三角形内外角分线的应用
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专题02 三角形角平分线模型的应用参考答案与解析【考点1 双内角平分线】【条件】BP 、CP 分别为∠ABC 、∠ACB 的角平分线.【结论】∠P=90°+∠A.【例1】(2019春•东阿县期末)已知任意一个三角形的三个内角的和是180°.如图1,在△ABC 中,∠ABC 的角平分线BO 与∠ACB 的角平分线CO 的交点为O(1)若∠A =70°,求∠BOC 的度数;(2)若∠A =a ,求∠BOC 的度数;【答案】(1)∴∠BOC =125°(2)∴∠BOC =90°+21【直击考点】 【典例分析】【解答】解:(1)∵∠A=70°,∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=110°,∵在△ABC中,∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O,∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=ACB,∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=55°,∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=125°;(2)∵∠A=α,∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣α,∵在△ABC中,∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O,∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=ACB,∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°﹣α)=90°﹣,∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=180°﹣(90°﹣)=90°+【变式1】(2021秋•四川)如图,△ABC中,(1)若∠B=70°,点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点,求∠APC的度数.(2)如果把(1)中∠B=70°这个条件去掉,试探索∠APC和∠B之间有怎样的数量关系.【答案】(1)∴∠P=180°﹣55°=125°(2)∠APC==90°+∠B【解答】解:(1)∵∠B=70°,∴∠BAC+∠BCA=110°,∵点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点,∴∠P AC=∠BAC,∠PCA=∠BCA,∴∠P AC+∠PCA=(∠P AC+∠PCA)=×110°=55°,∴∠P=180°﹣55°=125°;(2)∵点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点,∴∠P AC=∠BAC,∠PCA=∠BCA,∴∠P AC+∠PCA=(∠P AC+∠PCA),∴∠P=180°﹣(∠P AC+∠PCA)=180°﹣(∠BAC+∠BCA)=180°﹣(180°﹣∠B)=90°+∠B.【变式2】(2021春•松北区期末)如图,∠ABD=15°,∠ACD=30°,∠A=45°,则∠BDC的度数为°.【答案】90【解答】解:延长BD交AC于点E,∵∠CEB=∠A+∠ABD,∠BDC=∠CEB+∠ACD,∴∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD,∵∠ABD=15°,∠ACD=30°,∠A=45°,∴∠BDC=45°+30°+15°=90°,故答案为90.【考点2 双外角平分线】【条件】BP 、CP 分别为∠EBC 、∠BCD 的角平分线.【结论】∠P=90°-∠A.【例2】(2021春•沈丘县期末)如图,已知∠ABC 、∠ACB 的外角平分线交于D 点.∠A=40°,那么∠D = .【答案】70°【解答】解:∵∠A =40°,∠ABC +∠A +∠ACB =180°,∴∠ABC +∠ACB =180°﹣40°=140°,∵∠ABC +∠CBF =180°,∠ACB +∠BCE =180°,∴∠ABC +∠CBF +∠ACB +∠BCE =360°,∴∠CBF +∠BCE =360°﹣140°=220°,∵BD 平分∠CBF ,CD 平分∠BCE ,∴∠DBC +∠DCB =(∠CBF +∠BCE )=110°,∵∠DBC +∠DCB +∠D =180°,∴∠D =180°﹣110°=70°,故答案为70°.【变式1】(2020秋•讷河市期末)在△ABC 中,∠B =58°,三角形的外角∠DAC 和∠ACF的平分线交于点E ,则∠AEC = .21【答案】61°【解答】解:∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,∴∠EAC=∠DAC,∠ECA=∠ACF,∵∠DAC=∠B+∠2,∠ACF=∠B+∠1∴∠DAC+∠ACF=(∠B+∠2)+(∠B+∠1)=(∠B+∠B+∠1+∠2),∵∠B=58°(已知),∠B+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理),∴∠DAC+∠ACF=119°∴∠AEC=180°﹣(∠DAC+∠ACF)=61°.故答案是:61°.【变式2】(2020秋•前郭县期末)如图所示,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB;BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB的外角.(1)若∠BAC=70°,求:∠BOC的度数;(2)探究∠BDC与∠A的数量关系.(直接写出结论,无需说明理由)【答案】(1)∠A=70°(2)∠BDC=90°﹣∠A【解答】解:(1)∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB),∵∠A=70°,∴∠OBC+∠OCB=(180°﹣70°)=55°,∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=180°﹣55°=125°;(2)∠BDC=90°﹣∠A.理由如下:∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线,∴∠BCD=(∠A+∠ABC)、∠DBC=(∠A+∠ACB),由三角形内角和定理得,∠BDC=180°﹣∠BCD﹣∠DBC,=180°﹣[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)],=180°﹣(∠A+180°),=90°﹣∠A;【考点3内外角平分线】【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的角平分线.【结论】∠A=2∠P.【例3】(2021春•莲湖区期末)如图,BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是∠ACB的外角的平分线,若∠ABP=20°,∠ACP=60°,则∠A﹣∠P=()A.70°B.60°C.50°D.40°【答案】B【解答】解:∵BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是∠ACB的外角的平分线,∠ABP =20°,∠ACP=60°,∴∠ABC=2∠ABP=40°,∠ACM=2∠ACP=120°,∠MCP=∠ACP=60°,∠CBP =∠ACP=20°,∴∠A=∠ACM﹣∠ABC=120°﹣40°=80°,∠P=∠PCM﹣∠CBP=60°﹣20°=40°,∴∠A﹣∠P=80°﹣40°=40°,故选:D.【变式1】(2020秋•莲湖区期末)如图,已知在△ABC中,CE是外角∠ACD的平分线,BE是∠ABC的平分线.(1)求证:∠A=2∠E;(2)若∠A=∠ABC,求证:AB∥CE.【答案】(1)略(2)略【解答】证明:(1)∵∠ACD是△ABC的一个外角,∠2是△BCE的一个外角,(已知),∴∠ACD=∠ABC+∠A,∠2=∠1+∠E(三角形外角的性质),∴∠A=∠ACD﹣∠ABC,∠E=∠2﹣∠1(等式的性质),∵CE是外角∠ACD的平分线,BE是∠ABC的平分线(已知),∴∠ACD=2∠2,∠ABC=2∠1(角平分线的性质),∴∠A=2∠2﹣2∠1(等量代换),=2(∠2﹣∠1)(提取公因数),=2∠E(等量代换);(2)由(1)可知:∠A=2∠E∵∠A=∠ABC,∠ABC=2∠ABE,∴2∠E=2∠ABE,即∠E=∠ABE,∴AB∥CE.【变式2】(2021春•宽城县期末)如图,△ABC中,∠A=100°,BI、CI分别平分∠ABC,∠ACB,则∠BIC=,若BM、CM分别是∠ABC,∠ACB的外角平分线,则∠M=.【答案】140°;40°【解答】解:∵∠A =100°,∵∠ABC +∠ACB =180°﹣100°=80°,∵BI 、CI 分别平分∠ABC ,∠ACB ,∴∠IBC =∠ABC ,∠ICB =∠ACB ,∴∠IBC +∠ICB =∠ABC +∠ACB =(∠ABC +∠ACB )=×80°=40°,∴∠I =180°﹣(∠IBC +∠ICB )=180°﹣40°=140°;∵∠ABC +∠ACB =80°,∴∠DBC +∠ECB =180°﹣∠ABC +180°﹣∠ACB =360°﹣(∠ABC +∠ACB )=360°﹣80°=280°,∵BM 、CM 分别是∠ABC ,∠ACB 的外角平分线,∴∠1=∠DBC ,∠2=ECB ,∴∠1+∠2=×280°=140°,∴∠M =180°﹣∠1﹣∠2=40°.故答案为:140°;40°.1.(2020秋•薛城区期末)如图,CD 、BD 分别平分∠ACE 、∠ABC ,∠A =80°,则∠BDC 【跟踪训练】=()A.35°B.40°C.30°D.45°【答案】B【解答】解:∵∠ACE是△ABC的外角,∴∠A=∠ACE﹣∠ABC,∵CD、BD分别平分∠ACE、∠ABC,∴∠DCE=∠ACE,∠DBE=∠ABC,∵∠DCE是△BCD的外角,∴∠D=∠DCE﹣∠DBC=∠ACE﹣∠ABC=(∠ACE﹣∠ABC)===40°,故选:B.2.(2020春•江阴市期中)AD是∠CAE的平分线,∠B=35°,∠DAE=60°,则∠ACD =()A.25°B.60°C.85°D.95°【答案】D【解答】解:∵AD是∠CAE的平分线,∴∠EAC=2∠DAE=120°,∴∠ACB=∠EAC﹣∠B=85°,∴∠ACD=180°﹣85°=95°,故选:D.3.(2019秋•保山期末)如图,若∠A=27°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于()A.110°B.115°C.120°D.125°【答案】A【解答】解:∵∠A=27°,∠C=38°,∴∠AEB=∠A+∠C=65°,∵∠B=45°,∴∠DFE=65°+45°=110°,故选:A.4.(2021春•淮阳区期末)如图,在△ABC中,BP平分∠ABC,AP平分∠NAC,CP平分△ABC的外角∠ACM,连接AP,若∠BPC=40°,则∠NAP的度数是()A.30°B.40°C.50°D.60°【答案】C【解答】解:∵BP平分∠ABC,CP平分△ABC的外角∠ACM,∴∠PCM=ACM,∠PBC=ABC,∵∠ACM=∠ABC+∠BAC,∠PCM=∠PBC+∠BPC,∴∠PCM=ABC+BAC=+∠BPC,∴∠BPC=∠BAC=40°,∴∠BAC=80°,∴∠NAC=100°,∴∠NAP=50°,故选:C.5.(2021春•茌平区期末)如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,D是∠ACF与∠ABC平分线的交点,E是△ABC的两外角平分线的交点,若∠BOC=130°,则∠D的度数为()A.25°B.30°C.40°D.50°【答案】C【解答】解:由题意得:CO,CD分别平分∠ACB,∠ACF,∴∠ACO=∠ACB,∠ACD=∠ACF,∵∠ACB+∠ACF=180°,∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=90°,∵∠BOC=130°,且∠BOC是△OCD的外角,∴∠D=∠BOC﹣∠OCD=130°﹣90°=40°.故选:C.6.(2020秋•费县期末)如图,BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线,BA2是∠A1BD的角平分线,CA2是∠A1CD的角平分线,BA3是∠A2BD的角平分线,CA3是∠A2CD的角平分线,…,若∠A=α,则∠A2021为.【答案】【解答】解:∵A1B是∠ABC的平分线,A1C是∠ACD的平分线,∴∠A1BC=∠ABC,∠A1CD=∠ACD,又∵∠ACD=∠A+∠ABC,∠A1CD=∠A1BC+∠A1,∴(∠A+∠ABC)=∠ABC+∠A1,∴∠A1=∠A,同理可得∠A2=∠A1,∠A3=∠A2,……则∠A2021=∠A=.故答案为:.8.(2021春•衡阳县期末)如图①,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P.(1)如果∠A=80°,求∠BPC的度数;(2)如图②,作△ABC外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点Q,试探索∠Q、∠A之间的数量关系.(3)如图③,延长线段BP、QC交于点E,△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,求∠A的度数.【解答】(1)解:∵∠A=80°.∴∠ABC+∠ACB=100°,∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点,∴∠P=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=180°﹣×100°=130°,(2)∵外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点Q,∴∠QBC+∠QCB=(∠MBC+∠NCB)=(360°﹣∠ABC﹣∠ACB)=(180°+∠A)=90°+∠A∴∠Q=180°﹣(90°+∠A)=90°﹣∠A;(3)延长BC至F,∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线,∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线,∴∠ACF=2∠ECF,∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠EBC,∵∠ECF=∠EBC+∠E,∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E,即∠ACF=∠ABC+2∠E,又∵∠ACF=∠ABC+∠A,∴∠A=2∠E,即∠E=∠A;∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=∠ABC+∠MBC=(∠ABC+∠A+∠ACB)=90°.如果△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,那么分四种情况:①∠EBQ=2∠E=90°,则∠E=45°,∠A=2∠E=90°;②∠EBQ=2∠Q=90°,则∠Q=45°,∠E=45°,∠A=2∠E=90°;③∠Q=2∠E,则90°﹣∠A=∠A,解得∠A=60°;④∠E=2∠Q,则∠A=2(90°﹣∠A),解得∠A=120°.综上所述,∠A的度数是90°或60°或120°.15。
三角形角平分线性质
三角形角平分线性质:
1. 三角形内角平分线是从三角形内角出发并延伸到角对边的中点的一
条线。
2. 三角形外角平分线是从某个角的外接点延伸到角的对边的中点的一
条线。
3. 若把三角形的一个内角平分线投射到另一条边,则这条边上会出现
两个度数相等的角。
4. 三角形另外两条边上也会出现两个度数相等的角,而这两个夹角分
别是已知角平分线所触碰的边的一半。
5. 如果三角形的两个角的度数是内角平分线的两段的乘积,则三角形
为等腰三角形;如果三角形的两个角的度数是外角平分线的两段的乘积,则三角形为直角三角形。
6. 三角形的外角平分线的长度与三斜边的长度之比是加上直角的度数,并称为帕斯卡比。
7. 三角形角平分线的面积是外角平分线长度乘以其邻边长度的1/2,称
为斯拉特尔面积。
8. 三角形角平分线的弦形长度等于一条边长度的1/3乘以平方根的两倍,并称为塔尔特弦形长度。
9. 三角形角平分线的半周长等于该角的度数乘以弦形长度,并称为霍
伦斯半周长。
三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目,若平时不注意总结是很难一下子解决的.下面来一起学习一下.命题1 如图1,点D是△ABC两个内角平分线的交点,则∠D=90°+∠A.证明:如图1:∵∠1=∠,∠2=∠,∴2∠1+2∠2+∠A=180°①∠1+∠2+∠D=180°②①-②得:∠1+∠2+∠A=∠D③由②得:∠1+∠2=180°-∠D④把③代入④得:∴180°-∠D+∠A=∠D∠D=90°+∠A.点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°,不难证明.命题2 如图2,点D是△ABC两个内角平分线的交点,则∠D=90°-∠A.证明:如图2:∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线,∴∠D=180°-∠1-∠2=180°-(∠DBE+∠DCF)=180°-(∠A+∠4+∠A+∠3)=180°-(∠A+180°)=180°-∠A-90°=90°-∠A;点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°,可以证明.命题3 如图3,点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点,则∠E=∠A.证明:如图3:∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠A+2∠1=2∠4①∠1+∠E=∠4②①×代入②得:∠E=∠A.点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和,很容易证明.命题4如图4,点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE 的交点,证明:AE是△ABC的外角平分线.证明:如图3:∵BE是∠ABC的平分线,可得:EH=EFCE是∠ACD的平分线, 可得:EG=EF∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线,所得的垂线段相等.即EF=EG=EH∵EG=EH∴AE是△ABC的外角平分线.点评利用角平分线的性质和判定能够证明.应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题,下面来一起看.例1如图5,PB和PC是△ABC的两条外角平分线.①已知∠A=60°,请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形?解析:①由命题2的结论直接得:∠P=90°-∠A=90°-×60°=60°②根据命题2的结论∠P=90°-∠A,知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角,则该三角形是锐角三角形.点评此题直接运用命题2的结论很简单.同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.例2如图6,在△ABC中,延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点,∠BC与∠CD 的平分线交与点,以此类推,…,若∠A=96°,则∠= 度.解析:由命题③的结论不难发现规律∠∠A .可以直接得:∠=×96°=3°.点评 此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识.例3(203陕西第一大题填空题第八小题,此题3分)如图7,△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平分线BP 交于点P ,若∠BPC=40°,则∠CAP=_______________.解析:此题直接运用命题4的结论可以知道AP是△ABC 的一个外角平分线,结合命题3的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°-∠BAC )= (180°-2∠BPC )=50°.点评 对命题3、4研究过的读者此题不难,否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目. 例4 (2003年山东省)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交与E 点,连接AE ,则∠AEB= 度.解析:有题目和命题4的结论可以知道AE 是△ABC 的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB -∠ACB=90°-×90°=45°点评 从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的.二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线,构造三角形例题、如图所示,在△ABC 中,∠ABC=3∠C ,AD 是∠BAC 的平分线,BE ⊥AD 于F 。
浅议三角形角平分线的结论及应用摘要:一个角的平分线是一条射线,而三角形的角平分线是一条线段。
本文主要谈两点:关于三角形的、外角平分线的夹角的问题和关于三角形、外角平分线的交点问题。
关于三角形的、外角平分线的夹角问题:(1)三角形两角平分线的夹角等于90度与三角形第三个角的一半的和。
(2)三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个角的一半的差。
(3)三角形一个角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个角的一半(4)三角形两角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。
关于三角形外角平分线的交点问题:(5)三角形的三条角平分线相交于一点,这点到三角形的三边的距离相等(6)三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等,并且这点在三角形第三个角的平分线上等关键词:三角形角平分线夹角交点变式练习一个三角形的角平分线不外乎就是角的平分线和外角的角平分线。
在学习过程中,教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳,对角平分线的性质和结论做好总结,这样对以后知识的积累有很大的帮助,对解决复杂的几何证明题也更便捷。
下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。
结论一:如图1、在△ABC中,∠ABC、∠ACB的角平分线的交与点D,1∠A。
试探究:∠D=90°+2解:∵BD、CD为角平分线1∠ABC,(图1)∴∠CBD=21∠ACB。
∠BCD=2在△BCD中:∠D=180°-(∠CBD+∠BCD)1(∠ABC+∠ACB)=180°-21(180°-∠A)=180°-21∠A=90°+2变式练习的题目有(1)如图2、在△ABC中,∠ABC、∠ACB的角平分线的交与点D,∠D=100°,则∠A的度数是度。
1∠A。
则∠A=2∠D―180°,解:由结论1得知,∠D=90°+2容易得出∠A=20°(图2)(2)如图3:在四边形ABCD中,∠D=120°,∠A=100°∠ABC、∠ACB的角平分线的交与点E,试求∠BEC的度数。
三角形角分线定理及其应用
三角形角分线定理,简称“角分线定理”,是几何典型定理之一。
它指出,在一个三角形中,当任意一个内角的角平分线经过三角形的另外两个边上的点时,该点到其他两个角对应的边上的距离总是相等的。
角分线定理可以证明任何三角形的周长大于其内接圆的周长,并且当三角形边长都相等时,存在一个角顶点等于内接圆半径的情况。
角分线定理也有助于证明其他几何定理,如:托伯特定理,贾塞罗定理以及几何中许多其他定理。
此外,角分线定理在几何学中拥有许多重要应用。
它可以用于证明各种三角形、矩形和多边形的两个角等腰三角形性质,如同等腰三角形、菱形、等腰直角三角形和菱角三角形。
角分线定理也可用于证明沿着边的和未沿着边的垂直角等腰三
角形的性质,以及等边三角形的一些性质,如其内角和外角的和相等,为180°。
角分线定理也可以用于求解几何问题,如求某角的弧度大小,求某个点到某边的距离,以及求三角形外接圆半径、内接圆半径等等。
在数学中,角分线定理也可以应用到复数中。
例如,若一个复数平面上的点有n个,则可以根据角分线定理得出,这n个点的综合角度是2π。
角分线定理在建筑工程中、机械工程中以及其他技术领域也可以得到应用。
例如,它可以用来设计和构建车轮、曲柄机构、桁架机构
和其他各种机械结构,以及求解测绘问题和地图投影问题等。
总之,角分线定理是一条几何定理,它有多种应用,并且在现代数学、建筑工程、机械工程和其他技术领域也可以得到广泛应用。
三角形内外角平分线与角的关系咱来说说三角形内外角平分线和角的那些事儿。
一、内角平分线与角的关系。
1. 一个内角平分线把这个角分成两个相等的角。
- 你看啊,在三角形里,假如有个角∠A,它的角平分线AD一出来,那就把∠A 分成了两个小角,∠BAD和∠CAD,这俩小角那可是一模一样大的。
就好像把一块蛋糕(∠A这个角),从中间(角平分线)平均切成了两块(∠BAD和∠CAD)。
2. 三角形内角平分线定理。
- 这个定理可有点意思呢。
如果AD是△ABC中∠A的平分线,它交BC于D点,那么就有AB/AC = BD/DC。
你可以想象成,角平分线AD就像一个裁判,它把BC边分成的两段BD和DC的比例,就和AB、AC这两条边的比例是一样的。
这就好像是三角形里的一种“平衡规则”,角平分线在这儿起着一种特殊的协调边和角关系的作用。
二、外角平分线与角的关系。
1. 外角平分线与相邻内角的关系。
- 三角形一个角的外角平分线和它相邻的内角是互补的关系。
比如说,在△ABC 中,∠A的外角∠CAE,它的平分线AF,那∠CAF和∠BAF把∠CAE平分了。
而∠CAE和∠BAC是互补的,也就是∠CAE+∠BAC = 180°。
这就好比一个在外面(外角),一个在里面(相邻内角),它们合起来就是一条直线的角度。
2. 三角形外角平分线定理。
- 如果AE是△ABC的外角∠CAE的平分线,交BC的延长线于E点,那么有AB/AC=BE/CE。
这就和内角平分线定理有点类似啦,外角平分线也在协调着边和角之间的比例关系。
只不过这里是涉及到边的延长线部分了。
就好像外角平分线在三角形外面也在按照自己的规则管理着边和角的关系呢。
浅议三角形角平分线的结论及应用摘要:一个角的平分线是一条射线,而三角形的角平分线是一条线段。
本文主要谈两点:关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。
关于三角形的内、外角平分线的夹角问题:(1)三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。
(2)三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。
(3)三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个内角的一半(4)三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。
关于三角形内外角平分线的交点问题:(5)三角形的三条内角平分线相交于一点,这点到三角形的三边的距离相等(6)三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等,并且这点在三角形第三个内角的平分线上等关键词:三角形角平分线夹角交点变式练习一个三角形的角平分线不外乎就是内角的平分线和外角的角平分线。
在学习过程中,教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳,对角平分线的性质和结论做好总结,这样对以后知识的积累有很大的帮助,对解决复杂的几何证明题也更便捷。
下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。
结论一:如图1、在△ABC中,∠ABC、∠ACB的角平分线的交与点D,1∠A。
试探究:∠D=90°+2解:∵BD、CD为角平分线1∠ABC,(图1)∴∠CBD=21∠ACB。
∠BCD=2在△BCD中:∠D=180°-(∠CBD+∠BCD)1(∠ABC+∠ACB)=180°-21(180°-∠A)=180°-21∠A=90°+2变式练习的题目有(1)如图2、在△ABC中,∠ABC、∠ACB的角平分线的交与点D,∠D=100°,则∠A的度数是度。
1∠A。
则∠A=2∠D―180°,解:由结论1得知,∠D=90°+2容易得出∠A=20°(图2)(2)如图3:在四边形ABCD中,∠D=120°,∠A=100°∠ABC、∠ACB的角平分线的交与点E,试求∠BEC的度数。
三角形内角角平分线和外角角平分线的定义一、三角形内角角平分线的定义1. 什么是三角形内角角平分线?三角形内角角平分线是指从一个三角形的一个内角的顶点出发,经过该内角的对边的中点并且与对边相交于对边的中点的线段。
2. 三角形内角角平分线的性质a. 三角形内角角平分线把对应内角分成两个等角,而且它还把对应的对边分成两个相等的线段。
b. 三角形内角角平分线的交点称为内心,内角角平分线也称之为内心角平分线。
c. 三角形的三条内角角平分线相交于同一个点,即三角形的内心。
3. 三角形内角角平分线的作用三角形内角角平分线是解决三角形内部各类角度相关问题的基础,通过利用三角形内角角平分线的性质,可以有效地求解相关的角度大小,并且可以推导出其他的重要性质和定理。
二、三角形外角角平分线的定义1. 什么是三角形外角角平分线?三角形外角角平分线是指三角形的一个外角的顶点出发,经过它的对边的中点并且与其它两条边相交于对应边的中点的线段。
2. 三角形外角角平分线的性质a. 三角形外角角平分线把对应外角分成两个等角,而且它还把对应的对边分成两个相等的线段。
b. 三角形外角角平分线的交点称为外心,外角角平分线也称之为外心角平分线。
c. 三角形的三条外角角平分线相交于同一个点,即三角形的外心。
3. 三角形外角角平分线的作用三角形外角角平分线同样也是解决三角形外部各类角度相关问题的基础,通过利用三角形外角角平分线的性质,可以有效地求解相关的角度大小,并且可以推导出其他的重要性质和定理。
总结通过上面的讨论,我们可以得出结论:三角形内角角平分线和外角角平分线是解决三角形问题的重要工具。
在解决三角形问题的时候,我们可以利用它们的性质,通过角度的分割和等分的方法,来求解出我们需要的角度大小。
三角形内角角平分线的交点叫内心,而三角形外角角平分线的交点叫外心,它们分别具有特定的性质和功能。
在学习和研究三角形的性质和相关问题的时候,我们需要深入理解和掌握三角形内角角平分线和外角角平分线的定义、性质和应用。
浅议三角形角平分线的结论及应用摘要:一个角的平分线是一条射线,而三角形的角平分线是一条线段。
本文主要谈两点:关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。
关于三角形的内、外角平分线的夹角问题:(1)三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。
(2)三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。
(3)三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个内角的一半(4)三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。
关于三角形内外角平分线的交点问题:(5)三角形的三条内角平分线相交于一点,这点到三角形的三边的距离相等(6)三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等,并且这点在三角形第三个内角的平分线上等关键词:三角形角平分线夹角交点变式练习一个三角形的角平分线不外乎就是内角的平分线和外角的角平分线。
在学习过程中,教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳,对角平分线的性质和结论做好总结,这样对以后知识的积累有很大的帮助,对解决复杂的几何证明题也更便捷。
下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。
结论一:如图1、在△ABC中,∠ABC、∠ACB的角平分线的交与点D,1∠A。
试探究:∠D=90°+2解:∵BD、CD为角平分线1∠ABC,(图1)∴∠CBD=21∠ACB。
∠BCD=2在△BCD中:∠D=180°-(∠CBD+∠BCD)1(∠ABC+∠ACB)=180°-21(180°-∠A)=180°-21∠A=90°+2变式练习的题目有(1)如图2、在△ABC中,∠ABC、∠ACB的角平分线的交与点D,∠D=100°,则∠A的度数是度。
1∠A。
则∠A=2∠D―180°,解:由结论1得知,∠D=90°+2容易得出∠A=20°(图2)(2)如图3:在四边形ABCD中,∠D=120°,∠A=100°∠ABC、∠ACB的角平分线的交与点E,试求∠BEC的度数。
专题一三角形的高、中线与角平分线剖析一、三角形的高1.三角形的高定义:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高,简称三角形的高。
如图,线段AD是BC边上的高。
注意:高与垂线不同,高是线段,垂线是直线。
2.表示:1.AD是△ABC的BC上的高线;2.AD⊥BC于D;3.∠ADB=∠ADC=90°。
3.三角形高的交点位置:锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部,直角三角形三条高的交点在角直角顶点,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
如下图所示。
图1 图2 图34.三角形的三条高的特性二、三角形的中线1.三角形的中线定义:在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形这边上的中线。
2.表示:1.AD是△ABC的BC上的中线;2.BD=DC=12 BC.3.三角形的重心:三角形的三条中线相交于一点。
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
重心一定在三角形内。
三、三角形的角平分线1.三角形的角平分线定义:在三角形中,一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。
2.表示:1.AD是△ABC的∠BAC的平分线;2.∠1=∠2=12∠BAC.3.三角形的角平分线的位置:三角形的三条角平分线都在三角形的内部,并且三条角平分线交于三角形内一点。
1.(2020·重庆南开中学期末)如图,在ABC 中,D 是BC 的中点,E 在AC 上,且:=1:3AE EC ,连接AD ,BE 交于点F ,若=40ABC S △,则=DCEF S 四边形( ).A .14B .15C .18D .202.(2020·重庆南开中学)如图,ABC ∆中,点D E F 、、分别在三边上,AD BE CF 、、交于一点,G E 是AC 的中点,2,6,4GDC GEC BD CD S S ∆∆===则ABC S ∆=( )A .1785B .1985C .40D .423.(2020·河南宛城期末)如图在ABC 中,AD 是高,AE 是角平分线,AF 是中线,则下列说法中错误的是( )A .BF CF =B .12EAD B C ∠=∠-∠ C .C BAD ∠=∠ D .2ABC ABF S S =△△4.(2020·江苏海州期末)如图,D、E、F是△ABC内的三个点,且D在AF上,F在CE上,E在BD上,若CF=12EF,AD=13FD,BE=14DE,△DEF的面积是12,则△ABC的面积是()A.24.5 B.26 C.29.5 D.305.(2020·陕西渭滨期末)如图,AE是△ABC的角平分线,AD⊥BC于点D,点F为BC 的中点,若∠BAC=104°,∠C=40°,则有下列结论:①∠BAE=52°;②∠DAE=2°;③EF=ED;④S△ABF=12S△ABC.其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个6.(2019·广东深圳外国语学校期末)如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC于M,若CM=3,则CE2+CF2的值为( )A.6 B.9 C.18 D.367.(2020·江苏江阴·河塘中学月考)如图,在△ABC中,D是AB的中点,E是BC上的一点,且BE=4EC,CD与AE相交于点F.若△CEF的面积为1,则△ABC的面积为()A.24 B.25 C.30 D.328.(2020·长春市第四十七中学)如图,△ABC中,点D是AC边上的中点,点E是AB 边上的中点,若S∆ABC=12 ,则图中阴影部分的面积是()A.6 B.4 C.3 D.29.(2020·江西南昌月考)如图,AD是△ABC的中线,已知△ABD的周长为22 cm,AB 比AC长3 cm,则△ACD的周长为()A.19 cm B.22 cm C.25 cm D.31 cm10.(2020·安徽安庆期中)如图,AE 是△ABC 的中线,D 是BE 上一点,若BE =5,DE =2,则CD 的长为( )A .7B .6C .5D .411.(2019·湖北蔡甸)如图,若ABC ∆的三条角平分线AD 、BE 、CF 交于点G ,则与EGC ∠互余的角是( )A .CGD ∠B .FAG ∠C .ECG ∠D .FBG ∠12.(2019·四川宜宾期末)在直角三角形ABC 中,=90C ∠︒,AD 平分BAC ∠交BC 于点D ,BE 平分ABC ∠交AC 于点E ,AD 、BE 相交于点F ,过点D 作DG AB ∥,过点B作BG DG ⊥交DG 于点G .下列结论:①135AFB ∠=︒;②2BDG CBE ∠=∠;③BC 平分ABG ∠;④BEC FBG ∠=∠.其中正确的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个13.(2020·广东龙岗·龙岭初级中学期中)如图△ABC中,分别延长边AB、BC、CA,使得BD=AB,CE=2BC,AF=3CA,若△ABC的面积为1,则△DEF的面积为________.14.(2019·四川绵阳月考)如图,已知△ABC的周长为21cm,AB=6cm,BC边上中线AD =5cm,△ABD的周长为15cm,则AC长为_____.15.(2019·山东牡丹期末)如图ABC中,AD是BC边上的中线,BE是ABC中AD 边上的中线,若ABC的面积是24,6AE ,则点B到ED的距离是___.16.(2019·广东佛山)如图,G为△ABC的重心,点D在CB延长线上,且BD=12 BC,过D、G的直线交AC于点E,则AEAC=_____.17.(2020·江西全国月考)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点,PE⊥AD交直线BC于点E,当P点在线段AD上运动时,∠E与∠B,∠ACB的数量关系为________18.(2020·江苏姜堰期末)如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AE平分∠BAC交BC于E,若∠C=80°,∠B=40°则∠DAE的度数为______.19.(2020·江苏张家港期末)如图,已知∠BDC+∠EFC=180°,∠DEF=∠B.(1)求证:ED∥BC;(2)若D,E,F分别是AB,AC,CD边上的中点,四边形ADFE的面积为6.①求△ABC的面积;②若G是BC边上一点,C G=2B G,求△FC G的面积.20.(2020·江苏姜堰期中)如图,在△ABC中,AE为边BC上的高,点D为边BC上的一点,连接AD.(1)当AD为边BC上的中线时.若AE=4,△ABC的面积为24,求CD的长;(2)当AD为∠BAC的角平分线时.①若∠C=65°,∠B=35°,求∠DAE的度数;②若∠C-∠B=20°,则∠DAE= °.21.(2020·四川达川期末)如图,在△ABC中,AM是中线,AD是高线.(1)若AB比AC长4 cm,则△ABM的周长比△ACM的周长多__________ cm.(2)若△AMC的面积为12 cm2,则△ABC的面积为__________cm2.(3)若AD又是△AMC的角平分线,∠AMB=130°,求∠ACB的度数.(写过程)22.(2019·昆明市官渡区第一中学月考)(1)如图1,在△ABC中,BD、CD分别是△ABC 两个内角∠ABC、∠ACB的平分线.①若∠A=70°,求∠BDC的度数.②∠A=α,请用含有α的代数式表示∠BDC的度数.(直接写出答案)(2)如图2,BE、CE分别是△ABC两个外角∠MBC、∠NCB的平分线.若∠A=α,请用含有α的代数式表示∠BEC的度数.23.(2019·江苏宜兴期中)如图①,AD 平分BAC ∠,AE ⊥BC ,∠B =450,∠C =730.(1) 求DAE ∠的度数;(2) 如图②,若把“AE ⊥BC ”变成“点F 在DA 的延长线上,FE BC ⊥”,其它条件不变,求DFE ∠ 的度数;(3) 如图③,若把“AE ⊥BC ”变成“AE 平分BEC ∠”,其它条件不变,DAE ∠的大小是否变化,并请说明理由.24.(2020·江苏泰州市凤凰初级中学月考)如图,已知在△ABC中,△ABC的外角∠ABD 的平分线与∠ACB的平分线交于点O,MN过点O,且MN∥BC,分别交AB、AC于点M、N.求证:(1)MO=MB;(2)MN=CN﹣BM.专题二三角形内角和与外角和定理剖析【技巧解析】1.三角形内角和定理(1)三角形三个内角的和180°.(2)在三角形中,已知任意两个角的度数,可求出第3个角的度数;(3)已知三角形中三个内角关系,可利用三角形内角和等于180°,列方程求出各内角的度数.2.三角形外角性质(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.(2)三角形内角和的另一个推论:三角形外角大于任何一个与它不相邻的内角.3.三角形外角和定理(1)在三角形的每个顶点处取一个外角,三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和. (2)三角形外角和为360°.1.(2020·阳江市阳东区大八镇大八初级中学月考)如图,已知AB∥CD,∠A=60°,∠C =25°,则∠E等于()A.60°B.25°C.35°D.45°2.(2020·浙江西湖期末)如图,直线l 1∥l 2,线段AB 交l 1,l 2于D ,B 两点,过点A 作AC ⊥AB ,交直线l 1于点C ,若∠1=15︒,则∠2=( )A .95︒B .105︒C .115︒D .125︒3.(2020·辽宁丹东期末)如图,//AB CD ,90ACB ︒∠=,CE AB ⊥,垂足为E ,图中与CAB ∠互余的角有( )A .1个B .2个C .3个D .4个4.(2020·全国)如图,在CEF △中,80E ∠=︒,50F ∠=︒,AB CF ,AD CE ,连接BC ,CD ,则A ∠的度数是( )A .45°B .50°C .55°D .80°5.(2020·银川月考)如图,在直角三角形ABC 中,AC ≠AB ,AD 是斜边上的高,DE ⊥AC ,DF ⊥AB ,垂足分别为E 、F ,则图中与∠C (∠C 除外)相等的角的个数是( )A .3个B .4个C .5个D .6个6.(2020·山东芝罘期中)如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠C=80°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,点E是AC上一点,且∠ADE=∠B,则∠CDE的度数是()A.20°B.30°C.40°D.70°7.(2020·枣庄市市中区实验中学月考)如图,AD是△ABC的高,BE是△ABC的角平分线,BE,AD相交于点F,已知∠BAD=42°,则∠BFD=( )A.45°B.54°C.56°D.66°8.(2020·四川省营山中学校期中)如图,将△ABC纸片沿DE折叠,点A的对应点为A’,若∠B=60°,∠C=80°,则∠1+∠2等于( )A.40°B.60°C.80°D.140°9.(2020·江苏东台月考)如图,∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P,若∠A= 50°,∠D =10°,则∠P的度数为( )A.15°B.20°C.25°D.30°10.(2020·南通市八一中学)如图,BP平分∠ABC交CD于点F,DP平分∠ADC交AB 于点E,若∠A=40°,∠P=38°,则∠C的度数为()A.36°B.39°C.38°D.40°11.(2019·四川江油期中)如图,AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于点E,AE⊥DE,∠1+∠2=90°,M、N分别是BA、CD延长线上的点,∠EAM和∠EDN的平分线交于点F,∠F的度数为()A.120°B.135°C.150°D.不能确定12.(2020·全国)如图,在ABC ∆中,A ABC CB =∠∠,BD 是ABC ∆内角ABC ∠的平分线,AD 是ABC ∆外角EAC ∠的平分线,CD 是ABC ∆外角ACF ∠的平分线,以下结论不正确的是( )A .//AD BCB .2ACB ADB ∠=∠C .90ADC ABD ∠=-∠ D .BD 平分ADC ∠13.(2020·博兴县吕艺镇中学月考)如图,△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ,CF 相交于点G ,∠A =100°,则∠B G C =_________°.14.(2020·辽宁中山期末)如图,AE 平分,BAC BE AE ∠⊥于,//E ED AC ,,BAC a ∠=则BED ∠的度数为________________.(用含α的式子表示)15.(2020·福建新罗期末)一副三角尺如图摆放,D 是BC 延长线上一点,E 是AC 上一点,90B EDF ∠=∠=︒,30A ∠=︒,45F ∠=︒,若EF ∥BC ,则CED ∠等于_________度.16.(2020·江苏张家港期末)如图,在四边形ABCD 中,∠B =120°,∠B 与∠ADC 互为补角,点E 在BC 上,将△DCE 沿DE 翻折,得到△DC ′E ,若AB ∥C ′E ,DC ′平分∠ADE ,则∠A 的度数为______°.17.(2019·温州外国语学校期中)如图1,已知长方形坻带ABCD ,//AD CD ,//AD BC .将纸带沿EF 折叠后,点B 、C 分别落在H 、G 的位置.再沿GF 折叠成图2.点A 、D 分别落在Q 、H 的位置,已知24108QHG GFH ∠=∠-︒,则∠=EFC _______.18.(2020·哈尔滨市第四十七中学期中)在四边形ABCD 中,ADC ∠与BCD ∠的角平分线交于点E ,115DEC ∠=︒,过点B 作//BF AD 交CE 于点F ,2CE BF =,54CBF BCE ∠=∠,连接BE ,Δ4BCE S =,则CE =__________.19.(2020·江苏工业园区期末)如图,AD、AE分别是△ABC的高和角平分线,∠B=50°,∠ACB=80°.点F在BC的延长线上,F G⊥AE,垂足为H,F G与AB相交于点G.(1)求∠A G F的度数;(2)求∠DAE的度数.20.(2020·福建惠安期末)在△ABC中,∠ACB的平分线CD与外角∠EAC的平分线AF 所在的直线交于点D.(1)如图1,若∠B=60°,求∠D的度数;(2)如图2,把△ACD沿AC翻折,点D落在D′处.①当AD′⊥AD时,求∠BAC的度数;②试确定∠DAD′与∠BAC的数量关系,并说明理由.21.(2020·江苏邳州期中)如图,△ABC中,AE是△ABC的角平分线,AD是BC边上的高.(1)若∠B=35°,∠C=75°,求∠DAE的度数;(2)若∠B=m°,∠C=n°,(m<n),则∠DAE=°(直接用m、n表示).22.(2020·湖北武汉期末)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=∠D,点E为BC延长线上一点,连接AE,AE交CD于H.∠DCE的平分线交AE于G.(1)求证:AD∥BC;(2)若∠BAC=∠DAE,∠A G C=2∠CAE.求∠CAE的度数;(3)(2)中条件∠BAC=∠DAE仍然成立,若∠A G C=3∠CAE,直接写出∠CAE的度数.23.(2019·洛阳市第五十四中学月考)如图,在ABC 中,AD 是高,AE ,BF 是角平分线,它们相交于点O .(1)若60ABC ∠=︒,70C ∠=︒,求DAE ∠的度数. (2)若70C ∠=︒,求∠BOE 的度数.(3)若ABC α∠=,()C βαβ∠=<,则DAE =∠______用含α、β的式子表示)24.(2020·北京朝阳期末)线段AB与线段CD互相平行,P是平面内的一点,且点P不在直线AB,CD上,连接P A,PD,射线AM,DN分别是∠BAP和∠CDP的平分线.(1)若点P在线段AD上,如图1,①依题意补全图1;②判断AM与DN的位置关系,并证明;(2)是否存在点P,使AM⊥DN?若存在,直接写出点P的位置;若不存在,说明理由.专题三 角平分线的性质与判定强化1.角的平分线的性质(1)角的平分线的性质:角的平分线上的点到角两边的距离相等. (2)用符号语言表示角的平分线的性质定理:若CD 平分∠ADB ,点P 是CD 上一点,且PE ⊥AD 于点E ,PF ⊥BD 于点F ,则PE =PF .2.角的平分线的判定(1)角平分线的判定:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.(2)用符号语言表示角的平分线的判定若PE ⊥AD 于点E ,PF ⊥BD 于点F ,PE =PF ,则PD 平分∠ADB3.角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图(1)以O 为圆心,适当长为半径画弧,交OA 于D ,交OB 于E . (2)分别以D 、E 为圆心,大于DE 的长为半径画弧,两弧在∠AOB 内部交于点C . (3)画射线OC . 射线OC 即为所求.124.三角形角平分线的性质(1)三角形三条角平分线交于三角形内部一点,此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.(2)三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示:△ABC 的内心为,旁心为,这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.1.(2020·南通市通州区平潮初级中学期中)如图,在△ABC 中,E 为AC 的中点,AD 平分∠BAC ,BA :CA =2:3,AD 与BE 相交于点O ,若△OAE 的面积比△BOD 的面积大1,则△ABC 的面积是( )A .8B .9C .10D .111P 234,,PPP2.(2020·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校月考)如图,已知CD⊥AB于D,现有四个条件:①AD=ED②∠A=∠BED③∠C=∠B④AC=EB,那么不能得出△ADC≌△EDB的条件是().A.①③B.②④C.①④D.②③3.(2020·吉林长春外国语学校月考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC 的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为()A.13 B.14 C.15 D.214.(2020·聊城市茌平区教育和体育局教研室期末)如图所示,12∠=∠,34∠=∠,则下列结论正确的有( )①AD 平分BAF ∠;②AF 平分BAC ∠;③AE 平分DAF ∠;④AF 平分DAC ∠;⑤AE 平分BAC ∠.A .4个B .3个C .2个D .1个5.(2020·辽宁北镇期末)如图,//AB CD ,BE 和CE 分别平分ABC ∠和BCD ∠,AD 过点E ,且与AB 互相垂直,点P 为线段BC 上一动点,连接PE .若8AD =,则PE 的最小值为( )A .8B .6C .5D .46.(2020·陕西商州·期末)如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点E、F,F G平分∠EFD交AB于点G,若∠BEF=70°,则∠A G F的度数为()A.35°B.45°C.55°D.65°7.(2020·辽宁凌海期末)在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,则点P、Q、M、N 中在∠AOB的平分线上是()A.P点B.Q点C.M点D.N点8.(2020·云南昭通期末)如图,OP 平分AOB ∠,PD OA ⊥于点D ,点E 是射线OB 上的一个动点,若3PD =,则PE 的最小值( )A .等于3B .大于3C .小于3D .无法确定9.(2019·贵州遵义)如图,已知AEF DFE EH FH ∠=∠⊥,于点H ,EG 平分AEF ∠,平移EH 恰好到GF ,连接EG ,则下列结论:①//AB CD ;②EG HF =;③EH 平分BEF FH ∠,平分EFD ∠;④90GFH ∠=︒.其中正确的结论个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个10.(2020·贵州赫章期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,以点B为圆心,以适当长为半径画弧交AB、BC于P、Q两点,再分别以点P,Q为圆心,大于12P Q的长为半径画弧,两弧相交于点N,射线BN交AC于点D.若AB=10,AC=8,则CD的长是()A.2 B.2.4 C.3 D.411.(2020·湖北襄城期末)若两条直线被第三条直线所截,有一对同位角相等,则其中一对同旁内角的角平分线()A.互相垂直B.互相平行C.相交或平行D.不相等12.(2020·湖北省直辖县级单位·中考真题)如图,已知ABC 和ADE 都是等腰三角形,90BAC DAE ∠=∠=︒,,BD CE 交于点F ,连接AF ,下列结论:①BD CE =;②BF CF ⊥;③AF 平分CAD ∠;④45AFE ∠=︒.其中正确结论的个数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个13.(2019·广西玉林期末)如图,△ABC 的三边AB ,BC ,CA 的长分别为14,12,8,其三条角平分线的交点为O ,则::ABOBCOCAOSSS=_____.14.(2020·山东牡丹期末)如图所示,在ABC ∆中,90C ∠=︒,AD 平分BAC ∠,DE AB ⊥于E ,8BC cm =,则DE DB +=________.15.(2020·南京外国语学校期中)如图,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,BC=8.若S△ABC=21,则DE=________.16.(2019·江苏高邮期中)如图,AB∥CD,O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC 于E,且OE=1,则AB与CD之间的距离等于____.17.(2019·深圳实验学校中学部期中)如图,在△ABC中,∠BAC=40°,∠ACB=60°,D为△ABC外一点,DA平分∠BAC,且CBD=50°,则∠DCB的度数是_______.18.(2020·宜春市第三中学期末)如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°,PC∥OA,PC=4,点D是射线OA上的一个动点,则PD的最小值为_____.19.(2020·山东日照期末)如图,点D为线段BC上的一点,点F在BA的延长线上,点E在线段CD上,EF与AC相交于点G,∠BDA+∠CE G=180°.(1)AD与EF平行吗,请说明理由:(2)若点H在FE的延长线上,且∠ED H=∠C,∠F=∠H,那么AD平分∠BAC吗,请说明理由.20.(2020·山东期末)如图所示,直线AB∥CD,直线AB、CD被直线EF所截,E G平分∠BEF,F G平分∠DFE,(1)若∠AEF=50°,求∠EF G的度数.(2)判断E G与F G的位置关系,并说明理由.21.(2019·广东郁南期末)如图,直线AB 、CD 与MN 相交于M 、N ,∠1=105°,∠2=75°,E 、F 、O 分别在AB 、CD 、MN 上,OE OF ⊥.(1)求证://AB CD ; (2)求34∠+∠的度数;(3)若分别在OE 、CD 上取点G 、H ,使得FO 平分CFG ∠,OE 平分AEH ∠,求证://FG EH .22.(2020·广西覃塘期末)如图,D ,E ,G 分别是AB ,AC ,BC 边上的点,12180∠+∠=︒,3B ∠=∠.(1)请说明//DE BC 的理由;(2)若DE 平分ADC ∠,22B ∠=∠,判断CD 与EG 的位置关系,并说明理由.AB CD,直线EF与AB、CD分别交于点E、F,23.(2019·广东中山期末)如图,已知//点P是射线EB上一点(与点E不重合).FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD,FM、FN交直线AB于点M、N,过点N作N H⊥FM于点H.(1)若∠BEF=64°,求∠FN H的度数;(2)猜想∠BEF和∠FN H之间有怎样的数量关系,并加以证明.。
三角形内角平分线外角平分线交角三角形是几何学中的基本图形之一,其中三个边缘连接的顶点形成三个内角。
在三角形中,内角平分线和外角平分线是两个重要的概念。
本文将讨论内角平分线和外角平分线相交时的角度关系。
首先,我们来了解什么是内角平分线和外角平分线。
在三角形ABC 中,以顶点A为基准,将∠BAC平分为两个相等的角,得到线段AD,其中D位于BC边上。
这条线段AD就被称为∠BAC的内角平分线。
同理,以顶点A为基准,将三角形外角∠BAD平分为两个相等的角,得到线段AE,其中E位于延长线上。
这条线段AE被称为∠BAD的外角平分线。
当内角平分线和外角平分线相交时,我们可以得到一个重要的结论:相交角的度数是90度。
具体证明如下:首先,我们延长内角平分线AD,与边BC相交于点F。
因为∠BAC是∠BAD的内角平分线,所以∠BAF和∠CAF是相等的。
因为三角形的内角之和为180度,所以∠BAC + ∠BAF + ∠CAF = 180度。
由于∠BAC和∠BAF是相等的,所以可以表示为2∠BAF + ∠CAF = 180度。
接下来,我们延长外角平分线AE,与边BC相交于点G。
因为∠BAD是∠BAC的外角平分线,所以∠BAG和∠CAG是相等的。
同样地,∠BAG + ∠BAC + ∠CAG = 180度。
由于∠BAC和∠CAG是相等的,所以可以表示为∠BAG + 2∠CAG = 180度。
现在我们将上述两个等式相加得到(2∠BAF + ∠CAF) + (∠BAG +2∠CAG) = 2(∠BAF + ∠CAF + ∠CAG) = 360度。
因此,∠BAF +∠CAF + ∠CAG = 180度。
根据上述等式,我们可以发现∠BAF + ∠CAF + ∠CAG的度数恰好等于∠BAC + ∠BAF + ∠CAF的度数。
由于∠BAC和∠BAF是相等的,所以∠BAF + ∠CAF + ∠CAG = ∠BAC + ∠BAF + ∠CAF = 180度。
三角形内角平分线定理三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线平分对边之比。
即在ΔABC中,若AD是∠A的平分线,则BD/DC=AB/AC应用:不用计算即可将一条线段按要求分成任意比例三角形内角平分线内平分对边,所得的两条线段与这个角的两边对应成比例.三角形外角平分线的性质定理:三角形外角平分线平分对边,所得的两条线段与其内角的两边对应成比例,均可以用相似△证明.角平分线性质定理角平分线的性质:1.角平分线可以得到两个相等的角。
2.角平分线上的点到角两边的距离相等。
3.三角形的三条角平分线交于一点,称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4.三角形一个角的平分线,这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
证明●三角形内角平分线分对边所成的两条线段,和两条邻边成比例.即在三角形ABC中,当AD是顶角A的角平分线交底边于D时,BD/CD=AB/AC.证明:如图,AD为△ABC的角平分线,过点D向边AB,AC分别引垂线DE,DF.则DE=DF.S△ABD:S△ACD=BD:CD又因为S△ABD:S△ACD=[(1/2)AB×DE]:[(1/2)AC ×DF]=AB:AC所以BD/CD=AB/AC.1.角平分线可以得到两个相等的角。
角平分线,顾名思义,就是将角平分的射线。
如右图,若射线AD是角CAB的角平分线,则角CAD 等于角BAD。
2.角平分线线上的点到角两边的距离相等。
如右上图,若射线AD是∠CAB的角平分线,求证:CD=BD∵∠DCA=∠DBA∠CAD=∠BADAD=AD∴△ACD≌△ABD∴CD=BD3.三角形的三条角平分线交于一点,称作三角形的内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
这一条是第二条的引申,详细证明过程参照第二条和三角形内心。
4.三角形一个角的平分线,这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
如右下图,平面内任意一小于180度的∠MAN,AS 平分∠MAN,直线BC分别交射线AM、AN、AS于B、C、D,求证:AB/BD=AC/CD:作BE=BD交射线AS于E,如图1:∵BE=BD,∴∠BED=∠BDE,∴∠AEB=∠ADC又∵∠BAE=∠CAD,∴△AEB∽△ADC,∴AB/BE=AC/CD, 即AB/BD=AC/CD.另外的情况,如图2,直线BC交AS的反向延长线于D,如图3,直线BC交AN的反向延长线于C;此时,仍有AB/BD=AC/CD证法与图1类似【角平分线逆定理】1.到角两边的距离相等的点在角平分线上。
初中数学经典几何模型专题04 角平分线模型在三角形中的应用在初中几何证明中,常会遇到与角平分线有关的问题。
不少同学遇到这类问题时,不清楚应该怎样去作辅助线。
实际上这类问题是有章可循的,其策略是:明确辅助线作用,记清相应模型辅助线作法,理解作辅助线以后的目的。
能做到这三点,就能在解题时得心应手。
【知识总结】【模型】一、角平分线垂两边 角平分线+外垂直当已知条件中出现OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时,辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等,利用相关结论解决问题.【模型】二、角平分线垂中间 角平分线+内垂直当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线,PM OP ⊥于点P 时,辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可.即有OMN ∆是等腰三角形、OP 是三线等,利用相关结论解决问题.【模型】三、角平分线构造轴对称 角平分线+截线段等当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线、PM 不具备特殊位置时,辅助线的作法大都为在OB 上截取ON OM =,连结PN 即可.即有OMP ∆≌ONP ∆,利用相关结论解决问题.【模型】四、角平分线加平行线等腰现 角平分线+平行线当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线,点P 角平分线上任一点时,辅助线的作法大都为过点P 作PM //OB 或PM //OA 即可.即有OMP ∆是等腰三角形,利用相关结论解决问题.1、如图, ABN CBN ∠=∠, P 为BN 上的一点,并且PD BC ⊥于点D ,2AB BC BD +=,求证:180BAP BCP ∠+∠=︒.2、如图,在ABC ∆中,CD 是ACB ∠的平分线,AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ,求证:EA EB =.3、已知:如图7,2,,AB AC BAD CAD DA DB =∠=∠=,求证:DC AC ⊥.4、如图,AB //CD ,AE 、DE 分别平分BAD ∠和ADC ∠.探究:在线段AD 上是否存在点M ,使得2AD EM =.【基础训练】1、如图所示,在四边形ABCD中,DC//AB,∠DAB=90°,AC⊥BC,AC=BC,∠ABC的平分线交AD,AC于点E、F,则BFEF的值是___________.2、如图,D是△ABC的BC边的中点,AE平分∠BAC,AE⊥CE于点E,且AB =10,AC =16,则DE的长度为______3、如图所示,在△ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,动点P在射线EF上,BP交CE于D,∠CBP的平分线交CE于Q,当CQ =13CE时,EP+BP =________.【巩固提升】1、如图,F,G是OA上两点,M,N是OB上两点,且FG =MN,S△PFG=S△PMN,试问点P是否在∠AOB 的平分线上?2、已知:在△ABC中,∠B的平分线和外角∠ACE的平分线相交于D,DG//BC,交AC于F,交AB于G,求证:GF =BG CF.3、在四边形ABCD中,∠ABC是钝角,∠ABC+∠ADC =180°,对角线AC平分∠BAD.(1)求证:BC =CD;(2)若AB +AD =AC,求∠BCD的度数;4、如图,在△ABC中,D、E、F分别为三边的中点,G点在边AB上,△BDG与四边形ACDG的周长相等,设BC =a、AC =b、AB =c.(1)求线段BG的长(2)求证:DG平分∠EDF.5、如图,BA⊥MN,垂足为A,BA=4,点P是射线AN上的一个动点(点P与点A不重合),∠B PC=∠BP A,BC⊥BP,过点C作CD⊥MN,垂足为D,设AP=x.CD的长度是否随着x的变化而变化?若变化,请用含x的代数式表示CD的长度;若不变化,请求出线段CD的长度.6、已知:平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点分别为0(0,0)、A(5,0)、B(m,2)、C(m-5,2).(1)问:是否存在这样的m,使得在边BC上总存在点P,使∠OP A=90°?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.(2)当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时,求m的值.7、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。
内角平分线和外角平分线定理1. 引言嘿,朋友们,今天咱们来聊聊一个看似严肃但其实挺有趣的数学话题——内角平分线和外角平分线定理。
你可能会想:“这又是啥?难不成又是个让人头疼的数学概念?”别急,让我给你慢慢道来,保证让你听了不犯困,反而还能笑出声来。
2. 内角平分线定理2.1 内角平分线的神奇作用好,咱们先从内角平分线说起。
想象一下,你有个三角形,里面有个角。
咱们给这个角画一条线,把它一分为二,这条线就是内角平分线。
听起来简单吧?但这条线可不是普通的线,它可是有大本事的哦!根据内角平分线定理,内角平分线把对边分成的两个部分,和角的邻边比是相等的。
也就是说,如果你把这个三角形的两边看成是A和B,那么内角平分线把对边分成的两段,和A、B的比例是完全一致的。
用个简单的词说,就是“你分我一半,我还你一半”,这可是公平交易呢!2.2 生活中的例子想象一下,你跟朋友一起分享一个大披萨。
你负责切,而你又不想让朋友觉得你切得不公平,于是你心里默念:“我要让这个披萨每个人都有份!”于是,你小心翼翼地把披萨切成两半,结果你和朋友各得一块。
这不就是内角平分线的精神吗?把资源公平分配!所以,数学在生活中可不是毫无关联的哦,很多时候,它悄悄在我们身边,默默影响着我们。
3. 外角平分线定理3.1 外角平分线的角色再来说说外角平分线。
这玩意儿其实也不复杂。
外角平分线就是把三角形的外角一分为二的线。
听起来好像不如内角平分线那么重要,但别小看它,外角平分线同样有自己的定理。
根据外角平分线定理,它把与外角相对的两条边的延长线,按照某种比例分开。
就像是给外面的那块区域也来个“大家一起分享”的盛宴。
3.2 举个例子想象你正在外面玩耍,旁边有个朋友在吃冰淇淋。
你很羡慕,于是你决定用外角平分线的智慧,想个办法。
你把自己的零食拿出来,和他交换,结果大家都开心了。
这种“互惠互利”的关系,正好体现了外角平分线定理的精髓!所以说,数学不仅存在于教科书里,更是我们生活中的点滴。
三角形的角平分线的使用一、内角与外角的角平分线1、如图1,点D是△ABC两个内角平分线的交点。
(1)∠ABC=50°,∠ACB=80°则∠D= .(2)∠A=100°,则∠D= .(3)∠D=150°,则∠A= .(4)写出∠D和∠A的关系2、如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点,(1)∠ABC=50°,∠A=80°则∠D= .(2)∠A=100°,则∠D= .(3)∠D=50°,则∠A= .(4)写出∠D和∠A的关系3、如图所示,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O,(1)∠1=80°,∠2=50°则∠O= .(2)∠A=100°,则∠O= .(3)∠D=50°,则∠A= .(4)设∠BOC=a,则∠A等于 .14、如图已知△ABC中,∠A=39°,∠B和∠C的三等分线分别交于D、E两点,则∠BDC度数是()A.133°B.86°C.109.5°D.88°5、如图△ABC中,∠A=96°,延长BC到D,∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2,依次类推,∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5,则∠A5的度数为()6、如图所示,∠ABC,∠ACB的内角平分线交于点O,∠ABC 的内角平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D,∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°, 则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=_______.2。