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第二单元一次方程组及其应用优秀课件

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(完整版)二元一次方程组优秀课件PPT

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矩阵法解二元一次方程组
总结词
利用矩阵的运算性质和逆矩阵的性质，将二元一次方程组转化为线性方程组进行求解。
详细描述
矩阵法的基本思路是将二元一次方程组转化为线性方程组，然后利用矩阵的运算性质和 逆矩阵的性质求解。具体步骤包括：将二元一次方程组写成矩阵形式，然后对矩阵进行 变换，将其化为行最简形式，得到线性方程组；然后利用逆矩阵的性质求解线性方程组
示例
x + y = 1, 2x - y = 3
二元一次方程组的解法概述
01
02
03
消元法
通过加减或代入法消去一 个未知数，将二元一次方 程组转化为一元一次方程 求解。
替换法
通过一个方程中的未知数 表示另一个未知数，然后 将其代入另一个方程求解 。
矩阵法
利用矩阵表示方程组，通 过矩阵运算求解。
二元一次方程组的应用场景
化学问题
在化学中，有些问题涉及到两种化学物质之间的反应，如反 应速率和反应物浓度等，这时也可以用二元一次方程组来表 示和解决。
04
二元一次方程组的扩展知识
二元一次方程组的几何意义
平面直角坐标系
二元一次方程组可以表示平面上的点集，通过坐标系将代数问题与几何问题相互 转换。
直线交点
二元一次方程组的解对应于直线交点，即两个方程的公共解。
二元一次方程组的解的个数与性质
解的个数
二元一次方程组可能有无数解、唯一 解或无解，取决于方程组中方程的系 数和常数项。
解的性质
解的个数与方程组系数矩阵的秩和增 广矩阵的秩有关，通过比较两者可以 判断解的情况。
二元一次方程组的解的判定定理
定理内容
如果二元一次方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则该方程组有唯一解；如果秩不相等，则该 方程组无解或有无数解。

二元一次方程组的应用优质数学课件

二元一次方程组的应用优质数学课件

等量关系：
等量关系：
① 9个笑脸气球的费用+2个心形气球的费用=21元
等量关系：
① 9个笑脸气球的费用+2个心形气球的费用=21元 ② 5个笑脸气球的费用+4个心形气球的费用=16元
① 9个笑脸气球的费用+2个心形气球的费用=21元 ② 5个笑脸气球的费用+4个心形气球的费用=16元
① 9个笑脸气球的费用+2个心形气球的费用=21元 ② 5个笑脸气球的费用+4个心形气球的费用=16元
例1 七年级（1）（2）两班准备购买一些气球 装扮班级活动的会场，为此两班同学到同一商 店购买气球，气球的种类有笑脸和心形两种。 七年级（1）班购买了9个笑脸气球，2个心形气 球共用了21元，七年级（2）班购买了同样的5 个笑脸气球，4个心形气球共用了16元，问每个 笑脸气球和每个心形气球各多少元？
班级
笑脸气球费用 心形气球费用 数量 单价
七（1）
总费用
七（2）
① 9个笑脸气球的费用+2个心形气球的费用=21元 ② 5个笑脸气球的费用+4个心形气球的费用=16元
班级
笑脸气球费用 心形气球费用 数量 单价
七（1）
总费用
七（2）
① 9个笑脸气球的费用+2个心形气球的费用=21元 ② 5个笑脸气球的费用+4个心形气球的费用=16元
根据题意,可得
x 2y 1680 2x y 2280
解方程5×组9,得60+2×xy 396366000=5520＞5300
答：7个餐厅同时开放能满足全校的5300
名学生就餐。
.
课堂小结
课堂小结
实际问题
课堂小结

课时 一次方程(组)及其应用ppt课件

课时 一次方程(组)及其应用ppt课件

题
3.解方程
步 骤
4.检验，作答
常见类型及等 量关系式
打折销售问题：利润＝售价-本钱价，售价＝原价×折扣〔打几折，
折扣就是百分之几十〕利润率＝ ×100％
工程问题：任务量＝任务效率×⑩_______
行程问题
利润
分配类问题
进价
任务时间
路程＝速度×时间
相遇问题：
甲、乙分别以A、B为起点，同时相向而行，经过一段时间在C处
〔3〕该物流公司4月承接的A种货物和B种货物的分量与3月份一样，3月份共 收取运费19000元，4月份共收取运费26000元，求该物流公司4月份运输A、B 两种货物各多少吨？ 自主作答：
设该物流公司4月运输A货物x吨，运输B货物y吨，根据题意得：
解得 x=100 y=150，
100x+60y=19000 140x+80y=26000,
设3月份B货物的运费单价为m元/吨，根据题意得： 2m-20=100, 解得m=60. 答：3月份B货物的运费单价是60元/吨；
〔2〕4月份由于工人工资上涨，A、B货物运费单价上调的百分率分别为x％和 1.25x％，且共上调了70元/吨，求4月份A、B货物的运费单价； 自主作答：
根据题意得：100·x％+60×1.25x％＝70， 解得x=40，那么1.25x=50. 100×〔1+40％〕＝140， 60×〔1+50％〕＝90， 答：4月份A货物的运费单价为140元/吨，B货物的运费单价为90元/吨.
2.等式两边乘以同一个数〔或除以同一个不为0的数〕，结果仍是等式，即假
等
设a=b,那么ac=bc, (c≠0)
式
的 3.假设a=b,那么b=a〔对称性〕

5.4 应用二元一次方程组——增收节支 课件 2024-2025学年数学北师版八年级上册

5.4 应用二元一次方程组——增收节支 课件 2024-2025学年数学北师版八年级上册
∵810 000>725 000>630 000,
∴选择方案三获利最多.
4.(2024·成都七中)某校英语组组织学生进行“英语美食节”
活动,需购买甲、乙两种奖品.老师发现购买甲奖品4个和乙
奖品3个,需用去128元;购买甲奖品5个和乙奖品4个,需用去
164元.
(1)请用列二元一次方程组的方法,求甲、乙两种奖品的单价
的总支出=780万元,可列方程为 (1+20%)x-(1-10%)y=780 .
− = 200,
因此,可列方程组为 ቊ
.
(1 + 20%) − (1 − 10%) = 780
2.利润问题中常用的等量关系
(1)利润=售价-进价=进价×利润率.
利润
(2)利润率=
×100%
进价
标价×折扣−进价
− = 5 000,
= 20 000,
ቊ
解得ቊ
= 15 000.
(1 + 15%) − (1 − 10%) = 9 500.
答:去年收入20 000元,支出15 000元.
1.小李以两种形式储蓄3 000元,一种储蓄的年利率为
1.5%,另一种储蓄的年利率为2.0%,一年后本息和为3
3.存款问题中常见的等量关系
(1)利息=本金×利率×期数.
(2)本息和=本金+利息.
(3)本息和=本金×(1+利率×期数).
例:小高以两种形式分别储蓄了2 000元和1 000元,一
年后全部取出,得利息和为64.8元,已知两种储蓄的年
利率和为5.04%.问这两种储蓄的年利率各是多少?
解:设储蓄2 000元的年利率为x,储蓄1 000元的年利

二元一次方程组-图课件

二元一次方程组-图课件

解二元一次方程组时，可以通过消元 法、代入法等方法得到不同的解。
二元一次方程组的拓展
多元一次方程组
除了二元外，还可以扩展 到更多未知数的多元一次 方程组。
分式方程组
将一次方程组的未知数次 数降低，可以得到分式方 程组。
高次方程组
将一次方程组的未知数次 数提高，可以得到高次方 程组。
二元一次方程组与其他数学知识的结合
二元一次方程组可以表示为平面上的两条直线， 这两条直线的交点就是解。解的几何意义是两条 直线的交点坐标，即两条直线的公共点。
02
二元一次方程组的图解法
直线交点法
总结词
通过作图找到两条直线的交点，该交点即为方程组的解 。
详细描述
首先，将二元一次方程组中的两个方程分别表示为两条 直线的方程。然后，在坐标系上画出这两条直线。最后 ，找到这两条直线的交点，该交点的坐标即为方程组的 解。
02 代数问题
在代数中，二元一次方程组是基本的问题类型之 一，需要掌握其解法。
03 概率统计问题
在概率统计中，经常需要计算两个事件同时发生 的概率或两个变量的相关性。
科学中的二元一次方程组问题
01
02
03
物理问题
在物理学中，经常需要解 决与速度、力和加速度相 关的二元一次方程组问题 。
化学问题
在化学中，二元一次方程 组可以用来描述化学反应 中两种物质的反应速率和 反应条件。
进阶习题2
解方程组$begin{cases}x + 2y = 6 2x + y = 4end{cases}$
进阶习题3
解方程组$begin{cases}5x - y = 11 x + 2y = 7end{cases}$

(完整版)二元一次方程组优秀课件PPT

(完整版)二元一次方程组优秀课件PPT

答案解析
答案解析1
首先将方程组中的两个方程相加和相减，消去其中一个变量，得到一个一元一次方程，然 后求解得到一个变量的值，最后将这个变量的值代入原方程组中的任意一个方程，求得另 一个变量的值。
答案解析2
首先将方程组中的两个方程相加和相减，消去其中一个变量，得到一个一元一次方程，然 后求解得到一个变量的值，最后将这个变量的值代入原方程组中的任意一个方程，求得另 一个变量的值。
几何问题
例如，在计算几何图形的面积、 周长或体积时，需要使用二元一 次方程组来表示相关变量之间的
关系。
代数问题
例如，在解决代数方程组时，需要 使用二元一次方程组来表示未知数 之间的关系。
概率统计问题
例如，在计算概率分布或统计数据 时，需要使用二元一次方程组来表 示相关变量之间的关系。
科学中的二元一次方程组问题
化学反应
在化学反应中，常常需要用到 二元一次方程组来表示反应物 和生成物的关系。
几何问题
在解决涉及两个未知数的几何 问题时，如两点之间的距离、 角度等，常常需要用到二元一
次方程组。
02
二元一次方程组的解法
代入消元法
通过代入一个方程中的未知数，将其表示为另一个变量的函数，从而简化方程组的方法。
代入消元法是解二元一次方程组的一种常用方法。首先，选择一个方程中的未知数，用另一个未知数表示出来，然后将其代 入到另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。接着解这个一元一次方程，得到一个变量的值，再将其代回 原方程中求得另一个变量的值。
01
02
03
购物问题
例如，在购买商品时，需 要计算不同商品的价格和 折扣，以确定最佳购买方 案。
交通问题

《应用二元一次方程组—鸡兔同笼》二元一次方程组PPT课件3


28、每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。 29、最终你相信什么就能成为什么。因为世界上最可怕的二个词，一个叫执着，一个叫认真，认真的人改变自己，执着的人改变命运。只要 在路上，就没有到不了的地方。
30、人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自己不奋斗，终归是摆设。无论你是谁，宁可做拼搏的失败者，也不要做安于现状的平凡人。 31、不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 32、过自己喜欢的生活，成为自己喜欢的样子，其实很简单，就是把无数个“今天”过好，这就意味着不辜负不蹉跎时光，以饱满的热情迎 接每一件事，让生命的每一天都有滋有味。
3
3
10x 910 y 9 21a.
解得 {xy==01.09.a8.a,
所以24×10.8a+0.9a×24×18=18×za
z=36
答：第三块牧场可供36头牛吃18个星期.
返回
已知某电脑公司有A型，B型，C型三种 型号的电脑，其价格分别为A型每台6000 元，B型每台4000元，C型每台2500元，我 市东坡中学计划将100500元钱全部用于从
用绳子测量水井的深度.如果将绳子 折成三等份，一份绳长比井深多5尺； 如果将绳子折成四等份，一份绳长比 井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？
题中有哪些等量关系?
关系一
关系二
考考你
古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里， 听到外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个 声音，下面有这一古诗为证：
隔壁听到人分银， 不知人数不知银. 只知每人五两多六两， 每人六两少五两， 问你多少人数多少银？
4y=6x

中考数学复习课件第2章第5讲 一次方程(组)及其应用 (共22张PPT)


直接设元
间接设元
典型例题运用
类型1 一次方程(组)的解法 【例1】 [2017·镇江中考]解方程组：
解法二：由①，得x＝y＋4，③ 把③代入②，得y＝－1. 把y＝－1代入③，得x＝3. ∴原方程组的解为 ∴
技法点拨►解二元一次方程组时，要仔细观察方程组的特点， 灵活地选择代入消元法或加减消元法．用代入法的关键是能将 一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．如果两个方 程中的某一个未知数的系数成倍数关系，那么采用加减消元法 比较简便．
变式运用►3.[2017·徐州中考]4月9日上午8时，2017徐州国 际马拉松赛鸣枪开跑，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同 参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话： ：我和哥哥的年龄和是16岁． 两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于 爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥 哥和妹妹的年龄． 解：设今年妹妹x岁，哥哥y岁．
4.两种设元方法 在全面透彻地理解问题的基础上，根据题中求什 么就设什么是未知数，或要求几个量，可直接设 出其中一个为未知数，再用这个未知数表示另一 个未知量．这种设未知数的方法叫做直接设元法 如果对某些题目直接设元不易求解，便可将并不 是直接要求的某个量设为未知数，从而使得问题 变得容易解答，我们称这种设未知数的方法为间 接设元法
考点2
一次方程(组)的解法
含有① 两 个未知数，并且未知数 二元一次方程的概念 的次数是② 1 的整式方程叫做二元 一次方程 一般地，含有③ 相同 的未知数的 二元一次方程组的概念 ④ 两 个二元一次方程合在一起， 就组成了一个二元一次方程组 二元一次方程组的解 二元一次方程组的两个方程的⑤ 公 共解 ，叫做二元一次方程组的解
第一部分 系统复习 成绩基石

人教版数学七年级下册8.1 二元一次方程组 课件(共26张PPT)

第八章 二元一次方程组
8.1 二元一次方程组
1.经历根据实际问题列二元一次方程（组）的过程,让学生体 会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的数学模型. 2.通过复习类比一元一次方程,探究掌握二元一次方程（组） 及其解的概念. 3.培养学生的数学类比思想,感受方程组的实际应用价值.
学习重点：二元一次方程(组)以及解的概念. 学习难点：二元一次方程组的解的概念.
写出二元一次方程3x+2y=19的正整数解. 解：ቊyx==81；, ቊyx==53；, ቊxy==25.,
例3 二元一次方程组ቊxx−+yy==180, 的解是（ C ）
A.ቊxy==35,
B.ቊxy==111,
C.ቊyx==−91,
D.ቊxy==16..55,
下列各组值中是二元一次方程组ቊxx−+yy==35,的解的 是（ C ）
我们已经学习了一元一次方程，并学会了用它解 决实际问题。 一元一次方程中只含有一个未知数，下面我们来 看下这些问题含有几个未知数？
篮球比赛不仅出现在奥运赛场上，在生活中也随处可见,请 同学们看下面这个问题：在某次篮球联赛中，每场比赛都要分 出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队在10场比赛中得到 16分，那么这个队胜负场数分别是多少呢？
思考：这个问题中包含了 哪些必须同时满足的条件？
分析：胜的场数+负的场数=总场数，胜场积分+负场积分=
总积分.
胜
负
合计
场数
x
y
10
积分
2x
y
16
解:设这个队胜的场数为x场,负的场数为y场. 依据题意,得x+y=10,2x+y=16.
学生活动一【一起探究】

《二元一次方程组的应用》PPT课件


解:设甲乙两车的速度分别为 x Km/h、y Km/h
若甲车先出发1ｈ后乙车出 发，则乙车出发后5ｈ追上 甲车
根据题意，得 5y=6x
4y=4x+40
解之得
X=50 Y=6o
答：甲乙两车的速度分别为50km、 60km
若甲车先开出30ｋｍ后乙车出 发，则乙车出发4ｈ后乙车所走 的路程比甲车所走路程多10ｋ ｍ．
同时同地同向在同一跑道进行比赛
A
B
当男生第一次赶上女生时 男生跑的路程-女生跑的路程=跑道的周长
同时异地追及问题 乙的路程-甲的路程=甲乙之间的距离
T ( V乙 - V甲 )=s
t
乙
甲
S
例1.某站有甲、乙两辆汽车， 若甲车先出发1ｈ后乙车出发， 则乙车出发后5ｈ追上甲车； 若甲车先开出30ｋｍ后乙车出 发，则乙车出发4ｈ后乙车所 走的路程比甲车所走路程多10 ｋｍ．求两车速度．
x+y=3/5(10+y) x+2y=7/10(10+2y)
解得
x=4 y=5
所以第一次加入 的金属5kg,原来这块合金 中含种甲金属40%
甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你 才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁 数时，你将61岁．”问甲、乙现在各多少岁？
现在年龄
将来年龄
甲比乙大的岁数
练习.一辆汽车从甲地驶往乙地，途中要过一桥。用 相同时间，若车速每小时60千米，就能越过桥2千米； 若车速每小时50千米，就差3千米才到桥。问甲地与 桥相距多远？用了多长时间？
船在逆水中的速度=船在 静水中的速度-水流的速度
水流方向
轮船航向
船在顺水中的速度=船在 静水中的速度+水流的速度
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程组的解 值．
将方程组中的一个方程的一个未知数用另外一
代入法 个未知数的代数式表示，代入_另__外__一__个__方__程__
二元一次
消去一个未知数．
方程组的 解法
加减法
将方程组的两个方程通过直接相加、减或者变 形后相加、减消去一个未知数．
相同点
都是通过消元，将二元一次方程组转化为一元 一次方程.
·新课标
8．如果
x＝－2， y＝21
__－__3__，b＝___1_0__.
是方程组
ax－2y＝5， 2x＋by＝1
的解，那么a＝
[解析] 将xy＝＝21－2， 代入方程组，得－2a－2×21＝5,
2×(－2)＋21b＝1 解得a＝－3，b＝10.
·新课标
第6讲 │ 考点随堂练
9．已知
x＝2， y＝ 3
是关于x，y的二元一次方程
步骤中容易出错的地方.
·新课标
第6讲 │ 考点随堂练
1.若2x－1＝7，则x的值为( A )
A. 4
B．3
C．2
[解析] 2x＝7＋1,2x＝8，x＝4.
D．－3
2．下列方程中，解是x＝2的方程是( B )
A．3x＋6＝0
B．－14x＋21＝0
C.32x＝2
D．5－3x＝1
[解析] 将x＝2代入所给选项检验，只有选项B方程的左右 两边相等．
一元一次 方程的解
一元一 次方程 的解法
能使一元一次方程左右两边__相__等____的未知数的
值．
一般 步骤
解一元一次方程的一般步骤有_去__分__母___、 _去__括__号___、__移__项____、_合__并__同__类__项__和系数 化为1.
注意 事项
①解一元一次方程的步骤不是一成不变的， 要根据方程的特点灵活把握；②要注意每个
[解析] 设进价为x，由200×0.6＝x(1＋20%)，解得x＝100.
·新课标
第6讲 │ 考点随堂练
13．如图6－1所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重 量相等，且每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和每个果冻 的重量分别为( C )
A．10g,40g B．15g,35g C．20 g,30 g D．30 g,20 g
·新课标
第6讲 │ 考点随堂练
考点2 二元一次方程组及其解法
二元一次方 程组的概念
含有__两____个未知数，并且未知数的最高次数是 __一____的方程叫二元一次方程．把具有相同未知数的 两个二元一次方程组合在一起叫做二元一次方程组.
二元一次方 能够使方程组的每个方程都成立的_两__个___未知数的
4．已知5是关于x的方程3x－2a＝7的解，则a的值为__4____．
[解析] 将x＝5 代入方程3×5－2a＝7，解得a＝4.
·新课标
第6讲 │ 考点随堂练
5．解方程：2x3－1－10x6－1＝1. 解：去分母，得2(2x－1)－(10x－1)＝6； 去括号，4x－2－10x＋1＝6； 移项，4x－10x＝6＋2－1； 合并同类项， －6x＝7； 系数化为1，x＝－67.
3 x＝y＋a的解，
求(a＋1)(a－1)＋7的值．
解： 将x＝2，y＝ 3代入中 3x＝y＋a，得a＝ 3. ∴(a＋1)(a－1)＋7＝a2－1＋7＝a2＋6＝9.
·新课标
第6讲 │ 考点随堂练
10．用适当的方法解方程组． x－2y＝0，
(1)3x＋2y＝8；
解：(1)两方程直接相加，4x＝8，x＝2.将x＝2代入x－2y ＝0,2－2y＝0，y＝1，方程组的解为xy＝＝12.，
[解析] 甲队现在有(32＋x)人，乙队现在有(28－x)，根据题意， 甲队现在的人数是乙队现在人数的2倍，32＋x＝2(28－x)．
·新课标
第6讲 │ 考点随堂练
12．一件服装标价200元， 若以6折销售， 仍可获利20%, 则
这件服装的进价是( A )
A．100元
B．105元
C．108元
D．118
第二单元一次方程 组及其应用
第6讲 │ 一次方程（组）及其应用
第6讲 一次方程（组）及其应用
·新课标
第6讲 │ 考点随堂练
│考点随堂练│
考点1 一元一次方程及其解法
一元一次方 含有___一_____个未知数，并且未知数的最高次数 程的定义 是___一_____的方程，其一般形式为__a_x_＋__b_＝__0__．
第6讲 │ 考点随堂练
6.已知x2m－1＋3y4－2n＝－7是关于x，y的二元一次方程，则m，n
的值是( C )
m＝2， A.n＝1
m＝1， B.n＝－23
m＝1， C.n＝23
m＝1， D.n＝52
[解析] 方程x2m－1＋3y4－2n＝－7是二元一次方程，则2m－1 ＝1,4－2n＝1，解得m＝1，n＝23.
·新课标
第6讲 │ 考点随堂练
3．解方程x＋2 1－2x6－3＝1，去分母正确的是( D )
A．3(x＋1)－2x－3＝6
B．3(x＋1)－2x－3＝1
C．3(x＋1)－(2x－3)＝12
D．3(x＋1)－(2x－3)＝6
[解析]在方程的两边同时乘6,6×
x＋1 2
－6×
2x－3 6
＝1×6，
所以3(x＋1)－(2x－3)＝6.
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Hale Waihona Puke 第6讲 │ 考点随堂练7．二元一次方程组x3＋x－2yy＝＝45， x＝2，
A.y＝1 x＝1，
C.y＝1
的解是( A )
x＝1， B.y＝2
x＝2， D.y＝2
[解析] 将所给的4个选项代入方程组检验，只有A中的两 个数能使方程组的两个方程都成立，所以选A.
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考点3 一次方程（组）的应用
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11.甲、乙两个运输队，甲队32人，乙队28人，若乙队调走x人到 甲队，则甲队人数是乙队人数的2倍，其中x 应满足的条件是 (B ) A．2(32＋x)＝28－x B．32＋x＝2(28－x) C．32＝2(28－x) D．3×32＝28－x
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3x－2y＋4y＝2y－1， (2)2x＋5y＝7.
解：(2)32xx＋－52yy＝＋7，4y②＝2y－1，① 将①整理，得 3x－6y＋4y＝2y－1,3x－4y＝－1，③ ③×2得，6x－8y＝－2，④ ②×3得，6x＋15y＝21，⑤ ⑤－④得23y＝23，y＝1， 将y＝1代入②，2x＋5＝7，x＝1，所以xy＝＝11.，
图6－1
[解析]根据图可得：3块巧克力的重量＝2个果冻的重量；1块巧 克力的重量＋1个果冻的重量＝50克．设每块巧克力重x克，每