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第五章选择题1设()sin 20sin x f x t dt =⎰，()34g x x x =+，则当0x →时()f x 是()g x 的(B)(A)等价无穷小 (B)同解无穷小非等价无穷小 (C)高阶等价无穷小 (D)低阶等价无穷小()()sin 2034sin limlimxx x t dtf xg x x x →→==+⎰2230sin sin lim 34x x x x →=+22301lim 343x x x x →=+ （222sinsin sin x x x ）2设222sin 1x M dx x ππ-=+⎰，()3422sin cos N x x dx ππ-=+⎰，()23422sin cos P x x x dx ππ-=-⎰则(D) (A)N P M << (B) M P N <<(C) N M P << (D) P M N << 解：奇函数在对称区间积分为0得：222sin 01xM dx x ππ-==+⎰()3422sin cos N x x dx ππ-=+⎰342222sin cos xdx xdx ππππ--=+⎰⎰42002cos 0xdx π=+>⎰()23422sin cos P xx x dx ππ-=-⎰()2342222sin cos x xdx x dx ππππ--=+-⎰⎰4200cos 0xdx π=-<⎰3设()f x 有连续导数，()00f =，()00f '≠，()()()220xF x x t f t dt =-⎰，且当0x →时，()F x '与k x 是同阶无穷小，则k 等于(C)(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4()()()220x F x x t f t dt '⎡⎤'=-⎢⎥⎣⎦⎰()()2200x xx f t dt t f t dt '⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()2200x x x f t dt t f t dt '⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()2200x x x f t dt t f t dt ''⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()2202x x f t dt x f x x f x =+-⎰()02xx f t dt =⎰()0lim k x x F x →'()00lim 2k x x x x f t dt →=⎰()100lim 2k xx x f t dt-→=⎰()20(1)lim 2k x k x f x -→-=()30(1)(2)lim 2k x k k x f x -→--=' 若3k <()0lim k x x F x →'=∞，若3k >()0limk x x F x →'()30(1)(2)lim 02k x k k x f x -→--==' 当3k =()0limk x x F x →'()()30(1)(2)(1)(2)lim 0,220k x k k x k k f x f -→----==≠∞'' 4：设()2sin sin x t xF x e tdt π+=⎰，则()F x (A)(A) 为正常数 (B) 为负常数(C) 恒为零 (D) 不为常数sin sin t e t 是以2π为周期的函数，故()2sin sin x t xF x e tdt π+=⎰2sin 0sin t e tdt π=⎰又2sin 0sin tetdt π⎰2sin sin 0sin sin tt etdt e tdt πππ=+⎰⎰sin sin()0sin sin()()t u e tdt e u d u πππππ-=+--⎰⎰sin sin 0sin sin t u e tdt e udu ππ-=-⎰⎰sin sin 0sin sin t t e tdt e tdt ππ-=-⎰⎰()sin sin 0sin 0t t e e tdt π-=->⎰（当0x >时0x x e e -->）5设在区间[,]a b 上，()0f x >，()0f x '<，()0f x ''>，令()1ba s f x dx =⎰()()2s f b b a =-，()()()312s f b f a b a =+-⎡⎤⎣⎦，则(B) (A) 123s s s << (B) 213s s s << (C) 312s s s << (D) 231s s s <<S 2S 3S 1a bf (x)法二：由积分中值定理有()1bas f x dx =⎰()()()f b a a b ξξ=-<<，（1） 又()0f x '<且()0f x >得()()0f f b ξ>>（2） (1)（2）得21s s <()0f x ''>，故函数是凹的()()()()()()f b f a f x x a f a b a -⇒<-+-()13()()()()()b b a af b f a s f x dx x a f a dx s b a ⎡⎤-⇒=<-+=⎢⎥-⎣⎦⎰⎰ 6设()f x 连续，则()220xd tf x t dx dx -⎰等于(A)(A) ()2xf x (B) ()2xf x - (C) ()22xf x (D) ()22xf x -()220x d tf x t dx dx -⎰()()2222012x d f x t d x t dx ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦⎰ ()2012x d f u du dx ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰()()22122f x x xf x ⎡⎤=--∙=⎣⎦ （令22u x t =-）7设()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是 (A) ()20x f t dt ⎰ (B) ()20xf t dt ⎰(C) ()()0xt f t f t dt --⎡⎤⎣⎦⎰ (D) ()()0xt f t f t dt +-⎡⎤⎣⎦⎰(A)()20xf t dt ⎰令 ()20()xF x f t dt =⎰，则()20()x F x f t dt --=⎰()()22()()()xxF x f t dt f u d u --==--⎰⎰()2xf u du =-⎰()20()x f t dt F x =-=-⎰(B)()20xf t dt ⎰令 ()20()xF x f t dt =⎰，则()20()xF x f t dt --=⎰()2()xF x ft dt --=⎰()2()xfu d u =--⎰()2xfu du =--⎰()20?xf t dt =--=⎰(C)()()0xt f t f t dt --⎡⎤⎣⎦⎰令 ()()0()xF x t f t f t dt =--⎡⎤⎣⎦⎰，则()()0()xF x t f t f t dt --=--⎡⎤⎣⎦⎰ ()()0()x F x t f t f t dt --=--⎡⎤⎣⎦⎰()()0()()xu f u f u d u =----⎡⎤⎣⎦⎰ ()()0x u f u f u du =---⎡⎤⎣⎦⎰()()0()xt f t f t dt F x =---=-⎡⎤⎣⎦⎰ (D)()()0xt f t f t dt +-⎡⎤⎣⎦⎰令 ()()0()xF x t f t f t dt =+-⎡⎤⎣⎦⎰，则()()0()xF x t f t f t dt --=+-⎡⎤⎣⎦⎰ ()()0()x F x t f t f t dt --=+-⎡⎤⎣⎦⎰()()0()()xu f u f u d u =--+-⎡⎤⎣⎦⎰ ()()0x u f u f u du =+-⎡⎤⎣⎦⎰()()0()xt f t f t dt F x =+-=⎡⎤⎣⎦⎰ 8：把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰，2tan x tdt β=⎰，30sin xt dt γ=⎰排列起来，使得在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的次序是(B)(A) ,,αβγ (B) ,,αγβ (C) ,,βαγ (D) ,,βγα20cos lim lim xx x t dt xxα++→→=⎰20lim cos 1x x +→==，故x α 23300tan limlimx x x tdt x x β++→→=⎰202tan lim 3x x x x +→=22022lim 33x x x +→==，故332x β 3220sin lim limxx x t dt x x γ++→→==⎰()3sin2lim 2x x xx+→=()()33sin1lim 44x xx +→=，故24x γ 二 计算题1设()f x 连续， ()()1x f xt dt ϕ=⎰，且()0limx f x A x→=（A 为常数），求()x ϕ'并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性。
2018-2019第2学期高等数学下册复习参考资料目录第一章、向量代数与空间解析几何 (1)第一节向量及其运算 (1)第二节空间的平面和直线 (2)第三节空间曲面与空间曲线 (4)习题 (5)第二章、多元函数微分法及其应用 (5)第一节偏导数 (5)第二节全微分 (6)第三节方向导数和梯度 (8)第四节多元函数的极值以求法 (9)习题 (10)第三章、重积分 (10)第一节二重积分的概念和性质（几何意义） (10)第二节二重积分的计算法 (12)第三节三重积分的概念 (13)第四节三重积分的计算 (13)第五节重积分的应用 (15)习题 (16)第四章、曲线积分与曲面积分 (16)第一节对弧长的曲线积分 (16)第二节对坐标的曲线积分 (18)第三节格林公式 (18)第四节对面积的曲面积分 (20)第五节对坐标的曲面积分 (20)习题 (22)第五章、无穷级数 (22)第一节常数项级数的概念和性质 (22)第二节常数项级数的审敛法 (23)第三节幂级数 (24)第四节傅里叶级数 (25)习题 (26)期末模拟卷 (26)参考答案 (28)第一章、向量代数与空间解析几何第一节向量及其运算1.向量的数量积（点积）向量a⃗=(a1,a2,a3)与向量b⃗⃗=(b1,b2,b3)的数量积是一个数，其值为|a⃗||b⃗⃗|cosθ，其中θ为向量a⃗与向量b⃗⃗的夹角，记作a⃗⋅b⃗⃗，若其中有一个为零向量时，则定义其值为0，数量积的坐标表达式为a⃗⋅b⃗⃗=a1b1+a2b2+a3b3，两个向量相互垂直则称它们正交，记作a⃗⊥b⃗⃗，特别的，规定零向量与任意向量垂直。
数量积有以下基本性质：（1）a⃗⋅b⃗⃗=b⃗⃗⋅a⃗（2）(λa⃗)⋅b⃗⃗=λ(a⃗⋅b⃗⃗)（3）(a⃗+b⃗⃗)⋅c⃗=a⃗⋅c⃗+b⃗⃗⋅c⃗（4）a⃗⊥b⃗⃗的充要条件为a⃗⋅b⃗⃗=02.向量的向量积（叉积）向量积，顾名思义，就是两个向量a⃗和b⃗⃗的经过特殊的法则所合成的向量，通常该向量垂直于向量a⃗与向量b⃗⃗所在的平面，记此向量为c⃗，c⃗=a⃗×b⃗⃗，通常，向量a⃗与向量b⃗⃗交换位置后要再添加一个负号才能使其值还是c⃗，c⃗的模等于|a⃗||b⃗⃗|sinθ，θ为两个向量的夹角，应注意这里的θ范围。
西南交通大学高等数学练习题答案详解精品文档西南交通大学高等数学练习题答案详解高等数学1. 函数y?xcos2? A. 奇函数x3?x是1?xB. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 有界函数2. 函数y?2cos的周期是B.?C.?D. 0an?2，. 设数列an,bn及cn满足:对任意的n,an?bn?cn，且limn??lim?0，则limbn?n??n??A. 0B. 1C.D. -21 / 32精品文档x2?2x?14. lim=x?ix3?xA.1B. 0C.1D. ?5. 在抛物线y?x2上点M的切线的倾角为 A. 1124tan2x?，则点M的坐标为11B. C. D.426.limx?0e?1?sinxB.2 / 32精品文档1xA. 0 C. 1 D. -27. A.limx?012B. eC.1D. ?8. 设曲线y?x与直线x=2的交点为P，则曲线在P点的切线方程是 A x-y-4=0B x+y-1=0C x+y-3=0D x-y+2=09. y?x?3?sinx,则y?? A. xx?1xx?3x?cosx1B. x?3ln3?cosxxxC. xlnx?3ln3?cosxxxD. x?3ln3?cosx3 / 32精品文档xx10. f在点x0可微是f在点x0连续的 A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 无关条件11. 函数y?2x3?6x2?18x?7单调减少的区间是 A.B. x? D.C. ,12.?sin3xdx?11cos3x?c B. ?cos3x?C C. ?cos3x?C D. cos3x?C3 21dt，则??? 13. 设??? sinx1?t21cosxcosx1?? A.B.C.D.1?sin2x1?sin2x1?sin2x1?sin2xA.14. 函数5e的一个原函数为 A.e5x5xB.e4 / 32精品文档5xC.15xeD. ?e5x15.??2??2xcos3xdx= B.A.2???4C. 0D.216. 下列广义积分收敛的是 A.5 / 32精品文档??dxx1B.dx? 022C.??11dx 1?xD.?adxa?x2217. 下列集合可作为一条有向直线在空间直角坐标系中的方向角?,?,?的是 A. 5?，45?，60?C. 0?，45?，60?，18. 设函数f?xy? A. 06 / 32精品文档B. 12B.5?，60?，60? D.5?，60?，90? y，则f?=xxC. ?1D.2219. 设函数u?ln，则du2=A.1C. dx?dy?dz 0.24D.3B.7 / 32精品文档23x ??xA?2xcos2x B xsinx2C sinxDsin2x2. 当D?{|x2?y2?1} 时,则??dx?DA ?B 1C 0D ?a23. 设a?0,则?? A.?B.?C.发散D.?4225. 曲面z?x2?y2在点处的切平面方程是A.?4??0 B ?4??0 C. ?2??0，D.?4??0?26. 判断级数?n?118 / 32精品文档n?12n2?n是 A绝对收 . B条件收敛. C 发散 . D 以上都不正确 . ?g27. f???x,x?0其中g?=2要使f在x?0处连续，则a?A. 0B. 1C.D. e28. 方程y???4y?0的通解是 A. y?Ce2x?Ce?2xC.y?C1e2x?C2e?2x?B. y?C1e2x?e?2x D. y?e2x?C2e?2xn?1x2n?129. ?内的和函数是n?1!AsinxB cosx Cex30. 设f?3??x9 / 32精品文档20tdt,，则f=西南交通大学网络教育2010年秋季入学考试模拟题高等数学1.函数y?x2sinx?ln,则y?? A. xx?1x3?3x?cosx2B. x?3ln3?cosx D. x?3ln3?cosxxxxxC. x?3x?sinxx7. f在点x0可导是f在点x0连续的 A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 无关条件8. 函数y?2x3?6x2?18x?7单调减少的区间是 A.B. x? D.10 / 32精品文档C. ,1x9. 曲线y?e?1的水平渐近线方程为 A. x?1B. y?1C. x?0D.y?0210.?5一、填空题: 1(设函数z?z是由?nxz?lnzy所确定，则dz?0,1,1??dx?dy (?2(设幂级数?anx的收敛区间为??3,3?，则幂级数?an?x?1?的收11 / 32精品文档n?0n?0n敛区间为 ??2,4? ((设函数??x,f???0,y???x?00?x??的付氏级数的和函数为S，则S??2(4(设z?f，其中f具有连续的二阶偏导数，则x??z?x?y2=1x???f121x12 / 32精品文档2f2??yx3?? ( f225(设幂级数?an?x?1?在x?0处收敛，而在x?2处发散，则幂级数?anxn的n?0n?0n?收敛域为 [?1,1)((函数?n?1?n关于x的幂级数展开式为 ? ( f??1??x,x?2n?1x?x?2n?0?2?3?y7(设函数z?x，则dz? dx?2ln2dy8(曲线x?t,y??t2,z?t3的切线中，与平面x?2y?3z?6垂直的切线方程是13 / 32精品文档x?11?y?1?2?z?13z(9(设z?z是由方程e?zsin?lna a?0为常数所确定的二元函数，则 dz? yzcose?sin2zdx?xzcose?sinzdy(10.旋转抛物面z?x?y的切平面:x?4y?8z?1?0，2平行与已知平面x?y?2z?1.111(微分方程2y???y??y?0的通解为 Y?C1e2x?C2e14 / 32精品文档?x，1x2y???y??y?e的通解为 y?C1e2?C2ex?x?12e(x12.曲线?:x??tecosudu,y?2sint?cost,z?1?eu3t在点?0,1,2?处的切线方程为3(函数f?1x?4的麦克劳林级数的第5项为?x44515 / 32精品文档，收敛域为.14.(已知函数f?2x?3y?x?y,有一个极值点，则a?2, b?3，此时函数f 的极大值为 .ab15.试写出求解下列条件极值问题的拉格朗日函数:分解已知正数a为三个正数x,y,z之和，使x,y,z的倒数之和最小L?x,y,z??1x?1y?1z???x?y?z?a?16函数f?xln?1?x?的麦克劳林级数的收敛域为x???1,1?，f?二、单项选择题:请将正确结果的字母写在括号内。
04-05高等数学II解答西南交通大学2004～2005学年（2）高等数学II 期末试题一、单项选择题（每小题3分，共15分）。
1． 极限(,)(0,0)3limx y x yx y →-+（ C ）。
（A ）等于0； （B ）等于12； （C ）不存在； （D ）存在但不等于12也不等于0 2． 设可微函数(,)f x y 在点00(,)x y 取得极值，则下列结论正确的是（ A ）。
（A ）0(,)f x y 在0y y =处的导数等于零； （B ）0(,)f x y 在0y y =处的导数大于零； （C ）0(,)f x y 在0y y =处的导数小于零； （D ）0(,)f x y 在0y y =处的导数不存在 3． 下列级数中发散的级数是（ C ）。
（A ）∑∞=+1)1(1n n n ； （B ）∑∞=-1)1(n n n ； （C ）∑∞=11n n ； （D ）∑∞=121n n4． 微分方程x xe y y y 265=+'-''的特解形式是（ D ）。
（A ）)(2c bx ae x ++ ； （B ）x e b ax 2)(+；题目 一 二 三 四 五 六 七 八总 分 12 得分（C ）x e b ax x 22)(+ ； （D ）x e b ax x 2)(+5． ∑为平面42z x y =--被柱面222x y +=所截的部分，则曲面积分()2I x y z dS ∑=++⎰⎰的值为（ C ）。
（A ）8π； （B ）16π； （C ）6π； （D ）6π 二、填空题（每小题4分，共20分）。
1． 二重积分⎰⎰Dxydxdy ＝98（其中D 是由直线2,1==x y 及x y =所围成的闭区域）。
2． 曲面223z z e xy -+=在点（1，2，0）处的切平面方程为4(2)2(1)0x y z -+-+=。
3． 周期为2π的函数)( 2)(ππ<≤--=x x x f 的傅里叶级数的和函数为()s x ，则其在π5-=x 处的值)5(π-s 等于 2 。
一、填空题： 1．设函数(,)z z x y =是由ln x zz y=所确定，则()0,1,1dz =dx dy + ． 2．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛区间为()3,3-，则幂级数()01nn n a x ∞=-∑的收敛区间为 ()2,4- ．3．设函数,0()0,0x x f x x ππ--<≤⎧=⎨<≤⎩的付氏级数的和函数为()S x ，则(5)S π=2π．4．设),(xyx f z =，其中f 具有连续的二阶偏导数，则y x z∂∂∂2= 223221211f xy f x f x ''-'-'' ． 5．设幂级数()01nn n a x ∞=-∑在0x =处收敛，而在2x =处发散，则幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛域为 [1,1)-．6．函数23)(2-+=x x x f 关于x 的幂级数展开式为 110(1)1,(1,1)2n n n n x x +∞+=⎡⎤--∈-⎢⎥⎣⎦∑ ． 7．设函数y z x =，则(2,1)dz = 2ln 2dx dy +8．曲线23,,x t y t z t ==-=的切线中，与平面236x y z -+=垂直的切线方程是111123x y z -+-==-． 9．设),(y x z z=是由方程sin()ln z e z xy a -= 0a >为常数所确定的二元函数，则 =dz cos()cos()sin()sin()z zyz xy xz xy dx dy e xy e xy +--． 10.旋转抛物面22zx y =+的切平面： 44810x y z -++=，平行与已知平面21x y z -+=.11．微分方程20y y y '''+-=的通解为 1212x x YC eC e -=+，2x y y y e '''+-=的通解为 121212x x x yC eC e e -=++．12.曲线：Γt tu e z t t y udu e x 301,cos sin 2,cos +=+==⎰在点()2,1,0处的切线方程为 3．函数41)(-=x x f 的麦克劳林级数的第5项为544x -，收敛域为)4,4(-.14.．已知函数(,)23a b f x y x y x y =+--（其中,a b 是大于1的实数）,有一个极值点(1,1)， 则3,2==b a ， 此时函数(,)f x y 的极大值为 3.15.试写出求解下列条件极值问题的拉格朗日函数：分解已知正数a 为三个正数z y x ,,之和，使z y x ,,的倒数之和最小()()a z y x zy x z y x L -+++++=λ111,, 16函数()x x x f -=1ln )(的麦克劳林级数的收敛域为[)1,1-∈x ，=)0()5(f-30二、单项选择题：请将正确结果的字母写在括号内。
西南交通大学网络教育2009年春季入学考试模拟题高等数学（一）一、填空题 1201lim 2x x e x x →-=、2323201441lim 2255x x x x x x x →+++=-++3201cos 2lim 2x x x →-= 4211lim )1x x x x e→∞-=+（5设 y 2tan (0),x x x x x =++>则='y [2(ln 1)2ln 2sec x x x x x +++] 6设 y 3sin (0),x x x x x =++>则='y [2(ln 1)3cos x x x x x +++] 7设 y 2tan ,x x =则22ln 2tan 2sec x x y x x '=+823(x x dx =⎰962269x x C -+ 9s e ct a n s e c )s e c t a nx x x d x x x c -=-+⎰（ 10设2sin 0(),xt f x xe dt -=⎰则22sin sin 0()[cos ]xt xf x e dt xex --'=+⎰112-=⎰120,(aaa x dx ->=⎰设则22a π131(0)2a π>=二、选择题：1.函数2sin ln(y x x x x =+是（ A ）A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 有界函数2. 函数2sin(2)3y x π=+的周期是（ B ）A. 2πB.πC.2π D. 03.201cos 2lim tan x x x→-=（ C ） A. 0B. 1C. 2D. -24. 1tan 0lim 1sin )xx x →+=（（ B ）A.21B. eC.1D. ∞5. 设曲线xye z =与直线x=2,y=2的交点为P ，则曲线在P 点的切线方程是（ A ） A ex+ey-z=e B e x+ey-z =0C 2x+y -3z =0D 4x-y -4=0 6. 设 y 3cos (0),x x x x x =++>则='y ( C ) A. 13cos x x xx -++B. (ln 1)3ln3cos x x x x x +++C. 2(ln 1)3sin x x x x x ++-D. 3ln 3cos xxx x ++7. )(x f 在点0x 可导是)(x f 在点0x 连续的（ A ） A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 无关条件8. 函数7186223---=x x x y 单调减少的区间是（ A ） A. (,1)-∞-B. )3 ,1(-∈xC. (,1),(3,)-∞-+∞D. (3,)+∞9. 曲线11xy e =-的水平渐近线方程为（ D ） A. 1=xB. 1=yC. 0=xD.0=y10. 2cos sec )sin tan x x dx x x c -=++⎰（（ A ）A. cos tan x x c ++B. sin tan x x +C. sin tan x x c ++D. sin cot x x c ++ 11. 设2sin 0(),xt f x te dt -=⎰则()f x '=( D )A. 2sin ()sin 2xf x xe -'= B. 2sin()cos sin xf x x xe '=C.2sin()sin xf x xe -'=D.2sin ()cos sin xf x x xe-'=12. 当22{(,)|1}D x y x y =+≤时，则22()Dxy x dx ++⎰⎰=（ A ）A2πB 1C π2D 013. 0,(sin aaa x dx ->=⎰设则 （ C ）A. π32B. 34C.22a π D.32 14.积分12-=⎰（ D ）A. πB.4π C.π32D. 015. 橢球面 2222221x y z a b c ++=在点000(,,)x y z 处的切平面是（ C ）A.0001x x y y z z a b c ++= B 000x x y y z z abc ++= C. 0002221x x y y z z a b c ++=， D.0002221x x y y z z a b c---++= 16. 判断级数1211(1)21n n n ∞-=--∑是( A )A 绝对收 .B 条件收敛.C 发散 .D 以上都不正确 .17. 设1(1sin ),0(), 0x x x f x a x ⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩要使)(x f 在0=x 处连续，则=a （ D ）A. 0B. 1C. e1D. e18. 方程0823=-'-''y y y 的通解是（ B ） A. 33e exxy C C -=+ B. x xC C y 34221ee-+=C. x x C C y 3231e e -+=D. 332e exxy C -=+19. 内的和函数是在),()!1()1(111+∞-∞--∑∞=--n n n n x （ A ）A xe- B )1ln(x - Cx+11D x +1 20.(0)a =>上任何一点处的切平面各坐标舳上的截距之和等于（ C ）A.B. 000x y zC. aD.轩辕杨杰Nc西南交通大学网络教育2009年春季入学考试模拟题高等数学（二）一、填空1 2323232[ln()]y dy xdxd y x y x ++=+2 22++(2)x yx yzz exe xδδ=⇒=4 球面 2222221a x b y c z ++=在点000(,,)x y z 处的切平面是（ 2220001a x x b y y c z z++=） ； 5当时}4|),{(22π≤+=y x y x D ，则22sin()D x y dx +=⎰⎰2(1sin)4ππ-6当22{(,)|1}D x y x y =+≤时，则=⎰⎰+dx e Dy x)22(1)e π-7幂级数21(1)3n nnn x n ∞=-∑的收敛半径是x =8幂级数21(1)n nn x n n∞=-+∑的收敛半径是 19幂级数nn nn x ne21)1(∑∞=-的收敛半径是e 10函数)]11(,)1([)1ln()(11∑∞=-≤<--+=n nn x n x x x x f 的幂级数为展开为11函数2(ln3)()3[,()]!2xn nnn x f x x x n ∞==-∞<<+∞∑展开为的幂级数为二、选择题1.函数2sin y x x = A ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 有界函数2. 函数2cos(2)3y x π=+的周期是（ B ）A. 2πB.πC.2π D. 03.2tan 201lim sin xx e x →-=（ C ） A. 0B. 2C. 1D. -24. 10lim 1sin )xx x →+=（（ B ）A.21 B. e C.1D. ∞5. 设曲线2x y =与直线x=2的交点为P ，则曲线在P 点的切线方程是（ A ） A 4x-y -4=0 B x+y-1=0C 2x+y -3=0D 2x-y+2=06. y 3sin (0),x x x x x =++>则='y （ B ） A. 13cos x x xx -++B. (ln 1)3ln3cos x x x x x +++C. ln 3ln3cos xxx x x ++D. 3ln 3cos xxx x ++7. )(x f 在点0x 可微是)(x f 在点0x 连续的（ A ） A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 无关条件8. 函数7186223---=x x x y 单调减少的区间是（ C ） A. (,1)-∞-B. )3 ,1(-∈xC. (,1),(3,)-∞-+∞D. (3,)+∞9. 曲线121xy =-的水平渐近线方程为（ D ） A. 1=xB. 1=yC. 0=xD.0=y10. 23(x xdx -=⎰（ B ）A.962962x x C -+ B. 962269x x C -+ C. 962269x x C -+ D. 66x C + 11. 设 2sin 0(),xt f x te dt -=⎰则（ C ）A. 2sin ()sin 2xf x xe -'= B. 2sin ()cos sin xf x x xe -'=C.2sin()sin xf x xe -'=D.2sin()cos xf x xe -'=12. 当时}144|),{(22≤+=y x y x D ,则=+⎰⎰dx x D)23(（ A ） A π8 B 1 C π2 D 013. 0,(sin aaa x dx ->=⎰设则 （ C ）A. π32B. 34C.22a π D.32 14.广义积分0(0)aa >=（ D ）A.πB.4π C.发散D. 2π15. 曲面22y x z +=在点(1, 2, 5)处的切平面方程是（ B ）A. 2(1)4(2)(5)0x y z -+-+-= B 0)5()2(4)1(2=---+-z y x C. (1)2(2)(5)0x y z -+---=，D. 2(1)4(2)(5)0x y z -+--+=16. 判断级数∑∞=-+-121121)1(n n n 是( A )A 绝对收 .B 条件收敛.C 发散 .D 以上都不正确 .17. 设1(1),0(), 0x x x f x a x ⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩要使)(x f 在0=x 处连续，则=a （ D ）A. 0B. 1C. e1D. e18. 方程09=-''y y 的通解是（ C ） A. 33e exxy C C -=+ B. 331e e x x y C -=+ C. x x C C y 3231e e -+=D. 332e exxy C -=+19. 内的和函数是在),()!1()1(111+∞-∞--∑∞=--n n n n x （ A ）A xe- B )1ln(x - Cx+11D x +1 20. 设20()4,xf x t dt +=⎰，则()f x =（ C ）A. 3()3x f x =B. 3()23x f x =- C. 3()43x f x =-D. 3()4f x x =-西南交通大学网络教育2009年春季入学考试模拟题高等数学（三）一、填空题 120sin 1lim 2x x e x x →-=2323203543lim 2244x x x x x x x →+++=-++3 201cos 2lim 2sin x x x →-= 4cot 0lim 1sin )x x x e →+=（5设 y cos (0),x x x e x x =+->则='y [(ln 1)sin x x x x e x +++] 6设 y 42(0),x x x x x =++>则='y [3(ln 1)42ln 2x x x x x +++] 7设 y 2tan ,x x =则22ln 2tan 2sec x x y x x '=+82(x x dx =⎰742247x x C -+ 9 21sin tan )sin 2ln cos 24x x x dx x x c -=-++⎰（ 10设22(),x t f x te dt -=⎰则43()[2]x f x x e-'=1121ln x x -+=⎰12 0,(sin aaa x dx ->=⎰设则22a π133)0(322a a dx x a x a⎰=>-二、选择题：1. 函数4sin y x x = A ）A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 有界函数2. 函数tan(2)y x =的周期是（ C ） A. 2πB.πC.2π D. 03.21211lim sin(1)x x e x -→-=-（ B ） A. 0B. 1C. 2D. -24.lim xx x x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭1+-1（ D ） A.21B. eC.1D. 2e5. 设曲线sin y x =与直线2x π=的交点为P ，则曲线在P 点的切线方程是（ A ）A 1y =B 4x-y -4=0C 2x+y -3=0D 2x-y+2=0 6. y 2tan (0),x x x x x =++>则='y （ B ） A. 13cos x x xx -++B. 2(ln 1)2ln 2sec x x x x x +++C. ln 3ln3cos xxx x x ++D. 3ln 3cos xxx x ++7. )(x f 在点0x 可微是)(x f 在点0x 可导的（ C ） A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 无关条件8. 函数7186223---=x x x y 单调增加的区间是（ B ） A. (,1)-∞-B. (,1),(3,)-∞-+∞C. )3 ,1(-∈xD. (3,)+∞9. 曲线11(1)xy a a =->的水平渐近线方程为（ D ） A. 1=xB. 1=yC. 0=xD.0=y10. 23(x xdx -=⎰（ B ）A.962962x x C -+ B. 962269x x C -+ C. 962269x x C -+ D. 66x C + 11. =⎰-xxdt t dx d 2sin ( C ) A x x 2cos 2- B 2x 2sin x C 2sin 2x D x 2sin 12. 当22{(,)|1}D x y x y =+≤时,则(sin 2)Dx dx +=⎰⎰（ D ）A π8B 1C 0D π213. 0,(sin aaa x dx ->+=⎰设则 （ A ）A. 0B. 34C.22a π D.32 14.广义积分0(0)aa >=（ D ）A.πB.4π C.发散D. 2π15. 曲面22y x z +=在点(1, 2, 5)处的切平面方程是（ B ）A. 2(1)4(2)(5)0x y z -+-+-= B 0)5()2(4)1(2=---+-z y x C. (1)2(2)(5)0x y z -+---=，D. 2(1)4(2)(5)0x y z -+--+=16. 判断级数1211(1)2n n n n∞-=-+∑是( A ) A 绝对收 . B 条件收敛. C 发散 . D 以上都不正确 .17. (),0(), 0g x x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中(0)g '=2要使)(x f 在0=x 处连续，则=a （ C ）A. 0B. 1C. 2D. e18. 方程40y y ''-=的通解是（ C ） A. 22ee xx y C C -=+B. 221e e x x y C -=+C. 2212e e x x y C C -=+D. 222e e x x y C -=+19. 1211(1)(,)(21)!n n n x n --∞=--∞+∞-∑在内的和函数是（ A ）A sin xB cos xC x eD x +1 20. 设20()3,xf x t dt +=⎰，则()f x =（ D ）A. 3()3x f x =B. 3()23x f x =- C. 3()43x f x =-D. 3()33x f x =-。
题目一二三四五总分91011121314151617得分西南交通大学2008－2009学年第(2)学期考试试卷班 级 学 号 姓 名密封装订线 密封装订线 密封装订线课程代码 6011320 课程名称 高等数学II （A卷）考试时间 120分钟阅卷教师签字：1、 单项选择题（每小题4分，共16分）．1． 对于微分方程，其特解设法正确的是（ B ）． （A）； （B） ； （C）； （D）2． 设空间区域，，则 ( c ) ． （A）； （B） ；（C）； （D）3． 设，且收敛，，则级数（ B ）．（A）条件收敛； （B）绝对收敛； （C）发散； （D）收敛性与有关。
4． 设二元函数满足，则（ D ）． （A）在点连续； （B）；（C），其中为的方向余弦；（D）在点沿x轴负方向的方向导数为．2、 填空题（每小题4分，共16分）．5. 设函数，则= 1 ．6. 曲面被柱面所割下部分的面积为 ．7. 设，而，其中则 ， 0 ．8. 幂级数的收敛域为 [1，3] ．3、 解答下列各题（每小题7分，共28分）．9. 设是由方程确定的隐函数，可微,计算．解： ，10. 在曲面上求一点，使该点处的法线垂直于平面．解：令，则在点的法向量为，平面的法向量为。
，得，又得，故满足题意的点为（-3，-1，3）11. 将函数展开为的幂级数．解：12. 计算，是由曲面及所围成的闭区域．解：=4、 解答下列各题（每小题10分，共30分）13. （10分）设具有二阶连续导数，，曲线积分与路径无关．求．解： ，的通解为设特解，代入得的通解为。
由，得。
14. （10分）计算积分，其中为圆周（按逆时针方向）．解（1）故当时，在所围的区域内有连续偏导，满足格林公式条件。
（2）故当时，构造曲线（取得足够小保证含在所围区域）方向为逆时针，即。
则曲线围成复连通区域且为的正向边界。
故在复连通区域满足格林公式条件，故即15. （10分）计算，其中为锥面被 所截部分的外侧．解5、 综合题（每小题5分，共10分）16. 在椭球面上求一点，使函数在该点沿方向的方向导数最大，并求出最大值．解：问题变为求在下的最大值点。
西南交通大学2019－2020学年第2学期半期测试课程代码 MATH011512 课程名称 高等数学II 考试时间 60 分钟注意：本试卷共9道大题，需要详细解答过程，将答案写在答题纸上，考试结束前拍照上传。
要求独立完成，诚信参考！考试诚信承诺书。
我郑重承诺：我愿意服从学校本次考试的安排，承认考试成绩的有效性，并已经认真阅读、了解了《西南交通大学考试考场管理办法》和《西南交通大学本科生考试违规处理办法》，我愿意在本次考试过程中严格服从监考教师的相关指令安排，诚信考试。
如果在考试过程中违反相关规定，我愿意接受《西南交通大学本科生考试违规处理办法》的规定处理。
您是否同意：A. 同意B. 不同意选择B 选项，本次考试无效。
一（10分） 、判断直线1212:012+--==-x y z L 与222:2+=⎧⎨+-=⎩x y L x y z 的位置关系，并给出理由。
解 法一 化2L 为对称方程12:121-==--x y zL （不唯一） 故12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，（不唯一）分别过点()()122,1,20,2,0=-=、M M计算121201212110212-⎡⎤=--=-⎣⎦-，，s s M M （8分）（不唯一，只要最终表明混合积不为零即可）这表明直线异面（而且12⊥s s 表明其异面垂直）法二 1L 的参数为2122=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩x y t z t ，（不唯一）代入2L 得41221222-++=⎧⎨-++-+=⎩t t t （*），（*）无解，这表明12、L L 无交点，故它们要么平行要么异面，注意到12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，它们不平行，这表明12、L L 异面。
二 （10分）、 设函数()22,=z f xy x y ，其中f 具有二阶连续偏导数，求d z 及22∂∂z x。
西南交通大学2017－2018学年第1学期半期测试卷 课程代码1271046 课程名称 高等数学BI 考试时间90分钟参 考 评 分 标 准一. 选择题（每小题4分，共20分）1、下列结论中正确的是（ C ）.（A ）有界数列必然收敛;（B ）发散数列必然无界;（C ）若2lim n n x a →∞=，21lim n n x a +→∞=，则lim n n x a →∞=;（D ）若3lim n n x a →∞=，31lim n n x a +→∞=，则lim n n x a →∞=.2、已知0→x 时2ln(1)ax +与1x e x --等价无穷小，则a =（ B ）.（A ）1;（B ）12;（C ）1-; （D ）12-.3、若函数()()(1)x e bf x x a x -=--有无穷型间断点10x =和可去间断点21x =，则（ A）. （A ）0,a b e ==; （B ）,0a e b ==; （C ）0,1a b ==; （D ）1,0a b ==.4、设函数()f x 在点0x 处可导，则（ D ）.（A ）()f x 在点0x 处不一定有极限; （B ）()f x 在点0x 处不一定连续;（C ）()f x 在点0x 处不一定可微; （D ）()f x 在点0x 处不一定二阶可导.5、函数(1)(2)(3)(4)y x x x x x =----的导函数有（ C ）个零点.（A ）1;（B ）2;（C ）4; （D ）5.二. 填空题（每小题5分，共25分）1、已知为常数，且23lim()1ax x x e x →∞+=+，则a =1.2、若(1)(1)2f f '==，则220(1)(1)lim x f x f x →+-=8.3、设函数1(arctan )y f x =，其中()f x 为可导函数，则d y =211-(arctan )d +1f x x x '.4、函数sin (0)x y x x =>的导函数为sin sin (cos ln )x xx x x x +.5、函数ln(12)y x =-在0x =处的n 阶导数()(0)n y =2(1)!n n --.三. 计算题（每小题7分，共21分）注意：解题方法不唯一1、求20lim x x x +→解：原极限00lim lim x x x e ++→→=⋅（3分）20212lim 12x x x +→=1=（7分） 2、求tan 01lim ()x x x+→； 解：原极限0lim tan ln tan ln 0lim x x x x x x e e +→+--→==（2分） 其中000021ln lim tan ln lim ln lim lim 011x x x x x x x x x x x x++++→→→→====-（6分） 所以原极限01e ==（7分）3、求2011lim()tan x x x x→-. 解：原极限2300tan tan limlim tan x x x x x x x x x →→--==（3分） 220sec 1lim 3x x x→-=（5分） 220tan 1lim 33x x x →==（7分） 四. 解答题（每小题9分，共27分）注意：解题方法不唯一1、求曲线方程()sin ln()xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程.解：方程两边对x 求导得：()()1cos (1)1xy y xy y y x''++-=-（1）（4分） 将0,1x y ==代入（1）式得：(0)1y '=（6分）所求切线方程为：1y x =+.（9分）2、求由参数方程2ln(1)arctan x t t y t⎧=-+⎨=⎩确定的函数的一阶导数d d y x 和二阶导数22d d y x . 解：22221d (arctan )112d (ln(1))(1)11y t t t x t t t t '+==='-+--+（4分） 考虑参数方程22d 1d (11)ln()x t y x t t ⎧=-+=-⎪⎨⎪⎩，求导得： 2232225212(ln(112()d 2()(1)(1)d (1)))11y t t x t t t t t t -+'-+-'---===-+.（9分） 3、已知32ln(1-),0()1sin ,0x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，求()f x '. 解：当0x >时，2111()(sin )2sin cos f x x x x x x''==-.（2分） 当0x <时，233()1-x f x x-'=.（4分） 当0x =时，2001sin ()(0)lim lim 0x x x f x f x x x ++→→-==;（6分）300()(0)ln(1)lim lim 0x x f x f x x x--→→--==,（8分） 所以(0)0f '=.（9分）五. 证明题（共7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在()0,1上可导，且(0)(1)1f f =-=，证明：存在()0,1ξ∈，使得()3()0f f ξξξ'+=.证明：设3()()F x x f x =，则32()()3()F x x f x x f x ''=+.（3分）因为(0)(1)1f f =-=，由零点定理，存在()0,1η∈，使得()0f η=，即()0F η=.（5分） 又因为(0)0F =，所以由中值定理，存在()()0,0,1ξη∈∈，使得()0F ξ'=，即()3()0f f ξξξ'+=.（7分）。
班 级 学 号 姓 名
二、填空题（5个小题，每小题4分，共20分） 7. 已知21)1('=
f ，则=--→h
f h f h )
1()1(lim 0 ； 8. 如果dt t x x ⎰
=
2
sin )(ψ，则=)('x ψ ；
9． =⎰xdx ln ； 10. =⎰+∞
-dx e x 02
x 11. 方程
y e dx
y
-x d =的通解为 。
三、计算题（4个小题，共41分，要求有必要的解题步骤）
12．（7分) 求极限x x x x 20
sin 2arcsin lim
→；
13.（7分）由参数方程为参数）
t 为常数，a ，（其中)
cos 1(y )sin (x ⎩⎨
⎧-=-=t a t t a ，所确定的函数的一阶导数dx
y
d ；
14.（7分)设 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=3
0,902,x
)(2
x x x x f ，求 ⎰
-3
2
)(dx
x f ；
15.（10分) 求
⎰
dx x
x 4
-
1
；
16．（10分）求微分方程 x e y y y 2'
2"=+-的通解。
四、应用题与证明题（2个小题，共15分，要求有必要的解题步骤） 17. （7分）求内接于半径为R 的圆内的长方形的最大面积。
.
18. （8分）曲线 1=xy 与直线 3x 及1x ==，及x 轴围成一个曲边梯形，求该图
形绕 x 轴旋转 一周所得旋转体的体积；。
一、填空题：1．设函数(,)z z x y =是由ln x zz y=所确定，则()0,1,1dz =dx dy + ． 2．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛区间为()3,3-，则幂级数()01nn n a x ∞=-∑的收敛区间为 ()2,4- ．3．设函数,0()0,0x x f x x ππ--<≤⎧=⎨<≤⎩的付氏级数的和函数为()S x ，则(5)S π=2π．4．设),(xyx f z =，其中f 具有连续的二阶偏导数，则y x z∂∂∂2= 223221211f xy f x f x ''-'-'' ． 5．设幂级数()01nn n a x ∞=-∑在0x =处收敛，而在2x =处发散，则幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛域为 [1,1)-． 6．函数23)(2-+=x x x f 关于x 的幂级数展开式为110(1)1,(1,1)2n nn n x x +∞+=⎡⎤--∈-⎢⎥⎣⎦∑ ． 7．设函数y z x =，则(2,1)dz = 2ln 2dx dy +8．曲线23,,x t y t z t ==-=的切线中，与平面236x y z -+=垂直的切线方程是111123x y z -+-==-． 9．设),(y x z z=是由方程sin()ln z e z xy a -= 0a >为常数所确定的二元函数，则 =dz cos()cos()sin()sin()z z yz xy xz xy dx dy e xy e xy +--．10.旋转抛物面22zx y =+的切平面： 44810x y z -++=，平行与已知平面21x y z -+=.11．微分方程20y y y '''+-=的通解为 1212x x YC eC e -=+，2x y y y e '''+-=的通解为 121212x x x yC eC e e -=++．12.曲线：Γt tu e z t t y udu e x 301,cos sin 2,cos +=+==⎰在点()2,1,0处的切线方程为 3．函数41)(-=x x f 的麦克劳林级数的第5项为544x -，收敛域为)4,4(-.14.．已知函数(,)23a b f x y x y x y =+--（其中,a b 是大于1的实数）,有一个极值点(1,1)， 则3,2==b a ， 此时函数(,)f x y 的极大值为 3.15.试写出求解下列条件极值问题的拉格朗日函数：分解已知正数a 为三个正数z y x ,,之和，使z y x ,,的倒数之和最小()()a z y x zy x z y x L -+++++=λ111,, 16函数()x x x f -=1ln )(的麦克劳林级数的收敛域为[)1,1-∈x ，=)0()5(f-30二、单项选择题：请将正确结果的字母写在括号。
1．二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处两个偏导数),(00y x f x'， ),(00y x f y'存在是),(y x f 在该点连续的 【 D 】 （A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件2．函数),(y x f z =在点),(00y x 处两个偏导数),(00y x f x'，),(00y x f y '存在是),(y x f 在该点可微分的 【 B 】（A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件3．设),(y x z z =是由方程0),(=--bz y az x F 所确定的隐函数，其中),(v u F 是可微函数，b a ,为常数，则必有 【 A 】（A ）1=∂∂+∂∂yz b xz a （B ）1=∂∂-∂∂y z a x z b （C ）1=∂∂-∂∂yz b x z a （D ）1=∂∂+∂∂yz a x z b4．微分方程222x d y dyy e dx dx-+=特解*y 的形式为 【 C 】（A ）x Ae （B ）x Axe （C ）2x Ax e （D ）2()x Ax B x e + 5．若级数∑∞=1n n a 收敛，则下列结论正确的是 【 B 】（A ）∑∞=12n n a 收敛 （B ）∑∞=++11)(n n n a a 收敛（C ）∑∞=-1)1(n n na 收敛 （D ）∑∞=1n n a 收敛6．下列级数中条件收敛的是 【 B 】（A ）1(1)1nn n n ∞=-+∑ （B ）∑∞=+-11)1(n nn n （C ）21(1)n n n ∞=-∑ （D ）∑∞=+-121)1(n nnn 7．曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(-处的切平面方程为 【 C 】 （A ）632=-+z y x （B ）634=-+z y x (C) 632=-+z y x (D) 63=-+z y x 8． 原点)0,0(是函数2(,)f x y xy y =-的 【 C 】（A ）极小值点 （B ）极大值点 （C ）驻点却不是极值点 （D ）非驻点9．下列方程中是一阶线性微分方程是 【 D 】 （A ）2)(()0y dx x d x y y ++-= （B ）(ln ln )dy y x dx =-（C ）25yy y x '-= （D ）25xy y x '-= 10．设p为常数，则级数n n ∞= 【 B 】（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）收敛性与p 有关11.设dy e y x dx e x y xy x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+12是函数),(y x u 的全微分，则其中一个),(y x u 为 (A ) yxye x y ++2(B ) 12++yx e x（C ） 12-+yx ye x （D ）yx e x yx -+212.级数()∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-111n n n n 的敛散情况是 【 C 】 （A ） 条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ） 发散 （D ）敛散性不能确定 三、计算下列各题：1.设()2,sin ()xz f xy y g ye =+，其中函数,f g 具有二阶连续偏导数，求xz∂∂，y x z ∂∂∂2．解： 21x z f y g ye x ∂''=+∂，222111122(2cos )x x z y f y f xy f y g e g ye x y∂''''''''=++++∂∂. 2. 设()u f z =，函数f 可导，且方程23z z e xy -+=确定了函数(,)z z x y =，求ux∂∂． 【 解 】 因()u zf z x x∂∂'=∂∂，方程23z z e xy -+=两端对x 求偏导，得 20z z z e y x x ∂∂-+=∂∂， 解得21z z yx e ∂=∂-，故2()()1z u z y f z f z x x e ∂∂''==∂∂-。
3. 求级数0(1)21n n n ∞=-+∑的和。
【 解 】考查幂级数210(1)21n n n x n ∞+=-+∑，因 221()23lim lim ()21n n n n u x n x x u x n +→∞→∞+=⋅=+，所以，当12<x ，即)1,1(-∈x 时，幂级数绝对收敛。
在1±=x 处，原幂级数成为收敛。
故，幂级数的收敛域为]1,1[-，在]1,1[-，设=)(x S 210(1)21n n n x n ∞+=-+∑，上式两边对x 求导，221()(1)1n n n S x x x∞='=-=+∑，该式两边从0到x 积分，得 201()(0)arctan 1xS x S dx x x -==+⎰又0)0(=S ，因此()arctan ,[1,1]S x x x =∈-故 0(1)21nn n ∞=-+∑arctan14π== 4．求原点到曲面24z xy x y =+-+的最短距离。
【 解 】设点(),,M x y z 为曲面24z xy x y =+-+上任一点，则该点与原点距离的平方和为：()2222,,f x y z d x y z ==++，只要求距离的平方和最小即可，约束条件：240xy x y z +-+-=，设 ()()2222,4,F x y z x y z xy x y z λ=++++-+-由 ()()221021022040x y z F x y F y x F z xy x y z z λλλ=++=⎧⎪=+-=⎪⎨=-⋅=+-+-=⎪⎪⎩，解得1,1,1x y z =-==±故，原点到曲面24z xy x y =+-+5．求幂级数∑∞=-12)1(n nn x n的收敛域及和函数。
【 解 】因 2211lim )()(limx x nn x u x u n n n n =⋅+=∞→+∞→所以，当12<x ，即)1,1(-∈x 时，幂级数绝对收敛。
在1±=x 处，原幂级数成为∑∞=-1)1(n n n ，收敛。
故，幂级数的收敛域为]1,1[-在]1,1[-，设=)(x S ∑∞=-12)1(n nn x n ，上式两边对x 求导，211212)1(2)(xx x x S n n n +-=-='∑∞=-上式两边从0到x 积分，得)1ln(12)0()(202x dx x x S x S x+-=+-=-⎰又0)0(=S ，因此]1,1[),1ln()(2-∈+-=x x x S6．求幂级数∑∞=-1)1(n n x n 的收敛域及和函数。
【 解 】因 11lim lim1=+==∞→+∞→n n a a n n n n ρ所以，半径11==ρR ，幂级数在11<-x ，即在)2,0(∈x 绝对收敛。
在0=x 处，原幂级数成为∑∞=-1)1(n n n ，发散；在2=x 处，原幂级数成为∑∞=1n n ，发散。
故，幂级数∑∞=-1)1(n n x n 的收敛域为)2,0(。
在)2,0(，设=)(x S ∑∞=-1)1(n nx n ，则=)(x S ∑∞=---11)1()1(n n x n x 。
在)2,0(，再设=)(x f ∑∞=--11)1(n n x n ，则=⎰xdx x f 1)(xx x dx x n n n n xn --=-=-∑∑⎰∞=∞=-21)1()1(1111上式两边对x 求偏导，得 2)2(121)(x x x x f -='⎪⎭⎫⎝⎛--= 因此21)2(1)()1()1(x x x f x x n n n --=-=-∑∞=，)2,0(∈x7．求微分方程ydx dy y x =+)(4的通解。
