振型分解反应谱法具体解释.ppt

与前面的计算结果很接近
说明底部剪力法的计算结果是可靠的。
k2
k1
m2 m1
例 如图已知8度，设计地震分组为一组的地区， 场地条件为Ⅰ类，试用振型分解法及底部剪力法 计算该框架的层间剪力
m1 60t
m2 50t k 2 3 10 4 k n / m
解 ⒈自振特性
k1 5 10 4 k n / m
X 12 m112 k11 60 307 .6 8 10 4 1 X 11 k12 3 10 4 0.488
2 X 12 m1 2 k11 60 1625 .8 8 10 4 1 X 11 k12 3 10 4 1.71 2 T1 0.358 s
8 10 4 60 2 4 3 10
0 4 2 3 10 50 3 10 4
0.00003 4 0.058 2 15 0
12 307 .6 2 2 1625 .8
1 17 .54 rad / s 2 40 .32 rad / s
第二振型参与系数 2 mi x2i 60 1.71 50 (1) i 1 2 2 0.233 2 2 60 1.71 50 (1) 2 m x i 2i
i 1
F21 0.16 0.233 1.71 60 9.8 37.5kN
F22 0.16 0.233 (1) 50 9.8 18.3kN
F11 0.1158 1.23 0.488 60 9.8 40.9kN F12 0.1158 1.23 1 50 9.8 69.8kN
第二振型
F2i 2 2 x2i Gi
2 max 0.16

补充

振型分解反应谱法常用于计算水平地震 作用，且前面所讲的是未考虑扭转振动 的影响，同志们可以参考相关资料得到 相应考虑扭转振动影响的计算过程。
参考文献

东南大学，建筑结构抗震设计 胡聿贤，地震工程学 卢存恕等，建筑抗震设计实例 王焕定,结构力学 朱伯龙等，建筑结构抗震设计原理
达朗贝尔原理(列动力平衡方程) 振型正交性 叠加原理 哈米顿原理
计算过程

将结构简化，建立n自由度结构的频率方程，求出 n个频率及周期
M x(t ) C x(t ) K x(t ) M I xg (t )

振型分解反应谱法
制作人 路建波
振型分解反应谱法

什么是振型分解反应谱法 振型分解反应谱法的基本假设 振型分解反应谱法的理论依据 计算过程 振型分解反应谱法的不足
什么是振型分解反应谱法

假定建筑结构是线弹性的多自由度体系， 利用振型分解和振型正交性的原理，将 求解n个自由度弹性体系的地震反应分解 为求解n个独立的等效单自由度弹性体系 的最大地震反应，进而求得对应于每一 个振型的作用效应(弯矩、剪力、 轴向 力)，再按一定法则将每个振型的作用效 应组合成总的地震作用效应进行截面抗 震验算。
Fji i i X jiGi
然后将各个质点处的作用力叠加
计算过程

计算各振型层间剪力，因为各个振型求出的是 最大的反应，需将其组合 n
Fi Fi 2
j 1

最后求出结构的反应
振型分解反应谱法的不足

该方法只能是在结构弹性范围内计算， 未考虑结构的塑性状态，并且该方法也 没有考虑时间因素，只是计算了过程中 最大的加速度作为控制因素。

q1 (t ) 和
q2 (t )
确定后，质点的位移
u1 (t )
和
u2 (t )
也将随之确定。
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第8讲 振型分解反应谱法
3
式（3-55）也可以这样理解：体系的位移可看作是由 各振型向量乘以相应的组合系数和后叠加而成的。换句 话讲，这种方法是将实际位移按振型加以分解，故称为 振型分解法。另外，由于和是随时间变化的，因此，同 一振型在不同时刻对总位移“贡献”的大小是不一样的。
第
8讲
振型分解反应谱法
考虑两个自由度的体系。将质点和在水平向地震作用 下任一时刻的位移和用其两个振型的线性组合表示， 即：
u1 (t ) 11q1 (t ) 21q2 (t )
u2 (t ) 12 q1 (t ) 22 q2 (t )
(3-55a)
（3-55b）
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0.05
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。 解： （1）求体系的自振周期和振型 m 180t
型组合公式，称为完全二次项组合法，简称CQC法：
S
ij S i S j i 1 j 1
m
m
（3-65）
式中 ,s-----水平地震作用效应； m-----参与振型组合的振型数，一般可取2～3个振型, 当基本自振周期 T1>1.5s
或房屋高宽比大于5时，振型个数可适当增加；
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一般的多自由度线弹性体系，式（3-55）可写成如下形式
{u(t )} { j }q j (t ) [ ]{q(t )} 3-56
j 1
n

j 1
n
j
ij 1 ，下面证明它是成立的：
1 as is (i 1, 2,3, , n)
即：
s 1
(1)
式中： ij
1 a111 a212 an 1n 1 a2 21 a2 22 an 2 n (2) 1 a1 n1 a2 n 2 an nn 为振型矩阵的元素：a j 为常系数，由式（1）可唯一确定。
多质点弹性体系在地面水平运动影响下，质点 i 上的总惯性力是：
Fi (t ) mi [ xg (t ) xi (t )]
为了推导简便，将 xg (t) 写成如下形式：
xg (t ) xg (t ) j ij
j 1
n
振型分解反应谱法
使上式成立的唯一可能是 将1按振型展开：
n

sin j (t )d
第 i 质点相对于结构底部的位移可求出如下：
xi (t ) T i ,:q q j . ij j . j (t ). ij
j 1 j 1
n
n
振型分解反应谱法
利用振型矩阵关于刚度矩阵和质量矩阵的正交性将多质点体系分解为 一个一个单质点体系来考虑，从而使问题得以简化。下面说明如何利 用单质点弹性体系水平地震作用的反应谱来确定多质点弹性体系的地 震作用问题，即所谓的振型分解反应谱法。
振型分解反应谱法
广义模态位移可用杜哈美积分写出：
j qj j
或

t
0
xg ( )e
j j ( t )
sin j (t )d
q j (t ) j . j (t )
j (t ) 1

qn (t)}T
----振型矩阵 [] [{1} {2}
{n}]
{ j} ----为体系的第j个振型向量。
§4 多自由度体系地震反应分析
利用振型关于质量矩阵的正交性及式(3-60)， 可以导出广义坐标(qj(t))与一般位移(ui(t))反应 的关系。将式(3-60)两端分别前乘{ j }T [M ]
根据线性代数的知识，特征方程存在非零解的
充要条件是系数行列式等于零，即得到频率方
程：
| [K ] 2[M ] | 0
§4 多自由度体系地震反应分析
根据特征方程： ([K] 2[M ]){} 0
对应于频率方程中的每一个根，都存在特征方 程的一个非零解{ϕj}，称为振型向量，或叫特 征向量，或叫模态向量。
分别对振型i、j列出运动方程：
[K]{i} i2[M ]{i}[K]{j
}


2 j
[
M
]{
j
}
左式(a)两边乘以向量{ϕj}的转置{ϕj}T，右式两 边乘以向量{ϕi}的转置{ϕi}T，则有：
{ j}T [K ]{i} i2{ j}T [M ]{i}
{i
}T
[
K
]{
§4 多自由度体系地震反应分析
M jqj (t) Cjqj (t) K jqj (t) {j}T[M ]{I}xg (t) ( j 1, 2, , n)
注意到

2 j

Kj
/Mj
，2 j j
Cj
/ M j ，上式可化成
q
j
(t)

2
j
j
q
j
(t
)

振型分解反应谱法
制作人 路建波
振型分解反应谱法

什么是振型分解反应谱法 振型分解反应谱法的基本假设 振型分解反应谱法的理论依据 计算过程 振型分解反应谱法的不足
什么是振型分解反应谱法

假定建筑结构是线弹性的多自由度体系， 利用振型分解和振型正交性的原理，将 求解n个自由度弹性体系的地震反应分解 为求解n个独立的等效单自由度弹性体系 的最大地震反应，进而求得对应于每一 个振型的作用效应(弯矩、剪力、 轴向 力)，再按一定法则将每个振型的作用效 应组合成总的地震作用效应进行截面抗 震验算。
达朗贝尔原理(列动力平衡方程) 振型正交性 叠加原理 哈米顿原理
计算过程

将结构简化，建立n自由度结构的频率方程，求出 n个频率及周期
x(t ) M I xg (t ) M x(t ) C x(t ) K

The End
Thanks！Fji 来自i i X jiGi然后将各个质点处的作用力叠加
计算过程

计算各振型层间剪力，因为各个振型求出的是 最大的反应，需将其组合 n
Fi
2 F i j 1

最后求出结构的反应
振型分解反应谱法的不足

该方法只能是在结构弹性范围内计算， 未考虑结构的塑性状态，并且该方法也 没有考虑时间因素，只是计算了过程中 最大的加速度作为控制因素。
振型分解反应谱法的基本假设



结构物的反应是弹性的，可以采用叠家 加原理进行振型组合。 反应谱的假定，现有的反应谱是在结构 的所有支撑处的地震动完全相同，基础 与土壤无相互作用，即标准反应谱。 结构物最不利的地震反应为最大的地震 反应，而与其他的动力反应参数无关。