四年级商不变的规律

四年级上册数学商不变的规律数学是一个广阔的领域，商不变的规律是数学中非常重要的一个概念。

商不变的规律是指在一个乘法算式中，如果被乘数和乘数的乘积不变，那么被除数和除数的商也不变。

商不变的规律在数学中有很多应用，特别是在代数、几何和实际问题中。

它是数学中一个非常重要的基本概念，可以帮助我们更好地理解数学知识和解决问题。

商不变的规律可以通过具体的例子来理解。

比如，我们可以考虑一个简单的乘法算式：2 × 3 = 6。

在这个算式中，被乘数是2，乘数是3，它们的乘积是6。

如果我们将这个算式改写成一个除法算式：6÷ 3 = 2，我们会发现被除数是6，除数是3，它们的商也是2。

这就是商不变的规律：在一个乘法算式中，如果被乘数和乘数的乘积不变，那么被除数和除数的商也不变。

商不变的规律在解决代数问题时特别有用。

比如，我们可以考虑一个代数方程式：3x = 9。

在这个方程式中，如果我们将3除到等号的另一边，我们会得到x = 3。

这就是因为商不变的规律：等号两边的商不会改变。

这样，我们就可以利用商不变的规律来解代数问题。

商不变的规律也在几何中有重要的应用。

比如，我们可以考虑一个三角形和它的相似三角形。

如果两个三角形是相似的，它们的对应边的比例是相等的。

这就是因为对应边的比例是它们的商，根据商不变的规律，它们的比例是不变的。

商不变的规律还在实际问题中有很多应用。

比如，我们可以考虑一个购物问题：如果一种商品的价格是原来的2倍，但是打了5折，那么最终的价格是多少？我们可以利用商不变的规律来解决这个问题：原来的价格和打折后的价格的商是不变的。

总的来说，商不变的规律是数学中非常重要的一个概念，它有很多应用。

在代数、几何和实际问题中，商不变的规律可以帮助我们更好地理解问题，解决问题。

通过学习和理解商不变的规律，我们可以提高数学的能力，更好地应用数学知识。

希望通过不断的学习和实践，我们可以更好地掌握商不变的规律，更好地解决数学问题。

小学四年级数学《商不变的规律》教案一、教学目标1.让学生掌握商不变的规律，能够运用规律解决实际问题。

3.激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学素养。

二、教学重难点重点：理解并掌握商不变的规律。

难点：运用商不变的规律解决实际问题。

三、教学过程1.导入新课师：同学们，我们先来回顾一下之前学过的除法运算。

请大家举例说明什么是除法？生：除法是一种运算，用来求一个数是另一个数的几倍或者另一个数的几分之几。

师：很好！那么，我们在进行除法运算时，有什么规律呢？今天我们就来学习商不变的规律。

2.探究商不变的规律（1）观察例子，发现规律师：请大家看黑板上的例子，观察这些例子的商是否发生了变化？例子：10÷2=520÷4=530÷6=540÷8=5生：我发现，这些例子的商都是5，没有发生变化。

师：很好！那么，我们再来观察一下，这些例子的被除数和除数有什么关系？生：我发现，被除数和除数同时乘以或者除以一个相同的数，商不变。

师：经过观察，我们发现了一个重要的规律：在除法算式中，如果被除数和除数同时乘以或除以一个相同的数（不为0），商不变。

这就是我们今天要学习的商不变的规律。

3.应用规律解决问题（1）课堂练习题目：1.如果8÷2=4，那么80÷20=?2.如果12÷3=4，那么120÷30=?3.如果15÷5=3，那么150÷50=?生：依次回答问题，并说明解题过程。

（2）实际应用师：我们来看一些生活中的实际问题，看看如何运用商不变的规律来解决。

题目：1.小明每天吃3个苹果，4天能吃多少个苹果？2.小红每天吃6个香蕉，3天能吃多少个香蕉？3.小刚每天喝2瓶饮料，5天能喝多少瓶饮料？生：依次回答问题，并说明解题过程。

师：通过今天的学习，我们掌握了商不变的规律。

这个规律在我们的日常生活中有着广泛的应用。

希望大家能够运用这个规律，解决更多实际问题。

商不变的规律（教案）苏教版四年级上册数学在今天的课堂上，我们将一起探索数学中一个有趣的概念——商不变的规律。

这个概念可以帮助我们在进行除法运算时，简化计算过程。

现在，请同学们打开苏教版四年级上册的数学书，翻到第66页，我们来学习第11节的內容。

一、教学内容今天我们将学习的内容是第11节“商不变的规律”。

我们将通过具体的例子，来探讨在除法运算中，如何找到一种简化的方法，使得计算更加容易。

二、教学目标通过本节课的学习，我希望同学们能够理解并掌握商不变的规律，并在实际计算中能够灵活运用。

三、教学难点与重点重点是理解商不变的规律，并能够在实际的计算中应用。

难点在于理解当被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数时，商保持不变的原理。

四、教具与学具准备五、教学过程1. 引入：我们将通过一个简单的除法问题来引入今天的主题。

比如，计算30除以6。

同学们可以先自己尝试计算，然后我们一起讨论如何简化这个计算过程。

2. 探索规律：通过多个例子，我们一起探索发现，当被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数时，商保持不变。

比如，30除以6和300除以60，它们的商都是5。

4. 应用规律：我们将通过一些实际的计算题，来运用这个规律，同学们可以尝试自己解决问题，然后我们一起讨论解题过程。

六、板书设计板书设计将包括本节课的主要内容和关键点，如商不变的规律的数学表达式。

七、作业设计作业将包括一些运用商不变规律的计算题，比如：1. 计算45除以9。

2. 计算450除以90。

答案：1. 45除以9的商是5。

2. 450除以90的商也是5。

八、课后反思及拓展延伸通过本节课的学习，我希望同学们能够理解并掌握商不变的规律，并在实际计算中能够灵活运用。

同时，我也希望同学们能够通过课后作业，进一步巩固所学的内容。

对于那些在课堂上还没有完全掌握的同学，我鼓励他们在课后多做一些练习，或者来找我进行讨论。

我相信通过不断的练习和思考，同学们一定能够掌握这个重要的数学概念。

四年级上商不变的规律在我们四年级的数学学习中，有一个非常重要的规律叫做“商不变的规律”。

这个规律就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们更轻松地解决很多数学问题。

那什么是商不变的规律呢？咱们先来举个例子。

比如说，我们有 12 个苹果，要平均分给 3 个人，每个人能得到 4 个苹果，算式就是 12÷3 ＝ 4。

那如果现在有 24 个苹果，平均分给 6 个人，每个人能得到几个苹果呢？算一下，24÷6 ＝ 4。

你看，虽然被除数从 12 变成了 24，除数从 3 变成了 6，但商还是 4，没有变化。

再比如，60÷15 ＝ 4，那 120÷30 呢？答案还是 4。

通过这些例子，我们就能发现商不变的规律啦：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。

为什么 0 要除外呢？这是因为 0 不能做除数呀，如果除数是 0，这个算式就没有意义了。

那商不变的规律有什么用呢？用处可大啦！比如说，我们要计算 700÷25，直接算可能有点麻烦。

但我们可以根据商不变的规律，把被除数和除数同时乘 4，就变成了（700×4）÷（25×4）＝ 2800÷100 ＝ 28，这样是不是就简单多啦？再比如，我们计算 5600÷400，同样可以利用商不变的规律，被除数和除数同时除以 100，变成 56÷4 ＝ 14。

商不变的规律还能帮助我们检验计算的结果是否正确。

比如我们计算 36÷9 ＝ 4，那如果被除数和除数同时乘 2，变成 72÷18，按照商不变的规律，商也应该是4，如果我们算出来不是4，那就说明可能算错啦。

同学们在运用商不变的规律时，一定要注意同时乘或除以相同的数，而且这个数不能是 0。

为了更好地掌握商不变的规律，我们可以多做一些练习题。

比如：1、填空：（1）36÷9 ＝（）÷3 （2）480÷80 ＝（）÷82、简便计算：（1）800÷25 （2）9000÷125通过这些练习，我们就能更加熟练地运用这个规律，提高我们的计算能力和解题速度。

四年级上册数学商不变的规律笔记一、概述在四年级的数学学习中，商不变的规律是一个非常重要的概念。

通过商不变的规律，我们可以更好地理解和运用乘法的相关知识，进而在解决实际问题时更加得心应手。

本文将从商不变的概念、规律的应用以及相关练习等方面展开讲解，帮助同学们更好地掌握这一部分知识。

二、商不变的概念商不变的概念指的是，在一个乘法运算中，无论先算乘法式中的哪两个数，最后得到的积是相同的。

对于乘法式3×4=12，不论先算3×4还是4×3，最终得到的积都是12，这就是商不变的规律。

在实际生活中，商不变的规律也有着广泛的应用。

我们去商场购物时，商品的价格和数量构成了乘法式，而不管我们是先看价格再看数量，还是先看数量再看价格，最终要支付的金额都是相同的，这就符合了商不变的规律。

三、商不变的规律及运用1. 乘法交换律商不变的规律与乘法交换律有着密切的关系。

乘法交换律是指，两个数相乘，交换两数的位置所得的积是相等的。

这也是商不变的规律的一个体现。

对于乘法式2×6=12，根据乘法交换律，也可以写成6×2=12。

而根据商不变的规律，不论是先算2×6还是6×2，最终得到的积都是12。

2. 商的分配律商不变的规律还与商的分配律有着密切的通联。

商的分配律是指，在一个乘法运算中，可以按照加法的性质把一个数分成几部分，然后分别与其他数相乘，最后将这些积相加得到的结果是相同的。

对于乘法式3×（4+2），按照商的分配律，可以得到3×4+3×2=12+6=18。

而根据商不变的规律，无论是先算3×4+3×2还是先算3×（4+2），最终得到的结果都是相同的。

3. 解决实际问题商不变的规律在解决实际问题时也非常有用。

小明去超市买了3斤苹果，每斤苹果6元，那么他一共需要支付多少钱呢？按照商不变的规律，我们可以先算3×6=18，也可以先算6×3=18，最终得到的结果都是18元，这就是商不变的规律在实际问题中的应用。

第六单元除数是两位数的除法第 4 节商的变化规律【知识梳理】1.商不变的规律：被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变。

2.商随除数或被除数变化的规律：（1）除数不变，商随被除数变化的规律：被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或除以）几。

（2）被除数不变，商随除数变化的规律：除数乘（或除以）几（0除外），商反而除以（或乘）几。

3.商不变的规律的应用：应用商不变的规律，不仅可以使口算简便，还可以使笔算简便。

例. 780÷30=78÷3=26125÷25=（125×4）÷（25×4）=500÷100=54.余数问题：在有余数的除法中，如果被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），它们的余数也随之乘或除以这个数。

5.温馨提示：①根据商不变的规律，被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变，但余数发生了变化，要得到原来的余数，就要用现在的余数乘（或除以）这个数。

②被除数和除数同乘或同除以的这个数不能是0，因为当除数是0时，算式没有意义。

③除数不变时，商和被除数的变化完全相同。

④被除数不变时，商和除数的变化正好相反。

【诊断自测】1.口算题。

90÷30= 400÷200= 600÷20= 1200÷60=240÷40= 1800÷90= 350÷50= 4900÷700=2.填空。

（1）被除数不变，除数乘10，商要（）。

（2）除数不变，被除数除以5，商要（）。

（3）被除数和除数同时除以10，商（）。

3.用竖式计算。

（1） 510÷30= （2）8000÷500= （3） 1700÷200=4.简便计算。

1100÷25 5000÷125 640÷165.根据480÷60=8，直接写出下面各题的商。

《商不变的规律》（教案）-四年级上册数学人教版教学内容：本节课主要学习的是商不变的规律，即在进行除法运算时，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。

通过实例让学生理解和掌握这一规律，并能运用到实际计算中。

教学目标：1. 让学生理解和掌握商不变的规律。

2. 培养学生运用商不变的规律进行简便计算的能力。

3. 培养学生观察、分析、总结问题的能力。

教学难点：1. 让学生理解并掌握商不变的规律。

2. 引导学生运用商不变的规律进行简便计算。

教具学具准备：1. 教师准备PPT、计算器等教具。

2. 学生准备草稿纸、笔等学具。

教学过程：1. 导入：通过PPT展示一些除法题目，让学生回顾除法的基本概念和计算方法。

2. 新课导入：教师讲解商不变的规律，并通过实例进行演示。

3. 学生练习：让学生根据商不变的规律进行计算练习，教师巡回指导。

4. 小组讨论：学生分组讨论商不变的规律在实际计算中的应用，分享各自的发现和经验。

5. 总结讲解：教师对学生的讨论进行总结，强调商不变的规律的重要性和应用方法。

6. 课堂练习：教师出示一些题目，让学生运用商不变的规律进行简便计算。

7. 课堂小结：教师对本节课的内容进行总结，强调商不变的规律在实际计算中的应用。

板书设计：1. 《商不变的规律》2. 正文内容：商不变的规律的定义、实例演示、计算练习、小组讨论、总结讲解、课堂练习、课堂小结。

作业设计：1. 请学生完成课后练习题，巩固商不变的规律的应用。

2. 让学生回家后与家长分享商不变的规律，并举例说明。

课后反思：本节课通过讲解、演示、练习、讨论等方式，让学生理解和掌握了商不变的规律，并能运用到实际计算中。

但在教学过程中，可能存在学生对商不变的规律理解不深、练习不够的情况。

在今后的教学中，教师应加强对学生的个别辅导，提高学生的计算能力和问题解决能力。

同时，注重培养学生的观察、分析、总结问题的能力，提高学生的数学素养。

重点关注的细节：教学内容与教学过程的紧密结合详细补充和说明：教学内容是教学过程中的核心，而教学过程则是实现教学内容的手段。

四年级上册数学商不变的规律一、什么是商不变在数学中，商不变是指在进行除法运算时，如果被除数和除数同时乘以或除以同一个非零数，所得的商与原来的商相同。

二、商不变的规律原理商不变的规律原理可以表示为：(被除数×除数)÷(除数×n) = 商其中，n 是一个非零的数。

这个原理可以用来简化除法运算，同时也可以在乘法和除法之间进行转换。

三、如何利用商不变规律进行乘法计算利用商不变规律进行乘法计算的方法如下：1. 将乘法运算转化为除法运算：将被乘数除以除数，得到一个商。

2. 将除数乘以一个数：将除数乘以一个数，使它变得容易计算。

3. 计算新的商：将得到的新的被除数除以新的除数，得到一个新的商。

这个新的商与原来的商相同。

例如，计算16×20 的方法如下：1. 将乘法运算转化为除法运算：16÷20=0.8。

2. 将除数乘以一个数：将20 乘以5，得到100。

3. 计算新的商：将得到的新的被除数16 除以新的除数100，得到一个新的商0.16。

这个新的商与原来的商0.8 相同。

因此，16×20=320。

四、如何利用商不变规律进行除法计算利用商不变规律进行除法计算的方法如下：1. 将除法运算转化为乘法运算：将被除数乘以除数的倒数，得到一个积。

2. 将除数乘以一个数：将除数乘以一个数，使它变得容易计算。

3. 计算新的积：将得到的新的被除数乘以新的除数的倒数，得到一个新的积。

这个新的积与原来的积相同。

例如，计算40÷20 的方法如下：1. 将除法运算转化为乘法运算：40×(1/20)=2。

2. 将除数乘以一个数：将20 乘以5，得到100。

3. 计算新的积：将得到的新的被除数40 乘以新的除数的倒数1/100，得到一个新的积0.4。

这个新的积与原来的积 2 相同。

因此，40÷20=2。

五、商不变规律在日常生活中的应用商不变规律在日常生活中的应用很多，比如在商业、工程、医学等领域。

小结：
1.除法的商不变性质：被除数和除数同时乘或者除以一个相同数（0除外），商不变。

2.商变化规律：
（1）被除数不变，除数扩大或缩小几倍（0除外），商反而缩小或扩大几倍。

（2）除数不变，被除数扩大或缩小几倍（0除外），商也扩大或缩小几倍。

课后作业：
一、填空
1、如果除数缩小10倍，要使商不变,那么被除数要( )。

2、如果被除数和除数都缩小20倍,那么商就( )。

3、要使商不变，那除数和被除数要（）。

4、两数相除的商是20，如果要使商变成40 ，怎么办？
（）
二、判断
1、（60 ÷3）÷（12×3）…………………………（）
2、63÷7=（63÷10）÷（7÷10）…………………… （）
3、被除数不变，如果除数除以3，商也会除以3。

……… （）
三、竖式计算（运用商不变性质）。

680÷20= 960÷80= 2600÷200= 850÷50= 7440÷620= 980÷70=
四、计算
五、想一想，算一算。

【参考答案】
【经典例题】
一、2 ÷3 ×12
二、4 40 4 4
三、××√××
四、300 60 40 32
五、4 5 3
【课堂练习】
一、B A B
二、9 80 8 12 40 8 120 900 8 120 160 90
三、√××。

四年级数学上册《商不变的规律》知识点+专项练习.DOC1、商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外）;商不变。

2、根据商不变的性质计算150÷25 800÷25 20xx÷125因为25乘4能得到100;125乘8能得到1000;所以将被除数和除数同时扩大4倍、8倍。

3、被除数不变;除数扩大或缩小若干倍（0除外）;商随着缩小或扩大相同的倍数。

4、除数不变;被除数扩大或缩小若干倍（0除外）;商随着扩大或缩小相同的倍数。

四年级上册商不变的规律练习题1. 填空。

（1）在一道除法算式里;如果被除数除以5;除数也除以5;商（）。

（2）在一道除法算式里;如果被除数乘10;要使商不变;除数（）。

（3）在一道除法算式里;如果除数除以100;要使商不变;被除数（）。

2、根据每组第一个算式的结果;直接写出第二、第三个算式的得数。

（1）18 ÷6=3（18×2）÷（6×2）=（18×3）÷（6×3）=（2）480÷10=48（480 ÷2）÷（10 ÷2）=（480 ÷5）÷（10÷5）=3、在○里填运算符号;在□里填适当的数。

（1）24÷8＝（24×2）÷（8×□）（2）360÷60=（360÷10）÷（60○10）（3）96÷6＝（96○□）÷（6○□）4、列竖式计算：7800÷600=540÷60＝8800÷80＝5．40秒竞赛。

240÷30＝80÷20＝360÷90＝4800÷400＝440÷20＝9600÷800＝120÷40＝2400÷60＝6、两个因数相乘;如果一个因数缩小5倍;另一个因数扩大5倍;积有什么变化？1、被除数扩大3倍;除数不变;商（）2、被除数缩小3倍;除数不变;商（）3、被减数减少15;减数减少5;差（）4、被减数增加15;减数减少5;差（）5、两个加数都扩大了8倍;则和扩大（）倍6、两数相减,被减数、减数都扩大了8倍;则差扩大（）倍7、两数相乘;如果一个因数增加3;积就增加51;如果另一个因数减少6;积就减少150;那么两个因数分别是（）（）8、减数和差相减为0;那么被减数是减数是（）9、被除数、除数和余数的和1600。