刚体动力学解析

第7.5节 刚体平面运动的动力学7.5.1 10m 搞得烟筒因底部损坏而倒下来，求其上端到达地面时的线速度。

设倾倒时底部未移动。

可近似认为烟筒为均质杆。

解：烟筒的长度l =10m 。

设烟筒上端到达地面的瞬间，烟筒绕其底部的转动角速度为ω。

在倾倒过程中，只受重力作用，做的功为：mg ⋅½l 。

由刚体定轴转动的动能定理：lgmlI I l mg 323122121=∴==⋅ωω烟筒上端到达地面时的线速度为：s m gl l v /2.17108.933≈⨯⨯===ω7.5.2 用四根质量各为m 长度各为l 的均质细杆制成正方形框架，可围绕其中一边的中点在竖直平面内转动，支点O 是光滑的．最初，框架处于静止且AB 边沿竖直方向，释放后向下摆动，求当AB 边达到水平时，框架质心的线速度C v。

以及框架作用于支点的压力N ．解：先求正方形框架对通过其质心且与其垂直的转轴（质心轴）的转动惯量：框架的质心位于框架的中心，即两条对角线的交点上。

每根细杆对其本身的质心轴的转动惯量：21210ml I =，细杆的质心与框架的质心的距离为l 21，由平行轴定理：2342210])([4ml l m I I c =⋅+⋅=再由平行轴定理，得框架对通过0点的转轴的转动惯量：237221)(4ml l m I I c =⋅+=(1)求框架质心的线速度v c框架在下摆过程中，只有重力做功，机械能守恒。

选取杆AB 达到水平时框架质心位置位势能零点，得：gll v l h m M I Mgh c lgc c 7321712212214===∴===ωωω（2）求框架对支点的压力N以框架为研究对象，它受到重力M g 和支点的支撑力N 的作用，由质心运动定理：c a M g M N =+取自然坐标系，τ沿水平方向，n 铅直向上，得投影方程：βτττc n c c n n Mh Ma N mgmg mg N mg l gl m h v M Ma Mg N n===+=⇒=⋅===-7372472421732744:ˆ:ˆ在铅直位置时，外力矩为0，故角加速度β=0，==〉N τ = 07.5.3 由长为l ，质量各为m 的均质细杆组成正方形框架，其中一角连于光滑水平转轴O ，转轴与框架所在平面垂直．最初，对角线OP 处于水平，然后从静止开始向下自由摆动．求OP 对角线与水平成450时P 点的速度，并求此时框架对支点的作用力．解：先求正方形框架对通过其质心且与其垂直的转轴（质心轴）的转动惯量：框架的质心位于框架的中心，即两条对角线的交点上。

刚体运动的基本原理与动力学分析刚体运动是物理学中的重要概念，研究刚体的基本原理和动力学分析对于理解力学运动规律具有重要意义。

本文将从刚体的定义、刚体运动的基本原理，以及刚体的动力学分析等方面展开论述。

一、刚体的定义刚体是指在力的作用下，保持形状和体积不变的物体。

刚体的特点是不易变形，内部各点之间的相对位置保持不变。

二、刚体运动的基本原理1. 平动和转动刚体运动可以分为平动和转动两种形式。

平动是指刚体上所有点按照相同方向和相同距离运动，转动是指刚体绕着某个轴旋转。

2. 受力和力矩刚体的运动受到外力的作用，外力可以分为接触力和非接触力。

接触力是指物体之间直接接触施加的力，非接触力是指物体间通过场的相互作用施加的力，如重力和电磁力等。

另外，刚体的转动还受到力矩的影响。

力矩是由作用力与力臂的乘积，用来描述力对刚体的转动效果。

力矩的方向由右手定则确定，大小等于力的大小与力臂的长度之积。

3. 刚体的运动学方程刚体的运动学方程描述了刚体在运动过程中各个部分的位置、速度和加速度之间的关系。

根据牛顿第二定律和运动学关系可以得到刚体的运动学方程。

三、刚体的动力学分析1. 平动的动力学分析刚体的平动运动可以通过牛顿第二定律进行动力学分析。

根据牛顿第二定律可知，刚体所受的合外力等于刚体的质量与加速度的乘积。

2. 转动的动力学分析刚体的转动运动需要通过力矩和转动惯量进行动力学分析。

根据牛顿第二定律可知，刚体所受的合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积。

此外，刚体的角动量和动能也是进行动力学分析的重要物理量。

角动量等于刚体的转动惯量与角速度的乘积，动能等于刚体的转动惯量与角速度的平方的乘积的一半。

四、刚体运动的应用刚体运动的研究在工程、医学等领域有广泛应用。

例如在机械工程中，对机械零件的运动进行分析可以用于设计和优化机械结构；在生物医学中，对人体骨骼系统的运动学和动力学分析可以用于疾病的诊断和康复治疗。

总结：刚体运动的基本原理和动力学分析是研究力学运动规律中的重要内容。

动力学中的刚体运动分析动力学是物理学的一个分支，研究物体在受到力的作用下的运动规律。

刚体运动是动力学中的一个重要内容，刚体是指形状不会发生变化的物体，它的各个部分在同一时间内有相同的速度和加速度。

本文将对动力学中的刚体运动进行详细分析。

一、刚体的基本概念刚体是一个理想化的物体，它具有以下基本特征：1. 完全刚性：刚体的所有部分都是刚性连接的，不会发生形状上的变化。

2. 不可伸缩：刚体的各个部分不会发生伸缩变形。

3. 不可旋转：刚体在运动过程中不会发生自转。

刚体可以用来模拟很多实际物体，如棍子、车辆等，通过对刚体的运动进行研究，我们可以更好地理解物体在力的作用下的运动规律。

二、刚体运动的基本性质刚体运动具有以下几个基本性质：1. 平动：刚体上的任意两点都具有相同的位移和速度。

2. 定点旋转：刚体绕固定轴线作定点旋转运动，其各个部分仅有的位移是纯粹的旋转位移。

3. 平面运动：刚体运动可以限制在一个平面内进行。

三、刚体运动的描述刚体的运动可以通过位置、速度和加速度三个方面的描述来进行分析。

1. 位置描述：刚体的位置可以通过选择一个坐标系以确定刚体的位置矢量来描述。

常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。

2. 速度描述：刚体的速度可以通过位置的变化率来描述，即位置矢量对时间的导数。

刚体的速度矢量与位矢的方向相同。

3. 加速度描述：刚体的加速度可以通过速度的变化率来描述，即速度矢量对时间的导数。

刚体的加速度矢量与速度矢量的方向相同。

四、刚体的运动方程刚体的运动可以通过牛顿运动定律以及动力学中的一些基本定理来描述。

1. 牛顿第二定律：刚体受到的合外力等于其质量与加速度的乘积，即F=ma。

2. 刚体的角动量定理：刚体的角动量的变化率等于合外力对刚体的力矩，即L=dL/dt=τ。

3. 刚体的动能定理：刚体的动能的变化率等于合外力对刚体的功，即dK/dt=P。

根据这些定律和公式，我们可以对刚体的运动进行定量的描述和计算。

常见刚体运动的动力学分析方法刚体是指在运动过程中保持形状不变的物体，它的运动可以通过动力学分析方法来研究。

本文将介绍常见的刚体运动的动力学分析方法。

一、平面刚体运动的动力学分析方法在平面刚体运动中，刚体在平面上的运动可以分解为质心运动和绕质心的旋转运动。

常见的动力学分析方法包括线动量定理、角动量定理和动能定理。

1. 线动量定理线动量定理描述了刚体在平面上的线动量变化与合外力矩之间的关系。

根据线动量定理，刚体在一个时间间隔内的线动量变化等于作用在刚体上的合外力矩乘上时间间隔。

线动量定理的数学表达式为：Δp= ∑F⃗ ×Δt，其中Δp表示线动量的变化量，F⃗表示合外力矩，Δt表示时间间隔。

2. 角动量定理角动量定理描述了刚体在平面上围绕质心旋转时的角动量变化与合外力矩之间的关系。

根据角动量定理，刚体在一个时间间隔内的角动量变化等于作用在刚体上的合外力矩乘上时间间隔。

角动量定理的数学表达式为：ΔL = ∑τ⃗ ×Δt，其中ΔL表示角动量的变化量，τ⃗表示合外力矩，Δt表示时间间隔。

3. 动能定理动能定理描述了刚体在平面上的动能变化与合外力矩之间的关系。

根据动能定理，刚体在一个时间间隔内的动能变化等于作用在刚体上的合外力矩与刚体的质量乘积乘上时间间隔。

动能定理的数学表达式为：ΔE = ∑τ⃗ ×Δθ，其中ΔE表示动能的变化量，τ⃗表示合外力矩，Δθ表示角位移。

二、空间刚体运动的动力学分析方法在空间刚体运动中，刚体在三维空间上的运动可以分解为质心运动和绕质心的旋转运动。

常见的动力学分析方法包括动量矩定理、角动量矩定理和动能定理。

1. 动量矩定理动量矩定理描述了刚体在空间上的动量矩变化与合外力和合外力矩之间的关系。

根据动量矩定理，刚体在一个时间间隔内的动量矩变化等于作用在刚体上的合外力和合外力矩乘上时间间隔。

动量矩定理的数学表达式为：ΔL = ∑M⃗ ×Δt，其中ΔL表示动量矩的变化量，M⃗表示合外力矩，Δt表示时间间隔。