西南交通大学高等数学考试试卷

高等数学（二）复习题一、填空：（1）设向量a ≠0,那么，向量b 平行于a 的充分条件是：存在唯一实数λ，使得（b=λa ）。

（2）既有大小又有方向的量统称为（向量）。

（3）向量a 与各个坐标轴的夹角分别为α、β、γ，称为（ 方向角 ），方向角满足cos α2+cos β2+cos γ2=( 1 )（4）设两个点A=(x 1,y 1,z 1) 、B=(x 2,y 2,z 2)，则向量 在三个坐标轴上的投影x 2-x 1，y 2-y 1，z 2-z 1叫做向量 的（ 坐标），记其坐标表达式为：（ =（x 2-x 1，y 2-y 1，z 2-z 1） ）（5）a ·b 0表示向量a 在向量b 上的（投影）(6 )设向量a=i+3j-2k 与b=2i+6j+ek 垂直，则e=（ 10 ）（7）函数z =+的定义域为（8）已知函数arctan y z x =，则zx ∂=∂（9）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（10）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()Lx y ds +⎰（11）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为（12）函数z =的定义域为 ；（13）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；（14）交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝ ；（15）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则=⎰；（16）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .（17）、 函数arcsin(3)y x =-（18）、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .（19）、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . （20）、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰ 0 .{(,)|0,0}x y x y x y +>->22y x y -+4102(,)xdx f x y dy⎰⎰312xxy C e C e -=+222{(,)|4,01}x y y x x y ≤<+<222e dx e dy +10(,)y ee dyf x y dx⎰⎰11)1212()xy C C x e =+1a 2dx（21）、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数（ 或 ）（22）、函数1y x =的定义域为 .（23）、0,0axe dx a +∞->⎰= 13 .（24）、已知sin(21)y x =+，在0.5x =-处的微分dy = . （25）、定积分121sin 1x dx x -+⎰= .（26）、函数43341y x x =-+的凸区间是 .（27）两条直线的方向向量的夹角叫做 两直线夹角（28）设x 2+y 2+z 2-4z=0,则 =（ ）（29）f(x,y)在点（x,y ）可微分是f(x,y)在该点连续的（ 充分 ）条件，f(x,y)在点（x,y ）连续是f(x,y)在该点可微分的（ 必要 ）条件（30）球面x 2+y 2+z 2=a 2含在圆柱面x 2+y 2=ax 内部的那部分面积为（ 2a 2(π-2)） （31）锥面被柱面z 2=2x 所割下部分曲面的面积为（）（32）经过点（0，-3，2）且与直线平行的直线为（ ）（33）利用幂级数的展开式求ln3 =( 1.0986 ) (误差不超过0.0001)(34)设z=（x-2y ）y ，则 =( y(x-2y)y-1 ),(35 )设z=z(x,y)是由方程 =0所确定的函数，则x +y =( z )(36)设f(x,y)=x+(y-1)arcsin ,则f(1,2)=( 1+0.25π ), f ˊx (1,2)=( 1.5 ) (37)设,则dz=( )(38)设f(x,y)=e -x sin(x+2y),则f ˊx (0 ,0.25π)=（ -1 ），f ˊy (0 ,0.25π)=（ 0 ）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦dy dx =6412125x y ++23dx 24x ≤≤(39)取定了法向量亦选定了侧的曲面称为（有向曲面）(40)对于空间区域G，如果G内的任一闭区面所围成的区域完全属于G，则称G是（空间二维单连通区域）如果G内的任一闭区线总可以张成一片完全属于G的曲面，则称G 是（空间一维单连通区域）二、选择填空：(1)设a,b为两个非零向量，λ为非零常数，若a+λb与b垂直，则λ=（ B ）A B C 1 D a·b(2)设向量a=-i+j+2k, b=i+4k,则向量a在b上的投影为（ B ）A B 1 C D -1(3)a0为单位矢量，它同时垂直于向量b=3i+j+4k及c=i+k，则a0=( A )(4)设a={1，1，1}，b={1，1，-2}，c={2，2，-4}，d={1，-1，0}则：（ B ）A b 平行于c×dB a垂直于b,d,cC c垂直于b,d,aD b平行于a(5)设3个矢量a,b,c满足关系式a·b=a·c,则：（ D ）A 必有a=0或b=cB 必有a=b-c=0C 当a=0时，必有b=cD 必有a垂直于（b-c）(6)设向量a=xi+3j+2k,b=-i+yj+4k,如果a平行b,那么（ D ）A x=-1,y=-3B x=-1,y=C x= -0.5,y= -6D x= -0.5,y=6（7）设直线L为321021030x y zx y z+++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z-+-=，则（ C ）A. L平行于πB. L在π上C. L垂直于πD. L与π斜交（8）已知Ω是由曲面222425()z x y=+及平面5z=所围成的闭区域，将22()x y dvΩ+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ C ）A.2253000d r dr dzπθ⎰⎰⎰B.2453000d r dr dzπθ⎰⎰⎰C.22535002rd r dr dzπθ⎰⎰⎰D.2252000d r dr dzπθ⎰⎰⎰（9）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ A ）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（10）设(,)z f x y =是由方程333z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（ B ）； A. 2yz xy z - B. 2yz z xy - C. 2xz xy z - D. 2xy z xy -（11）微分方程256xy y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（ B ）；A.2()xax b e + B.2()xax b xe + C.2()xax b ce ++ D.2()xax b cxe ++ （12）已知Ω是由球面2222x y z a++=所围成的闭区域, 将dv Ω⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（ D ）； A2220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.20ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（13）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径为（ A ）.A. 2B. 1C. 12D.(14)、2x =是函数22132x y x x -=-+的( A )间断点 （A ）可去 （B ）跳跃（C ）无穷 （D ）振荡(15)、积分1⎰= ( D )(A) (B)-∞(C) 0 (D) 1(16)、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 ( A ) 。

西南交通大学2013－2014学年第(1)学期期中考试试卷课程代码 6011310 课程名称 高等数学I 考试时间 90分钟阅卷教师签字：一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题分5小题, 每小题5分, 共25分)1.的值是（ ）极限ax ax ax a -→+-12)1(lim ）答（ ．　． ． ．D e D e C e B A a a -12.　的值是（ ）极限xx xx 2sec 5arctan lim0→ ） 答（ ． ． ． ．C D C B A 25510 3.x x x x x x f 322)(232-+-+=的第一类间断点有）答（ 个．个 ．个 ．个 ．B D C B A 32104.　）内的实根的个数为（　，在方程)30(0133=+-x x　） 答（ ． ． ． ．B D C B A 01235.是次项的系数的阶麦克劳林展开式中的n a n x n xx f -=11)(( ) )(!)1(.!1..1. 答 A n D n C n B A n-班 级 学 号 姓 名密封装订线 密封装订线 密封装订线二 填空题（4个小题，每题6分，共24分）6.)103()3)(2)(1(----=x x x x x y 在x =3的导函数值是（ 3！100！） 7. 曲线xxe y -=的凹区间是（ [2,+∞） ）。

8.的微分是，则设)()53()1)(2()(2x f x x x x f -+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++--+-dx x x x x x x )53(6)1(21)2(21)53()1)(2(2 9.则且处可导在设,0)(,)(≠='=b a f a x x f=--+→)sin ()sin (limx a f x a f x x ⎪⎭⎫⎝⎛b 21　⎪⎭⎫=---+-+=⎝⎛----+=--+→→→b xxx a f x a f x x x a f x a f x a f x a t x a f x a f x a f x a f x x x x 21sin sin )()sin (sin sin )()sin (1lim)()sin ()()sin (1lim)sin ()sin (lim 000三 解答题（5个小题,每题6分，共30分） 10. 计算⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 20sin cos sin tan lim 极限解：21cos )2(sin 2lim cos )cos 1(tan lim 22020=⋅=⋅-=→→x x xx x x x x x x11. 设 ⎩⎨⎧+-=++=22)1(arctan 22ln )1ln(t t y t x ，求22,dx yd dx dy解：)1(12)1(212222t t t t t t dxdy ++-=++-+=t t t t t t dx y d 2)1)(21(12)21(2222++-=++-= 12. 的函数，确定的是由方程　设x y x f y x f y y )()(22+++=且2)0(=y ,其中)(x f 是可导函数，且)0(.1)4(,21)2(y f f '='='求 解： )1)(()22)((22y y x f y y x y x f y '++'+'++'='由2)0(=y 以及.1)4(,21)2(='='f f 代入得：71)0(-='y13. ．求　，，，已知)(01sin 0)1ln()(23x f x x x x x x f '⎪⎩⎪⎨⎧>≤-= 解：f f f f x x ()()()()0000000-=+===，在处连续'=-=-=-='=-==-→-→-→-+→+→+f f x f x x x x xf f x f x x x x x x x x x ()lim ()()lim ln()lim ()lim ()()lim sin001000100000300300002'=f ()00'=-≤->⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪f x x x x x x x x ()sin cos 310211023，，四 解答题（本题7分）14. 如图所示，某人开游艇在距岸9公里A 点处，接到短信要立刻赶到距游艇343公里处岸上的B 点处， 如果游艇速度是每小时4公里，在岸上步行是每小时5公里，问何处登岸可使到达B 点的时间最短？设登岸处为D 并设DB 为x ，()x x CD -=--=15934322则抵达B 点所用时间为54)15(922xx t +-+=其中0≤ x ≤1551)15(814)15(2+-+--='x x t 令0='t 求出在(0,15)内仅有唯一驻点x=3，所以根据实际意义，在距B 点3公里处登岸所用时间最短。

一、填空题： 1．设函数(,)z z x y =是由ln x zz y=所确定，则()0,1,1dz =dx dy + ． 2．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛区间为()3,3-，则幂级数()01nn n a x ∞=-∑的收敛区间为 ()2,4- ．3．设函数,0()0,0x x f x x ππ--<≤⎧=⎨<≤⎩的付氏级数的和函数为()S x ，则(5)S π=2π．4．设),(xyx f z =，其中f 具有连续的二阶偏导数，则y x z∂∂∂2= 223221211f xy f x f x ''-'-'' ． 5．设幂级数()01nn n a x ∞=-∑在0x =处收敛，而在2x =处发散，则幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛域为 [1,1)-．6．函数23)(2-+=x x x f 关于x 的幂级数展开式为 110(1)1,(1,1)2n n n n x x +∞+=⎡⎤--∈-⎢⎥⎣⎦∑ ． 7．设函数y z x =，则(2,1)dz = 2ln 2dx dy +8．曲线23,,x t y t z t ==-=的切线中，与平面236x y z -+=垂直的切线方程是111123x y z -+-==-． 9．设),(y x z z=是由方程sin()ln z e z xy a -= 0a >为常数所确定的二元函数，则 =dz cos()cos()sin()sin()z zyz xy xz xy dx dy e xy e xy +--． 10.旋转抛物面22zx y =+的切平面： 44810x y z -++=，平行与已知平面21x y z -+=.11．微分方程20y y y '''+-=的通解为 1212x x YC eC e -=+，2x y y y e '''+-=的通解为 121212x x x yC eC e e -=++．12.曲线：Γt tu e z t t y udu e x 301,cos sin 2,cos +=+==⎰在点()2,1,0处的切线方程为 3．函数41)(-=x x f 的麦克劳林级数的第5项为544x -，收敛域为)4,4(-.14.．已知函数(,)23a b f x y x y x y =+--（其中,a b 是大于1的实数）,有一个极值点(1,1)， 则3,2==b a ， 此时函数(,)f x y 的极大值为 3.15.试写出求解下列条件极值问题的拉格朗日函数：分解已知正数a 为三个正数z y x ,,之和，使z y x ,,的倒数之和最小()()a z y x zy x z y x L -+++++=λ111,, 16函数()x x x f -=1ln )(的麦克劳林级数的收敛域为[)1,1-∈x ，=)0()5(f-30二、单项选择题：请将正确结果的字母写在括号内。

西南交通大学网络教育2009年春季入学考试模拟题高等数学（一）一、填空题 1201lim 2x x e x x →-=、2323201441lim 2255x x x x x x x →+++=-++3201cos 2lim 2x x x →-= 4211lim )1x x x x e→∞-=+（5设 y 2tan (0),x x x x x =++>则='y [2(ln 1)2ln 2sec x x x x x +++] 6设 y 3sin (0),x x x x x =++>则='y [2(ln 1)3cos x x x x x +++] 7设 y 2tan ,x x =则22ln 2tan 2sec x x y x x '=+823(x x dx =⎰962269x x C -+ 9s e ct a n s e c )s e c t a nx x x d x x x c -=-+⎰（ 10设2sin 0(),xt f x xe dt -=⎰则22sin sin 0()[cos ]xt xf x e dt xex --'=+⎰112-=⎰120,(aaa x dx ->=⎰设则22a π131(0)2a π>=二、选择题：1.函数2sin ln(y x x x x =+是（ A ）A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 有界函数2. 函数2sin(2)3y x π=+的周期是（ B ）A. 2πB.πC.2π D. 03.201cos 2lim tan x x x→-=（ C ） A. 0B. 1C. 2D. -24. 1tan 0lim 1sin )xx x →+=（（ B ）A.21B. eC.1D. ∞5. 设曲线xye z =与直线x=2,y=2的交点为P ，则曲线在P 点的切线方程是（ A ） A ex+ey-z=e B e x+ey-z =0C 2x+y -3z =0D 4x-y -4=0 6. 设 y 3cos (0),x x x x x =++>则='y ( C ) A. 13cos x x xx -++B. (ln 1)3ln3cos x x x x x +++C. 2(ln 1)3sin x x x x x ++-D. 3ln 3cos xxx x ++7. )(x f 在点0x 可导是)(x f 在点0x 连续的（ A ） A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 无关条件8. 函数7186223---=x x x y 单调减少的区间是（ A ） A. (,1)-∞-B. )3 ,1(-∈xC. (,1),(3,)-∞-+∞D. (3,)+∞9. 曲线11xy e =-的水平渐近线方程为（ D ） A. 1=xB. 1=yC. 0=xD.0=y10. 2cos sec )sin tan x x dx x x c -=++⎰（（ A ）A. cos tan x x c ++B. sin tan x x +C. sin tan x x c ++D. sin cot x x c ++ 11. 设2sin 0(),xt f x te dt -=⎰则()f x '=( D )A. 2sin ()sin 2xf x xe -'= B. 2sin()cos sin xf x x xe '=C.2sin()sin xf x xe -'=D.2sin ()cos sin xf x x xe-'=12. 当22{(,)|1}D x y x y =+≤时，则22()Dxy x dx ++⎰⎰=（ A ）A2πB 1C π2D 013. 0,(sin aaa x dx ->=⎰设则 （ C ）A. π32B. 34C.22a π D.32 14.积分12-=⎰（ D ）A. πB.4π C.π32D. 015. 橢球面 2222221x y z a b c ++=在点000(,,)x y z 处的切平面是（ C ）A.0001x x y y z z a b c ++= B 000x x y y z z abc ++= C. 0002221x x y y z z a b c ++=， D.0002221x x y y z z a b c---++= 16. 判断级数1211(1)21n n n ∞-=--∑是( A )A 绝对收 .B 条件收敛.C 发散 .D 以上都不正确 .17. 设1(1sin ),0(), 0x x x f x a x ⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩要使)(x f 在0=x 处连续，则=a （ D ）A. 0B. 1C. e1D. e18. 方程0823=-'-''y y y 的通解是（ B ） A. 33e exxy C C -=+ B. x xC C y 34221ee-+=C. x x C C y 3231e e -+=D. 332e exxy C -=+19. 内的和函数是在),()!1()1(111+∞-∞--∑∞=--n n n n x （ A ）A xe- B )1ln(x - Cx+11D x +1 20.(0)a =>上任何一点处的切平面各坐标舳上的截距之和等于（ C ）A.B. 000x y zC. aD.轩辕杨杰Nc西南交通大学网络教育2009年春季入学考试模拟题高等数学（二）一、填空1 2323232[ln()]y dy xdxd y x y x ++=+2 22++(2)x yx yzz exe xδδ=⇒=4 球面 2222221a x b y c z ++=在点000(,,)x y z 处的切平面是（ 2220001a x x b y y c z z++=） ； 5当时}4|),{(22π≤+=y x y x D ，则22sin()D x y dx +=⎰⎰2(1sin)4ππ-6当22{(,)|1}D x y x y =+≤时，则=⎰⎰+dx e Dy x)22(1)e π-7幂级数21(1)3n nnn x n ∞=-∑的收敛半径是x =8幂级数21(1)n nn x n n∞=-+∑的收敛半径是 19幂级数nn nn x ne21)1(∑∞=-的收敛半径是e 10函数)]11(,)1([)1ln()(11∑∞=-≤<--+=n nn x n x x x x f 的幂级数为展开为11函数2(ln3)()3[,()]!2xn nnn x f x x x n ∞==-∞<<+∞∑展开为的幂级数为二、选择题1.函数2sin y x x = A ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 有界函数2. 函数2cos(2)3y x π=+的周期是（ B ）A. 2πB.πC.2π D. 03.2tan 201lim sin xx e x →-=（ C ） A. 0B. 2C. 1D. -24. 10lim 1sin )xx x →+=（（ B ）A.21 B. e C.1D. ∞5. 设曲线2x y =与直线x=2的交点为P ，则曲线在P 点的切线方程是（ A ） A 4x-y -4=0 B x+y-1=0C 2x+y -3=0D 2x-y+2=06. y 3sin (0),x x x x x =++>则='y （ B ） A. 13cos x x xx -++B. (ln 1)3ln3cos x x x x x +++C. ln 3ln3cos xxx x x ++D. 3ln 3cos xxx x ++7. )(x f 在点0x 可微是)(x f 在点0x 连续的（ A ） A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 无关条件8. 函数7186223---=x x x y 单调减少的区间是（ C ） A. (,1)-∞-B. )3 ,1(-∈xC. (,1),(3,)-∞-+∞D. (3,)+∞9. 曲线121xy =-的水平渐近线方程为（ D ） A. 1=xB. 1=yC. 0=xD.0=y10. 23(x xdx -=⎰（ B ）A.962962x x C -+ B. 962269x x C -+ C. 962269x x C -+ D. 66x C + 11. 设 2sin 0(),xt f x te dt -=⎰则（ C ）A. 2sin ()sin 2xf x xe -'= B. 2sin ()cos sin xf x x xe -'=C.2sin()sin xf x xe -'=D.2sin()cos xf x xe -'=12. 当时}144|),{(22≤+=y x y x D ,则=+⎰⎰dx x D)23(（ A ） A π8 B 1 C π2 D 013. 0,(sin aaa x dx ->=⎰设则 （ C ）A. π32B. 34C.22a π D.32 14.广义积分0(0)aa >=（ D ）A.πB.4π C.发散D. 2π15. 曲面22y x z +=在点(1, 2, 5)处的切平面方程是（ B ）A. 2(1)4(2)(5)0x y z -+-+-= B 0)5()2(4)1(2=---+-z y x C. (1)2(2)(5)0x y z -+---=，D. 2(1)4(2)(5)0x y z -+--+=16. 判断级数∑∞=-+-121121)1(n n n 是( A )A 绝对收 .B 条件收敛.C 发散 .D 以上都不正确 .17. 设1(1),0(), 0x x x f x a x ⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩要使)(x f 在0=x 处连续，则=a （ D ）A. 0B. 1C. e1D. e18. 方程09=-''y y 的通解是（ C ） A. 33e exxy C C -=+ B. 331e e x x y C -=+ C. x x C C y 3231e e -+=D. 332e exxy C -=+19. 内的和函数是在),()!1()1(111+∞-∞--∑∞=--n n n n x （ A ）A xe- B )1ln(x - Cx+11D x +1 20. 设20()4,xf x t dt +=⎰，则()f x =（ C ）A. 3()3x f x =B. 3()23x f x =- C. 3()43x f x =-D. 3()4f x x =-西南交通大学网络教育2009年春季入学考试模拟题高等数学（三）一、填空题 120sin 1lim 2x x e x x →-=2323203543lim 2244x x x x x x x →+++=-++3 201cos 2lim 2sin x x x →-= 4cot 0lim 1sin )x x x e →+=（5设 y cos (0),x x x e x x =+->则='y [(ln 1)sin x x x x e x +++] 6设 y 42(0),x x x x x =++>则='y [3(ln 1)42ln 2x x x x x +++] 7设 y 2tan ,x x =则22ln 2tan 2sec x x y x x '=+82(x x dx =⎰742247x x C -+ 9 21sin tan )sin 2ln cos 24x x x dx x x c -=-++⎰（ 10设22(),x t f x te dt -=⎰则43()[2]x f x x e-'=1121ln x x -+=⎰12 0,(sin aaa x dx ->=⎰设则22a π133)0(322a a dx x a x a⎰=>-二、选择题：1. 函数4sin y x x = A ）A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 有界函数2. 函数tan(2)y x =的周期是（ C ） A. 2πB.πC.2π D. 03.21211lim sin(1)x x e x -→-=-（ B ） A. 0B. 1C. 2D. -24.lim xx x x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭1+-1（ D ） A.21B. eC.1D. 2e5. 设曲线sin y x =与直线2x π=的交点为P ，则曲线在P 点的切线方程是（ A ）A 1y =B 4x-y -4=0C 2x+y -3=0D 2x-y+2=0 6. y 2tan (0),x x x x x =++>则='y （ B ） A. 13cos x x xx -++B. 2(ln 1)2ln 2sec x x x x x +++C. ln 3ln3cos xxx x x ++D. 3ln 3cos xxx x ++7. )(x f 在点0x 可微是)(x f 在点0x 可导的（ C ） A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 无关条件8. 函数7186223---=x x x y 单调增加的区间是（ B ） A. (,1)-∞-B. (,1),(3,)-∞-+∞C. )3 ,1(-∈xD. (3,)+∞9. 曲线11(1)xy a a =->的水平渐近线方程为（ D ） A. 1=xB. 1=yC. 0=xD.0=y10. 23(x xdx -=⎰（ B ）A.962962x x C -+ B. 962269x x C -+ C. 962269x x C -+ D. 66x C + 11. =⎰-xxdt t dx d 2sin ( C ) A x x 2cos 2- B 2x 2sin x C 2sin 2x D x 2sin 12. 当22{(,)|1}D x y x y =+≤时,则(sin 2)Dx dx +=⎰⎰（ D ）A π8B 1C 0D π213. 0,(sin aaa x dx ->+=⎰设则 （ A ）A. 0B. 34C.22a π D.32 14.广义积分0(0)aa >=（ D ）A.πB.4π C.发散D. 2π15. 曲面22y x z +=在点(1, 2, 5)处的切平面方程是（ B ）A. 2(1)4(2)(5)0x y z -+-+-= B 0)5()2(4)1(2=---+-z y x C. (1)2(2)(5)0x y z -+---=，D. 2(1)4(2)(5)0x y z -+--+=16. 判断级数1211(1)2n n n n∞-=-+∑是( A ) A 绝对收 . B 条件收敛. C 发散 . D 以上都不正确 .17. (),0(), 0g x x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中(0)g '=2要使)(x f 在0=x 处连续，则=a （ C ）A. 0B. 1C. 2D. e18. 方程40y y ''-=的通解是（ C ） A. 22ee xx y C C -=+B. 221e e x x y C -=+C. 2212e e x x y C C -=+D. 222e e x x y C -=+19. 1211(1)(,)(21)!n n n x n --∞=--∞+∞-∑在内的和函数是（ A ）A sin xB cos xC x eD x +1 20. 设20()3,xf x t dt +=⎰，则()f x =（ D ）A. 3()3x f x =B. 3()23x f x =- C. 3()43x f x =-D. 3()33x f x =-。

期中考试参考答案：一、单项选择题 C D D B D C 二 填空题 7. 2 8. (0,)+∞ 9. 极小值为--+e n ()110.dx x x x )1arctan411(2-+-11. b21⎪⎭⎫=---+-+=⎝⎛----+=--+→→→b xxx a f x a f x x x a f x a f x a f x a t x a f x a f x a f x a f x x x x 21sin sin )()sin (sin sin )()sin (1lim)()sin ()()sin (1lim)sin ()sin (lim 000三 解答题12. 计算求数列的极限．lim ()n nn n →∞++211解：原式=++→∞lim()()n nnn n111122=+→∞⋅1112122e nn n nlim ()=⋅10e e=1e13. xxx x y 1sin)(tan +=设 求y '解：21y y y +=设]1sin1ln 1cos1[]tan sec)[ln(tan )(tan ]1sin1ln 1cos 1[ln 1sin ln ]tan sec)[ln(tan )(tan )ln(tan ln )(tan 21sin22121sin221sin22111x x x xxxxxx x x y y y x xx x xx y xxy xy xxx x x y x x y x y xxxxxx+-⋅+⋅+='+'='+-⋅='⋅==⋅+='==14. 设 ⎩⎨⎧+-=++=22)1(arctan 22ln )1ln(t t y t x ，求22,dxy d dx dy解：)1(12)1(212222t t ttt tdxdy ++-=++-+=tt t tt t dxy d 2)1)(21(12)21(2222++-=++-=15. ．的函数，求确定的是由方程　设)0()ln()sin(y x x x y xy y '=-+ 解：1)0(=y 1)0(1)cos()cos(1111)1)(cos(='-+--+='=--'+'+y xy xy x xy y xy y xy y y xy 16. ．求　，，，已知)(01sin 0)1ln()(23x f x x x x x x f '⎪⎩⎪⎨⎧>≤-= 解：f f f f x x ()()()()0000000-=+===，在处连续'=-=-=-='=-==-→-→-→-+→+→+f f x f x x x x xf f x f xx x xx x x x x ()lim()()limln()lim()lim()()limsin001000100000300300002'=f ()00'=-≤->⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪f x x x x x x x x ()sin cos 310211023，， 四 解答题17. 的距离为最短的点找出到直线在抛物线2432=-=y x x y设抛物线上任点到直线的距离为(,),x x 22345116924322+-=+--=x x x x d考虑2342+-=x x f088338>=''=-='f x x f 唯一驻点　最小时故当f x ,83=,而f f f f =>>=即故,0,01623)83(即点，到直线的距离最短389643420⎛⎝ ⎫⎭⎪--=x y(注如用切线平行于已知直线解也可以)18. 讨论函数的连续性为正整数．f x x x e x en n nxnx()lim()=++→∞23解： x eef x x e x xexn nxn nxn nx nx>=∞==++=→∞→∞-→∞--001233，，lim lim ()lim当，　x ef x x x e x exn nxn nxnx<==++=→∞→∞0023lim ()limf ()00=显然当，连续x f x ≠0() 又f f f ()()()+==-=0000故在处也连续f x x ()=0综上述：处处连续f x ()五 证明题（1小题7分，2小题6分，共13分） 19. 证明： 4>x 时， 22x x >。

题目一二三四五总分91011121314151617得分西南交通大学2008－2009学年第(2)学期考试试卷班 级 学 号 姓 名密封装订线 密封装订线 密封装订线课程代码 6011320 课程名称 高等数学II （A卷）考试时间 120分钟阅卷教师签字：1、 单项选择题（每小题4分，共16分）．1． 对于微分方程，其特解设法正确的是（ B ）． （A）； （B） ； （C）； （D）2． 设空间区域，，则 ( c ) ． （A）； （B） ；（C）； （D）3． 设，且收敛，，则级数（ B ）．（A）条件收敛； （B）绝对收敛； （C）发散； （D）收敛性与有关。

4． 设二元函数满足，则（ D ）． （A）在点连续； （B）；（C），其中为的方向余弦；（D）在点沿x轴负方向的方向导数为．2、 填空题（每小题4分，共16分）．5. 设函数，则= 1 ．6. 曲面被柱面所割下部分的面积为 ．7. 设，而，其中则 ， 0 ．8. 幂级数的收敛域为 [1，3] ．3、 解答下列各题（每小题7分，共28分）．9. 设是由方程确定的隐函数，可微,计算．解： ，10. 在曲面上求一点，使该点处的法线垂直于平面．解：令，则在点的法向量为，平面的法向量为。

，得，又得，故满足题意的点为（-3，-1，3）11. 将函数展开为的幂级数．解：12. 计算，是由曲面及所围成的闭区域．解：=4、 解答下列各题（每小题10分，共30分）13. （10分）设具有二阶连续导数，，曲线积分与路径无关．求．解： ，的通解为设特解，代入得的通解为。

由，得。

14. （10分）计算积分，其中为圆周（按逆时针方向）．解（1）故当时，在所围的区域内有连续偏导，满足格林公式条件。

（2）故当时，构造曲线（取得足够小保证含在所围区域）方向为逆时针，即。

则曲线围成复连通区域且为的正向边界。

故在复连通区域满足格林公式条件，故即15. （10分）计算，其中为锥面被 所截部分的外侧．解5、 综合题（每小题5分，共10分）16. 在椭球面上求一点，使函数在该点沿方向的方向导数最大，并求出最大值．解：问题变为求在下的最大值点。

西南交通大学2019－2020学年第2学期半期测试课程代码 MATH011512 课程名称 高等数学II 考试时间 60 分钟注意：本试卷共9道大题，需要详细解答过程，将答案写在答题纸上，考试结束前拍照上传。

要求独立完成，诚信参考！考试诚信承诺书。

我郑重承诺：我愿意服从学校本次考试的安排，承认考试成绩的有效性，并已经认真阅读、了解了《西南交通大学考试考场管理办法》和《西南交通大学本科生考试违规处理办法》，我愿意在本次考试过程中严格服从监考教师的相关指令安排，诚信考试。

如果在考试过程中违反相关规定，我愿意接受《西南交通大学本科生考试违规处理办法》的规定处理。

您是否同意：A. 同意B. 不同意选择B 选项，本次考试无效。

一（10分） 、判断直线1212:012+--==-x y z L 与222:2+=⎧⎨+-=⎩x y L x y z 的位置关系，并给出理由。

解 法一 化2L 为对称方程12:121-==--x y zL （不唯一） 故12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，（不唯一）分别过点()()122,1,20,2,0=-=、M M计算121201212110212-⎡⎤=--=-⎣⎦-，，s s M M （8分）（不唯一，只要最终表明混合积不为零即可）这表明直线异面（而且12⊥s s 表明其异面垂直）法二 1L 的参数为2122=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩x y t z t ，（不唯一）代入2L 得41221222-++=⎧⎨-++-+=⎩t t t （*），（*）无解，这表明12、L L 无交点，故它们要么平行要么异面，注意到12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，它们不平行，这表明12、L L 异面。

二 （10分）、 设函数()22,=z f xy x y ，其中f 具有二阶连续偏导数，求d z 及22∂∂z x。

西南交通大学2017－2018学年第1学期半期测试卷 课程代码1271046 课程名称 高等数学BI 考试时间90分钟参 考 评 分 标 准一. 选择题（每小题4分，共20分）1、下列结论中正确的是（ C ）.（A ）有界数列必然收敛;（B ）发散数列必然无界;（C ）若2lim n n x a →∞=，21lim n n x a +→∞=，则lim n n x a →∞=;（D ）若3lim n n x a →∞=，31lim n n x a +→∞=，则lim n n x a →∞=.2、已知0→x 时2ln(1)ax +与1x e x --等价无穷小，则a =（ B ）.（A ）1;（B ）12;（C ）1-; （D ）12-.3、若函数()()(1)x e bf x x a x -=--有无穷型间断点10x =和可去间断点21x =，则（ A）. （A ）0,a b e ==; （B ）,0a e b ==; （C ）0,1a b ==; （D ）1,0a b ==.4、设函数()f x 在点0x 处可导，则（ D ）.（A ）()f x 在点0x 处不一定有极限; （B ）()f x 在点0x 处不一定连续;（C ）()f x 在点0x 处不一定可微; （D ）()f x 在点0x 处不一定二阶可导.5、函数(1)(2)(3)(4)y x x x x x =----的导函数有（ C ）个零点.（A ）1;（B ）2;（C ）4; （D ）5.二. 填空题（每小题5分，共25分）1、已知为常数，且23lim()1ax x x e x →∞+=+，则a =1.2、若(1)(1)2f f '==，则220(1)(1)lim x f x f x →+-=8.3、设函数1(arctan )y f x =，其中()f x 为可导函数，则d y =211-(arctan )d +1f x x x '.4、函数sin (0)x y x x =>的导函数为sin sin (cos ln )x xx x x x +.5、函数ln(12)y x =-在0x =处的n 阶导数()(0)n y =2(1)!n n --.三. 计算题（每小题7分，共21分）注意：解题方法不唯一1、求20lim x x x +→解：原极限00lim lim x x x e ++→→=⋅（3分）20212lim 12x x x +→=1=（7分） 2、求tan 01lim ()x x x+→； 解：原极限0lim tan ln tan ln 0lim x x x x x x e e +→+--→==（2分） 其中000021ln lim tan ln lim ln lim lim 011x x x x x x x x x x x x++++→→→→====-（6分） 所以原极限01e ==（7分）3、求2011lim()tan x x x x→-. 解：原极限2300tan tan limlim tan x x x x x x x x x →→--==（3分） 220sec 1lim 3x x x→-=（5分） 220tan 1lim 33x x x →==（7分） 四. 解答题（每小题9分，共27分）注意：解题方法不唯一1、求曲线方程()sin ln()xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程.解：方程两边对x 求导得：()()1cos (1)1xy y xy y y x''++-=-（1）（4分） 将0,1x y ==代入（1）式得：(0)1y '=（6分）所求切线方程为：1y x =+.（9分）2、求由参数方程2ln(1)arctan x t t y t⎧=-+⎨=⎩确定的函数的一阶导数d d y x 和二阶导数22d d y x . 解：22221d (arctan )112d (ln(1))(1)11y t t t x t t t t '+==='-+--+（4分） 考虑参数方程22d 1d (11)ln()x t y x t t ⎧=-+=-⎪⎨⎪⎩，求导得： 2232225212(ln(112()d 2()(1)(1)d (1)))11y t t x t t t t t t -+'-+-'---===-+.（9分） 3、已知32ln(1-),0()1sin ,0x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，求()f x '. 解：当0x >时，2111()(sin )2sin cos f x x x x x x''==-.（2分） 当0x <时，233()1-x f x x-'=.（4分） 当0x =时，2001sin ()(0)lim lim 0x x x f x f x x x ++→→-==;（6分）300()(0)ln(1)lim lim 0x x f x f x x x--→→--==,（8分） 所以(0)0f '=.（9分）五. 证明题（共7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在()0,1上可导，且(0)(1)1f f =-=，证明：存在()0,1ξ∈，使得()3()0f f ξξξ'+=.证明：设3()()F x x f x =，则32()()3()F x x f x x f x ''=+.（3分）因为(0)(1)1f f =-=，由零点定理，存在()0,1η∈，使得()0f η=，即()0F η=.（5分） 又因为(0)0F =，所以由中值定理，存在()()0,0,1ξη∈∈，使得()0F ξ'=，即()3()0f f ξξξ'+=.（7分）。

班 级 学 号 姓 名
二、填空题（5个小题，每小题4分，共20分） 7. 已知21)1('=
f ，则=--→h
f h f h )
1()1(lim 0 ； 8. 如果dt t x x ⎰
=
2
sin )(ψ，则=)('x ψ ；
9． =⎰xdx ln ； 10. =⎰+∞
-dx e x 02
x 11. 方程
y e dx
y
-x d =的通解为 。

三、计算题（4个小题，共41分，要求有必要的解题步骤）
12．（7分) 求极限x x x x 20
sin 2arcsin lim
→；
13.（7分）由参数方程为参数）
t 为常数，a ，（其中)
cos 1(y )sin (x ⎩⎨
⎧-=-=t a t t a ，所确定的函数的一阶导数dx
y
d ；
14.（7分)设 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=3
0,902,x
)(2
x x x x f ，求 ⎰
-3
2
)(dx
x f ；
15.（10分) 求
⎰
dx x
x 4
-
1
；
16．（10分）求微分方程 x e y y y 2'
2"=+-的通解。

四、应用题与证明题（2个小题，共15分，要求有必要的解题步骤） 17. （7分）求内接于半径为R 的圆内的长方形的最大面积。

.
18. （8分）曲线 1=xy 与直线 3x 及1x ==，及x 轴围成一个曲边梯形，求该图
形绕 x 轴旋转 一周所得旋转体的体积；。