梯形的培优

特殊的直角梯形专题培优直角梯形是一个具有特殊属性的四边形。

它有两边是平行的且长度相等，而且还有一个直角。

本次专题培优将重点讨论特殊的直角梯形及其属性。

1. 特殊的直角梯形特殊的直角梯形指的是具有特定属性的直角梯形。

以下是两类特殊的直角梯形：1.1 等腰直角梯形等腰直角梯形是指直角梯形的两斜边相等的情况。

换句话说，它的两个锐角也是相等的。

等腰直角梯形有以下性质：- 直角梯形的两对角分别为90度和90度。

- 等腰直角梯形的两个底角相等。

- 等腰直角梯形的两边和两个底角都是相等的。

- 等腰直角梯形的高线是垂直于两个底边且通过梯形的顶点。

1.2 黄金直角梯形黄金直角梯形是指直角梯形的两斜边之比等于黄金比例（1:1.618）的情况。

黄金直角梯形有以下性质：- 直角梯形的两对角分别为90度和90度。

- 黄金直角梯形的两边之比等于黄金比例。

- 黄金直角梯形的两个底角也可以按照黄金比例划分。

2. 解题技巧解决特殊直角梯形的问题时，可以使用以下简单的解题技巧：- 根据给定的性质，确定直角梯形的类型（等腰直角梯形或黄金直角梯形）。

- 利用直角梯形的性质，推导出所需要求解的长度或角度。

- 使用已知条件和所学的几何知识，建立方程并解决问题。

3. 总结特殊的直角梯形是一个有趣和具有特殊属性的几何形状。

等腰直角梯形和黄金直角梯形是其中两个重要的类型。

通过了解它们的性质和解题技巧，我们可以更好地理解和解决与直角梯形相关的问题。

以上是关于特殊的直角梯形专题培优的内容。

希望这份文档对您有所帮助！。

小学数学四年级第一学期第五单元行四边形和梯形周测培优卷一、填空。

（14分，第6小题每空3分，其余每空1分）（1）在同一平面内两条直线如果不相交，就一定（）。

（2）两条直线相交成（），就说这两条直线互相垂直。

（3）从直线外一点向直线画一条垂直线段，再画几条不垂直的线段，其中（）线段最短。

（4）两条直线相交成四个角时，其中的一个角是直角，其他三个角都是（）。

（5）两条平行线之间可以画（）条垂直线段，它们的长度都（）。

（6）下面各组直线，（）互相平行，（）互相垂直。

（7）小聪和小明都用两根长6厘米和两根长4厘米的小棒摆了一个平行四边形,他们摆的图形的( )一定相等,是( )厘米。

二、判断。

(10分)（1）不相交的两条直线叫平行线。

（）（2）小方在纸上画了一条平行线。

（）（3）同平面内的两条直线，不平行就垂直。

（）（4）梯形是四边形。

（）（6）平行四边形四个角都是直角。

（）三、选择题。

（10分）（1）互相垂直的两条直线可以相交成（）个直角。

A. 2B. 3C. 4（2）一个梯形中最多有（）个直角。

A.4B.2 C．1（3）直线a和直线b都是直线c的垂线，那么直线a和b的位置关系是（）A. 垂直B. 平行C. 相交（4）两个完全一样的梯形一定能够拼成（）。

A.长方形B.梯形 C．平行四边形（5）哪幅图画垂线的方法正确？（）。

四、画一画。

（38分）（1）过点A画已知直线的垂线。

（6分）（2）画一个长3厘米，宽2厘米的长方形。

（4分）（3）在下面方格纸上画出两个不一样的平行四边形，分别画出它们的一条高，写清这条高所对应的底。

（10分）（4）分别画出下面梯形的高，并标出它们的上底、下底和腰。

（6分）（5）画一个面积是16平方厘米的正方形。

（4分）（6）在这一组平行线之间画一个最大的正方形。

（4分）再在这组平行线之间画两种不同的平行四边形？这些平行四边形有什么共同特点？（7）小明在游泳池中点A的位置，他想要游上岸，请你画出他的最短路线。

内容基本要求略高要求较高要求梯形会识别梯形、等腰梯形；了解等腰梯形的性质和判定.掌握梯形的概念，会用等腰梯形的性质和判定解决简单问题.相关概念定理1．定义：四边形中还有一类特殊的四边形，它们的一组对边平行而另一组对边不平行，这样的特殊四边形就叫做梯形.研究梯形主要是研究两类：等腰梯形和直角梯形.AB CD ABCD AD BC ⎫⇒⎬⎭∥ 叫做梯形. C B A D底角腰底高2．等腰梯形AB CD AD BC AD BC ⎫⎪=⇒⎬⎪⎭∥峛.ABCD DAB CBA ADC BCD AC BD ∠=∠∠=∠=是等腰梯形，，，B CAD3． 直角梯形AB CD CB AB ABCD AD BC ⎫⎪⊥⇒⎬⎪⎭∥ 是直角梯形. CAB D4．平行线等分线段定理1234l l l l AB BC CD ⎫⇒⎬==⎭∥∥∥111111A B B C C D ==.l 4l 3l 2l1D 1C 1B 1A 1DC B A例题精讲中考要求梯形的概念、性质与判定5．中位线定理⑴ 三角形中位线定理 ABC ∆中：1122AM BM MN BC MN BC AN CN =⎫⇒=⎬=⎭∥，. BN C MA⑵ 梯形中位线定理 梯形ABCD 中：AB CD AM DM BN CN ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭∥()12MN AB CD MN AB CD =+∥∥，B NC A MD二、等腰梯形1. 等腰梯形的性质①等腰梯形同一底边上的两个角相等； ②等腰梯形的两条对角线相等．③等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底边的垂直平分线是它的对称轴；2. 等腰梯形的判定①同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形． ②对角线相等的梯形是等腰梯形．一、梯形的概念【例1】在梯形中，以下结论：①两腰相等；②两底平行；③对角线相等；④两底相等，正确的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个【例2】梯形ABCD 中，AD ∥BC ，则∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可能是（ ）A 、4：6：2：8B 、2：4：6：8C 、4：2：8：6D 、8：4：2：6【例3】若一个四边形的四个角的比为2：4：5：7，则这个四边形是（ ）A 、平行四边形B 、梯形C 、菱形D 、一般四边形【例4】梯形上底长是4，下底长是6，则中位线夹在两条对角线之间的线段长为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4【例5】在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=10，BD=6，则该梯形的面积是（ ）A 、30B 、15C 、D 、60【例6】一梯形的两条对角线长分别为5和12，且对角线互相垂直，则这个梯形的面积为（ ）A 、60B 、30C 、40D 、50【例7】下列叙述中，正确的是（ ）A 、只有一组对边平行的四边形是梯形B 、矩形可以看作是一种特殊的梯形C 、梯形有两个内角是锐角，其余两个角是钝角D 、梯形的对角互补【例8】梯形的对角线（ ）A 、有可能被交点所平分B 、不可能被交点所平分C 、不相等D 、不可能互相垂直【例9】有两个角相等的梯形是（ ）A 、等腰梯形B 、直角梯形C 、一般梯形D 、直角梯形和等腰梯形二、特殊梯形的性质和判定【例10】已知: 如图, 在梯形ABCD 中,AD BC ∥, AB CD =, E 是底边BC 的中点, 连接AE DE ，. 求证:ADE ∆是等腰三角形.DE CAB【例11】如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，以下四个结论：①DCB ABC ∠=∠ ，②OA =OD ，③BDC BCD ∠=∠，④S AOB ∆=S DOC ∆，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③④D ．①②④ODCBA【例12】有一水库大坝的横截面是梯形ABCD ，AD BC ∥，EF 为水库的水面，点E 在DC 上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他们测得背水坡AB 的长为12米，迎水坡上DE 的长为2米，135120BAD ADC ∠=︒∠=︒，，求水深．（精确到0.11.414 1.73=）【例13】如图，在直角ABC ∆中， 90ABC ∠=︒，60C ∠=︒，2BC =，D 为AC 的中点，从D 作DE AC⊥与CB 的延长线相交于E ，以AB 、BE 为邻边作长方形ABEF ，连接DF ，则DF 的长为_________.ABC DEF【例14】如图，在梯形ABCD 中，AD BC AB AD DC AC AB ==⊥∥，，，延长CB 至F ，使BF CD =.⑴求ABC ∠的度数⑵求证：CAF ∆为等腰三角形。

小升初培优专题：梯形的基本模型
一、梯形的定义：
梯形是一个有两个底边平行的四边形。

梯形的两个底边分别称为上底和下底，上底和下底之间的距离称为高。

二、梯形的性质：
1. 两组对边分别平行。

2. 邻边互相垂直。

3. 上下底角相等。

4. 对顶角相等。

三、梯形的分类：
1. 直角梯形：梯形中有一组对边垂直。

2. 等腰梯形：梯形的两边梯段长度相等。

3. 等边梯形：梯形的四边都相等。

4. 普通梯形：以上类型之外的梯形。

四、梯形的面积：
梯形的面积等于上底和下底之和乘以高再除以二，即S=1/2(上底+下底)×高。

例如，一个梯形的上底长为6cm，下底长为8cm，高为4cm，则它的面积为S=1/2(6cm+8cm)×4cm=28cm²。

五、梯形的应用：
梯形的基本模型为很多数学题目的中心，如直接求梯形面积、在梯形内划分图形求面积、根据梯形面积求高或底长等。

在小学的数学教育中，梯形也是很重要的基本图形之一。

总结：梯形是一个有两个底边平行的四边形，有很多基本性质和分类。

计算梯形的面积是应用最广泛的数学模型之一，也是小学生数学学习中必须掌握的知识点之一。

第三节梯形一、课标导航二、核心纲要1. 梯形(1)定义：有一组对边平行另一组对边不平行的四边形叫做梯形，注：通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底．(2)分类(3)判定①定义法：一组对边平行且另一组对边不平行；②有一组对边平行且不相等的四边形是梯形．(4)梯形中位线①定义：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线；②性质：梯形中位线平行于上下底且等于上下底和的一半．2．等腰梯形(1)定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．(2)性质①等腰梯形两腰相等、两底平行；②等腰梯形在同一底上的两个角相等；③等腰梯形的对角线相等；④等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底的垂直平分线是它的对称轴，注：等腰梯形在同一底上的两个角相等，不能说成：(a)等腰梯形两底上的角相等；(b)等腰梯形两底角相等，这两种说法都是错误的．(3)判定①两腰相等的梯形是等腰梯形；②在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；③对角线相等的梯形是等腰梯形．3．解决梯形问题的基本思路4．梯形中常见辅助线方法本节重点讲解：两个图形，七种辅助线做法．三、全能突破基 础 演 练1．图18 -3—1所示四个图形缺口都能与右边的图形缺口吻合，哪个图形有可能与右边残缺的图形拼成一个梯形( )．2．以3、5、5、11为边作梯形，这样的梯形有( )．A.l 个 B ．2个 C ．3个 D.4个3．如图18-3-2所示，平面上有九个点，以这些点为顶点，能组成等腰梯形的个数是( )．A.0 B ．2 C ．4 D ．64．如图18-3-3所示，梯形ABCD 是等腰梯形，AB BE BC AC BC AD CD AB ⊥⊥=,,,//交AC 的延长线于点E ，EFIAD 交AD 的延长线于点F ，下列结论：;//FF BD ① ;2BAC AEF ∠=∠②④③;DF AD =.EF CE AC +=其中正确的结论有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则下底角的度数是( )．30.A 45.B 13545.或C 60.D6．如图18-3-4所示，在直角梯形ABCD 中，E B BC AD ,90,// =∠为AB 上一点，且ED 平分∠ADC ，EC 平分∠BCD ，则下列结论：;EC DE ⊥①②点E 是AB 中点；.BC AD CD +=③其中正确的有能 力 提 升7．梯形ABCD 中，,,//CD AB BC AD =对角线,AD BC AC +=则∠ACB 的度数是( )．30.A 45.B o C 90. 60.D8．如图18-3-5所示，已知梯形ABCD ，E BC AD ,//为CD 的中点，若用321s s s 、、分别表示△ADE 、△EBC、△ABE 的面积，则321s s s 、、的关系是( )．321.s s s A >+ 321.s s S B =+ 321.s s s c <+ D ．以上都不对9．如图18-3-6所示，在梯形ABCD 中，AD∥BC，点E 是AD 的中点，点F 是BC 的中点，),(21AD BC EF -=则C B ∠+∠为( ) 90.A o B 100. o C 110. 120.D10.如图18-3-7所示，在等腰梯形ABCD 中，,121===BC AB AD 点E 是AD 上一点，点F 是AB 上一点，且AE= BF ，连接CE 、DF ，交于点P 在下列结论中：;)1(DCE EDF ∠=∠PF AE s DPC .)3(;72)2(四边形 =∠;DPC s ∆=(4)当E 为AD 中点时，⋅=23FBCP s 四边形正确的个数有( )．1.A2.B3.C4.D11．用一块面积为2128cm 的等腰梯形彩纸做风筝，为了牢固起见，用竹条做梯形的对角线，对角线恰好互相垂直，那么至少需要竹条 cm.12.如图18 -3—8所示，在梯形ABCD 中，AD∥BC，对角线AC ⊥BD ，且,9,12==BD AC 求此梯形的中位线长．13．(1)如图18 -3—9所示，等腰梯形的周长为5cm ，它可以由什么样的三角形剪一刀而得？(2)如图18 -3 -10所示，用(1)中5张这样的等腰梯形纸片中的几张拼成较大的等腰梯形，能拼出哪几种不同的等腰梯形？画出它们的示意图，并直接写出它们的周长．14.如图18 -3 -11所示，四边形ABCF 中，.,,21,//AD FC DF AC DF AB <=∠=∠ (1)求证：ADCF 是等腰梯形；(2)若△ADC 的周长为16厘米，3=AF 厘米，3=-FC AC 厘米，求四边形ADCF 的周长．15.如图18-3-12(a)所示，在直角梯形ABCD 中，,75,,//oDCB BC AB BC AD =∠⊥以CD 为一边的等边 △DCE 的另一顶点E 在腰AB 上．(1)求∠AED 的度数；(2)求证：;BC AB =(3)如图18-3-12(b)所示，若F 为线段CD 上一点，,30 =∠FBC 求FCDF 的值．16.如图18 -3 -13所示，有一张矩形纸片ABCD ，E 、F 分别是BC 、AD 上的点（但不与顶点重合），若EF 将矩形ABCD 分成面积相等的两部分，设.,,x BE n AD m AB ===(1)求证：;EC AF =(2)用剪刀将该纸片沿直线EF 剪开后，再将梯形纸片ABEF 沿AB 对称翻折，平移拼接在梯形ECDF 的下方，使一底边重合，一腰落在DC 的延长线上，拼接后，下方梯形记作.E //C B E 当n x :为何值时，直线E E /经过原矩形的顶点D.17.已知直角梯形E CD BC AB C CD AB ABCD ,21,90,//,===∠ 为CD 的中点． (1)如图18-3-14(a)所示，当点M 在线段DE 上时，以AM 为腰作等腰直角三角形AMN ，判断NE 与MB 的位置关系和数量关系，请直接写出你的结论；(2)如图18-3-14 (b)所示，当点M 在线段EC 上时，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？请说明理由．中 考 链 接18．（2012．河北）如图18 -3 -15所示，某市A ，B 两地之间有两条公路，一条是市区公路AB ，另一条是外环公路AD-DC- CB ，这两条公路围成等腰梯形ABCD ，其中.2:5:10::,//=CD AD AB AB DC(1)求外环公路的总长和市区公路长的比；(2)某人驾车从A 地出发，沿市区公路去B 地，平均速度是40km/h ，返回时沿外环公路行驶，平均速度是80km/h ，结果比去时少用了,101h 求市区公路的长.19．（2012．杭州）如图18 -3 -16所示，在梯形ABCD 中，,,//CD AB BC AD =分别以AB ，CD 为边向外侧作等边三角形ABE 和等边三角形DCF ，连接AF ，DE ．(1)求证：;DF AF =(2)若,,45a AB BAD ==∠ △ABE 和△DCF 的面积之和等于梯形ABCD 的面积，求BC 的长．巅 峰 突 破20．如图18-3-17(a)所示，梯形ABCD 中，.60,2,//=∠===B cm AD CD AB BC AD(1)可得梯形ABCD 的周长L= cm ，面积=S ,2cm (2)如图18-3-17 (b)所示，E 、F 分别为AD 、BC 边上的动点，连接EF.设BEF xcm BF ∆=,的面积为 k BFBE L ycm =+,2（k 是常数）． ①试用含x 的代数式表示y ； ②如果,ys BF BE L =+且x 、k 均为整数，求BF 的长．21.如图18 -3 -18所示，等腰梯形ABCD 中，E DC AB BC AD ,,//=为AD 中点，连接BE ，CE.(1)求证：;CE BE =(2)若,90=∠BEC 过点B 作BF ⊥CD ，垂足为点F ，交CE 于点G ，连接DG ，且线段.6,2cm BG cm DG == 求线段CD 的长．。

梯形的性质与判定教学目标：①梯形的性质与判定；②梯形的面积；③梯形中常见的辅助线的做法；④梯形与全等变换；⑤梯形中线段与角度的计算；⑥梯形与操作探究； 教学过程：一、梯形中常见的辅助线的做法：例：如图，在梯形ABCD 中，A D ∥BC ，AB=DC ，AE ⊥BC ，求证：BE=21（BC-AD ）练习：1、 如图，在梯形ABCD 中，A D ∥BC,AD=6，AB=7，BC=8，求CD 的取值范围。

A B C DE AB C D EAB CDE AB C DEABCD EF F A B D C E A B D C A B DCEF GFG FA BD CE A BDC EA BDC E ABDCEA B C D EA B C D2、 如图，在直角梯形ABCD 中，∠B=∠C=90°，M 为BC 上的一点，MA=MD,且∠AMB=75°, ∠DMC=45°，求证：AB=BC3、 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 分别是CD 、AB 的中点，∠A+∠B=90°求证：MN=21(AB-CD)4、 如图，梯形ABCD 中，AM 、BM 分别平分∠DAB 、∠CBA ，交点M 在CD 上， 求证：M 为CD 中点。

（注意变式习题）二、梯形与面积：例：如图，在梯形ABCD 中，A D ∥BC,E 是CD 的中点，EF ⊥AB 于F 点，AB=6，EF=5，求梯形ABCD 的面积。

解析：梯形的面积问题有以下几种解决途径：①直接法：S 梯形=21h(a+b)；②S 梯形=中位线 高；③若梯形对角线垂直，S 梯形=21对角线乘积； ④过腰中点，转化为同面积的三角形；⑤过腰中点，转化为同面积的平行四边形；此题可以转化为等面积的三角形，平行四边形，直角梯形 练习：1、 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=DC=3，AB=4，BC=8，求梯形ABCD 的面积。

四年级数学上册平行四边形和梯形(图形面积计算)专项培优资料含解析
知识框架：
一、概念：物体的表面或成的平面图形的大小，叫作它们的面积。

二、基础公式：
正方形的面积=边长×边长
长方形的面积=长×宽
平行四边形的面积=底×高
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2
三、解题要点：
1.细心观察，把握图形特点，合理地进行切拼，从而使问题得以顺利解答。

2.从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算使隐蔽的数量关系明朗化。

专项练习：
答案解析：。

梯形中的中点问题专题培优简介本文将探讨关于梯形中的中点问题，并提供专题培优的方法和技巧。

中点问题的定义梯形中的中点问题是指在一个梯形中，如何找到两个非对角线线段的交点，也就是梯形的中点。

这个问题在几何学中有很多应用，特别是在计算梯形的面积和解决几何问题时。

解决方法方法一：使用梯形的性质根据梯形的性质，我们知道梯形的对角线中点连接成一条线段并且相互垂直。

因此，我们可以使用这一性质来找到梯形的中点。

具体步骤如下：1. 找出梯形的对角线，并计算它们的中点坐标；2. 连接两个中点，得到一条垂直于对角线的线段；3. 找到这条垂直线段与另外两条非对角线的交点，即为梯形的中点。

方法二：使用坐标几何另一种解决梯形中点问题的方法是使用坐标几何。

具体步骤如下：1. 假设梯形的四个顶点的坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，D(x4, y4)；2. 计算梯形AC和BD的中点坐标：AC的中点为E((x1+x3)/2, (y1+y3)/2)，BD的中点为F((x2+x4)/2, (y2+y4)/2)；3. 连接中点E和F，得到一条线段，它同时也是梯形的对角线；4. 找到这条线段与另外两条非对角线的交点，即为梯形的中点。

专题培优为了更好地解决梯形中点问题，以下是一些专题培优的建议：1. 掌握和理解梯形的性质，特别是梯形的对角线和垂直性质；2. 熟练掌握坐标几何的计算方法，包括中点和斜率的计算；3. 多进行练和实践，通过解决各种梯形中点问题来提高自己的能力；4. 参考相关教材和网上资源，研究其他解决梯形中点问题的方法和技巧。

结论本文介绍了关于梯形中的中点问题的定义，以及两种解决方法：使用梯形的性质和使用坐标几何。

此外，还提供了一些专题培优的建议，以帮助读者更好地掌握和解决梯形中点问题。

在实践中，读者可以根据具体情况选择合适的方法和技巧，提高自己解决几何问题的能力。