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第一章几何光学的近轴理论

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ch1 几何光学基本定律与成像概念

ch1 几何光学基本定律与成像概念

21
22
三、近轴光线的光路计算
概念： 近轴区
近轴光线
（5）式表明：在近轴区，像距l'仅是物距l的函数，与 孔径角u无关，所以轴上物点在近轴区所成的像为完善 像，称为高斯像。这样一对构成物像关系的点称为共轭 点。
23
由于在近轴区，有： 所以，由式(1) (2) (3) (4) (5) (6) 可推出：
第一章 几何光学基本定律 与成像概念
主讲人：仝卫国
华北电力大学 自动化系
1
主要内容
以光线为对象用几何方法来研究：光在介质 中的传播规律，以及光学系统的成像特性。

一、几何光学基本定律 二、成像的概念与完善成像条件 三、光路计算及近轴光学系统 四、球面光学系统
2
§1.1 几何光学的基本定律
光程[l]取极小值
M ( x,0, z ) M ( x,0,0)
13
六、马吕斯定律 光线束在各向同性的均匀介质中传播时，始终保 持着与波面的正交性，并且入射波面与出射波面 对应点之间的光程均为定值。 表明：垂直于波面的光线束经过任意多次的折、 反射后，无论折、反射面形如何，出射光束仍垂 直于出射波面。 * 折射定律、费马原理、马吕斯定律三者等价
27
28
29
30
31
s

B A
ndl 0
两点之间光沿着所需时间为极值的路径传播
11
3.费马原理的应用



根据直线是两点间最短距 离这一几何公理,于真空 或均匀介质,费马原理可 直接得到光线的直线传播 定律。 费马原理只涉及光线传播 路 径, 并 未 涉 及 到光 线的 传播方向。若路径AB的路 径取极值，则其逆路径BA 的光程也取极值——包含 了光的可逆性。 由费马原理导出光的反射 定律

几何光学总结

几何光学总结

（4）光学元件的线度应比光的波长大得多，否 ）光学元件的线度应比光的波长大得多，
则不能把光束简化为光线。 则不能把光束简化为光线。
二、费马原理
费马原理是一个描述光线传播行为的原理. 费马原理是一个描述光线传播行为的原理. （一）光程 在均匀介质中,光程为光在介质中通过的几何路程 在均匀介质中,光程为光在介质中通过的几何路程 l 与该介质的折射率 n 的乘积： 的乘积：
M n d Q O -P 顶点 h r C P´ Q´ n´
D
光轴
M n d Q -P O h r C P´ Q´ n´
D
符号规则： 符号规则： 线段：光轴方向上，以顶点为起点， （1）线段：光轴方向上，以顶点为起点，沿光线 进行方向为正，反之为负；垂直方向上， 进行方向为正，反之为负；垂直方向上，主光轴上方 为正，反之为负。 为正，反之为负。 球面的曲率半径： （2）球面的曲率半径：球心在球面顶点的右方为 反之为负。 自左向右为正方向） 正，反之为负。(自左向右为正方向）
∆ = nl
n=
c
υ
∆ l ∴ = c υ
∆ l =υt = υ c
•直接用真空中的光速来计算光在不同介质中通过一定 直接用真空 直接用真空中的光速来计算光在不同介质中通过一定 几何路程所需要的时间。 几何路程所需要的时间。
∆ nl t= = ⇒∆ = ct c c
•光程表示光在介质中通过真实路程所需时间内,在真 光程表示光在介质中通过真实路程所需时间内, 光程表示光在介质中通过真实路程所需时间内 空中所能传播的路程。 空中所能传播的路程。 k ∆ 1 k ∆ = ∑nli , t = = ∑nli 分区均匀介质: 分区均匀介质: i i c c i=1 i=1 连续介质: 连续介质:

几何光学的近轴理论

几何光学的近轴理论

p2 s2 4r(s r) sin2
2
2
p p n(s r) n(s r)
p2 s2 4r(s r) sin2
2 p2 s2 4r(s r) sin2
2
s 2 4r(s r) sin 2 s2 4r(s r) sin 2
4． 物像之间的等光程性
物点Q与像点Q‘之间的光程总是平稳 的，即不管光线经何路径，凡是由Q通过 同样的光学系统到达Q’的光线，都是等 光程的。
五．几何光学定律成立的条件
1． 光学系统的尺度远大于光波的波长。 2． 介质是均匀和各向同性的。 3． 光强不是很大。
§1.2 近轴光在单球面上的成像
n2 (s r)2 2
2 n2 (s r)2
s2

n2 (s r)2
s2 n2 (s r)2

4r sin2
Hale Waihona Puke 2[n
2
(
s2 s
r)2

s2 ] n2 (s r)2
Φ不同，s’不同，即从Q点发出的同心光束不能保持同心性
欲使折射光线保持同心性，必须满足近
/cui/ 课程成绩构成： 考试：60 作业：30（迟交超过1周者，拒收！） 论文：10（自选题目，内容不限，但要符合
科技论文的格式）
Lagrange-Helmhotz恒等式
V y ns y ns
对光线的角放大率为
n
p
u
r
i
p
u
Q
Od r
C1
Q
s
s
1.轴上物点成像
从Q点发出的光线QM折射后变为MQ’

几何光学

几何光学

第一章几何光学的近轴理论§ 几何光学的基本概念一．几何光学是关于物体所发出的光线经光学系统后成像的理论。

二．几何光学中光的物理模型光线：任意一点可以向任一方向发出直线，称为光线。

光的直线传播、反射和折射都可以用直线段及其方向的改变表示。

对于光线，是无法从物理上定义其速度的。

三．几何光学的实验定律1.光的直线传播定律在均匀媒质中，光沿直线传播。

2.光的反射定律光线1入射到平面上的O点，反射光为1'。

O点处的法线为，由1和构成的平面为入射面。

则反射光线1'在入射面内。

1和1'与法线的夹角分别为和，则=。

3.光的折射定律为两种媒质的分界面。

光线1由介质1入射到介质2中，发生折射，沿2方向传播。

入射角和折射角分别为和。

则折射光2在入射面内,且有,和分别为两种媒质的折射率。

此为Snell定律（1621年）4.光路可逆原理在反射和入射定律中，光线如果沿反射和折射方向入射时，则相应的反射和折射光将沿原来的入射光的方向。

即光路是可逆的。

如果物点Q发出的光线经光学系统后在Q'点成像，则Q'点发出的光线经同一系统后必然会在Q点成像。

即物像之间是共轭的。

四．Fermat 原理关于光的传播，可用费马原理概括。

1．光程：折射率×光所经过的路程，即n S，n：折射率，或光学常数；S：沿光的路径的距离。

2．费马（Fermat）原理：两点间光的实际路径，是光程平稳的路径。

(1679年）平稳：极值（极大、极小）或恒定值。

在数学上，用变分表示为原理，不是建立在实验基础上的定律，也不是从数学上导出的定理，而是一个最基本的假设，是一切理论的出发点。

一切定理和定律都建立在它的基础之上，即原理是一切理论体系的出发点。

Fermat 原理不是定理，也不是定律，它是最基本的假设。

3．由Fermat原理导出几何光学的实验定律（1）光的直线传播定律在均匀媒质中，两点间光程最短的路径是直线。

光学 游璞于国萍版 1.1 几何光学

光学 游璞于国萍版 1.1 几何光学

近似为理想光实光线汇 聚而成 而是视觉上将反射光线 反向延长后汇聚形成的 因而，反射光线的反向 延长线就是“虚光线”， 这样形成的像就是“虚像”
三、物和像的概念
光
物点——入射单心光束的心
学
像点——出射单心光束的心
P
实物点
系 统
｛实物点——入射发散光束的心
物点
在xoy平面内，即D(x,0,0)，由此
y A(x1,y1,0)
B(x2,y2,0)
i i’
x
D(x,0,0)
入射光线、法线，反射光线在同一
平面内。
z
由(1) ¶[l ] = n(x - x1 ) + - n(x2 - x ) = 0
¶x AD
DB
C(x,0,z)
得： x x1

(x

x1 ) 2
几何光学是波动光学在一定条件下的近似。
1
本章主要内容
§1 几何光学的基本定律和费马原理 §2 成像的基本概念 §3 傍轴条件下的单球面折射成像 §4 薄透镜的成像公式和放大率 §5 共轴球面系统 §6 光学系统中的光阑 §7 像差
§1-1 几何光学的基本定律和费马原理
1.光线 2.几何光学的基本实验定律 3.费马原理
∴同心光束非同心光束，球面折射不能理想成像
• 傍轴光线：与光轴成微小角度，它们的入射角i 与折射角i’都很小，满足近似条件:
tan i sin i i tan i' sin i' i'
则：PO ≈AP， OP’ ≈AP’
-i A
CP' n OP' PC
n
l
-i’ l ' n’

第一章_费马原理1-2(10)

第一章_费马原理1-2(10)
liyuhong
§1-3 成像基本原理/近轴成像
2. 单个球面的折射成像
n(−i)n= n′(−−′) M ii
y
S − i′ = φ − u′ −s r n sin(−i) = n′ sin(−i′)
•
− − = −u + φ iu
O
φ
− i′
C
n ′′ n
（2—1）
u
S′
−y
•
s′
主光轴：折射球面的曲率中心与顶点的连线 下面用Fermat原理推导折射成像公式
y
n
i
−s
n′
A′
A
o
i′
C
B′
− y′
s′
由几何关系，得
y − y′ , i′ = i = −s s′
近轴条件下，在入射点 O 处，由折射定律
liyuhong
ni = n′i ′
§1-3 成像基本原理/近轴成像
联立解得:
ny n ′y ′ − =− s s′
定义垂轴放大率为
因此
y′ β = y ns ′ β = n ′s
特殊情况：当等式的两端同时等于零，即
s s′ − 2 =0 2 2 2 n′ (r − s ′) n (r − s) 1 1 − 2 =0 2 n ′ (r − s ′) n (r − s )
2
2
联立解方程，可同时把 s 和
s ′ 定下来，均与 φ 无关
此时的物点和像点是一对特殊的共轭点，称为折射球面的齐 明点或不晕点。对一对齐明点，宽光束经球面折射后仍能严 格成像。显微镜就工作于齐明点。
f′ f + =1 s′ s
s ′ 第一象限 虚物实像

《几何光学》PPT课件


0
sin 1
r
sin 1
sin(
cos1
z)
r0
sin( Az )
29
表明光线在光纤中是弯曲的，正弦振荡 其Z向空间周期为：
L cos1 2
若考虑近轴光线（与光纤轴夹角很小）cos1 1, 在轴上一点所发出的近轴光线都聚焦在z 2 点。
有自聚焦效应，可用来成像等
30
其数值孔径也定义为光纤端面处介质折射率与最大 接光角正弦的乘积。
Outline of Geometric optics
几何光学的三个基本定律 费马原理 近轴成像理论
1
几何光学
以光线概念为基础研究光的传播和成像规律，光线 传播的路径和方向代表光能传播的路径和方向。
作为实验规律，三定律是近似的，几何光学研究 的是光在障碍物尺度比光波大得多情况下的传播 规律。这种情况下，相对而言可认为波长趋近于 零，几何光学是波动光学在一定条件下的近似。
n(0) cos1 n(r) cos n(rmax )
1
n2 (r)
cos2 n2 (0) cos2 1
28
路径光线在某点的斜率
dr dz
tg
1
(cos2
1
1) 2
dz
n(0) cos1
dr
[n2 (r) n2 (0) cos2 1]1 2
z r dr cos1 arcsin( r )
光在介质中走过的光程，等于以相同的时间在真空中走过的
距离。光在不同介质中传播所需时间等于各自光程除以光速
C
s s L t l
V cn c
c
32
n1 S1 n2
S2
Av
v2

《光学教程》第五版 姚启钧 第一章 几何光学

B'
B'
利用 物方焦平面 作图 光心
利用 物方焦点 作图 象方焦平面
利用 象方焦平面 作图 光心
四、 物像之间的等光程性
物点和像点之间各光线的光程相等。
F
F'
例1-3. p36 已知薄透镜 f ' 12cm, 问：
（1） 球面完全对称，折射率n=1.5，求曲率半径R；
（2） n1=4/3, n2=1 r2=R， f ' 12cm求, 曲率半径r1。
A ╭r φ-li''u'╭ n' P′
P -p
O
-y'
p'
笛 卡 儿 符 号 法
则
(3) 角度（以锐角量度）
｛ 以主轴转向考虑的光线 顺时针为正 逆时针为负
(4) 全正图形 图中标记的是线段或角度的绝对值（如上)
二、傍轴条件下单球面折射的物象公式
在下图中，当u,u’ 很小时， 称为傍轴条件
n -i
n
P
F’
P’
x'
-p’
-f ’ -p
-x
n′
F
f
六、 傍轴物点成像的放大率 亥姆霍兹-拉格朗日定理
1. 横向放大率
y pi y' p'i'
ni n'i'
n
y -x • P F•
-f i
-p
y' y
n p' n' p
利用-p=-(f+x),p'=(f '+x')
及牛顿公式，得
f x'
第一章几何光学基础11几何光学基本规律12光程费马原理13棱镜和最小偏向角全内反射和光学纤维14同心光束和象散光束物和象15单球面上的傍轴成象内容16薄透镜的成象规律17理想光学系统的基点和基面18共轴球面系统组合的理论19空气中的厚透镜薄透镜组110一般理想光具组的作图求像法和物像公式11几何光学的基本原理11光源

第一章几何光学的近轴理论



Φ不同，s′不同，即从Q点发出的同心光束不能保持同心性
• 欲使折射光线保持同心性，必须(1)满足 近轴（傍轴）条件 ，即
0
s s 2 2 n (s r ) n 2 ( s r ) 2
2
sin
2
2

2 r r 2 ] [ 2 4sin 2 ( s r ) n 2 n (s r )
P
光具组： L(QP) n1l1 n2l2 ni li 变折射率介质： L(QP) Q n(r )ds
i
二、费马原理
费马（Fermat）原理：两点间光的实际路径，是 光程平稳的路径。（1679年）
L(QP ) n(r )ds
Q (l ) P
平稳值
平稳值的三种基本的含义： 极小值常见情况， 常数成像系统的物像关系 极大值个别现象
物和像都是由一系列的点构成的，物点 和像点一一对应（几何光学上称作物像 共轭） 成像的最基本条件是要满足同心光束的 不变性。 从整个物和像的对应关系看，还必须要 满足物像间的相似性。 空间上，各个点之间的相互位置要一一 对应，同时每一对物像点的颜色要一一 对应。 要求成像的光学系统不产生畸变，没有 像差、色差、像散、慧差，„„等等。
虚光程
• 按照费马原理，物像 之间应该是等光程的
n AB1 n B1 A n AB2 n B2 A
上式对任意方向光线成立 n AB1 nB1 A n AB2 n B2 A 的条件为等式的值为0 则平面下方的折射率为
n n
虚光线的光程称作虚光程
四、物方和像方
sin i1 / sin i2
只与两种介质有关，折射率 介质1

几何光学第一章 几何光学基本定律与成像概念-Lu Revised


左
(4) 垂轴线段：
（如，物像位置）
右
以主光轴为界： 其上方为正，下方为负。 (5) 夹角：按锐角方向旋转，顺时针为正，逆时针为负； 光轴与法线夹角：光轴转向法线 N 转向： 光线与法线夹角：光线转向法线 N 光线与光轴夹角（孔径角）：光轴转向光线 (6) 光路图中，都用各量的绝对值表示，即全正。凡负值的量, 在图中均加负号。 L | L | 例：
第一章 几何光学基本定律与成像概念

第一节 几何光学的基本定律 第二节 成像的基本概念与完善成像条件


第三节 光路计算与近轴光学系统
第四节 球面光学成像系统

第一节
几何光学的基本定律
一、光波与光线
1、光波：波长范围1mm~10nm
基本概念：可见光 （visible light）：380~760nm
—— 阿贝不变式
例：置于空气（n = 1.0）中折射率为n′= 1.6 的玻璃哑铃,长 度d=20cm，两端的曲率半径均为2.0cm。若在离哑铃左端 5.0cm处的轴上有一物点，试求像的位置和性质。
⑴ 光线自左向右传播，遇到凸折射球面： l1 =－5cm ，r =＋2cm 由阿贝不变式： l1′= +16cm ＞0
反射镜等光程面是以 A 为
焦点的抛物面。无穷远物 点相应于平行光，全交于
（或完善成像于）抛物面
焦点。
五、小 结


概念：光波、光线、波面、光束； 几何光学基本定律：直线传播定律、折射与反射定律 、 独立传播定律、可逆性原理 费马原理（光程极值） 马吕斯定律（光线束与波面正交、入射出射波面间等光程）
y A
x y 2 nt
2 2
x
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物 物方空间
像方空间 像
物与像的共轭性
物方与像方不仅一一对应，而且根据光路 可逆原理，如果将发光点从物点移到像点， 并使光线从反方向入射光具组，他的像将 成在原来的物点上。这样一一对应的物点 和像点，称为共轭点
第一章 几何光学的近轴理论
几何光学的基本定律 费马定理 成像 球面成像 薄透镜成像 光学仪器
1.1 几何光学的基本定律
一 、几何光学三个基本实验定律
1. 光的直线传播定律 • 在真空或均匀介质中，光沿直线传播。
P
Q
• 如果介质是非均匀的，则光的传播将会发 生偏折，即不再沿着一条直线传播。
• 光线如果沿原来反射和折射方向入射时， 则相应的反射和折射光将沿原来的入射 光的方向。
如果物点Q发出的光线经光学系统后在Q′点 成像，则Q′点发出的光线经同一系统后必 然会在Q点成像。即物像之间是共轭的。
Q
Q′
三、全反射
n1
n2
sin i2

n1 n2
sin i1
n1 n2
有可能
n1 n2
从光线的性质看，物上的每一个物点都发 出同心光束，而像点都由同心光束会聚得到。
物和像都是由一系列的点构成的，物点 和像点一一对应（几何光学上称作物像 共轭）
成像的最基本条件是要满足同心光束的 不变性。
从整个物和像的对应关系看，还必须要 满足物像间的相似性。
空间上，各个点之间的相互位置要一一 对应，同时每一对物像点的颜色要一一 对应。
3. 光的反射律和折射定律 • 光的反射定律
挡 板 物
观察者（接收器）
平面镜
反射光在入射面内
入射面
n
i i
界面
i i
光的反射定律
1）反射光在入射面内 2）反射角等于入射角
• 光的折射定律
i 介质1
1
sin i1 / sin i2
只与两种介质有关，折射率
分界面
i2 像
介质2
物
折射光在入射面内
arcsin n2 n1
n1
iC
n2
全反射棱镜
屋脊形五棱镜
67.5
67.5
倒转棱镜
波 罗 组 合 棱 镜
光纤
1.2 Fermat原理
一、光程 定义：光线路径的几何长度与所经过的 介质折射率的乘积。
同一均匀介质：L(QP) nl
光具组： L(QP ) n1l1 n2l2 nili
• 但是，总可以设法发现光传播的路径，这 条路径是折线或曲线。
• 根据这一事实，也可以得出这样的结论， 既然在媒质中，光总是沿直线、折线、或 曲线传播，那么就可以用一条几何上的线 来描述和研究光的传播，这就是“光线”。
2. 光的独立传播定律
• 自不同方向或不同物体发出的光线相交， 对每一光线的独立传播不发生影响。
虚光程
• 按照费马原理，物像 之间应该是等光程的
nAB1 nB1A nAB2 nB2A
上式对任意方向光线成立 的条件为等式的值为0 则平面下方的折射率为
nAB1 nB1A nAB2 nB2 A
n n
虚光线的光程称作虚光程
四、物方和像方
• 物点所在的空间为物方空间 • 像点所在的空间为像方空间
路径积分：
P
L(QP) n(r)ds L(l)
Q (l)
是路径（l）的函数，平稳值要求变分为零，
P
n(r)ds 0，或 L(l) 0
Q (l)
原理与定律
• 可以由Fermat原理导出几何光学的实验定 律
• 所以可以说，Fermat原理是更基本的 • 一般来说，任何一门学科，都有着无法证
入射面
n
i1 i1
界面
i2
n1 sin i1 n2 sin i2 Snell定律
光的色散
• 一束平行的白光（复色光）从一种媒质 （例如真空或空气）射入另一种媒质时， 只要入射角不等于0，不同颜色的光在空间 散开来。
• 说明不同颜色的光具有不同的折射角，即 不同的折射率。
二、光路可逆原理
上述实验定律 都反映了 光路的可逆性
P
i
变折射率介质： L(QP) Q n(r)ds
二、费马原理
费马（Fermat）原理：两点间光的实际路径，是 光程平稳的路径。（1679年）
P
L(QP) n(r)ds
Q (l)
平稳值
平稳值的三种基本的含义：
极小值常见情况， 常数成像系统的物像关系 极大值个别现象
*费马原理的数学表达式
要求成像的光学系统不产生畸变，没有 像差、色差、像散、慧差，……等等。
M
B
B
A
A
在平面反射的情形下，物与像点点对应， 所以平面镜可以严格成像。 平面镜是唯一可以严格成像的光学元件。
二、光具组 若干反射面或折射面组成的光学系统。
光轴：光具组的对称轴
理想光具组
• 精确成像的必要条件是物上一点与像上一 点对应。
光
实像 虚像
光
具
具
组
组
像方
物方
实物成实像
光 具 组
光 具 组
虚物成实像
实物成虚像
光 具 组
光 具 组
虚物成虚像
“虚光线”与“虚像”
• 光线并没有进入平面的下方 • 所以，像点并不是真实光线汇
聚而成的 • 而是视觉上将反射光线反向延
长后汇聚形成的 • 因而，反射光线的反向延长线
就是“虚光线”，这样形成的 像就是“虚像”。
sin
i1

1
但
sin i2 1
所以，当
sin i1
n2 n1Fra bibliotek时，折射光实际上不存在， 只有反射光
这种情况就是全反射，也称全内反射
全反射临界角
• 光线从光密介质射向光疏介质，折射角比
入射角大
•
入射角满足
i1

arcsin
n2 n1
就会出现全反射
• •
出现全反射的最小入射角 iC 称作全反射临界角
• 使同心光束保持其同心性不变的光具组为 理想光具组
• 理想光具组是成像的必要条件
三、实物与虚物，实像与虚像
发出同心光束的物点，为实物点；物方 同心光束延长后汇聚所成的点，为虚物点。
实物
光 具 组
物方
光
具
实物
组
光
虚物
具
组
像方
经过光具组后的同心光束，汇聚在像方 形成的点，为实像点；像方发散的同心 光束反向延长后汇聚的点，为虚像点。
明的（指从理论上无法证明）最基本的假 设，这就是原理，是这一学科所建立的基 础。
三、由费马原理推导三个实验定律
1、光在均匀介质中直线传播 2、反射定律
Q
P
M M’ M”
Q’
要点：反射光线在入射面，反射角等于入射角，光程最短。
1.3 成像
一、同心光束 从同一点发出（更多的情形是由于反射
或散射出）的或汇聚到同一点的光线束，称 为同心光束。