初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料3.6 弧长及扇形面积的计算 学案

3.6 弧长及扇形面积的计算-青岛版九年级数学上册教案1. 教学目标1.1 知识与能力1.理解圆的基本概念，能够准确描述圆的相关术语；2.掌握圆心角、弧、弧长、扇形面积的概念；3.能够应用圆的相关知识进行问题求解。

1.2 过程与方法1.观察、发现、探究；2.归纳、总结、提炼；3.分析、比较、推论。

1.3 情感态度与价值观1.能够善于思考，主动发现问题；2.具备较强的数学技能和思维能力；3.培养良好的探究精神和合作意识。

2. 教学重点1.圆心角的概念及计算方法；2.弧长的概念及计算方法；3.扇形面积的概念及计算方法。

3. 教学难点1.圆心角和弧长之间的转换关系；2.扇形面积的推导过程。

4. 教学内容与方法4.1 教学内容4.1.1 圆的基本概念1.圆的定义和基本术语：半径、直径、圆心、圆周、弦、弧。

2.圆的性质：任意两点的距离相等、半径相等的圆相等、相等的弧所对的圆心角相等。

4.1.2 弧长和圆心角1.弧长的概念和计算方法；2.圆心角的概念和计算方法；3.圆心角和弧度之间的转换关系。

4.1.3 扇形及其面积1.扇形的定义和性质：面积为圆心角的一半乘以半径平方；2.扇形面积的计算方法。

4.2 教学方法1.情境教学法：结合实际生活中的例子展开教学，让学生了解到圆的应用价值；2.知识讲解法：详细讲解各个概念的定义和计算方法，并在黑板上进行示范；3.合作探究法：让学生分成小组，共同进行问题探究，激发学生的学习兴趣和创造力。

5. 教学过程5.1 自主发现在开课前，教师在黑板上画出一个圆，然后让学生分成小组，互相交流和探究圆的相关知识，并尝试回答以下问题：1.圆的定义是什么？2.圆的基本术语有哪些？3.圆的性质有哪些？5.2 引入新知识在学生对圆的基本概念有一定了解之后，教师向学生介绍圆心角、弧和扇形的概念，并结合图形进行讲解。

5.3 讲解与演示1.圆心角的计算方法。

2.弧长的计算方法。

3.扇形面积的计算方法。

九年级数学上册第3章对圆的进一步认识3.6弧长及扇形的面积的计算教案新版青岛版教学目标1、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程。

2、了解弧长计算公式及扇形面积的计算公式，并会应用公式解决问题．重难点重点：弧长计算公式及扇形面积计算公式。

并会应用公式解决问题．难点：探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程。

教学准备多媒体课件预习导学1.弧长和面积的计算公式分别是什么？2.如何用弧长表示扇形面积？教学过程一、情境导入1.课件出示图片，在田径二百米跑比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？每位运动员弯路的展直长度相同吗？2.制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度)，再下料，这就涉及到计算弧长的问题二、回顾旧知1．圆的周长公式是 ______________。

2．圆的面积公式是_______________。

3．什么叫扇形？ ______________ 。

4．半径为4的半圆的弧长是 _______，面积是________。

三、合作探究：1).圆的周长可以看作__________度的圆心角所对的弧．1°的圆心角所对的弧长是_________；2°的圆心角所对的弧长是________；4°的圆心角所对的弧长是_________；…… n°的圆心角所对的弧长是_____。

2).圆的面积可以看作 ___ 度圆心角所对的扇形的面积；设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=___________；设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=___________；设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=___________；设圆的半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=___________。

3).请写出你探究的弧长公式和扇形的面积公式：L弧= S扇=4).弧长与扇形面积的关系三、巩固练习1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S扇=____．2、已知半径为2的扇形，面积为，则它的圆心角的度数为___．3、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积为_______.4、已知扇形的圆心角为300，面积为，则这个扇形的半径R=____．四、例题学习：例1. 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即弧AB的长（结果精确到0.1mm）例2. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01 m2）.【当堂达标】1、已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（）．A．3。

3.6 弧长及扇形面积的计算一、学习目标1.利用圆的周长与面积公式探索弧长和扇形面积的计算公式的过程；2.掌握弧长和扇形面积公式并解决实际问题；3.培养对圆的数量运算关系本质的理解.二、重点难点重点：1.利用圆的周长与面积公式探索弧长和扇形面积的计算公式.难点：1.探索弧长和扇形面积的计算公式.三、自学指导已知圆的半径为r 。

思考下列问题（1）圆周上1°弧的长度是圆周长的 ，用r 表示为（2）n °弧的长度l 用r 表示为（3）圆心角为1°的扇形的面积是整个圆面积的 ，用r 表示为（4）圆心角为）n °的扇形的面积S 扇形用r 表示为（5）如果已知⊙O 的半径r 和扇形的弧长l ，怎样用l 和r 表示这段弧所在的扇形的面积呢？【练习】1.在半径为24的圆中，60的圆心角所对的弧长l = .2.75的圆心角所对的弧长是2.5π，则此弧所在圆的半径为 ．3.若扇形的圆心角n 为50，半径为1，则这个扇形的面积=S 扇形 .4.若扇形的圆心角n 为60, 面积为23π,则这个扇形的半径R = . 5.若扇形的半径3,3R S π==扇形,则这个扇形的圆心角n 的度数为 .6.若扇形的半径2R cm =,弧长43l cm π=，则这个扇形的面积=S 扇形 . 四、典型例题：例：如图扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 、AC 的夹角为120°，AB 长为30cm ，贴纸部分BD 长为20cm ，求扇子一面上贴纸部分的面积．B'A'CAB .四、对应训练1、圆心角为120的扇形的弧长为20π，它的面积为 .2、如图，三角板ABC 中，90ACB ∠=, 30,6B BC ∠==,三角板绕直角顶点 C 逆时针旋转，当点A 的对应点A '落在AB 边的起始位置上时即停止转动，则B 点转过的路径长为 ．3、如图,水平放置的排水管的截面是圆形,圆的半径为10cm,水面宽度为10cm ，求截面中有水部分的面积4、如图，,PA PB 切⊙O 于,A B 两点，若60APB ∠=，⊙O 的半径为3，求阴影部分的面积．5、如图，扇形AOB 的半径为r ，∠AOB=90°，以AB 为直径画半圆，求图中阴影部分的面积。

3.6弧长和扇形面积的计算【教师寄语】目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。

没有它天才也会矛盾无定的迷径中，徒劳无功。

【学习目标】1、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程。

2、了解弧长计算公式及扇形面积的计算公式，并会应用公式解决问题．【问题情境】如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.(1)转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米?(2)转动轮转1o,传送带上的物品A被传送多少厘米?(3)转动轮转n o,传送带上的物品A被传送多少厘米?如何解决这个问题呢？学完本课你一定能很好的解决！【学习过程】一、胸有丘壑1．圆的周长公式是。

2．圆的面积公式是。

3、什么叫扇形？。

4、半径为4的半圆的弧长是，面积是。

二、水到渠成1、圆的周长可以看作__________度的圆心角所对的弧．1°的圆心角所对的弧长是_________；2°的圆心角所对的弧长是___________；4°的圆心角所对的弧长是_________；…… n°的圆心角所对的弧长是____________。

2、圆的面积可以看作___ 度圆心角所对的扇形的面积；设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=___________；设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=___________；设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=___________；设圆的半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=___________。

3、请写出你探究的弧长公式和扇形的面积公式：L 弧= S扇=三、巩固练习（1）1o的弧长是。

半径为10厘米的圆中，60o的圆心角所对的弧长是___。

（2）如图，同心圆中，大圆半径OA、OB交小圆与C、D ，且OC∶OA=1∶2，则弧CD与弧AB长度之比为（）（A）1∶1 （B）1∶2 （C）2∶1 （D）1∶4四、例题学习：例1. 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即弧AB的长（结果精确到0.1mm）OA B C D例2. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m ，其中水面高0.3 m ，求截面上有水部分的面积（精确到0.01 m 2）.五、当堂测试1、已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）． A ．3π B ．4π C ．5π D ．6π2、如图所示，边长为2的正方形ABCD 的一边放在定直线l 上，按顺时针方向绕点D 旋转到如图的位置，则点B 运动到点B′所经过的路线长度为（ ）A ．1B ．πC ．2D ．2πBAC(A')D lB'C'（第2题图） （第3题图） （第4题图） 3、如图，OA=3OB ，则弧AD 的长是弧BC 的长的_______倍。

《弧长及扇形面积的计算》教案探究版一、教学目标知识与技能1．掌握弧长公式和扇形面积公式的推导过程．2．会运用扇形面积公式及弧长公式进行一些有关的计算．过程与方法1．在探索弧长公式及扇形面积公式的过程中培养学生探索新知识的能力．2．通过运用弧长公式和扇形面积公式解决问题，培养学生的知识运用能力．情感、态度1．经历探索弧长公式及扇形面积公式的过程，让学生体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．2．让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高他们运用知识的能力．二、教学重点、难点重点：弧长公式和扇形面积公式的推导过程及公式的应用．难点：弧长公式和扇形面积公式的推导过程．三、教学过程设计（一）复习引入请同学们回答下列问题：1．圆的周长公式是什么？2．圆的面积公式是什么？3．什么叫弧长？老师点评：1．圆的周长C=2πR(R为圆的半径)；2．圆的面积S=πR2(R为圆的半径)；3．弧长是指圆周上一段弧的长度，它可以看作是圆周长的一部分，扇形的面积也可看作是一个圆面积的一部分．如果我们想计算圆周上一段弧的长度，你能运用圆的周长公式推导出来吗？如果要计算一个扇形的面积，你能运用圆的面积公式推导出来吗？这节课我们就来探索解决这些问题的方法．师生活动：教师出示问题，学生回顾所学内容并回答问题，教师引出本节课所学内容．设计意图：教师通过提问，揭示本节课所学内容．（二）探究新知交流与发现已知圆的半径为r．思考下面的问题：（1）圆周上1°弧的长度是整个圆周长的多少？怎样用圆的半径r表示1°弧的长度呢？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师找学生代表回答，然后订正．答：因为整个圆是360°的弧，所以圆周上1°弧的长度是整个圆周长的1360．如果圆的半径为r，那么圆的周长为2πr．1°弧的长度为2π360r，即π180r．（2）由（1），怎样用圆的半径r表示n°弧的长度l呢？与同学交流．师生活动：教师出示问题，学生思考，教师找学生代表回答，其他学生订正．答：因为1°弧的长度为π180r，所以n°弧的长度l=π180n r，即1°弧的长度的n倍．（3）在⊙O中，圆心角为1°的扇形的面积是整个圆面积的多少？怎样用圆的半径r表示圆心角为1°的扇形的面积呢？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，用上面的方法推导，教师找学生代表回答，然后订正．答：在⊙O中，圆心角为1°的扇形的面积是整个圆面积的1360．当圆的半径为r时，圆心角为1°的扇形的面积为2π360r．（4）由（3），怎样用圆的半径r表示圆心角为n°的扇形面积S扇形呢？师生活动：教师出示问题，学生思考，教师找学生代表回答，其他学生订正．答：因为圆心角为1°的扇形的面积为2π360r，所以圆心角为n°的扇形面积2π=360n rS扇形，即圆心角为1°的扇形面积的n倍．（5）如果已知⊙O的半径r和扇形的弧长l，怎样用l与r表示这段弧所在的扇形的面积呢？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师找学生代表板演，然后订正．答：因为扇形的弧长l=π180n r，所以2π1π3602180n r n rr⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是12S lr=扇形．设计意图：使学生初步感知了弧长和扇形面积的计算方法，让学生从感性认识上升为理性认识，对公式有更深刻的认识．（三）例题精讲例1 如图所示为一段弯形管道，其中心线是一段圆弧︵AB ．已知︵AB 的圆心为O ，半径OA =60 cm ，∠AOB =108°，求这段弯管的长度（精确到0.1 cm ）．师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导：要求的弯管的长度实际上就是中心线︵AB 的长度，注意精确度的要求．解：由上图可知，n =108°，r =60 cm ，代入弧长公式，得l =π10860π113.1180180n r ⨯=≈(cm)． 所以，这段弯管的长度约为113.1 cm ．例2 如图，一把扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 与AC 的夹角为120°，AB 的长为30 cm ，竹条AB 上贴纸部分BD 的宽为20 cm ．求扇子的一面上贴纸部分的面积（精确到0.1 cm 2）．师生活动：教师出示例题，学生思考，教师引导：扇子的一面上贴纸部分的面积为扇形BAC 的面积与扇形DAE 的面积的差．让学生完成解题过程．解：由上图可知，扇形的圆心为A ，圆心角n =120°，AB =30 cm ，BD =20 cm ， 图上贴纸部分的面积等于两个扇形面积的差．扇形的面积公式，贴纸部分的面积为22ππ360360BAC DAEn AB n AD S S ⋅⋅-=-扇形扇形=22120π30120π(3020)360360⨯⨯--=221π(3010)837.83-≈(cm 2)． 所以，扇子的一面上贴纸部分的面积约为837.8 cm 2．例3 如图，半圆的直径AB =40，C 、D 是半圆的3等分点．求弦AC 、AD 与︵CD 围成OBA的阴影部分的面积．师生活动：教师出示例题，学生思考，尝试完成本题，最后教师讲评． 解：如下图所示，连接CD 、OC 、OD ．∵C 、D 是半圆的3等分点， ∴∠CDA =∠DAB ，∠COD =60°． ∴CD ∥AB ．∴S △ACD =S △OCD （同底等高的三角形的面积相等）．S 阴影=S 扇形OCD =260π20200π3603⨯=．设计意图：让学生在应用知识的过程中，进一步加深对所学知识的认识与理解，培养学生的应用意识和能力．（四）挑战自我已知扇形AOB 的半径为r ，∠AOB =90°，以弦AB 为直径作半圆，得到如下图．你会求图中“新月形”（阴影部分）的面积吗？试一试．BOABOABAO参考答案解：会．∵S △AOB =212r，2211=ππ24S r ⎫=⎪⎪⎝⎭半圆，21π4AOB S r =扇形， ∴22221111=ππ2442AOB AOB S S S S r r r r +-=+-=△阴影半圆扇形．设计意图：通过本环节让教师查看学生对刚刚学过的知识的掌握情况． （五）课堂练习1．如图，桥拱的形状是一段圆弧，桥拱︵AB 的度数是90°，半径OA 为30 m ．求桥拱︵AB 的长（精确到0.1 m ）．2．如下图，水平放置的排水管的横截面为圆形，圆的半径为10 cm ，水面宽度AB 为10 cm ．求截面中有水部分的面积（精确到0.1 cm 2）．师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题． 参考答案1．解：∵︵AB 的度数是90°，∴∠AOB =90°．∵半径OA 为30 m ，∴︵AB 的长度为l =π90π3047.1180180n r ⨯=≈(m)．2．解：如下图所示，连接OA ，OB ．∵OA =OB =10 cm ，AB =10 cm ，∴△AOB 为正三角形．∴∠AOB =60°．∴260π1050π=3603AOB S ⨯=扇形(cm 2)．又∵AOB S =△2， ∴50π50= 3.1425 1.7333AOB AOB S S S -=-⨯-⨯△阴影扇形≈≈9.1(cm 2)．答：截面中有水部分的面积约为9.1 cm 2．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． （六）课堂小结 1．弧长公式在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长的计算公式为：π180n Rl =． 2．扇形的面积公式在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的扇形的面积的计算公式为：2=π360nS R 扇形． 结合弧长的公式，扇形的面积公式还可以表示为12S lR =，其中l 为扇形的弧长，R 为半径．师生活动：教师引导学生归纳总结本节课所学内容．设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容． 四、课堂检测设计1．如果一个扇形的圆心角为150°，该扇形的面积为240π cm 2，那么该扇形的弧长为（ ）．A ．5π cmB ．10π cmC ．20π cmD ．40π cm2．在半径为6 cm 的圆中，长为2π cm 的弧所对的圆周角的度数是（ ）． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°3．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．则半径为2的“等边扇形”的面积为（ ）．A．πB．1 C．2 D．2π34．如图，用两道绳子捆扎着三瓶直径均为8 cm的酱油瓶，若不计绳子接头（π取3），则捆绳总长是（）．A．24 cm B．48 cm C．96 cm D．192 cm5．如图，有一块半圆形钢板，直径AB=20 cm，计划将此钢板切割成下底为AB的等腰梯形，上底CD的端点在圆周上，且CD=10 cm．求图中阴影部分的面积．参考答案1．C．2．A．3．C．4．C．5．解：连接OC，OD，过点O作OE⊥CD于点E．∵OE⊥CD，∴CE=DE=5．∴OE∵∠OED=90°，DE=12OD，∴∠DOE=30°，∠DOC=60°．∴260π1050π3603S⨯==扇形(cm2)，S△OCD=OE·CD2)．∴50=(π3OCDS S S-=-△阴影扇形cm2．∴阴影部分的面积为50(π3-cm2．12。

《弧长及扇形面积的计算》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过实践操作与理论计算相结合的方式，使学生熟练掌握弧长及扇形面积的计算方法，加深对相关概念的理解，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。

二、作业内容1. 理论学习：学生需预习《弧长及扇形面积的计算》相关知识点，包括弧长、圆心角与扇形面积之间的关系，以及弧长和扇形面积的计算公式。

2. 课堂练习：课堂上进行例题讲解与互动练习，使学生掌握计算方法。

练习题包括不同难度的弧长和扇形面积计算题，涵盖各种实际情境。

3. 课后作业：布置以下具体内容：（1）基础练习：布置一定数量的计算题，涵盖不同情境下的弧长和扇形面积计算，要求学生运用所学知识独立完成。

（2）综合应用：设置实际问题，要求学生运用所学知识分析问题，并计算出相关结果。

例如，设计一个计算扇形花园面积的问题，让学生自己测量相关数据并进行计算。

（3）拓展提升：提供一些更具挑战性的题目，鼓励学生进行思考和探索，如探究弧长与圆周率之间的关系等。

三、作业要求1. 独立完成：要求学生独立完成作业，不得抄袭他人答案。

2. 认真审题：要求学生认真审题，明确题目要求，避免因理解错误导致答案错误。

3. 细致计算：要求学生细心计算，确保计算结果的准确性。

4. 及时反馈：要求学生按时提交作业，并在作业中注明遇到的问题和疑问，以便教师及时给予指导和帮助。

四、作业评价1. 评价标准：根据学生作业的准确性、解题思路的清晰度、计算的细致程度以及作业的完成度进行评价。

2. 反馈方式：教师通过批改作业，给出评分和详细的评语，指出学生作业中的优点和不足，并给出改进建议。

五、作业反馈1. 个性化指导：根据学生作业中出现的问题，教师进行个性化指导，帮助学生解决疑惑。

2. 课堂讨论：在下一节课上，针对学生作业中出现的共性问题进行讨论，加深学生对知识点的理解。

3. 鼓励表扬：对优秀作业进行表扬和展示，激发学生的学习积极性和自信心。