西南交大《高等数学ib》离线作业完整答案

试卷1 一、一选择题1.．A.正确B.不正确答案：B2.函数在点处可导．A.正确B.不正确答案：A3.函数在内连续．A.正确B.不正确答案：B4.函数的定义域为．A.正确B.不正确答案：A二、二选择题5.是有界函数．A.正确B.不正确答案：A6.设函数，则．A.正确B.不正确答案：B7.设函数，则．A.正确B.不正确答案：B8.．A.正确B.不正确答案：B9.．A.正确B.不正确答案：A10.是微分方程的解．A.正确B.不正确答案：A三、三选择题11.极限（）．A.B.C.D.答案：B12.不定积分( )．A.B.C.D.答案：D13.设函数，则（）．A.B.C.D.答案：D14.定积分=（）．A.B.C.D.答案：A15.函数的图形如图示，则函数的单调减少区间为( )．A.B.C.D.答案：C16.设函数，则（）．A.B.C.D.答案：A四、四选择题17.曲线在点处切线的方程为（）．A.B.C.D.答案：B18.定积分=（）．A.B.C.D.答案：D19.微分方程的通解是（）．A.B.C.D.答案：A20.不定积分（）．A.B.C.D.答案：C试卷2 一、一选择题1.函数在处可导．A.正确B.不正确答案：A2.定积分．A.正确B.不正确答案：B3.函数在点处连续．A.正确B.不正确答案：A4.函数的定义域为．A.正确B.不正确答案：B二、二选择题5.是周期函数．A.正确B.不正确答案：A6.．A.正确B.不正确答案：A7.设函数，则．A.正确B.不正确答案：B8.是微分方程的解．A.正确B.不正确答案：B9.设函数，则．A.正确B.不正确答案：A10.不定积分，其中为任意常数．A.正确B.不正确答案：B三、三选择题11.极限（）．A.B.C.D.答案：A12.设函数，则（）．A.B.C.D.答案：B13.不定积分（）．A.B.C.D.答案：C14.定积分=（）．A.B.C.D.答案：C15.函数的图形如图示，则函数的单调减少区间为( )．A.B.C.D.答案：B16.设函数，则（）．A.B.C.D.答案：D四、四选择题17.微分方程的通解是（）．A.B.C.D.答案：D18.曲线在点处切线的方程为（）．A.B.C.D.答案：A19.不定积分（）．A.B.C.D.答案：D20.定积分=（）．A.B.C.D.答案：B试卷3 一、一选择题1.函数的定义域为．A.正确B.不正确答案：A2.函数在内连续．A.正确B.不正确答案：B3.定积分．A.正确B.不正确答案：A4.函数在点处可导．A.正确B.不正确答案：B二、二选择题5.不是一阶微分方程．A.正确B.不正确答案：B6.设函数, 则．A.正确B.不正确答案：B7.是奇函数．A.正确B.不正确答案：A8.设函数，则．A.正确B.不正确答案：A9.．A.正确B.不正确答案：B10.是函数的一个原函数．A.正确B.不正确答案：A三、三选择题11.设函数，则（）．A.B.C.D.答案：B12.不定积分（）．A.B.C.D.答案：D13.设函数，则（）．A.B.C.D.答案：A14.定积分=（）．A.B.C.D.答案：B15.函数的图形如图示，则函数( )．A.在内单调增加, 在区间内单调减少B.在内单调增加C.在内单调减少, 在区间内单调增加D.在内单调减少答案：C16.极限（）．A.B.C.D.答案：D四、四选择题17.定积分=（）．A.B.C.D.答案：D18.不定积分⑴⑵⑶则上述解法( )．A.第⑴步开始出错B.第⑵步开始出错C.第⑶步开始出错D.全部正确答案：A19.微分方程的通解是（）．A.B.C.D.答案：B20.曲线在点处切线的方程为（）．A.B.C.D.答案：C试卷4 一、一选择题1.函数的定义域为．A.正确B.不正确答案：A2.定积分．A.正确B.不正确答案：B3.函数在点处可导．A.正确B.不正确答案：B4.函数在点处连续．A.正确B.不正确答案：A二、二选择题5.设函数, 则．A.正确B.不正确答案：A6.设函数，则．A.正确B.不正确答案：B7.是偶函数．A.正确B.不正确答案：B8.不是一阶微分方程．A.正确B.不正确答案：B9.．A.正确B.不正确答案：A10.不定积分，其中为任意常数．A.正确B.不正确答案：A三、三选择题11.不定积分（）．A.B.C.D.答案：C12.设函数，则（）．A.B.C.D.答案：A13.函数的图形如图示，则函数( )．A.在内单调增加, 在区间内单调减少B.在内单调增加C.在内单调减少, 在区间内单调增加D.在内单调减少答案：B14.定积分=（）．A.B.C.D.答案：D15.设函数，则（）．A.B.C.D.答案：A16.极限（）．A.B.C.D.答案：B四、四选择题17.不定积分⑴⑵⑶则上述解法( )．A.第⑴步开始出错B.第⑵步开始出错C.第⑶步开始出错D.全部正确答案：B18.微分方程满足的特解是（）．A.B.C.D.答案：A19.定积分=（）．A.B.C.D.答案：D20.曲线在点处切线的方程为（）．A.B.C.D.答案：C试卷5 一、一选择题1.函数在点处连续．A.正确B.不正确答案：A2.函数在处可导．A.正确B.不正确答案：A3.函数的定义域为．A.正确B.不正确答案：B4.定积分．A.正确B.不正确答案：B二、二选择题5.是可分离变量微分方程．A.正确B.不正确答案：A6.．A.正确B.不正确答案：B7.设函数，则．A.正确B.不正确答案：A8.设函数, 则．A.正确B.不正确答案：B9.不定积分，其中为任意常数．A.正确B.不正确答案：B10.是奇函数．A.正确B.不正确答案：A三、三选择题11.设函数，则（）．A.B.C.D.答案：A12.定积分=（）．A.B.C.D.答案：D13.设函数，则（）．A.B.C.D.答案：B14.极限（）．A.B.C.D.答案：B15.不定积分（）．A.B.C.D.答案：C16.函数的图形如图示，则函数( )．A.在内单调增加, 在区间内单调减少B.在内单调增加C.在内单调减少, 在区间内单调增加D.在内单调减少答案：C四、四选择题17.定积分=（）．A.B.C.D.答案：D18.曲线在点处切线的方程为（）．A.B.C.D.答案：B19.不定积分⑴⑵⑶则上述解法( )．A.第⑴步开始出错B.第⑵步开始出错C.第⑶步开始出错D.全部正确答案：C20.微分方程满足的特解是（）．A.B.C.D.答案：A。

第五章选择题1设()sin 20sin x f x t dt =⎰，()34g x x x =+，则当0x →时()f x 是()g x 的(B)(A)等价无穷小 (B)同解无穷小非等价无穷小 (C)高阶等价无穷小 (D)低阶等价无穷小()()sin 2034sin limlimxx x t dtf xg x x x →→==+⎰2230sin sin lim 34x x x x →=+22301lim 343x x x x →=+ （222sinsin sin x x x ）2设222sin 1x M dx x ππ-=+⎰，()3422sin cos N x x dx ππ-=+⎰，()23422sin cos P x x x dx ππ-=-⎰则(D) (A)N P M << (B) M P N <<(C) N M P << (D) P M N << 解：奇函数在对称区间积分为0得：222sin 01xM dx x ππ-==+⎰()3422sin cos N x x dx ππ-=+⎰342222sin cos xdx xdx ππππ--=+⎰⎰42002cos 0xdx π=+>⎰()23422sin cos P xx x dx ππ-=-⎰()2342222sin cos x xdx x dx ππππ--=+-⎰⎰4200cos 0xdx π=-<⎰3设()f x 有连续导数，()00f =，()00f '≠，()()()220xF x x t f t dt =-⎰，且当0x →时，()F x '与k x 是同阶无穷小，则k 等于(C)(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4()()()220x F x x t f t dt '⎡⎤'=-⎢⎥⎣⎦⎰()()2200x xx f t dt t f t dt '⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()2200x x x f t dt t f t dt '⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()2200x x x f t dt t f t dt ''⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()2202x x f t dt x f x x f x =+-⎰()02xx f t dt =⎰()0lim k x x F x →'()00lim 2k x x x x f t dt →=⎰()100lim 2k xx x f t dt-→=⎰()20(1)lim 2k x k x f x -→-=()30(1)(2)lim 2k x k k x f x -→--=' 若3k <()0lim k x x F x →'=∞，若3k >()0limk x x F x →'()30(1)(2)lim 02k x k k x f x -→--==' 当3k =()0limk x x F x →'()()30(1)(2)(1)(2)lim 0,220k x k k x k k f x f -→----==≠∞'' 4：设()2sin sin x t xF x e tdt π+=⎰，则()F x (A)(A) 为正常数 (B) 为负常数(C) 恒为零 (D) 不为常数sin sin t e t 是以2π为周期的函数，故()2sin sin x t xF x e tdt π+=⎰2sin 0sin t e tdt π=⎰又2sin 0sin tetdt π⎰2sin sin 0sin sin tt etdt e tdt πππ=+⎰⎰sin sin()0sin sin()()t u e tdt e u d u πππππ-=+--⎰⎰sin sin 0sin sin t u e tdt e udu ππ-=-⎰⎰sin sin 0sin sin t t e tdt e tdt ππ-=-⎰⎰()sin sin 0sin 0t t e e tdt π-=->⎰（当0x >时0x x e e -->）5设在区间[,]a b 上，()0f x >，()0f x '<，()0f x ''>，令()1ba s f x dx =⎰()()2s f b b a =-，()()()312s f b f a b a =+-⎡⎤⎣⎦，则(B) (A) 123s s s << (B) 213s s s << (C) 312s s s << (D) 231s s s <<S 2S 3S 1a bf (x)法二：由积分中值定理有()1bas f x dx =⎰()()()f b a a b ξξ=-<<，（1） 又()0f x '<且()0f x >得()()0f f b ξ>>（2） (1)（2）得21s s <()0f x ''>，故函数是凹的()()()()()()f b f a f x x a f a b a -⇒<-+-()13()()()()()b b a af b f a s f x dx x a f a dx s b a ⎡⎤-⇒=<-+=⎢⎥-⎣⎦⎰⎰ 6设()f x 连续，则()220xd tf x t dx dx -⎰等于(A)(A) ()2xf x (B) ()2xf x - (C) ()22xf x (D) ()22xf x -()220x d tf x t dx dx -⎰()()2222012x d f x t d x t dx ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦⎰ ()2012x d f u du dx ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰()()22122f x x xf x ⎡⎤=--∙=⎣⎦ （令22u x t =-）7设()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是 (A) ()20x f t dt ⎰ (B) ()20xf t dt ⎰(C) ()()0xt f t f t dt --⎡⎤⎣⎦⎰ (D) ()()0xt f t f t dt +-⎡⎤⎣⎦⎰(A)()20xf t dt ⎰令 ()20()xF x f t dt =⎰，则()20()x F x f t dt --=⎰()()22()()()xxF x f t dt f u d u --==--⎰⎰()2xf u du =-⎰()20()x f t dt F x =-=-⎰(B)()20xf t dt ⎰令 ()20()xF x f t dt =⎰，则()20()xF x f t dt --=⎰()2()xF x ft dt --=⎰()2()xfu d u =--⎰()2xfu du =--⎰()20?xf t dt =--=⎰(C)()()0xt f t f t dt --⎡⎤⎣⎦⎰令 ()()0()xF x t f t f t dt =--⎡⎤⎣⎦⎰，则()()0()xF x t f t f t dt --=--⎡⎤⎣⎦⎰ ()()0()x F x t f t f t dt --=--⎡⎤⎣⎦⎰()()0()()xu f u f u d u =----⎡⎤⎣⎦⎰ ()()0x u f u f u du =---⎡⎤⎣⎦⎰()()0()xt f t f t dt F x =---=-⎡⎤⎣⎦⎰ (D)()()0xt f t f t dt +-⎡⎤⎣⎦⎰令 ()()0()xF x t f t f t dt =+-⎡⎤⎣⎦⎰，则()()0()xF x t f t f t dt --=+-⎡⎤⎣⎦⎰ ()()0()x F x t f t f t dt --=+-⎡⎤⎣⎦⎰()()0()()xu f u f u d u =--+-⎡⎤⎣⎦⎰ ()()0x u f u f u du =+-⎡⎤⎣⎦⎰()()0()xt f t f t dt F x =+-=⎡⎤⎣⎦⎰ 8：把0x +→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰，2tan x tdt β=⎰，30sin xt dt γ=⎰排列起来，使得在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的次序是(B)(A) ,,αβγ (B) ,,αγβ (C) ,,βαγ (D) ,,βγα20cos lim lim xx x t dt xxα++→→=⎰20lim cos 1x x +→==，故x α 23300tan limlimx x x tdt x x β++→→=⎰202tan lim 3x x x x +→=22022lim 33x x x +→==，故332x β 3220sin lim limxx x t dt x x γ++→→==⎰()3sin2lim 2x x xx+→=()()33sin1lim 44x xx +→=，故24x γ 二 计算题1设()f x 连续， ()()1x f xt dt ϕ=⎰，且()0limx f x A x→=（A 为常数），求()x ϕ'并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性。

1. 利用定积分定义计算由直线y =x +1,直线x =a ，x =b （a<b ）及x 轴所围成的图形的面积. 解 因y =x +1在[a,b ]上连续,所以x +1在[a,b ]上可积,从而可特殊地将[a,b ]n 等分,并取,,()()1i i i b a b a b aa i x f a i n n nξξ---=+==++Δ, 于是111()[()1]1()(1)11()[(1)(1)()]2nni i i i ni b a b af x a i n nb a b a a i n n b a n a n b a n ξ===--=++-=-++=-+++-⋅∑∑∑Δ 故面积 2111(1)lim ()()(1)22nbi i an i b a S x x f x b a a b a n ξ→∞=-=+==-+++-∑⎰d Δ 1()(2)2b a a b =-++2. 利用定积分的几何意义求定积分： (1)102d x x ⎰;(2) 0ax ⎰（a ＞0）.解 (1)根据定然积分的几何意义知, 102d x x ⎰表示由直线y =2x ,x =0,x =1及x 轴所围的三角形的面积,而此三角形面积为1,所以12d x x ⎰=1.(2) 根据定积分的几何意义知,0ax ⎰表示由曲线0,y x x a ===及x 轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为214πa ,所以2014πx a =⎰.3. 根据定积分的性质，比较积分值的大小： (1)120d x x ⎰与130d x x ⎰； (2)1e d x x ⎰与1(1)d x x +⎰.解 (1)∵当[0,1]x ∈时,232(1)0x x x x -=-≥,即23x x ≥,又2x3x ,所以11230d d x x x x >⎰⎰.(2)令()1,()1e e x xf x x f x '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1e xx ≥+,又e x1+x .所以11(1)e d d xx x x >+⎰⎰.4. 估计下列各积分值的范围： (1)421(1)d x x +⎰；(2) arctan d x x ;(3)2e d ax ax --⎰（a ＞0)； (4)22e d xxx -⎰.解 (1)在区间[1,4]上,函数2()1f x x =+是增函数,故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,最小值(1)2m f ==,所以4212(41)(1)17(41)d x x -≤+≤-⎰, 即 4216(1)51d x x ≤+≤⎰.(2)令()arctan f x x x =,则2()arctan 1xf x x x '=++,当x ∈时,()0f x '>,从而()f x在上是增函数,从而f (x )在上的最大值M f ==,最小值πm f ==所以2arctan 93ππππd x x =≤≤= 即2arctan 93ππd x x x ≤≤.(3)令2()e x f x -=,则2()2e x f x x -'=-,令()0f x '=得驻点x =0,又(0)1f =，2()()ea f a f a -=-=,a >0时, 21ea -<,故()f x 在[-a,a ]上的最大值M =1,最小值2ea m -=,所以2222ee d aa x aa x a ---≤≤⎰.(4)令2()e xxf x -=,则2()(21)e xxf x x -'=-,令()0f x '=得驻点12x =,又(0)1,f = 1241(),(2)2e ef f -==,从而()f x 在[0,2]上的最大值2e M =,最小值14e m -=,所以 212242ee d e x x x --≤≤⎰,而2222ed e d x xx x x x --=-⎰⎰,故 21024222e ed ex xx ---≤≤-⎰.5. 设f (x )及g (x )在[a , b ]上连续, 证明:(1)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且0)(=⎰ba dx x f , 则在[a ,b ]上f (x )≡0; (2)若在[a , b ]上, f (x )≥0, 且f (x )≢0, 则0)(>⎰ba dx x f ;(3)若在[a , b ]上, f (x )≤g (x ), 且⎰⎰=b a ba dx x g dx x f )()(, 则在[a ,b ]上f (x )≡g (x ).证明 (1)假如f (x )≢0, 则必有f (x )>0. 根据f (x )在[a , b ]上的连续性, 在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是0)(2)()()()()()(0>-≥≥++=⎰⎰⎰⎰⎰c d x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dc bd d c c a b a . 这与条件0)(=⎰ba dx x f 相矛盾. 因此在[a ,b ]上f (x )≡0.(2)证法一 因为f (x )在[a , b ]上连续, 所以在[a , b ]上存在一点x 0, 使f (x 0)>0, 且f (x 0)为f (x )在[a , b ]上的最大值.再由连续性, 存在[c , d ]⊂[a , b ], 且x 0∈[c , d ], 使当x ∈[c , d ]时, 2)()(0x f x f >. 于是⎰⎰>-≥≥badcc d x f dx x f dx x f 0)(2)()()(0. 证法二 因为f (x )≥0, 所以0)(≥⎰ba dx x f . 假如0)(>⎰ba dx x f 不成立. 则只有0)(=⎰ba dx x f , 根据结论(1), f (x )≡0, 矛盾. 因此0)(>⎰ba dx x f .(3)令F (x )=g (x )-f (x ), 则在[a , b ]上F (x )≥0且0)()()]()([)(=-=-=⎰⎰⎰⎰ba b a b a b a dx x f dx x g dx x f x g dx x F ,由结论(1), 在[a , b ]上F (x )≡0, 即f (x )≡g (x ).1. 求下列导数：(1) 20d d x t x ⎰; (2) 53ln 2d e d d x t t t x -⎰；(3) cos 2sin cos()d xxt t '⎡⎤π⎢⎥⎣⎦⎰; (4) 22dsin d d xtt xtπ⎰(x ＞0). 解220(1)()2d d x t x x'==⎰5353ln 2(2)d e d e d x tx t t x x --=⎰cos cos sin 222sin 00cos sin 220022222(3)cos()cos()cos()cos()cos()cos(cos )(cos )cos(sin )(sin )cos(cos )sin cos(sin )cos cos(sin )sin πd πd πd πd πd πππππx x xx xx t t t t t t t t t tx x x x x x x x x x ''⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦''⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦''=⋅-⋅=--=-⎰⎰⎰⎰⎰22cos(sin )cos (sin cos )cos(sin )ππx x x x x =-2222sin sin sin (4)cos sin sin cos .ππd d d d d d d d d d xx t t x t t xt x x x t x x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--=-=⎰⎰2. 求下列极限：(1) 02arctan d limxx t t x→⎰; (2) 2030sin 3d lime d x xx tt t t t→-⎰⎰; (3)()22220e d lime d x t xx t t t t→⎰⎰.解 ()002200021arctan arctan arctan 11(1)limlim lim lim 222d d x xx x x x t t t t x x x x x →→→→'⎡⎤--⎣⎦+====-'⎰⎰2220030003300222200sin 3sin 3sin 32(2)lim lim lim 2sin 3sin 3lim lim 663d d e e d e d e e x x x x x x x t xt x xx x t t t t x x x t tt t x x x x-→→→--→→'⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦=='⎡⎤⎣⎦=⋅=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰ ()()[]222222222222222200002000022000200022(3)lim lim lim lim 222lim lim lim 2122e d e d e d e e d e e e d e d e d e e e e xxx x t t t x tx x x x x x x t x t x t x x x x x x x t t t t x x t tt t t x x x x →→→→→→→'⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦==='⎡⎤⎣⎦'⎡⎤⎣⎦====+'+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3. 求由方程e d cos d 0yxt t t t +=⎰⎰所确定的隐函数y =y (x )的导数.解 方程两边对x 求导数得:cos 0e y y x '⋅+=, cos e yxy '∴=-. 又由已知方程有000sin e y xtt +=,即1sin sin 00e y x -+-=即1sin e yx =-,于是有cos cos sin 1e yx xy x '=-=-.4. 当x 为何值时，I (x )=2e d xt t t -⎰有极值?解 2()e x I x x -'=,令()0I x '=得驻点0x =,又22()(12),(0)10e x I x x I -''''=-=>, 所以当x =0时,I (x )有极小值,且极小值为I (0)=0.5. 计算下列定积分：(1)3x ⎰; (2)221d x x x --⎰;(3)()d f x x π⎰,其中,0,2()sin ,2x x f x x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨π⎪≤≤π;⎪⎩ (4){}222max 1,d x x -⎰.解433322233222(1)(43)(8333x x ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭⎰21222221101(2)()()()d d d d x x x x x x x x x x x x --=-+-+--⎰⎰⎰⎰012322332101111111116322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22220022(3)()sin 1cos 82ππππππππd d d xf x x x x x x x =+=+=+-⎰⎰⎰(4)由于22221()max{1,}11112x x f x x x x x ⎧-≤<-⎪==-≤<⎨⎪≤≤⎩,于是 21121212223312122111120max{1,}333d d 1d d x x x x x x x x x x -------=++=++=⎰⎰⎰⎰6. 已知f (x )连续，且f (2)=3,求2222()d d lim(2)xt x f u u t x →⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎰⎰.解 []222222222222()()()()limlim lim lim(2)2(2)2(2)(2)x xt t x xx x x x t f u u t f u u f u u f u u x x x x →→→→''⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦===--''-⎡⎤-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d 22()113lim lim ()(2)2222x x f x f x f →→-==-=-=-.7. 设k 为正整数. 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0cos kxdx ;(2)⎰-=ππ0sin kxdx ;(3)⎰-=πππkxdx 2cos ;(4)⎰-=πππkxdx 2sin.证明 (1)⎰--=-=--==ππππππ000)(sin 1sin 1|sin 1cos k kk k kx k kxdx . (2))(cos 1cos 1cos 1sin ππππππ-+-=-=--⎰k kk k x k k kxdx0cos 1cos 1=+-=ππk k k k .(3)πππππππππ=+=+=+=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21cos 2kx k x dx kx kxdx . (4)πππππππππ=+=-=-=---⎰⎰22|)2sin 21(21)2cos 1(21sin 2kx k x dx kx kxdx .8. 设k 及l 为正整数, 且k ≠l . 试证下列各题: (1)⎰-=ππ0sin cos lxdx kx ;(2)⎰-=ππ0cos cos lxdx kx ;(3)⎰-=ππ0sin sin lxdx kx .证明 (1)⎰⎰----+=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])sin()[sin(21sin cos 0])cos()(21[])cos()(21[=----++-=--ππππx l k l k x l k l k .(2)⎰⎰---++=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21cos cos 0])sin()(21[])sin()(21[=--+++=--ππππx l k l k x l k l k .(3)⎰⎰----+-=ππππdx x l k x l k lxdx kx ])cos()[cos(21sin sin .0])sin()(21[])sin()(21[=--+++-=--ππππx l k l k x l k l k .9. 设⎩⎨⎧∈∈=]2 ,1[ ]1 ,0[ )(2x x x x x f . 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在[0, 2]上的表达式, 并讨论ϕ(x )在(0,2)内的连续性.解 当0≤x ≤1时, 302031)()(x dt t dt t f x xx===⎰⎰ϕ; 当1<x ≤2时, 6121212131)()(2211020-=-+=+==⎰⎰⎰x x tdt dt t dt t f x x xϕ.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=21 612110 31)(23x x x x x ϕ.因为31)1(=ϕ, 3131lim )(lim 30101==-→-→x x x x ϕ,316121)6121(lim )(lim 20101=-=-=+→+→x x x x ϕ,所以ϕ(x )在x =1处连续, 从而在(0, 2)内连续.10. 设⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=ππx x x x x f 或0 00 sin 21)(. 求⎰=x dt t f x 0)()(ϕ在(-∞, +∞)内的表达式.解 当x <0时, 00)()(0===⎰⎰xxdt dt t f x ϕ;当0≤x ≤π时, 21cos 21|cos 21sin 21)()(00+-=-===⎰⎰x t tdt dt t f x xxxϕ; 当x >π时, πππϕ00|cos 210sin 21)()(t dt tdt dt t f x x x-=+==⎰⎰⎰10cos 21cos 21=+-=π. 因此 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-<=ππϕx x x x x 10 )cos 1(210 0)(.11. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0, ⎰-=xa dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明 根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa-=⎰ξ. 于是有)(1)()(1)(2x f ax dt t f a x x F xa-+--='⎰))(()(1)(12a x f a x x f a x ----=ξ)]()([1ξf x f ax --=. 由f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内,x -a >0, 所以在(a , b )内 0)]()([1)(≤--='ξf x f ax x F .。

第一次离线作业二、主观题(共15道小题)6.铁路线路由轨道、路基、桥梁、隧道、车站及其他附属设备组成。

7.我国钢轨长度分为12.5m和25m两种。

8.江西上饶地区最高气温为39.4℃，铺设钢轨时轨温为10℃，钢轨长度为12.5m，螺栓阻力值为1mm，计算预留轨缝。

δ=0.0118 •（tmax-t）L- C=0.0118*(59.4-10)*12.5-1=6.4(mm)预留轨缝可取6毫米。

9.名词解释：轨距是钢轨轨头顶面下（16mm）范围内两钢轨作用边之间的最小距离。

10.名词解释：变坡点平道与坡道、坡道与坡道的交点，叫做变坡点11.名词解释：限制坡度在一个区段上，决定一台某一类型机车所能牵引的货物列车重量（最大植）的坡度，叫做限制坡度。

12.名词解释：方向是指轨道中心线在水平面上的平顺性13.什么是轨底坡？轨底坡的作用是什么？轨底坡：为了使钢轨轴心受力，钢轨向轨道内侧倾斜，因此轨底与轨道平面之间就形成一个横向坡度。

它可使其轮轨接触集中于轨顶中部，提高钢轨的横向稳定性，延长钢轨使用寿命。

14.什么道岔的有害空间？如何消除有害空间？1、从辙叉咽喉至实际尖端之间，有一段轨线中断的空隙，车轮有失去引导误入异线而发生脱轨事故的可能，所以此处被称为有害空间。

2、道岔号数愈大，辙叉角愈小，有害空间愈大。

车辆通过较大的有害空间时，叉心容易受到撞击。

为保证车轮安全通过有害空间，必须在辙叉相对位置的两侧基本轨内侧设置护轨，借以引导车轮的正确行驶方向。

15.提高列车直向过岔速度的主要措施有哪些？（1）采用大号码道岔（2）适当延长翼、护轨的缓冲段，减小冲击角（3）采用可动心轨或可动翼轨道岔（4）采用整铸式辙叉（5）尖、基、心、翼轨进行淬火处理（6）加强养护16.无缝线路强度的影响因素有哪些？（1）动弯应力（2）温度应力（3）附加应力（4）列车制动应力17.简述工务系统的构成。

1）工务局（铁道部）——制定规章（2）工务处（铁路局）——制定计划与执行计划（3）工务段——具体实施（管辖维修线路200～250km）（4）养路领工区——管辖维修线路40～50km （5）养路工区——管辖维修线路7～8km 18.什么是路堤式路基？它由哪几部分组成？线路高出自然地面，经填筑而成的路基称为路堤式路基路堤式路基的构成：①路基面②边坡③护道④取土坑⑤纵向排水沟19.名词解释：跨度1、建筑物中,梁、拱券两端的承重结构之间的距离，两支点中心之间的距离。

西南交《高等数学IIB》离线作业一、单项选择题(只有一个选项正确，共10道小题)1. A(A) 1(B) 0(C) 2(D) 32. 在点（2，1，0）的法向量为（）B(A) （1，1，0）(B) （1，2，0）(C) （0，1，2）(D) （1，1，1）3. B(A) 1(B) 2(C) 3(D) 44. 微分方程的通解是（）A(A)(B)(C)(D)5. B(A) 1(B) 2(C) 3(D) 46. 微分方程的通解为（D ）(A)(B)(C)(D)7. B(A) 1(B) -1(C) 0(D) -28. 微分方程的通解为（A ）(A)(B)(C)(D)9. 微分方程的通解为（C ）(A)(B)(C)(D)10. D(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4四、主观题(共7道小题)11.求下列微分方程的通解:12.求下列一阶微分方程的通解:13.求下列二阶微分方程的通解:14.求下列各函数的定义域:15.求下列函数的偏导数:16.求下列函数的17.验证:一、单项选择题(只有一个选项正确，共6道小题)1. 设D是矩形区域，则D(A) 1/2(B) 2(C) 1/4(D) 42. 曲面在（2，1，2）点的法向量为（A ）(A) （1，4，-1）(B) （1，0，0）(C) （1，4，1）(D) （-1，2，0）3. 设D是矩形区域，则C(A) 1/3(B) 2/3(C) 1/4(D) 3/44. 若，则C(A)(B)(C)(D)5. 若则D(A) 0(B) 1(C) 2(D) 36. 若则B(A)(B)(C)(D)四、主观题(共7道小题)7.设，则，求8.设，而，求9.求函数的极值.10.求函数的极值.11.计算下列二重积分(1)，其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域;(2) ，其中D是矩形闭区域: ；(3)，其中D是顶点分别为（0,0），（π,0），（π,π）的三角形闭区域.12.利用格林公式, 计算下列曲线积分:13.用比值审敛法判别下列级数的收敛性:一、单项选择题(只有一个选项正确，共4道小题)1. A(A) 3/2(B) 1/2(C) 1(D) 22. B(A) 1/4(B) 1/3(C) 1(D) -13. D(A)(B)(C)(D)4. C(A) x<2(B)(C) |x|<2(D) |x|>2四、主观题(共6道小题)5.利用极坐标计算下列各题:6.计算下列对弧长的曲线积分:7.计算下列对坐标的曲线积分: (3)8.利用格林公式, 计算下列曲线积分:9.判别下列级数的收敛性:10.判别下列级数是否收敛? 如果是收敛的, 是绝对收敛还是条件收敛?。

2009~2010学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案西南交通大学2009－2010学年第(二)学期半期考试题一、单项选择题（共5个小题，每小题4分，共20分）．1．累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ??可表示成【 D】（A ）100(,)dy f x y dx ?（B ）10(,)dy f x y dx（C ）10(,)dx f x y dy ?（D ）10(,)dx f xy dy ?解：根据该二重积分可知，积分区域为半圆域：01,0x y ≤≤≤≤，所以应选D 。

2. 两直线1112y z x λ+--==与11x y z +=-=相交，则必有【 D 】（A ）1λ= （B ）32λ=（C ）54λ=- （D ）54λ=解：直线11x y z +=-=的参数方程为：11x t y t z t =-??=+??=?，将此参数方程代入直线1112y z x λ+--==，得2122t t t λ+--==，解得654t λ=??=??，故应选（D ）。

3．极限332200lim x y x y x xy y →→+-+=【 A 】(A) 0 (B) 1 (C)12(D)不存在极限解；因为33222222000000()()lim lim lim()0x x x y y y x y x y x xy y x y x xy y x xy y →→→→→→++-+==+=-+-+，故应选（A ）。

4．曲面2xyz =的切平面与三个坐标面所围四面体的体积V =【 C 】 (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12解：设曲面2xyz =在第一卦限的任意一个切点为(,,)x y z ，则切平面方程为：班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，其中2xyz =，即36yzX xzY xyZ xyz ++==，则该切平面与三个坐标轴的交点分别为：6(,0,0)yz，6(0,,0)xz ，6(0,0,)xy ，则该切平面与三个坐标面所围四面体的体积221666363696()2V yz xz xy xyz ====，故应选（C ）。

西南大学 计算机与信息科学学院《高等数学IB 》课程试题 【B 】卷阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，得分用阿拉伯数字写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在题号前写0；大题得分登录在对应的分数框内；统一命题的课程应集体阅卷，流水作业；阅卷后要进行复核，发现漏评、漏记或总分统计错误应及时更正；对评定分数或统分记录进行修改时，修改人必须签名。

PLEASE ANSWER IN CHINESE OR IN ENGLISH!!1. Fill the best answer in the blanks (3 points each ，15 points in all)(1) The general solution to the differential equation )0(112d d >-=+x xy x y x is __________ .(2) The sum of the series++++⋅+⋅+⋅)1(1431321211n n is _________________. (3) The angle between the planes 15263=--z y x and 522=-+z y x isarccos ___________.(4) If z =22),(y x y x y x f +-+=, then =)4,3(d z_________________.(5) Reversing the order of integration:=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰⎰y x y x f y y d d ),(10_______ __ __ __.2. Choose the correspondingletter of the best answer that completes the特别提醒：学生必须遵守课程考核纪律，违规者将受到严肃处statements or answers the questions among A, B, C, and D, and fill in the blanks (3 points each ，15 points in all).(1) The tangent plane of the surface 922=++z y x at the point (1, 2, 4) is _____ ______. A ．1442=++z y x B ．1442=+-z y x C ．1442-=-+z y xD ．1442=--z y x(2) Let ⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,)sin(),(2243y x y x y x y x y x f . Then the partial derivative)0,0(y f ∂∂ ________.A ．does not existB ．equals 1C ．is equal to 0 D. is -1． (3) The interval of convergence of the power series ∑∞=--11)1(n nn nx is _____ ______. A ．)1,1(- B ．)1,1[- C ．]1,1[-D ．]1,1(-(4) The equation for the tangent to the ellipse 2422=+y x at the point (-2, 1) is ____ _____ . A. 12-=-y x B. 42-=-y x C. 42=-y x D. 42-=+y x (5) The surface integral with respect to area=⎰⎰S x Σd 2 ____ _____, where Σ i s the cone 10,222≤≤+=z y x z .A. 4π2 B. 3π2 C. 4π2- D. 3π2-3. Find the solutions for following problems by computing (8 points each ，40 points in all)(1) Find ()()115sin lim0,0,-+→xy x y y x .Solution(2) Integrate the surface integral⎰⎰++Sy x z z x y z y x d d d d d d downward the surface S :()h z y x z ≤≤+=0222.Solution(3) Evaluating the double integrals y x Ry d d e 2⎰⎰-，where R is the triangle region with vertices O (0, 0), A (1, 1), and B (0, 1). Solution(4) Use Stokes’ Theorem to e valuate the line integral ⎰++Cx z z y x x d d 4d e 22，whereC is curve determined by ⎪⎩⎪⎨⎧=+--=xy x y x z 242222counterclockwise as viewed from the positive z -axis direction.Solution (5)Applying Green’s Theorem toc alculate the line integral()()⎰-+-=Cy y y y x x xy I d cos e d 12e ，where C is the part of 2x y = from A (-1, 1) to B (1, 1).Solution4. Solve the following comprehensive problems (10 points each，30 points in all) (1) Find the shortest distance between 2xy=and 02=--yx.Solution(2) Find the sum of the series∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛11 21nn n.Solution(3) Let f (x ) has the continuous first-order derivative. Show that the line integral[]⎰-++Cy xy f y y x x y xy f y d 1)(d )(1222 is path independent in the upper half xy -plane ( y > 0), and compute the line integral from ⎪⎭⎫ ⎝⎛32,3 to (1, 2). Proof西南大学计算机与信息科学学院《高等数学》课程试题【B 】卷参考答案和评分标准 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，得分用阿拉伯数字写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在题号前写0；大题得分登录在对应的分数框内；统一命题的课程应集体阅卷，流水作业；阅卷后要进行复核，发现漏评、漏记或总分统计错误应及时更正；对评定分数或统分记录进行修改时，修改人必须签名。

慈溪市2007学年第二学期高二数学（选修IB ）期末考试答案及评分标准第一题：31-数学史选讲（第13-小题每题1分，第48-小题每空格1分，共10分） 1.D 2.C 3.C 4.倍立方 5.《流数简论》 6.笛卡儿的变数 7.代数 几何 8.徐光启 利玛窦本专题主要考查学生对数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果的掌握，初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，激发学生学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神.第二题：42-矩阵与变换（每小题2分，共10分）1.C2.A3.A4. 972542⎛⎫- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭5. 13-⎛⎫⎪⎝⎭本专题主要考查学生对二阶矩阵的概念、性质、运算的掌握，了解特征值、特征向量与线性变换、矩阵间的关系，并能利用矩阵表示和性质解决一些相关问题.1.由于A B =，则2x yx xy y y =⎧⎪=⎨⎪=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩或00x y =⎧⎨=⎩，选C .2.由矩阵a b M c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得特征多项式2()()f a d ad bc λλλ=-++-，令()0f λ=，得12a d λλ+=+，选A .3.由11a x x ay b y bx y +⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得x x x ay y y bx y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫→= ⎪ ⎪ ⎪'+⎝⎭⎝⎭⎝⎭把x x ayy bx y'=+⎧⎨'=+⎩代入2221x y ''-=，即22()2()1x ay bx y +-+=， 化简并整理得2222(12)(2)2(2)1b x a y a b xy -+-+-=，与22421x xy y ++=比较系数得，22121222(2)4b a a b ⎧-=⎪-=⎨⎪-=⎩，故20a b =⎧⎨=⎩，选A .4. 由于矩阵4231⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵为112322⎛⎫- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭， 故1917322221352422A ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪-⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，填972542⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 5.矩阵M 变换的几何意义：关于直线y x =的反射变换，31M ⎛⎫= ⎪-⎝⎭β，213M -⎛⎫= ⎪⎝⎭β，，2131k M -⎛⎫= ⎪-⎝⎭β，213k M -⎛⎫= ⎪⎝⎭β，()k Z +∈，故1013M -⎛⎫= ⎪⎝⎭β，填13-⎛⎫ ⎪⎝⎭.第三题：44-坐标系与参数方程（每小题2分，共10分）1.B2. (-(1 3.22(2)4x y +-=4. 24()4x t t y t ⎧=-⎨=-⎩为参数5. 1本专题主要考查对柱坐标系、球坐标系的了解，重点考查极坐标和参数方程的基本概念，掌握极坐标和直角坐标的互化，了解曲线的多种表现形式，体会数形结合.1.由于椭圆的标准方程为22153x y +=，故a =2a =B . 2.由cos sin x y z z ρθρθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，得22x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩P 的坐标为(-；由sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，得10x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩Q 的坐标为(1. 3.由4sin ρθ=得24sin ρρθ=，故224x y y +=，即22(2)4x y +-=.4.由222x pt y pt ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），得24()4x t t y t ⎧=-⎨=-⎩为参数，填24()4x t t y t⎧=-⎨=-⎩为参数.5.由于1C ：22(1)1x y -+=，2C ：10x y ++=， 圆心(1,0)到直线2C 的距离为2d =，故min 11L d =-=，填1.第四题：45-不等式选讲（第13-小题每题2分，第4小题4分，共10分）1.D2.D3.A B <4.多种方法，详见试题解析本专题主要考查不等式的基本性质和基本不等式、绝对值不等式及柯西不等式的简单应用，考查数学归纳法原理，进一步认识不等式，提高逻辑推理与不等式论证的能力.1.方法一：排除法，2x =-，排除,A B ，1x =-，排除C ，选D . 方法二：直接法（分类讨论）当1x ≥时，125x x -++≥，得2x ≥， 当2x ≤-时，125x x ---≥，得3x ≤-，当21x -<<时，125x x -++≥，这不可能，故3x ≤-或2x ≥，选D .2.观察分式左边的分母，按自然数列增加，当n k =时，最后一项是121k-， 当1n k =+时，最后一项是1121k +-，增加了1112212(21)k k k k +++++-，即共增加了2k项，选D .3.方法一：做差比较法，由于(2)0(1)(1)(1)xy x y A B x y x y ----=<++++，故A B <.方法二：放缩法，由于11111x y x y x y B A x y x y x y x y+=+>+==++++++++.4.（阅卷教师根据不等式证明方法分步给分）设x =y ，z =由于,,a b c R +∈，故,,x y z R +∈. 方法一：根据柯西不等式，有22229⎡⎤⎤⎡⎤++⋅≥=⎣⎦所以111()()9x y z x y z ++++≥，即9≥.方法二：111()()x y z xy z ++++≥9=. 方法三：111()()3()()()y x z x y z x y z xy z x y x z z y++++=++++++3≥+3(222)9=+++=.。

西南交大线性代数习题参考答案第一章行列式§1 行列式的概念1．填空(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。

(2) i = ，j = 时，排列1274i 56j 9为偶排列。

(3) n 阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n 元排列。

若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。

(4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a 的项的符号为，含324314516625a a a a a a 的项的符号为。

2．用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11222332330000a a a a a 解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。

(2) 12,121,21,11,12,1000000n n n n n n n n n n n n nna a a a a a a a a a ------L L MM M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。

3．证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。

证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。

对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。

4．若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么？5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？（提示：利用3题的结果）6．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）21141183---（2）222111a bc a b c。