4一次方程组的应用

第4讲 方程及其应用限时计算能力训练：（1）4213301120912765211-+-+- （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++947511311673198（3）1999199819981998÷ （4）21171171311391951511⨯+⨯+⨯+⨯+⨯一、解一元一次方程例1：503045x x+=； 练习1：115514464030x x --+=例2：)843(1385314-=+x x ）（ 100)1540(101191=-+x x练习2：）（231-x =）（2052-x 2870)1018(521853=-⨯+⨯x x例3：11810365741=⨯-÷÷）（x 31121487431=⨯-÷÷）（x练习3：5261651=+÷）（x 833243531=⨯-÷÷）（x例4：52221+-=--y y y 261312=+-+x x练习4：432128-12-+=+x x 31819615xx x --+=+ 例5：51174205x x +=-； 练习5：3115312=--x x例6：2%)20(2x x x =-+）（ 练习6：(3)( 1.2)(2)x x x x -⋅+=-巩固练习：（1）10(47)3(1212)216x x x ---=-； （2）38115923x x =⨯+；（3）21(300)54x x =+⨯； （4）31(2010)(10)5103x x +-⨯=-⨯+；（5）11(770)501910x x +-=； （6）1601160235x x+=； （7）4696-3154=++x x （8）2144312=-÷）（x（9）31821125322-=-÷）（x x （10）801132127--+=x x x（11）319521⨯-=）（x x （12）x x -=⨯-1313821）（（13）2100280051)2800(x 41-=⨯-+x （14） 9519-21-=⨯x x ）（（15）)104(5107-=+x x ）（ （16）x 1036x 152x 152=++（16）)10(431030-x 54-=+x （18）7-1269261）（x x -=二、解二元一次方程组例1、⎩⎨⎧=+=+1341632y x x x练习：用代入法解下面各方程组①3102x y x y -=⎧⎨=⎩ ②44323x y x y -=⎧⎨+=⎩③613.543 3.5x y x y +=⎧⎨-=⎩ ④21237x y x y +=⎧⎨-=⎩例2、⎩⎨⎧=+=-13272y x y x例3、⎩⎨⎧=+=+17431232y x y x1. 用消元法解下列方程组①32135217x y x y +=⎧⎨+=⎩ ②3428211x y x y +=⎧⎨+=⎩③37334222x y x y +=⎧⎨+=⎩ ④35399266x y x y +=⎧⎨-=⎩三、方程的应用例1 某中学高中生人数是初中生人数的65，高中毕业生的人数是初中毕业生人数的1712。

一次方程组的应用引言一次方程组是数学中常见的问题解决工具，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍一次方程组的定义、求解方法以及在现实生活中的一些应用案例。

一次方程组的定义一次方程组指的是一组含有未知数的线性方程的集合。

一般来说，一次方程组的形式可以表示为：a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = b1a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = b2...a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = bn其中，x1, x2, …, xn是未知数，a1, a2, …, an是已知系数，b1, b2, …, bn是已知常数。

一次方程组的求解方法一次方程组的求解方法有多种。

以下是常见的两种方法：1. 代入法代入法是一种简单直接的求解一次方程组的方法。

其基本思路是将一个方程的一个未知数的表达式代入到另一个方程中，从而得到只含有一个未知数的方程，进而求解出未知数的值。

以一个简单的一次方程组为例，：2x + y = 10x + y = 6我们可以选择第二个方程将y的表达式代入到第一个方程中：2x + (6 - x) = 10化简后得到：x = 2将x的值代回第二个方程，得到y的值：2 + y = 6y = 4最终，方程组的解为x = 2, y = 4。

2. 消元法消元法是另一种常用的求解一次方程组的方法。

其基本思路是通过将方程组中的某些方程相加、相减或相乘，消去其中的未知数，从而得到只含有一个未知数的方程，进而求解出未知数的值。

以一个简单的一次方程组为例，：2x + y = 10x + y = 6我们可以将第二个方程的y系数乘以2，然后将第一个方程减去第二个方程：2 * (x + y) - (2x + y) = 2 * 6 - 10化简后得到：x = 2将x的值代回第二个方程，得到y的值：2 + y = 6y = 4最终，方程组的解为x = 2, y = 4。

一次方程组在现实生活中的应用案例一次方程组在现实生活中有很多应用，以下是一些常见的应用案例：1. 购物问题假设你去商店购买3个苹果和2个香蕉，总共花费15元；如果购买2个苹果和3个香蕉，总共花费13元。

四元一次方程解法
四元一次方程是指四个未知数的一次方程。

解四元一次方程的一
种常用方法是消元法，以下是具体步骤：
Step 1：对方程进行整理，将相同未知数的项放在一起，形成类
似于x1 + x2 + x3 + x4 = a的形式，其中x1、x2、x3、x4为未知数，a为常数。

Step 2：通过消元方法将方程化简为含有两个未知数的方程。

可
以通过两个方向进行消元：
a) 从前往后：先将x1与后面三个未知数中的一个进行消去，得到新的方程。

b) 从后往前：先将x4与前面三个未知数中的一个进行消去，得到
新的方程。

Step 3：重复Step 2，直到方程化简为只有两个未知数的方程（如x1 + x2 = b）。

Step 4：解决这个两个未知数方程。

可以使用代入法、消元法或
其他方法来求解这个方程。

解得其中一个未知数的值后，可以将其代
入到Step 2中化简的方程中，求解其他未知数。

Step 5：将解得的未知数值代入原方程，验证解是否成立。

通过以上步骤，可以解得四元一次方程的解。

中考数学模拟题汇总《一次方程(组)的含参及应用问题》练习题（含答案解析）1、关于x 的方程mx 2m ﹣1+（m ﹣1）x ﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为 ________ ．2、关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．43、若{x =1，y =2是关于x 、y 的二元一次方程ax +y ＝3的解，则a ＝ ．4、已知1023a b +=，16343a b +=，则+a b 的值为_________．5、已知x a y b =⎧⎨=⎩是方程组2623x y x y +=⎧⎨+=-⎩的解，则+a b 的值为__．6、已知关于,x y 的方程组7234mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩的解为12x y =⎧⎨=⎩，则1m n -的平方根为________．7、已知关于x 、y 的二元一次方程组{ax −y =43x +by =4的解是{x =2y =−2，则a +b 的值是（ ）A ．1B ．2C ．﹣1D ．08、已知{x =3y =−2是方程组{ax +by =2bx +ay =−3的解，则a +b 的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．59、若方程组213212x y x y -=⎧⎨+=⎩的解也是二元一次方程511x my -=-的一个解，则m 的值等于__________．10、若关于x，y的二元一次方程组2x yA+=⎧⎨=⎩的解为11xy=⎧⎨=⎩，则多项式A可以是_____（写出一个即可）．11、母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种12、学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A．2种B．3种C．4种D．5种13、2020年5月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．14、某化肥厂第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车．每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？15、在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元．（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？（2）该店在“五•四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？16、小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？17、同时满足二元一次方程和的，的值为（ ）A ．B ．C ．D ．18、我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺．则符合题意的方程是（ ） A ．B ．C ．D ．19、关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ） A ．9 B ．8 C ．5 D ．420、某超市正在热销一种商品，其标价为每件12元，打8折销售后每件可获利2元，该商品每件的进价为（ ）9x y -=431x y +=x y45x y =⎧⎨=-⎩45x y =-⎧⎨=⎩23x y =-⎧⎨=⎩36x y =⎧⎨=-⎩()1552x x =--()1552x x =++()255x x =--()255x x =++x 224a x m -+=1x =a m +A ．7.4元B ．7.5元C ．7.6元D ．7.7元21、把一根长9m 的钢管截成1m 长和2m 长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m 长的钢管有a 根，则a 的值可能有（ ） A ．3种 B ．4种C ．5种D ．9种22、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半， 一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（ ） A ．里 B ．里C ．里D ．里23、学校计划购买和两种品牌的足球，已知一个品牌足球元，一个品牌足球元．学校准备将元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（ ） A ．种 B ．种C ．种D ．种24、在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（ ）． A ． B ．1C ．0D ．225、为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（ ） A ．4种 B ．3种C ．2种D ．1种26、若是二元一次方程组的解，则x ＋2y 的算术平方根为（ ）A ．3B ．3，－3CD37896482412A B A 60B 75150034561a b a b =+-☆232314=+-=☆21x =☆x 1-21a b =⎧⎨=⎩3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩27、已知a 、b 满足方程组，则a+b 的值为( )A ．2B ．4C ．—2D ．—428、已知，，则的值为_________．29、已知是方程组的解，则的值为__．30、已知关于的方程组的解为，则的平方根为________．31、《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x 辆车，有y 人，则可列方程组为_____．32、已知关于x 、y 的方程的解满足，则a 的值为__________________．33、今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是_____次．34、有两种消费券：A 券，满60元减20元，B 券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A 券，小聪有一张B 券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是_____元．35、“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的，两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润=售价-成本）．其每件产品的成本324236a b a b +=⎧⎨+=⎩1023a b +=16343a b +=+a b x a y b =⎧⎨=⎩2623x y x y +=⎧⎨+=-⎩+a b ,x y 7234mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩12x y =⎧⎨=⎩1m n -221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩3x y +=-A B和售价信息如下表：问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？36、某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表(二)所示：求：(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？(2)该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？参考答案与解析1、关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为________．【答案】x＝2或x＝﹣2或x＝﹣3【解析】∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，∴当m＝1时，方程为x﹣2＝0，解得：x＝2；当m＝0时，方程为﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2；当2m﹣1＝0，即m=12时，方程为12−12x﹣2＝0，解得：x＝﹣3，故答案为：x＝2或x＝﹣2或x＝﹣3．点睛：此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．2、关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可． 【详解】解：因为关于x 的一元一次方程2x a -2+m=4的解为x=1， 可得：a -2=1，2+m=4， 解得：a=3，m=2， 所以a+m=3+2=5， 故选C ． 【点睛】此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．3、若{x =1，y =2是关于x 、y 的二元一次方程ax +y ＝3的解，则a ＝ ．【答案】1【解析】把{x =1y =2代入二元一次方程ax +y ＝3中，a +2＝3，解得a ＝1． 故答案是：1．点睛：本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键．4、已知1023a b +=，16343a b +=，则+a b 的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】观察已知条件可得两式中a 与b 的系数的差相等，因此把两式相减即可得解． 【详解】解：1023a b +=①，16343a b +=②， ②-①得，2a+2b=2， 解得：a+b=1, 故答案为：1．【点睛】此题主顾考查了二元一次方程组的特殊解法，观察条件的结构特征得出2a+2b=2是解答此题的关键．5、已知x a y b =⎧⎨=⎩是方程组2623x y x y +=⎧⎨+=-⎩的解，则+a b 的值为__．【答案】1. 【解析】【分析】先把x=a ，y=b ，代入原方程组，再解关于a 、b 的二元一次方程组，代入要求的代数式即可得出答案． 【详解】 把x a y b =⎧⎨=⎩代入方程组2623x y x y +=⎧⎨+=-⎩得：2623a b a b +=⎧⎨+=-⎩①②， ①+②得： 333a b +=，1a b +=，故答案为1．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，先将x ，y 的值代入，再计算即可．6、已知关于,x y 的方程组7234mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩的解为12x y =⎧⎨=⎩，则1m n -的平方根为________．【答案】12± 【解析】【分析】根据方程组的解，可以把解代入方程组，构成新的方程组，求出m 、n,再代入求平方根. 【详解】 将1,2x y =⎧⎨=⎩代入方程组7,234mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩得27264m n m n +=⎧⎨-=⎩， 解得51m n =⎧⎨=⎩.所以114m n =- 所以1m n -的平方根为12±故答案为：12±【点睛】考核知识点：解方程组，平方根．解方程组，理解平方根的定义是关键． 7、已知关于x 、y 的二元一次方程组{ax −y =43x +by =4的解是{x =2y =−2，则a +b 的值是（ ）A ．1B ．2C ．﹣1D ．0【答案】B【解析】将{x =2y =−2代入{ax −y =43x +by =4得：{a =1b =1， ∴a +b ＝2； 故选：B ．点睛：本题考查二元一次方程组的解；熟练掌握方程组与方程组的解之间的关系是解题的关键．8、已知{x =3y =−2是方程组{ax +by =2bx +ay =−3的解，则a +b 的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣5D ．5【答案】A【解析】将{x =3y =−2代入{ax +by =2bx +ay =−3，可得：{3a −2b =23b −2a =−3，两式相加：a +b ＝﹣1， 故选：A ．点睛：本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．9、若方程组213212x y x y -=⎧⎨+=⎩的解也是二元一次方程511x my -=-的一个解，则m 的值等于__________．【答案】7【解析】【分析】先把2x-y=1中的y用x表示出来，代入3x+2y=12求出x的值，再代入2x-y=1求出y的值，最后将所求x，y的值代入5x-my=-11解答即可．【详解】解：根据题意得21 3212x yx y-=⎧⎨+=⎩①②∴由①得：y=2x-1，代入②用x表示y得，3x+2（2x-1）=12，解得：x=2，代入①得，y=3，∴将x=2，y=3，代入5x-my=-11解得，m=7．故答案为：7．【点睛】本题考查了解二元一次方程和解二元一次方程组的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其他的项移到另一边，然后合并同类项、系数化1就可用含y的式子表示x的形式．10、若关于x，y的二元一次方程组2x yA+=⎧⎨=⎩的解为11xy=⎧⎨=⎩，则多项式A可以是_____（写出一个即可）．【答案】答案不唯一，如x﹣y．【解析】【分析】根据方程组的解的定义，11xy=⎧⎨=⎩应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕11xy=⎧⎨=⎩列一组算式，然后用x，y代换即可. 【详解】∵关于x，y的二元一次方程组2x yA+=⎧⎨=⎩的解为11xy=⎧⎨=⎩，而1﹣1＝0，∴多项式A可以是答案不唯一，如x﹣y．故答案为：答案不唯一，如x﹣y.【点睛】此题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解，正确理解方程组的解与每个方程的关系是解题的关键.11、母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（ ） A ．3种 B ．4种C ．5种D ．6种【答案】B 【解析】【分析】设可以购买x 支康乃馨，y 支百合，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为正整数即可得出小明有4种购买方案． 【详解】解：设可以购买x 支康乃馨，y 支百合， 依题意，得：2x +3y ＝30， ∴y ＝10﹣23x ． ∵x ，y 均为正整数， ∴38x y =⎧⎨=⎩，66x y =⎧⎨=⎩，94x y =⎧⎨=⎩，122x y =⎧⎨=⎩， ∴小明有4种购买方案． 故选：B ．【点睛】本题考查了二元一次方程应用中的整数解问题，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．12、学校计划用200元钱购买A 、B 两种奖品，A 种每个15元，B 种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A ．2种 B ．3种C ．4种D ．5种【答案】B 【解析】【分析】设购买了A 种奖品x 个，B 种奖品y 个，根据学校计划用200元钱购买A 、B 两种奖品，其中A 种每个15元，B 种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x ，y 为正整数可求出解． 【详解】设购买了A 种奖品x 个，B 种奖品y 个， 根据题意得：1525200x y +=， 化简整理得：3540x y +=，得385y x =-，∵x ，y 为非负整数，∴08x y =⎧⎨=⎩，55x y =⎧⎨=⎩，102x y =⎧⎨=⎩，∴有3种购买方案：方案1：购买了A 种奖品0个，B 种奖品8个； 方案2：购买了A 种奖品5个，B 种奖品5个； 方案3：购买了A 种奖品10个，B 种奖品2个. 故选：B.【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，关键是读懂题意，根据题意列出二元一次方程，然后根据解为非负整数确定出x ，y 的值．13、2020年5月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．【答案】该电饭煲的进价为580元 【解析】【分析】根据满600元立减128元可知，打八折后的总价减去128元是实际付款数额，即可列出等式． 【详解】解：设该电饭煲的进价为x 元 根据题意，得(150%)80%128568x +⋅-= 解，得580x =．答；该电饭煲的进价为580元【点睛】本题主要考察了打折销售知识点，准确找出它们之间的关系列出等式方程是解题关键．14、某化肥厂第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车．每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？ 【答案】每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥． 【解析】【分析】设每节火车车厢平均装x 吨化肥，每辆汽车平均装y 吨化肥，根据运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车，列方程组求解． 【详解】解：设每节火车车厢平均装x 吨化肥，每辆汽车平均装y 吨化肥， 由题意得，615360810440x y x y +=⎧⎨+=⎩， 整理得：25120521102x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：504x y =⎧⎨=⎩．答：每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．15、在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元．（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？（2）该店在“五•四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？【答案】（1）跳绳的单价为16元/条，毽子的单件为5元/个；（2）该店的商品按原价的9折销售． 【解析】【分析】（1）设跳绳的单价为x 元/条，毽子的单件为y 元/个，根据：购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元，列方程组求解即可；（2）设该店的商品按原价的x 折销售，根据：购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，列出方程求解可得．【详解】解：（1）设跳绳的单价为x 元/条，毽子的单件为y 元/个，可得：30607201050360x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：164x y =⎧⎨=⎩，答：跳绳的单价为16元/条，毽子的单件为5元/个；（2）设该店的商品按原价的x 折销售，可得：1001610041800()10x⨯+⨯⨯=，解得：9x =，答：该店的商品按原价的9折销售．【点睛】本题主要考查二元一次方程组及一元一次方程的应用，理解题意找到相等关系是解题关键．16、小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？【答案】2元、6元 【解析】【分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．【详解】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x 元、y 元，根据题意可得：12201121220144y x x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：26x y =⎧⎨=⎩，答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． 17、同时满足二元一次方程和的，的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】 【分析】联立和解二元一次方程组即可． 【详解】9x y -=431x y +=x y 45x y =⎧⎨=-⎩45x y =-⎧⎨=⎩23x y =-⎧⎨=⎩36x y =⎧⎨=-⎩9x y -=431x y +=解：有题意得： 由①得x=9+y ③将③代入②得：36+4y+3y=1，解得y=-5 则x=9+（-5）=4 所以x=4，y=-5． 故选：A ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及解法，掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键．18、我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺．则符合题意的方程是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】设索为尺，杆子为()尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于一元一次方程． 【详解】设索为尺，杆子为()尺， 根据题意得：()． 故选：A ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．19、关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ） A ．9 B ．8 C ．5 D ．4【答案】C9431x y x y -=⎧⎨+=⎩①②()1552x x =--()1552x x =++()255x x =--()255x x =++x 5x -x x 5x -12x =5x -5-x 224a x m -+=1x =a m +【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可． 【详解】解：因为关于x 的一元一次方程2x a -2+m=4的解为x=1， 可得：a -2=1，2+m=4， 解得：a=3，m=2， 所以a+m=3+2=5， 故选C ．【点睛】此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．20、某超市正在热销一种商品，其标价为每件12元，打8折销售后每件可获利2元，该商品每件的进价为（ ） A ．7.4元 B ．7.5元 C ．7.6元 D ．7.7元【答案】C 【解析】 【分析】设该商品每件的进价为x 元，根据利润=售价-成本，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该商品每件的进价为x 元， 依题意，得：， 解得：． 故选：C ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．21、把一根长9m 的钢管截成1m 长和2m 长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m 长的钢管有a 根，则a 的值可能有（ ） A ．3种 B ．4种 C ．5种 D ．9种【答案】B120.82x ⨯-=7.6x =【分析】可列二元一次方程解决这个问题． 【详解】解：设的钢管根，根据题意得：，、均为整数，，，，． 故选：B ． 【点睛】本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键．22、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“ 三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半， 一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（ ） A ．里 B ．里C ．里D ．里【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可设第一天所走的路程为，用含的式子分别把这六天的路程表示出来，相加等于总路程378，解此方程即可． 【详解】解：设第一天的路程为里 ∴ 解得∴第三天的路程为 故答案选B 【点睛】2m b 29a b +=a b 14a b =⎧∴⎨=⎩33a b =⎧⎨=⎩52a b =⎧⎨=⎩71a b =⎧⎨=⎩37896482412x x x x x x x xx+++++=3782481632x=192x 192==4844本题主要考查了一元一次方程的应用，通过每日路程之和等于总路程建立一元一次方程是解题的关键． 23、学校计划购买和两种品牌的足球，已知一个品牌足球元，一个品牌足球元．学校准备将元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（ ） A ．种 B ．种C ．种D ．种【答案】B 【解析】 【分析】设购买品牌足球个，购买品牌足球个，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可求出结论． 【详解】解：设购买品牌足球个，购买品牌足球个， 依题意，得：，． ，均为正整数，，，，，该学校共有种购买方案．故选：B ． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解的问题，这类题往往涉及到方案的种类，是常考点.24、在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（ ）． A ． B ．1C ．0D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解． 【详解】A B A 60B 7515003456A x B y =⨯x y x y A x B y 60751500x y +=∴4205y x =-x y ∴11516x y =⎧⎨=⎩221012x y =⎧⎨=⎩33158x y =⎧⎨=⎩44204x y =⎧⎨=⎩∴41a b a b =+-☆232314=+-=☆21x =☆x 1-解：由题意知：， 又， ∴， ∴． 故选：C ． 【点睛】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的运算规则求解即可．25、为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（ ） A ．4种 B ．3种C ．2种D ．1种【答案】B 【解析】【分析】设购买篮球x 个，排球y 个，根据“购买篮球的总钱数+购买排球的总钱数=1200”列出关于x 、y 的方程，由x 、y 均为非负整数即可得． 【详解】设购买篮球x 个，排球y 个， 根据题意可得120x+90y=1200， 则y=， ∵x 、y 均为正整数，∴x=1、y=12或x=4、y=8或x=7、y=4，所以购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有3种， 故选B ．【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，依据相等关系列出方程．26、若是二元一次方程组的解，则x ＋2y 的算术平方根为（ ）A ．3B ．3，－3CD【答案】C 【解析】2211☆=+-=+x x x 21x =☆11x +=0x =4043x-21a b =⎧⎨=⎩3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩【分析】将代入二元一次方程组中解出x 和y 的值，再计算x ＋2y 的算术平方根即可．【详解】解：将代入二元一次方程中，得到：，解这个关于x 和y 的二元一次方程组，两式相加，解得，将回代方程中，解得，∴， ∴x ＋2y故选：C ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，算术平方根的概念等，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．27、已知a 、b 满足方程组，则a+b 的值为( )A ．2B ．4C ．—2D ．—4【答案】A 【解析】【分析】观察可知将两个方程相加得，化简即可求得答案. 【详解】， ①+②，得5a+5b=10， 所以a+b=2， 故选A.【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，根据二元一次方程组的特点灵活选用恰当的方法是解题21a b =⎧⎨=⎩21a b =⎧⎨=⎩3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩3522+=⎧⎨-=⎩x y x y 75x =75x =45y =7415223555+=+⨯==x y 324236a b a b +=⎧⎨+=⎩5510a b +=324236a b a b +=⎧⎨+=⎩①②28、已知，，则的值为_________． 【答案】1 【解析】【分析】观察已知条件可得两式中a 与b 的系数的差相等，因此把两式相减即可得解． 【详解】 解：①，②，②-①得，2a+2b=2， 解得：a+b=1, 故答案为：1．【点睛】此题主顾考查了二元一次方程组的特殊解法，观察条件的结构特征得出2a+2b=2是解答此题的关键． 29、已知是方程组的解，则的值为__． 【答案】1. 【解析】【分析】先把x=a ，y=b ，代入原方程组，再解关于a 、b 的二元一次方程组，代入要求的代数式即可得出答案． 【详解】把代入方程组得：，①+②得： ，，故答案为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，先将x ，y 的值代入，再计算即可． 30、已知关于的方程组的解为，则的平方根为________．【答案】 1023a b +=16343a b +=+a b 1023a b +=16343a b +=x a y b =⎧⎨=⎩2623x y x y +=⎧⎨+=-⎩+a b x a y b =⎧⎨=⎩2623x y x y +=⎧⎨+=-⎩2623a b a b +=⎧⎨+=-⎩①②333a b +=1a b +=1,x y 7234mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩12x y =⎧⎨=⎩1m n -12±【分析】根据方程组的解，可以把解代入方程组，构成新的方程组，求出m 、n,再代入求平方根. 【详解】将代入方程组得， 解得 .所以所以的平方根为故答案为：【点睛】考核知识点：解方程组，平方根．解方程组，理解平方根的定义是关键．31、《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x 辆车，有y 人，则可列方程组为_____．【答案】 【解析】【分析】根据两种乘车方式，找出等量关系，由此建立方程组即可． 【详解】由题意，可列方程组为：，故答案为：．【点睛】本题考查了列二元一次方程组，依据题意，正确找出等量关系是解题关键． 32、已知关于x 、y 的方程的解满足，则a 的值为__________________．1,2x y =⎧⎨=⎩7,234mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩27264m n m n +=⎧⎨-=⎩51m n =⎧⎨=⎩114m n =-1m n -12±12±()3229x yx y ⎧-=⎨+=⎩()3229x yx y ⎧-=⎨+=⎩()3229x yx y ⎧-=⎨+=⎩221255x y a x y a+=+⎧⎨+=-⎩3x y +=-【解析】【分析】①+②可得x+y=2-a ，然后列出关于a 的方程求解即可． 【详解】解：，①+②，得 3x+3y=6-3a ， ∴x+y=2-a ， ∵， ∴2-a=-3， ∴a=5． 故答案为：5．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．33、今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是_____次． 【答案】4 【解析】【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可．【详解】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，由题意得：， 整理得：，解得：．221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩①②3x y +=-1015110535x y y +=⎧⎨-⨯+=⎩10530x y y +=⎧⎨=⎩46x y =⎧⎨=⎩故答案为：4．【点睛】此题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程组求解． 34、有两种消费券：A 券，满60元减20元，B 券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A 券，小聪有一张B 券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是_____元． 【答案】100或85． 【解析】【分析】设所购商品的标价是x 元，然后根据两人共付款150元的等量关系，分所购商品的标价小于90元和大于90元两种情况，分别列出方程求解即可． 【详解】解：设所购商品的标价是x 元，则 ①所购商品的标价小于90元， x ﹣20+x ＝150， 解得x ＝85；②所购商品的标价大于90元， x ﹣20+x ﹣30＝150， 解得x ＝100．故所购商品的标价是100或85元． 故答案为100或85．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键．35、“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的，两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润=售价-成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？【答案】，两种产品的销售件数分别为160件、180件． 【解析】A B A B【分析】设，两种产品的销售件数分别为件、件，由题意列方程组，再计算即可得到答案. 【详解】设，两种产品的销售件数分别为件、件；由题意得：，解得：；答：，两种产品的销售件数分别为160件、180件． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的实际应用.36、某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表(二)所示：求：(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？ (2)该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？【答案】(1)购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱；(2)该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元． 【解析】【分析】（1）设购进甲矿泉水x 箱，购进乙矿泉水y 箱，根据该商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据总利润=单箱利润×销售数量，即可求出结论． 【详解】解：(1)设购进甲矿泉水x 箱，购进乙矿泉水y 箱， 依题意，得：，解得：．答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．A B x y A B x y 5720602420601020x y x y +=⎧⎨+=-⎩160180x y =⎧⎨=⎩A B 500253514500x y x y +=⎧⎨+=⎩300200x y =⎧⎨=⎩。