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西南交通大学高等数学考试一、选择题（每题4分，共16分）1．函数222222 0(,)0 0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0, 0)点 .(A) 连续，且偏导函数都存在(B) 不连续，但偏导函数都存在；(C) 不连续，且偏导函数都不存在； (D) 连续，且偏导函数都不存在。
2．设f 为可微函数，(,)z f x y z xyz =++，则z x ∂=∂ 。
(A )12121f yz f f x y f ''+''+- (B )12121f x y f f yz f ''--''+ (C )12121f yz f f x y f ''+''-- (D )1212f xzf f yzf ''+''+。
3．设),(y x f 在()22:24D x y +-≤上连续，则二重积分⎰⎰D y x f σd ),(表示成极坐标系下的二次积分的形式为 。
(A )． 220 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθ⎰⎰；(B )． 2d (cos ,sin )d f r r r rπθθθ⎰⎰；(C )． 4cos 00d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθ⎰⎰；(D )． 4sin 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθ⎰⎰4．幂级数0(1)nn n a x ∞=+∑在3x =处条件收敛，则幂级数0nnn a x∞=∑的收敛半径为 。
(A )．3； (B )．4；(C )．1； (D )．5。
二、填空题（每题4分，共20分）1．设函数y z x =，则函数yz x =的全微分 。
2．函数222u x y z =++在点)1,1,1(0P 处沿0OP 方向的方向导数为 ，其中O 为坐标原点。
交通大学20 －20 学年第2学期半期测试课程代码 MATH011512 课程名称 高等数学II 考试时间 60 分钟注意：本试卷共9道大题，需要详细解答过程，将答案写在答题纸上，考试结束前拍照上传。
要求独立完成，诚信参考！一（10分） 、判断直线1212:012+--==-x y z L 与222:2+=⎧⎨+-=⎩x y L x y z 的位置关系，并给出理由。
解 法一 化2L 为对称方程12:121-==--x y zL （不唯一） 故12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，（不唯一）分别过点()()122,1,20,2,0=-=、M M计算121201212110212-⎡⎤=--=-⎣⎦-，，s s M M （8分）（不唯一，只要最终表明混合积不为零即可）这表明直线异面（而且12⊥s s 表明其异面垂直）法二 1L 的参数为2122=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩x y t z t ，（不唯一）代入2L 得41221222-++=⎧⎨-++-+=⎩t t t （*），（*）无解，这表明12、L L 无交点，故它们要么平行要么异面，注意到12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，它们不平行，这表明12、L L 异面。
二 （10分）、 设函数()22,=z f xy x y ，其中f 具有二阶连续偏导数，求d z 及22∂∂zx。
解2122∂''=+∂zy f xyf x，2122∂''=+∂z xyf x f y ，故()()221212d =2d 2d ''''+++z y f xyf x xyf x f y()221222∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭z z y f xyf x x x x ()()2122∂∂''=+∂∂y f xyf x x()()2221112221222222'''''''''=++++y y f xyf yf xy y f xyf 43222111222=244'''''''+++yf y f xy f x y f 三 （10分）、 设函数(),=z f x y 是由方程(),=-z g y x yz 确定，求,∂∂∂∂z zx y。
高等数学（二）复习题一、填空：（1）设向量a ≠0,那么，向量b 平行于a 的充分条件是：存在唯一实数λ，使得（b=λa ）。
（2）既有大小又有方向的量统称为（向量）。
（3）向量a 与各个坐标轴的夹角分别为α、β、γ，称为（ 方向角 ），方向角满足cos α2+cos β2+cos γ2=( 1 )（4）设两个点A=(x 1,y 1,z 1) 、B=(x 2,y 2,z 2)，则向量 在三个坐标轴上的投影x 2-x 1，y 2-y 1，z 2-z 1叫做向量 的（ 坐标），记其坐标表达式为：（ =（x 2-x 1，y 2-y 1，z 2-z 1） ）（5）a ·b 0表示向量a 在向量b 上的（投影）(6 )设向量a=i+3j-2k 与b=2i+6j+ek 垂直，则e=（ 10 ）（7）函数z =+的定义域为（8）已知函数arctan y z x =，则zx ∂=∂（9）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（10）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()Lx y ds +⎰（11）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为（12）函数z =的定义域为 ；（13）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；（14）交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝ ；（15）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则=⎰；（16）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .（17）、 函数arcsin(3)y x =-（18）、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .（19）、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . （20）、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰ 0 .{(,)|0,0}x y x y x y +>->22y x y -+4102(,)xdx f x y dy⎰⎰312xxy C e C e -=+222{(,)|4,01}x y y x x y ≤<+<222e dx e dy +10(,)y ee dyf x y dx⎰⎰11)1212()xy C C x e =+1a 2dx（21）、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数（ 或 ）（22）、函数1y x =的定义域为 .（23）、0,0axe dx a +∞->⎰= 13 .（24）、已知sin(21)y x =+，在0.5x =-处的微分dy = . （25）、定积分121sin 1x dx x -+⎰= .（26）、函数43341y x x =-+的凸区间是 .（27）两条直线的方向向量的夹角叫做 两直线夹角（28）设x 2+y 2+z 2-4z=0,则 =（ ）（29）f(x,y)在点（x,y ）可微分是f(x,y)在该点连续的（ 充分 ）条件，f(x,y)在点（x,y ）连续是f(x,y)在该点可微分的（ 必要 ）条件（30）球面x 2+y 2+z 2=a 2含在圆柱面x 2+y 2=ax 内部的那部分面积为（ 2a 2(π-2)） （31）锥面被柱面z 2=2x 所割下部分曲面的面积为（）（32）经过点（0，-3，2）且与直线平行的直线为（ ）（33）利用幂级数的展开式求ln3 =( 1.0986 ) (误差不超过0.0001)(34)设z=（x-2y ）y ，则 =( y(x-2y)y-1 ),(35 )设z=z(x,y)是由方程 =0所确定的函数，则x +y =( z )(36)设f(x,y)=x+(y-1)arcsin ,则f(1,2)=( 1+0.25π ), f ˊx (1,2)=( 1.5 ) (37)设,则dz=( )(38)设f(x,y)=e -x sin(x+2y),则f ˊx (0 ,0.25π)=（ -1 ），f ˊy (0 ,0.25π)=（ 0 ）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦dy dx =6412125x y ++23dx 24x ≤≤(39)取定了法向量亦选定了侧的曲面称为（有向曲面）(40)对于空间区域G，如果G内的任一闭区面所围成的区域完全属于G，则称G是（空间二维单连通区域）如果G内的任一闭区线总可以张成一片完全属于G的曲面，则称G 是（空间一维单连通区域）二、选择填空：(1)设a,b为两个非零向量，λ为非零常数，若a+λb与b垂直，则λ=（ B ）A B C 1 D a·b(2)设向量a=-i+j+2k, b=i+4k,则向量a在b上的投影为（ B ）A B 1 C D -1(3)a0为单位矢量，它同时垂直于向量b=3i+j+4k及c=i+k，则a0=( A )(4)设a={1，1，1}，b={1，1，-2}，c={2，2，-4}，d={1，-1，0}则：（ B ）A b 平行于c×dB a垂直于b,d,cC c垂直于b,d,aD b平行于a(5)设3个矢量a,b,c满足关系式a·b=a·c,则：（ D ）A 必有a=0或b=cB 必有a=b-c=0C 当a=0时，必有b=cD 必有a垂直于（b-c）(6)设向量a=xi+3j+2k,b=-i+yj+4k,如果a平行b,那么（ D ）A x=-1,y=-3B x=-1,y=C x= -0.5,y= -6D x= -0.5,y=6（7）设直线L为321021030x y zx y z+++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z-+-=，则（ C ）A. L平行于πB. L在π上C. L垂直于πD. L与π斜交（8）已知Ω是由曲面222425()z x y=+及平面5z=所围成的闭区域，将22()x y dvΩ+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ C ）A.2253000d r dr dzπθ⎰⎰⎰B.2453000d r dr dzπθ⎰⎰⎰C.22535002rd r dr dzπθ⎰⎰⎰D.2252000d r dr dzπθ⎰⎰⎰（9）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ A ）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（10）设(,)z f x y =是由方程333z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（ B ）； A. 2yz xy z - B. 2yz z xy - C. 2xz xy z - D. 2xy z xy -（11）微分方程256xy y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（ B ）；A.2()xax b e + B.2()xax b xe + C.2()xax b ce ++ D.2()xax b cxe ++ （12）已知Ω是由球面2222x y z a++=所围成的闭区域, 将dv Ω⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（ D ）； A2220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.20ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（13）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径为（ A ）.A. 2B. 1C. 12D.(14)、2x =是函数22132x y x x -=-+的( A )间断点 （A ）可去 （B ）跳跃（C ）无穷 （D ）振荡(15)、积分1⎰= ( D )(A) (B)-∞(C) 0 (D) 1(16)、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 ( A ) 。
一、填空题： 1．设函数(,)z z x y =是由ln x zz y=所确定，则()0,1,1dz =dx dy + ．2．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛区间为()3,3-，则幂级数()01nn n a x ∞=-∑的收敛区间为 ()2,4- ．3．设函数,0()0,0x x f x x ππ--<≤⎧=⎨<≤⎩的付氏级数的和函数为()S x ，则(5)S π=2π．4．设),(xyx f z =，其中f 具有连续的二阶偏导数，则y x z∂∂∂2= 223221211f xy f x f x ''-'-'' ． 5．设幂级数()01nn n a x ∞=-∑在0x =处收敛，而在2x =处发散，则幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛域为 [1,1)-．6．函数23)(2-+=x x x f 关于x 的幂级数展开式为 110(1)1,(1,1)2n n n n x x +∞+=⎡⎤--∈-⎢⎥⎣⎦∑ ． 7．设函数y z x =，则(2,1)dz = 2ln 2dx dy +8．曲线23,,x t y t z t ==-=的切线中，与平面236x y z -+=垂直的切线方程是111123x y z -+-==-． 9．设),(y x z z=是由方程sin()ln z e z xy a -= 0a >为常数所确定的二元函数，则 =dz cos()cos()sin()sin()z zyz xy xz xy dx dy e xy e xy +--． 10.旋转抛物面22zx y =+的切平面： 44810x y z -++=，平行与已知平面21x y z -+=.11．微分方程20y y y '''+-=的通解为 1212x x Y C e C e -=+，2x y y y e '''+-=的通解为 121212x x x yC eC e e -=++．12.曲线：Γt tu e z t t y udu e x 301,cos sin 2,cos +=+==⎰在点()2,1,0处的切线方程为3．函数41)(-=x x f 的麦克劳林级数的第5项为544x -，收敛域为)4,4(-.14.．已知函数(,)23a b f x y x y x y =+--（其中,a b 是大于1的实数）,有一个极值点(1,1)， 则3,2==b a ， 此时函数(,)f x y 的极大值为 3.15.试写出求解下列条件极值问题的拉格朗日函数：分解已知正数a 为三个正数z y x ,,之和，使z y x ,,的倒数之和最小()()a z y x zy x z y x L -+++++=λ111,, 16函数()x x x f -=1ln )(的麦克劳林级数的收敛域为[)1,1-∈x ，=)0()5(f-30二、单项选择题：请将正确结果的字母写在括号内。
2009~2010学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案西南交通大学2009－2010学年第(二)学期半期考试题一、单项选择题（共5个小题，每小题4分，共20分）．1．累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ??可表示成【 D】（A ）100(,)dy f x y dx ?（B ）10(,)dy f x y dx（C ）10(,)dx f x y dy ?（D ）10(,)dx f xy dy ?解：根据该二重积分可知，积分区域为半圆域：01,0x y ≤≤≤≤，所以应选D 。
2. 两直线1112y z x λ+--==与11x y z +=-=相交，则必有【 D 】（A ）1λ= （B ）32λ=（C ）54λ=- （D ）54λ=解：直线11x y z +=-=的参数方程为：11x t y t z t =-??=+??=?，将此参数方程代入直线1112y z x λ+--==，得2122t t t λ+--==，解得654t λ=??=??，故应选（D ）。
3．极限332200lim x y x y x xy y →→+-+=【 A 】(A) 0 (B) 1 (C)12(D)不存在极限解；因为33222222000000()()lim lim lim()0x x x y y y x y x y x xy y x y x xy y x xy y →→→→→→++-+==+=-+-+，故应选（A ）。
4．曲面2xyz =的切平面与三个坐标面所围四面体的体积V =【 C 】 (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12解：设曲面2xyz =在第一卦限的任意一个切点为(,,)x y z ，则切平面方程为：班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，其中2xyz =，即36yzX xzY xyZ xyz ++==，则该切平面与三个坐标轴的交点分别为：6(,0,0)yz，6(0,,0)xz ，6(0,0,)xy ，则该切平面与三个坐标面所围四面体的体积221666363696()2V yz xz xy xyz ====，故应选（C ）。
高等数学（二）05062B一、填空题（每题4分）（1）微分方程)1()1(322y x y +-='的通解____________（2）直线⎩⎨⎧=-+=-+212z y x z y x 的方向向量 （3）设),(y x z z =是由0=-xyz e z 所确定的函数,则x z ∂∂= （4）过原点P （1，2，3）且与原点与P 的连线垂直的平面方程为（5）改变积分次序⎰⎰--21222),(x x x dy y x f dx = （6）∑∞=-+1)2)1(1(n n nn 是 （收敛、发散）级数 （7）∑∞=-122)1(n n nn x 的收敛半径R= 收敛域 二、计算题（8）（10分）D xydxdy D,⎰⎰是有直线0,2,=-==y x y x y 所围成的闭区域（9）（6分）判别级数∑∞=⋅1!5n n nn n 的收敛性（10）（10分）求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体（11）（10分）求曲面2132222=++z y x 的平行于平面064=++z y x 的切平面方程（12）（10分）把2)4(1)(x x f -=展开成x 的幂级数，并求出收敛区间.（13）（8分）求微分方程xy x y 2sin tan '=⋅+的通解。
（14）（10分）设函数)(x φ连续，且满足⎰-+=x dt t x t x x 02)()()(φφ，求)(x φ（15）（8分）求由2,2+==x y x y 围成图形的面积，以及此图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积高等数学（二）05062B 解答及评分标准一、填空题（每题4分）（1）])1tan[(3C x y +-= （2）{}1,1,0 （3）xye yz z - （4）1432=++z y x （5）⎰⎰-+-101122),(y y dx y xf dy （6）发散 （7）2；)2,2(-二、计算题（8）解：{}y x y y y x D -≤≤≤≤=2,10),(……………….2分 ⎰⎰⎰⎰-=y y D xydx dy xydxdy 210……………….6分⎰⎰+-=⋅=-1022102)244(|2dy y y x y dy y y …….8分 31321023=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=y y ……………10分 （9）解：!5)!1(5)1(lim lim 111n n n n u u n nn n n n n n ⋅++=++∞→+∞→……………………3分 155)11(lim <=+=∞→e n nn ………………………………..4分 故原级数收敛…………………………………….6分（10）解： 建立空间直角坐标系，原点在球心设在第一卦限的长方体的顶点为),,(z y x则xyz V 8= 且满足2222a z y x =++……………..3分)(82222a z y x xyz L -+++=λ……………………5分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=)4()3(028)2(028)1(0282222a z y x z xy L y xz L x yz L zy x λλλ由)3)(2)(1(得z y x == 由)4(得a z y x 33===……8分当长方体为正方体且边长为a 332时体积最大……………10分 （11）解：设切点),,(000z y x ，则有 {}0006,4,2z y x n =………………2分 有条件得：664412000z y x ==，即0002z y x ==及2132202020=++z y x ……4分 解得：2,1000±==±=z y x …………………………………………………6分 曲面2132222=++z y x 的平行于平面064=++z y x 的切平面方程为： 2164±=++z y x ……………………………………………………10分（12）解：14)4(4141141410<⋅=-⋅=-∑∞=x x x x n n …………5分 两边求导2)4(1x -= 14)4(4112<⋅-∞=∑x x n n n ………………10分 （13）解：x x Q x x P 2sin )(,tan )(==])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-…………………………4分]2sin [tan tan C dx xe e xdx xdx +⎰⎰=⎰-)cos 2(cos c x x +-=……………………………………………………8分（14）解：两边求导数，得⎰-=xdt t x x 0)(2)('φφ 及 )(2)(''x x φφ-=（1）0)( )( "=+x x φφ的特征方程为01 2=+ri r i r -==21,，则：x c x c y sin cos 21+=………………………………4分（2）观察知2)(*=x φ …………………………………………6分（3）通解为：2sin cos )(21++=x c x c x φ…………………………8分 0)0(=φ，0)0('=φ 得：0,221=-=c c即：2cos 2)(+-=x x φ……………………………………………10分（15）解：)4,2(),1,1(22-⇒⎩⎨⎧+==x y x y{}2,21|),(2+≤≤≤≤-=x y x x y x D …………2分dx x x S )2(212⎰--+=………………………………3分 =29)31221(2132=-+-x x x ………………………4分 dx x dx x V ⎰⎰---+=214212)2(ππ…………………………6分 =ππ572]51)2(31[2153=-+-x x ………………………………8分版权所有，翻版必究、本事。
高等数学B2分题型练习(参考答案)一、单顶选择题1、 ()C2、()D3、()C4、()C5、()C6、()D7、 ()B8、()B9、()B 10、()C 11、()D 12、()A 13、()A 14、()D 15、()D 16、()A 17、()B 18、()B 19、()B 20、()C 21、()C 22、()C 23、()D 24、()C 25、()D 26、()A 27、()B 28、()A 29、()A 30、()D 31、()D 32、()B 33、()A 34、()B 35、()C 36、()A二、填空题1、02、03、 04、05、12 6、12 7、0 8、2dx dy + 9、12dx dy + 10、0 11、0 12、222()xdx ydy x y ++ 13、1arccos 00(,)y dy f x y dx ⎰⎰14、12arcsin (,)ydy f x y dx π⎰⎰15、110(,)dx f x y dy ⎰ 16、210(,)xxdx f x y dy ⎰⎰17、16 18、S 19、0a > 20、12p <≤ 21、( 22、2 23、[1,1)- 24、(2,4)- 25、0(1),(1,1)n n n x x ∞=-∈-∑ 26、0!n n x n ∞=∑ 27、210(1),(,)(21)!n nn x x n +∞=-∈-∞∞+∑28、110- 29、x e - 30、2xy e = 31、2± 32、312x x y C e C e -=+ 33、312y x C x C =++34、C y x = 35、5212415y x C x C =++三、计算定积分1、求定积分cos 2sin x e xdx π⎰解：cos cos cos 222sin cos |1xx x exdx ed x ee πππ=-=-=-⎰⎰2、求定积分cos x xdx π⎰解：cos (sin )x xdx xd x ππ=⎰⎰00sin |sin x x xdx ππ=-⎰0cos |2x π==-3、求定积分220124xdx x ++⎰ 4、求定积分 21ln x xdx ⎰解：2222220001212444x x dx dx dx x x x +=++++⎰⎰⎰ 解：22211ln ln ()2x x xdx xd =⎰⎰ 222001arctan |ln(4)|22x x =++ 22211ln |22x x x dx =-⎰ln 28π=+ 22132ln 2|2ln 244x =-=- 5、求定积分02222dxx x -++⎰解：00022222(1)arctan(1)|()221(1)442dx d x x x x x πππ---+==+=--=++++⎰⎰ 6、求定积分dx 解：令sin x t =，则cos dx tdt =，且当x =时，4t π=；1x =时，2π=t 。
C ）//a b 的充要条件； 2.(1)ln(1n=-+班 级 学 号 姓 名6.设(,)u ∈-∞+∞时()f u 可导且(0)0f =，则22231lim u x y u f u σπ+→+≤=⎰⎰2(0)3f '. 7. 设L 是曲线1x y +=的正向，则第二型曲线积分d 2d Ly x x yx y+=+⎰2 .8.曲面22226x y z ++=在(2,1,1)的切平面方程为2270x y z ++-=.三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）9.计算d I z v Ω=⎰⎰⎰，其中Ω由224,0,1x y z z +===围成.解 Ω在xoy 面上的投影为22:4D x y +≤ （3分） 1d DI z v dxdy zdz Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （2分）12Ddxdy =⎰⎰ （2分）1422ππ=⋅= （3分）10.计算d LI xy s =⎰,其中22:9L x y +=.解 L 的参数方程为3cos (02)3sin x y θθπθ=⎧≤≤⎨=⎩ （3分）2d 9sin cos LI xy s πθθθ==⎰⎰ （4分）20272sin 254d πθθ=⨯=⎰ （3分）11. 计算2222d d ()d d (2)d d I xz y z x y z z x xy y z x y ∑=+-++⎰⎰,其中:z ∑=,取上侧.解 设1:0z ∑= 22(4)x y +≤，取下侧。
∑与1∑所围区域记为Ω。
（2分） 2222d d ()d d (2)d d I xz y z x y z z x xy y z x y ∑=+-++⎰⎰12222d d ()d d (2)d d xz y z x y z z x xy y z x y ∑++-++⎰⎰12222d d ()d d (2)d d xz y z x y z z x xy y z x y ∑-+-++⎰⎰222()z x y dxdydz Ω=++⎰⎰⎰12222d d ()d d (2)d d xz y z x y z z x xy y z x y ∑-+-++⎰⎰（2分）2224()sin z x y dxdydz r drd d ϕθϕΩΩ++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2242064sin 5d d r dr ππθϕϕπ==⎰⎰⎰（3分） 12222d d ()d d (2)d d xz y z x y z z x xy y z x y ∑+-++⎰⎰12d d 0xy x y ∑=-=⎰⎰ （2分）所以222264d d ()d d (2)d d .5I xz y z x y z z x xy y z x y π∑=+-++=⎰⎰（1分）12. 已知幂级数13nn x n ∞=∑.（1）求其收敛域；（2）求其和函数.解 （1）收敛半径13(1)limlim13nn n n n a R a n→∞→∞++===，（2分）1x =时，13n n x n ∞=∑发散；1x =-时，13nn x n ∞=∑收敛，（2分）收敛域为[1,1)-。
高等数学B(2)题库精选-(1)第5章1、若1x m e dx =⎰，11en dx x=⎰，则m 与n 的大小关系是（ a ）A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．无法确定2、设I 1=⎰1xdx ，I 2=⎰212dx x ，则[ d]A ． I 1≥I 2B ．I 1>I 2C ．I 1≤I 2D ．I 1<I 23、设dtt x F x⎰=12sin )(则)(x F ' = 【a 】:A x 2sin :B x2cos:C x2sin 2 :D x 2cos 2 4、=-⎰-dx x 0111【 a 】:A 2ln:B 2ln 2:C 2ln 21:D2ln 215、⎰+xxdt t dx dln 2)1ln(=( b )(A) )21ln(2)ln 1ln(1x x x +-+ (B) )21ln()ln 1ln(1x x x +-+ (C) )21ln()ln 1ln(x x +-+ (D))21ln(2)ln 1ln(x x +-+6、[]202sin lim xx t dt x→=⎰aA ．21 B ．31C ．0D ．1 7、定积分dxx x ⎰-2223}1,,max {等于( c )（A ） 0 （B ） 4 （C ）316（D ）12978、定积分 dx xx ⎰++121)1ln( =（ ） （A ） 1 （B ） 2π（C ） 2ln （D ）2ln 8π9、下述结论错误的是 （ ）(A ) dxx x ⎰+∞+021 发散 ( B )dx x ⎰+∞+0211收敛(C ) 012=⎰+∞+∞-dx x x ( D )dx x x ⎰+∞+∞-21发散1、 比较大小, 321x dx⎰331x dx⎰.2、11.limln(1_______;x x dt =3、设2()sin xf x t dt =⎰,则()f x '= .4、设21cos ()t xf x e dt-=⎰,则()f x '= .5、=+⎰dx x )32(10____________________________6、=+⎰dx x )43(21____________________________7、 311dx x +∞=⎰.8、广义积分⎰∞+2)(ln kx x dx ，当______k 时收敛，广义积分⎰-b aka x dx )(当_______k 时敛。
西南交通大学2019－2020学年第2学期半期测试课程代码 MATH011512 课程名称 高等数学II 考试时间 60 分钟注意：本试卷共9道大题，需要详细解答过程，将答案写在答题纸上，考试结束前拍照上传。
要求独立完成，诚信参考！考试诚信承诺书。
我郑重承诺：我愿意服从学校本次考试的安排，承认考试成绩的有效性，并已经认真阅读、了解了《西南交通大学考试考场管理办法》和《西南交通大学本科生考试违规处理办法》，我愿意在本次考试过程中严格服从监考教师的相关指令安排，诚信考试。
如果在考试过程中违反相关规定，我愿意接受《西南交通大学本科生考试违规处理办法》的规定处理。
您是否同意：A. 同意B. 不同意选择B 选项，本次考试无效。
一（10分） 、判断直线1212:012+--==-x y z L 与222:2+=⎧⎨+-=⎩x y L x y z 的位置关系，并给出理由。
解 法一 化2L 为对称方程12:121-==--x y zL （不唯一） 故12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，（不唯一）分别过点()()122,1,20,2,0=-=、M M计算121201212110212-⎡⎤=--=-⎣⎦-，，s s M M （8分）（不唯一，只要最终表明混合积不为零即可）这表明直线异面（而且12⊥s s 表明其异面垂直）法二 1L 的参数为2122=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩x y t z t ，（不唯一）代入2L 得41221222-++=⎧⎨-++-+=⎩t t t （*），（*）无解，这表明12、L L 无交点，故它们要么平行要么异面，注意到12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，它们不平行，这表明12、L L 异面。
二 （10分）、 设函数()22,=z f xy x y ，其中f 具有二阶连续偏导数，求d z 及22∂∂z x。
2013-2014-2学期高等数学B2期末B 卷答案一、填空题（共 5小题，每题 3分，共计 15分）1、(){}22222,,0x y z x y x y ≤++≠且2、222dz e dx e dy =+3、225y z x += 4、 5、(0,2)二、选择题（共 5小题，每题 3分，共计15分）1、C2、D3、B4、A5、D三、求过点A (2,1,3)且与通过直线11221x y z +-==-的平面方程.（本题8分） 解：由已知得点B (1,1,0)-也在所求平面上.(3,0,3)AB =-- ，……………..………2分取 303221i j k n AB s =⨯=--- (6,9,6)3(2,3,2)=--=--………………..…………………4分所求的平面方程为2(2)3(1)2(3)0x y z -----=即 23250x y z --+=……………….………..….……2分四、计算下列偏导数（共 2小题，每题6分，共计12分）1、设(,)z f x y x y =+，f 具有一阶连续偏导数，求,z z x y∂∂∂∂. 解：将中间变量按顺序编为1,2号，可得12121z f f y f yf x∂''''=⋅+⋅=+∂………………..………..………3分 12121z f f x f xf y∂''''=⋅+⋅=+∂………………..………..………3分 2、设x z z e y +=+，求,z z x y∂∂∂∂. 解法一：令(,,)x z F x y z z e y +=--，则,1,1x z x z x y z F e F F e ++=-=-=-，……2分 利用隐函数求导公式，有11x z x zx z x zz e e x e e ++++∂-=-=∂--，…………..………..………2分1111x z x z z y e e++∂-=-=∂--…………..………..………2分 解法二：方程两边分别关于,x y 求偏导数.解法三：方程两边求全微分.五、计算下列积分：（共3小题，每题6分，共计18分）1、求二重积分22xy D e d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周222x y +=所围成的闭区域.解：222200xy r D e d d rdr πσθ+=⋅⎰⎰⎰ ……..……………………………………3分20122r e π⎡=⋅⎣⎦ ……..………………………………..………2分 ()21e π=- …..………..…………………………………..1分2、求二重积分Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由21,2,0,x x y y x ====所围成的平面区域.解：2210x D xydxdy dx xydy =⎰⎰⎰⎰ …………..………..………………………..……3分222251101122x xy dx x dx ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰ …………..………..……………..…2分 261121124x ⎡⎤==⎣⎦ …………..……………………..………1分 3、求二重积分sin D x dxdy x⎰⎰，其中D 是由0,,y x y x π===所围成的平面区域. 解：00sin sin x Dx x dxdy dx dy x x π=⎰⎰⎰⎰ …………..………..…………………..…3分 00sin sin x xdx dx xππ=⋅=⎰⎰ …………..………..……………..…2分 []0c o s2x π=-= …………..………..……………..…1分 六、求微分方程221y y y x '''+-=+的通解.（本题10分）解：对应的齐次方程为20y y y '''+-=，它的特征方程 220r r +-=有两个实根 122,1r r =-= …………..………..……………..…3分 于是与所给方程对应的齐次方程的通解为212x x Y C e C e -=+. …………..……….…..…2分由于0λ=不是特征方程的单根，所以设方程的特解*y ax b =+，…….…..…2分 把它代入所给方程，得2221a ax b x --=+，即得，1,1a b =-=-， 因此所给方程的一个特解为*1y x =--. …….………………………..…2分 从而所求的通解为2121x x y C e C e x -=+-- …….…..…1分七、求由22224,0,100x y z x y z +==+-+=所围成的立体的体积.（本题8分） 解：所求立体在xoy 面上投影区域为{}22(,)4D x y x y =+≤， 所求立体的体积是以曲面2210z x y =++为顶，区域D 为底的曲顶柱体的体积，即 22(10)DV x y d σ=++⎰⎰ …….……………………….…3分22200(10)d r rdr πθ=+⎰⎰ …….……………………...…2分 22401254r r π⎡⎤=⋅+⎢⎥⎣⎦ …………………………….…..…2分 48π= ……………………………………..…1分 八、求函数z xy =在条件1x y +=下的极值. （本题6分） 解法一：由1x y +=得1y x =-，代入z xy =，有(1)z x x =- 12z x '=-=0，得12x =， …….………………………………………….…3分 从而12y =，20z ''=-<， 所以，z xy =在条件1x y +=下于点11(,)22处取得极大值14. …….………….…3分解法二：设(,,)(1)F x y xy x y λλ=++-，解方程组0010x y F y F x F x y λλλ=+=⎧⎪=+=⎨⎪=+-=⎩， …….………………………..…3分 得12x y ==， 所以，z xy =在条件1x y +=下于点11(,)22处取得极大值14. …………….…..…3分 九、将函数21()32f x x x =++展开成x 的幂级数，并指出收敛区间.（本题8分） 解：21111()32(2)(1)12f x x x x x x x ===-++++++ …….…..………2分 因为 011()11n n x x x ∞===-++∑，(1,1)x ∈- …….……………………….…2分 011111()2222212n n x x x x ∞===⋅=-+++∑，(2,2)x ∈- …….………...…3分 所以21011()(1)1322n n n n f x x x x ∞+=⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭∑，(1,1)x ∈- …….……………….…1分。
2009(2)高等数学B2试卷参考答案D装订线（A ）绝对收敛。
（B ）条件收敛。
（C ）发散。
（D ）收敛性不能确定。
3．二元函数()()()()22,,0,0(,)0,0,0xyx y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点()0,0处 （C ）（A ）连续，偏导数存在。
（B ）连续，偏导数不存在。
（C ）不连续，偏导数存在。
（D ）不连续，偏导数不存在。
4. 设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，{(,)01,D x y x y =≤≤≤≤，则以下结论正确的是（ A ）。
（A ） ()()0Df yg x d σ=⎰⎰。
（B ） ()()0Df xg y d σ=⎰⎰ 。
（C ）()()0D f y g x d σ+=⎰⎰。
（A ）()()0Df xg y d σ+=⎰⎰。
5. 微分方程cos 1y y x ''+=+的一个特解应具有形式（A,B,C 是待定常数）（ B ）。
（A ）cos y A x C *=+。
（B ）(cos sin )y x A x B x C *=++。
（C ）(cos sin )y A x B x C *=++。
（D ）sin y B x C *=+。
三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）（1）设1()()z f x y x xy yϕ=++，其中f 和ϕ具有连续导数，求2z x y ∂∂∂。
【解】1()()()z f x y xy xy xy x yϕϕ∂''=+++∂22211()()2()()z f x y f x y x xy x y xy x y y yϕϕ∂''''''=-+++++∂∂（2）求由方程22ln()0xz xyz xyz -+=所确定的函数(,)z z x y =的全微分。
【解】方程两边求微分得111222220xdz zdx yzdx zxdy xydz dx dy dz x y z+---+++=整理得11222(21)11(221)2222zx yz z z z xyz y x dz dx dy dx dy x y xz xyz x xy x xy z z ----=+=-+-+-+-+（3）交换积分次序111422104d (,)d d (,)d yyy f x y x y f x y x +⎰⎰⎰。
班 级 学 号 姓 名
二、填空题（5个小题，每小题4分，共20分） 7. 已知21)1('=
f ，则=--→h
f h f h )
1()1(lim 0 ； 8. 如果dt t x x ⎰
=
2
sin )(ψ，则=)('x ψ ；
9． =⎰xdx ln ； 10. =⎰+∞
-dx e x 02
x 11. 方程
y e dx
y
-x d =的通解为 。
三、计算题（4个小题，共41分，要求有必要的解题步骤）
12．（7分) 求极限x x x x 20
sin 2arcsin lim
→；
13.（7分）由参数方程为参数）
t 为常数，a ，（其中)
cos 1(y )sin (x ⎩⎨
⎧-=-=t a t t a ，所确定的函数的一阶导数dx
y
d ；
14.（7分)设 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=3
0,902,x
)(2
x x x x f ，求 ⎰
-3
2
)(dx
x f ；
15.（10分) 求
⎰
dx x
x 4
-
1
；
16．（10分）求微分方程 x e y y y 2'
2"=+-的通解。
四、应用题与证明题（2个小题，共15分，要求有必要的解题步骤） 17. （7分）求内接于半径为R 的圆内的长方形的最大面积。
.
18. （8分）曲线 1=xy 与直线 3x 及1x ==，及x 轴围成一个曲边梯形，求该图
形绕 x 轴旋转 一周所得旋转体的体积；。
