2020中考数学复习(北京)重点专题五 函数图象与性质探究题

2020中考数学 函数图象的性质（含答案）一、单选题（共有17道小题）1.正比例函数y kx =和反比例函数21y k x=-+（k 是常数且k ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）参考答案:C2.反比例函数my x=的图象如图所示，下列结论： ①常数1m <-；②在每个象限内，y 随x 的增大而增大； ③若点()1,A h -，()2,B k 在图象上，则h k <； ④若点(),P x y 在图象上，则点()',P x y --也在图象上。

其中正确的结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4参考答案:B3.在同一直角坐标系中，函数ay=-与()1,0y ax a =+≠的图象可能是（ ）参考答案:B4.在同一坐标系中，函数y ax b=+与2y ax b =+的图象可能为下列哪个（ ）yxDOy xC Oy x A O y xB O参考答案:C5.如果函数()0,2≠-=k kx y 的图象不经过第一象限，那么函数xky=的图象一定在（ ） A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限 参考答案:D6.在同一直角坐标系中，反比例函数()0ky k x=≠和正比例函数()0y kx k =≠的图象可能是（）A. B. C. D. 参考答案:C7.在同一坐标系中，函数xky =和2+=kx y 的图象大致可能是（ ）x yO xyO xyOxyOC. D.参考答案:A8.在同一平面直角坐标系内，一次函数b ax y +=与二次函数b x ax y ++=82的图象可能是( )参考答案:C9.若0ab <，则正比例函数y ax =和反比例函数y bx=在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）参考答案:B10.若正比例函数()0y mx m =≠，y 随x 的增大而减小，则它和二次函数2y mx m =+的图象大致可能是（ ）y x A O yxBOyxDOyxCOyxDO yx COyxB OB参考答案:B12.如图，在同一直角坐标系中，一次函数y ax c =-和二次函数2y ax c =-+的图象大致可能为( )参考答案:D13.在同一平面直角坐标系中，一次函数b ax y +=和二次函数c bx ax y ++=2的图象可能为（ ）参考答案:A14.二次函数bx ax y +=2的图象如图所示，那么一次函数y ）参考答案:C15.已知0b <，二次函数22y ax bx a =++-A A BCDyxDOyxCOyxBOy xAOC D试根据图象分析，a 的值应等于（ ）A ．－2B ．－1C ．1D ．2参考答案:C16.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比例函数by x=与一次函数y cx a =+在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）参考答案:B17.在同一平面直角坐标系中，函数y mxm =+,和函数222,)0y mx x m m =-++≠（是常数,且的图象可能是( )参考答案:D。

中考数学函数的图象与实际应用综合问题【方法归纳】利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题．在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义．利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题．常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等．解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式．【典例剖析】【例1】（2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0)．某运动员进行了两次训练．(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0);(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−0.04(x−9)2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1______d2（填“>”“=”或“<”）．【真题再现】1．（2015·北京·中考真题）有这样一个问题：探究函数y=12x2+1x的图象与性质.小东根据学习函数的经验，对函数y=12x2+1x的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=12x2+1x的自变量x的取值范围是____；（2）下表是y与x的几组对应值.求m的值：（3）如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象：（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1,32)，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：_________.2．（2016·北京·中考真题）已知y是x的函数，自变量x的取值范围是x >0，下表是y与x的几组对应值.小腾根据学习一次函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象;（2）根据画出的函数图象，写出：①x=4对应的函数值y约为________；②该函数的一条性质：__________________．3．（2017·北京·中考真题）如图，P是弧AB所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N.已知AB =6cm，设A 、P两点间的距离为xcm，P、N两点间的距离为ycm.（当点P与点A或点B重合时，y的值为0）小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN为等腰三角形时，AP的长度约为____________cm.⌢与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上4．（2018·北京·中考真题）如图，Q是AB⌢于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为x cm，一动点，连接PQ并延长交ABP，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为____cm．【模拟精练】一、解答题1．（2022·北京朝阳·二模）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米，请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；(3)求所画图象对应的函数表达式；(4)从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．2．（2022·北京四中模拟预测）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点A处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡BC上的点P处．腾空点A到地面OB的距离OA为70 m，坡高OC为60 m，着陆坡BC的坡度（即tan α）为3：4，以O 为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点（4，75），（8，78）．(1)求这段抛物线表示的二次函数表达式；(2)在空中飞行过程中，求运动员到坡面BC竖直方向上的最大距离；(3)落点P与坡顶C之间的距离为m．3．（2022·北京北京·二模）某公园内人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为x m，距地面的竖直高度为y m，获得数据如下：小景根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小景的探究过程，请补充完整：(1)在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；(2)水流的最高点距喷水枪的水平距离为________m；(3)结合函数图象，解决问题：公园准备在距喷水枪水平距离为3.5m处加装一个石柱，使该喷水枪喷出的水流刚好落在石柱顶端，则石柱的高度约为_____m．4．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）某景观公园计划在圆形水池内修建一个小型喷泉，水柱从池中心且垂直于水面的水枪喷出，水柱喷出后落于水面的形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离水面的高度为h米．请解决以下问题：(1)请结合表中所给数据，直接写出水柱最高点距离水面的高度为______米．(2)在网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中已知各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．(3)求表格中m的值．(4)以节水为原则，为体现公园喷泉景观的美观性，在不改变水柱形状的基础上，修建工人打算将水枪的高度上升0.4米．若圆形喷水池的半径为3米，提升水枪高度后水柱是否会喷到水池外面？请说明理由．（其中√10≈3.2）5．（2022·北京·二模）某社区文化广场修建了一个人工喷泉，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口为A，喷水口A距地面2m，喷出水流的轨迹是抛物线．水流最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，水流落地点C距离喷水枪底部B的距离为3m．请解决以下问题：(1)如图，以B为原点，BC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是______，点C的坐标是______，水流轨迹抛物线的对称轴是______．(2)求出水柱最高点P到地面的距离．(3)在线段BC上到喷水枪AB所在直线的距离为2m处放置一物体，为避免物体被水流淋到，物体的高度应小于多少米？请说明理由．6．（2022·北京门头沟·二模）如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米．请你解决以下问题：(1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；(2)结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度；(3)求起跳点A距离地面的高度；(4)在一次表演中，已知人梯到起跳点A的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A的水平距离才能成功？7．（2022·北京顺义·二模）如图是某抛物线形拱桥的截面图．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面AB的宽为8米．设AB上的点E到点A的距离AE=x米，点E到拱桥顶面的垂直距离EF=y米．通过取点、测量，数学小组的同学得到了x与y的几组值，如下表：(1)拱桥顶面离水面AB的最大高度为______米；(2)请你帮助该数学小组建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；(3)测量后的某一天，由于降雨原因，水面比测量时上升1米．现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该游船是否能安全通过：______（填写“能”或“不能”）．8．（2022·北京市十一学校模拟预测）某运动馆使用发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，且形状固定不变的，在球运行时，球与发球机的水平距离为x（米），与地面的高度为y（米），经多次测试后，得到如下数据：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)球经发球机发出后，最高点离地面________米，并求出y与x的函数解析式；(3)当球拍触球时，球离地面的高度为5米．4①求此时发球机与球的水平距离；米，为确保球拍在原高度还能接到球，球拍的接球位置应前进多②现将发球机向下平移了1516少米？9．（2022·北京昌平·二模）如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远，于是他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为x，水流的最高点到地面的距离记为y．y与x的几组对应值如下表：(1)该喷枪的出水口到地面的距离为________m；(2)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出y与x的函数图像；(3)结合（2）中的图像，估算当水流的最高点与喷枪的水平距离为8m时，水流的最高点到地面的距离为________m（精确到1m）．根据估算结果，计算此时水流的射程约为________m（精确到1m）10．（2022·北京海淀·二模）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过150 km/h）进行测试，测得数据如下表：(1)以车速v为横坐标，刹车距离s为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点；(2)由图表中的信息可知：①该型汽车车速越大，刹车距离越（填“大”或“小”）；②若该型汽车某次测试的刹车距离为40 m，估计该车的速度约为km/h；(3)若该路段实际行车的最高限速为120 km/h，要求该型汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的3倍，则安全车距应超过m．11．（2022·北京东城·一模）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．下面是小红的探究过程，请补充完整：(1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数；(2)在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度AE为_______米；②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE=DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米）12．（2022·北京市十一学校二模）如图，排球运动场的场地长18m，球网高度2.24m，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．在球运行时，将球与场地左边界的水平距离记为x（米），与地面的高度记为y（米），经多次测试后，得到如下数据：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)击球点的高度为______米，排球飞行过程中可达到的最大高度为______米；(3)求出y与x的函数解析式；(4)判断排球能否过球网，并说明理由．13．（2022·北京大兴·一模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的喷水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是一条曲线．现有一个垂直于湖面的喷水枪，在距喷水枪水平距离为x米处，水柱距离湖面高度为y米．经测量得到如下数据：请解决以下问题：(1)如下图，在平面直角坐标系xOy描出了上表中y与x各对对应值为坐标的点．请根据描出的点，画出这条曲线；(2)结合所画曲线回答：①水柱的最高点距离湖面约______米；②水柱在湖面上的落点距喷水枪的水平距离约为______米；(3)若一条游船宽3米，顶棚到湖面的高度2米，为了保证游客有良好的观光体验，游船需从喷泉水柱下通过，如果不计其他因素，根据图象判断______（填“能”或“不能”）避免游船被喷泉喷到．14．（2022·北京丰台·一模）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米．下面的表中记录了d与h的五组数据：根据上述信息，解决以下问题：(1)在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d 函数关系的图象；(2)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m=；(3)能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．15．（2022·北京一七一中一模）某运动馆使用发球机进行辅助训练，假设发球机每次发球的运动路线是抛物线，且形状固定不变的，在球运行时，球与发球机的水平距离为x（米），与地面的高度为y（米），经多次测试后，得到如下数据：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)球经发球机发出后，最高点离地面__________米，并求出y与x的函数解析式；(3)当球拍触球时，球离地面的高度为5米.8①求此时发球机与球的水平距离；米，为确保球拍在原高度还能接到球，球拍的接球位置应后退多②现将发球机向上平移了58少米？16．（2022·北京市燕山教研中心一模）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在湖面上距水枪水平距离为d米的位置，水柱距离湖面高度为h米．请解决以下问题：(1)以水枪与湖面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水枪所在直线为y轴，在下边网格中建立平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．(2)请结合表中所给数据或所画图象，写出水柱最高点的坐标．(3)湖面上距水枪水平距离为3.5米时，水柱距离湖面的高度m=____________米．(4)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过调节水枪高度，使得公园湖中的游船能从喷泉下方通过．游船左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，若游船宽（指船的最大宽度）为2米，从水面到棚顶的高度为2.1米，要求是游船从喷泉水柱中间通过时，为避免游船被喷泉淋到，顶棚到水柱的垂直距离均不小于0.5米．请问公园该如何调节水枪高度以符合要求？请通过计算说明理由．17．（2022·北京·东直门中学模拟预测）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．请解决以下问题：(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为米（精确到0.1）；(3)公园增设了新的游玩项目，购置了宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．18．（2022·北京门头沟·一模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是一条抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为ℎ米．(1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接．(2)结合表中所给数据或所画的图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；(3)求水柱在湖面上的落点距水枪的水平距离是多少？(4)现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目．准备通过调节水枪高度使得公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过（两次水柱喷出水嘴的初速度相同），如果游船宽度为3米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米．问应如何调节水枪的高度才能符合要求？请通过计算说明理由．19．（2022·北京房山·一模）如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4米，最高处到地面的距离为4米，两侧墙高均为3米，距左侧墙壁1米和3米时，隧道高度均为3.75米．设距左侧墙壁水平距离为x米的地点，隧道高度为y米．请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)请结合所画图象，写出抛物线的对称轴；(3)今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过时，为保证安全，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象，试判断该卡车能否通过隧道．20．（2022·北京通州·一模）如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和与路面AB垂直，隧道内侧宽AB＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，EF=y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：(1)隧道顶面到路面AB的最大高度为______米；(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的图象．(3)今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：______（填写“是”或“否”）．21．（2022·北京朝阳·一模）某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h 米．请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；(3)求h关于d的函数表达式；(4)公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米，工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．22．（2022·北京西城·一模）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x m，距地面的高度为y m．测量得到如下数值：小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x,y)，并画出函数的图象；(2)结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为_______m（结果保留小数点后两位）；(3)为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）．23．（2022·北京东城·二模）小强用竹篱笆围一个面积为9平方米的矩形小花园，他考虑至少4需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝），根据学习函数的经验，他做了如下的探究，请你完善他的思考过程．(1)建立函数模型：设矩形小花园的一边长为x米，则矩形小花园的另一边长为__________米（用含x的代数式表示）；若总篱笆长为y米，请写出总篱笆长y（米）关于边长x（米）的函数关系式__________；(2)列表：根据函数的表达式，得到了x与y的几组对应值，如下表：表中a=________，b=________；(3)描点、画出函数图象：,b)补充完整，并根据描出的如图，在平面直角坐标系xOy中，将表中未描出的点(2,a)，(92点画出该函数的图象；。

专题08 探究函数图象解决问题一．解答题（共13小题）1．（2020•丰台区一模）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（不与点A，B重合），⊥于点D，E是CD的中点，连接AE并延长交¶AB于点F，连接FD．小腾根=，过点C作CD AB6AB cm据学习函数的经验，对线段AC，CD，FD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在·AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，CD，FD的长度的几组值，如表：在AC，CD，FD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解答问题：当CD DF>时，AC的长度的取值范围是．2．（2020•北京一模）如图，半圆O的直径6=，点P是¶AB上的BM cmAB cm=，点M在线段AB上，且1动点，过点A作AN⊥直线PM，垂足为点N．小东根据学习函数的经验，对线段AN，MN，PM的长度之间的关系进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）对于点P在¶AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AN，MN，PM的长度的几组值，如表：在AN，MN，PM的长度这三个量中，确定的长度是自变量，和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AN MN=时，PM的长度约为cm．3．（2020•平谷区一模）如图1，P 是ABC ∆外部的一定点，D 是线段BC 上一动点，连接PD 交AC 于点E ． 小明根据学习函数的经验，对线段PD ，PE ，CD 的长度之间的关系进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于点D 在BC 上的不同位置，画图、测量，得到了线段PD ，PE ，CD 的长度的几组值，如表：在PD ，PE ，CD 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出图2中所确定的两个函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：连接CP ，当PCD ∆为等腰三角形时，CD 的长度约为 cm ．（精确到0.1)4．（2020•顺义区一模）如图，D 是直径AB 上一定点，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，P 是¶AB 上一动点，连接PA ，PE ，PF ．已知6AB cm =，设A ，P 两点间的距离为xcm ，P ，E 两点间的距离为1y cm ，P ，F 两点间的距离为2y cm ．小腾根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值：（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点1(,)x y ，2(,)x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PEF ∆为等腰三角形时，AP 的长度约为 cm ．5．（2020•东城区一模）如图，P 是线段AB 上的一点，6AB cm =，O 是AB 外一定点．连接OP ，将OP 绕点O 顺时针旋转120︒得OQ ，连接PQ ，AQ ．小明根据学习函数的经验，对线段AP ，PQ ，AQ 的长度之间的关系进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于点P 在AB 上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP ，PQ ，AQ 的长度（单位：)cm 的几组值，如表：在AP ，PQ ，AQ 的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AQ PQ=时，线段AP的长度约为cm．6．（2020•石景山区一模）如图，C是¶AB上的一定点，P是弦AB上的一动点，连接PC，过点A作AQ PC⊥交直线PC于点Q．小石根据学习函数的经验，对线段PC，PA，AQ的长度之间的关系进行了探究．（当点P与点A重合时，令0)=AQ cm下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）对于点P在弦AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PA，AQ的几组值，如表：在PC，PA，AQ的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AQ PC=时，PA的长度约为cm．（结果保留一位小数）7．（2020•西城区一模）如图，在ABC ∆中，4AB cm =，5BC cm =．P 是¶AB 上的动点，设A ，P 两点间的距离为xcm ，B ，P 两点间的距离为1y cm ，C ，P 两点间的距离为2y cm ．小腾根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值：（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点1(,)x y ，点2(,)x y ，并画出函数1y ，2y 的图象； （3）结合函数图象，①当PBC ∆为等腰三角形时，AP 的长度约为 cm ；②记¶AB 所在圆的圆心为点O ，当直线PC 恰好经过点O 时，PC 的长度约为 cm ．8．（2020•延庆区一模）如图1，AB是Oe的弦，5AB cm，点P是弦AB上的一个定点，点C是弧¶AB上的一个动点，连接CP并延长，交Oe于点D．小明根据学习函数的经验，分别对AC，PC，PD长度之间的关系进行了探究（1）对于点C在¶AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，PC，PD的长度的几组值，如表：在AC，PC，PD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，其他两条线段的长度都是这个自变量的函数；（2）请你在如图2所示的同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的两个函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：①当PC PD =时，AC 的长度约为 cm ；②当APC ∆为等腰三角形时，PC 的长度约为 cm ．9．（2020•房山区一模）如图1，在弧MN 和弦MN 所组成的图形中，P 是弦MN 上一动点，过点P 作弦MN 的垂线，交弧MN 于点Q ，连接MQ ．已知6MN cm =，设M 、P 两点间的距离为xcm ，P 、Q 两点间的距离为1y cm ，M 、Q 两点间的距离为2y cm ．小轩根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小轩的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值：/x cm ．上表中m 的值为 ．（保留两位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy （图2)中，函数1y 的图象如图，请你描出补全后的表中2y 各组数值所对应的点2(,)x y ，并画出函数2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当MPQ ∆有一个角是30︒时，MP 的长度约为 cm ．（保留两位小数）10．（2020•门头沟区一模）如图，点M 是O e 直径AB 上一定点，点C 是直径AB 上一个动点，过点C 作CD AB ⊥交O e 于点D ，作射线DM 交O e 于点N ，连接BD ．小勇根据学习函数的经验，对线段AC ，BD ，MN 的长度之间的数量关系进行了探究． 下面是小勇的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在AB的不同位置，画图，测量，得到了线段AC，BD，MN的长度的几组值，如表：在AC，BD，MN的长度这三个量中，如果选择的长度为自变量，那么的长度和的长度为这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中确定的函数的图象；（3）结合函数图象解决问题：当BD MN=时，线段AC的长度约为cm（结果精确到0.1)．11．（2020•朝阳区一模）有这样一个问题：探究函数6|2|yx=-的图象与性质并解决问题．小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）函数6|2|y x =-的自变量x 的取值范围是2x ≠； （2）取几组y 与x 的对应值，填写在下表中．m 的值为 ；（3）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； （4）获得性质，解决问题：①通过观察、分析、证明，可知函数6|2|y x =-的图象是轴对称图形，它的对称轴是 ； ②过点(1P -，)(02)n n <<作直线//l x 轴，与函数6|2|y x =-的图象交于点M ，N （点M 在点N 的左侧），则PN PM -的值为 ．12．（2020•密云区一模）如图，点O 是线段AB 的中点，¶EF 是以O 为圆心，EF 长为直径的半圆弧，点C 是¶EF上一动点，过点O 作射线AC 的垂线，垂足为D ．已知10AB cm =，6EF cm =，设A 、C 两点间的距离为xcm ，O 、D 两点间的距离为1y cm ，C 、D 两点间的距离为2y cm ．小丽根据学习函数的经验，分别对函数1y 和2y 随自变量x 变化而变化的规律进行了探究．下面是小丽的探究过程，请将它补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到1y 和2y 与x 的几组对应值：经测量，m 的值是 ；（保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点1(,)x y 和2(,)x y ，并画出函数1y 、2y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接OC ，当ODC ∆是等腰三角形时，AC 的长度约为 cm ．（结果保留一位小数）13．（2020•大兴区一模）已知：如图，线段5AB cm =，90BAM ∠=︒，P 是¶AB 与BAM ∠所围成的图形的外部的一定点，C 是¶AB 上一动点，连接PC 交弦AB 于点D ．设A ，D 两点间的距离为xcm ，P ，D 两点间的距离为1y cm ，P ，C 两点间的距离为2y cm ．小腾根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整：按照表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值：（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出各组数值所对应的点1(,)x y ，2(,)x y ，并画出函数1y ，2y 的图象； （2）连接BP ，结合函数图象，解决问题：当BDP ∆为等腰三角形时，x 的值约为 cm （结果保留一位小数）．专题07 圆的有关计算及证明一．选择题（共9小题）1．（2020•丰台区一模）在⊙O中按如下步骤作图：（1）作⊙O的直径AD；（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（）A．∠ABD＝90°B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD2．（2020•海淀区一模）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若OC=12OA，则∠C等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．（2020•平谷区一模）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF；（2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G；（3）连接FG，CG．作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，则∠AOB＝30°C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG4．（2020•石景山区一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，弦AD的延长线与弦BC的延长线相交于点E．用①AB是⊙O的直径，②CB＝CE，③AB＝AE中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．35．（2020•西城区一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（）A．65°B．35°C．32.5°D．25°̂上，将弧BĈ沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若6．（2020•延庆区一模）如图，在⊙O中，点C在优弧AB⊙O的半径为√5，AB＝4，则BC的长是（）A ．2√3B ．3√2C ．5√32D ．√6527．（2020•朝阳区一模）如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，CD ＝4，tan C =12，则AB 的长为（ ）A ．2.5B ．4C ．5D ．108．（2020•朝阳区一模）如图，直线l 1∥l 2，点A 在直线l 1上，以点A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l 1，l 2于B ，C 两点，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，与前弧交于点D （不与点B 重合），连接AC ，AD ，BC ，CD ，其中AD 交l 2于点E ．若∠ECA ＝40°，则下列结论错误的是（ ）A ．∠ABC ＝70°B ．∠BAD ＝80°C ．CE ＝CDD ．CE ＝AE9．（2020•大兴区一模）如图，A 、B 、C 三点在⊙O 上，且∠AOB ＝80°，则∠ACB 等于（ ）A ．100°B ．80°C ．50°D ．40°二．填空题（共6小题）10．（2020•北京一模）已知⊙O ．如图， （1）作⊙O 的直径AB ；（2）以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于C ，D 两点；（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE＝DE；②BE＝3AE；③BC＝2CE．所有正确推断的序号是．11．（2020•东城区一模）如图，半径为√3的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．12．（2020•石景山区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为寸．13．（2020•延庆区一模）把光盘、含60°角的三角板和直尺如图摆放，AB＝2，则光盘的直径是．14．（2020•房山区一模）如图，AC是⊙O的弦，AC＝6，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝60°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．15．（2020•密云区一模）如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，点D为AĈ的中点，且OD与AC相交于点E，若⊙O的半径为4，∠CAB＝30°，则弦AC的长度为．三．解答题（共14小题）16．（2020•北京一模）如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为BĈ中点，过点D作DE⊥直线AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EF＝4，sin∠F=35，求⊙O的半径．17．（2020•海淀区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若AF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长．18．（2020•平谷区一模）如图，等边△ABC，作它的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AC的延长线于点F．（1）依题意补全图形并证明：DF与⊙O相切；（2）若AB＝6，求CF的长．19．（2020•顺义区一模）如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，点C恰好在以AB为直径的⊙O上．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接BD，若AB＝8，求BD的长．20．（2020•东城区一模）如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C是直线l 上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B，且AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若tan∠ACB=12，求线段BP的长．21．（2020•石景山区一模）如图，AB是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于点C，以OB，BC为边作▱OBCD，连接AD并延长交⊙O于点E，交直线PQ于点F．（1）求证：AF⊥CF；（2）连接OC，BD交于点H，若tan∠OCB＝3，⊙O的半径是5，求BD的长．22．（2020•西城区一模）如图，四边形OABC中，∠OAB＝90°，OA＝OC，BA＝BC．以O为圆心，以OA为半径作⊙O．（1）求证：BC是⊙O的切线；̂=AĈ，（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，若AD①补全图形；②求证：OF＝OB．23．（2020•通州区一模）已知：△ABC为等边三角形．（1）求作：△ABC的外接圆⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）（2）射线AO交BC于点D，交⊙O于点E，过E作⊙O的切线EF，与AB的延长线交于点F．①根据题意，将（1）中图形补全；②求证：EF∥BC；③若DE＝2，求EF的长．24．（2020•延庆区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点D是弧BC的中点，连接AC，BD，过点D作AC的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB＝5，BD＝3，求线段BF的长．25．（2020•门头沟区一模）如图，∠APB，点C在射线PB上，PC为⊙O的直径，在∠APB内部且到∠APB 两边距离都相等的所有的点组成图形M，图形M交⊙O于D，过点D作直线DE⊥P A，分别交射线P A，PB于E，F．（1）根据题意补全图形；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）如果PC＝2CF，且DF=√3，求PE的长．26．（2020•朝阳区一模）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．在同一平面内，△ABC内部一点O 到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．（1）直接写出a的值；（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．①求证：∠BMA＝∠BMN；②求直线MN与图形G的公共点个数．27．（2020•密云区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．（1）若∠ABD＝2∠BDC，求证：CE是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为√5，tan∠BDC=12，求AC的长．28．（2020•大兴区一模）已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D 作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）延长DE交BA的延长线于点F，若AB＝8，sin B=√55，求线段F A的长．29．（2020•丰台区一模）在Rt ABC∆中，90A∠=︒，22.5B∠=︒，点P为线段BC上一动点，当点P运动到某一位置时，它到点A，B的距离都等于a，到点P的距离等于a的所有点组成的图形为W，点D为线段BC延长线上一点，且点D到点A的距离也等于a．（1）求直线DA与图形W的公共点的个数；（2）过点A作AE BD⊥交图形W于点E，EP的延长线交AB于点F，当2a=时，求线段EF的长．专题07 圆的有关计算及证明一．选择题（共9小题）1．（2020•丰台区一模）在⊙O中按如下步骤作图：（1）作⊙O的直径AD；（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（）A．∠ABD＝90°B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD̂=CD̂，根据垂径定理即可判断A、B、C正确，再【分析】根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，BD根据DC＝OD，可得AD＝2CD，进而可判断D选项．【解答】解：根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴A选项正确；∵BD＝CD，∴BD̂=CD̂，∴∠BAD＝∠CBD，∴B选项正确；根据垂径定理，得AD⊥BC，∴C选项正确；∵DC＝OD，∴AD＝2CD，∴D选项错误．故选：D．2．（2020•海淀区一模）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若OC=12OA，则∠C等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】连接OB，构造直角△ABO，结合已知条件推知直角△ABO的直角边OB等于斜边OA的一半，则∠A＝30°．【解答】解：如图，连接OB．∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°．∵OB＝OC，OC=12 OA，∴∠C＝∠OBC，OB=12OA，∴∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，则∠C+∠OBC＝60°，∴∠C＝30°．故选：B．3．（2020•平谷区一模）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF；（2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G；（3）连接FG，CG．作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，则∠AOB＝30°C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG【分析】依据作图即可得出△OCF≌△OGF（SSS），即可得到对应角相等；再根据等边三角形的性质，即可得到∠AOB＝30°；依据OC＝OE，FC＝FG，即可得出OF垂直平分CG，CG＝2MG＜2FG．【解答】解：由作图可得，OC＝OE，FC＝FG，OF＝OF，∴△OCF≌△OGF（SSS），∴∠BOG＝∠AOB，故A选项正确；若CG＝OC＝OG，则△OCG是等边三角形，∴∠COG＝60°，∴∠AOB=12∠COG＝30°，故B选项正确；∵OC＝OE，FC＝FG，∴OF垂直平分CG，故C选项正确；∴CG ＝2MG ＜2FG ，故D 选项错误； 故选：D ．4．（2020•石景山区一模）如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，弦AD 的延长线与弦BC 的延长线相交于点E ．用①AB 是⊙O 的直径，②CB ＝CE ，③AB ＝AE 中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】根据题意和图形，可以写出其中的两个为题设，一个为结论时的命题是否为真命题，然后写出理由即可．【解答】解：当①②为题设时，③为结论，这个命题是真命题， 理由：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝90°， 在△ACB 和△ACE 中， {AC =AC∠ACB =∠ACE BC =EC， ∴△ACB ≌△ACE （SAS ）， ∴AB ＝AC ；当①③为题设，②为结论时，这个命题是真命题，理由：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝90°， 在Rt △ACB 和Rt △ACE 中， {AB =AE AC =AC， ∴Rt △ACB ≌Rt △ACE （HL ）， ∴CB ＝CE ；当②③为题设，①为结论时，这个命题是真命题， 理由：在△ACB 和△ACE 中， {AB =AE AC =AC CB =CE， ∴△ACB ≌△ACE （SSS ）， ∴∠ACB ＝∠ACE ，又∵∠ACB +∠ACE ＝180°， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝90°， ∴AB 是⊙O 的直径； 故选：D ．5．（2020•西城区一模）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点．若∠CAB ＝65°，则∠ADC 的度数为（ ）A ．65°B ．35°C ．32.5°D ．25°【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB ＝90°，然后根据∠CAB ＝65°求得∠ABC 的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可． 【解答】解：∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵∠CAB ＝65°，∴∠ABC ＝90°﹣∠CAB ＝25°， ∴∠ADC ＝∠ABC ＝25°， 故选：D ．6．（2020•延庆区一模）如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB ̂上，将弧BC ̂沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为√5，AB ＝4，则BC 的长是（ ）A ．2√3B ．3√2C ．5√32D ．√652【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⊥AB ，则AD ＝BD =12AB ＝2，于是根据勾股定理可计算出OD ＝1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到AĈ=CD ̂，所以AC ＝DC ，利用等腰三角形的性质得AE ＝DE ＝1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF ＝EF ＝1，然后计算出CF 后得到CE ＝BE ＝3，于是得到BC ＝3√2．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图， ∵D 为AB 的中点， ∴OD ⊥AB ，∴AD ＝BD =12AB ＝2，在Rt △OBD 中，OD =√(√5)2−22=1， ∵将弧BĈ沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ． ∴弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆， ∴AĈ=CD ̂，∴AC＝DC，∴AE＝DE＝1，易得四边形ODEF为正方形，∴OF＝EF＝1，在Rt△OCF中，CF=√(√5)2−12=2，∴CE＝CF+EF＝2+1＝3，而BE＝BD+DE＝2+1＝3，∴BC＝3√2．故选：B．7．（2020•朝阳区一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，CD＝4，tan C=12，则AB的长为（）A．2.5B．4C．5D．10【分析】首先根据垂径定理和CD的长求得CE和DE的长，然后根据同弧所对的圆周角相等确定∠B＝∠C，根据正切的定义求得AE和BE的长即可求得答案．【解答】解：∵AB⊥CD，CD＝4，∴CE＝DE＝2，∵∠B＝∠C，tan C=1 2，∴tan B=1 2，∴AE＝1，BE＝4，∴AB＝AE+BE＝1+4＝5，故选：C．8．（2020•朝阳区一模）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（）A．∠ABC＝70°B．∠BAD＝80°C．CE＝CD D．CE＝AE【分析】根据平行线的性质得出∠CAB＝40°，进而利用圆的概念判断即可．【解答】解：∵直线l1∥l2，∴∠ECA＝∠CAB＝40°，∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，∴BA＝AC＝AD，∴∠ABC=180°−40°2=70°，故A正确；∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），∴CB＝CD，∴∠CAB＝∠DAC＝40°，∴∠BAD＝40°+40°＝80°，故B正确；∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，∴CE＝AE，故D正确；故选：C．9．（2020•大兴区一模）如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB＝80°，则∠ACB等于（）A．100°B．80°C．50°D．40°【分析】由圆周角定理知，∠ACB=12∠AOB＝40°．【解答】解：∵∠AOB＝80°∴∠ACB=12∠AOB＝40°．故选：D．二．填空题（共6小题）10．（2020•北京一模）已知⊙O．如图，（1）作⊙O的直径AB；（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE＝DE；②BE＝3AE；③BC＝2CE．所有正确推断的序号是．【分析】①连接OC，根据作图过程可得AĈ=AD̂，再根据垂径定理即可判断；②根据作图过程可得AC＝OA＝OC，即△AOC是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可判断；③可以根据直角三角形30度角所对直角边等于斜边的一半，也可以根据三角形相似对应边成比例得结论．【解答】解：如图，连接OC，①∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，∴AĈ=AD̂，根据垂径定理，得AB⊥CE，CE＝DE，所以①正确；②∵AC＝OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∵AB⊥CE，∴AE＝OE，∴BE＝BO+OE＝3AE，∴②正确；③方法一：∵∠CAO＝60°，∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，∴BC＝2CE．所以③正确．方法二：由△ACE∽△CBE，∴AC：AE＝BC：CE＝2：1，∴BC＝2CE，所以③正确．11．（2020•东城区一模）如图，半径为√3的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．【分析】根据切线长定理得出∠OBC＝∠OBA=12∠ABC＝30°，解直角三角形求得BD，即可求得CD，然后解直角三角形OCD即可求得tan∠OCB的值．【解答】解：连接OB，作OD⊥BC于D，∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，∴∠OBC＝∠OBA=12∠ABC＝30°，∴tan ∠OBC =OD BD ， ∴BD =OD tan30°=√3√33=3，∴CD ＝BC ﹣BD ＝8﹣3＝5，∴tan ∠OCB =OD CD =√35．故答案为√35．12．（2020•石景山区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，BE ＝1寸，CD ＝1尺，那么直径AB 的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为 寸．【分析】连接OC ，由直径AB 与弦CD 垂直，根据垂径定理得到E 为CD 的中点，由CD 的长求出DE 的长，设OC ＝OA ＝x 寸，则AB ＝2x 寸，OE ＝（x ﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB 的长．【解答】解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE=12CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．13．（2020•延庆区一模）把光盘、含60°角的三角板和直尺如图摆放，AB＝2，则光盘的直径是．【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB＝CB＝2，∠OBA＝60°，根据OA＝AB tan∠OBA可得答案．【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，如图所示：由切线长定理知AB＝CB＝2，OA平分∠ABC，∴∠OBA＝60°，在Rt△ABO中，OA＝AB tan∠OBA＝2√3，∴光盘的直径为4√3，故答案为：4√3．14．（2020•房山区一模）如图，AC是⊙O的弦，AC＝6，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝60°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．【分析】作直径AD，如图，先判断NM为△CAB的中位线得到MN=12AB，再根据圆周角定理得到∠ACD＝90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝4√3，由于AB＝AD时，AB的值最大，从而得到MN的最大值．【解答】解：作直径AD，如图，∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴NM为△CAB的中位线，∴MN=12AB，∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∵∠ADC＝∠ABC＝60°∴CD=√33AC＝2√3，AD＝2CD＝4√3，当AB＝AD时，AB的值最大，∴AB最大值为4√3，MN的最大值为2√3．故答案为2√3．15．（2020•密云区一模）如图，AB为⊙O直径，点C为⊙O上一点，点D为AĈ的中点，且OD与AC相交于点E，若⊙O的半径为4，∠CAB＝30°，则弦AC的长度为．【分析】利用垂径定理得到OD⊥AC，AE＝CE，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出AE，从而得到AC的长．【解答】解：∵点D为AĈ的中点，∴OD⊥AC，∴AE＝CE，在Rt△OAE中，∵∠OAE＝30°，∴OE=12OA＝2，AE=√3OE＝2√3，∴AC＝2AE＝4√3．故答案为4√3．三．解答题（共14小题）16．（2020•北京一模）如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为BĈ中点，过点D作DE⊥直线AC，垂足为E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EF＝4，sin∠F=35，求⊙O的半径．【分析】（1）如图，连接BC ，OD ，根据圆周角定理得到∠ACB ＝90°，求得OD ⊥BC ，得到OD ⊥EF ，于是得到结论；（2）解直角三角形得到AE ＝3，AF ＝5，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接BC ，OD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，又∵EF ⊥AE ，∴BC ∥EF ，∵点D 为BC ̂中点，∴OD ⊥BC ，∴OD ⊥EF ，又∵OD 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt △AEF 中，∠AEF ＝90°，EF ＝4，sin ∠F =35，∴AE ＝3，AF ＝5，∵OD ∥AE ，∴△ODF ∽△AEF ，∴OD AE =OF AF ，设⊙O 的半径为r ，则OD ＝r ，OF ＝AF ﹣AO ＝5﹣r ，∴r 3=5−r 5，解得r =158， ∴⊙O 的半径为158．17．（2020•海淀区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 为BC 边的中点，以AD 为直径作⊙O ，分别与AB ，AC 交于点E ，F ，过点E 作EG ⊥BC 于G ．（1）求证：EG 是⊙O 的切线；（2）若AF ＝6，⊙O 的半径为5，求BE 的长．【分析】（1）先判断出EF 是⊙O 的直径，进而判断出OE ∥BC ，即可得出结论；（2）先根据勾股定理求出AE ，再判断出BE ＝AE ，即可得出结论．【解答】（1）证明：如图，连接EF ，∵∠BAC ＝90°，∴EF 是⊙O 的直径，∴OA ＝OE ，∴∠BAD ＝∠AEO ，∵点D 是Rt △ABC 的斜边BC 的中点，∴AD ＝BD ，∴∠B ＝∠BAD ，∴∠AEO ＝∠B ，∴OE ∥BC ，∵EG ⊥BC ，∴OE⊥EG，∵点E在⊙O上，∴EG是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为5，∴EF＝2OE＝10，在Rt△AEF中，AF＝6，根据勾股定理得，AE=√EF2−AF2=8，由（1）知OE∥BC，∵OA＝OD，∴BE＝AE＝8．18．（2020•平谷区一模）如图，等边△ABC，作它的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交AC的延长线于点F．（1）依题意补全图形并证明：DF与⊙O相切；（2）若AB＝6，求CF的长．【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）连接DC，根据等边三角形的性质和直径所对圆周角是直径即可求出CF的长．【解答】解：（1）如图，。

一、简单专题集训一次函数、反比例函数综合题(连续5年考查) 类型一 根据线段关系确定参数取值范围(8年2考：2017.23、2016.21)1. (2019海淀区二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x ＋b 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与双曲线y ＝2x的交点为M ，N .(1)当点M 的横坐标为1时，求b 的值；(2)若MN ≤3AB ，结合函数图象，直接写出b 的取值范围.第1题图2. (2019通州区一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x 与函数y ＝mx (x >0)的图象交于点A (1，2).(1)求m 的值；(2)过点A 作x 轴的平行线l ，直线y ＝2x ＋b 与直线l 交于点B ，与函数y ＝mx (x >0)的图象交于点C ，与x 轴交于点D.①当点C 是线段BD 的中点时，求b 的值； ②当BC >BD 时，直接写出b 的取值范围.第2题图3.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，3)、点B(3，0)，一次函数y＝－2x的图象与直线AB交于点P.(1)求点P的坐标；(2)若点Q是x轴上一点，且△PQB的面积为6，求点Q的坐标；(3)若直线y＝－2x＋m与△AOB三条边只有两个公共点，求m的取值范围.第3题图类型二 根据区域内整点个数确定参数取值范围(8年2考：2019.25、2018.23)1. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)与直线y ＝kx (k ≠0)平行，与直线y ＝3相交于点A (3，3).(1)求k 和b 的关系式；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记直线l ∶y ＝kx ＋b 、y ＝kx 、y ＝3与x 轴构成的封闭区域(不含边界)为W .①当k ＝2时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数； ②若区域W 内恰有2个整点，直接写出k 的取值范围.2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，B (3，－3)，C (5，0)，以OC ，CB 为边作平行四边形OABC ，函数y ＝kx(x ＜0)的图象经过点A.(1)求k 的值；(2)若过点A 的直线l 平行于直线OB ，且与函数y ＝kx (x ＜0)图象的另一个交点为D.①求直线l 的表达式；②横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记函数y ＝kx (x ＜0)的图象在点A ，D 之间的部分与线段AD 围成的区域(含边界)为W .结合函数图象，直接写出区域W 内(含边界)的整点个数.第2题图3. (2019延庆区一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过边长为2的正方形OABC 的顶点B ，直线y ＝mx ＋m ＋1与y ＝kx (x ＞0)的图象交于点D (点D 在直线BC 的上方)，与x 轴交于点E .(1)求k 的值；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记y ＝kx (x ＞0)的图象在点B 、D 之间的部分与线段AB 、AE 、DE围成的区域(不含边界)为W .①当m ＝12时，直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内恰有3个整点，结合函数图象，求m 的取值范围.第3题图类型三 根据面积关系确定参数取值范围1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)交y 轴于点A ，交x 轴于点B (3，0)，平行于y 轴的直线x ＝2交AB 于点D ，交x 轴于点E ，点P 是直线x ＝2上一点，且在点D 的上方，设P (2，n ).(1)求直线l 的表达式和点A 的坐标；(2)连接AP 、BP ，若S △ABP ≤2S △ABO ，求n 的取值范围.第1题图2. (2018石景山区一模)在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝ax (x ＞0)的图象与直线l 1：y ＝x ＋b 交于点A (3，a －2).(1)求a ，b 的值；(2)直线l 2：y ＝－x ＋m 与x 轴交于点B ，与直线l 1交于点C ，若S △ABC ≥6，求m 的取值范围.类型四 根据线段、面积、图形求点坐标(8年2考：2015.23、2012.17)1. 如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B.(1)求△AOB 的面积；(2)过点B 作直线BC 与x 轴相交于点C ，若△ABC 的面积是16，求点C 的坐标.第1题图2. (2019东城区一模)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线y ＝8x (x ＞0)交于点A (2，n ).(1)求n 及k 的值；(2)点B 是y 轴正半轴上的一点，且△OAB 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点B 的坐标.3. (2019房山区一模)已知一次函数y ＝2x 的图象与反比例函数y ＝kx (k ≠0)在第一象限内的图象交于点A (1，m ).(1)求反比例函数的表达式；(2)点B 在反比例函数的图象上，且点B 的横坐标为2.若在x 轴上存在一点M ，使MA ＋MB 的值最小，求点M 的坐标.第3题图4. (2019西城区二模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝ax ＋b 与双曲线y ＝kx 交于点A (1，m )和点B (－2，－1)，点A 关于x 轴的对称点为点C.(1)①求k 的值和点C 的坐标； ②求直线l 的表达式；(2)过点B 作y 轴的垂线与直线AC 交于点D ，经过点C 的直线与直线BD 交于点E .若30°≤∠CED ≤45°，直接写出点E 的横坐标t 的取值范围.参考答案类型一 根据线段关系确定参数取值范围1. 解：(1)∵点M 是双曲线y ＝2x 上的点，且点M 的横坐标为1，∴点M 的坐标为(1，2). ∵点M 是直线y ＝x ＋b 上的点， ∴b ＝1； (2)b ≤－1或b ≥1.【解法提示】当b ＝±1时，满足MN ＝3AB ，如解图，结合函数图象可得，b 的取值范围是b ≤－1或b ≥1.第1题解图2. 解：(1)把A (1，2)代入函数y ＝mx (x ＞0)中，解得m ＝2；(2)①如解图①，过点C 作x 轴的垂线，交直线l 于点E ，交x 轴于点F . ∵点C 是线段BD 的中点， ∴CE ＝CF ＝1. ∴点C 的纵坐标为1. 把y ＝1代入函数y ＝2x 中，得x ＝2.∴点C 的坐标为(2，1).把C (2，1)代入函数y ＝2x ＋b 中得：1＝4＋b ， 解得b ＝－3；第2题解图①②b ＞3.【解法提示】如解图②，当BC >BD 时，点C 在AB 的上方，当BC ＝BD 时，y C ＝2y B ＝4，∴可得C (12 ，4).把C (12，4)代入函数y ＝2x ＋b 中解得b ＝3.∴当BC ＞BD 时，b 的取值范围为b ＞3.第2题解图②3. 解：(1)如解图，∵A (0，3)、点B (3，0)， ∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，y ＝－x ＋3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝6，∴P (－3，6)； (2)设Q (m ，0)，由题意：12 ·|m －3|·6＝6，解得m ＝5或1， ∴Q (1，0)或Q (5，0)；(3)当直线y ＝－2x ＋m 经过点O 时，m ＝0， 当直线y ＝－2x ＋m 经过点B 时，m ＝6，∴若直线y ＝－2x ＋m 与△AOB 三条边只有两个公共点，则M 的取值范围为0＜m ＜6.第3题解图类型二 根据区域内整点个数确定参数取值范围1. 解：(1)∵直线l ：y ＝kx ＋b 过点A (3，3)， ∴3＝3k ＋b .∴k 和b 的关系式为b ＝3－3k ； (2)①如解图所示，当k ＝2时，直线l 表达式为y ＝2x －3，直线y ＝kx 为y ＝2x ， 结合函数图象，区域W 内的整点个数有2个；第1题解图②1＜k ≤2.【解法提示】当直线y ＝kx 过点(2，2)时，此时直线的表达式为y ＝x ，∵直线l ：y ＝kx ＋b 过点(3，3)且与y ＝x 平行，故此时直线l 的表达式也为y ＝x ，区域w 内没有整点，又由(1)可知，当区域W 内有2个整点时，k ＝2.综上所述，若区域W 内恰有2个整点时，k 的取值范围为1<k ≤2.2. 解：(1)∵B (3，－3)，C (5，0)，四边形OABC 是平行四边形， ∴AB ＝OC ＝5.∴点A 的坐标为(－2，－3). ∴k ＝6；(2)①设直线OB 的表达式为y ＝mx ， 由B 点坐标(3，－3)，可得m ＝－1， ∵过点A 的直线l 平行于直线OB ， ∴设直线l 的表达式为y ＝－x ＋b ，把点A 的坐标(－2，－3)代入上式并解得b ＝－5， ∴直线l 的表达式为y ＝－x －5； ②区域W 内(含边界)有两个整点．【解法提示】将函数表达式y ＝6x 与直线表达式y ＝－x －5联立并整理得：x 2＋5x ＋6＝0，解得x ＝－2或－3，由(1)知A (－2，－3)，∴点D 的坐标为(－3，－2)，∴区域W 内(含边界)只有D 、A 两个整点． 3. 解：(1)∵正方形OABC 的边长为2，∴B (2，2).把B (2，2)代入y ＝kx (x ＞0)中，解得k ＝2×2＝4；(2)①区域W 内有2个整点；【解法提示】①当m ＝12 时，则直线y ＝mx ＋m ＋1为y ＝12 x ＋32 ，作出图象如解图①所示，结合函数图象，区域W 内有2个整点．第3题解图①②当直线y ＝mx ＋m ＋1过(0，32 )时，区域W 内恰好有2个整点，如解图①所示，此时m ＝12 ，当直线y ＝mx ＋m ＋1过(0，2)时，区域W 内恰好有3个整点，如解图②所示，第3题解图②则2＝m ＋1，解得m ＝1，结合函数图象，区域W 内恰有3个整点，m 的取值范围为12＜m ≤1.类型三 根据面积关系确定参数取值范围1. 解：(1)∵直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)交y 轴于点A ，交x 轴于点B (3，0)， ∴0＝3k ＋1. ∴k ＝－13.∴直线l 的表达式是y ＝－13 x ＋1.当x ＝0时，y ＝1， ∴点A (0，1)；(2)如解图，过点A 作AM ⊥PD ，垂足为点M ，则有AM ＝2， ∵x ＝2时，y ＝－13 x ＋1＝13 ，且点P 在点D 的上方，∴PD ＝n －13，∴S △APD ＝12 AM ·PD ＝12 ×2×(n －13 )＝n －13 ；∵B (3，0)，∴点B 到直线x ＝2的距离为1，即△BDP 的边PD 上的高长为1， ∴S △BPD ＝12 ×1×(n －13 )＝12 (n －13 )，∴S △P AB ＝S △APD ＋S △BPD ＝32 n －12 ；∵2S △ABO ＝2×12·AO ·BO ＝1×3＝3.当S △ABP ＝2S △ABO 时，32 n －12 ＝3，解得n ＝73，综上所述，当S △ABP ≤2S △ABO 时，n 的取值范围为13 <n ≤73.第1题解图2. 解：(1)∵点A 在y ＝ax 图象上，∴a －2＝a3 .∴a ＝3.∴A (3，1).∵点A 在y ＝x ＋b 图象上，∴1＝3＋b . ∴b ＝－2；(2)由(1)知直线l 1为y ＝x －2.设直线l 1∶y ＝x －2与x 轴的交点为D ， ∴D (2，0).①当点C 在点A 的上方如解图①，第2题解图①∵直线y ＝－x ＋m 与x 轴交点为B ， ∴B (m ，0).∵点C 在点A 的上方， ∴m ＞4.∵直线y ＝－x ＋m 与直线y ＝x －2相交于点C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋m ， 解得⎩⎨⎧x ＝m ＋22，y ＝m －22．∴C (m ＋22 ，m －22 ).∵S △ABC ＝S △BCD －S △ABD ≥6， ∴12 ·(m －2)·m －22 －12 (m －2)×1≥6. ∴m ≥8；②若点C 在点A 下方，如解图②， 此时m ＜4.第2题解图②∵S△ABC＝S△ABD＋S△BCD≥6，∴12(2－m)×1＋12(2－m)·2－m2≥6.∴m≤－2.综上所述，m≥8或m≤－2.类型四 根据线段、面积、图形求点坐标1. 解：(1)把x ＝0代入y ＝23 x ＋4得：y ＝4，∴B (0，4)，把y ＝0代入y ＝23 x ＋4得：23 x ＋4＝0，解得x ＝－6， ∴A (－6，0)，∴S △AOB ＝12×6×4＝12；(2)根据题意得：点B 到AC 的距离为4， ∴S △ABC ＝12 ×4·AC ＝16，解得AC ＝8，即点C 到点A 的距离为8， ∴点C 的坐标为(－14，0)或(2，0). 2. 解：(1)∵点A (2，n )在双曲线y ＝8x 上，∴n ＝82＝4.∴点A 的坐标为(2，4).将A (2，4)代入y ＝kx ，得：4＝2k ， 解得k ＝2；(2)点B 坐标为(0，8)，(0，25 )，(0，52).【解法提示】分三种情况考虑，过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，如解图所示． ①当AB 1＝AO 时，CO ＝CB 1＝4， ∴点B 1的坐标为(0，8)；②当OA ＝OB 2时，∵点A 的坐标为(2，4)， ∴OC ＝4，AC ＝2.∴OA ＝OC 2＋AC 2 ＝25 . ∴OB 2＝25 .∴点B 2的坐标为(0，25 )；③当B 3O ＝B 3A 时，设OB 3＝m (m ＞0)，则CB 3＝4－m ，AB 3＝m ，在Rt △ACB 3中，AB 23 ＝CB 23 ＋AC 2，即m 2＝(4－m )2＋22，解得m ＝52，∴点B 3的坐标为(0，52).综上所述：点B 的坐标为(0，8)，(0，25 )，(0，52).第2题解图3. 解：(1)∵A (1，m )在一次函数y ＝2x 的图象上， ∴m ＝2.将A (1，2)代入反比例函数y ＝kx 得k ＝2，∴反比例函数的表达式为y ＝2x；(2)如解图所示，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接A ′B 交x 轴于点M ，此时MA ＋MB 最小， ∴点A 关于x 轴的对称点A ′(1，－2)， ∵B (2，1)，设A ′B 的表达式为y ＝nx ＋b ，代入点A ′、B 得⎩⎪⎨⎪⎧－2＝n ＋b ，1＝2n ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3，b ＝－5，∴直线A ′B 的表达式为y ＝3x －5. ∴点M 的坐标为(53，0).第3题解图4. 解：(1)①∵点B (－2，－1)在双曲线y ＝kx 上，∴k ＝(－2)×(－1)＝2. ∴反比例函数解析式为y ＝2x .∵点A (1，m )在双曲线y ＝2x 上，∴m ＝2. ∴A (1，2).∵点A 关于x 轴的对称点为点C ， ∴C (1，－2)；②∵直线l ：y ＝ax ＋b 经过点A (1，2)和点B (－2，－1)，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝a ＋b ，－1＝－2a ＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.∴直线l 的解析式为y ＝x ＋1； (2)1－3 ≤t ≤0或2≤t ≤1＋3 .【解法提示】如解图，∵点A 关于x 轴的对称点为点C ， ∴AC ∥y 轴． ∵BD ⊥y 轴，∴∠BDC ＝90°，D (1，－1). ∵C (1，－2)， ∴CD ＝1.①当点E 在点D 左侧时， 当∠CED ＝45°时，DE ＝CD ＝1， ∴t ＝0.当∠CE ′D ＝30°时，DE ′＝3 CD ＝3 ， ∴t ＝1－3 .∵30°≤∠CED ≤45°， ∴1－3 ≤t ≤0；②当点E 在点D 右侧时，同理可得，2≤t ≤1＋3 ， 综上所述，1－3 ≤t ≤0或2≤t ≤1＋3 .第4题解图。

备战2019年中考二轮讲练测（精选重点典型题）专题5 一次函数的图象和性质（讲案）一讲考点——考点梳理（一）概念1、一次函数：一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数.正比例函数：特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）.这时，y 叫做x 的正比例函数.（二）函数的图象1.一次函数的图象：所有一次函数的图象都是一条直线（三）函数图象的主要特征一次函数b kx y +=的图象是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图象是经过原点（0，0）的直线；|k|越大，直线越陡，|k|越小直线越缓.（四）函数的性质1.正比例函数的性质一般地，正比例函数kx y =有下列性质：（1）当k ＞0时，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；（2）当k ＜0时，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小.2.一次函数的性质一般地，一次函数b kx y +=有下列性质：（1）当k ＞0时，y 随x 的增大而增大（2）当k ＜0时，y 随x 的增大而减小（五）函数解析式的确定待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法.二讲题型——题型解析（一）对一次函数图象与系数的关系的考查.例1、如图，直线m ⊥n ，在某平面直角坐标系中，x 轴∥m ，y 轴∥n ，点A 的坐标为（－4，2），点B 的坐标为（2，－4），则坐标原点为（ ）A ．O 1B ．O 2C ．O 3D ．O 4 （二）对一次函数图象与几何变换的考查.例2、如图示直线33y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当直线绕着点A 按顺时针方向旋转到与x 轴首次重合时，点B 运动的路径的长度为 ．（三）对两条直线相交或平行的考查例3、如图，已知直线l 1：y =﹣2x +4与直线l 2：y =kx +b （k ≠0）在第一象限交于点M ．若直线l 2与x 轴的交点为A （﹣2，0），则k 的取值范围是（ ）A ．﹣2＜k ＜2B ．﹣2＜k ＜0C ．0＜k ＜4D ．0＜k ＜2（四） 对点的坐标规律的考查例4、如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线33y x=-上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O1的位置，使点O1的对应点O2落在直线33y x=-上，依次进行下去…若点B的坐标是（0，1），则点O12的纵坐标为．例5如图，点A1（1，1）在直线y=x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线32y x=于点B1，B2，过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2，过点A2作x轴的平行线交直线32y x=于点B3，…，按照此规律进行下去，则点A n的横坐标为．（五）对函数图象上线段、距离最短的考查例6如图，直线243y x=+与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（）A ．（﹣3，0）B ．（﹣6，0）C ．（32-，0）D ．（52-，0） （六）对线段、面积计算的考查例7、如图，过点A （2，0）作直线l ：33y x =的垂线，垂足为点A 1，过点A 1作A 1A 2⊥x 轴，垂足为点A 2，过点A 2作A 2A 3⊥l ，垂足为点A 3，…，这样依次下去，得到一组线段：AA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，则线段A 2016A 2107的长为（ ）A ．20153()2B ．20163()2C ．20173()2D ．20183()2 （七）一次函数与几何的综合问题例8如图，已知一次函数443y x =-+的图象是直线l ，设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ． （1）求线段AB 的长度；（2）设点M 在射线AB 上，将点M 绕点A 按逆时针方向旋转90°到点N ，以点N 为圆心，NA 的长为半径作⊙N ．①当⊙N 与x 轴相切时，求点M 的坐标；②在①的条件下，设直线AN 与x 轴交于点C ，与⊙N 的另一个交点为D ，连接MD 交x 轴于点E ，直线m 过点N 分别与y 轴、直线l 交于点P 、Q ，当△APQ 与△CDE 相似时，求点P 的坐标．三讲方法——方法点睛（一）解决有关函数的问题主要要结合图象进行（1）正比例函数图象上点的纵坐标y与横坐标x之比，是固定不变的，等于常量k.图象在横轴上方的部分都有y>0；在横轴下方的部分都有y<0；与横轴的交点都有y=0.（2）直线y=kx+b（k≠0)与直线y=kx平行，是由直线y=kx平移不|b|个单位得到的，平移的方向，当b>0时，向上；当b<0时，向下.（3）对于一次函数的一次项系数k，当k>0时，y随x的增大而增大，从左向右看，直线呈上升趋势，当k<0时，y随x的增大而减小，从左向右看，直线呈下降趋势．（二）运用待定系数法时，常用的方法是：按所求的函数类型，设也解析式；把题目中提供的坐标代入所设解析式中；解这个方程或者方程组；解这个方程或方程组，得到待定系数的值；将求出的结果代入所设的解析式中，得到函数解析式.通常，有几个待定系数，就要列几个方程，也就需要几个点的坐标.（三）解决两个函数图象在同一坐标系中表示的时候，要注意相同字母的取值是一样的，解选择题时，通常用排除法.四练实题——随堂小练1.已知点A在函数11yx=-（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对2.当12≤X≤2时，函数y=2x+b的图象上到少有一个点在函数1yx=的图象下方，则b的取值范围为（）A．b≥22B．b＜92C．b＜3D．22＜b＜923.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是A. B.C. D.4.规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．则下列说法正确的是．（写出所有正确说法的序号）①当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=6；②当x=﹣2.1时，[x]+（x）+[x）=﹣7；③方程4[x]+3（x）+[x）=11的解为1＜x＜1.5；④当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有两个交点．5.如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，将沿直线AB翻折，得，则点C的坐标为________．6.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则A n的坐标是．7.如图，在平面直角坐标系中，直线l：33y x=与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是；（2）设点P为线段OB的中点，连结P A，PC，若∠CP A=∠ABO，则m的值是．9．如图，一次函数364y x=+的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线CE的解析式；（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．五练原创——预测提升1．已知函数y=ax+b 经过（2，4），（1，﹣1），则a ﹣b=（ ）A ．1B ．﹣5C ．5D ．112．如图，函数y=x 和y=ax+3的图象相交于点A （m ，4），则不等式x≥ax+3的解集为（ ）A ．x≥4B ．x≤4C ．x≤2D ．x≥23． 已知直线l 1：y =﹣3x +b 与直线l 2：y =﹣kx +1在同一坐标系中的图象交于点（1，﹣2），那么方程组31x y b kx y +=⎧⎨+=⎩的解是（ ） A ．12x y =⎧⎨=-⎩ B ．12x y =⎧⎨=⎩C ．12x y =-⎧⎨=-⎩D ．12x y =-⎧⎨=⎩ 4．如图，已知直线l ：y =2x ，分别过x 轴上的点A 1（1，0）、A 2（2，0）、…、A n （n ，0），作垂直于x 轴的直线交l 于点B 1、B 2、…、B n ，将△OA 1B 1，四边形A 1A 2B 2B 1、…、四边形A n ﹣1A n B n B n ﹣1的面积依次记为S 1、S 2、…、S n ，则S n =（ ）A ．n 2B ．2n +1C ．2nD ．2n ﹣15. 如图所示，已知点C （1，0），直线y =﹣x +7与两坐标轴分别交于A ，B 两点，D ，E 分别是AB ，OA 上的动点，则△CDE 周长的最小值是 ．6. 如图，点A 的坐标为（﹣4，0），直线3y x n =+与坐标轴交于点B 、C ，连接AC ，如果∠ACD =90°，则n 的值为 ．7. 直线y =kx +b 与抛物线214y x =交于A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）两点，当 OA ⊥OB 时，直线AB 恒过一个定点，该定点坐标为 ．8.在平面直角坐标系xOy 中，直线()y kx 4k 0=+≠与y 轴交于点A.（1）如图，直线y 2x 1=-+与直线()y kx 4k 0=+≠交于点B ，与y 轴交于点C ，点B 横坐标为1-.①求点B 的坐标及k 的值；②直线y 2x 1=-+与直线y kx 4=+与y 轴所围成的△ABC 的面积等于 ；（2）直线()y kx 4k 0=+≠与x 轴交于点E （0x ，0），若02<x <1--，求k 的取值范围．9. 已知点P （0x ，0y ）和直线y =k x +b ，则点P 到直线y =kx +b 的距离证明可用公式d 0021kx y b k -++计算．例如：求点P （﹣1，2）到直线y =3x +7的距离．解：因为直线y =3x +7，其中k =3，b =7．所以点P （﹣1，2）到直线y =3x +7的距离为：d =0021kx y b k -++=23(1)271k ⨯--++=210=105． 根据以上材料，解答下列问题：（1）求点P （1，﹣1）到直线y =x ﹣1的距离； （2）已知⊙Q 的圆心Q 坐标为（0，5），半径r 为2，判断⊙Q 与直线39y x =+的位置关系并说明理由； （3）已知直线y =﹣2x +4与y =﹣2x ﹣6平行，求这两条直线之间的距离．。

第三章限时检测卷(时间：80分钟 分值：100分 得分： )一、选择题(本大题9小题，每小题3分，共27分) 1．函数y ＝5x －1中，自变量x 的取值范围是( D )A ．x ≠0B ．x ＞1C ．x ＜1D ．x ≠12．已知点P 位于x 轴上方，到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为5，则点P 坐标为( D ) A ．(2，5)B ．(5，2)C ．(2，5)或(－2，5)D ．(5，2)或(－5，2)3．下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是( A ) A ．y ＝x 3B ．y ＝－x3C ．y ＝3xD ．y ＝－3x4．P ，Q 为反比例函数y ＝－2x 图象上任意两点，若S △OAP 记为S 1，S △OBQ 记为S 2，则S 1和S 2的大小关系是( A )A ．S 1＝S 2B ．S 1＞S 2C ．S 1＜S 2D ．无法判断5．由二次函数y ＝－2x 2＋4x ＋1的图象得到y ＝－2x 2的图象的平移方式是( C ) A ．向左移动1个单位，向上移动3个单位 B ．向右移动1个单位，向上移动3个单位 C ．向左移动1个单位，向下移动3个单位 D ．向右移动1个单位，向下移动3个单位6．(2020温州)已知(－3，y 1)，(－2，y 2)，(1，y 3)是抛物线y ＝－3x 2－12x ＋m 上的点，则( B )A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 3＜y 1＜y 2C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 1＜y 3＜y 27．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是( C )A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 28．(2020宁夏)如图，函数y 1＝x ＋1与函数y 2＝2x 的图象相交于点M (1，m )，N (－2，n )．若y 1＞y 2，则x 的取值范围是( D )A ．x ＜－2或0＜x ＜1B ．x ＜－2或x ＞1C ．－2＜x ＜0或0＜x ＜1D ．－2＜x ＜0或x ＞1第8题图 第9题图9．(2020恩施州)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于A (－2，0)、B (1，0)两点．则以下结论：①ac ＞0；②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝－1；③2a ＋c ＝0；④a －b ＋c ＞0.其中正确的个数有( C )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)10．在平面直角坐标系中，点P (2，－3)关于x 轴对称的点的坐标为 (2，3) ． 11．已知点(－3，a ＋2)在x 轴上，则a ＝ －2 ．12．若抛物线y ＝(a －1)x 2开口向上，则a 的取值范围是 a ＞1 ．13．如图，A ，B 的坐标分别为(1，0)，(0，2)，若将线段AB 平移至A 1B 1，点A 1，点B 1的坐标分别为(2，a )，(b ，3)，则a ＋b ＝ 2 ．第13题图第15题图14．(2020连云港)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为”可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x (单位：min)满足函数表达式y ＝－0.2x 2＋1.5x －2，则最佳加工时间为 3.75 min.15．如图所示，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝x 2－4x ＋6上运动，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，以AB 为斜边作Rt △ABC ，则AB 边上的中线CD 的最小值为 1 ．三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)16．已知函数y ＝2x ＋4的图象与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D .(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出y ＝－x ＋2的图象，求当x 为何值时，函数值y ＞0；(2)若y ＝－x ＋2图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，求△ABO 周长；(3)函数y ＝2x ＋4的图象与函数y ＝－x ＋2的图象交于点P ，求四边形PCOB 的面积．解：(1)当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0时，x ＝2. 函数图象如图所示，由图象可知，当x ＜2时，y ＞0. (2)由(1)得，OA ＝2，OB ＝2，∵∠AOB ＝90°，∴AB ＝22＋22＝22， ∴△AOB 的周长为OA ＋OB ＋AB ＝4＋2 2.(3)依题意，得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，83，C 点坐标为(－2，0)． ∵S △PCA ＝12×83×4＝163，S △AOB ＝12×2×2＝2，∴四边形PCOB 的面积＝S △PCA －S △AOB .即163－2＝103. 17．如图，在平面直角坐标系中，已知点B (0，4)，等边三角形OAB 的顶点A 在反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象上．(1)求反比例函数的解析式；(2)把△OAB 沿y 轴向上平移a 个单位长度，对应得到△O ′A ′B ′.求当反比例函数的图象经过△O ′A ′B ′一边的中点时a 的值．解：(1)如图，过点A 作AC ⊥BO 于点C ．∵△OAB 是等边三角形， ∴∠AOB ＝60°，OC ＝12OB .∵B (4，0)，∴OC ＝2，AC ＝2 3.把点A 的坐标(23，2)代入y ＝kx ，得k ＝4 3.∴反比例函数的解析式是y ＝43x. (2)分两种情况讨论：①当反比例函数y ＝43x 过边A ′B ′的中点时．∵边A ′B ′的中点坐标为(3，3＋a )， ∴3＋a ＝433，得a ＝1.②当反比例函数y ＝43x 过边O ′A ′的中点时．∵边O ′A ′的中点坐标为(3，1＋a )， ∴1＋a ＝433，得a ＝3.综上所述，a 的值是1或3.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝3x ＋2的图象与y 轴交于点A ，与反比例函数y ＝kx (k ≠0)在第一象限内的图象交于点B ，且点B 的横坐标为1.过点A 作AC ⊥y轴交反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象于点C ，连接BC ．(1)求反比例函数的表达式． (2)求△ABC 的面积．解：(1)∵点B 在一次函数y ＝3x ＋2的图象上，且点B 的横坐标为1， ∴y ＝3×1＋2＝5，∴点B 的坐标为(1，5)． ∵点B 在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝1×5＝5.∴反比例函数的表达式为y ＝5x.(2)∵一次函数y ＝3x ＋2的图象与y 轴交于点A ，∴当x ＝0时，y ＝2.∴点A 的坐标为(0，2)． ∵AC ⊥y 轴，∴点C 的纵坐标是2. ∵点C 在反比例函数y ＝5x 的图象上，∴当y ＝2时，2＝5x ，解得x ＝52.∴AC ＝52.过B 作BD ⊥AC 于D ，则BD ＝y B －y C ＝5－2＝3. ∴S △ABC ＝12AC ·BD ＝12×52×3＝154.四、解答题(二)(本大题4小题，共31分)19．(7分)某快递公司的每位”快递小哥”日收入与每日的派送量成一次函数关系，如图所示．(1)求每位”快递小哥”的日收入y (元)与日派送量x (件)之间的函数关系式； (2)已知某”快递小哥”的日收入不少于110元，则他每日至少要派送多少件？解：(1)设每位”快递小哥”的日收入y (元)与日派送量x (件)之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，将(0，70)、(30，100)代入y ＝kx ＋b ，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝70，30k ＋b ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝70. ∴每位”快递小哥”的日收入y (元)与日派送量x (件)之间的函数关系式为y ＝x ＋70. (2)根据题意得x ＋70≥110，解得x ≥40.答：某”快递小哥”的日收入不少于110元，则他每日至少要派送40件．20．(8分)某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．(1)若设该种品牌玩具上涨x 元(0＜x ＜60)元，销售利润为w 元，请直接写出w 与x 之间的函数关系式；(2)若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润． 解：(1)根据题意，得w ＝(600－10x )(10＋x )＝－10x 2＋500x ＋6 000. (2)w ＝－10x 2＋500x ＋6 000＝－10(x －25)2＋12 250. ∵a ＝－10＜0，∴当销售价格定为40＋25＝65(元)时，利润最大，最大利润为12 250元．答：商场销售该品牌玩具的销售单价应定为65元才能获得最大利润，最大利润是12 250元．21．(8分)如图，矩形ABCD 的两边长AB ＝18 cm ，AD ＝4 cm ，点P ，Q 分别从A 、B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．当Q 到达C 点时，P ，Q 停止运动．设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y (cm 2)．(1)求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； (2)求△PBQ 的面积的最大值．解：(1)∵S △PBQ ＝12PB ·BQ ，PB ＝AB －AP ＝18－2x ，BQ ＝x ，∴y ＝12(18－2x )x ，即y ＝－x 2＋9x (0＜x ≤4)．(2)由(1)知，y ＝－x 2＋9x ，∴y ＝－⎝⎛⎭⎫x －922＋814. ∵当0＜x ≤92时，y 随x 的增大而增大，而0＜x ≤4，∴当x ＝4时，y 最大值＝20， 即△PBQ 的最大面积是20 cm 2.22．(8分)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？解：(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y ＝a (x －3)2＋5(a ≠0，且x ＞0)．将(8，0)代入y ＝a (x －3)2＋5，得25a ＋5＝0. 解得a ＝－15.∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y ＝－15(x －3)2＋5(0＜x ＜8)．(2)当y ＝1.8时，有－15(x －3)2＋5＝1.8.解得x 1＝－1(舍去)，x 2＝7.∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．。