9梯形-等腰梯形的证明-基础题和培优题

等腰梯形的性质及证明等腰梯形是一种特殊的梯形，其两边腰长相等。

在这篇文章中，我们将讨论等腰梯形的性质以及如何证明这些性质。

首先，我们来看一下等腰梯形的定义。

1.基角：等腰梯形的两个底边之间的角被称为基角。

2.腰角：等腰梯形的两个腰边与底边之间的角被称为腰角。

3.顶角：等腰梯形的两个腰边之间的角被称为顶角。

现在，我们来讨论等腰梯形的性质：性质1：等腰梯形的两个底边平行。

证明：我们可以利用反证法来证明这个性质。

假设等腰梯形的两个底边不平行，那么根据平行线的性质，腰边与底边之间的对应角也不相等。

这与等腰梯形的定义相矛盾，因此我们可以得出结论：等腰梯形的两个底边平行。

性质2：等腰梯形的两个腰边相等。

证明：我们可以利用切线与弦的性质来证明这个性质。

首先，我们将等腰梯形的两个腰边延长，并在延长线上取两个点，使得两个延长线与底边相交。

然后，连接这两个点与等腰梯形的垂线相交的点，得到两个三角形。

根据三角形的性质，我们知道，当两个角是等腰三角形的顶角时，这两个三角形是等腰三角形。

根据等腰三角形的定义，我们可以得出结论：等腰梯形的两个腰边相等。

性质3：等腰梯形的基角相等。

证明：我们可以利用同位角的性质来证明这个性质。

首先，我们将等腰梯形的两个底边延长，并在延长线上取两个点，使得两个延长线与腰边相交。

然后，连接这两个点与等腰梯形的垂线相交的点，得到两个三角形。

根据三角形的性质，我们知道，当两个角是等腰三角形的腰角时，这两个三角形是等腰三角形。

根据等腰三角形的定义，我们可以得出结论：等腰梯形的基角相等。

性质4：等腰梯形的对角线互相垂直。

证明：我们可以利用直角三角形的性质来证明这个性质。

首先，我们可以通过等腰梯形的两个腰边延长线的交点连接两个顶角，形成一个直角三角形。

根据直角三角形的性质，直角三角形的两条边互相垂直。

因此，我们可以得出结论：等腰梯形的对角线互相垂直。

性质5：等腰梯形的对边相等。

证明：我们可以利用同位角的性质来证明这个性质。

卜人入州八九几市潮王学校梯形、等腰梯形及其性质断定2021年中考试题集锦第1题.(2021课改)在平面直角坐标系中描出以下各点(21)(01)(43)(63)A B C D ---，，，，，，，，并将各点用线段依次连接构成一个四边形ABCD ．〔1〕四边形ABCD 是什么特殊的四边形？答：； 〔2〕在四边形ABCD 内找一点P ，使得APB BPC CPD APD ，，，△△△△都是等腰三角形，请写出P 点的坐标． 答案：解：画图正确〔1〕等腰梯形；〔2〕3)P ．第2题.(2021课改)如图，在梯形ABCD 中，AB DC ∥，90BCD ∠=， 且1AB =，2BC =，tan 2ADC ∠=． 〔1〕求证：DC BC =；〔2〕E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且EDC FBC ∠=∠，DE BF =，试判断ECF △的形状，并证明你的结论； 〔3〕在〔2〕的条件下，当:1:2BE CE =，135BEC ∠=时，求sin BFE ∠的值． 答案：〔1〕过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M ． 那么2AM BC ==．又tan 2ADC =∠，所以212DM ==． 因为1MC AB ==，所以2DC DM MC =+=．即DC BC =． 〔2〕等腰直角三角形．证明：因为DE BF =，EDC FBC =∠∠，DC BC =，所以，DEC BFC △≌△． 所以CECF =，ECD BCF =∠∠．所以90ECFBCF BCE ECD BCE BCD =+=+==∠∠∠∠∠∠．ABEFCMD即ECF △为等腰直角三角形．〔3〕设BEk =，那么2CE CF k ==．所以EF =．因为135BEC =∠，又45CEF=∠，所以90BEF =∠．所以3BFk ==．所以1sin 33k BFEk ==∠． 第3题.(2021非课改)如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，假设B ∠与C ∠互余，那么MN 与BC AD -的关系是〔〕 Ａ．2MN BC AD <-Ｂ．2MN BC AD >- Ｃ．2MN BC AD =-Ｄ．()2MN BC AD =-答案：Ｃ第4题.〔2021非课改〕如图，等腰梯形ABCD的周长是20AD BC ，，∥120AD BC BAD <∠=，，对角线AC 平分BCD ∠，那么ABCD S 梯形=．答案：第5题.〔2021非课改〕如图，在等腰梯形ABCD 中，2445AB BC B ===，，∠，那么该梯形的面积是〔〕Ａ．1Ｂ．4-Ｃ．4Ｄ．2答案：Ｄ第6题.〔2021非课改〕在以下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两局部，那么由这两局部既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是〔〕答案：ＤA DCBMNCBCBＡ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．第7题.〔2021非课改〕如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，假设4860AD BC B ==∠=，，，那么这个等腰梯形的周长等于．答案：20第8题.〔2021课改等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm ，10cm ，6cm ，那么等腰梯形的下底角为度． 答案：60第9题.(2021课改)在等腰梯形ABCD 中，123AD BC AD AB CD BC ====，，，∥，那么 B ∠＝度．答案：60第10题.(2021课改)如图，等腰梯形ABCD 中，AB DC ∥，AC BC ⊥，点E 是AB 的中点，EC AD ∥，那么ABC ∠等于〔〕 A ．75︒ B ．70︒ C ．60︒ D ．30︒答案：Ｃ第11题.(2021非课改)活动课上，教师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为2450cm ，那么两条对角线所用的竹条至少需要〔〕 Ａ．30cm Ｂ．60cmＣ．45cmＤ．90cm答案：B第12题.(2021非课改)假设一梯形的上底长为3，下底长为5，那么该梯形的中位线长为． 答案：4第13题.(2021课改)在平面直角坐标系中描出以下各点(21)(01)(43)(63)A B C D ---，，，，，，，，并将各点用线段依次连接构成一个四边形ABCD ．〔1〕四边形ABCD 是什么特殊的四边形？答：； 〔2〕在四边形ABCD 内找一点P ，使得APB BPC CPD APD ，，，△△△△都是等腰三角形，请写出P 点的坐标． 答案：解：画图正确A DBCEB〔1〕等腰梯形；〔2〕(173)P -，．第14题.〔2021课改〕以下各图中，沿着虚线将正方形剪成两局部，那么由这两局部既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形的是〔〕答案：Ｂ第15题.〔2021课改〕以下说法：①对角线相等的梯形是等腰梯形；②对角线互相垂直的矩形是正方形．其中〔〕A ．①正确，②不正确B ．①、②都正确C ．①、②都不正确D ．①不正确，②正确答案：B第16题.〔2021课改〕如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥．90C =∠，且AB AD =．连结BD ，过A 点作BD 的垂线，交BC 于E ．假设3cm EC =，4cm CD =，那么，梯形ABCD 的面积是___________________2cm ．答案：26第17题.〔2021课改〕如图是一个等腰梯形状的水渠的横切面图，渠道底宽2BC =米，渠底与渠腰的夹角120BCD =∠，渠腰5CD =米，求水渠的上口AD 的长．答案：解：过C 和B 分别作CEAD BF AD ⊥⊥，∴四边形ABCD 为等腰梯形2.52 2.57AD DE EF FA ∴=++=++=〔米〕第18题.〔2021课改〕以下四边形①等腰梯形，②正方形，③矩形，④菱形的对角线一定相等的是〔〕 Ａ．①②③Ｂ．①②③④Ｃ．①②Ｄ．②③答案：Ａ第19题.〔2021课改〕如图甲，四边形ABCD 是等腰梯形，AB DC ∥．由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形．Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．〔中点〕〔中点〕ADECBABC DABCDEF〔1〕求梯形ABCD 四个内角的度数；〔2〕试探梯形ABCD 四条边之间存在的数量关系，并说明理由．答案：解：〔1〕如图123∠=∠=∠，123360∠+∠+∠=，即1120∠=，所以图甲中梯形的上底角均为120，下底角均为60．〔2〕由EF 既是梯形的腰，又是梯形的上底可知，梯形的腰等于上底．连结MN ，那么30FMNFNM ∠=∠=，从而30HMN ∠=，90HNM ∠=，所以12NH MH =，因此梯形的上底等于下底长的一半，且等于腰长．第20题.〔2021课改〕如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼出不同形状的四边形，请写出其中两个不同的四边形的名称：．答案：等腰梯形、矩形〔长方形〕、平行四边形中任选两个即可第21题.〔2021A 课改〕如图：在直角梯形ABCD 中，AB BC ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，EF 为梯形的中位线，DH 为梯形的高，那么以下结论：①60BCD ∠=，②四边形EHCF 为菱形，③12BEH CEH S S =△△，④以AB 为直径的圆与CD 相切于点F ，其中正确结论的个数为〔〕． Ａ．4Ｂ．3Ｃ．2Ｄ．1答案：Ｂ第22题.〔2021HY 课改〕如图，等腰梯形ABCD 下底与上底的差恰好等于腰长，DE AB ∥．那么DEC ∠等于〔〕Ａ．75° Ｂ．60° Ｃ．45°Ｄ．30°答案：B第23题.〔2021非课改〕如图，梯形纸片ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝BC ，AB ＝6，CD ＝3．将该梯形纸片沿对角线AC 折叠，点D 恰与AB 边上的E 点重合，那么∠B ＝________．ＤＣＢ Ａ 图甲图乙ＥＦ ＨＭ123ADEBABCDE答案：60˚。

等腰梯形的性质专项练习30 题（有答案）1．如图，在等腰梯形ABCD 中， AD ∥ BC ， AB=CD ， AD=2 ，AB=6 ，∠ B=60 °，求下底BC 的长．2．在等腰梯形ABCD 中， AD ∥ BC，AB=CD=AD，AC⊥AB．求∠B的度数．3．如图，在等腰梯形ABCD 中， AB ∥ DC ，对角线AC 平分∠ BAD ，∠ B=60 °， CD=3 ，求梯形中位线的长．4．如图在梯形ABCD 中， AD ∥ BC，AB=AD=DC，AC⊥AB，将CB延长至点F，使 BF=CD ．求∠ CAF 的度数．5．如图，已知在梯形ABCD 中， AD ∥ BC ， AB=CD ， AD=4 ，BC=8 ，∠ C=60°，求 AB 的长．6．已知：如图，梯形ABCD 中， AB ∥ CD ，AD=BC ，对角线AC 、BD 交于 M ，AB=2 ， CD=4 ，∠ CMD=90 °，求：BD 的长．7．如图，在等腰梯形△ ABCD中，AB∥ CD，AD=BC=CD，BD⊥AD．（1）求∠ A 的度数．（2）设 AD=2cm ，求梯形 ABCD 的面积．8．如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD ∥ BC ，AB=CD ，∠ B=60 °．AE ⊥BC 于 E；EF⊥ CD 于 F，点 F 是 CD 的中点．求证： AD=BE ．9．如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC， AB=CD ， AE ⊥BC 于 E，∠ B=60 °，∠ DAC=45 °，，求梯形 ABCD 的周长？10．如图示，在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥BC，∠ B=45 °，中位线长为 5cm，高为 2cm，求梯形底边 BC 的长及梯形的面积．11．如图，在梯形ABCD 中， AD ∥ BC ，AB=DC=6cm ， BD ⊥ CD 于 D ，∠ C=60°．（1）求∠ DBC 的度数；（2）求 AD 的长．12．如图，等腰梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ，AB=2AD ，梯形周长为 40，对角线 BD 平分∠ABC ，求梯形的腰长及两底边的长．13．如图，在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥ BC， AC 平分∠ BCD ，已知 AD=5cm ， BC=9cm ，求等腰梯形 ABCD 的周长．14．如图，在梯形ABCD 中， AD ∥BC ， AB=DC ，点 E 在 BC 的延长线上，DE=DB ．求证： AD=CE ．15．如图，等腰梯形ABCD 中， AD ∥ BC， BD ⊥DC ，点 E 是 BC 边的中点， DE ∥AB ．（1）求∠ BCD 的度数；（2）若 AB=4 ，求等腰梯形 ABCD 的面积．16．如图，在等腰梯形 ABCD 中， AB=CD ，∠ D=120 °， AC 平分∠ BCD ，梯形的中位线长为 6，求 AC 的长及梯形的面积？17．如图， E 是等腰梯形ABCD 底边 AB 上的中点，求证：DE=CE ．18．如图，在等腰梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ，AD=BC ，E、F 是 AB 上的两点且 AE=BF ，DF 与 CE 相交于点 O．问 OE 与OF 相等吗？为什么？19．如图，在等腰梯形ABCD 中， AD ∥ BC，∠ A=2 ∠ B ， BC=3， AB=2 ．求 AD 的长．20．如图，等腰梯形ABCD 中， AD ∥ BC， BD ⊥CD ，∠ A=2 ∠ C， BC=8cm ，求腰 DC 的长．21．如图所示，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥ BC， AB=DC ，∠ ACB=42 °，∠ ACD=27 °．（1）∠ BAC= _________ °；（2）如果 BC=10cm ，连接 BD ，求 BD 的长度．22．如图，在等腰梯形ABCD 中， AD ∥ BC， M 是 AD 的中点， MB=MC吗？为什么？23．如图，在梯形ABCD 中， AB=DC=AD ， AC=BC ，求∠ B 的度数．24．如图， E 是等腰梯形ABCD 底边 AB 上的中点， DE 和 CE 相等吗，为什么？25．如图，等腰梯形ABCD 中， AD ∥ BC， AB=CD ，两条对角线AC ⊥BD ， AE ⊥ BC ．（1）求证： AE= （ AD+BC ）；（2）若 AC=10cm ，求等腰梯形 ABCD 的面积．26．如图，已知在等腰梯形ABCD 中， CD ∥ AB ， AD=BC ，四边形 AEBC 是平行四边形．求证：∠ ABD=∠ ABE．27．如图，等腰梯形ABCD 中， AD ∥ BC， AB=CD ，对角线BD 平分∠ABC ，且 BD ⊥ DC ，上底 AD=3cm ．（1）求∠ ABC 的度数；（2）求梯形 ABCD 的周长．28．已知等腰梯形 ABCD 中， AD ∥BC ， AB=CD ，BD 平分∠ABC ， BD ⊥CD，若梯形的周长为 25cm，求梯形各边的长．29．如图，已知四边形ABCD 是等腰梯形， AD ∥ BC ，对角线AC ⊥BD ，延长 BC 至 E 点，使 CE=AD ，连接 DE ．（1）求∠ ACE 的度数；（2）若 AD+BC=10cm ，求△BDE 的面积．30．如图所示：在等腰梯形ABCD 中， AB ∥ DC， AD=DC=CB ，∠ ADC=120 °．（1）试探讨线段 AC 与 BC 的位置关系；（2）若 AD=4 ，求梯形 ABCD 的面积．参考答案：1．过点 D 作 DE∥ AB ，则可得 DE=AB=CD ，又∵ ∠ B=∠ DEC=60 °，∴ △ DEC 为等边三角形，∴CE=AB=6cm ，故可得 BC=BE+EC=AD+EC=8cm．2．在等腰梯形ABCD 中，∵AD ∥ BC ， AB=CD ，∴∠B=∠BCD ．（1 分）∵AD=CD ，∴∠ACD= ∠CAD ．（1 分）又∵AD ∥ BC，∴∠ACB= ∠CAD ．（1 分）∴∠ACB= ∠ACD ．（1 分）∵AC⊥AB ，∴ ∠ B+∠ ACB=90 °．（1 分）∴∠B+∠B=90°．∴ ∠ B=60 °．3．∵四边形 ABCD 是等腰梯形，∠ B=60 °，∴ ∠ BAD= ∠ B=60 °， AD=BC ，∵AC 平分∠BAD ，∴ ∠ BAC= ∠ DAC=30 °，∴ ∠ ACB=90 °，又∵AB ∥DC，∴∠ACD= ∠BAC ，∴∠ACD= ∠DAC ，∴DC=AD=3 ，∴BC=AD=3 ，在 Rt△ ACB 中，∵∠BAC=30 °，∴ AB=2BC=6 ，∴所求中位线的长是（AB+DC）=（6+3）=4.54．∵AD ∥BC ，∴∠DAC= ∠ACB ，∵AD=DC ，∴∠DCA= ∠DAC ，∴ ∠ ACD= ∠ ACB=∠DCB，∵AB=DC ，∴ ∠ ABC= ∠ DCB=2 ∠ ACB ，∵AC⊥AB ，∴ ∠ CAB=90 °，∴ ∠ ABC=60 °，∵AB=BF ，∴∠BAF= ∠F，∵ ∠ ABC= ∠ BAF+ ∠ F，∴ ∠ BAF=30 °，∴ ∠ CAF= ∠ CAB+ ∠ BAF=90 °+30°=120 °．5．分别过点 A ， D 作 AE ⊥ BC， DF⊥ BC ．∵在梯形 ABCD 中，AD ∥ BC ，AB=CD ，AD=4 ，BC=8 ，∴AD=EF=4 ，BE=CF= （ 8﹣ 4） =2，∵ ∠ C=60 °，∴ ∠ CDF=30 °，∴CD=4 ，∵AB=CD ，∴ AB=4 ．6．如图，过点 B 作 BE ∥AC 交 DC 的延长线于点 E，∴ ∠ EBD= ∠ CMD=90 °，∵AB ∥CD ，∴四边形 ACEB 是平行四边形，∴AC=BE ，CE=AB ，∵ AB=2 ，CD=4 ，∴DE=DC+CE=DC+AB=4+2=6 ，∵梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ， AD=BC ，∴AC=BD ，∴BD=BE ，在 Rt△BDE 中，由勾股定理得， BD2+BE2=DE2，即 BD2+BD2=62，解得 BD=3．故答案为： 3 ．7． 1）解：∵ AD=BC=DC ，∴∠CDB= ∠ CBD，∵DC ∥BA ，∴∠CDB= ∠ DBA ，∴ ∠ CBA=2 ∠ DBA ，∵DC ∥AB ， AD=BC ，∴∠A= ∠ABC=2 ∠DBA ，∵DB ⊥AD ，∴ ∠ ADB=90 °，∵AD ∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，∴ ∠ A= ×90°=60°，∴AE ∥DF，∴四边形 ADFE 是平行四边形，答：∠ A=60 °．∴，∴梯形 ABCD 的周长为： AD+DC+BC+AB=﹣（ 2）解：作 DE ⊥ AB 于 E，1+2+2+2+ ﹣ 1=4+2 ．∵ ∠ A=60 °，∠ DEA=90 °，答：梯形 ABCD 的周长是 4+2 ．∴ ∠ ADE=30 °，∴ AE= AD=1cm ，由勾股定理得： DE= cm，同理 AB=2AC=4cm ，10．取两腰 AB ，CD 的中点分别为 E 和 F，连接 EF，∴梯形 ABCD 的面积是（ CD+AB ）×DE= （×2cm+4cm ）根据梯形中位线定理得：EF= （ AD+BC ），× cm=3 cm 2，cm2∵ EF=5cm ，∴ AD+BC=10cm ，答：梯形 ABCD 的面积是过 A， D 作出梯形的两条高 AM 和 DN ，∵梯形 ABCD ，∴AD ∥BC，∴ ∠ MAD= ∠ AMN= ∠MND=90 °，∴四边形 AMND 为矩形，∴ AD=MN ，8．连接 ED．又 Rt△ABM 和 Rt△ DCN 中，∵AD ∥BC，AB=CD ，AM=DN ， AB=AC ，∴ ∠ B=∠ C=60°，∴ Rt△ABM ≌ Rt△ DCN ，∵ EF⊥CD ， F 是 CD 中点，∴ BM=CN ，∴ ED=EC （ 3 分）由∠ AMB=90 °，∠ B=45 °，得△ ABM 为等腰直角三角形，∴ ∠ DEC= ∠C=60°∴ MB=AM=2cm ，同理 CN=DN=2cm ，∴ △ ECD 是等边三角形，（ 4 分）设 AD=MN=xcm ，∴ ∠ B=∠ DEC 则 AD+BC=AD+BM+MN+NC=2x+4=10 ，∴AB ∥DE（5 分）解得： x=3，∴四边形 ABED 是平行四边形（ 6 分）∴ BC=2+x+2=7 ；∴ AD=BE （ 7 分）∴梯形的面积 S= = =10cm 2．9．∵ AD ∥BC ，∠ DAC=45 °，∴ ∠ ACB=45 °∵AE⊥BC，，∴，∵ ∠ B=60 °，∴BE=1 ， AB=2 ，∴DC=2 ，作 DF⊥ BC 于点 F，∴四边形 AEFD 是矩形，∴AE=DF ，∵ ∠ B=∠ C，∠AEB= ∠DFC=90 °，∴ △ ABE ≌△ DCF （AAS ），∴BE=FC=1 ，∴，答： BC=7cm ，梯形的面积10cm2．11．（1）∵BD⊥ CD 于 D，∴ ∠ BDC=90 °，∵ ∠ C=60 °，∴ ∠ DBC=180 °﹣ 90°﹣60°=30°；（2）如图，过 D 作 DE ∥ AB 交 BC 于点 E，∵AD ∥BC，∴四边形 ABED 是平行四边形，∴AD=BE ，AB=DE ，∵ AB=DC ，∴DC=DE ，∵ ∠ C=60 °，∴ △ CDE 是等边三角形，∴CE=DC=6cm ，在 Rt△ BCD 中，∵∠ DBC=30 °，DC=6cm ，∴BC=2DC=2 ×6=12cm，∴BE=BC ﹣ CE=12 ﹣ 6=6cm，∴AD 的长为 6cm．12．∵四边形 ABCD 是等腰梯形， AB ∥ DC，∴AD=BC ，∠DBA= ∠CDB ，又 BD 平分∠ABC ，∴∠ CBD= ∠ DBA ，∴∠ CDB= ∠ CBD ，∴CD=BC ，又 AB=2AD ，AB+AD+CD+BC=40，∴2AD+AD+AD+AD=40 ，5AD=40 ，AD=8 ，∴CD=8 ， AB=16 ，即梯形腰长为8，两底边长为8 和 16，答：梯形的腰长是8，两底边的长分别是8， 16 13．∵ AD ∥BC，∴∠DAC= ∠ACB ，∵AC 平分∠BCD ，∴∠DCA= ∠ACB ，∴∠DAC= ∠DCA ，∴AD=CD=AB=5cm ，∴等腰梯形 ABCD 的周长是AB+BC+CD+AD=5cm+5cm+5cm+9cm=24cm ，答：等腰梯形 ABCD 的周长是 24cm．14．法一：在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC，AB=AC ，∴ ∠ ABC= ∠ DCB （等腰梯形同一底上的内角相等），∠A+ ∠ABC=180 °，又∵ ∠ DCE+ ∠ DCB=180 °，∴∠A=∠DCE ，∵DB=BE ，∴∠DBC= ∠E，∵∠ADB= ∠DBC，∴∠ADB= ∠E，在△ABD 和△CDE 中，，∴△ABD ≌△CDE（AAS ），∴AD=CE ；证法二：连接AC ，在梯形 ABCD 中，∵ AD ∥ BC， AB=AC ，∴ AC=BD （等腰梯形的对角线相等），∠ ABC= ∠DCB （等腰梯形同一底上的内角相等），在△ABC 和△DCB 中，，∴ △ ABC ≌ △DCB （ SAS），∴∠ACB= ∠ DBC，∵DB=BE ，∴∠DBC= ∠ E，∴∠ACB= ∠ E，∴AC ∥DE ，又∵ DE=BD ，∴DE=AC ，∴四边形 ACED 是平行四边形（一组对边平行的四边形是平行四边形），∴AD=CE ．（平行四边形的对边相等）．15．（ 1）∵梯形 ABCD 是等腰梯形，∴AB=CD ，∵AD ∥BC ， DE∥ AB ，∴四边形 ABED 是平行四边形，∴AB=CD=DE ，∵BD ⊥DC，∴∠ BDC=90 °，∵点 E 是 BC 边的中点，∴BE=DE=CE ，∴DE=DE=CE ，即△ CDE 是等边三角形，∴∠ BCD=60 °；（2）过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，∵ △ CDE 是等边三角形，AB=CD=4 ，∴ DF=CD ?sin60°=4 × =2，∵AB=BE=CE=4 ，∴ BC=2AB=8 ，∴ S 梯形ABCD = （ AD6BC ）?DF= ×（ 4+8）×2 =1216．∵四边形 ABCD 是等腰梯形，∠ D=120°，∴ ∠ B= ∠ BCD=60 °，∵AC 平分∠BCD，∴ ∠ BCA= ∠ ACD=30 °，则∠ BAC=90 °，又∠ CAD= ∠BCA ，∴ ∠ CAD= ∠ACD ，则 AD=CD=AB ，在 Rt△ ABC 中，∵∠ BCA=30 °，∴BC=2AB=2AD ，∵中位线长为 6，∴AD+BC=3AD=12 ，∴AD=4 ， BC=2AD=8 ，在 Rt△ ABC 中，由勾股定理，得，作 AE⊥BC 于 E，则，∴ 梯形的面积为，答： AC 的长是 4，梯形的面积是12．17．∵等腰梯形ABCD ，∴BC=AD ，∠CBE= ∠ DAE ．∵ E 是 AB 上的中点，∴BE=AE ．∴△ CBE ≌△ DAE （SAS）．∴DE=CE ．18． OE=OF ．理由：∵AE=BF ，∴AE+EF=BF+EF ，即 AF=BE ．∵等腰梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ，∴AD=CB ，∠A= ∠B ．∴△ADF ≌△BCE ．∴∠ DFE= ∠ CEF．∴OE=OF19．过点 A 作 AE ⊥BC 于 E，过点 D 作 DF⊥ BC 于 F，则四边形 AEFD 是矩形，所以 AD=EF ， BE=FC因为∠ A=2 ∠ B，又∠ BAD+ ∠B=180 °，所以∠ B=60 °在 Rt△ AEB 中，因为∠ BAE=90 °﹣60°=30°，AB=2 ，所以 BE= AB=所以 AD=BC ﹣ 2BE=3 ﹣ 1×2=1．20．因为四边形 ABCD 是等腰梯形， AD ∥ BC，所以∠ A= ∠ ADC ，∠ ADC+ ∠C=180 °（ 2 分）又∠ A=2 ∠ C，则 2∠ C+∠ C=180°，故∠ C=60°（ 4 分）因为 BD ⊥ CD，BC=8cm ，所以，∠ DBC=180 °﹣90°﹣60°=30°（6 分）则 DC= BC=4cm ，即为所求．21．（ 1）∵∠ ACB=42 °，∠ ACD=27 °，∴ ∠ BCD= ∠ BCA+ ∠ ACD=69 °；（2）∵∠ ABC= ∠ BAC=69 °，∴AC=BC=10cm ，又∵四边形 ABCD 是等腰梯形，∴BD=AC=10cm ．22．∵四边形 ABCD 是等腰梯形，∴AB=DC ，∠ A= ∠ D．∵M 是 AD 的中点，∴AM=DM ．在△ABM 和△ DCM 中，，∴ △ ABM ≌△ DCM （ SAS）．∴MB=MC23．∵四边形 ABCD 是等腰梯形，∴∠B=∠BCD．∵AD ∥BC ，∴ ∠ DAC= ∠ACB ，∵AD=CD ，∴ ∠ ACD= ∠DAC ，∴∠ACB= ∠ DCA ，设∠ ACD=x ，则得到∠DAC= ∠ACB=x ，∠B= ∠ BAC=2x ，∴ ∠ B+ ∠ ACB+ ∠ BAC=180 °，即x+2x+2x=180 °，解得 x=36°，∴∠B=72°24． DE=CE ．理由是：∵等腰梯形ABCD ，AB ∥ CD，∴∠A= ∠B，∵E 为 AB 的中点，∴AE=BE ，在△CBE 和△DAE 中，∴△CBE≌△DAE （SAS），∴DE=CE ．25． 1）证明：过点 D 作 DF∥ AC ，交 BC 的延长线于点F，过点 D 作 DH ⊥BC 于点 H，∵AD ∥BC ，∴四边形 ACFD 是平行四边形，∴CF=AD ，DF=AC ，∵AC ⊥BD ，AE⊥BC，∴DH=AE ， DF ⊥BD ，∵ AB=CD ，∴AC=BD ，∴BD=DF ，∴△ BDF 是等腰直角三角形，∴BH=FH ，∴DH= BF= （ BC+CF ）= （AD+BC ），∴AE= （AD+BC ）；（2）解：∵AC=10cm ，∴BD=DF=10cm ，在 Rt△ BDF 中， BF==10（cm），∴ AD+BC=BF=10cm，∴AE= BF=5 （ cm），∴ S 梯形ABCD = （ AD+BC ）?AE=×10×5=50（cm2）．26．∵四边形 AEBC 是平行四边形，AD=BC ，∴AD=BC=AE ， BD=AC=BE ，在△AEB 和△ ADB 中，，∴△AEB ≌△ADB ，∴∠ABD= ∠ABE ．27．（ 1）等腰梯形 ABCD 中， AD ∥BC ， AB=CD ，∴∠C=∠ABC ，∵BD 平分∠ABC ，∴ ∠ C=∠ ABC=2 ∠ DBC ，∵BD⊥DC，∴ ∠BDC=90 °，∴3∠ DBC=90 °，∴ ∠ DBC=30 °，∴ ∠ ABC= ∠ C=2∠ DBC=60 °；（2）∵AD ∥BC，∴∠ADB= ∠DBC，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD= ∠DBC，∴∠ABD= ∠ADB ，∴ AB=AD=DC ，∵AD=3cm ，∴AB=DC=3cm ，在 Rt△ BDC 中，∠BDC=90 °，∠DBC=30 °， DC=3cm ，∴BC=2DC=6cm ，∴梯形 ABCD 的周长是AD+AB+BC+CD=3cm+3cm+6cm+3cm=15cm．28．∵在等腰梯形ABCD 中， AB=CD ，∴∠ABC= ∠ C，∵对角线 BD 平分∠ABC ，∴ ∠ DBC=∠ ABC=∠ C，∵AD ∥BC ，∴∠DBC= ∠ ADB ，∴ ∠ C=2∠ DBC ，∵BD ⊥CD ，∴∠ DBC=30 °，∴ BC=2CD ，∵梯形的周长 =AD+AB+BC+CD=5AB=30cm ，∴AB=AD=CD=6cm ， BC=12cm29．（ 1）∵ AD ∥BC， CE=AD ，∴四边形 ACED 为平行四边形∴DE ∥ AC ，DE=AC∵四边形 ABCD 是等腰梯形，∴AC=BD ，∴BD=DE ，∴∠ E=∠ DBE ，∵AC ⊥BD ， AC ∥DE，∴DE⊥BD ，∴ ∠BDE=90 °，∴∠E=45°∵DE∥AC ，∴ ∠ E+∠ ACE=180 °，∴ ∠ ACE=135 °（2）∵ AD=CE ，∴BE=BC+CE=BC+AD=10cm ，∴ Rt△BDE 中，由勾股定理得：BD2+DE2=BE2，又∵ BD=DE ，∴ BD2=50，∴ S△BDE =cm2．30．（ 1）线段 AC 与 BC 的位置关系是：AC ⊥ BC ，理由是：∵等腰梯形ABCD ，∠ ADC=120 °，∴ ∠ DAB= ∠CBA=60 °，又由 AD=DC ，∠ADC=120 °，∴ ∠ DAC=30 °，∴ ∠ CAB=30 °，∴ ∠ ACB=90 °，即 AC⊥BC ．（2）过 C 作 CE∥AD 交 AB 于 E，∵DC ∥AB ， CE∥ AD ，AD=DC ，∴四边形 ADCE 是菱形，又∠ CBA=60 °，△ CBE 为等边三角形，作 CF⊥AB 于 F，∴，则梯形 ABCD 的面积为cm2，答：梯形 ABCD 的面积是 12 cm 2．等腰梯形的性质---11。

等腰梯形性质和判定定理及其证明水平测试第1题.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC AD ==，60C ∠=°，AE BD ⊥于点1E AE =，，求梯形ABCD 的高．答案：解：作DF BC ⊥于点F ． 因为AD BC ∥，所以12∠=∠． 因为AB AD =，所以23∠=∠． 所以13∠=∠．又因为AB DC =，60C ∠=，所以11133022ABC C ∠=∠=∠=∠=．又因为AE BD ⊥于点E ，1AE =，所以2AB DC ==． 在Rt CDF △中，由正弦定义，可得DF = 所以梯形ABCD第2题.下列命题中，错误的是（ ） 答案：Ｂ A ．矩形的对角线互相平分且相等 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．等腰梯形的两条对角线相等D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等第3题. 如图，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1357911，，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，再按一定规律标出一组黑色梯形的面积（如图所示1234S S S S ，，，，）写出第10个黑色梯形的面积10S = ．答案：76第4题.用含30角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形．其中可以被拼成的图形是（ ）答案：B A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①②③第5题.顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（ ） 答案：Ｄ Ａ．等腰梯形Ｂ．直角梯形Ｃ．矩形Ｄ．菱形BCBC第6题.已知梯形的两底边长分别为6和8，一腰长为7，则另一腰长a 的取值范围是 ．答案：5＜a ＜9第7题.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠=，AD AB =．点E F ，分别在AD ，AB 上，AE BF =，DF 与CE 相交于P ，则DPE ∠=。

答案：120第8题.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，点E 是BC 边的中点，EM ⊥AB ，EN ⊥CD ，垂足分别为M 、N ． 求证：EM=EN答案：因为AD ∥BC ，AB=DC ，所以B C ∠=∠……………………………2分 因为,,EM AB EN CD ⊥⊥所以90BME CNE ∠=∠=︒……………3分在Rt △BME 和Rt △CNE 中，BME CNE B C BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以Rt △BME ≌ Rt △CNE ………………………7分 所以EM ＝EN …………………………………8分 第9题.如图，在直角梯形A B中，1c m A B C D A D C D A B A D ==∥，⊥，，，4c CD =，则BC = cm ．第10题. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E F ，分别在AB CD ，上移动，且AE CF =，则四边形BFDE 不可能．．．是（ ）答案：Ｃ A ．矩形 B ．菱形C ．梯形D ．平行四边形第11题. 如图，四边形ABCD 是矩形，F 是AD 上一点，E 是CB 延长线上一点，且四边形AECF 是等腰梯形．下列结论中不一定．．．正确的是（ ） Ａ．AE FC =Ｂ．AD BC = Ｃ．AEB CFD ∠=∠ Ｄ．BE AF =答案：D第12题.下列说法正确的是（ ）答案：C A ．有两个角为直角的四边形是矩形 B ．矩形的对角线互相垂直 C ．等腰梯形的对角线相等D ．对角线互相垂直的四边形是菱形ENMDCBABCDA第13题. 如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请写出其中一种四边形的名称．答案：平行四边形、矩形、等腰梯形（三种中任选一种均给满分）第14题. 如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线DE 剪开后，可以拼成的四边形是（ ）答案：DA ．矩形或等腰梯形B ．矩形或平行四边形C ．平行四边形或等腰梯形D ．矩形或等腰梯形或平行四边形第15题.已知：如图，在等腰ABC △中，AB AC =，BD AC ⊥，CE AB ⊥， 垂足分别为点D ，E ，连接DE ．求证：四边形BCDE 是等腰梯形．答案：证明：在等腰ABC △中，AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠．CE AB ⊥，BD AC ⊥，90BEC CDB ∴∠=∠=．又BC CB =，BEC CDB ∴△≌△． 3分BE CD ∴=．AE AD ∴=．AED ADE ∴∠=∠．AED ABC ∴∠=∠．ED BC ∴∥． 5分 又BE CD ，不平行，∴四边形BCDE 是梯形．7分∴四边形BCDE 是等腰梯形．（理由：同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形，或两腰相等的梯形是等腰梯形） 8分第16题.如图，在正六边形ABCDEF 中，对角线AE 与BF 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ． （1）观察图形，写出图中两个不同形状．．．．的特殊四边形； （2）选择（1）中的一个结论加以证明． 答案：解：（1）矩形ABDE ，矩形BCEF ； 或菱形BNEM ；或直角梯形BDEM ，AENB 等． 4分（2）选择ABDE 是矩形． 证明：ABCDEF 是正六边形，120AFE FAB ∴==∠∠，30EAF ∴=∠，90EAB FAB FAE ∴=-=∠∠∠．5分同理可证90ABD BDE ==∠∠．∴四边形ABDE 是矩形．7分选择四边形BNEM 是菱形．ADECBAD CB E证明：同理可证：90FBC ECB ==∠∠，90EAB ABD ==∠∠，BM NE ∴∥，BN ME ∥．∴四边形BNEM 是平行四边形．BC DE =，30CBD DEN ==∠∠，BNC END =∠∠， BCN EDN ∴△≌△． BN NE ∴=．∴四边形BNEM 是菱形．7分选择四边形BCEM 是直角梯形．证明：同理可证：BM CE ∥，90FBC =∠，又由BC 与ME 不平行， 得四边形BCEM 是直角梯形． 7分第17题.下列三角形纸片，能沿直线剪一刀得到等腰梯形的是（ ）第18题.把长为8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm 2，则打开后梯形的周长是（ ）答案：AA ．（cm B ．（cm C ．22cm D ．18cm第19题. （内蒙呼和浩特课改，3分）如图在梯形ABCD 中，AD BC ∥，BC BD =，120A ∠=．则C ∠=度．答案：755070A ．50 80B ．50100C ．50 D ．C第20题. 如图1，ABC △是直角三角形，如果用四张与ABC △全等的三角形纸片恰好拼成一个等腰梯形，如图2，那么在Rt ABC △中，ACAB的值是．答案：2第21题.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，对角线AC 平分602cm BAD B CD ∠∠==，，，则梯形ABCD 的面积为（ ）2cm A．B ．6C．D ．12答案：A第22题.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线BD 平分ABC ∠，BAD ∠的平分线AE 交BC 于E F G ，，分别是AB AD ，的中点． （1）求证：EF EG =；（2）当AB 与EC 满足怎样的数量关系时，EG CD ∥？并说明理由． 答案：（1）证明：AD BC ∥DBC ADB ∴∠=∠又ABD DBC ∠=∠ABD ADB ∴∠=∠ AB AD ∴=2分又12AF AB =，12AG AD = AF AG ∴=3分又BAE DAE ∠=∠，AE AE =AFE AGE ∴△≌△EF EG ∴=5分 （2）当2AB EC =时，EG CD ∥6分2AB EC =2AD EC ∴=12GD AD EC ∴== 7分又GD EC ∥∴四边形GECD 是平行四边形EG CD ∴∥8分AC B图1图2ＢＥ Ｃ ＤＧＡ ＦＢＥＣＤＧＡＦ第23题. 如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，45B =∠，120D =∠，8cm AB =，则DC 的长为（ ） A．3B．3C．D ．8cm 答案：A第24题.在等腰梯形ABCD 中，5AB DC AD BC ==∥，，713DC AB ==，，点P 从点A 出发，以3个单位/s 的速度沿AD DC →向终点C 运动，同时点Q 从点B 出发，以1个单位/s 的速度沿BA 向终点A 运动．在运动期间，当四边形PQBC 为平行四边形时，运动时间为（ ）答案：AA ．3sB ．4sC ．5sD ．6s第25题.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，E F ，是边AB 上两点，且AE BF =，DE 与CF 相交于梯形ABCD 内一点O ．（1）求证：OE OF =；（2）当EF CD =时，请你连接DF CE ，，判断四边形DCEF 是什么样的四边形，并证明你的结论． 答案：（1）证明：梯形ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，∴AD BC =，A B ∠=∠．2分AE BF =，∴ADE BCF △≌△．3分 ∴DEA CFB ∠=∠．∴OE OF =．4分（2）当DC EF =时，四边形DCEF 是矩形． 5分证明：DC EF ∥且DC EF =．∴四边形DCEF 是平行四边形．6分 又由（1）得ADE BCF △≌△，∴CF DE =．7分 ∴四边形DCEF 是矩形．8分评分说明：判断四边形DCEF 为平行四边形，并说理正确的，得2分第26题. 如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，110A =∠，则C =∠（ ） Ａ．90 Ｂ．80Ｃ．70Ｄ．60 答案：Ｃ第27题. 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD = CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若∠1 = 35︒，则∠D = ．答案：110︒ABCDABQAB CDOFEB FEA D CB第28题.如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是AD 延长线上一点，DE BC =．（1）求证：E DBC ∠=∠；（2）判断ACE △的形状（不需要说明理由）． 答案：（1）AD BC ∵∥，BCD EDC ∠=∠∴． 1分B C D E =∵，BCD EDC ∠=∠，CD DC =，B C D E D ∴△≌△．3分 E D B C∠=∠∴． 2分 另证：DE BC ∵∥，DE BC =， 2分 B C E D∴是平行四边形． 2分 E DBC ∠=∠∴．2分（2）ACE △是等腰三角形． 2分第29题.我们学习了四边形和一些特殊的四边形，右图表示了在某种条件下它们之间的关系． 如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行． 那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件．答案：③——相邻两边垂直； ④——相邻两边相等； ⑤——相邻两边相等； ⑥——相邻两边垂直； ⑦——两腰相等；⑧——一条腰垂直于底边．D A BC E。

（答题时间：25分钟）1. 已知等腰梯形的上底与腰相等，且对角线与腰垂直，则梯形两底之比是：A. 1：2B. 1：2C. 2：3D. 1：32. 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD＝3cm，BC＝7cm，则梯形的高是cm。

3. 请写出等腰梯形ABCD（AB//CD）特有而一般梯形不具有的三个特征。

4. 已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC。

（1）求证:AB＝AD（2）若AD＝2，∠C＝60°，求梯形ABCD的周长。

A DB C5. 如图，在梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，CF＝4cm。

求证四边形ABFE是等腰梯形。

D CE FA B【试题答案】1. A2. 53. ∠A＝∠B，∠C＝∠D，AD＝BC4. 证明（1）∵AD//BC，∴∠ADB＝∠DBC∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC∴∠ABD＝∠ADB∴AB＝AD（2）∵AB＝CD，∠ABC＝∠C＝60°∴∠DBC＝30°，∠BDC＝90°∵AD＝2，∴BC＝2CD＝2AD＝4∴梯形ABCD的周长是105. 证明过D作DG⊥AB，垂足为G在梯形ABCD中∠DCB＝∠CBA＝90°∵∠DGB＝90°，∴四边形DGBC是矩形∴DC＝BG∵AB＝2CD，∴AG＝GB∴DA＝DB∴∠DAB＝∠DBA又∵EF//AB，AE与BF相交于D点∴四边形ABFE是等腰梯形。

8.梯形、等腰梯形及其性质、判定（证明题，猜想探究题、证明题）第1题. （2008福建省福州市，7分）如图，在等腰梯形A B C D 中，A D B C ∥，M 是A D 的中点，求证：M B M C =．答案：证明： 四边形A B C D 是等腰梯形， A B D C A D ∴=∠=∠，． M 是A D 的中点， A M D M ∴=．在A B M △和D C M △中，A B D C A D A M D M =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， A B M D C M ∴△≌△（SAS ）． M B M C ∴=．第2题. （2008广东广州，10分）如图，在菱形ABCD 中，60D AB ∠=°，过点C 作ACCE ⊥且与AB 的延长线交于点E ．求证：四边形AECD 是等腰梯形．答案：证法1：∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AC 平分∠DAB . ∵ ︒=∠60DAB ， ∴ ∠CAE 1302D A B ︒=∠=.∵ AC CE ⊥，∴ ∠E = 90°－∠CAE = 90°－30°= 60°. ∴ D A B E ∠=∠. ∵ AB //CD ，∴ 四边形AECD 是等腰梯形． 证法2：连结BD ，D AB CE图1DABCE∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴AC BD ⊥，且A D A B =． 由A D A B =，︒=∠60DAB ，得， △ABD 是等边三角形，即AB AD BD ==． ∵ AC BD ⊥且AC CE ⊥， ∴CE BD //．AB DC // ，∴四边形DBEC 是平行四边形． ∴B D E C =． ∴A D E C =．∴ 四边形AECD 是等腰梯形．证法3：设线段AD 和EC 的延长线交于点F ．∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ AC 平分∠DAB .∵ ︒=∠60DAB ， ∴ ∠CAE = 1302C A FD A B ︒∠=∠=.∵ AC CE ⊥，∴ ∠E =∠F = 90°－30°= 60°.∴ △AEF 是等边三角形，且点C 是EF 的中点．//D C A B，∴ 点D 是AF 的中点． ∴ 1122A D A F E F E C ===．∴ 四边形AECD 是等腰梯形．第3题. （2008广东省湛江市，5分）如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，AC 与BD 相交于点O ．请在图中找出一对全等的三角形，并加以证明．图2DABCE图3D ABCEF答案：解：∆ABC ≌∆DCB （2分） 证明：∵在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ∴∠ABC =∠DCB （4分） 在∆ABC 与∆DCB 中A B D C A B C D C BB C C B =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∆ABC ≌∆DCB （7分）（注：答案不唯一）第4题. （2008山东省，10分）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°， AB =2，BC =3，CD =1，E 是AD 中点．求证：CE ⊥BE ．答案：证明: 过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ． 1分∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°， ∴ ∠D ＝∠A ＝∠CF A ＝90°． ∴四边形AFCD 是矩形． AD=CF , BF=AB-AF=1． 3分 在R t △BCF 中， CF 2=BC 2-BF 2=8， ∴ CF=22．∴ AD=CF=22． 5分∵ E 是AD 中点， ∴ DE=AE=21AD=2． 6分在R t △ABE 和 R t △DEC 中， EB 2=AE 2+AB 2=6， EC 2= DE 2+CD 2=3，EB 2+ EC 2=9=BC 2． ∴ ∠CEB ＝90°． 9分 ∴ EB ⊥EC ． 10分第5题. （2008四川省重庆市，10分）已知：如图，在梯形A B C D 中，A DBC ∥，B CD C =，C F 平分B C D ∠，D F A B ∥，B F 的延长线交D C 于点E ．AC BD EA C DE F求证：（1）B F C D F C △≌△；（2）A D D E =．答案：证明：（1）C F 平分B C D ∠，B C F D C F ∴∠=∠． （1分）在B F C △和D F C △中，B C D C B C F D C F F C F C =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，． （3分）B FCD F C ∴△≌△．（4分） （2）连结B D ．（5分）B FCD F C △≌△，B F D F ∴=， F B D F D B ∴∠=∠．（6分） D F A B ∥，A B D F D B ∴∠=∠． A B D F B D ∴∠=∠．（7分）A DBC ∥，BD A D B C ∴∠=∠． B C D C = ，D B C B D C ∴∠=∠． B D A B D C ∴∠=∠．（8分） 又B D 是公共边，∴B A D B E D △≌△． （9分）A D D E ∴=． （10分）8.梯形、等腰梯形及其性质、判定（猜想探究题）第1题. （2008四川省成都市，10分）已知：在梯形A B C D 中，A D B C ∥，A B D C =，E F ，分别是A B 和B C 边上的点．（1）如图①，以E F 为对称轴翻折梯形A B C D ，使点B 与点D 重合，且D F B C ⊥．若4A D =，8B C =，求梯形A B C D 的面积A B C D S 梯形的值；（2）如图②，连结E F 并延长与D C 的延长线交于点G ，如果F G k E F = （k 为正数），试猜想B E 与C G 有何数量关系？写出你的结论并证明之．答案：（1）解：由题意，有B E F D E F △≌△．AD E B C 图①B 图② F GCD A EB F D F ∴=．1分如图，过点A 作A G B C ⊥于点G ． 则四边形A G F D 是矩形．4A G D F G F A D ∴===，． 在R t A B G △和R t D C F △中， A B D C = ，A G D F =， R t R t A B G D C F ∴△≌△．（HL ） B G C F ∴=．2分11()(84)222B G BC G F ∴=-=-=．246D F B F B G G F ∴==+=+=． 2分 11()(48)63622A B C D S A D B C D F ∴=+=⨯+⨯= 梯形． 1分 （2）猜想：C G k =B E （或1B E C G k=）．1分证明：如图，过点E 作E H C G ∥，交B C 于点H ．则F E H F G C ∠=∠． 又E F H G F C ∠=∠， E F H G F C ∴△∽△．E F E H G FG C∴=．而F G k E F = ，即G F k E F=．1E H G Ck∴=．即C G k E H = ． 2分E H C G ∥，E H B D C B ∴∠=∠．而A B C D 是等腰梯形，B D C B ∴∠=∠．B E H B ∴∠=∠．B E E H ∴=．C G k B E ∴= ． 1分3.矩形、菱形、正方形及其性质、判定（证明题）第1题. （2008贵州省贵阳市，10分）如图，在A B C D 中，E F ，分别为边A B C D ，的中点，连接D E B F B D ，，． （1）求证：A D E C B F △≌△．（5分）（2）若AD BD ⊥，则四边形B F D E 是什么特殊四边形？请证明你的结论．（5分）B FG C DA EHA BC D EF答案：（1）在平行四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点 ∴AE =CF2分在A E D △和C F B △中，A D C B A C A E C F =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(S A S)A E D C F B ∴△≌△．5分 （2）若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是菱形． 1分证明：A D B D ⊥ ，A B D ∴△是R t △，且A B 是斜边（或90A D B ∠=）2分E 是A B 的中点，12D E A B B E ∴==． 3分由题意可知E B D F ∥且E B D F =， ∴四边形B F D E 是平行四边形， ∴四边形B F D E 是菱形． 5分第2题. (2008湖北省黄冈市,7分)已知：如图，点E 是正方形A B C D 的边A B 上任意一点，过点D 作D F D E ⊥交B C 的延长线于点F ．求证：D E D F =．答案：证明：四边形A B C D 是正方形，A D C D = ，A D C F ∠=∠=90A D C ∠=，（2分）D F DE ⊥ ，90E DF ∴∠=．（3分）A D C E D F ∴∠=∠．即1323∠+∠=∠+∠．12∴∠=∠．（5分）在A D E △与C D F △中12A D C D A D C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，，A D E C D F ∴△≌△．（6分） D E D F ∴=．（7分）（图8）ABCDEFA EB CF D 123 A E BCFD 123第3题. （2008湖北省咸宁市，8分）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．（1）求证：EO =FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？ 并证明你的结论．答案：解（1）证明： ∵CE 平分BAC ∠， ∴12∠=∠，又∵MN ∥BC ， ∴13∠=∠， ∴32∠=∠， ∴E O C O =． 2分同理，F O C O =． 3分 ∴ E O F O =． 4分 （2）当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形． 5分∵E O F O =，点O 是AC 的中点． ∴四边形AECF 是平行四边形． 6分又∵12∠=∠，45∠=∠． ∴124180902∠+∠=⨯︒=︒，即90E C F∠=︒． 7分 ∴四边形AECF 是矩形．8分第4题. （2008江苏省南京市，6分）如图，在中，E ，F 为BC 上两点，且BE ＝CF ，AF ＝DE ． 求证：（1）△ABF ≌△DCE ； （2）四边形ABCD 是矩形．答案：证明：（1）∵BE ＝CF ， BF ＝BE ＋EF ，CE ＝CF ＋EF ，∴ BF ＝CE ．……………………………1分 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝DC ．……………………………2分 在△ABF 和△DCE 中，∵AB ＝DC ， BF ＝CE ，AF ＝DE ，∴△ABF ≌△DCE ． …………………3分 （2）解法一：∵△ABF ≌△DCE ，∴∠B ＝∠C ． ………………………4分 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ．A BC E F M N O (第19题图）A BC E F MN O (第19题图）12345A B D C E F∴∠B＋∠C＝180°．∴∠B＝∠C＝90°．……………………5分∴四边形ABCD是矩形．………………6分解法二：连接AC，DB．∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB＝∠DEC．∴∠AFC＝∠DEB．……………………4分在△AFC和△DEB中，∵AF＝DE，∠AFC＝∠DEB，CF＝BE，∴△AFC≌△DEB．∴AC＝DB．……………………………5分∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．……………6分第5题.（2008湖南省湘潭市，6分）如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F.（2）请证明上面的结论.答案：解：（1）A D C F=. ………………………………………………………………………2分（2） 四边形A B C D是矩形，∴∠=∠∴== (3)A E D F D C D E ABC D,分又,90, (4)C FDE CF D A⊥∴∠=∠=︒分A D E F C D (5)∴≅∆分A D C F∴= (6)分第6题.（2008江西省南昌市，4分）如图，把矩形纸片A B C D沿E F折叠，使点B落在边A D 上的点B'处，点A落在点A'处；（1）求证：B E B F'=；（2）设A E a A B b B F c，，之间的一种关系，并给予证明．，，，试猜想a b c===答案：（1）证：由题意得B F B F '=，B F E B F E '∠=∠， 1分在矩形A B C D 中，A D B C ∥， B E F B F E '∴∠=∠， B F E B E F ''∴∠=∠． 2分 B F B E ''∴=． B E B F '∴=．3分（2）答：a b c ，，三者关系不唯一，有两种可能情况： （ⅰ）a b c ，，三者存在的关系是222a b c +=． 4分证：连结B E ，则B E B E '=．由（1）知B E B F c '==，B E c ∴=．5分在A B E △中，90A ∠=，222A E AB B E ∴+=．A E a = ，AB b =，222a b c ∴+=．6分（ⅱ）a b c ，，三者存在的关系是a b c +>． 4分 证：连结B E ，则B E B E '=．由（1）知B E B F c '==，B E c ∴=． 5分 在A B E △中，A E A B B E +>， a b c ∴+>．6分说明：1．第（1）问选用其它证法参照给分；2．第（2）问222a b c +=与a b c +>只证1种情况均得满分；3．a b c ，，三者关系写成a c b +>或b c a +>参照给分．第7题. （2008内蒙古自治区赤峰市，10分）如图，用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形A B C D 是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．ABCDFA 'B 'EAB CD FA 'B ' EABCDFA 'B 'EA B C D答案：答：四边形A B C D 是菱形．（不写已知、求证不扣分） （2分） 证明：由A D B C ∥，A B C D ∥得四边形A B C D 是平行四边形 （4分）过A C ，两点分别作A E B C ⊥于E ，C F A B ⊥于F ．90C F B A E B ∴∠=∠=．（6分）A E C F = （纸带的宽度相等）AB EC B F ∠=∠， R t R t A B E C B F ∴△≌△ （8分）A B B C ∴=∴四边形A B C D 是菱形（10分）第8题. （2008青海省，8分）如图，在A B C △中，D 是B C 边上的一点，E 是A D 的中点，过点A 作B C 的平行线交B E 的延长线于F ，且A F D C =，连接C F ． （1）求证：D 是B C 的中点；（2）如果A B A C =，试猜测四边形A D C F 的形状，并证明你的结论．答案：（1）证明：A F B C ∥， A F E D B E ∴∠=∠． （1分）E 是A D 的中点， A E D E ∴=．又A E F D E B ∠=∠ ， A E F D E B ∴△≌△． （2分） A F D B ∴=． （3分）A F D C = ， DB DC ∴=．即D 是B C 的中点．（4分） （2）解：四边形A D C F 是矩形， （5分） 证明：A F D C ∥，A F D C =， ∴四边形A D C F 是平行四边形． （6分）A B A C = ，D 是B C 的中点， A D B C ∴⊥． 即90A D C ∠=．（7分）∴四边形A D C F 是矩形． （8分）B A FC ED FDA第9题. （2008山东省聊城市，8分）如图，矩形A B C D 中，O 是A C 与B D 的交点，过O 点的直线E F 与A B C D ，的延长线分别交于E F ，． （1）求证：B O E D O F △≌△； （2）当E F 与A C 满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．答案：（1）证明： 四边形A B C D 是矩形， O B O D ∴=（矩形的对角线互相平分），A E C F ∥（矩形的对边平行）．E F ∴∠=∠，O B E O D F ∠=∠．B O E D O F ∴△≌△（A ．A ．S ）． 4分（2）当E F A C ⊥时，四边形A E C F 是菱形． 5分 证明： 四边形A B C D 是矩形，O A O C ∴=（矩形的对角线互相平分）．又由（1）B O E D O F △≌△得，O E O F =，∴四边形A E C F 是平行四边形（对角线互相平分的 四边形是平行四边形） 6分 又E F A C ⊥， ∴四边形A E C F 是菱形（对角线互相垂直的平行四 边形是菱形）． 8分（注：小括号内的理由不写不扣分）．第10题. （2008山东省青岛市，8分）已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE ＝CG ，连接BG 并延长交DE 于F ． （1）求证：△BCG ≌△DCE ；（2）将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE ′ ，判断四边形E ′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由． （1）证明：（2）解：答案：证明：（1） ∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=CD ，∠BCD=90°． ∵∠BCD +∠DCE=180°， ∴∠BCD=∠DCE=90°． 又∵CG=CE ， F D O B E A FD OB E AA BE ′∴△BCG≌△DCE．………………………4′（2）∵△DCE绕D顺时针旋转90︒得到△DAE ′，∴CE=AE ′．∵CE=CG，∴CG=AE ′．∵四边形ABCD是正方形，∴BE ′∥DG，AB=CD．∴AB－AE ′=CD－CG，即BE ′=DG．∴四边形DE ′BG是平行四边形．……………………8′第11题. （2008四川省宜宾市，8分）已知：如图，菱形A B C D中，E F，分别是C B C D，上的点，且B E D F=．（1）求证：A E A F=．（2）若60B∠= ，点E F，分别为B C和C D的中点．求证：A E F△为等边三角形．答案：证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，B D∠=∠，又∵BE=D F∴A B E△≌A D F△∴AE=AF(2)连接AC∵AB=BC，60B∠=︒∴A B C∆是等边三角形，E是BC的中点∴AE⊥BC，∴906030B A E︒∠=︒-=︒，同理30D A F∠=︒∵120B A D∠=︒∴60E AF B A D B A E D A F∠=∠-∠-∠=︒又∵AE=AF∴A E F△是等边三角形．AB DE F第12题. （2008新疆乌鲁木齐市，12分）如图，在四边形A B C D 中，点E 是线段A D 上的任意一点（E 与A D ，不重合），G F H ，，分别是B E B C C E ，，的中点． （1）证明四边形E G F H 是平行四边形； （2）在（1）的条件下，若E F B C ⊥，且12EF BC =，证明平行四边形E G F H 是正方形．答案：证明：（1）在B E C △中，G F ，分别是B E B C ，的中点G F E C ∴∥且12G F E C =3分又H 是E C 的中点，12E H E C =，G F E H ∴∥且G F E H =4分∴四边形E G F H 是平行四边形6分（2）证明：G H ，分别是B E E C ，的中点G H B C ∴∥且12G H B C =8分 又E F B C ⊥ ，且12E F B C =，E F G H ∴⊥，且E F G H =10分∴平行四边形E G F H 是正方形．BGA EFHD。

习题精选制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日[自主演练，各个击破]等腰梯形的性质1．以下说法中，不正确的选项是〔〕A．等腰梯形同一底上的两个等角相等B．等腰梯形的对角线相等C．对角线相等的四边形是等腰梯形D．同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形2．等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，那么一个底角是〔〕A．30°B．45°C．60°D．75°3．假如等腰梯形两底之差等于一腰的长，那么这个等腰梯形的底角是〔〕A．60°B．30°C．45°D．15°4．在以下四个图形中，不是中心对称图形的是〔〕A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形5．梯形ABCD中，DC∥AB，E为腰BC的中点，假设AB=8，CD=2，AE把梯形分为△ABE 和四边形ADCE，它们的周长相差4，那么梯形的腰AD的长为〔〕A．12B．10C．2或者10D．2或者126．等腰梯形有一角为120°，腰长为3cm，一底边长为4cm，那么另一底边长为_______。

7．等腰梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB=CD，且AC ⊥ BD，梯形的高为5，那么S梯形ABCD=_________。

★等腰梯形的断定8．在四边形ABCD中，AD∥ BC，AB=DC，那么四边形ABCD是〔〕A．等腰梯形B．平行四边形C．直角梯形D．等腰梯形或者平行四边形9．以下说法中，正确的选项是〔〕A．对角线相等的四边形是矩形或者等腰梯形B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形C．两组对角分别互补的四边形是等腰梯形D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴[互动探究，拓展延伸][学科综合]10．如图32-4-1所示，己知四边形ABCD是矩形，四边形ABDE是等腰梯形，AE ∥ BD，证明：∠C= ∠DEB。

[创新思维]〔一〕新形题11．某校方案修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是〔〕A．等腰三角形B．正三角形C．等腰梯形D．菱形〔二〕课本习题变式题12．〔课本P153习题2题变式题〕如图32-4-2，在梯形ABCD中，AD ∥BC，AB=DC，对角线AC、BD交于点O。

《等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明》同步练习第1题.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC AD ==，60C ∠=°，AE BD ⊥于点1E AE =，，求梯形ABCD 的高．答案：解：作DF BC ⊥于点F ． 因为AD BC ∥，所以12∠=∠． 因为AB AD =，所以23∠=∠． 所以13∠=∠．又因为AB DC =，60C ∠=，所以11133022ABC C ∠=∠=∠=∠=． 又因为AE BD ⊥于点E ，1AE =，所以2AB DC ==．在Rt CDF △中，由正弦定义，可得DF =． 所以梯形ABCD．第2题.下列命题中，错误的是（ ） A ．矩形的对角线互相平分且相等 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．等腰梯形的两条对角线相等D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等答案：Ｂ第3题. 如图，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1357911，，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，再按一定规律标出一组黑色梯形的面积（如图所示1234S S S S ，，，，）写出第10个黑色梯形的面积10S = ．BCBC答案：76第4题.用含30角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形．其中可以被拼成的图形是（ ）A ．①②B ．①③C ．③④D ．①②③答案：B第5题.顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（ ） Ａ．等腰梯形Ｂ．直角梯形Ｃ．矩形Ｄ．菱形答案：Ｄ第6题.已知梯形的两底边长分别为6和8，一腰长为7，则另一腰长a 的取值范围是 ．答案：5＜a ＜9第7题.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠=，AD AB =．点E F ，分别在AD ，AB 上，AE BF =，DF 与CE 相交于P ，则DPE ∠=．答案：120第8题.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，点E 是BC 边的中点，EM ⊥AB ，EN ⊥CD ，垂足分别为M 、N ． 求证：EM =EN答案：因为AD ∥BC ，AB =DC ，所以B C ∠=∠……………………………2分 因为,,EM AB EN CD ⊥⊥所以90BME CNE ∠=∠=︒……………3分ENMDCBA在Rt △BME 和Rt △CNE 中， BME CNE B C BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以Rt △BME ≌ Rt △CNE ………………………7分 所以EM ＝EN …………………………………8分第9题. 如图，在直角梯形ABCD 中，1cm 2cm AB CD AD CD AB AD ==∥，⊥，，，4cm CD =，则BC = cm ．第10题. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E F ，分别在AB CD ，上移动，且AE CF =，则四边形BFDE 不可能．．．是（ ） A ．矩形 B ．菱形C ．梯形D ．平行四边形答案：Ｃ第11题. 如图，四边形ABCD 是矩形，F 是AD 上一点，E 是CB 延长线上一点，且四边形AECF 是等腰梯形．下列结论中不一定．．．正确的是（ ） Ａ．AE FC =Ｂ．AD BC = Ｃ．AEB CFD ∠=∠ Ｄ．BE AF =答案：D第12题.下列说法正确的是（ ） A ．有两个角为直角的四边形是矩形 B ．矩形的对角线互相垂直C ．等腰梯形的对角线相等D ．对角线互相垂直的四边形是菱形答案：C第13题. 如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请写出其中一种四边形的名称．BCDAA BCD F E答案：平行四边形、矩形、等腰梯形（三种中任选一种均给满分）第14题. 如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线DE 剪开后，可以拼成的四边形是（ ）A ．矩形或等腰梯形B ．矩形或平行四边形C ．平行四边形或等腰梯形D ．矩形或等腰梯形或平行四边形 答案：D第15题.已知：如图，在等腰ABC △中，AB AC =，BD AC ⊥，CE AB ⊥， 垂足分别为点D ，E ，连接DE ．求证：四边形BCDE 是等腰梯形．答案：证明：在等腰ABC △中，AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠．CE AB ⊥，BD AC ⊥，90BEC CDB ∴∠=∠=．又BC CB =，BEC CDB ∴△≌△． 3分BE CD ∴=．AE AD ∴=．AED ADE ∴∠=∠．AED ABC ∴∠=∠．ED BC ∴∥． 5分 又BE CD ，不平行，∴四边形BCDE 是梯形．7分∴四边形BCDE 是等腰梯形．（理由：同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形，或两腰相等的梯形是等腰梯形） 8分第16题.如图，在正六边形ABCDEF 中，对角线AE 与BF 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ． （1）观察图形，写出图中两个不同形状．．．．的特殊四边形； （2）选择（1）中的一个结论加以证明．A DECBAD CB E答案：解：（1）矩形ABDE ，矩形BCEF ； 或菱形BNEM ；或直角梯形BDEM ，AENB 等． 4分（2）选择ABDE 是矩形． 证明：ABCDEF 是正六边形，120AFE FAB ∴==∠∠，30EAF ∴=∠，90EAB FAB FAE ∴=-=∠∠∠．5分同理可证90ABD BDE ==∠∠．∴四边形ABDE 是矩形．7分选择四边形BNEM 是菱形．证明：同理可证：90FBC ECB ==∠∠，90EAB ABD ==∠∠，BM NE ∴∥，BN ME ∥．∴四边形BNEM 是平行四边形．BC DE =，30CBD DEN ==∠∠，BNC END =∠∠，BCN EDN ∴△≌△． BN NE ∴=．∴四边形BNEM 是菱形．7分选择四边形BCEM 是直角梯形．证明：同理可证：BM CE ∥，90FBC =∠，又由BC 与ME 不平行， 得四边形BCEM 是直角梯形． 7分第17题.下列三角形纸片，能沿直线剪一刀得到等腰梯形的是（ ）剪，则打开后梯形的周长是（3cm70 A ．80 B ．C ．D ．A ．（cm B ．（cm C ．22cm D ．18cm 答案：A第19题. （内蒙呼和浩特课改，3分）如图在梯形ABCD 中，AD BC ∥，BC BD =，120A ∠=．则C ∠=度．答案：75第20题. 如图1，ABC △是直角三角形，如果用四张与ABC △全等的三角形纸片恰好拼成一个等腰梯形，如图2，那么在Rt ABC △中，ACAB的值是 ．第21题.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，对角线AC 平分602cm BAD B CD ∠∠==，，，则梯形ABCD 的面积为（ ）2cm A．B ．6C．D ．12答案：A第22题.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线BD 平分ABC ∠，BAD ∠的平分线AE 交BC 于E F G ，，分别是AB AD ，的中点． （1）求证：EF EG =；（2）当AB 与EC 满足怎样的数量关系时，EG CD ∥？并说明理由．CAC图1图2ＢＥＣＤＧＡ Ｆ答案：（1）证明：AD BC ∥DBC ADB ∴∠=∠又ABD DBC ∠=∠ABD ADB ∴∠=∠AB AD ∴=2分又12AF AB =，12AG AD =AF AG ∴=3分又BAE DAE ∠=∠，AE AE =AFE AGE ∴△≌△ EF EG ∴=5分 （2）当2AB EC=时，EG CD ∥6分2AB EC = 2AD EC ∴=12GD AD EC ∴==7分又GD EC ∥∴四边形GECD 是平行四边形EG CD ∴∥8分第23题. 如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，45B =∠，120D =∠，8cm AB =，则DC 的长为（ ）A B C ． D ．8cm 答案：A第24题.在等腰梯形ABCD 中，5A B D C A D B C ==∥，，71D C A B ==，，点P 从点A 出发，以3个单位/s 的速度沿AD DC →向终点C 运动，同时点Q 从点B 出发，以1个ＢＥＣＤＧＡ ＦABCDABQ单位/s 的速度沿BA 向终点A 运动．在运动期间，当四边形PQBC 为平行四边形时，运动时间为（ ） A ．3s B ．4s C ．5s D ．6s 答案：A第25题.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，E F ，是边AB 上两点，且AE BF =，DE 与CF 相交于梯形ABCD 内一点O ． （1）求证：OE OF =；（2）当EF CD =时，请你连接DF CE ，，判断四边形DCEF 是什么样的四边形，并证明你的结论．答案：（1）证明：梯形ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，∴AD BC =，A B ∠=∠．2分AE BF =，∴ADE BCF △≌△．3分 ∴DEA CFB ∠=∠．∴OE OF =．4分（2）当DC EF =时，四边形DCEF 是矩形． 5分证明：DC EF ∥且DC EF =．∴四边形DCEF 是平行四边形．6分 又由（1）得ADE BCF △≌△，∴CF DE =．7分 ∴四边形DCEF 是矩形．8分评分说明：判断四边形DCEF 为平行四边形，并说理正确的，得2分第26题. 如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，110A =∠，则C =∠（ ） Ａ．90 Ｂ．80Ｃ．70Ｄ．60答案：ＣABCDOFEB FEA D CB第27题. 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD = CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若∠1 = 35︒，则∠D =．答案：110︒第28题.如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是AD 延长线上一点，DE BC =．（1）求证：E DBC ∠=∠；（2）判断ACE △的形状（不需要说明理由）．答案：（1）AD BC ∵∥，BCD EDC ∠=∠∴． 1分B C D=∵，BCD EDC ∠=∠，CD DC =， B C D ED ∴△≌△． 3分 ED B∠=∠∴． 2分 另证：DE BC ∵∥，DE BC =， 2分 B C E ∴是平行四边形．2分 E DBC ∠=∠∴．2分 （2）ACE △是等腰三角形． 2分第29题.面积为l 个平方单位的正三角形，称为单位正三角形．下面图 中的每一个小三角形都是单位正三角形，三角形的顶点称为格点．在图1、2、3中分别画出一个平行四边形、梯形和对边都不平行的凸四边形，要求这三个图形的顶点在格点、面积都为l2个平方单位．DABCE答案：每画出一个(与顺序无关)正确的给l分，答案不唯一，下图供参考：第30题.我们学习了四边形和一些特殊的四边形，右图表示了在某种条件下它们之间的关系．如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行．那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件．答案：③——相邻两边垂直；④——相邻两边相等；⑤——相邻两边相等；⑥——相邻两边垂直；⑦——两腰相等；⑧——一条腰垂直于底边．。

等腰梯形证明1. 引言等腰梯形是几何学中的一个重要概念，它具有很多特殊性质和性质。

在本文中，我们将对等腰梯形进行证明，从而说明它的性质和特点。

2. 等腰梯形定义等腰梯形是指具有两条平行边且两侧非平行边的长度相等的梯形。

其中，两条平行边称为梯形的底边和顶边，两侧非平行边称为梯形的腰。

3. 等腰梯形的性质3.1. 对角线相等性质首先，我们来证明等腰梯形的对角线相等性质。

设等腰梯形的底边长度为a，顶边长度为b，腰的长度为c，对角线的长度分别为d1和d2。

根据等腰梯形的定义，我们知道底边和顶边平行，因此可以得到两个等腰三角形，它们的底边分别为a和b，腰的长度均为c。

根据等腰三角形的性质，两个等腰三角形的顶角和底角分别相等。

设等腰梯形的顶角为θ，根据三角形内角和定理，两个等腰三角形的顶角和底角之和为180度。

因此，我们可以得到以下等式：θ + θ + (180 - 2θ) = 180化简得：2θ = 180解得：θ = 90由此可知，等腰梯形的顶角为90度。

根据直角三角形的性质，我们知道在直角三角形中，对角线的长度等于两条直角边长度的平方和的平方根。

根据这一性质，我们可以得到以下等式：d1^2 = a^2 + c^2d2^2 = b^2 + c^2由于等腰梯形的底边和顶边长度相等，即 a = b，将其代入上述等式中，可以得到：d1^2 = a^2 + c^2d2^2 = a^2 + c^2由此可知，等腰梯形的对角线长度相等，即d1 = d2。

3.2. 顶角性质接下来，我们来证明等腰梯形的顶角性质。

设等腰梯形的底边长度为a，顶边长度为b，腰的长度为c，顶角为θ。

根据等腰梯形的定义，我们知道底边和顶边平行，因此可以得到两个等腰三角形，它们的底边分别为a和b，腰的长度均为c。

根据等腰三角形的性质，两个等腰三角形的顶角和底角分别相等。

设等腰梯形的顶角为θ，根据三角形内角和定理，两个等腰三角形的顶角和底角之和为180度。