圆与圆的关系公共弦问题

圆公共弦定理证明圆的十八个定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等4、切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。

5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。

6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。

如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。

7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。

8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。

9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦13、定理：把圆分成n（n≥3）：（1）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形14、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆15、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆16、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

两圆心的连线与公共弦的关系
哎呀，同学们，今天咱们来聊聊两圆心的连线与公共弦的关系，这可有意思啦！
想象一下，有两个圆，就像两个小伙伴，手牵着手。

这两个圆的圆心呢，就好像是这两个小伙伴的心脏。

那公共弦呢，就像是他们中间共同拉着的一根绳子。

你说，这两圆心的连线和公共弦能没有关系吗？那肯定有呀！
咱们来仔细瞅瞅，当这两个圆的大小不一样的时候，两圆心的连线是不是会斜着穿过公共弦呀？这就好像你和小伙伴站在不同的高度拉着同一根绳子，绳子可不就斜了嘛！
要是这两个圆大小一样，两圆心的连线是不是就会垂直平分公共弦啦？这就好比两个一样高的小伙伴，公平地拉着中间那根绳子，绳子不就被平分了嘛！
老师上课讲的时候，我就在想，这和咱们生活中的好多东西都很像呢！比如说跷跷板，两边的重量不一样，中间的支撑点和两端的距离就不同，这不就和两圆心连线与公共弦的关系有点类似嘛！
我还和同桌讨论了半天，他说他有点迷糊，我就给他解释，我说：“你看呀，这就
像咱俩分蛋糕，要是蛋糕不一样大，咱们切的位置能一样吗？”
咱们再想想，如果这两个圆靠得特别近，那公共弦是不是就很短啦？两圆心的连线是不是也变得很短很短？这多神奇呀！
所以说呀，两圆心的连线和公共弦的关系可真是奇妙又有趣！它们相互影响，相互制约，就像咱们和好朋友，互相陪伴，互相帮助。

我觉得呀，数学里的这些知识，虽然有时候看起来有点难，但是只要咱们多想想，多和生活中的东西联系起来，就能发现其中的乐趣和奥秘！。

两圆相交公共弦方程推导好嘞，今天我们聊聊两圆相交的公共弦方程，听起来好像很复杂，其实不然，咱们一步一步来，轻松搞定。

想象一下两个圆圈，就像你和你的好朋友，虽然各自的生活轨迹不同，但总有交集，对吧？这两个圆圈相交的地方，就是它们的共同点，嘿，这就好比你们一起嗨的时候，哈哈。

这两个圆是怎么定义的呢？每个圆都有自己的中心和半径，想象一下，一个圆心在原点(0, 0)，半径为r，这样它的方程就是x² + y² = r²。

另一个圆，假设它的圆心在(x₁, y₁)，半径为r₁，那它的方程就是(x x₁)² + (y y₁)² = r₁²。

看，这里有点小复杂，但没关系，咱们往下走。

咱们把这两个方程拿出来对比一下，发现，它们的交点其实就是解这两个方程组的结果。

想象一下，这就像在拼图游戏里找共同的拼块，嘿，你得找出它们重合的地方。

为了找到交点，咱们可以通过代入法或者消元法来解这两个方程。

拿代入法来说，先从第一个方程中解出y，再把它代入第二个方程，噔噔噔，解开后就能得到x的值。

现在，找到了x，接下来就是求y了。

这时候，你会发现交点的坐标慢慢浮现出来，感觉就像揭开谜底的那一刻，太开心了。

找到交点之后，我们要聊聊公共弦，这可真是个好东西。

公共弦，就是连接这两个圆交点的那根线，想象一下，两颗星星之间的连线，多浪漫啊！要找到公共弦的方程，咱们首先得知道这两个交点的坐标，记作A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)。

然后，我们可以利用两点间的直线方程来求出公共弦的方程。

公式很简单，就是y y₁ = m(x x₁)，其中m是斜率，m = (y₂ y₁) / (x₂ x₁)。

看，多简单！通过上面的步骤，我们就得到了公共弦的方程，像是找到了一条通往新世界的秘密通道。

想象一下，圆圈们在空中翩翩起舞，它们的共同点在闪闪发光，简直太美了。

这个过程就像一场华丽的舞会，两个圆在优雅的舞步中找到了彼此，留下了那条美丽的弦。

两圆的公共弦和圆心连线关系哎呀，今天咱们来聊聊两圆的那些事儿吧！有没有发现，其实两个圆儿也挺像我们人类的生活的。

你想想，它们俩有时候有交集，有时候又各走各的，有时候还有公共的弦哎！你得知道，两个圆如果想有公共的弦，它们的圆心之间得有一定的关系。

就像我们俩要打成一片，得有点默契，对不对？如果两个圆的圆心距离很远，那它们俩就不大可能有公共的弦了，毕竟离得太远，连话都说不到一块儿去。

可是，如果两个圆的圆心距离太近，也不行哦！就像太亲密的朋友，有时候也会导致矛盾，弄得没法看对眼。

所以，这个距离得刚刚好，不冷不热，刚刚能有那么一点交集，但又能各自为政。

再来说说那些公共的弦。

公共弦其实就是两个圆上都有的一段线段，就像你我共同认识的朋友，连接了我们俩。

这种弦，有时候像是我们之间的共同点，能让我们一起玩耍、一起工作，有了它们，我们的圈子也就更大了。

不过，有趣的是，公共弦的长度和两圆的位置关系可不简单。

它们不是一成不变的，有时候长长短短，甚至会变得无影无踪。

就像我们生活中的那些联系，有时候挺牢固，有时候转眼就没了，也不知道咋回事。

有些时候，两个圆就是纯粹地相互靠近，彼此看看，偶尔打个招呼，但是并不打成一片。

这时候，它们的圆心距离虽然近，但公共的弦却很少，就像那些认识的人，聊过天，但深交不起。

反过来，有时候两个圆可能就特别投缘，圆心距离适中，然后公共弦又多又粗，像是从小就是铁哥们儿一样。

这种情况下，它们俩的交集就会特别多，相互影响也大，就像是生活中那些密不可分的好朋友。

两个圆的关系，就像是我们和身边的人一样复杂多变。

有时候要离远一点，有时候要靠近一点，有时候又要共同拥有一些东西来联系彼此。

就看它们的圆心距离和公共弦怎么安排啦！咱们要是能像两个圆儿一样，不论远近，总能找到那些公共的点，那生活可就丰富多彩了。

有了这些共同的弦，哎呀，就像是给生活多了一把钥匙，打开了更多的可能性。

相交圆的公共弦定理相交圆的公共弦定理是指：如果有两个相交的圆，那么它们的两条公共弦所夹的弧度是相等的。

具体来说，设有两个相交的圆，圆心分别为O1和O2，半径分别为r1和r2。

这两个圆相交于点A和点B。

连接点A和点B，得到一条弦AB。

再连接O1和O2，得到一条直线。

设这条直线与弦AB的交点分别为C和D（如下图所示）。

这时，相交圆的公共弦定理告诉我们：弧ACB的弧度等于弧ADB的弧度。

二、证明相交圆的公共弦定理的证明可以通过几何推导来完成。

具体来说，可以采用如下的证明方法。

（1）连接O1A、O1B、O2A和O2B，得到四个三角形。

（2）观察三角形O1AB和O2AB，它们都是等腰三角形，因为OA 和OB是圆的半径。

因此，∠O1AB=∠O1BA=∠O2AB=∠O2BA。

（3）观察三角形O1AC和O2BD，它们都是直角三角形，因为AC 和BD是圆的切线。

因此，∠O1AC=90°-∠O1CA，∠O2BD=90°-∠O2DB。

（4）观察三角形O1CA和O2DB，它们都是共边三角形，因此它们的边长相等。

具体来说，OC=OD，AC=BD，因此，∠O1CA=∠O2DB。

（5）将上述结果整理，可以得到：∠O1AB+∠O1CA=∠O2AB+∠O2DB。

由此可知，弧ACB的弧度等于弧ADB的弧度。

三、应用相交圆的公共弦定理是解决圆的相交部分的问题时非常有用的一个工具。

具体来说，它可以应用于以下几个方面。

（1）计算圆弧的长度假设我们要求两个相交圆的公共弦所夹的圆弧长度，那么可以利用相交圆的公共弦定理来求解。

具体来说，可以先求出弦所夹的圆心角的大小，然后根据圆的周长公式（C=2πr）来计算圆弧的长度。

（2）证明圆弧的相等性假设我们需要证明两个圆弧相等，那么可以利用相交圆的公共弦定理来证明。

具体来说，可以利用公共弦所夹的两个圆心角相等这一事实，来证明两个圆弧相等。

（3）求解三角形的面积假设我们需要求解一个三角形的面积，其中有两个角是圆心角，那么可以利用相交圆的公共弦定理来求解。

相交圆的公共弦定理是指：若两个圆相交于两点，则连接这两点的弦在两个圆上的切线上所截的线段相等。

具体来说，设两个圆C1和C2相交于点A和点B，分别以点A和点B为圆心画圆，分别与C1和C2相切于点P和点Q，则有PA=PB，QA=QB。

换句话说，连接圆C1和圆C2相交处的两个点所组成的弦AB，在两个圆上的切线上所截的线段PA、PB和QA、QB相等。

这个定理可以用来解决一些几何问题，例如在求解相交圆的交点时，可以通过连接圆的相交处得到两条公共弦，然后利用公共弦定理求出两条切线所截的线段长度，从而计算得到交点的坐标。

两圆相交的公共弦方程
首先，我们可以通过求解两个圆的方程，得到它们的交点坐标。

然后，我们可以使用这些交点来构建两个圆的公共弦。

公共弦可以
表示为直线的方程，我们可以使用两点式或者斜截式来表示这条直
线的方程。

假设两个圆的交点坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，我们可以
使用两点式来表示公共弦的方程。

两点式方程为(y y1)/(y2 y1) = (x x1)/(x2 x1)。

将这个方程与另一个圆的方程联立，可以得到公
共弦的方程。

另一种方法是使用斜截式来表示公共弦的方程。

首先计算两个
圆的圆心连线的斜率k，然后根据公共弦与圆心连线垂直的性质，
公共弦的斜率为 -1/k。

然后可以利用其中一个交点的坐标和斜率来
得到公共弦的方程。

综上所述，两圆相交的公共弦方程可以通过求解两个圆的交点
坐标，然后利用这些交点来构建公共弦的方程。

这样就可以得到两
圆相交的公共弦方程。

圆心距和相交两圆公共弦的关系
本文主要探讨圆心距和相交两圆公共弦的关系。

在两圆相交的情况下，两圆的公共弦是连接两圆的交点的线段。

我们知道，两个圆的圆心距是指它们圆心之间的距离。

在相交的情况下，圆心距可以影响公共弦的长度和位置。

首先，当两个圆的圆心距越小，它们相交的部分就越大。

这意味着它们的公共弦长度也会增加。

当圆心距等于两圆半径之和时，它们相切于一个点，此时公共弦的长度为0。

其次，公共弦的位置也受圆心距的影响。

当圆心距小于两圆半径之和时，公共弦将位于两圆之间且与圆心距垂直。

当圆心距大于两圆半径之和时，公共弦将位于两圆之外且与圆心距平行。

总之，圆心距和相交两圆公共弦的长度和位置密切相关。

对于给定的两个圆，我们可以通过它们的圆心距来确定公共弦的长度和位置。

这对于许多几何问题和工程应用具有重要意义。

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圆与圆的公共弦长公式推导
假设我们有两个圆，分别为圆A和圆B，圆心分别为Oa和Ob，
半径分别为rA和rB。

有一条公共弦CD，过圆心Oa和Ob，相交点为E。

设CE和DE分别为h1和h2。

我们可以通过以下步骤来推导圆与圆的公共弦长公式：
1. 因为CE和DE过圆心，所以它们各自是半径的垂线，因此
CE=OA，DE=OB。

2. 我们知道，OE是圆A和圆B的半径线。

因此，OE=rA+rB。

3. 因为CE和DE是圆心Oa和Ob的垂线，所以它们是直角三角形。

根据勾股定理，我们可以得到：
h1² + (rA - h2)² = rA²
h2² + (rB - h1)² = rB²
通过化简以上两个方程，我们可以得到：
h1² + rA² - 2rAh2 + h2² = rA²
h2² + rB² - 2rBh1 + h1² = rB²
化简之后，我们可以得到：
h1h2 = (rA + rB)² - (h1 - h2)² / 4
4. 我们知道，CD=2h1。

因此，只需要将上一步中的h1代入其中，我们就可以得到：
CD = 2√(rA + rB)² - (CE - DE)² / 4)
综上所述，我们得到了圆与圆的公共弦长公式。

例1. 已知⊙O 1、⊙O 2半径分别为15cm 和13cm ，它们相交于A 、B 两点，且AB 长24cm ，求O 1O 2长。

分析：该题没有给出图形，两圆相交有两种可能性： 1. 两圆心在公共弦的两侧； 2. 两圆心在公共弦的同侧；因此，我们必须分两种情况来解。

解：（1）连结O 1O 2交AB 于C （2）连结O 1O 2并延长交AB 于C ∵⊙O 1 ⊙O 2交于A 、B 两点 ∴⊥，且O O AB AC AB cm 121212== 在Rt △AO 1C 中，由勾股定理： O C O A AC cm 11222215129=-=-=() 在Rt △AO 2C 中，由勾股定理： O C O A AC cm 22222213125=-=-=∴如图（1） O 1O 2=O 1C+O 2C=14cm如图（2） O 1O 2=O 1C －O 2C=4cm例1是两圆相交时的一题两解问题，希望引起同学们的重视。

例2. 如图，⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，AC 切⊙O 2于C 交⊙O 1于B ，AP 交⊙O 2于D ，求证：（1）PC 平分∠BPD（2）若两圆内切，结论还成立吗？证明你的结论。

证明：（1）过P 点作公切线PM 交AC 于M 点 ∵AC 切⊙O 2于C∴MP=MC ∴∠MCP=∠MPC在⊙O1中，由弦切角定理：∠BPM=∠A∵∠CPD为△APC的外角∴∠CPD=∠A+∠MCP=∠BPM+∠MPC=∠BPC∴PC平分∠BPD。

（2）两圆内切时仍有这样的结论。

证明：过P点作公切线PM交AB延长线于M∵AM切⊙O2于C，∴MC=MP∴∠MPC=∠MCP∴∠MPB=∠A∵∠MCP为△CPA的外角∠MCP=∠CPA+∠A又∠MPC=∠MPB+∠BPC∴∠BPC=∠CPA即PC平分∠BPD。

在解决有关两圆相切的问题时，过切点作两圆的公切线是常见的一条辅助线，利用弦切角及圆周角的性质或切线长定理，可使问题迎刃而解。