值为．故答案为：．15．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题是②③④（填序号）【考点】2K：命题的真假判断与应用；LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故答案为：②③④16．设直线l为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=4，=2，则p=2．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】分别过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，在直角三角形ADC中求线段PF长度即可得p值，进而可得方程．【解答】解：如图过A作AD垂直于抛物线的准线，垂足为D，过B作BE垂直于抛物线的准线，垂足为E，P为准线与x轴的焦点，由抛物线的定义，|BF|=|BE|，|AF|=|AD|=4，∵|BC|=2|BF|，∴|BC|=2|BE|，∴∠DCA=30°∴|AC|=2|AD|=8，∴|CF|=8﹣4=4，∴|PF|=|CF|═2，即p=|PF|=2，故答案为：2三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17．设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣，]时g（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）=sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣），又f（）=sin（ω﹣）=0，∴ω﹣=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x﹣），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+﹣）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x=﹣时，g（x）取得最小值是﹣×=﹣．18．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X表示身高在180cm以上的男生人数，求随机变量X的分布列和数学期望EX．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据题意得：（0.005×2+a+0.020×2+0.040）×10=1．解得a．（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为，可得．（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180cm以上的概率约为．由已知得，随机变量X的可能取值为0，1，2，3．X～B，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）根据题意得：（0.005×2+a+0.020×2+0.040）×10=1．解得a=0.010．…（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为，则=×0.05+155×0.1+×0.2+175×0.4=17+15.5+70+70=172.5．所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5cm．…（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180cm以上的概率约为．由已知得，随机变量X的可能取值为0，1，2，3．X～B，所以；；；．随机变量X的分布列为因为X～B，所以．…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由线面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；（Ⅱ）取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），进一步求出向量的坐标，再求出平面PCD的法向量，设PB与平面PCD的夹角为θ，由求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由可得M（0，1﹣λ，λ），，由BM∥平面PCD，可得，由此列式求得当时，M点即为所求．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，且PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB；（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，∵CD=AC=，∴CO⊥AD，又∵PA=PD，∴PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），则，，设为平面PCD的法向量，则由，得，则．设PB与平面PCD的夹角为θ，则=；（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，M（0，y1，z1），由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，则有，可得M（0，1﹣λ，λ），∴，∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，∴，即，解得．综上，存在点M，即当时，M点即为所求．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（，1），且焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=k（x+1）与椭圆C相交于不同的两点A、B，定点P的坐标为（，0），证明：•+是常数．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率公式求得a2=b2+2，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）将直线代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得•+是常数．【解答】解：（1）由题意可知：2c=2，则c=，则a2=b2+2，将（，1），代入椭圆方程可得：，解得：b2=2，则a2=4，∴椭圆的标准方程：；（2）证明：由，整理得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，由=（x1﹣，y1），=（x2﹣，y2），•+=（x1﹣）（x2﹣）+y1y2+，=（x1﹣）（x2﹣）+k2（x1+1）（x1+1）+，=（1+k2）x1x2+（k2﹣）（x1+x2）++k2+，=（1+k2）×+（k2﹣）（﹣）++k2+，=，∴•+是常数．21．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由f′（x）=1﹣=，x＞0．对a分类讨论即可得出．（2）不等式f（x）≥0恒成立，⇔f（x）min≥0．利用（1）的结论即可得出．【解答】解：（1）由f′（x）=1﹣=，x＞0．①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数．②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，此时函数单调递减；当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数单调递增．（2）由（1）可得：①当a≤0时，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数．又x→0时，f（x）→﹣∞，舍去．②当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，即最小值，因此a﹣alna≥0，化为：lna≤0，解得0＜a≤1．综上可得：a的取值范围是（0，1]．[选修4-5：不等式选讲]22．已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≤6的解集A；（2）若m，n∈A，试证：|m﹣n|≤．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，即可求不等式f（x）≤6的解集A；（2）利用绝对值不等式，即可证明结论．【解答】（1）解：不等式|x+2|+|x﹣2|≤6可以转化为：或或，解得﹣3≤x≤3，即不等式的解集A={x|﹣3≤x≤3}．（2）证明：因为|m﹣n|≤|m|+|n|=|m|+|n|，又因为m，n∈A，所以|m|≤3，|n|≤3，所以|m|+|n|≤×3+×3=，当且仅当m=﹣n=±3时，等号成立，即|m﹣n|≤，得证．。

甘肃静宁县第一中学2019届高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x |-1＜x ＜1}，B ={x |x 2-x -2＜0}，则（∁R A ）∩B =（ ）A. (−1,0]B. [−1,2)C. [1,2)D. (1,2]2. 已知命题p ：“∀a ＞0，有e a ≥1成立”，则￢p 为（ ）A. ∃a ≤0，有e a ≤1成立B. ∃a ≤0，有e a ≥1成立C. ∃a >0，有e a <1成立D. ∃a >0，有e a ≤1成立3. 已知函数f(x)={3x (x ≤0)log 2x(x>0)，则f[f(14)]的值是（ ） A. 9 B. 19 C. −19 D. −94. 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A. p ∧qB. ￢p ∧￢qC. ￢p ∧qD. p ∧￢q5. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ）A. y =x 3B. y =cosxC. y =1x 2D. y =ln|x| 6. 函数f （x ）=-1x +log 2x 的一个零点落在下列哪个区间（ ）A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)7. 已知a =log 23，b =log 123，c =3−12，则（ ） A. c >b >aB. c >a >bC. a >b >cD. a >c >b 8. 曲线y =x x−2在点（1，-1）处的切线方程为（ ）A. y =x −3B. y =−2x +1C. y =2x −4D. y =−2x −3 9. 函数y =x 33x −1的图象大致是（ ）A. B.C. D.10. 若函数y =x 2-3x +4的定义域为[0，m ]，值域为[74，4]，则m 的取值范围是（ ） A. (0,4] B. [32,4] C. [32,3]D. [32,+∞)11.若函数f(x)=−12(x−2)2+alnx在（1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A. .[−1,+∞)B. (−∞,−1]C. (1,+∞)D. .(−∞,1]12.定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2；当-1≤x＜3时，f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）=（）A. 336B. 337C. 338D. 339二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=ln（x2-2x-8）的单调递减区间是______．14.已知a＞0且a≠1，函数y=log a(2x−3)+√2的图象恒过定点P，若P在幂函数f（x）的图象上，则f（8）=______．15.已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，若f（x-2）＞f（3），则x的取值范围是______．16.（理科）若函数f（x）满足f(x)+1=1f(x+1)，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（-1，1]上，g（x）=f（x）-mx-m有两个零点，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（1）求值(√1212018−5)0+2−2⋅(214)−12−log43⋅log3√8；（2）函数f（x）=x2-m是定义在[-3-m，m2-m]上的奇函数，求f（m）的值．18.设f（x）=x3-x．（1）求曲线在点（1，0）处的切线方程；（2）设x∈[-1，1]，求f（x）最大值．19.已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2-a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2-a=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．20.已知函数f（x）=2x的定义域是[0，3]，设g（x）=f（2x）-f（x+2）．（1）求g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最大值和最小值．21.已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的取值范围．22.已知函数f（x）=2a ln x-x2+1．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若a＞0，求函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|-1＜x＜1}，B={x|x2-x-2＜0}={x|-1＜x＜2}，∴∁R A={x|x≤-1或x≥1}，（∁R A）∩B={x|1≤x＜2}=[1，2）．故选：C．先求出集合A，B，从而求出∁R A，进而能求出（∁R A）∩B．本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：全称命题的否定是特称命题，则￢p：∃a＞0，有e a＜1成立，故选：C．根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.【答案】B【解析】解：=f（log2）=f（log22-2）=f（-2）=3-2=，故选：B．因为，所以f（）=log2=log22-2=-2≤0，f（-2）=3-2=，故本题得解．本题的考点是分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解．4.【答案】D【解析】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”；但是“x＞2”能推出“x＞1”所以：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以p∧￢q为真命题；故选：D．由命题p，找到x的范围是x∈R，判断p为真命题．而q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答．判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．5.【答案】D【解析】解：A．函数y=x3为奇函数，在（0，+∞）上单调递增，所以A不合适．B．函数y=cosx为偶数，但在（0，+∞）上不单调，所以B不合适．C．函数y=为偶函数，在（0，+∞）上单调递减，所以C不合适．D．函数y=ln|x|为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，所以D合适．故选：D．分别判断每个函数的奇偶性和单调性．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见基本函数的奇偶性和单调性．6.【答案】B【解析】解：根据函数的实根存在定理得到f（1）•f（2）＜0．故选：B．根据函数的实根存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，得到结果．本题考查函数零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．7.【答案】D【解析】解：由对数函数y=log2x的图象与性质，得log23＞log22=1，∴a＞1；由对数函数y=x的图象与性质，得3＜1=0，∴b＜0；又∵c==，∴0＜c＜1；∴a＞c＞b．故选：D．利用对数函数的图象与性质，得a＞1，b＜0；利用幂的运算法则，得出0＜c＜1；即可判定a、b、c的大小．本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，解题时应利用对数函数的图象与性质以及1与0等数值比较大小，是基础题．8.【答案】B【解析】解：对于函数y=，∵y′=，∴y在点（1，-1）处的导数为-2，故y=在点（1，-1）处的切线斜率为-2，故y=在点（1，-1）处的切线方程为y+1=-2（x-1），即y=-2x+1，故选：B．先求得y在点（1，-1）处的导数为-2，利用点斜式求得函数y在点（1，-1）处的切线方程．本题主要考查函数在某一点的导数的意义，求曲线在某一点切线的方程，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．当x→-∞时，y→+∞，排除B，当x→+∞时，x3＜3x-1，此时y→0，排除D，故选：C．根据函数的定义域，取值范围和取值符号，进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别，根据函数的性质结合极限思想是函数图象的基本方法．10.【答案】C【解析】解：y=x2-3x+4=x2-3x++=（x-）2+，定义域为〔0，m〕那么在x=0时函数值最大，即y最大=4，又值域为〔，4〕，根据二次函数的对称性，≤m≤3，故选：C．先配方利用定义域值域，分析确定m的范围．本题考查函数的定义域值域的求法，是一道基础题．11.【答案】B【解析】解：函数，x∈（1，+∞），可得f′（x）=x-2+，函数在（1，+∞）上是减函数，可得-x+2+＜0，在x∈（1，+∞）上恒成立，即a＜x2-2x在x∈（1，+∞）上恒成立，函数g（x）=x2-2x的对称轴为：x=1，在x∈（1，+∞）上是增函数，函数的最小值为：g（1）=1．可得a≤1．实数a的取值范围是：（-∞，1]．故选：B．求出函数的导函数，利用导函数的符号，得到a的不等式，然后求解实数a的取值范围．本题考查函数的导数的综合应用，函数恒成立，考查计算能力以及转化思想的应用．12.【答案】C【解析】解：∵f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2当-1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（-3）=-1，f（4）=f（-2）=0，f（5）=f（-1）=-1，f（6）=f（0）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1，∵f（x+6）=f（x），∴f（x）的周期为6，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）=336+f（1）+f（2）+f（3）=338．故选：C．根据函数的周期性，将函数值进行转化即可．本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性，进行转化是解决本题的关键．13.【答案】（-∞，-2）【解析】解：对于函数f（x）=ln（x2-2x-8），有x2-2x-8＞0，求得x＜-2，或x＞4，故函数的定义域为{x|x＜-2，或x＞4}，本题即求y=x2-2x-8在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得y=x2-2x-8在定义域内的减区间为（-∞，-2），故答案为：（-∞，-2）．由题意利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质可得，本题即求y=x2-2x-8在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于基础题．14.【答案】2√2【解析】解：∵log a1=0，∴2x-3=1，即x=2时，y=，∴点P的坐标是P（2，）．由题意令y=f（x）=x a，由于图象过点（2，），得=2a，a=∴y=f（x）=，f（8）=故答案为：2．由log a1=0，知2x-3=1，即x=2时，y=，由此能求出点P的坐标．用待定系数法设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，然后求解函数值．本题考查对数函数的性质和特殊点，解题时要认真审题，熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式．仔细解答，避免出错，15.【答案】（-1，5）【解析】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，∴不等式f（x-2）＞f（3）等价为f（|x-2|）＞f（3），则|x-2|＜3，即-3＜x-2＜3，则-1＜x＜5，即不等式的解集为（-1，5）．故答案为（-1，5）．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化是解决本题的关键．]16.【答案】(0，12【解析】解：①x∈[0，1]时，f（x）=x，g（x）=x-mx-m，要使g（x）有零点，则必须有g（0）g （1）＜0，即m（2m-1）＜0，∴0＜m＜，若m=0，g（x）=x，有一个零点0；若m=，g（x）=，有一个零点1，∴m∈[0，]②x∈（-1，0）时，x+1∈（0，1），f（x+1）=x+1，f（x）=，g（x）=-mx-m，g（0）=-mg'（x）=m=0，g（x）单调减，g（0）=0，此时无零点若m＞0，则g′（x）＜0恒成立，x∈（-1，0）时，x→-1，g（x）→+∞，x→0，g（x）=-m ＜0∴此时在（-1，0 ）上必然有一个零点若m＜0，令g′（x）=0，考虑到x∈（-1，0 ），此时没有零点，综上所述：0＜m故答案为：确定分段函数的解析式，分别研究它们的零点，即可得到结论．本题考查分段函数的解析式，考查函数的零点，解题的关键是确定分段函数的解析式．17.【答案】解：（1）根据题意，(√1212018−5)0+2−2⋅(214)−12−log43⋅log3√8=1+14×23−1 2log23×32log32=1+16−34=512，（2）根据题意，函数f（x）=x2-m是定义在[-3-m，m2-m]上的奇函数，则有m2-m=3+m，解可得：m=3或m=-1．当m=3，时f（x）=x-1在x=0无意义，舍当m=-1时f（x）=x3符合，则f（x）=x-1，故f（m）=f（-1）=（-1）3=-1．【解析】（1）根据题意，由指数幂的运算性质分析，计算即可得答案；（2）根据题意，由奇函数的性质可得m2-m=3+m，解可得m的值，验证函数f（x）是否为奇函数可得m 的值，即可得函数的解析式，将m 的值代入解析式分析可得答案．本题考查幂函数的性质以及应用，（2）中关键是求出m 的值，属于基础题． 18.【答案】解：（1）f （x ）=x 3-x ，f ′（x ）=3x 2-1，切线斜率f ′（1）=2，∴切线方程y =2（x -1），即2x -y -2=0；（2）令f ′（x ）=3x 2-1=0，x =±√33，列表：故x =-√33，f （x ）max =2√39． 【解析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程．（2）求出导函数，得到极值点，判断导函数的符号，利用函数的单调性求解函数的极值与端点值，即可得到函数的最大值．本题考查了导数的综合应用及函数的最值问题，属于中档题． 19.【答案】解：（1）∵命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2-a ≥0”，令f （x ）=x 2-a ，根据题意，只要x ∈[1，2]时，f （x ）min ≥0即可， 也就是1-a ≥0，解得a ≤1，∴实数a 的取值范围是（-∞，1]；（2）由（1）可知，当命题p 为真命题时，a ≤1，命题q 为真命题时，△=4a 2-4（2-a ）≥0，解得a ≤-2或a ≥1． ∵命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题， ∴命题p 与命题q 必然一真一假，当命题p 为真，命题q 为假时，{−2<a <1a≤1⇒−2＜a ＜1， 当命题p 为假，命题q 为真时，{a ≤−2或a ≥1a>1⇒a ＞1， 综上：a ＞1或-2＜a ＜1． 【解析】（1）由于命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2-a≥0”，令f （x ）=x 2-a ，只要x ∈[1，2]时，f （x ）min ≥0即可；（2）由（1）可知，当命题p 为真命题时，a≤1，命题q 为真命题时，△=4a 2-4（2-a ）≥0，解得a 的取值范围．由于命题“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题，可知：命题p与命题q必然一真一假，解出即可．本题考查了简易逻辑的有关知识、函数的性质、方程的解、不等式组等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵f（x）=2x，∴g（x）=f（2x）-f（x+2）=22x-2x+2．（3'）因为f（x）的定义域是[0，3]，所以{0≤x+2≤30≤2x≤3，解之得0≤x≤1．于是g（x）的定义域为{x|0≤x≤1}．（或写成[0，1]，否则扣1分）（6'）（2）设g（x）=（2x）2-4×2x=（2x-2）2-4．（8'）∵x∈[0，1]，即2x∈[1，2]，∴当2x=2即x=1时，g（x）取得最小值-4；（10'）当2x=1即x=0时，g（x）取得最大值-3．（12'）【解析】（1）由f（x）=2x，知g（x）=f（2x）-f（x+2）=22x-2x+2．因为f（x）的定义域是[0，3]，所以，由此能求出g（x）的定义域．（2）设g（x）=（2x）2-4×2x=（2x-2）2-4．由2x∈[1，2]，能求出函数g（x）的最大值和最小值．本题考查指数函数的综合题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．21.【答案】解：（1）f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），∴2x2+bx+c＜0的解集是（0，5），∴0和5是方程2x2+bx+c=0的两个根，由韦达定理知，−b2=5，c2=0，解得b=-10，c=0，∴f（x）=2x2-10x；（2）f（x）+t≤2恒成立等价于2x2-10x+t-2≤0恒成立，∴2x2-10x+t-2的最大值小于或等于0．设g（x）=2x2-10x+t-2≤0，则由二次函数的图象可知，g（x）=2x2-10x+t-2在区间[-1，1]为减函数，∴g（x）max=g（-1）=10+t≤0，解得t≤-10．【解析】（1）由题意可得，0和5是方程2x2+bx+c=0的两个根，然后利用根与系数的关系列式求得b，c的最值，则f（x）的解析式可求；（2）把问题转化为2x2-10x+t-2≤0在x∈[-1，1]上恒成立，即g（x）=2x2-10x+t-2在[-1，1]上的最大值小于等于0恒成立，由二次函数的图象可知，g（x）=2x2-10x+t-2在区间[-1，1]为减函数，求其最大值后利用最大值小于等于0列关于t的不等式求解．本题考查恒成立问题，考查数学转化思想方法，训练了利用函数单调性求二次函数的最值，是中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=2ln x-x2+1，f′(x)=2x −2x=−2(x2−1)x，x＞0．令f′(x)=−2(x2−1)x＜0，解得：x＞1或x＜-1，因为x＞0，所以x＞1，所以函数f（x）的单调递减区间是（1，+∞）．（Ⅱ）f′(x)=2ax −2x=−2(x2−a)x，x＞0．令f'（x）=0，由a＞0，解得x1=√a，x2=−√a（舍去）．当√a≤1，即0＜a≤1时，在区间[1，+∞）上f'（x）≤0，函数f（x）是减函数．所以函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（1）=0；当√a＞综上所述：当0＜a≤1时，函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f（1）=0；当a＞1时，函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值为f(√a)=alna−a+1．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。

第1页，共18页2019年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）副标题题号题号 一 二 三 总分总分 得分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）分） 1.=（ ） A.B.C.D.2. 已知全集U =R ，集合A ={x |-|-3≤3≤x ≤1}，B ={x |x ＜-2，或x ＞2}，那么集合A ∩（∁U B ）=（ ）A. B. C.D. ，或，或3. 已知平面向量已知平面向量 ， 的夹角为， =（0，-1），| |=2，则|2 +|=（ ） A. 4 B. 2C. D. 4. 抛物线y 2=8x 的焦点到双曲线-x 2=1的渐近线的距离是（的渐近线的距离是（ ）A.B.C.D.5. 已知函数f （x ）的图象如图所示，则f （x ）的解析式可能是（式可能是（ ）A.B. C.D.6. 若函数f （x ）=a sin x +cos x 在[- ，]为增函数，则实数a 的取值范围是（的取值范围是（ ） A.B.C. D.7. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A.B.C.D.8. 《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（器械，则不同的分配方法有（ ）A.B.C.D.9. 在△ABC 中，A =120°，BC =14，AB =10，则△ABC 的面积为（的面积为（ ）A. 15B.C. 40D. 10. 四棱锥P -ABCD 的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形ABCD 的边长为4，则四棱锥P -ABCD 的体积最大值为（的体积最大值为（ ）A.B.C.D.11. 直线l 过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点，且交抛物线于A ，B 两点，交其准线于C点，已知 ，，则p =（ ） A. 2B.C.D. 412. 已知函数f '（x ）是函数f （x ）的导函数，，对任意实数都有f （x ）-f '（x ）＞0，则不等式f （x ）＜e x -2的解集为（的解集为（ ）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）分）13. 若实数x ，y 满足约束条件满足约束条件，则z =x -y 的最大值是______．14. 已知α，β均为锐角，cosα=，tan （α-β）=-，则cosβ=______．15. 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面为正三角形，AB =2，D 是AB 的中点，的中点，异面直线异面直线AC 1与CD 所成角的余弦值是 ，则三棱柱ABC -A 1B 1C 1的表面积等于______． 16. 已知定义在R 上的偶函数f （x ），满足f （x +4）=f （x ）+f （2），且在区间[0，2]上是增函数，①函数f （x ）的一个周期为4；②直线x =-4是函数f （x ）图象的一条对称轴；③函数f （x ）在[-6，-5）上单调递增，在[-5，-4）上单调递减；）上单调递减； ④函数f （x ）在[0，100]内有25个零点；其中正确的命题序号是______（注：把你认为正确的命题序号都填上）（注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）分） 17. 已知等差数列{a n }满足a 3-a 2=3，a 2+a 4=14．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；的通项公式；（Ⅱ）设S n 是等比数列{b n }的前n 项和，若b 2=a 2，b 4=a 6，求S 7．18. 为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：cm ），经统计其增长长度均在区间[19，31]内，将其按[19，21），[21，23），[23，25），[25，27），[27，29），[29，31]分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为27cm 及以上的产品为优质产品．（Ⅰ）求图中a 的值；的值；（Ⅱ）已知这120件产品来自于A ，B 两个试验区，部分数据如下列联表：两个试验区，部分数据如下列联表：A 试验区B 试验区 合计优质产品 20非优质产品60合计将联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质产品与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由；下面的临界值表仅供参考：P （K 2≥k ） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：，其中n =a +b +c +d ）（Ⅲ）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数X 的分布列和数学期望EX ．19. 如图，四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，∠ADC =120°，PD =AD =AB =2，CD =4，点M 为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BM ∥平面PAD ； （Ⅱ）求二面角A -BM -C 的余弦值．的余弦值．20. 已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且经过点M （， ）． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）与x 轴不垂直的直线l 经过N （0，），且与椭圆C 交于A ，B 两点，若坐标原点O 在以AB 为直径的圆内，求直线l 斜率的取值范围．21. 已知函数f （x ）=x 2-x lnx ．（Ⅰ）求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）若 + -＜0在（1，+∞）上恒成立，求实数k 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为的参数方程为（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C 2的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）求C 1和C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）过点P （3，2）作直线C 1的垂线交曲线C 2于M ，N 两点，求|PM |•|PN |．23. 已知函数f （x ）=|x -2|（Ⅰ）解不等式；f （x ）+f （2x +1）≥6；（Ⅱ）已知a +b =1（a ，b ＞0）．且对于∀x ∈R ，f （x -m ）-f （-x ）≤恒成立，求实数m 的取值范围．的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：=．故选：A ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 2.【答案】C【解析】解：∁U B={x|-B={x|-2≤x≤2}2≤x≤2}； ∴A∩（∁U B ）={x|-={x|-2≤x≤1}2≤x≤1}． 故选：C ．进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集和补集的运算． 3.【答案】B【解析】解：由题意，∵=（0，-1），=1．∴|2+|2=（）2=42+2+4=4•1+4+4=8+4•cos=8+4•1•2•（-）=4． ∴|2+|=2．故选：B ．本题可将模进行平方一下，然后根据向量性质计算，最后得出模平方的值，最终算出结果．本题主要根据向量性质进行计算，属基础题． 4.【答案】C【解析】解：抛物线y 2=8x 的焦点为（2，0），双曲线-x 2=1的渐近线方程设为y=2x ，可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线距离为=．故选：C．求得抛物线的焦点和双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得所求距离．本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和焦点的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由图可知f（）＞0，故可排除A，B；对于C：f（x）=e|x|+cosx，当x∈（0，1）时f（x）＞0，故可排除C．故选：D．采用排除法排除A，B，C．本题考查了函数图象与图象的变换，属中档题．6.【答案】A【解析】解：①当a=0时，函数f（x）=asinx+cosx在[-，]上先增后减，结论不成立． ②当a≠0时，f（x）=asinx+cosxf′（x）=acosx-sinx，若f（x）在[-，]上为单调增函数，则acosx-sinx≥0在[-，]上恒成立，acosx-sinx≥0故a≥tanx在[-，]上恒成立，而y=tanx在[-，]上的最大值是1，∴a≥1．∴实数a的取值范围是[1，+∞）．故选：A．先看a=0时，已知条件不成立，再看a≠0时，求出函数的导数，结合三角函数的性质求出a的范围即可．本题主要考查了三角函数的性质，三角函数的单调性，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=+++…+=1-+-+…+-=1-，∵满足条件k ＞10的最小k=11，∴当k=11时，程序运行终止，此时S=1-=．故选：C ． 算法的功能是求S=+++…，判断当k=11时，程序运行终止，利用裂项相消法求出S 值．本题考查了循环结构的程序框图，由框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键． 8.【答案】A【解析】解：将14种计算器械的相关资料分成满足题意的3组只有4，5，5则不同的分配方法有，故选：A ．根据题意，分析有14种计算器械的相关资料分成满足题意的3组只有4，5，5，计算即可本题考查分组分配的问题，先分组再分配时关键，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：∵A=120°，BC=14，AB=10，∴由余弦定理可得：142=102+AC 2-2×-2×10×10×10×AC×AC×AC×cosA cosA ，可得：AC 2+10AC-96=0， ∴解得：AC=6，或-16（舍去）， ∴S △ABC =AB•AC•sinA==15．故选：B ．由已知利用余弦定理可求AC 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：四棱锥P-ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD为正方形，球的半径为3，下底面的边长为4，若四棱锥P-ABCD的体积最大，则球心在高上，且四棱锥为正四棱锥．设四棱锥的高为h，则下底面的中心G到B的距离GB=，可得OG2+GB2=OB2，即，可得h=2（舍）或h=4．则该四棱锥的体积的最大值V=．故选：D．由题意，可得当四棱锥P-ABCD为正四棱锥时体积最大，画出图形，求出四棱锥的高，代入棱锥体积公式求解．本题考查球内接多面体体积最值的求法，明确当四棱锥P-ABCD为正四棱锥时体积最大是关键，是中档题．11.【答案】C【解析】解：过A，B分别作准线的垂线交准线于E，D．∵，∴|AE|=4，|CB|=3|BF|，且|BF|=|BD|，设|BF|=|BD|=a，则|BC|=3a，根据三角形的相似性可得，即，解得a=2，∴，即，∴．故选：C．利用抛物线的定义、相似三角形的性质即可求出．熟练掌握抛物线的定义、相似三角形的性质是解题的关键．12.【答案】B【解析】解：设g（x）=，则g′（x）==．∵对任意实数都有f（x）-f'（x）＞0，∴g′（x）＜0，即g（x）为R上的减函数．g（1）=．由f（x）＜e x-2，得，即g（x）＜g（1）．∵g（x）为R上的减函数，∴x＞1．∴不等式f（x）＜e x-2的解集为（1，+∞）．故选：B．由已知f（x）-f'（x）＞0，可联想构造函数g（x）=，利用导数得其单调性，把要求解的不等式转化为g（x）＜g（1）得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，是中档题．13.【答案】8【解析】解：画出约束条件表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数z=x-y过点A时取得最大值，由，解得A（6，-2），代入计算z=6-（-2）=8，所以z=x-y的最大值为8．故答案为：8．画出约束条件表示的平面区域，利用图形求出最优解，计算目标函数的最大值．本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题．14.【答案】【解析】解：∵0＜α＜，cosα=，∴sinα=，∴tanα=．∵tan（α-β）===-，解得tanβ=．联立，解得cosβ=（β为锐角）．故答案为：．由已知求得tanα，进一步求得tanβ，结合平方关系即可求得cosβ．本题考查了三角函数的基本关系式、正切公式、两角和的余弦公式等基础知识与基本方法，属于基础题．15.【答案】【解析】解：设三棱柱高为h，以A为坐标原点，建立如图坐标系，则A（0，0，0），B（1，，0），C（2，0，0），D（，，0），C1，（2，0，h），∴=（2，0，h），=（-2，，0）=（-，，0），异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，∴与所成角的余弦值的绝对值为，∴==，解得h=2，∴三棱柱的表面积为：S=2×+（2+2+2）×2=．故填：14．设三棱柱的高为h，建立坐标系后，根据异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，求出h，即可求出表面积．本题适合用坐标法处理，但是要注意向量夹角与直线夹角的区别，属于基础题．16.【答案】①②④①②④【解析】解：∵偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），∴令x=-2得满足f（-2+4）=f（-2）+f（2），即f（2）=f（2）+f（2）得f（2）=0，则f（x+4）=f（x）即函数f（x）是周期为4的周期函数，故①正确，∵f（x）是偶函数，∴图象关于y轴即x=0对称，函数的周期是4，∴x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴，故②正确，∵在区间[0，2]上是增函数，∴在区间[-2，0]上是减函数，则在区间[-6，-4]上是减函数，故③错误，∵f（2）=0，∴f（-2）=0，即函数在一个周期[0，4）内只有一个零点，则函数f（x）在[0，100]内有25个零点，故④正确，故正确的是①②④，故答案为：①②④．根据函数的奇偶性和条件，得到f（2）=0，即函数是周期为4的周期函数，结合的周期性，奇偶性以及对称性的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的奇偶性，周期性，对称性以及单调性的性质是应用，根据条件求出函数的周期是解决本题的关键．17.【答案】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3-a2=3，a2+a4=14．∴d=3，2a1+4d=14，解得a1=1，d=3，∴a n=1+3（n-1）=3n-2．（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，b2=a2=4=b1q，b4=a6=16=b1q3，联立解得b1=2=q，b1=-2=q，∴S7= =254，或S7= =-86．【解析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，由a3-a2=3，a2+a4=14．可得d=3，2a1+4d=14，联立解得a1，d，即可得出．（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，b2=a2=4=b1q，b4=a6=16=b1q3，联立解得b1，q，利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图数据，得：2（a+a+2a+0.2+0.2）=1，解得a=0.025．（Ⅱ）根据频率分布直方图得：样本中优质产品有120（0.100×0.100×2+0.025×2+0.025×2+0.025×22）=30， 列联表如下表所示：A 试验区B 试验区 合计 优质产品 10 20 30 非优质产品 60 30 90 合计7050120∴=≈10.3＜10.828， ∴有99.9%的把握认为优质产品与A ，B 两个试验区有关系． （Ⅲ）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，随机抽取4件中含有优质产品的件数X 的可能取值为0，1，2，3，4，且X ～B （4，），∴P （X =0）==， P （X =1）=， P （X =2）== ， P （X =3）= =， P （X =4）==， ∴X 的分布列为：的分布列为： X 0 1 2 3 4 PEX =4×=1． 【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图的性质列方程能求出a ．（Ⅱ）根据频率分布直方图得样本中优质产品有30，作出列联表，求出k 2≈10.3＜10.828，从而有99.9%的把握认为优质产品与A ，B 两个试验区有关系． （Ⅲ）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，随机抽取4件中含有优质产品的件数X 的可能取值为0，1，2，3，4，且X ～B （4，），由此能求出抽取的这4件产品中含优质产品的件数X 的分布列和数学期望EX ． 本题考查频率、独立检验、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）取PD 的中点E ，连结AE ，EM ，∵M 是棱PC 的中点，∴EM ∥CD ，且EM =CD ，∵AB ∥CD ，AB =2，CD =4， ∴EM ∥AB ，EM =AB ，∴四边形ABME 是平行四边形，∴BM ∥AE ， ∵BM ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ， ∴BM ∥平面PAD ．解：（Ⅱ）以D 为原点，以DC 、DP 分别为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），P （0，0，2），A （ ，-1，0），B （，1，0），C （0，4，0），M （0，2，1），=（0，2，0）， =（- ，1，1）， =（- ，3，0），），设=（x ，y ，z ）是平面ABM 的一个法向量， 由，即，即 ，令x = ，得，得 =（ ， ， ）， 设=（x ，y ，z ）是平面CBM 的法向量， 由 ，即，即 ，令y =1，得，得 =（ ，1，2），）， cos ＜ ， ＞===，∵二面角A -BM -C 的平面角为钝角，∴二面角A -BM -C 的余弦值为-．【解析】（Ⅰ）取PD 的中点E ，连结AE ，EM ，推导出四边形ABME 是平行四边形，从而BM ∥AE ，由此能证明BM ∥平面PAD ．（Ⅱ）以D 为原点，以DC 、DP 分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BM-C 的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得a =2，b =1， ∴椭圆C 的方程为+y 2=1．（Ⅱ）设直线l 的方程为y =kx + ，代入椭圆方程+y 2=1整理可得得（1+4k 2）x2+8kx +4=0，△=（8 k ）2-16（1+4k 2）＞0，解得k ＞ 或k ＜-， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），），又x 1+x 2=-，x 1•x 2=，∴y 1y 2=k 2x 1x 2+k （x 1+x 2）+2， ∵坐标原点O 在以AB 为直径的圆内，∴ • ＜0 ∴x 1x 2+y 1y 2=（1+k 2）x 1x 2+ k （x 1+x 2）+2=（1+k 2） + k （-）+2＜0， 解得k ＜-或k ＞故直线l 斜率的取值范围为（-∞，-） （，+∞）．）． 【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=1，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，即可直线l 斜率的取值范围．本题考查椭圆方程，考查向量的运算，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、数量积的合理运用，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f （x ）=x 2-x lnx 的导数为f ′（x ）=2x -（ln x +1），）， 可得切线的斜率为1，切点为（1，1），切线方程为y -1=x -1，即y =x ； （Ⅱ）若+ -＜0在（1，+∞）上恒成立，可得k ＜-x lnx+ x 2在（1，+∞）上恒成立，）上恒成立， 令y =-x lnx+x 2，则y ′=-ln x -1+x ， y ″=-+1＞0，可得y ′在（1，+∞）上单调递增， 则y ′＞-ln1-1+1=0，可得y 在（1，+∞）上单调递增， 则y ＞ ， 则k ≤ ． 【解析】（Ⅰ）求得f （x ）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（Ⅱ）由题意可得k ＜-xlnx+x 2在（1，+∞）上恒成立，利用导数确定单调性，求出最值，即可求实数k 的取值范围．本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求切线方程和函数的单调区间，同时考查了不等式恒成立问题解法，有一定的综合性．22.【答案】解：（Ⅰ）直线C 1的参数方程为的参数方程为（其中t 为参数）消去t 可得：x -y -1=0， 由ρ=得ρ2sin 2θ=4ρcosθ，的y 2=4x ．（x ≠0）（Ⅱ）过点P （3，2）与直线C 1垂直的直线的参数方程为：垂直的直线的参数方程为：（t 为参数），为参数）， 代入y 2=4x 可得t 2+8t -16=0 设M ，N 对应的参数为t 1，t 2，则t 1t 2=-16， 所以|PM ||PN |=|t 1t 2|=16．【解析】（Ⅰ）直线C 1的参数方程为（其中t 为参数）消去t 可得：x-y-1=0，由ρ=得ρ2sin 2θ=4ρcosθ，的y 2=4x ．（x≠0）；（Ⅱ）代入直线的参数方程到曲线C 2中，利用参数的几何意义可得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）， ＜，， ＞ ，（2分）当 ＜时，由3-3x ≥6，解得x ≤-1；当时，x +1≥6不成立； 当x ＞2时，由3x -3≥6，解得x ≥3．所以不等式f （x ）≥6的解集为（-∞，-1] [3，+∞）．…（5分）分）（Ⅱ）∵a +b =1（a ，b ＞0），∴（6分） ∴对于∀x ∈R ，恒成立等价于：对∀x ∈R ，|x -2-m |-|-x -2|≤9， 即[|x -2-m |-|-x -2|]max ≤9（7分）∵|x -2-m |-|-x -2|≤|（x -2-m ）-（x +2）|=|-4-m | ∴-9≤m +4≤9，（9分） ∴-13≤m ≤5（10分） 【解析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。

2019届甘肃静宁县第一中学高三上学期第二次模拟考试数学（理）试题（理 科 数 学）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一．选择题．（ 本试卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．设集合{}U=1,2,3,4，{}25M =x Ux x+p =0∈-，若{}2,3U C M =，则实数p 的值为 ( )A ．4-B ． 4C ．6-D ．62．已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则(2)()1f xg x x =-的定义域为（ ） A ．[0,1)(1,2] B ．[0,1)(1,4] C ．[0,1)D ．(1,4] 3．设函数1()7,02()0x x f x x ⎧-<⎪=≥，若()1f a <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3)-∞-B ．(1,)+∞C ．(3,1)-D ．(,3)(1,)-∞-+∞4．若函数f(x)＝ax 2＋(a 2－1)x －3a 为偶函数，其定义域为[4a ＋2，a 2＋1]，则f(x)的最小值为( )A ．3B ．0C ．2D ．－15．已知a 是函数f(x)＝2x－log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f(x 0)的值满足( )A ．f(x 0)＝0B ．f(x 0)>0C ．f(x 0)<0D ．f(x 0)的符号不能确定 6．设dx x c dx x b dx x a3102102110,,⎰⎰⎰===，则a,b,c 的大小关系是A ．c>a>bB ．a>b>cC ．a=b>cD ．a>b>c 7．曲线y ＝12x 2＋x 在点(2,4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A ．1B ．2C ．43D ．238．已知tan α＝2，则4sin 3α－2cos α5cos α＋3sin α＝( )A ．25B ．511C ．35D ．711 9．下列命题中是真命题的是( )A ．m R ∃∈，使243()(1)m m f x m x-+=-是幂函数，且其图像关于y 轴对称B ．0a ∀>，函数2()ln ln f x x x a =+-没有零点 C ．在 ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,, ，2222c b a=+,则C cos 的最小值为21D ．函数)32sin()(π-=x x f 的一个对称中心的坐标是）0,125（π10．设α是锐角，若3tan()64πα+=，则sin(2)12πα+的值为 ( )A B D 11．已知函数()x x eae xf +=，(a ∈R ，e 是自然对数的底数)，在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[－1,0]C ．[－1,1]D ．(－∞，－e 2)∪[e 2，＋∞)12．下图中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )A ．13B ．－13C ．73D ．－13或53第Ⅱ卷二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）． 13．已知命题P ：“032,2≥-+∈∀x x R x ”，则命题P 的否定是 _____________。

2019届甘肃省静宁县第一中学高三上学期第三次模拟考试数学（理）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选题1．已知集合，则A B ＝A ．B ．C ．D ． 2．下列命题正确的是A ．B ． 是 的充分不必要条件C ．D ．若 ，则 3．已知命题p ：若 N ，则 Z ，命题q ：，则下列为真命题的是A ．B ．C ．D ．4．已知向量， ，则 A ． B ． C ．2 D ．5 5．函数 的图象大致是A ．B ．C ．D ．6． 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若，则 为 A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形7．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：=====有 “穿墙术”，则n =A ．35B ．48C ．63D ．808．若正实数 满足，则 的最小值为 A ． B ．2 C ． D ．4 9．下列函数中，图象的一部分如图所示的是A ．B ．C ．D ．10．用数学归纳法证明，则当 时，左端应在 的基础上加上此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．B．C．D．11．已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，若对一切，恒有，则能取到的最大整数是A．6 B．7 C．8 D．912．已知定义在上的函数满足：，且，则方程在区间上的所有实根之和为A．B．C．D．二、填空题13．已知变量满足约束条件，则的最小值为______.14．由曲线与直线所围成的平面图形的面积是______.15．设函数的导函数的最大值为3，则图象的一条对称轴方程是______.16．在平面直角坐标系xOy中，A（-12,0），B（0,6），点P在圆O：x2+y2=50上，若PA·PB 20，则点P的横坐标的取值范围是_________三、解答题17．已知点，点（），且函数.（1）求函数的解析式；（2）求函数的最小正周期及最值.18．已知正项数列满足：，其中为的前项和.（1）求数列通项公式.（2）设，求数列前项和.19．已知函数（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围.20．在中,为上的点, 为上的点,且. （1）求的长;（2）若,求的余弦值.21．设函数，若函数在处与直线相切，（1）求实数的值；（2）求函数在上的最大值．22．已知函数（1）求在上的最小值；（2）若关于的不等式有且只有三个整数解，求实数的取值范围．2019届甘肃省静宁县第一中学高三上学期第三次模拟考试数学（理）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】解分式不等式得到集合A，然后求出即可．【详解】∵集合，集合，∴．故选C．【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键是正确求出集合A，属于简单题．2．B【解析】【分析】判断方程x2+2x+3=0实根个数，可判断A；根据充要条件的定义，可判断B；举出反例x≤1，可判断C；举出反例a=1，b=﹣1，可判断D．【详解】x2+2x+3=0的△=﹣8＜0，故方程无实根，即x0∈R，x02+2x0+3=0错误，即A错误；x2＞1⇔x＜﹣1，或x＞1，故x＞1是x2＞1的充分不必要条件，故B正确；当x≤1时，x3≤x2，故x∈N，x3＞x2错误，即C错误；若a=1，b=﹣1，则a＞b，但a2=b2，故D错误；故选：B．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题，特称命题，充要条件，不等式与不等关系等知识点，难度中档．3．D【解析】【分析】先判断出命题的真假，然后再结合四个选项得到结论．【详解】由题意得命题p为真命题，命题q为假命题，所以，，为假命题，为真命题．故选D．【点睛】解决该类问题的基本步骤：①弄清构成复合命题中简单命题p和q的真假；②明确其构成形式；③根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假．4．D【解析】【分析】对|+|=5，进而得出||．【详解】∵|+|=5=50，∵=5，∴5+20+=50，解得=25，∴||=5．故选：D．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．5．D【解析】【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．【详解】由为偶函数可排除A，C；当时，图象高于图象，即＞，排除B；故选：D【点睛】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．6．B【解析】【分析】由已知结合正弦定理可得sinC＜sinBcosA利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin（A+B）＜sinBcosA整理可得sinAcosB+sinBcosA＜0从而有sinAcosB＜0结合三角形的性质可求.【详解】∵A是△ABC的一个内角，0＜A＜π，∴sinA＞0．∵＜cosA，由正弦定理可得，sinC＜sinBcosA∴sin（A+B）＜sinBcosA∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA∴sinAcosB＜0 又sinA＞0∴cosB＜0 即B为钝角故选：B．7．C【解析】因为313,824,1535,2446,=⨯=⨯=⨯=⨯所以7963n=⨯=，选C.点睛：(一)与数字有关的推理：解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(二)与式子有关的推理：(1)与等式有关的推理．观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解．(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(三)与图形有关的推理：与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．8．A【解析】∵正实数满足，∴，∴，当且仅当即且时取等号，故选A.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．9．D【解析】设图中对应三角函数最小正周期为T，从图象看出，T=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=向左平移了个单位，即=，选D.10．C【解析】【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．【详解】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故选：C．【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./11．B【解析】【分析】由题意和等差数列的通项公式、前n项和公式，求出首项和公差，再代入通项公式求出a n，再求出和S n，设T n=S2n﹣S n并求出，再求出T n+1，作差判断T n+1﹣T n后判断出T n的单调性，求出T n的最小值，列出恒成立满足的条件求出m的范围．再求满足条件的m值．【详解】设数列{a n}的公差为d，由题意得，，解得，∴a n=n，且，∴S n=1+，令T n=S2n﹣S n=，则，即＞=0∴T n+1＞T n，则T n随着n的增大而增大，即T n在n=1处取最小值，∴T1=S2﹣S1=，∵对一切n∈N*，恒有＞成立，∴＞即可，解得m＜8，故m能取到的最大正整数是7．故选：B【点睛】本题是数列与不等式结合的题目，考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，判断数列单调性的方法，以及恒成立问题．12．A【解析】【分析】将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，将函数式化简，根据图象的对称性，由图象观察即可．【详解】∵f（x）=，，，，，且f（x+2）=f（x），∴f（x﹣2）﹣3=，，，，又g（x）=，则g（x）=3，∴g（x﹣2）﹣3=，上述两个函数都是关于（﹣2，3）对称，由图象可得：y=f（x）和y=g（x）的图象在区间[﹣5，1]上有4个交点，它们都关于点（﹣2，3）对称，故之和为﹣2×4=﹣8．但由于（﹣1，4）取不到，故之和为﹣8+1=﹣7．即方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的实根有3个，故方程f（x）=g（x）在区间[﹣8，3]上的所有实根之和为﹣7．故选A．【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系以及数形结合的思想，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．13．【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由得y=﹣2x+z+3，平移直线y=﹣2x+z+3，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A（-1，2）时，直线的截距最小，此时z最小，此时z=-1×2+2-3=-3，故答案为：-3．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．14．【解析】【分析】三角函数的对称性可得S=2，求定积分可得．【详解】由三角函数的对称性和题意可得S=2=2（sinx+cosx）=2（+）﹣2（0+1）=2 2故答案为：2 2【点睛】本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题．15．【解析】【分析】先对函数求导，由导数f′（x）的最大值为3，可得ω的值，从而可得函数的解析式，然后结合三角函数的性质可得函数的对称轴处取得函数的最值从而可得．【详解】对函数求导可得，由导数f′（x）的最大值为3可得ω=3∴f（x）=sin（3x+）﹣1由三角函数的性质可得，函数的对称轴处将取得函数的最值，可得故答案为：．【点睛】本题主要考查了函数的求导的基本运算，三角函数的性质：对称轴处取得函数的最值的应用，属于基础试题，试题难度不大．16．⎡⎤-⎣⎦【解析】设(),P x y，由20PA PB⋅≤，易得250x y-+≤，由22250{50x yx y-+=+=，可得5:{5xAy=-=-或1:{7xBy==，由250x y-+≤得P点在圆左边弧AB上，结合限制条件x-≤，可得点P横坐标的取值范围为⎡⎤-⎣⎦．点睛:对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．17．（1）；（2）最小正周期为π，最小值为，最大值为.【解析】【分析】（1）题目中点的坐标就是对应向量的坐标，代入向量的数量积公式即可求解f（x）的解析式；（2）利用正弦型函数的图象与性质可得函数的最小正周期及最值．【详解】解：(1)依题意，，点，所以,．(2)．因为，所以的最小值为，的最大值为,的最小正周期为.【点睛】函数 n的性质(1) x=+， n.(2)周期(3)由ππ求对称轴(4)由ππππ求增区间;由ππ3ππ求减区间.18．（1）；（2）．【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，可根据数列通项与前项和的关系进行整理化简，可以发现数列是以首项为3，公差为2的等差数列，从而根据等差数列的通项公式即求得数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得，根据其特点，利用裂项相消求和法进行即可.试题解析：（Ⅰ）令，得，且，解得.当时，，即，整理得，，，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，故.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，+.点睛：此题主要考查数列中求通项公式与前项和公式的运算，其中涉及到数列通项与前项和的关系式，还裂项相消求和法的应用，属于中档题型，也是常考考点.裂项相消求和法是数列求和问题中一种重要的方法，实质上是把一个数列的每一项分裂为两项的差，从而达到求和时相邻两项互相抵消而求出和的目的.19．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得0≤f（x）≤7，即0≤|x﹣1|≤7，﹣7≤x﹣1≤7，由此求得x的范围；（2）利用绝对值三角不等式求得g（x）=|x﹣1|+|x+2|的最小值为3，可得m2﹣2 ≤3，由此求得m的范围．【详解】（1）由|f（x）﹣3|≤4 知﹣4≤f（x）﹣3≤4，即﹣1≤f（x）≤7．又f（x）≥0，故0≤f（x）≤7，∴0≤|x﹣1|≤7，﹣7≤x﹣1≤7，∴﹣6≤x≤8，∴所求不等式的解集为．（2）由f（x）+f（x+3）≥ 2﹣2m，即|x﹣1|+|x+2|≥ 2﹣2m恒成立．令g（x）=|x﹣1|+|x+2|，则g（x）的最小值为|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∴m2﹣2 ≤3，求得﹣1≤ ≤3，∴m的取值范围是．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.20．(1) ;(2).【解析】试题分析：本题是正弦定理、余弦定理的应用。

静宁一中——学年度高三级第一次模拟考试试题（卷）数学（理）第Ⅰ卷 (选择题 共分)一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分）.已知集合{}042≤-∈x x N x ，集合{}022=++a x x x ，{}343210-=⋃,B A ，，，，，则∩（ ） .. . . Φ .若1)(23+-=ax x x f 在（）上单调递减，则实数的取值范围是( )．(－∞，] ．() . {}8131≤≤x x ，{}1)-(22>x x log x ，则∩＝( )．(] ．[] ．(－∞，)∪(] ．(－∞，－)∪[] ．已知函数2()22(1(1))f x x x f f ++'=，则()2f '的值为( ) ．2- ． ．4-．6-.下列命题的说法错误的是( ) .命题p ：012>++∈∀x x ,R x ，则p ⌝：010200≤++∈∃x x ,R x.“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件.若命题∧为假命题,则，都是假命题.命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ” .函数221-+=x x ln y 的零点所在的区间是( ) .() .() . () . (). 已知b a ，都是实数，那么“b a >”是“b ln a ln >”的（ ）. 充分不必要条件 . 必要不充分条件. 充分必要条件 . 既不充分也不必要条件.已知)(x f 是定义在上的奇函数，当0≥x 时m x f x +=3)((为常数)，则5)(-log 3f 的值为( ).函数21x x sin x y ++=的部分图象大致为( ).已知函数x a x x f +=2)(，若函数)(x f 在∈[，∞)上是单调递增的，则实数的取值范围为( ).( ∞) .(∞].(∞)∪(∞) .(∞]∪[∞).函数)(x f y =在[，]上单调递增，且函数)2(+x f 是偶函数，则下列结论成立的是( ) .)27()25()1(f f f << . )1()25()27(f f f << .)25()1()27(f f f << . )27()1()25(f f f << .已知函数)(x f 的导函数为)(x f '，且)()(x f x f <'对任意的R x ∈恒成立，则下列不等式均成立的是( ).)0(2)2(f ln f <，)0()2(2f e f <. )0(2)2(f ln f >，)0()2(2f e f > .)0(2)2(f ln f <，)0()2(2f e f > . )0(2)2(f ln f >，)0()2(2f e f <第Ⅱ卷（非选择题 共分）二、填空题(本大题共小题，每小题分,共分.把答案填在题中横线上).设[](]⎩⎨⎧∈∈=πππ,210)(x ,x x cos x f ，，，则dx x f ⎰π20)(. .曲线052=-+-y x xy 在点(，)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为．.偶函数)(x f 在[)∞+，0单调递减，0)1(=f ，不等式0)(>x f 的解集为. .已知13)1()(+-⋅+=x e x x f ，a x x g ++=2)1()(，若R x ,x ∈∃21，使得)()(12x g x f ≥成立，则实数的取值范围是．三、解答题(本大题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).( 本小题满分分)已知集合{}R x ,x x x A ∈≥--=0322，{}R m ,R x ,m mx x x B ∈∈≤-+-=04222. （）若∩[]30,，求实数的值；（）若B C A R ⊆，求实数的取值范围..(本小题满分分)已知函数x a b x f ⋅=)(（为常数且0>a0≠a ）的图象经过()，().（）试求的值； （）若不等式0)1()1(≥-+m b a x x 在∈(∞]时恒成立，求实数的取值范围..(本小题满分分)已知函数）（R a x ax x f ∈+=23)(在34-=x 处取得极值. （）确定的值；（）若x )e ()(x f x g =，讨论)(x g 的单调性..(本小题满分分)设p ：实数满足03422<+-a ax x ，q ：实数满足13<-x .（）若1=a ，且∧为真，求实数的取值范围；（）若0>a 且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数的取值范围.. (本小题满分分) 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=01210),1()(x ,x x x ln x f ，若n m <，且)()(n f m f =，求m n -的取值范围. .(本小题满分分) 已知函数2321-31)(x m x x f +=，mx x g -=31)(，是实数. （）若)(x f 在区间(∞)为增函数，求的取值范围；（）在（）的条件下,函数)()()(x g x f x h -=有三个零点，求的取值范围.高三数学（理）答案：: π, ,(), (－∞，].【解析】由已知得{≤≤},{≤≤}.()因为∩[],所以所以所以.ð{<或>}.()Rð,所以>或<,因为⊆R所以>或<,所以的取值范围为(∞)∪(∞).解:()由题意解得,所以()·.()设()()()()(),所以()在上是减函数,所以当≤时()().若不等式()()≥在∈(∞]时恒成立,即≤.所以的取值范围为(∞,]..解:()对()求导得′(),因为()在处取得极值,所以′(),即··(),解得.()由()得()(),故′()()()()()().令′(),解得或.当<时′()<,故()为减函数;当<<时′()>,故()为增函数;当<<时′()<,故()为减函数;当>时′()>,故()为增函数.综上知()在(∞)和()内为减函数,在()和(∞)内为增函数. .解:()由<得()()<,当时<<,即为真时实数的取值范围是().由<,得<<,得<<,即为真时实数的取值范围是(),若∧为真,则真且真,所以实数的取值范围是(, ).()由<得()()<,若⌝是⌝的充分不必要条件,则⌝⇒⌝,且⌝⌝,设{⌝}{⌝},则⊂≠,又{⌝}{≤或≥},{⌝}{≥或≤},则<≤,且≥,所以实数的取值范围是[]..解析：如图，作出函数＝()的图象．不妨设()＝()＝，由()＝()可知，函数()的图象与直线＝有两个交点．当≤时，函数＝()＝＋∈(－∞，]；当>时，函数＝()＝(＋)∈(，＋∞)．所以<≤.由()＝，即＋＝，解得＝－；由()＝，即(＋)＝，解得＝－.记()＝－＝－－(－)＝－＋(<≤)，则′()＝－.所以当<<时，′()<，函数()单调递减；当<≤时，′()>，函数()单调递增．所以函数()的最小值为()＝－＋＝－.因为()＝＋＝，()＝－＋＝－<，所以－≤()<，即－的取值范围是[－,.解:()′()(),因为()在区间(∞)为增函数,所以′()()≥在区间(∞)恒成立,所以≥恒成立,即≤恒成立,由>,得≤,所以的取值范围是(∞].()()()() ,所以′()()(),令′(),解得或,时′()()≥()在上是增函数,不合题意,<时,令′()>,解得<>,令′()<,解得<<,所以()在(∞),(∞)递增,在()递减,所以()极大值() ()极小值(),要使()()有个零点, 需解得<,所以的取值范围是(∞).。

数学资料库2019届甘肃省静宁县第一中学高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．已知集合A=，集合B=，，则A∩B=A ．B ．C ．D ．2．若在（1,3）上单调递减，则实数a 的取值范围是A ． (－∞，3]B ．C ．D ． (0,3) 3．A=，B=，则A∩B ＝A ． (2,4]B ． [2,4]C ． (－∞，0)∪(0,4]D ． (－∞，－1)∪[0,4] 4．已知函数，则的值为A ．B ． 0C ．D ．5．下列说法错误的是 A ． 对于命题，则B ． “”是“”的充分不必要条件C ． 若命题为假命题，则都是假命题 D ． 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”6．函数的零点所在的区间是A ． (,1)B ． (1,2)C ． (e,3)D ． (2,e) 7．已知、都是实数，那么“”是“”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 8．已知是定义在R 上的奇函数，当时(m 为常数)，则的值为A ． 4B ． -4C ． 6D ． -69．函数的部分图象大致为A ．B ．C ．D ．10．已知函数，若函数在x ∈[2，+∞)上是单调递增的，则实数a 的取值范围为A ． ( -∞,8)B ． (-∞,16]C ． (-∞,-8)∪(8,+∞)D ． (-∞,-16]∪[16,+∞)11．函数在[0，2]上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是A ．B ．C ．D ．12．已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则下列不等式均成立的是此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A．，B．，C．，D．，二、填空题13．设，则=____________.14．曲线在点A(1，2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为_____________．15．偶函数在单调递减，，不等式的解集为_____________.16．已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是__________．三、解答题17．已知集合，.（1）若A∩B=，求实数m的值；（2）若，求实数m的取值范围.18．已知函数（a,b 为常数且）的图象经过A(1,8)，B(3,32).（1）试求a,b的值；（2）若不等式在x∈(-∞,1]时恒成立，求实数m的取值范围. 19．已知函数在处取得极值.（1）确定的值;（2）若,讨论的单调性.20．设：实数x 满足，：实数x 满足.（1）若，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 21．已知函数，若，且，求的取值范围. 22．已知函数，，m是实数.（1）若在区间(2,+∞)为增函数，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下,函数有三个零点，求m的取值范围.数学资料库2019届甘肃省静宁县第一中学高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】先求出集合，再根据得到求出,求出集合，再取交集. 【详解】，,则可知,,..,选.【点睛】本题考查集合的运算，由得到是本题解题的关键.2．B【解析】【分析】先对函数求导，得恒成立，再将式子变为，进而求在区间上的最大值即可.【详解】在（1,3）上单调递减，则在上恒成立.即在上恒成立，所以.故选.【点睛】本题解题思想是将函数的单调性问题转化为恒成立问题，进而将恒成立问题转化为最值问题求参数的取值范围.恒成立问题中常用参变分离将变量和参量分别转化到不等式的两边，本题转化中，这里等号很容易被忽略.3．A【解析】【分析】直接求出两个集合，再取交集即可.【详解】，，则.选.【点睛】本题考查集合的运算.4．D【解析】由题意，化简得，而，所以，得，故，所以，，所以,故选D.5．C【解析】根据全称命题的否定是特称命题知A 正确；由于可得，而由得或，所以“”是“”的充分不必要条件正确；命题为假命题，则不一定都是假命题，故C错；根据逆否命题的定义可知D正确，故选C.6．B【解析】【分析】直接运用零点存在性定理带选项加以检验得出结论.【详解】令，当时，；数学资料库当时，；当时，.在其定义域上单调递增，则函数只有一个零点，又由上式可知，故函数零点在区间内.选.【点睛】判断函数零点所在区间通常结合函数的单调性及零点存在性定理求解.7．B【解析】，有可能为，故不能推出，反过来，则成立，故为必要不充分条件.8．B【解析】【分析】根据奇函数的性质求出，再根据奇函数的定义求出.【详解】当时(m为常数)，则，则. .函数是定义在R上的奇函数，.【点睛】本题考查函数的奇偶性，解题的突破口是利用奇函数性质：如果函数是奇函数，且0在其定义域内，一定有9．D【解析】,构造函数,,故当时,即,排除两个选项.而,故排除选项.所以选D.10．B【解析】【分析】由题意可得在恒成立，在将恒成立问题转化为最值问题求解.【详解】在上单调递增，则在上恒成立.则在上恒成立.所以.选B【点睛】1、函数在某个区间上单调增（或减），则（或）恒成立.2、恒成立问题中求参数的取值范围通常是通过参变分离将问题转化为最值问题：（1）恒成立，则.（2）恒成立，则.11．C【解析】【分析】函数是偶函数可得函数图像关于对称，利用对称性将数值转化到内比较大小.【详解】函数是偶函数，则其图象关于轴对称，所以函数的图像关于对称，则，，函数在上单调递增，则有，所以.选.【点睛】本题考查抽象函数的性质.由的奇偶性得到的对称性是本题解题关键.需要考生熟练掌握函数解析式与函数图象变换之间的关系.12．A【解析】【分析】数学资料库构造函数，求出函数的导数，判断函数的单调性，从而求出结果. 【详解】令，则.，，是减函数，则有，，即，所以.选.【点睛】本题考查函数与导数中利用函数单调性比较大小.其中构造函数是解题的难点.一般可通过题设已知条件结合选项进行构造.对考生综合能力要求较高.13．【解析】【分析】可将所求式子做如下转化，再代入函数解析式求解.【详解】.【点睛】此题是计算题，要注意分段函数分段求解，利用了定积分的可加性.14．【解析】【分析】先将曲线变形，再通过求导求曲线在处的切线方程，再求面积.【详解】由可得时，.，，则切线方程为即.切线与两坐标轴的交点分别为，所以三角形的面积为.【点睛】求过曲线上一点的切线方程一般有两种思路：1、设切线的斜率，联立曲线方程和直线方程通过判别式加以判断；2、通过求导求曲线在这个点处的斜率，进而求出切线方程.此题曲线是双曲线，若用判别式法求解，则求出的结果要注意检验.用求导求解要注意所得解析式中.15．【解析】【分析】先求出在上的解集，再利用偶函数的对称性求解.【详解】在上单调递减，且，则可知时.由偶函数图象关于轴对称，可知时.综上可得.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及其应用.16．【解析】【分析】将题设中，使得成立可转化为，进而求出参数.【详解】，则可知在单调递增，在单调递减.故.在单调递减，在单调递增.故.，使得成立，则，所以.【点睛】数学资料库本题解题的关键是将存在性问题转化为最值问题求解. 常见的存在性问题有：（1）有解，则.（2）有解，则.17．（1）2；（2）【解析】【分析】（1）通过因式分解解出两个集合，再根据求解.（2）求出的补集，再根据子集的概念求解.【详解】由已知得: ，.(1)因为,所以，故，所以.(2).因为,或，所以或.所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查了集合的运算及其应用.18．（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接将两点坐标代入函数解析式中求出.（2）将恒成立问题转化为，然后求在上的最小值即可. 【详解】(1)由题意，解得.所以.(2)设,所以在上是减函数.所以当时, .若不等式在时恒成立,则在时恒成，则.所以,的取值范围为.【点睛】求解含参数的恒成立问题，常通过参变分离将恒成立问题转化为最值问题，再利用函数的单调性求解.19．（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）求函数的导数，并根据极值点的定义，代入可求得a的值。

2019届甘肃省静宁县第一中学高三上学期第三次模拟考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知集合，则A B ＝A ．B ．C ．D ． 2．下列命题正确的是A ．B ． 是 的充分不必要条件C ．D ．若 ，则3．已知命题p ：若 N ，则 Z ，命题q ：，则下列为真命题的是A ．B ．C ．D ．4．已知向量， ，则 A ． B ． C ．2 D ．5 5．函数 的图象大致是A ．B ．C ．D ．6． 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若，则 为 A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形7．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：=====有 “穿墙术”，则n =A ．35B ．48C ．63D ．808．若正实数 满足，则 的最小值为 A ． B ．2 C ． D ．4 9．下列函数中，图象的一部分如图所示的是A ．B ．C ．D ．10．用数学归纳法证明，则当 时，左端应在 的基础上加上A ．B ．C ．D ．11．已知数列 为等差数列， ， ，数列的前 项和为 ，若对一切 ，恒有，则 能取到的最大整数是A ．6B ．7C ．8D ．9此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号12．已知定义在上的函数满足：，且，则方程在区间上的所有实根之和为A．B．C．D．二、填空题13．已知变量满足约束条件，则的最小值为______.14．由曲线与直线所围成的平面图形的面积是______.15．设函数的导函数的最大值为3，则图象的一条对称轴方程是______.16．在平面直角坐标系xOy中，A（-12,0），B（0,6），点P在圆O：x2+y2=50上，若PA·PB 20，则点P的横坐标的取值范围是_________三、解答题17．已知点，点（），且函数.（1）求函数的解析式；（2）求函数的最小正周期及最值.18．已知正项数列满足：，其中为的前项和.（1）求数列通项公式.（2）设，求数列前项和.19．已知函数（1）求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围.20．在中,为上的点, 为上的点,且.（1）求的长;（2）若,求的余弦值. 21．设函数，若函数在处与直线相切，（1）求实数的值；（2）求函数在上的最大值．22．已知函数（1）求在上的最小值；（2）若关于的不等式有且只有三个整数解，求实数的取值范围．2019届甘肃省静宁县第一中学高三上学期第三次模拟考试数学（理）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】解分式不等式得到集合A，然后求出即可．【详解】∵集合，集合，∴．故选C．【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键是正确求出集合A，属于简单题．2．B【解析】【分析】判断方程x2+2x+3=0实根个数，可判断A；根据充要条件的定义，可判断B；举出反例x≤1，可判断C；举出反例a=1，b=﹣1，可判断D．【详解】x2+2x+3=0的△=﹣8＜0，故方程无实根，即x0∈R，x02+2x0+3=0错误，即A错误；x2＞1⇔x＜﹣1，或x＞1，故x＞1是x2＞1的充分不必要条件，故B正确；当x≤1时，x3≤x2，故x∈N，x3＞x2错误，即C错误；若a=1，b=﹣1，则a＞b，但a2=b2，故D错误；故选：B．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题，特称命题，充要条件，不等式与不等关系等知识点，难度中档．3．D【解析】【分析】先判断出命题的真假，然后再结合四个选项得到结论．【详解】由题意得命题p为真命题，命题q为假命题，所以，，为假命题，为真命题．故选D．【点睛】解决该类问题的基本步骤：①弄清构成复合命题中简单命题p和q的真假；②明确其构成形式；③根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假．4．D【解析】【分析】对|+|=5，进而得出||．【详解】∵|+|=5=50，∵=5，∴5+20+=50，解得=25，∴||=5．故选：D．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．5．D【解析】【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．【详解】由为偶函数可排除A，C；当时，图象高于图象，即＞，排除B；故选：D【点睛】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．6．B【解析】【分析】由已知结合正弦定理可得sinC＜sinBcosA利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin（A+B）＜sinBcosA整理可得sinAcosB+sinBcosA＜0从而有sinAcosB＜0结合三角形的性质可求.【详解】∵A是△ABC的一个内角，0＜A＜π，∴sinA＞0．∵＜cosA，由正弦定理可得，sinC＜sinBcosA∴sin（A+B）＜sinBcosA∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA∴sinAcosB＜0 又sinA＞0∴cosB＜0 即B为钝角故选：B．7．C【解析】因为313,824,1535,2446,=⨯=⨯=⨯=⨯所以7963n=⨯=，选C.点睛：(一)与数字有关的推理：解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(二)与式子有关的推理：(1)与等式有关的推理．观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解．(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(三)与图形有关的推理：与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．8．A【解析】∵正实数满足，∴，∴，当且仅当即且时取等号，故选A.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．9．D【解析】设图中对应三角函数最小正周期为T，从图象看出，T=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=向左平移了个单位，即=，选D.10．C【解析】【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．【详解】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故选：C．【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./11．B【解析】【分析】由题意和等差数列的通项公式、前n项和公式，求出首项和公差，再代入通项公式求出a n，再求出和S n，设T n=S2n﹣S n并求出，再求出T n+1，作差判断T n+1﹣T n后判断出T n的单调性，求出T n的最小值，列出恒成立满足的条件求出m的范围．再求满足条件的m值．【详解】设数列{a n}的公差为d，由题意得，，解得，∴a n=n，且，∴S n=1+，令T n=S2n﹣S n=，则，即＞=0∴T n+1＞T n，则T n随着n的增大而增大，即T n在n=1处取最小值，∴T1=S2﹣S1=，∵对一切n∈N*，恒有＞成立，∴＞即可，解得m＜8，故m能取到的最大正整数是7．故选：B【点睛】本题是数列与不等式结合的题目，考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，判断数列单调性的方法，以及恒成立问题．12．A【解析】【分析】将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，将函数式化简，根据图象的对称性，由图象观察即可．【详解】∵f（x）=，，，，，且f（x+2）=f（x），∴f（x﹣2）﹣3=，，，，又g（x）=，则g（x）=3，∴g（x﹣2）﹣3=，上述两个函数都是关于（﹣2，3）对称，由图象可得：y=f（x）和y=g（x）的图象在区间[﹣5，1]上有4个交点，它们都关于点（﹣2，3）对称，故之和为﹣2×4=﹣8．但由于（﹣1，4）取不到，故之和为﹣8+1=﹣7．即方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的实根有3个，故方程f（x）=g（x）在区间[﹣8，3]上的所有实根之和为﹣7．故选A．【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系以及数形结合的思想，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．13．【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由得y=﹣2x+z+3，平移直线y=﹣2x+z+3，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A（-1，2）时，直线的截距最小，此时z最小，此时z=-1×2+2-3=-3，故答案为：-3．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．14．【解析】【分析】三角函数的对称性可得S=2，求定积分可得．【详解】由三角函数的对称性和题意可得S=2=2（sinx+cosx）=2（+）﹣2（0+1）=2 2故答案为：2 2【点睛】本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题．15．【解析】【分析】先对函数求导，由导数f′（x）的最大值为3，可得ω的值，从而可得函数的解析式，然后结合三角函数的性质可得函数的对称轴处取得函数的最值从而可得．【详解】对函数求导可得，由导数f′（x）的最大值为3可得ω=3∴f（x）=sin（3x+）﹣1由三角函数的性质可得，函数的对称轴处将取得函数的最值，可得故答案为：．【点睛】本题主要考查了函数的求导的基本运算，三角函数的性质：对称轴处取得函数的最值的应用，属于基础试题，试题难度不大．16．⎡⎤-⎣⎦【解析】设(),P x y，由20PA PB⋅≤，易得250x y-+≤，由22250{50x yx y-+=+=，可得5:{5xAy=-=-或1:{7xBy==，由250x y-+≤得P点在圆左边弧AB上，结合限制条件x-≤，可得点P横坐标的取值范围为⎡⎤-⎣⎦．点睛:对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．17．（1）；（2）最小正周期为π，最小值为，最大值为.【解析】【分析】（1）题目中点的坐标就是对应向量的坐标，代入向量的数量积公式即可求解f（x）的解析式；（2）利用正弦型函数的图象与性质可得函数的最小正周期及最值．【详解】解：(1)依题意，，点，所以,．(2)．因为，所以的最小值为，的最大值为,的最小正周期为.【点睛】函数 n的性质(1) x=+， n.(2)周期(3)由ππ求对称轴(4)由ππππ求增区间;由ππ3ππ求减区间.18．（1）；（2）．【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，可根据数列通项与前项和的关系进行整理化简，可以发现数列是以首项为3，公差为2的等差数列，从而根据等差数列的通项公式即求得数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得，根据其特点，利用裂项相消求和法进行即可.试题解析：（Ⅰ）令，得，且，解得.当时，，即，整理得，，，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，故.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，+.点睛：此题主要考查数列中求通项公式与前项和公式的运算，其中涉及到数列通项与前项和的关系式，还裂项相消求和法的应用，属于中档题型，也是常考考点.裂项相消求和法是数列求和问题中一种重要的方法，实质上是把一个数列的每一项分裂为两项的差，从而达到求和时相邻两项互相抵消而求出和的目的.19．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得0≤f（x）≤7，即0≤|x﹣1|≤7，﹣7≤x﹣1≤7，由此求得x的范围；（2）利用绝对值三角不等式求得g（x）=|x﹣1|+|x+2|的最小值为3，可得m2﹣2 ≤3，由此求得m的范围．【详解】（1）由|f（x）﹣3|≤4 知﹣4≤f（x）﹣3≤4，即﹣1≤f（x）≤7．又f（x）≥0，故0≤f（x）≤7，∴0≤|x﹣1|≤7，﹣7≤x﹣1≤7，∴﹣6≤x≤8，∴所求不等式的解集为．（2）由f（x）+f（x+3）≥ 2﹣2m，即|x﹣1|+|x+2|≥ 2﹣2m恒成立．令g（x）=|x﹣1|+|x+2|，则g（x）的最小值为|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∴m2﹣2 ≤3，求得﹣1≤ ≤3，∴m的取值范围是．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用.20．(1) ;(2).【解析】试题分析：本题是正弦定理、余弦定理的应用。

静宁一中2018——2019学年度高三级第一次模拟考试试题（卷）数学（理）第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分）1.已知集合A={}042≤-∈x x N x ，集合B={}022=++a x x x ，{}343210-=⋃,B A ，，，，，则A∩B =（ ） A.B. C. D. Φ 2.若1)(23+-=ax x x f 在（1,3）上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫92，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，92 D ．(0,3) 3. A={}8131≤≤x x ，B={}1)-(22>x x log x ，则A∩B＝( )A ．(2,4]B ．[2,4]C ．(－∞，0)∪(0,4]D ．(－∞，－1)∪[0,4]4．已知函数2()22(1(1))f x x x f f ++'=，则()2f '的值为( ) A ．2- B ．0 C ．4-D ．6-5.下列命题的说法错误的是( ) A.命题p ：012>++∈∀x x ,R x ，则p ⌝：010200≤++∈∃x x ,R xB.“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C.若命题p ∧q 为假命题,则p ，q 都是假命题D.命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”6.函数221-+=x x ln y 的零点所在的区间是( ) A.(,1)B.(1,2)C. (e,3)D. (2,e) 7. 已知b a ，都是实数，那么“b a >”是“b ln a ln >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时m x f x +=3)((m 为常数)，则5)(-log 3f 的值为( )A.4B.-4C.6D.-69.函数21xx sin x y ++=的部分图象大致为( )10.已知函数xa x x f +=2)(，若函数)(x f 在x ∈[2，+∞)上是单调递增的，则实数a 的取值范围为( )A.( -∞,8)B.(-∞,16]C.(-∞,-8)∪(8,+∞)D.(-∞,-16]∪[16,+∞)11.函数)(x f y =在[0，2]上单调递增，且函数)2(+x f 是偶函数，则下列结论成立的是( ) A.)27()25()1(f f f << B. )1()25()27(f f f << C.)25()1()27(f f f << D. )27()1()25(f f f << 12.已知函数)(x f 的导函数为)(x f '，且)()(x f x f <'对任意的R x ∈恒成立，则下列不等式均成立的是( )A.)0(2)2(f ln f <，)0()2(2f e f <B. )0(2)2(f ln f >，)0()2(2f e f >C.)0(2)2(f ln f <，)0()2(2f e f >D. )0(2)2(f ln f >，)0()2(2f e f <第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.设[](]⎩⎨⎧∈∈=πππ,210)(x ,x x cos x f ，，，则dx x f ⎰π20)(=____________. 14.曲线052=-+-y x xy 在点A(1，2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为_____________．15.偶函数)(x f 在[)∞+，0单调递减，0)1(=f ，不等式0)(>x f 的解集为_____________. 16.已知13)1()(+-⋅+=x e x x f ，a x x g ++=2)1()(，若R x ,x ∈∃21，使得)()(12x g x f ≥成立，则实数a 的取值范围是__________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.( 本小题满分10分) 已知集合{}R x ,x x x A ∈≥--=0322，{}R m ,R x ,m mx x x B ∈∈≤-+-=04222.（1）若A ∩B=[]30,，求实数m 的值；（2）若B C A R ⊆，求实数m 的取值范围.18.(本小题满分12分)已知函数x a b x f ⋅=)(（a ,b 为常数且0>a0≠a ）的图象经过A(1,8)，B(3,32). （1）试求a ,b 的值；（2）若不等式0)1()1(≥-+m b a x x 在x ∈(-∞,1]时恒成立，求实数m 的取值范围.19.(本小题满分12分)已知函数）（R a x ax x f ∈+=23)(在34-=x 处取得极值. （1）确定a 的值；（2）若x )e ()(x f x g =，讨论)(x g 的单调性.20.(本小题满分12分)设p ：实数x 满足03422<+-a ax x ，q ：实数x 满足13<-x .（1）若1=a ，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若0>a 且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.21. (本小题满分12分) 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=01210),1()(x ,x x x ln x f ，若n m <，且)()(n f m f =，求m n -的取值范围.22.(本小题满分12分)已知函数2321-31)(x m x x f +=，mx x g -=31)(，m 是实数. （1）若)(x f 在区间(2,+∞)为增函数，求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下,函数)()()(x g x f x h -=有三个零点，求m 的取值范围.高三数学（理）答案1-12：A B A D C D B B D B C A13-16: π, 49/6,(-1,1), (－∞，27e] 17.【解析】由已知得:A={x|-1≤x ≤3},B={x|m-2≤x ≤m+2}.(1)因为A ∩B=[0,3],所以 所以所以m=2.(2)R ðB={x|x<m-2或x>m+2}.因为A ⊆R ðB,所以m-2>3或m+2<-1,所以m>5或m<-3,所以m 的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).18解:(1)由题意解得a=2,b=4,所以f(x)=4·2x=2x+2. (2)设g(x)=()x+()x=()x+()x,所以g(x)在R 上是减函数,所以当x ≤1时,g(x)min=g(1)=.若不等式()x+()x-m ≥0在x ∈(-∞,1]时恒成立,即m ≤.所以,m 的取值范围为(-∞,].19.解:(1)对f(x)求导得f ′(x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-处取得极值,所以f′(-)=0,即3a·+2·(-)=-=0,解得a=.(2)由(1)得g(x)=(x3+x2)ex,故g′(x)=(x2+2x)ex+(x3+x2)ex=(x3+x2+2x)ex=x(x+1)(x+4)ex.令g′(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x<-4时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;当-4<x<-1时,g′(x)>0,故g(x)为增函数;当-1<x<0时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;当x>0时,g′(x)>0,故g(x)为增函数.综上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.20.解:(1)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0,当a=1时,1<x<3,即p为真时实数x的取值范围是(1,3).由|x-3|<1,得-1<x-3<1,得2<x<4,即q为真时实数x的取值范围是(2,4),若p∧q为真,则p真且q真,所以实数x的取值范围是(2, 3).(2)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0,若⌝p是⌝q的充分不必要条件,则⌝p⇒⌝q,且⌝q⌝p,设A={x|⌝p},B={x|⌝q},则A ⊂≠B,又A={x|⌝p}={x|x ≤a 或x ≥3a},B={x|⌝q}={x|x ≥4或x ≤2},则0<a ≤2,且3a ≥4,所以实数a 的取值范围是[,2].21.解析：如图，作出函数y ＝f (x )的图象．不妨设f (m )＝f (n )＝t ，由f (m )＝f (n )可知，函数f (x )的图象与直线y ＝t 有两个交点．当x ≤0时，函数y ＝f (x )＝12x ＋1∈(－∞，1]；当x >0时，函数y ＝f (x )＝ln(x ＋1)∈(0，＋∞)．所以0<t ≤1.由f (m )＝t ，即12m ＋1＝t ，解得m ＝2t －2； 由f (n )＝t ，即ln(n ＋1)＝t ，解得n ＝e t －1.记g (t )＝n －m ＝e t －1－(2t －2)＝e t －2t ＋1(0<t ≤1)，则g ′(t )＝e t－2.所以当0<t <ln2时，g ′(t )<0，函数g (t )单调递减；当ln2<t ≤1时，g ′(t )>0，函数g (t )单调递增．所以函数g (t )的最小值为g (ln2)＝e ln2－2ln2＋1＝3－2ln2.因为g (0)＝e 0＋1＝2，g (1)＝e －2＋1＝e －1<2，所以3－2ln2≤g (t )<2，即n －m 的取值范围是[3－2ln2,22.解:(1)f ′(x)=x2-(m+1)x,因为f(x)在区间(2,+∞)为增函数,所以f ′(x)=x(x-m-1)≥0在区间(2,+∞)恒成立,所以x-m-1≥0恒成立,即m ≤x-1恒成立,由x>2,得m ≤1,所以m 的取值范围是(-∞,1]. (2)h(x)=f(x)-g(x)=x3-x2+mx-,所以h ′(x)=(x-1)(x-m),令h ′(x)=0,解得x=m 或x=1,m=1时,h ′(x)=(x-1)2≥0,h(x)在R 上是增函数,不合题意,m<1时,令h′(x)>0,解得x<m,x>1,令h′(x)<0,解得m<x<1,所以h(x)在(-∞,m),(1,+∞)递增,在(m,1)递减,所以h(x)极大值=h(m)=-m3+m2-,h(x)极小值=h(1)=,要使f(x)-g(x)有3个零点,需解得m<1-,所以m的取值范围是(-∞,1-).。