锐角三角函数——正切

导学案 初一数学班级：___ 姓名：______ 章节：S20.1课题：锐角三角函数—正切 （第3课时）学习目标：1、类比锐角的正弦和余弦函数的学习过程，探究锐角的正切函数的概念形成过程.2、能够正确使用正切函数的定义进行计算。

3、经历画图、测量、计算过程，学会观察、思考，能够解决相关问题. 学习重点：正切函数的概念形成过程和运用。

学习难点：正确理解直角三形中两边之比与锐角的对应关系 学习过程：一；课前学习； 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，那么， sinA = cosA =二：课上探究（小组讨论，合作交流）画图1. 画∠MAN=40°；2. 在AN 上取点C ，使AC= mm;过点C 作AN 的垂线， 交AM 于点B; 3. 测量BC= mm , 4. 计算：=ACBC5. 思考：ACBC的值是定值吗？三：新知形成：教师利用《几何画板》演示，学生观察、思考： 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 的对边与∠A 的邻边之比随∠A 的变化而变化新定义：在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把∠A 的对边与 邻边的比叫做∠A 的正切。

A 的对边∠A 的邻边B AA 的对边四：新知应用 1、例题分析：(1)如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，若AB=13，AC=5，求∠A 的正切值。

A（2）如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，若31tanC ，AB=2，求BC 和AC 的长。

CB2、巩固练习：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC=2，BC=1，求∠A 和∠B 的正切值。

五：知识梳理六：作业仿照例题自己编写一道练习题，并解答。

初中数学：锐角三角函数定义大全锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。

正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a正割（sec)等于斜边比邻边；secA=c/b余割(csc)等于斜边比对边。

cscA=c/a互余角的三角函数间的关系sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)积的关系：sinα=tanα·cosαcosα=cotα·sinαtanα=sinα·secαcotα=cosα·cscαsecα=tanα·cscαcscα=secα·cotα倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1特殊的三角函数值0°30°45°60°90°01/2√2/2√3/21←sinA 1√3/2√2/21/20←cosA 0√3/31√3None←tanA None√31√3/30←cotA 诱导公式sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotαsin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαsin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotαsin（2kπ+α）=sinαcos（2kπ+α）=cosαtan（2kπ+α）=tanαcot（2kπ+α）=cotα(其中k∈Z)二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sinαcosαcos2α=（cosα）^2－(sinα)^2=2(cosα)^2－1=1－2(sinα)^2 2tanαtan2α=—————1－tanα三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α=3sinα－4sinαcos3α=4cosα－3cosα3tanα－tanαtan3α=——————1－3tanα。

23.1锐角的三角函数1. 锐角的三角函数第一课时正切教学目标◆知识与技能1.初步了解角度与数值的一一对应的函数关系。

2.会求直角三角形中某个锐角的正切值。

3.了解坡度的有关概念。

◆过程与方法让学生经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

◆情感态度通过探究活动激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索，合作交流，培养学生的创新意识。

教学重点：1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系。

2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系。

教学难点：锐角三角函数的概念的理解。

教学准备多媒体课件制作教学设计一、导入新课导语：因为这座桥的设计让它成为了旅游新热点，火起来的原因不是因为怪异的设计或者美不胜收的景色，而是大家都很好奇这个桥的坡度到底有多陡？陡峭堪比过山车！不少人给这座桥赋予了极不靠谱的数据，实际上这个坡的斜率仅为6.1%，如果按咱们口头常用单位来讲还不足4度。

大家看到这个图片后一定很吃惊，那我们要想了解这副图的背景故事，我们就要来学习这里出现的数据6.1%和4度代表了什么?（导入课题锐角三角函数）二、推进新课1．交流合作【问题1】在图23－2中有两个直角三角形，直角边AC与A1C1表示水平面，斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面，哪个更陡？你是怎么判断的？学生可由水平长度相等，铅直高度不同进行判断．【问题2】当水平长度和铅直高度都不相等时，类似的在图23－3中，坡面AB与A1B 1哪个更陡？你又是如何判断呢？设计意图：引发学生的争论，激发学生的求知欲．从而教师可提出能否用铅直高度与水平长度的比值进行衡量呢？【问题3】 如图，在锐角A 的一边上任取一点B ，自点B 向另一边作垂线，垂足为C ，得到Rt △ABC ；再任取一点B 1，自点B 1向另一边作垂线，垂足为C 1，得到Rt △33AB C ……，这样，我们可以得到无数个直角三角形．在这些直角三角形中，锐角A 的对边与邻边之比BC AC ，111B C AC ，222B C AC ……有怎样的关系？请同学们小组合作测量并计算它们的近似值，看看会有什么发现？同学们得到近似相等的值，我们猜测它们是相等的，是不是这样的呢，下面我们从理论角度来验证。

《锐角三角函数——正切》（义务教育教科书北师大版九年级下册第一章第一节）一、本课教课内容和内容分析（一）教课内容：本节课是北师大版教材九年级（下）第一章《直角三角形的边角关系》第一节《锐角三角函数》的第一课时正切．（二）内容分析1.教课内容的实质本章内容是三角学中的基础内容 . 锐角三角函数与从前学过的一次函数、反比率函数有所不一样，它揭露的是角度与数值（线段比值）的对应关系，而且用符号来表示一种函数对学生来讲仍是第一次 . 本节课主假如介绍锐角三角函数中的正切，此中浸透着转变、分类、数形联合、建模、函数等数学思想和方法 . 锐角三角函数与勾股定理同样都是解直角三角形很重要的知识内容之一，它揭露了直角三角形中边与角之间的关系，被宽泛应用于丈量、建筑、工程技术和物理学中，主假如计算距离、高度和角度 . 正确认识锐角三角函数，是学好解直角三角形的要点，也将为此后连续学习三角函数确立必需的基础 .本章内容恰巧是进行数形联合的理想资料 . 而数与形的联合不单是数学自己发展的需要，也是加深理解数学知识，发展数学能力的需要 . 在引入观点、计算化简、解决实质问题时，都应要修业生经过绘图帮助剖析，由图形找出直角三角形中边、角的关系，加深对锐角三角函数观点的理解 .2.教材的地位以及作用从《数学课程标准》看，本节是“空间与图形”领域的重要内容. 掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法是学习三角函数和解斜三角形的重要基础 . 同时，锐角三角函数成立了锐角与比值之间的一一对应关系，经过学习能够使学生对函数的定义域、值域有进一步的认识，对函数的基本观点有了更深刻的认识 .本节正切函数的学习是学生研究锐角三角函数的起点，正切函数的观点为后边学习正弦函数和正切函数的观点供给了思想上和学习方法上的指引 .二、教课目的和目标分析（一）教课目的1.知识与技术（1）经历研究直角三角形中边角关系的过程 . 理解正切的意义和与现实生活的联系 .（2）能运用 tanA 表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够运用正切观点进行简单的计算 .2.过程与方法（1）经历研究直角三角形中的边与角的关系，培育学生由特别到一般的演绎推理能力，逐渐学习利用数形联合的思想剖析问题和解决问题 .（2）经过学生自我发现培育学生的自我反省能力，经过提出疑惑提高学生发现问题的能力.3.感情态度价值观（1）在主动参加研究观点的过程中，发展学生的合情推理能力和合作沟通、研究发现的意识 .（2）培育学生独立思虑的习惯、合作研究以及使学生获取成功的体验，成立自信心.4.教课要点：正切观点的研究5.教课难点：（1）在正切观点的研究过程中，怎样想到利用直角三角形的对边与邻边的比来描绘坡面的倾斜程度以及把比值和角度联系起来；（2）理解正切的观点 .（二）目标分析新一轮课程改革明确地指出数学教课要达到三维目标的一致，即知识与技术，过程与方法，感情态度价值观的一致 . 教课目的的从头定位，不单是关注知识技术的获取，更侧重学生经历体验知识的产生、形成、发展的过程和侧重对学生感情态度价值观的培育，进而培育学生发现问题解决问题的能力，以及创新思想，鉴于如上考虑，我将本节课的教课目的设定为有机联系的三个层次 .1.将“知识与技术”中的“理解正切的意义、能运用 tanA 表示直角三角形中两直角边的比，能够运用正切观点进行简单的计算”定为本节课一定达成的目标；2.将“过程与方法”中的“经历研究直角三角形中的边与角的关系，培育学生由特别到一般的演绎推理能力”和“感情态度和价值观”中“在主动参加研究观点的过程中，发展学生的合情推理能力和合作沟通、研究发现的意识”定为一此中期目标，顺序渐进的达成；3.将“感情态度和价值观”中的“在研究观点的过程中培育学生独立思虑的习惯、合作研究的习惯以及使学生获取成功的体验，成立自信心” 以及“过程与方法”中的“经过学生自我发现培育学生的自我反省能力，经过提出疑惑提高学生发现问题的能力”定为一个长久目标连续坚持下去，进而内化成学生自己具备的一种习惯.三、教课识题诊疗剖析学生已经学习了三角形、相像三角形、勾股定理以及函数有关知识，为学习锐角三角函数确立基础的同时具备了必定的逻辑思想能力和推理能力 . 在学习过程中学生可能碰到一些困难，下边我将学生可能碰到的困难以及应付举措表达以下：困难①：本节学生初次接触到以角度为自变量的三角函数，学生很难想到在直角三角形中，用边的比来刻画梯子的倾斜程度，锐角的增大，这个角的对边比邻边的比值就增大应付举措①：采纳实验研究的方式学生在实验研究的过程中经历自己独立感觉并思虑，小组合作沟通，教师指导的过程逐渐理解，而后在经过由特别到一般（锐角的对边相等邻边不同，锐角的邻边同样对边不一样，锐角的邻边对边成比率，锐角的对边邻边不一样且不可比率四个例子）方法进一步感觉。