【数学】江苏地区南师附中,天一,淮中,海门中学四校联考2017年度高三(下)试卷(理)(解析版)

2020届江苏省四校2017级高三下学期4月联考数学试卷★祝考试顺利★参考公式:一组数据12,,,n x x x L 的方差为:2211(),ni i s x x n ==-∑其中x 是数据12,,,n x x x L 的平均数. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分｡请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合A={x|-1<x≤1}, B={-1,0,1},则A∩B=___.2.已知复数z 满足(1-i)z=|1+i|(i 为虚数单位),则z 的实部为____.3.若一组样本数据8, 9, x, 9, 10的平均数为9,则该组数据的方差为__.4.根据如图所示伪代码,最后输出的i 的值为____.5.从2名男同学和3名女同学中选2人参加某项活动,则至少有1名女同学被选中的概率为____.6.双曲线2213y x -=的准线方程为____. 7.已知*){}(n a n ∈N )为等差数列,其公差为-2,且6a 是2a 与8a 的等比中项,n S 为{}n a 的前n 项和,则10S 的值为_____.8.已知函数21()ln 2f x x x ax =-+,若函数f(x)在区间(1,2)上存在极值,则实数a 的取值范围为____.9.给出下列命题:①如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;②如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;③如果两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m 垂直;④如果两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中真命题的序号是_____.10. 已知函数()2cos()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象过点(0,2),且在区间[0,]2π上单调递减,则ω的最大值为____11. 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆22:(2)4,C x y -+=点A 是直线x-y+2=0上的一个动点,直线AP,AQ 分别切圆C 于P,Q 两点,则线段PQ 长的取值范围为_____.12. 已知正实数x, y 满足2()1,xy x y -=则x+y 的最小值为____.13. 如图,在梯形ABCD 中,AB//CD 且DC=2AB=2BC,E 为BC 的中点, AC 与DE 交于点O.若125,CB CD OA OD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 则∠BCD 的余弦值为____.14. 已知周期为6的函数f(x)满足f(4+x)= f(4-x),当x ∈[1,4]时,ln (),x f x x =则当323a e <≤时(e 为自然对数的底数),关于x 的不等式2()()0f x af x -<在区间[1,15]上的整数解的个数为_____.二､解答题:本大题共6小题,共90分｡请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡15. (本小题满分14分)如图,在四棱锥P- ABCD 中,底面ABCD 是菱形,M 为PC 的中点｡(1)求证:PA//平面BDM;(2)若PA=PC,求证:平面PBD ⊥平面ABCD.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考数学Ⅰ 必做题部分参考公式：锥体的体积公式：,31Sh V =锥体其中S 是锥体的底面积，h 是高． 一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1. 设集合}2,1,0{=A ，}3,2{2++=a a B ，}1{=B A ，则实数a 的值为________．2. 设复数z 满足5)43(=-z i （i 是虚数单位），则=z ________．3. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是________．4. 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为h km /90～h km /120，试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 辆．5. 将函数)0)(2sin(πϕϕ<<+=x y 的图象沿x 轴向左平移8π个单位，得到函数 )(x f y =的图象，若函数)(x f y =的图象过原点，则=ϕ_________．6. 已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为21，乙胜的概率为31，则甲胜的概率 为________．7. 设偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)1()12(f x f ≤-的x 的取值范围是_______．8. 在等比数列}{n a 中，已知3252-=a a ，443=+a a ，且公比为整数，则=10a ________．9. 如图，正四棱锥ABCD P -的底面一边AB 长为cm 32，侧面积为238cm ，则它的体积为________．A B C D P10. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线与圆1)2(22=++y x 没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为_________．11. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-2,log 2,)21()(3x x x x f a x （,0>a 且1≠a ）的值域是),2[+∞，则实数a 的取值范围是________．12. 已知ABC ∆外接圆O 的半径为2，且AO AC AB 2=+，||||AO AB =，则=⋅CB CA ________． 13．已知y x ,为正实数，则xy y x x ++22的最小值为________．14．设0))(3(2≤-+b x ax 对任意),0[+∞∈x 恒成立，其中b a ,是整数，则b a +的取值的集合为________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． （本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且ac b c a -=+222．（1）求B 的大小；（2）设BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，,1,32==BD AD 求C cos 的值． A B CD16． （本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，BC AD //，且AD BC 2=，CD PB CD AD ⊥⊥,，点E 在棱PD 上，且ED PE 2=．（1）求证:平面⊥PCD 平面PBC ；（2）求证://PB 平面AEC ．PC BD A E17． （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率22=e ，且点)1,2(P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点B A ,都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP （不包括端点）上．①求直线AB 的斜率；②求AOB ∆面积的最大值．18． （本小题满分16分）如图，B A ,是海岸线OM ，ON 的两个码头，Q 为海中一小岛，在水上旅游线AB 上，测得Q km OA MON ,6,3tan =-=∠到海岸线ON OM ,的距离分别为km 2，km 5107． （1）求水上旅游线AB 的长； （2）海中km PQ P 6(=，且OM PQ ⊥处的某试验产生的强水波圆P ，生成t 小时时的半径为km t r 23 66=．若与此同时，一游轮以h km / 218的速度自码头A 开往码头B ，试研究强水波是否波及游轮的航行? O M NP B A Q19． （本小题满分16分）设R b a ∈,，函数a x a e x f x--=ln )(，其中e 是自然对数的底数，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为0)1(=+--b y x e ．（1）求实数b a ,的值；（2）求证:函数)(x f y =存在极小值； （3）若),21[+∞∈∃x ，使得不等式0ln ≤--xm x x e x 成立，求实数m 的取值范围． 20． （本小题满分16分）（2）若2016,21<==m d a ，求m 的最大值；（3）是否存在正整数k ，满足)(3121121m m k k k k a a a a a a a a ++++=++++-++- ?若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考数学Ⅱ 附加题部分【选做题】本题包括D C B A ,,,四个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知圆上是弧AC =弧BD ，过点C 的圆的切线CE 与BA 的延长线交于点E ．（1）求证：BCD ACE ∠=∠；（2）求证：CD AE BD ⋅=2B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11e ，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 为θθρsin 2cos 4+=．曲线C 上的任意一点的直角坐标为),(y x ，求y x -的取值范围D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知关于x 的不等式b a x <+||的解集为}42|{<<x x ．（1）求实数b a ,的值；（2）求bt at ++12的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．22． （本小题满分10分）某商场举行抽奖促销活动，在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动：消费金额X （元） )1000,500[ )1500,1000[ ),1500[+∞抽奖次数 1 2 4抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取），若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元，（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金ξ 元。

南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考数学Ⅰ 必做题部分 2016.2参考公式：锥体的体积公式：,31Sh V =锥体其中S 是锥体的底面积，h 是高． 一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1. 设集合}2,1,0{=A ，}3,2{2++=a a B ，}1{=B A ,则实数a 的值为 2.设复数z 满足5)43(=-z i （i 是虚数单位），则=z 3.右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是4.在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为h km /90～h km /120,试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 辆.5.将函数)0)(2sin(πϕϕ<<+=x y 的图象沿x 轴向左平移8π个单位,得到函数 )(x f y =的图象,若函数)(x f y =的图象过原点,则=ϕ6.已知甲、乙两人下棋,和棋的概率为21，乙胜的概率为31，则甲胜的概率为7.设偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)1()12(f x f ≤-的x 的取值范围是8.在等比数列}{n a 中，已知3252-=a a ，443=+a a ，且公比为整数， 则=10a9.如图，正四棱锥ABCD P -的底面一边AB 长为cm 32， 侧面积为238cm ，则它的体积为10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线与圆1)2(22=++y x 没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为11.若函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-2,log 2,)21()(3x x x x f a x （,0>a 且1≠a ）的值域是),2[+∞，则实数a 的取值范围是12.已知ABC ∆外接圆O 的半径为2，且AO AC AB 2=+,||||AO AB =, 则=⋅CB CA 13.已知y x ,为正实数，则xyy x x ++22的最小值为 14.设0))(3(2≤-+b x ax 对任意),0[+∞∈x 恒成立，其中b a ,是整数，则b a +的取值的集合为二、解答题: 本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出AB CDPABCDPCBDAE文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且ac b c a -=+222. （1）求B 的大小；（2）设BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ,,1,32==BD AD 求C cos 的值.16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中,BC AD //,且AD BC 2=,CD PB CD AD ⊥⊥,, 点E 在棱PD 上,且ED PE 2=. （1）求证:平面⊥PCD 平面PBC ; （2）求证://PB 平面AEC .17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率22=e ,且点)1,2(P 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程;（2）若点B A ,都在椭圆C 上,且AB 中点M 在线段OP （不包括端点）上. ①求直线AB 的斜率; ②求AOB ∆面积的最大值.18．（本小题满分16分）如图,B A ,是海岸线OM,ON 的两个码头,Q 为海中一小岛,在水上旅游线AB 上, 测得Q km OA MON ,6,3tan =-=∠到海岸线ON OM ,的距离分别为km 2,km 5107.（1）求水上旅游线AB 的长;（2）海中km PQ P 6(=,且OM PQ ⊥处的某试验产生的强水波圆P ,生成t 小时时的半径为km t r 23 66=.若与此同时,一游轮以h km / 218的速度自码头A 开往码头B ,试研究强水波是否波及游轮的航行?19. （本小题满分16分）设R b a ∈,，函数a x a e x f x --=ln )(，其中e 是自然对数的底数，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为0)1(=+--b y x e . （1）求实数b a ,的值;（2）求证:函数)(x f y =存在极小值;（3）若),21[+∞∈∃x ,使得不等式0ln ≤--x m x x e x 成立,求实数m 的取值范围.20．（本小题满分16分）正项数列:*),4(,,,21N m m a a a m ∈≥ ,满足: *),(,,,,1321N k m k a a a a a k k ∈<- 是公差为d 的等差数列, k k m m a a a a a ,,,,,111+- 是公比为2的等比数列. （1）若8,21===k d a ,求数列m a a a ,,,21 的所有项的和m S ; （2）若2016,21<==m d a ,求m 的最大值;OMN PBAQ（3）是否存在正整数k ,满足)(3121121m m k k k k a a a a a a a a ++++=++++-++- ?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由.南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考数学Ⅱ 附加题部分21.【选做题】本题包括D C B A ,,,四个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知圆上是弧AC =弧BD ,过点C 的圆的切线CE 与BA 的延长线交于点E . （1）求证：BCD ACE ∠=∠; （2）求证：CD AE BD ⋅=2B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11e ，求矩阵A的逆矩阵1-A .C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系, 曲线C 为θθρsin 2cos 4+=.曲线C 上的任意一点的直角坐标为),(y x ,求y x -的取值范围.D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知关于x 的不等式b a x <+||的解集为}42|{<<x x . （1）求实数b a ,的值;（2）求bt at ++12的最大值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）某商场举行抽奖促销活动,在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动:消费金额X （元） )1000,500[ )1500,1000[ ),1500[+∞抽奖次数 1 2 4 抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取），若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元，（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金ξ 元。

2016年南师附中、天一、淮阴、海门中学调研测试数学I必做题部分注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：棱锥的体积公式：Sh V 31=，其中S 是棱锥的底面积，h 是棱锥的高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．设集合{0,1,2}A =，2{2,3}B a a =++，{1}A B =，则实数a 的值为 ▲ ． 2．设复数z 满足(34i)5z -=（i 为虚数单位），则z = ▲ ． 3．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统 计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120km/h ，试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 ▲ 辆．5．将函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+<<的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到函数()y f x =的图象，若函数()f x 的图像过原点，则ϕ= ▲ ．km/h ）6．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率为 ▲ ． 7．设偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足(21)(1)f x f -≤的x 的取值范围是 ▲ ．8．在等比数列{}n a 中，已知2532a a ⋅=-，344a a +=，且公比为整数，则10a = ▲ ．9．如图，正四棱锥P ABCD -的底面一边AB长为，侧面积为2，则它的体积为 ▲ ．10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y ++=没有公共点， 则该双曲线的离心率的取值范围为 ▲ ．11．若函数31(),2,()(02log ,2x a x f x a x x -⎧≤⎪=>⎨⎪>⎩且1)a ≠的值域是[2,)+∞，则实 数a 的取值范围是 ▲ ．12．已知ABC ∆外接圆O 的半径为2，且2A B A C A O +=，AB AO =，则C A C B ⋅= ▲ ．13．已知x 、y 为正实数,则22x yx y x++的最小值为 ▲ ． 14．设2(3)()0ax x b +-≤对任意[0,)x ∈+∞恒成立，其中a 、b 是整数，则a b +的取值的集合为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222a c b ac +=-． （1）求B 的大小；（2）设BAC ∠的平分线AD 交BC 于D，AD =1BD =，求cos C 的值．A B C D16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，且2BC AD =，AD CD ⊥，PB CD ⊥，点E在棱PD 上，且2PE ED =．（1）求证：平面PCD ⊥平面PBC ； （2）求证：//PB 平面AEC ．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e =，且点(2,1)P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 、B 都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP （不包括端点）上．①求直线AB 的斜率；②求AOB ∆面积的最大值． 18．（本小题满分16分）如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，Q 为海中一小岛，在水上旅游线AB 上．测 得tan 3MON ∠=-，6km OA =，Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km． （1）求水上旅游线AB 的长；（2）海中P (6PQ km =，且)P Q O M ⊥处的某试验产生的强水波圆P ，生成t 小时时的半径为32r km =．若与此同时，一瘦游轮以/小时的速度自码头A 开往码头B ， 试研究强水波是否波及游轮的航行？19．（本小题满分16分）设,a b R ∈函数()ln x f x e a x a =--，其中e 是自然对数的底数，曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处的切线方程为(1)0e x y b --+=． （1）求实数a 、b 的值；（2）求证：函数()f x 存在极小值；（3）若1[,)2x ∃∈+∞，使得不等式ln 0x e m x x x--≤成立，求实数m 的取值范围．20．（本小题满分16分）正项数列：12,,(4,)m a a a m m N *≥∈，满足：1231,,,,,k k a a a a a -(,)k m k N *<∈是公差为d 的等差数列，111,,,,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列． （1）若8,21===k d a ，求数列m a a a ,,21的所有项的和m S ； （2）若12,2016a d m ==<，求m 的最大值； （3）是否存在正整数k ，满足1211213()k k k k m m a a a a a a a a -++-++++=++++？若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．数学II （附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知圆上的弧AC BD =，过点C 的圆的切线CE 与BA 的延长线交于点E ． （1）求证：ACE BCD ∠=∠； （2）求证：2BD AE CD =⋅．B ．[选修：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵121a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值3λ=所对应的一个特征向量11e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆 矩阵1A -．C ．[选修：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 为4cos 2sin ρθθ=+.曲线C 上的任意一点的直角坐标为(,)x y ,求x y -的取值范围．D ．[选修：不等式选讲]（本小题满分10分）己知关于x 的不等式x a b +<的解集为}{24x x <<． （1）求实数,a b 的值；（222．（本小题满分10分）能抽取一个，且不放回抽取）．若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元； 若抽得黑球，获奖金40元．（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金ξ元，求ξ的分布列和()E ξ的值． 23．（本小题满分10分）设函数11()ln(2)22f x x =+，数列{}n a 满足：11a =，*1()()n n a f a n N +=∈．（1）求证：12x >时，()f x x <；（2）求证：*11()2n a n N <≤∈；（3）求证：*1113()()8ni i i i a a a n N ++=-⋅<∈∑．数学I 参考答案1. 1-；2. 3455i +；3. 5；4. 1700；5. 34π；6. 16；7. [0,1] 8. 512；9. 4；10. (1,2)；11. ；12. 12；13.32；14. {2,8}- 15.解：（1）222a c b ac +=-2221cos 222a cb ac B ac ac +-∴==-=- ………2分(0,)B π∈23B π∴= ………4分（2）在ABD ∆中,由正弦定理：sin sin AD BDB BAD =∠1sin 1sin 4BD B BAD AD ∴∠=== ………6分 217cos cos212sin 12168BAC BAD BAD ∴∠=∠=-∠=-⋅= ………8分sin BAC ∴∠== ………10分cos cos(60)cos60cos sin 60sin C BAC BAC BAC ∴=︒-∠=︒∠+︒∠1728=⨯+=即cos C………14分 16．证明：（1）,AD CD ⊥AD ∥,BCCD BC ∴⊥ ………2分 又PB CD ⊥ PB BC B =PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBCCD ∴⊥平面PBC ………6分 （2）连接BD 交AC 于O ,连OEAD ∥,BC ADO ∴∆∽BOD ∆ ………8分 ::1:2DO OB AD BC ∴== ………10分 又2PE ED =OE ∴∥PB ………12分 OE ⊂平面AEC ,PB ⊄平面AEC∴//PB 平面AEC ………14分17.解：（1）由题意得：22222411c e a ab a bc ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩………2分a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为22163x y += ………4分 （2）①法一、设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，直线AB 的斜率为k 则2211222212122222163063163x y x x y y x y ⎧+=⎪--⎪∴+=⎨⎪+=⎪⎩ 0022063x yk ∴+⋅= ………6分又直线OP :12y x =,M 在线段OP 上, 所以0012y x =所以1k =- ………8分法二、设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，直线AB 的方程为00()y y k x x -=-，则00222220000()(12)4()2()60163y y k x x k x k y kx x y kx x y -=-⎧⎪∴++-+--=⎨+=⎪⎩ 由题意，0∆>所以001224()12k y kx x x k -+=-+ ………6分00022()12k y kx x k -∴=-+又直线OP :12y x =,M 在线段OP 上, 所以0012y x =所以212()21112k k k k --=∴=-+ ………8分 法三、设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，直线AB 的方程为y kx m =+ 则22222(12)4260163y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪∴+++-=⎨+=⎪⎩ 由题意，0∆>所以122412kmx x k +=-+ ………6分 02212kmx k∴=-+()i 又直线OP :12y x =,M 在线段OP 上, 所以0012y x =()iiM 在直线AB 上∴00y kx m =+()iii解()i ()ii ()iii 得：1k =- ………8分 ②设直线AB 的方程为y x m =-+，(0,3)m ∈则222234260163y x m x mx m x y =-+⎧⎪∴-+-=⎨+=⎪⎩ 所以12212043263m x x m x x ⎧⎪∆>⎪⎪+=⎨⎪⎪-=⎪⎩………10分所以12|AB x x =-原点到直线的距离d = ………12分2OAB S ∆∴==当且仅当(0,3)m 时，等号成立.所以AOB ∆………14分18.解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立直角坐标系如图所示．则由题设得：(6,0)A ，直线ON 的方程为3y x =-，00(,2)(0)Q x x >， ………2分M=，及00x >得04x =，(4,2)Q ∴ ………4分 ∴直线AQ 的方程为(6)y x =--，即60x y +-=， ………6分由3,60y x x y =-⎧⎨+-=⎩得3,9,x y =-⎧⎨=⎩即(3,9)B -，AB ∴=AB 的长为． ………8分 （2）设试验产生的强水波圆P ，生成t 小时时，游轮在线段AB 上的点C 处，则AC =，102t ≤≤，(618,18)C t t ∴-， ………10分令22()h t r PC =-，则(4,8)P ，r =222()[(218)(188)]h t t t ∴=--+- 3218(123620)68t t t =-+-，102t ≤≤， ………12分 2()18(12336220)h t t t '∴=⨯-⨯+ 272(9185)t t =-+ 72(31)(35)t t =--，102t ≤≤， ………14分 由()0h t '=得1t =或5t =（舍去）∴3322max [()]()6()[(26)(68)]12033h t h ==⨯--+-=-<，102t ∴≤≤时，()0h t <，即r PC <恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行． ………16分19．解：（1）()x af x e x'=-，(1)f e a '∴=-，由题设得：1,(1)()0,e a e e e a b -=-⎧⎨---+=⎩1,0.a b =⎧∴⎨=⎩ ………2分（2）由（1）得()ln 1x f x e x =--，1()(0)x f x e x x'∴=->，21(())0x f x e x''∴=+>，∴函数()f x '在(0,)+∞是增函数， ………4分1()202f '<，(1)10f e '=->，且函数()f x '图像在(0,)+∞上不间断， ∴01(,1)2x ∃∈，使得0()0f x '=， ………6分结合函数()f x '在(0,)+∞是增函数有：08分（3）1[,)2x ∃∈+∞，使得不等式ln 0x e m x x x --≤成立⇔1[,)2x ∃∈+∞，使得不等式ln x m e x x ≥-成立（*） ………10分令()ln x h x e x x =-，1[,)2x ∈+∞，则()ln 1()x h x e x f x '=--=，∴结合（2）得：0min 00[()]()ln 1x h x f x e x '==--， ………12分其中01(,1)2x ∈，满足0()0f x '=，即0010x e x -=，001x e x ∴=，00ln x x =-，0min 0001[()]ln 11110x h x e x x x '∴=--=+->=>， 1[,)2x ∴∈+∞，()0h x '>，()h x ∴在1[,)2+∞内单调递增， ………14分1122min 1111[()]()ln ln 22222h x h e e ∴==-=+，结合（*）有121ln 22m e ≥+，即实数m 的取值范围为121[ln 2,)2e ++∞． ………16分20.解：（1）由已知*∈<N k m k ,,n a n 2=，168==a a k ，故),(,,,,,1321*-∈<N k m k a a a a a k k 为：2，4,6,8,10,12,14,16；k k m m a a a a a ,,,,,111+- 公比为2.则对应的数为2,4,8,16从而m a a a ,,21即为: 2，4,6,8,10,12,14,16,8,4； ………2分 此时84482)162(8,10=+++==m S m ………4分（2）),(,,,,,1321*-∈<N k m k a a a a a k k 是首项为2，公差为2的等差数列故*∈<N k m k ,，n a n 2=，从而k a k 2=而k k m m a a a a a ,,,,,111+- 首项为2，公比为2的等比数列且22+-=k m k a 故有222+-=k m k ；即 12+-=k m k 即k 必是2的整数幂 ………6分又122+=⋅m kk ，要m 最大，k 必需最大，2016<<m k ，故k 的最大值为102………8分所以1103410241021022222210+==⋅=⋅m ，即m 的最大值为1033 ………10分(1) 由数列1231,,,...,,k k a a a a a -是公差为d 的等差数列知，1(1)k a a k d =+-，而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列112m k k a a +-=⋅，故1(1)a k d +-112m k a +-=⋅， 11(1)(21)m k k d a +--=-， ………12分 又121113()k k k k m m a a a a a a a a -+-+++=++++，12m a a =，则11112(1)32212m k ka k k d a --+-=⨯⨯-，即11111[(21)]32(21)2m km k ka k a a +--+-=⨯-， 则11126(21)22m k m k k k +--⋅+=-，即1126212m k m k k k +-+-⋅+=⨯-， ………14分 显然6k ≠，则112182166m kk k k+-+==-+--，所以6k <，将12345k =，，，，一一代入验证知，当4k =时，上式右端为8，等式成立，此时6m =，综上可得：当且仅当6m =时，存在4k =满足等式． ………16分数学II （附加题）参考答案21.A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分） 证明：（1）弧AC BD =，ABC BCD ∴∠=∠，……2分CE 是圆的以C 为切点的切线，ACE ABC ∴∠=∠，ACE BCD ∴∠=∠． ………4分（2）ACE BCD ∠=∠，CAE BDC ∠=∠， ACE ∴∆∽DCB ∆， ………6分 AC AECD BD∴=， ………8分 弧AC BD =，AC BD ∴=，BD AECD BD∴=， 2BD AE CD ∴=⋅． ………10分B ．[选修：矩阵与变换]（本小题满分10分）解：由题意：11Ae e λ=11132111a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 13a ⇒+=2a ⇒= ………5分1221A ⎡⎤⇒=⎢⎥⎣⎦ ∴||30A =-≠11212333321213333A --⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--∴==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦………10分 C ．[选修：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 解：曲线C 为4cos 2sin ρθθ=+∴曲线C 的直角坐标方程为22420x y x y +--= ………4分即22(2)(1)5x y -+-=所以曲线C 是以(2,1)故设2,1x y αα== ………6分则11)4x y πααα-=+=+………8分∴x y -的取值范围是[1 ………10分D ．解：（1）x a b a b x a b +<⇔--<<-+， ………2分 2,4,a b a b --=⎧∴⎨-+=⎩3,1.a b =-⎧∴⎨=⎩………4分（2）由（1），结合柯西不等式有：1，≤4………8分=，即1t =时取“=” 1t ∴=4，4． ………10分22．（本小题满分10分） 解：（1）2000X =，∴该顾客有4次抽奖机会，得奖金70元，则有两种情形：抽得3红球，1黑球；抽得1红球，3白球．∴该顾客获得奖金70元的概率3113424349221C C C C P C +==． ………4分 （2）1200X =，∴该顾客有2次抽奖机会，ξ∴的值可能为20，30，40，50，60，80，24291(20)6C P C ξ===，1143291(30)3C C P C ξ===，23291(40)12C P C ξ===，1142292(50)9C C P C ξ===，113221(60)6C C P C ξ===，2221(80)36C P C ξ===，………8分111211()2030405060804063129636E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………10分23．（本小题满分10分） 解：（1）令x x x x f x F -+=-=21)2ln(21)()(，则x x x F 221)('-=，又21>x ，可得0)('<x F . 即)(x F 在),21(+∞为减函数.故0)21()(=<F x F即x x f x <>)(,21………2分(2) 1) 当1n =时1111,12a a =<≤成立.2)假设*()n k k N =∈时,121≤<k a当1+=k n *()k N ∈时,21)2ln(21)(1+==+k k k a a f a根据归纳假设 121≤<k a ,由（1）得：21)12ln(2121)2ln(2121)212ln(21+⨯≤+<+⨯k a 即:1211≤<+k a 即1+=k n 时命题成立。

2012－2013学年第二学期初高三教学质量调研注意事项： 1．本试卷共页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题相应位置上． 1．已知集合，x|x2－x≤0}，则∩B=▲ ． 2． ▲ ． ．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：g）数据绘制的 频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是[96，106]，样本中净重在 [96，10的产品个数是24，则样本中净重在[98，10的产品个数是 ▲ ． ．流程图的是 ▲ ． （第3题） （第4题） 5．抛掷则为数的概率是 ▲ ． ．＝(1，2)，＝(－3，2)，且(k＋)⊥(－3)，则k的值是 ▲ ． ．在平面直角坐标系xy中，角α的始边与x轴正半轴重合，终边在y＝－xx＞0，则sinα＝ ▲ ． x，y满足约束条件， 则z＝2x＋y的最小值是 ▲ ． －＝1 (a＞0，b＞0) 的焦点到渐近线的距离是a，则双曲线的离心率的值是 ▲ ． 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．3bsinC－5csinBcosA＝0△ABC面积的最大值是 ▲ ． ∞)上是单调增函数． ▲ ． 1y＝e ▲ ． 已知21项，为，为，其中任意连续三，，满足 ＝，则数的第15是 ▲ ． i，j(1i＜jn)，存在k，l（k≠l，且异于i与j）使得ai＋aj＝ak＋al，则n的最小值是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分） （1） （2） (第15题) 16．（本小题满分14分） －D⊥面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD＝ BC. 点E、F分别是棱PB、边CD的中点. （1）AB⊥面PAD； （2）EF∥面PAD （ （第16题） 17．（本小题满分14分） 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 (单位：千克)与销售价格 (单位：元/千克)满足关系式＋10(x－6)，其中，为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． （）求的值； （2）若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值, 使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 18．（本小题满分16分） xOy中，如图，椭圆＋y＝1的上、下顶点为，在椭圆上异于点，直线与直线－2分别交于点、. （1）设的斜率分别为，求证：·k2为定值； （2）求的最小值； （3）点运动时，以为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论． 19. （本小题满分16分） 设非常数数列{an}满足an+2＝，n∈N*，其中常数α，βα＋β≠0. （）α＋2β＝0； （2）已知α＝1，β， a1＝1，a2＝，求证：数列 an＋1－an－1|} (n∈N*，n≥2)与数列{n＋} (n∈N*)中没有相同数值的项. 20. （本小题满分16分） 设函数f (x)的定义域为M，具有性质P：对任意x∈M，都有f (x)＋f (x＋2)≤2f (x＋1). （1）若M为实数集R，是否存在函数f (x)＝ax (a＞0且a≠1，x∈R) 具有性质P，并说明理由； （2）若M为自然数集N，并满足对任意x∈M，都有f (x)∈N. 记d(x)＝f (x＋1)－f (x). () 求证：对任意x∈M，都有d(x＋1)≤d(x)且d(x)≥0； () 求证：存在整数0≤c≤d(1)及无穷多个正整数n，满足d(n)＝c. 2012－2013学年第二学期初高三教学质量调研 数学 2013.02 21、【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A、（几何证明选讲选做题） BC的中点．求证：OP⊥PE． B、（矩阵与变换选做题） M＝，N，设曲线在矩阵MN变换下F，求F的方程． C、（坐标系与参数方程选做题） （t为参数）；在以O为极点、射线Ox为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsinθ＝8cosθ．． D、（不等式选做题） 均为正数，且，求证≥2y＋3． 22、【做题】 如图，在直三棱柱ABC－AB1C1中，°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BB1，C1F＝CC1. （1）求异面直线AE与A所成角的大小； （2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值 23、【做题】 k∈N*. 记数列{an}的前n项和为Sn. （1）求S5，S7的值； （2）求证：对任意n∈N*，Sn≥0. 2012－2013学年第二学期初高三教学质量调研参考答案 填空题：·1. {0, 1}2.3. 604. 205.6. 197.8. 2 9. 10. 2 11. (0, )∪(e, ＋∞) 12. 13. 14. 13 二、解答题： 15. （1）解：设点P离地面的距离为y，则可令 y＝Asin(ωt＋φ)＋b. 由题设可知A＝50，b＝60.………………2分 又T＝＝3，所以ω＝，从而y＝50sin(t＋φ)＋60. ………………4分 再由题设知t＝0时y＝10，代入y＝50sin(t＋φ)＋60，得sinφ＝－1，从而φ＝－. ……………… 6分 因此，y＝60－50cost (t≥0). ………………8分 （2）要使点P距离地面超过85 m，则有y＝60－50cost＞85，即cost＜－. ………………10分 于是由三角函数推得＜t＜，即1＜t＜2. ………………12分 所以，在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过85 m时间有1分钟. ………………14分 16. 证明：（1）因为PD⊥面ABCD， 所以PD⊥AB. ………………2分BC，则AD=5，从而CM=5. 于是在△CDM中，CD=13，DM=12，CM=5，则 由及勾股定理逆定理得DM⊥BC . 又DM//AB，BC//AD，所以AD⊥AB. 又PD∩AD＝D，所以AB⊥面PAD………………6分 （2）[证法一] 取AB的中点N，连结EN、FN. 因为点E是棱PB的中点，所以在△ABP中，EN//PA. 又PA(面PAD，所以EN//面PAD. ………………8分 因为点F分别是边CD的中点，所以在梯形ABCD中，FN//AD. 又AD(面PAD，所以FN//面PAD. ……………10分 又EN∩FN＝N，PA∩DA＝A，所以面EFN//面PAD. ………………12分 又EF(面EFN，则EF//面PAD. ………………14分 [证法二] 延长CD，BA交于点G. 连接PG，EG，EG与PA交于点Q. 由题设AD∥BC，且AD＝ BC，所以CD＝DG，BA ＝AG，即点A为BG的中点. 又因为点E为棱PB的中点，所以EA为△BPG的中位线，即EA∥PG，且EA:PG＝1:2，故有EA:PG＝EQ:QG＝1:2.………………10分 又F是边CD的中点，并由CD＝DG，则有FD:DG ＝1:2. ………………12分 在△GFE中，由于EQ:QG＝1:2，FD:DG＝1:2，所以EF∥DQ. 又EF(面PAD，而DQ(面PAD，所以EF∥面PAD………………14分 17. 解：（1）由题设知x＝5时y＝11，则11＝＋10(5－6)，解得a＝2. ………………3分（2）由（1）知该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)，所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)＝(x－3) [＋10(x－6)]＝2＋10(x－3) (x－6)，3＜x＜6. ………………分 f(x)求导，得f ′(x)＝10[(x－6)＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)． 令f ′(x)＝0及3＜x＜6，解得x＝4．………………10分 当3＜x＜4时，f ′(x)＞0，当4＜x＜6时，f ′(x)＜0，于是有函数f(x)在(3，4)上递增，在(4，6)上递减，所以当x＝4时函数f(x)取得最大值f(4)＝42. ………………13分 答：当销售价格x＝4时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42. ………………分18. 解：（1）＋y＝1可知，点A(0，1)，B(0，－1). 令P(x0，y0)，则由题设可知x0≠0. 所以，直线AP的斜率k1＝，PB的斜率为k2＝. ………………2分（x0≠0），从而有 k1·k2＝.＝＝－. ………………4分（2）由题设可以得到直线AP的方程为y－1＝k1(x－0)，直线PB的方程为y－(－1)＝k2(x－0). ，解得； 由，解得. 所以，直线AP与直线l的交点，直线PB与直线l的交点. ………………7分，又k1·k2＝－，所以 ≥2＝4， 等号成立的条件是，解得. 故线段MN长的最小值. ………………10分 （3）以为直径的圆·＝0，故有. 又，所以以为直径的圆. ………………13分令或. 所以，以为直径的圆恒过定点）． ………………16分19. （1）解：已知数列，①充分性：，，，为等差数列.………………4分 ②必要性：为等差数列(k≠0). 代入 ，得. 化简得，即. 因此，数列{an}为等差数列的充要条件是α＋2β＝0. ………………8分（2）由已知得………………10分又因为，可知数列∈N*)为等比数列， (n∈N*). 从而有n≥2时， ，. 于是由上述两式，得 （）. ………………12分n≥2，| an＋1－an－1|＝·≤·＝. 所以，数列中项均小于等于. 而对于任意的n≥1时，n＋≥1＋＞，所以数列{n＋}(n∈N*)中项均大于. 因此，数列与数列{n＋}(n∈N*)中没有相同数值的项. ………………16分 20．证明：（1）因f (x)ax (a＞0且a≠1)ax ≠ax+2，即f (x)≠f (x＋2)………………2分f (x)＋f(x＋2)＝ax＋ax+22＝2 ax+1＝2 f (x＋1)f (x)＋f (x＋2)≤2f (x＋1)矛盾. 故不存在函数f (x)＝ax(a＞0且a≠1)满足性质. ………………4分 （2）()由题设对任意，f (x)＋f (x＋2)≤2f (x＋1)，所以≤f(x＋1)－f(x). 于是对任意x∈N，d(x＋1)≤d(x)………………6分x∈N，d(x)≥0. 假设存在k使d(k)＜0，由题设x∈N，f(x)∈N，d(x)∈Z，有d(k)≤－1. ………………8分 由任意x∈N，d(x＋1)≤d(x)，所以－1≥d(k)≥d(k＋1)≥d(k＋2)≥…≥d(k＋n)≥…有d(k＋n)＋d(k＋(n－1))＋d(k＋(n－2))＋…＋d(k)≤(n＋1) d(k)≤(n＋1)×(－1). 而d(k＋n)＋d(k＋(n－1))＋d(k＋(n－2))＋…＋d(k)＝f (k＋n＋1)－f (k)，所以f (k＋n＋1)－f(k)≤－(n＋1). 取n＝f (k)，得f (k＋f (k)＋1)≤f (k)－1＋f (k)＝－1，这与f (k＋f (k)＋1)∈因此，必有x∈N，d(x)≥0. ..................12分()由()可知 d(1)≥d(2)≥d(3)≥...≥d(n)≥ 0 当d(1)＝0时，则有d(1)＝d(2)＝d(3)＝…＝d(n)＝0，结论成立. 当d(1)≠0时，对任意∈N，d(n) ∈N，且d(n) ∈[0, d(1)][0, d(1)]上的自然数只有有限个，而落在此区间上的自然数d(n)有无数多个，所以，必存在自然数c∈[0, d(1)]和无穷多个正整数n， (n)＝c.……………16分【附加题答案】 21.A. 解：AB是圆O的直径°，从而∠BPC＝90°．…………2分 △BPC中，因为E是边BC的中点，所以BE＝EC，从 而BE＝EP，因此∠1＝∠3．…………5分又O上的∠2＝ ∠4．……………7分BC切O于点B，°，即∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，于是∠OPE＝90°．………………9分所以OP⊥PE．………………10分B. 解：. ………………4分设所求曲线F上任意一点的坐标为（x,y），上任意一点的坐标为，则 ＝， . ………………7分代入，. 所以，曲线F的方程为.………………10分 C. 解：直线m的普通方程为………………2分曲线C的普通方程为.………………4分,. 联立方程，得，有，………………7分. 故 . ………………10分 D． 证明：x＞0，y＞0，x＞yx－y＞0………………2分 因为2x＋－2y＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋ . ………………5分，………………9分 所以－2y≥3，即2x＋≥2y＋3．……………10分 22．解：建立如图所示的直角坐标系，则,,,，从而 ,. ………………2分记与的夹角为，. 又由异面直线与所成角的范围为，异面直线与所成的角为60o. ………………4分记平面的法向量为，且有平面的法向量为,. 由，得；由，得所以，即.………………8分记平面与平面所成的角为，有由可知为锐角，所以.………………10分 23. 解：（1）S5＝3，S7＝1.………………2分（2）由题设的定义可知，对于每个正整数k，有.① . ② ……………4分则 ③ . ④ ……………6分≥1，Sn≥0. 对于k，用数学归纳法证明假设对于所有的≤4k，≥0，则由①、②、③、④知，+4＝2Sk+1≥0， S4k+2＝S4k≥0， S4k+3＝S4k+2＋a4k+3＝S4k+2＋a4k+4＝S4k+2＋(S4k+4－S4k+3)，S4k+3＝≥0. 接下来证明：S4k+1≥0. 若k是奇数，则S4k＝2Sk≥2. 因为k是奇数，所以由题设知数列的各项均为奇数，可知Sk也是一个奇数. 于是 S4k≥2. 因此，S4k+1＝S4k＋a4k+1≥1. 若k是偶数，则a4k+1＝a2k+1＝ak+1. 所以S4k+1＝S4k＋a4k+1＝2Sk＋ak+1＝Sk＋Sk＋1≥0. 综上，对于所有的n≥1，Sn≥0. ………………10分 高考学习网： 高考学习网： （第18题）。

南师附中、天一、海门、淮阴四校联考2020届期初高三数学调研测试试题第Ⅰ卷（共70分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.已知集合{}{}1,,2,3A a B ==，且{3}A B ⋂=，则实数a 的值是__________． 【答案】3 【解析】 ∵{}3A B ⋂=， ∴3A ∈， ∴3a =． 答案：32.已知复数12i1iz +=-，其中i 是虚数单位，则z 的实部是__________． 【答案】12- 【解析】 ∵12(12)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i +++-+===--+， ∴z 的实部是12-． 答案：12-3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为________.【答案】10 【解析】 【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出S 的值． 【详解】解：模拟程序的运行过程，得：1S =，1i =，满足条件5i …，执行循环112S =+=，3i =， 满足条件5i …，执行循环235S =+=，5i =， 满足条件5i …，执行循环5510S =+=，7i =， 此时不满足条件5i …，退出循环，输出10S =． 故答案为：10．【点睛】本题考查了程序运行的应用问题和对循环结构的理解，是基础题．4.如图所示，一面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量100个到200个的天数为__________．【答案】15 【解析】由频率分布直方图可得，后3组的频率为(0.0060.004)500.5+⨯=， 所以300.515⨯=．故估计这家面包店一个月内日销售量100个到200个的天数为15． 答案：155.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为__________． 【答案】14【解析】由题意得，将此木块在水平桌面上抛两次看不到的数字共有4416⨯=种情况，其中两次看不到的数字都大于2的情况有(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)，共4种．由古典概型概率公式可得所求概率为41164P ==． 答案：146.已知tan()34πθ+=，则2sin cos 3cos θθθ-的值为__________．【答案】2- 【解析】 由题意得1tan tan 341tan πθθθ+⎛⎫+==⎪-⎝⎭，解得1tan 2θ=．∴22222213sin cos 3cos tan 32sin cos 3cos 21sin cos tan 1()12θθθθθθθθθθ----====-+++． 答案：2- 点睛：在三角变换中，要注意寻找式子中的角、函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，以减少函数的种类，从而达到对式子进行化简的目的．对于齐次式的求值问题常将所求问题转化为正切的形式求解，在变形时有时需要添加分母1，再用平方关系求解．7.设数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知3159,225,n S S B ==为数列{}nS n的前n 项和，则n B =__________．【答案】22n n+ 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意得3115133915105225S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，即113715a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩．∴2(1)22n n n S n n -=+⨯=， ∴nS n n=， ∴2(1)1222n n n n nB n ++=+++==L ． 答案：22n n+8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22:1(0)4x y C m m-=>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则实数m 的值为__________． 【答案】16 【解析】令2204x y m -=，得y x =，故双曲线的渐近线方程为y x =．1()12-=-， 解得16m =． 答案：169.8，则其体积为__________．【解析】设正四棱锥的底面边长为a ，斜高d ，则d =．由题意得14()2282ad ad ⨯===，整理得4212640a a +-=， 解得24a =或216a =-（舍去）． ∴2a =．∴21233V =⨯=．10.设()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间(2,2]-上，其函数解析式是(),201,02x a x f x x x +-<≤⎧=⎨-<≤⎩，其中a R ∈．若()()55f f -=，则()2f a 的值是________．【答案】1 【解析】因为()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间(]2,2-上，其函数解析式是(),201,02x a x f x x x +-<≤⎧=⎨-<≤⎩，(5)(5)(1)(1)f f f f -=⇒-=，可得()101(2)21a a f a f -+=⇒=⇒==，故答案为1.11.已知函数()3221f x x ax a x =+-+在[]1,1-上单调递减，则a 的取值范围是__________．【答案】(][),33,-∞-+∞U 【解析】 【分析】求出函数()f x 的导函数，由函数()f x 在[]1,1-上单调递减，等价于()0f x '≤在[]1,1-上恒成立，根据二次函数性质列不等式求解即可. 【详解】∵()3221f x x ax a x =+-+，∴()2232f x x ax a =+-'．又函数()f x 在[]1,1-上单调递减，∴()22320f x x ax a =-'+≤在[]1,1-上恒成立，∴()()221320{1320f a a f a a -=--≤=+-'≤'，即22230{230a a a a +-≥--≥， 解得3a ≤-或3a ≥．∴实数a 的取值范围是(][),33,-∞-⋃+∞． 故答案为 (][),33,-∞-⋃+∞.【点睛】本题主要利用导数研究函数的单调性及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围，12.如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -u u u v u u u v u u u v的值为_________．【答案】0 【解析】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ,所以1()2MN ME EN DC AB =+=+u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ．由PQ uuu v 与MN u u u u r共线， 所以()PQ MN R λλ=∈u u u v u u u u v，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=u u uv u u u v ． 答案：0 点睛：（1）根据题中的AB CD =，添加辅助线是解题的突破口，得到1()2MN DC AB =+u u u u v u u u v u u u v是解题的关键，然后根据向量的共线可得()PQ MN R λλ=∈u u u v u u u u v，再根据向量的数量积运算求解．（2）也可利用,MN MA AB BN MN MD DC CN =++=++u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u v两式相加得到1()2MN DC AB =+u u u u v u u u v u u u v ．13.已知圆22:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点，且2,AB M =为弦AB 的中点，),2)C a D a +.当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为__________．【答案】()(),20,-∞-+∞U 【解析】由题意得2OM ==，∴点M 在以O 为圆心，半径为2的圆上．设CD 的中点为N ，则1)N a +，且||2CD =． ∵当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，∴以O 为圆心，半径为2的圆与以1)N a +为圆心，半径为1的圆外离．3>， 整理得2(1)1a +>， 解得2a <-或0a >．∴实数a 的取值范围为()(),20,-∞-⋃+∞． 答案：()(),20,-∞-⋃+∞ 点睛：解答本题时，要根据所给出的条件得到点M 的轨迹，然后从点与圆的位置关系出发，得到点M 在以CD 为直径的圆外，从而根据图形可得到只要两圆外离就满足题意的结论，这是解题的关键． 14.已知1,2a b >>2的最小值为__________．【答案】6 【解析】m n ==，则原式22===≥=2252(2)m n mn m n ++++=+2229m n mn m n+++=+2()99()6m n m n m n m n ++==++≥=++， 以上两个等号当且仅当2m n =且9m n m n+=+，即1,2m n ==时同时成立． 所以所求的最小值为6． 答案：6第Ⅱ卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ccosB+bcosC ＝2acosA ． （1）求A ；（2）若a ＝2，且△ABC的周长． 【答案】（1）3A π=；（2）6.【解析】试题分析：（1）由cos cos 2cos c B b C a A +=根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=，利用两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2A =，∴3A π=；（2）由ABC V4bc =，再利用余弦定理可得2b c ==，从而可得ABC V 的周长.试题解析：（1）∵cos cos 2cos c B b C a A +=，∴sin cos sin cos 2sin cos C B B C A A +=.∴()sin 2sin cos B C A A +=， ∴sin 2sin cos A A A =.∵()0,A π∈，∴sin 0A ≠，∴1cos 2A =，∴3A π=. （2）∵ABC V1sin 24bc A bc ==4bc =. 由2a =，3A π=及2222cos a b c bc A =+-，得2244b c =+-，∴228b c +=.又4bc =，∴2b c ==. 故其周长为6.16.如图，在三棱锥P ABC -中，90,ABC PA PC o ∠==,平面PAC ⊥平面,,ABC D E 分别,AC BC 中点.（1）求证：//DE 平面PAB ； （2）求证：平面PBC ⊥平面PDE . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）由,D E 分别为,AC BC 中点可得//DE AB ，根据线面平行的判定定理可得结论．（2）由题意可得PD AC ⊥，根据平面PAC ⊥平面ABC 得到PD ⊥平面ABC ，故PD BC ⊥，再结合DE BC ⊥，可得BC ⊥平面PDE ，从而可得平面PBC ⊥平面PDE ．试题解析：（1）因为,D E 分别为,AC BC 中点， 所以//DE AB ，又DE ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， 所以//DE 平面PAB ．（2）因为,PA PC D =为AC 中点， 所以PD AC ⊥，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =，PD ⊂平面PAC ， 故PD ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ， 所以PD BC ⊥．因为90,//ABC DE AB o∠=， 因此DE BC ⊥．因为,,,,PD BC DE BC PD DE D PD DE ⊥⊥⋂=⊂平面PDE ， 所以BC ⊥平面PDE ， 又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PDE ．17.如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地,120ABCD AB =米， 80AD =米，以,AD BC 为直径的半圆1O 和半圆2O （半圆在矩形ABCD 内部）为两个半圆形水上主题乐园， ,,BC CD DA 都建有围墙，游客只能从线段AB 处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着¶¶AE FB、修建不锈钢护栏，沿着线段EF 修建该主题乐园大门并设置检票口，其中,E F 分别为¶¶,AD BC 上的动点， //EF AB ，且线段EF 与线段AB 在圆心1O 和2O 连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米，直线部门的平均修建费用为400元/米.（1）若80EF =米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？ （2）试确定点E 的位置，使得修建费用最低. 【答案】（1）8004800200033π--；（2）当1AO E ∠为3π时，修建费用最低.【解析】 试题分析：（1）设直线EF 与矩形ABCD 交于,M N 两点，则阴影部分的面积为矩形12AO O B 的面积减去梯形12O O FE 和扇形1O AE 与扇形2O FB 的面积．（2）设1,0,2AO E πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则»»40AE BFθ==，故12080sin EF θ=-，从而可得修建费用()()1600032sin f θθθ=+-，利用导数求解，可得当3πθ=时，即13AO E π∠=，()fθ有最小值，即修建费用最低．试题解析：（1）如图,设直线EF 与矩形ABCD 交于,M N 两点，连12,?O E O F ，则20ME =米，1203O M =米．梯形12O O FE 的面积为()112080203200032⨯+⨯=平方米， 矩形12AO O B 的面积为120404800⨯=平方米， 由16AO E π∠=，得扇形1O AE 和扇形2O FB 的面积均为14001600263ππ⨯⨯=平方米， 故阴影部分面积为8004800200033π--平方米． （2）设1,0,2AO E πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则»»40AE BF θ==， 所以120240sin 12080sin EF θθ=-⨯=-， 修建费用()()()2008040012080sin 1600032sin fθθθθθ=⨯+⨯-=+-，所以()()1600012cos f θθ=-'， 令()0f θ'=，得3πθ=，当θ变化时，()(),f f θθ'的变化情况如下表：θ0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭3π ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()f θ' -+()f θ极小值由上表可得当3πθ=时，即13AO E π∠=，()fθ有极小值，也为最小值．故当1AO E ∠为3π时，修建费用最低． 18.已知椭圆C 的方程：22221(0)x y a b a b+=>>，右准线l 方程为4x =，右焦点(1,0),F A 为椭圆的左顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆在x 轴上方一点，点N 在右准线上且满足0AM MN ⋅=u u u u v u u u u v且52AM MN =u u u u v u u u u v ，求直线AM 的方程.【答案】（1）22:143x y C +=；（2）2y x =+或1142y x =+. 【解析】 试题分析：（1）由准线方程和焦点坐标可得224,3a b ==，由此可得椭圆方程．（2）由题意设AM 的方程为()2y k x =+，与椭圆方程联立解方程组可得点M 的坐标，由此可得MN ，AM ，然后由52AM MN=u u u u v u u u u v建立关于k 的方程，解方程可得k ，从而可得直线方程． 试题解析：（1）由题意得24,1a c c ==，24,a ∴=∴2223b a c =-=,∴椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）由题意得，直线AM 的斜率存在，设AM 的方程为()2y k x =+，由()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()2222143k x x ++=， ∴()()()2222221344k x x x x +-+=-=，2p x ≠-Q ，()()222,34k x x +-∴=22243123412236k k k x +-∴=-=，22268431243M M k x k k y k ⎧-=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩而1MN k k=-， 又4N x ，=M N MN x ∴=-==，又M A AM x =-==，52AM MN =Q ，=Q解得1k =或14k =． ∴直线AM 的方程为2y x =+或1142y x =+． 19.已知函数()ln ,(),f x x ax g x ex a R =-=∈（e 是自然对数的底数） （1）若直线y ex =为曲线()y f x =的一条切线，求实数a 的值；（2）若函数()()y f x g x =-在区间(1,)+∞上为单调函数，求实数a 的取值范围；（3）设()()(),[1,]H x f x g x x e =⋅∈，若()H x 在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值），求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1e e -；（2）(,][1,)e e -∞-⋃-+∞；（3）10a e <<或112a e<<. 【解析】【详解】试题分析：（1）设切点，根据导数的几何意义求解．（2）分单调递增合递减两种情况考虑，将问题转化为导函数大（小）于等于零在()1,+∞恒成立求解可得a 的范围．（3）由题意得()2ln ln xH x x ax ex exa x=-⋅=-，令()[]ln ,1,xt x a x e x=-∈，然后对实数a 的取值进行分类讨论，并根据()t x 的符号去掉绝对值，再结合导数得到函数()H x 的单调性，进而得到函数()H x 有极值时实数a 的取值范围． 试题解析：（1）设切点()00,P x y ，则()0000000ln ,,ln y x ax y ex x a e x =-==+（*） 又()1,f x a x='- ()001,f x a e x ∴=-=' 01x a e∴=+，代入（*）得0ln 1,x = 0,x e ∴=1a e e∴=-．（2）设()()()()()ln 1h x f x g x x a e x x =-=-+>， 当()h x 单调递增时， 则()()10h x a e x=-+≥'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x ≥+ 在()1,+∞上恒成立， 又()10,1,x ∈ 0,a e ∴+≤解得a e ≤-．当()h x 单调递减时， 则()()10h x a e x=-+≤'在()1,+∞上恒成立， ∴()1a e x≤+在()1,+∞上恒成立， 1,a e ∴+≥1a e ∴≥-综上()h x 单调时a 的取值范围为][(),1,e e -∞-⋃-+∞． （3）()2ln ln xH x x ax ex ex a x=-⋅=-， 令()[]ln ,1,,x t x a x e x =-∈则()21ln x t x x-'=，当[]1,x e ∈时，()0t x '≥，()t x 单调递增， ∴()()()1t t x t e ≤≤，即()1a t x a e-≤≤-. 1）当0a -≥，即0a ≤时，()0,t x ≥ ∴()()[]2ln ,1,H x e x x axx e =-∈，则()()()ln 120,?H x e x ax H x =+->'单调递增， ()H x ∴在[]1,x e ∈上无极值点．2）当10a e -<即1a e>时，()0,t x < ()()[]2ln ,1,H x e x x ax x e ∴=-+∈∴()()()1112ln 1,2,,1H x e ax x H x e a x x e Q ⎛⎫⎡⎤=--=-'''∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦I ）当21a ≥，即12a ≥时，()0H x ''≥， ()H x ∴'在[]1,e 递增， ()()1210H e a '=-≥Q ， ()H x ∴在[]1,e 上递增， ()H x ∴在[]1,e 上无极值点．II ）当112a e <<时，由()1120,2H x a x e x a=≥''-≤≤可得 ()H x ∴'在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，1,2e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，又()()()()()1210,22210H e a H e e ae e ae =-<=-=-'>'()01,x e ∴∃∈使得()00,H x '=()H x ∴在()01,x 上单调递减，在(]0,x e 上单调递增， ()H x ∴[]1,e 上有一个极小值点．3）当1a e =时，()()221ln 1,02e H x e x x H x e x e e x "⎛⎫⎛⎫=--=->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'由得，()H x ∴'在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()()2110,0H e H e e ⎛⎫=-<='⎪⎭'⎝， ()0H x ∴'≤在[]1,e 上恒成立， ()H x ∴无极值点．4）当10a e<<时， ()t x Q 在[]1,e 递增， ()01,x e ∴∃∈使得ln x a x =， ∴当[]01,x x ∈时，()0,t x ≤当[]0,x x e ∈时，()0t x ≥，()()()2020ln ,1ln ,e ax x x x x H x e x x ax x x e ⎧-≤≤⎪∴=⎨-≤≤⎪⎩，()()()0021,112,e ax lnx x x H x e lnx ax x x e ⎧--≤≤⎪∴=≤≤'⎨+-⎪⎩，令()[]()2ln ,1,,2ln 1ax x x k x x e k x ax x '-=∈=--，下面证明()0k x '<，即证ln 12ln 1,2x ax x a x+<+<， 又'2ln 1ln ()0x xx x+=-< min ln 12x x e+⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 即证1a e<，所以结论成立，即()0k x '<， ()[]()01,1,,x e H x ⊂∴Q 在[)01,x 递减，(]0,x e 递增，0x ∴为()H x 的极小值.综上当10a e <<或112a e<<时，()H x 在[]1,e 上有极值点．点睛：（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围； （2）求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程f′(x)＝0，再判断f′(x)＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．20.设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数且*k N ∈）成立，则称数列{}n a 为“()P k 数列”．（1）若数列{}n a 为“()1P 数列”，求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”？若存在，求出符合条件的数列{}n a 的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由； （3）若数列{}n a 为“()2P 数列”，22a =，设312232222n n na a a a T =++++L ，证明：3n T <．【答案】（1）12n n a -=；（2）不存在；（3）证明见解析.【解析】 试题分析：（1）由题意得11n n S a +=-，故121n n S a ++=-，两式相减可得212n n a a ++=，在此基础上可得数列{}n a 为等比数列，从而可得通项公式．（2）利用反证法可得不存在这样的数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”．（3）由数列{}n a 为“()2P 数列”，可得到21n n n a a a ++=+对任意正整数n 恒成立，于是可得312232345123582222222222n n n n na a a a a T =++++=++++++L L ，然后根据错位相减法求得22341111122222222n n n n n a a T -+=+++++-L 2131442n n n a T -+=+-，故得21,02n n n n a T T -+，故131244n n T T <+，即3n T <，即结论成立． 试题解析：（1）因为数列{}n a 为“()1P 数列”， 则11n n S a +=- 故121n n S a ++=-， 两式相减得：212n n a a ++=， 又1n =时，121a a =-，所以22a =，故12n n a a +=对任意的*n N ∈恒成立，即12n na a +=（常数）， 故数列{}n a 为等比数列，其通项公式为1*2,n n a n N -=∈.（2）假设存在这样的数列{}n a ，则有n n k S a k +=-，故有11n n k S a k +++=- 两式相减得：11n n k n k a a a ++++=-， 故有332n n k n k a a a +++++=-，同理由{}n a 是“()2P k +数列”可得132n n k n k a a a +++++=-， 所以13n n a a ++=对任意*n N ∈恒成立． 所以22n n k n k n S a k a k S ++++=-=-=， 即2n n S S +=，又2222n n k n S a k S +++=--=-， 即22n n S S +-=，两者矛盾，故不存在这样的数列{}n a 既是“()P k 数列”，也是“()2P k +数列”． （3）因为数列{}n a 为“()2P 数列”， 所以22n n S a +=-， 所以132n n S a ++=-， 故有，132n n n a a a +++=-， 又1n =时，132a a =-， 故33a =，满足321a a a =+，所以21n n n a a a ++=+对任意正整数n 恒成立，数列的前几项为：1,2,3,5,8．故312232345123582222222222n n n n na a a a a T =++++=++++++L L ， 所以123451112352222222n n n nn a a T L -+=++++++，两式相减得 22341111122222222n n n n n a a T -+=+++++-L 2131442n n n a T -+=+-， 显然21,02nn n n a T T -+， 故131244n n T T <+， 即3n T <. 点睛：（1）本题属于新概念问题，解题时要从所给出的概念出发，得到相应的结论，然后再借助于数列的有关知识得到相应的结论．（2）对于存在性问题的解法，可利用反证法求解，解题时在假设的基础上得到矛盾是解题的关键，通过否定假设可得原结论不成立． 附加题[选做题]在,,,A B C D 四个小题中只能选做2道，每小题10分，请把答案写在答题卡指定区域内. A. 选修4-1：集合证明选讲21.如图，D 为ABC ∆的BC 边上的一点，1O e 经过点,B D ，交AB 于另一点E ，2O e 经过点,C D ，交AC于另一点F ，1O e 与2O e 交于点G . 求证：EAG EFG ∠=∠.【答案】证明见解析. 【解析】 试题分析：连接GD 交AB 于H ，由,,,B D E G 四点共圆可得EGH B ∠=∠，同理FGH C ∠=∠，进而可证得,,,E G F A 四点共圆，故结论成立．试题解析连接GD 交AB 于H ，由,,,B D E G 四点共圆， 可得EGH B ∠=∠， 同理FGH C ∠=∠，故180BAC EGF BAC B C ∠+∠=∠+∠+∠=o ； 所以,,,E G F A 四点共圆， 故EAG EFG ∠=∠． B. 选修4-2：矩阵与变换22.已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值3λ=所对应的一个特征向量111e u r ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2xy =，求曲线C 的方程.【答案】（1）2130⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）2632x xy +=. 【解析】 试题分析：（1）根据题意得到113313a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，利用矩阵的运算求得,a b 后可得矩阵M ．（2）设曲线C 上的点(),P x y 在矩阵M 的作用下得到点(),P x y '''，则由2130x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣'⎦'得到变换公式23x x yy x ''=+⎧⎨=⎩，代入可得曲线C 的方程． 试题解析：（1）依题意得113313a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴31333a b -=-⎧⎨-=⎩，解得2a b ，=⎧⎨=⎩2130M ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦．（2）设曲线C 上一点(),P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2xy =上一点(),P x y '''，则2130x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣'⎦'， 即23x x yy x ''=+⎧⎨=⎩， 又点(),P x y '''在曲线2xy =上， ∴()()232x y x +=， 整理得2632x xy +=， 曲线C 的方程为2632x xy +=． C. 选修4-4：坐标系与参数方程23.已知曲线2cos :x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）和曲线22:3x t l y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数）相交于两点,A B ，求两点,A B 的距离.. 【解析】 试题分析：把参数方程化为普通方程，解方程组可得两曲线的交点坐标，根据两点间的距离公式可得所求． 试题解析：曲线C 的普通方程为22143x y +=，曲线l 的普通方程为332y x =-+，由221 43332x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得112xy=⎧⎨=⎩或11132xy=⎧⎪⎨=⎪⎩．∴()32,0,1,2A B⎛⎫⎪⎝⎭，∴23131()2AB=+=．即两点,A B的距离为13．D. 选修4-5：不等式选讲24.如图，已知长方体11111,2,1ABCD A B C D AB AA-==，直线BD与平面11AA B B所成角为30,AEo垂直BD于点,E F为11A B的中点.（1）求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；（2）线段11C D上是否存在点P，使得二面角F BD P--的余弦值为35？若存在，确定P点位置；若不存在，说明理由.【答案】（125；（2）存在点P，为11C D中点.【解析】试题分析：由题意可知11AD AA B B⊥平面，故得1130DBA BD AA B B DBA∠∠=o即为直线与面所成的角，即为，由此可得2313AD AE==．（1）结合条件建立空间直角坐标系，由条件可求得平面BDF的一个法向量为()n =r ，根据线面角的求法可得所求角的正弦值为5．（2）根据条件可得22,3P λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，由此可得平面BDP的一个法向量为()122n λ=-u r ，再由所给出的条件可求得12λ=，从而存在点P 满足条件，且点P 为11C D 的中点． 试题解析：由题意得11AD AA B B ⊥平面，所以DBA ∠为直线BD 与面11AA B B 所成的角，故30,DBA ∠=o 又2AB =，AD AB tan DBA ∴=⋅∠=． 由1AE BD AE ⊥=，得．（1）以{}1,,AB AD AA u u u r u u u r u u u r为正交基底建立平面直角坐标系，则()()()10,0,0,2,0,0,1,0,1,2A B F D E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12AE u u u r ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =r，因为(),1,0,1BD BF ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u ur ，由()200n BD x y n n BF x z u u u u r r r u u u u u u r r ，可得⎧⋅=-+=⎪=⎨⎪⋅=-+=⎩， 设直线AE 与平面BDF 所成的角为θ，则sin θ=13cos ,5AE n +==u u u r r 所以直线AE 与面BDF（2）令[]111,0,1C P C D λλ=∈u u u r u u u u r，则22,3P λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以232,,13BPλ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u r．设平面BDP的一个法向量为()1,,n x y zu r=由()123201,3,222320x ynx y zλλ⎧-+=⎪⎪=-⎨⎪-++=⎪⎩u r，可得，由题意可得()()1223cos,55422511n nλλ===⋅+-⋅+-u rr，整理得2428130λλ-+=，解得12λ=或132λ=．又01λ<<，12λ∴=．所以存在点P满足条件，且点P为11C D的中点．点睛：解决与平行、垂直有关的探索性问题的基本策略通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．25.如图，一只蚂蚁从单位正方体1111ABCD A B C D-的顶点A出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过n步回到点A的概率n p．（I ）分别写出12,p p 的值；（II ）设顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，求3n n p q +的值； （III ）求n p ．【答案】（I ）10,3；（II ）1；（III ）1111,=2{?430,21n n n k p n k -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭=-． 【解析】 试题分析：（1）由题意得经过1步不可能从点A 回到点A ，故10p =；经过2步从点A 回到点A 的方法有3种，即A-B-A ；A-D-A ；1A A A --，且选择每一种走法的概率都是13，由此可得所求概率．（2）分n 为奇数和偶数两种情况讨论可得结论．（3）结合（2）中的结论，分四种情况可得221233n n n p p q --=+，又31n n p q +=，故可得2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，于是得到 111143n n p -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，从而可得结论． 试题解析：”（1）121110,3333p p ==⨯⨯=． （2）由于顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，则由A 出发经过n 步到达点11,B D 的概率也是n q ，并且由A 出发经过n 步不可能到11,,,A B D C 这四个点，所以当n 为奇数时0n n p q ==，所以30n n p q +=； 当n 为偶数时，31n n p q +=．（3）同理，由11,,C B D 分别经2步到点A 的概率都是1122339⨯⨯=，由A 出发经过n 再回到A 的路径分为以下四类：①由A 经历2n -步到A ，再经2步回到A ，概率为213n p -； ②由A 经历2n -步到C ，再经2步回到A ，概率为229n q -；③由A 经历2n -步到1B ，再经2步回到A ，概率为229n q -； ④由A 经历2n -步到1D ，再经2步回到A ，概率为229n q -；所以221233n n n p p q --=+，又31n n p q +=， 所以2221121233399n n n n p p p p ----=+⋅=+， 即2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以11221111144943nn n p p --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故111143n n p -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 综上所述，1111,=2430,21n n n kp n k -⎧⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥ ⎪=⎝⎭⎨⎢⎥⎣⎦⎪=-⎩． 点睛：本题难度较大，综合了排列组合和概率的有关知识，解题的关键是根据条件进行分类讨论，另外利用互斥事件和相互独立事件的概率的知识也是解决本题的重要工具．。

2016-2017学年江苏省南师附中、天一、淮中、海门中学四校联考高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5分）已知全集I＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，5}，B＝{2，3，6}，则（∁I A）∩B＝．2．（5分）复数1+的实部为．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是4．（5分）某校在市统测后，从高三年级的1000名学生中随机抽出100名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示．则估计该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的人数为．5．（5分）若双曲线＝1的一条渐近线过点（2，1），则双曲线的离心率为．6．（5分）现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则两位数为偶数的概率为．7．（5分）已知点P（x，y）满足，则z＝的最大值为．8．（5分）设正项等比数列{a n}满足2a5＝a3﹣a4．若存在两项a n、a m，使得a1＝4，则m+n的值为．9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AA1中点，Q为CC1的中点，AB＝2，则三棱锥B﹣PQD的体积为．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝x2﹣2x+1，不等式f （x2﹣3）＞f（2x）的解集用区间表示为．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线x﹣y+m＝0（m＞0）与圆x2+y2＝8交于不同的两点A，B，若圆上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则正数m的值为．12．（5分）已知P是曲线y＝x2﹣lnx上的动点，Q是直线y＝x﹣1上的动点，则PQ 的最小值为．13．（5分）矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且满足P A＝3，PC＝4．矩形对角线AC＝6，则＝．14．（5分）在△ABC中，若+＝3，则sin A的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值，以及该函数取最大值时x的取值集合；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，且a＝1，b＝，f（A）＝2，求角C．16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，每条棱长均相等，D为棱AB的中点，E 为侧棱CC1的中点．（1）求证：OD∥平面A1BE（2）求证：AB1⊥平面A1BE．17．（14分）如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点（0，1）和（1，），圆O：x2+y2＝b2（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与圆O相切，切点在第一象限内，且直线l与椭圆C交于A、B两点，△OAB 的面积为时，求直线l的方程．18．（16分）如图，在某商业区周边有两条公路l1和l2，在点O处交汇；该商业区为圆心角、半径3km的扇形．现规划在该商业区外修建一条公路AB，与l1，l2分别交于A，B，要求AB与扇形弧相切，切点T不在l1，l2上．（1）设OA＝akm，OB＝bkm试用a，b表示新建公路AB的长度，求出a，b满足的关系式，并写出a，b的范围；（2）设∠AOT＝α，试用α表示新建公路AB的长度，并且确定A，B的位置，使得新建公路AB的长度最短．19．（16分）设a＞0且a≠1函数f（x）＝a x+x2﹣xlna﹣a（1）当a＝e时，求函数f（x）的单调区间；（其中e为自然对数的底数）（2）求函数f（x）的最小值；（3）指出函数f（x）的零点个数，并说明理由．20．（16分）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于3，则称这个数列为“S型数列”．（1）已知数列{a n}满足a1＝4，a2＝8，a n+a n﹣1＝8n﹣4（n≥2，n∈N*），求证：数列{a n}是“S型数列”；（2）已知等比数列{a n}的首项与公比q均为正整数，且{a n}为“S型数列”，记b n＝a n，当数列{b n}不是“S型数列”时，求数列{a n}的通项公式；（3）是否存在一个正项数列{c n}是“S型数列”，当c2＝9，且对任意大于等于2的自然数n都满足（﹣）（2+）≤+≤（﹣）（2+）？如果存在，给出数列{c n}的一个通项公式（不必证明）；如果不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，A，B，C是圆O上不共线的三点，OD⊥AB于D，BC和AC分别交DO 的延长线于P和Q，求证：∠OBP＝∠CQP．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知a，b∈R，矩阵A＝，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝，属于特征值5的一个特征向量为α2＝．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在极坐标系下，圆C：p＝2cos（）与直线l：ρsin（）＝，点M 为圆C上的动点．求点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知x，y，z均为正数．求证：．七、解答题（共2小题，满分10分）25．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点．（1）求异面直线AE与BF所成角的余弦值；（2）求平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值．26．（10分）设集合S＝{1，2，3，…，n}（n≥5，n∈N*），集合A＝{a1，a2，a3}满足a1＜a2＜a3且a3﹣a2≤2，A⊆S（1）若n＝6，求满足条件的集合A的个数；（2）对任意的满足条件的n及A，求集合A的个数．2016-2017学年江苏省南师附中、天一、淮中、海门中学四校联考高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5分）已知全集I＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，5}，B＝{2，3，6}，则（∁I A）∩B＝{2，6}．【解答】解：因为全集I＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，5}，所以∁I A＝{2，4，6}，又B＝{2，3，6}，则（∁I A）∩B＝{2，6}，故答案是：{2，6}．2．（5分）复数1+的实部为．【解答】解：1+＝，则复数1+的实部为：．故答案为：．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是6【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝1，执行循环体，n＝2不满足条件42＞2017，执行循环体，n＝3不满足条件43＞2017，执行循环体，n＝4不满足条件44＞2017，执行循环体，n＝5不满足条件45＞2017，执行循环体，n＝6满足条件46＞2017，退出循环，输出n的值为6．故答案为：6．4．（5分）某校在市统测后，从高三年级的1000名学生中随机抽出100名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示．则估计该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的人数为660．【解答】解：由样本频率分布直方图，知：该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的频率为：（0.02+0.026+0.02）×10＝0.66，∴估计该校高三学生中数学成绩在[110，140）之间的人数为：1000×0.66＝660．故答案为：660．5．（5分）若双曲线＝1的一条渐近线过点（2，1），则双曲线的离心率为．【解答】解：双曲线＝1的一条渐近线过点（2，1），可得a＝2b，即：a2＝4b2＝4c2﹣4a2，e＞1，解得e＝．故答案为：；6．（5分）现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则两位数为偶数的概率为．【解答】解：从这5张卡片中随机同时抽取两张，用抽出的卡片上的数字组成的两位数为：12；13；14；15；21；23；24；25；31；32；34；35；41；42；43；45；51；52；53；54，共20个，偶数为：12，14，24，32，34，42，52，54，共8个，故两位数是偶数的概率是．故答案为7．（5分）已知点P（x，y）满足，则z＝的最大值为3．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由z＝表示过平面区域的点（x，y）与（0，0）的直线的斜率，由，得A（1，3），显然直线过A（1，3）时，z取得最大值，z＝＝3，故答案为：3．8．（5分）设正项等比数列{a n}满足2a5＝a3﹣a4．若存在两项a n、a m，使得a1＝4，则m+n的值为6．【解答】解：正项等比数列{a n}满足2a5＝a3﹣a4．则2a3q2＝a3（1﹣q），可得2q2+q﹣1＝0，q＞1，解得q＝．若存在两项a n、a m，使得a1＝4，∴a1＝4，∴n+m＝6．故答案为：6．9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AA1中点，Q为CC1的中点，AB＝2，则三棱锥B﹣PQD的体积为．【解答】解：如图，连接PQ，则PQ∥AC，取PQ中点G，连接BG，DG，可得BG⊥PQ，DG⊥PQ，又BG∩DG＝G，则PQ⊥平面BGD，在Rt△BPG中，由BP＝，PG＝，可得BG＝，同理可得DG＝，则△BDG边BD上的高为，∴，则．故答案为：．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝x2﹣2x+1，不等式f （x2﹣3）＞f（2x）的解集用区间表示为（﹣1，3）．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（0）＝0，当x＜0时，f（x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，为减函数，则当x＞0时，f（x）也为减函数，综合可得f（x）在R上为减函数，若f（x2﹣3）＞f（2x），则有x2﹣3＜2x，解可得﹣1＜x＜3，即不等式f（x2﹣3）＞f（2x）的解集为（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线x﹣y+m＝0（m＞0）与圆x2+y2＝8交于不同的两点A，B，若圆上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则正数m的值为2．【解答】解：根据题意画出图形，连接OA，OB，作OD垂直于AB于D点，因为△ABC为等边三角形，所以∠AOB＝120°，由余弦定理知：AB＝2，故BD＝，所以OD＝，所以O（0，0）到直线AB的距离＝，解得m＝±2，∵m是正数，∴m的值为2故答案为2．12．（5分）已知P是曲线y＝x2﹣lnx上的动点，Q是直线y＝x﹣1上的动点，则PQ的最小值为．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），由y＝x2﹣lnx的导数为y′＝x﹣，令x﹣＝，可得x＝2，所以切点为（2，1﹣ln2），它到直线y＝x﹣1即3x﹣4y﹣4＝0的距离d＝＝．即点P到直线y＝x﹣1的距离的最小值为．故答案为：．13．（5分）矩形ABCD中，P为矩形ABCD所在平面内一点，且满足P A＝3，PC＝4．矩形对角线AC＝6，则＝﹣．【解答】解：由题意可得＝（+）•（+）＝+•++＝9+•（+）+0＝9+＝9+3•6•cos（π﹣∠P AC）＝9﹣18•＝9﹣18•＝﹣，故答案为：．14．（5分）在△ABC中，若+＝3，则sin A的最大值为．【解答】解：在△ABC中，+＝3，∴．∴，即，∴．根据正弦定理得：．∴a2＝3bc cos A．又根据余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣2bc cos A＝3bc cos A．∴．当且仅当b＝c时等号成立，∴．∴，即，∴．故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值，以及该函数取最大值时x的取值集合；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，且a＝1，b＝，f（A）＝2，求角C．【解答】解：（1）f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣1＝sin2x+cos2x＝2≤2．当＝1，即2x+＝+2kπ，解得x＝kπ+，k∈Z时取等号．∴f（x）的最大值为2，该函数取最大值时x的取值集合为{x|x＝kπ+，k∈Z}．（2）f（A）＝2，∴2sin＝2，解得A＝kπ+，k∈Z．∵a＜b，∴A为锐角，∴A＝．由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴12＝+c2﹣2c，化为：c+1＝0，解得c＝．由正弦定理可得：，可得sin C＝＝×＝．∴C＝15°，75°，或105°．16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，每条棱长均相等，D为棱AB的中点，E 为侧棱CC1的中点．（1）求证：OD∥平面A1BE（2）求证：AB1⊥平面A1BE．【解答】解：（1）设AB1和A1B的交点为O，连接EO，连接OD，因为O为AB1的中点，D为AB的中点，所以OD∥BB1，且又E是CC1中点，则EC∥BB1且，所以EC∥OD且EC＝OD．所以四边形ECDO为平行四边形，所以EO∥CD．…（4分）又CD⊄平面A1BE，EO⊂平面A1BE，则CD∥平面A1BE…（7分）（2）因为正三棱柱，所以BB1⊥平面ABC．因为CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD．由已知得AB＝BC＝AC，所以CD⊥AB．所以CD⊥平面A1ABB1由（1）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A1ABB1所以EO⊥AB1．…（11分）因为正三棱柱各棱长相等，所以侧面是正方形，所以AB1⊥A1B．又EO∩A1B＝O，EO⊂平面A1EB，A1B⊂平面A1EB．所以AB1⊥平面A1BE．…（14分）17．（14分）如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点（0，1）和（1，），圆O：x2+y2＝b2（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与圆O相切，切点在第一象限内，且直线l与椭圆C交于A、B两点，△OAB的面积为时，求直线l的方程．【解答】（本小题满分14分）解：（1），椭圆方程为：…（4分）（2）因为切点在第一象限，可设直线l为y＝kx+m（k＜0，m＞0），联立方程，得（x1，x2分别为A、B横坐标）…（8分）AB长：＝…（10分）∴∴…（12分）∴m＝＝，直线l为…（14分）18．（16分）如图，在某商业区周边有两条公路l1和l2，在点O处交汇；该商业区为圆心角、半径3km的扇形．现规划在该商业区外修建一条公路AB，与l1，l2分别交于A，B，要求AB与扇形弧相切，切点T不在l1，l2上．（1）设OA＝akm，OB＝bkm试用a，b表示新建公路AB的长度，求出a，b满足的关系式，并写出a，b的范围；（2）设∠AOT＝α，试用α表示新建公路AB的长度，并且确定A，B的位置，使得新建公路AB的长度最短．【解答】解：（1）在△AOB中，OA＝akm，OB＝bkm，；由余弦定理得：＝a2+b2﹣ab；所以；…（2分）如图，以O为原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系，则，所以直线AB的方程为，即；…（4分）因为AB与扇形弧相切，所以，即；a，b∈（3，6）…（6分）（2）因为OT是圆O的切线，所以OT⊥AB．在Rt△OTA中，AT＝3tanα；在Rt△OTB中，；所以，AB＝AT+TB＝3tanα+3tan（﹣α）（0＜α＜）；…（9分）所以，AB＝3（tanα+）＝；…（12分）设，u∈（1，4），则，当且仅当u＝2，即时取等号；此时km．所以，当km时，新建公路AB的长度最短．…（16分）19．（16分）设a＞0且a≠1函数f（x）＝a x+x2﹣xlna﹣a（1）当a＝e时，求函数f（x）的单调区间；（其中e为自然对数的底数）（2）求函数f（x）的最小值；（3）指出函数f（x）的零点个数，并说明理由．【解答】解：（1）当a＝e时，f（x）＝e x+x2﹣x﹣e，f'（x）＝e x+2x﹣1．…（2分）设g（x）＝e x+2x﹣1，则g（0）＝0，且g'（x）＝e x+2＞0．所以，g（x）在（﹣∞，+∞）上单增，且当x＞0时，g（x）＞g（0）＝0；当x＜0时，g（x）＜g（0）＝0．即当x＞0时，f′（x）＞0；当x＜0时，f'（x）＜0．综上，函数f（x）的单增区间是（0，+∞），单减区间是（﹣∞，0）．…（4分）（2）f'（x）＝a x lna+2x﹣lna＝（a x﹣1）lna+2x①当a＞1，若x＞0，则a x＞1，lna＞0，所以f'（x）＞0若x＜0，则a x＜1，lna＞0，所以f'（x）＜0②当0＜a＜1，若x＞0，则a x＜1，lna＜0，所以f'（x）＞0若x＜0，则a x＞1，lna＜0，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，0）上减，（0，+∞）上增．…（6分）所以f（x）min＝f（0）＝1﹣a，…（8分）（3）由（2）得：a＞0，a≠1，f（x）min＝1﹣a．（ⅰ）若1﹣a＞0即0＜a＜1时，f（x）min＝1﹣a＞0，函数f（x）不存在零点．…（10分）（ⅱ）若1﹣a＜0即a＞1时，f（x）min＝1﹣a＜0．f（x）的图象在定义域是不间断的曲线，f（x）在（﹣∞，0）上单减，在（0，+∞）上单增．f（a）＝a a+a2﹣alna﹣a＞a2﹣alna﹣a＝a（a﹣lna﹣1）．令t（a）＝a﹣lna﹣1，（a＞1），，所以t（a）在（1，+∞）递增；所以t（a）＞t（1）＝0．所以f（a）＞0．故f（x）在（0，a）有一个零点．…（12分）又f（﹣a）＞a2﹣a＞0，故f（x）在（﹣a，0）有一个零点．…（14分）所以f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）各有一个零点，即f（x）有2个零点．综上：①0＜a＜1时，函数f（x）不存在零点；②a＞1时，函数f（x）有2个零点．…（16分）20．（16分）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于3，则称这个数列为“S型数列”．（1）已知数列{a n}满足a1＝4，a2＝8，a n+a n﹣1＝8n﹣4（n≥2，n∈N*），求证：数列{a n}是“S型数列”；（2）已知等比数列{a n}的首项与公比q均为正整数，且{a n}为“S型数列”，记b n＝a n，当数列{b n}不是“S型数列”时，求数列{a n}的通项公式；（3）是否存在一个正项数列{c n}是“S型数列”，当c2＝9，且对任意大于等于2的自然数n都满足（﹣）（2+）≤+≤（﹣）（2+）？如果存在，给出数列{c n}的一个通项公式（不必证明）；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：由题意，a n+1+a n＝8n+4 ①，a n+a n﹣1＝8n﹣4 ②，②﹣①得a n+1﹣a n﹣1＝8 …（4分）所以a2n＝8n，a2n﹣1＝8n﹣4，因此a n＝4n，从而a n﹣a n﹣1＝4＞3所以，数列{a n}是“S型数列”…（6分）（2）由题意可知a1≥1，且a n﹣a n﹣1＝4＞3，因此{a n}单调递增且q≥2而（a n﹣a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣a n﹣2）＝a n﹣1（q﹣1）﹣a n﹣2（q﹣1）＝（q﹣1）（a n﹣1﹣a n﹣2）＞0所以{a n﹣a n﹣1}单调递增，又b n＝a n，因此{b n﹣b n﹣1}单调递增…（8分）又{b n}不是“S型数列”所以，存在n0，使得﹣≤3，所以b2﹣b1≤﹣≤3，即a1（q﹣1）≤4又因为a2﹣a1＞3，即a1（q﹣1）＞3且a1，q∈N+，所以a1（q﹣1）＝4从而a1＝4，q＝2或a1＝2，q＝3或a1＝1，q＝5∴a n＝2n+1或或…（12分）（3）可取a n＝（n+1）2，验证符合（﹣）（2+）≤+≤（﹣）（2+）条件，而且a n﹣a n﹣1＝2n+1＞3 …（16分）[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，A，B，C是圆O上不共线的三点，OD⊥AB于D，BC和AC分别交DO 的延长线于P和Q，求证：∠OBP＝∠CQP．【解答】[选修4﹣1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证明：连接OA，因为OD⊥AB，OA＝OB，所以，又，所以∠ACB＝∠DOB，…（5分）又因为∠BOP＝180°﹣∠DOP，∠QCP＝180°﹣∠ACB，所以∠BOP＝∠QCP，所以B，O，C，Q四点共圆，所以∠OBP＝∠CQP．…（10分）[选修4-2：矩阵与变换]22．已知a，b∈R，矩阵A＝，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝，属于特征值5的一个特征向量为α2＝．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．【解答】[选修4﹣2：矩阵与变换]（本小题满分10分）解：由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1＝，得：＝，∴3a﹣b＝3，由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α2＝，得：，∴a +b ＝5， 解得，即A ＝．∵→→→→．∴A 的逆矩阵A ﹣1＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在极坐标系下，圆C ：p ＝2cos （）与直线l ：ρsin （）＝，点M为圆C 上的动点．求点M 到直线l 距离的最大值． 【解答】解：圆C ：p ＝2cos （） 即 x 2+y 2+2y ＝0，x 2+（y +1）2＝1，表示圆心为（0，﹣1），半径等于1的圆． 直线l ：ρsin （）＝，即ρcos θ+ρsin θ﹣2＝0，即 x +y ﹣2＝0，圆心到直线的距离等于＝， 故圆上的动点到直线的距离的最大值等于+1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知x ，y ，z 均为正数．求证：．【解答】证明：因为x ，y ，z 都是为正数， 所以①同理可得②③当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得：七、解答题（共2小题，满分10分）25．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点．（1）求异面直线AE与BF所成角的余弦值；（2）求平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值．【解答】解：（1）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知AB＝2，AA1＝1，可得A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1）．又AD⊥平面AA1B1B，从而BD与平面AA1B1B所成的角为∠DBA＝30°．又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝，由已知得得E（，，0），D（0，，0）＝（﹣1，0，1），，∴，即异面直线AE、BF所成的角的余弦值为．（2）平面AA1B的一个法向量为＝（0，1，0）．设＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量，．由，取．∴所以cos＝．平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值为．26．（10分）设集合S＝{1，2，3，…，n}（n≥5，n∈N*），集合A＝{a1，a2，a3}满足a1＜a2＜a3且a3﹣a2≤2，A⊆S（1）若n＝6，求满足条件的集合A的个数；（2）对任意的满足条件的n及A，求集合A的个数．【解答】解：（1）n＝6时，S＝{1，2，3，4，5，6}；∵a3﹣a2≤2；∴a3﹣a2＝2，或a3﹣a2＝1；当a3﹣a2＝2时，a2和a3可分别为2和4，3和5，4和6；此时对应的a1分别有1个，2个和3个；当a3﹣a2＝1时，a2和a3可分别取2和3，3和4，4和5，5和6；对应的a1分别有1个，2个，3个和4个；∴集合A的个数＝1+2+3+1+2+3+4＝16个；（2）当n≥5时，若a3﹣a2＝2，则a2和a3可分别为2和4，3和5，…，n﹣2和n；此时，对应的a1可分别为1个，2个，…，n﹣3个，共有个；同理，a3﹣a2＝1时，a1共有个；∴集合A的个数为：＝＝（n﹣2）2，n≥5，n∈N*．。

海门中学2017届高三第二次教学质量调研数学试卷一、填空题：每题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合}3,2,0,1{,02|-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=B x x x A ，那么=B A ▲ ． 2.已知复数z 知足i z i =+)43(（i 为虚数单位），那么=||z ▲ ．3.函数x x x x f ln )23()(2++=的零点的集合为 ▲ ．4.假设31tan ),2,0(,=∈απβα，21)tan(=+βα，那么=+βα2 ▲ ． 5.将函数)32sin(π+=x y 图像上的点),12(t P π-，向右平移)0(>k k 个单位长度取得点'P ，假设'P 在函数x y 2sin =的图像上，那么k 的最小值为 ▲ ． 6.已知函数⎩⎨⎧<++-≥+=0),cos(0,sin )(22x x x x x x x f α是奇函数，那么=αcos ▲ ． 7.假设双曲线),(132222R n m nm y n m x ∈=--+的焦距为4，那么实数n 的取值范围为 _____▲ ．8.假设实数y x ,知足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤+-40301y y x y x ，那么y x -2)21(的最大值为 ▲ ． 9.设n S 是公差不为零的等差数列}{n a 的前n 项和，假设25242322a a a a +=+，且279=S ，那么数列}{n a 的通项公式=n a ▲ ．10.已知圆:C 0422=-+x y x 及点)2,1(),0,1(B A -，直线l 平行于AB ，与圆C 相交于N M ,两点，AB MN =假设直线l 与直线AB 在圆心C 的同侧，那么直线l 的方程为 ____▲ ．11.假设0,0>>b a ，且直线06=-+by ax 与直线052)3(=+--y x b 垂直，那么b a 2131+的最小值为 ▲ ． 12.设R m ∈，假设过点),2(m 存在三条直线与曲线x x y 33-=相切，那么实数m 的取值范围是 ▲ ．13.在ABC ∆中，2=AB ，060=∠A ，点D 知足2=，且337=AD ，那么=• ▲ ．14.在ABC ∆中，2tan 2tan 2tan 222C B A ++的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤.15. （此题总分值14分）在ABC ∆中，c b a ,,别离是角C B A ,,所对的边，假设b c A 23)3sin(=+π （1）求角B 的大小；（2）假设2,32==c b ，求ABC ∆的面积。

2016-2017学年江苏省四校联考高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知全集I={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={2，3，6}，则（∁I A ）∩B= ．2．复数1+的实部为 ．3．如图是一个算法流程图，则输出的n 的值是4．某校在市统测后，从高三年级的1000名学生中随机抽出100名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示．则估计该校高三学生中数学成绩在 21．如图，A ，B ，C 是圆O 上不共线的三点，OD ⊥AB 于D ，BC 和AC 分别交DO 的延长线于P 和Q ，求证：∠OBP=∠CQP ．22．已知a ，b ∈R ，矩阵A=，若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α1=，属于特征值5的一个特征向量为α2=．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．23．已知在极坐标系下，圆C：p=2cos（）与直线l：ρsin（）=，点M为圆C上的动点．求点M到直线l距离的最大值．24．已知x，y，z均为正数．求证：．七、解答题（共2小题，满分10分）25．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=2，AA1=1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点．（1）求异面直线AE与BF所成角的余弦值；（2）求平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值．26．设集合S={1，2，3，…，n}（n≥5，n∈N*），集合A={a1，a2，a3}满足a1＜a2＜a3且a3﹣a2≤2，A⊆S（1）若n=6，求满足条件的集合A的个数；（2）对任意的满足条件的n及A，求集合A的个数．2016-2017学年江苏省南师附中、天一、淮中、海门中学四校联考高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知全集I={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={2，3，6}，则（∁I A）∩B= {2，6} ．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据题意和补集、交集的运算分别求出∁I A和（∁I A）∩B．【解答】解：因为全集I={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，所以∁I A={2，4，6}，又B={2，3，6}，则（∁I A）∩B={2，6}，故答案是：{2，6}．2．复数1+的实部为．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简1+得答案．【解答】解：1+=，则复数1+的实部为：．故答案为：．3．如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 6【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，执行循环体，n=2不满足条件42＞2017，执行循环体，n=3不满足条件43＞2017，执行循环体，n=4不满足条件44＞2017，执行循环体，n=5不满足条件45＞2017，执行循环体，n=6满足条件46＞2017，退出循环，输出n的值为6．故答案为：6．4．某校在市统测后，从高三年级的1000名学生中随机抽出100名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示．则估计该校高三学生中数学成绩在21．如图，A，B，C是圆O上不共线的三点，OD⊥AB于D，BC和AC分别交DO的延长线于P 和Q，求证：∠OBP=∠CQP．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】连接OA，推出∠ACB=∠DOB，证明∠BOP=∠QCP，说明B，O，C，Q四点共圆，证明即可．【解答】（本小题满分10分）证明：连接OA，因为OD⊥AB，OA=OB，所以，又，所以∠ACB=∠DOB，…又因为∠BOP=180°﹣∠DOP，∠QCP=180°﹣∠ACB，所以∠BOP=∠QCP，所以B，O，C，Q四点共圆，所以∠OBP=∠CQP．…22．已知a，b∈R，矩阵A=，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1=，属于特征值5的一个特征向量为α2=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．【考点】OH：逆变换与逆矩阵；OC：几种特殊的矩阵变换．【分析】由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1=，求出3a﹣b=3，由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α2=，求出a+b=5，由此能求出矩阵A，进而能求出A 的逆矩阵．【解答】（本小题满分10分）解：由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1=，得：=，∴3a﹣b=3，由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α2=，得：，∴a+b=5，解得，即A=．∵→→→→．∴A的逆矩阵A﹣1=．23．已知在极坐标系下，圆C：p=2cos（）与直线l：ρsin（）=，点M为圆C上的动点．求点M到直线l距离的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，把此距离加上半径就等于所求的结果．【解答】解：圆C：p=2cos（）即 x2+y2+2y=0，x2+（y+1）2=1，表示圆心为（0，﹣1），半径等于1的圆．直线l：ρsin（）=，即ρcosθ+ρsinθ﹣2=0，即 x+y﹣2=0，圆心到直线的距离等于=，故圆上的动点到直线的距离的最大值等于+1．24．已知x，y，z均为正数．求证：．【考点】R6：不等式的证明．【分析】分别对，，进行化简分析，得出与的关系，然后三个式子左右分别相加除以2即可得到结论．【解答】证明：因为x，y，z都是为正数，所以①同理可得②③当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得：七、解答题（共2小题，满分10分）25．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=2，AA1=1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于点E，F为A1B1的中点．（1）求异面直线AE与BF所成角的余弦值；（2）求平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE、BF所成的角的余弦值．（2）分别求出平面AA1B的一个法向量和平面BDF的一个法向量，由此利用向量法能求出平面BDF与平面AA1B所成的二面角（锐角）的余弦值．【解答】解：（1）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知AB=2，AA1=1，可得A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1）．又AD⊥平面AA1B1B，从而BD与平面AA1B1B所成的角为∠DBA=30°．又AB=2，AE⊥BD，AE=1，AD=，由已知得得E（，，0），D（0，，0）=（﹣1，0，1），，∴，即异面直线AE、BF所成的角的余弦值为．（2）平面AA1B的一个法向量为=（0，1，0）．设=（x，y，z）是平面BDF的一个法向量，．由，取．∴所以cos=．平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的余弦值为．26．设集合S={1，2，3，…，n}（n≥5，n∈N*），集合A={a1，a2，a3}满足a1＜a2＜a3且a3﹣a2≤2，A⊆S（1）若n=6，求满足条件的集合A的个数；（2）对任意的满足条件的n及A，求集合A的个数．【考点】15：集合的表示法．【分析】（1）n=6时，可得出S={1，2，3，4，5，6}，根据条件，可分别求出a3﹣a2=2，a3﹣a2=1时，集合A的个数，再求和即可；（2）方法和过程同（1）．【解答】解：（1）n=6时，S={1，2，3，4，5，6}；∵a3﹣a2≤2；∴a3﹣a2=2，或a3﹣a2=1；当a3﹣a2=2时，a2和a3可分别为2和4，3和5，4和6；此时对应的a1分别有1个，2个和3个；当a3﹣a2=1时，a2和a3可分别取2和3，3和4，4和5，5和6；对应的a1分别有1个，2个，3个和4个；∴集合A的个数=1+2+3+1+2+3+4=16个；（2）当n≥5时，若a3﹣a2=2，则a2和a3可分别为2和4，3和5，…，n﹣2和n；此时，对应的a1可分别为1个，2个，…，n﹣3个，共有个；同理，a3﹣a2=1时，a1共有个；∴集合A的个数为：==（n﹣2）2，n≥5，n∈N*．。