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正态总体均值方差的区间估计

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正态分布总体 总体均值已知 方差的置信区间

正态分布总体 总体均值已知 方差的置信区间

正态分布总体总体均值已知方差的置信区间【文章开头】一、引言在统计学中，正态分布总体是相当常见的一种总体类型。

当我们需要对一个正态分布总体的总体均值进行推断时，有时候我们会面临到总体均值已知，但方差未知的情况。

对于这样的情况，我们可以使用置信区间来进行推断。

二、什么是置信区间？置信区间是指在统计推断中，对总体参数的估计范围。

通常，我们会给出一个置信水平，比如95%的置信水平，表示对总体参数的估计有95%的把握是正确的。

置信区间由一个下限和一个上限组成，表示总体参数可能落在这个范围内的概率。

三、正态分布总体的总体均值已知的情况下，方差的置信区间如何计算？当正态分布总体的总体均值已知时，我们可以使用样本标准差来作为总体方差的估计。

我们可以利用样本大小、置信水平和样本标准差来计算方差的置信区间。

四、计算步骤1. 收集样本数据：从正态分布总体中随机抽取样本，并记录样本数据。

2. 计算样本标准差：利用样本数据计算样本标准差。

样本标准差是总体方差的一个无偏估计。

3. 确定置信水平：根据需要的置信水平，确定置信水平对应的临界值。

临界值可以从统计表中查找。

4. 计算置信区间：利用样本大小、样本标准差和置信水平的临界值，计算方差的置信区间。

五、示例假设我们想研究某种药物对血压的影响。

我们从正态分布的总体中随机抽取了100个样本，并记录了每个样本的血压数据。

我们已知总体均值为120，方差未知。

现在，我们想要计算方差的95%置信区间。

1. 收集样本数据：从正态分布总体中随机抽取100个样本，并记录血压数据。

2. 计算样本标准差：利用样本数据计算样本标准差。

假设计算得到样本标准差为10。

3. 确定置信水平：我们希望得到95%的置信区间，因此置信水平为0.95。

4. 计算置信区间：根据样本大小100，样本标准差10，和置信水平0.95的临界值，我们可以计算得到方差的置信区间。

【文章主体】六、方差的置信区间是如何帮助我们进行推断的？方差的置信区间为我们提供了一个总体参数可能的取值范围。

正态总体均值及方差的区间估计

正态总体均值及方差的区间估计

第十九讲 正态总体均值及方差的区间估计1. 单个正态总体方差的区间估计设总体),(~2σμN X ， ),,(21n X X X 为来自X 的一个样本，已给定置信度（水平）为α-1，求2σ的置信区间。

①当μ已知时，由于),(~2σμN X i ，因此，)1,0(~N X i σμ-（,2,1=i n , ）。

由2χ分布的定义知：∑=-ni i n X 1222)(~)(χσμ，据)(2n χ分布上α分位点的定义，有：αχσμχαα-=<-<∑=-1)}()()({21222122n X n P ni i从而αχμσχμαα-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-∑∑1)()()()(2112221222n X n X P ni i ni i 故2σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==∑∑)()(,)()(211221222n X n X ni i n i i ααχμχμ ②当μ未知时，据抽样分布有：)1(~)1(222--n S n χσ类似以上过程，得到第七章 参数估计第5节 正态总体均值及方差的区间估计单个正态总体均值的区间估计 ①当2σ已知时，μ的置信水平为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±2ασz n X （5.1） ②当2σ未知时，μ的置信水平为α-1的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±)1(2n t n SX α.（5.4）注意：当分布不对称时，如2χ分布和F 分布，习惯上仍然取其对称的分位点，来确定置信区间，但所得区间不是最短的。

αχσχαα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---1)1()1()1()1(21222222n S n n S n P 2σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ 例２ 有一大批袋装糖果, 现从中随机地取出16袋, 称得重量(以克计)如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 求总体标准差σ的置信水平为0.95的置信区间.解：总体均值μ未知，σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ 此时，,975.021,025.02,05.0=-==ααα16=n ，查表得,488.27)15(025.0=χ,262.6)15(975.0=χ由给出的数据算得.4667.382=s 因此，σ的一个置信度为0.95的置信区间为（4.58，9.60）.2. 两个正态总体均值差的区间估计设总体),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，且X 与Y 相互独立，),,(21m X X X 来自X 的一个样本，),,,(21n Y Y Y 为来自Y 的一个样本，且设2221,,,S S Y X 分别为总体X 与Y 的样本均值与样本方差，对给定置信水平α-1，求21μμ-的一个置信区间。

第五节正态总体参数的区间估计汇总

第五节正态总体参数的区间估计汇总

本方差，给定置信度 1 求:方差 2 的置信区间.
解: Q S 2 是 2 的无偏估计，且统计量：
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1)
是不依赖于任何未知参数的。
概率统计
故对于给定的置信水平，
按照 2分布的上 分
位点的定义有：
P
{|
(n
1)
2
s2
|
2
2(n
1)}
1
从中解得：
P{
求: 的 95% 的置信区间.
X
解: 由已知： Q 1 95% 5%,
n
~ N (0,1)
查正态分布表得： z z0.05 z0.025
((z0.025 ) 1 0.025 0.975)
2
2
u(1 0.025) 1.96
得：
0.029
n
z
2
1.96 0.014 16
概率统计
例4. 求 例3 中的 (1), (2)两种情况下， 2 的置信度为
0.9 的置信区间.
(1) 用金球测定观察值为: 6. 683, 6. 681, 6. 676,
取统计量：
解: 在(1)中
6. 678, 6. 679, 6. 672
(n 1) s2 (6从而 的 95%的置信区间为：
(2.705 0.014, 2.705 0.014) (2.691, 2.719)
即用 X 2.705 来估计 值的可靠程度达到 95%
的区间范围是 (2.691, 2.719)
(2). 方差 2 未知的情形
Q 2 未知，但考虑到样本方差是 2的无偏估计，
2
1
2(n
1)
(n 1)S 2
7.5正态总体均值与方差的区间估计

7.5正态总体均值与方差的区间估计


1)
1,
即
P
X
S n t / 2 (n 1)
X
S n
t
/
2
(n
1)
1
,
于是得 的置信度为 1 的置信区间
X
S n
t
/
2
(n
1)
.
例1 有一大批糖果, 现从中随机地取16袋, 称得
重量(克)如下:
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
2
2
/
2
(n
1)
1,
即
(n 1)S 2
P
2
/
2
(
n
1)
2
(n 1)S 2
2 1
/
2
(n
1)
1 ,
于是得方差 2 的置信度为1 的置信区间
(n
2 /
1)S 2(n
2
1)
,
(n
2 1
/2
1)S 2 (n 1)
.
进一步可得:
标准差 的一个置信度为1 的置信区间
n 1S ,
只要n1和n2都很大(实用上 50即可), 则有
1 2的一个置信度为1 的近似置信区间
X
Y
z / 2
S12 n1
S22 n2
.
(3)
2 1
22
2,
但 2 为未知,
1 2的一个置信度为1 的置信区间
X Y t / 2(n1 n2 2)Sw
1 n1
1 n2
.
其中
Sw2
2. 两个总体方差比 12 的置信区间 22
正态分布总体的区间估计与假设检验汇总表

正态分布总体的区间估计与假设检验汇总表


（单侧检验）
2
(n
1)S 2
2 0
～2n1
2
2 /2
n
1
或
2
2 1- / 2
n 1
2 2 n 1
2
≥
2 0
2
<
2 0
（单侧检验）
2
2 1-
n
1
2. 两个正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平 α)
条件 原假设 H0 备择假设 H1
检验统计量
拒绝域
12
，
2 2
已知
1 =2 1 2 1 2
1 2
1 2
（单侧检验）
SW
(n1 1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
T < - t (n1 n2 2)
1，2
未知
2 1
=
2 2
2 1
≤
2 2
2 1
≠
2 2
（双侧检验）
2 1
>
2 2
（单侧检验）
F
S12 S22
～
F ( n1 - 1, n2 - 1)
F ≥ F /2 n1 1, n2 1
已知
0 / n
X
0 n
u
/2,
X
0 n
u
/2
2 未知 T X 0 ～ t(n 1) S/ n
X
S n 1
t / 2
n
1 ,
X
S n
1
t
/
2
n
1
方差 2
未知
2
(n 1)S 2
2 0
～2n1
(n 2 /
1)S 2
两个正态总体均值差与方差比的区间估计

两个正态总体均值差与方差比的区间估计

第20讲 两个正态总体均值差与方差比的区间估计单侧置信区间教学目的：1. 使学生理解两个正态总体间主要参数之间的关系及有关统计量所服从的分布；2. 使学生理解两个正态总体均值差与方差比的区间估计；3. 使学生理解有关单侧置信区间的问题。

教学重点：两个正态总体均值差与方差比的区间估计。

教学难点：由有关统计量的分布推导出均值差及方差比的区间估计。

教学时数：2学时。

教学过程：第六章 参数估计§6.4两个正态总体均值差与方差比的区间估计1. 两个正态总体均值差的区间估计(1) 设总体),(~211σμN X ，总体),(~222σμN Y ，设21σ及22σ已知，则有),(~1211n N X σμ，),(~2222n N Y σμ，),(~22212121n n N Y X σσμμ+--得)1,0(~)()(22212121N n n Y X σσμμ+---对于已知置信水平α-1，则有ασσμμα-=<+---1)|)()(|(222212121u n n Y X P即122(|()()|)1P X Y u αμμα---<=-所以两个总体均值差21μμ-的α-1置信区间为22(, )X Y u X Y u αα---+（1）（2） 设总体),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，其中21σ及22σ未知，假定2221σσ=，由§5.5定理7知样本函数)2(~11)()(212121-++---=n n t n n S Y X T w μμ其中2)1()1(21222211-+-+-=n n S n S n S w对于已知的置信水平α-1，有αμμα-=-+<+---1))2(11|)()(|(2122121n n t n n S Y X P w即αμμα-=-+⋅⋅+<---1))2(11|)()((|2122121n n t S n n Y X P w 故可得两个总体均值差21μμ-的置信水平为α-1的置信区间为 ))2(11),2(11(2122121221-+⋅⋅++--+⋅⋅+--n n t S n n Y X n n t S n n Y X w w αα （2） 例1 为了估计磷肥对某种农作物的增产作用，分别各选10块土地，分别做施肥和不施肥的试验，设施肥的亩产量),(~211σμN X ，不施肥的亩产量),(~222σμN Y 。

2.2正态总体均值的区间估计

2.2正态总体均值的区间估计

已知查正态分布表得的置信区间为的置信度为的置信区间为的置信度为的置信区间为的置信度为522115的置信区间为的置信度为52311652215195
一、复习
（一）点估计量的常用评价准则： 无偏性：
估计量的数学期望与总体待估参数的 真值相等： E(ˆ)
有效性:
在两个无偏估计量中方差较小的估计量 较为有效。
则称区间 [ˆ1,ˆ2 ]是 的置信水平（置信度、
置信概率）为 1 的置信区间. ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
（二）、正态总体均值u的区间估计 p(z)
(1) 2 02已知
①选 的点估计为X
②取 Z X ~N(0, 1)

Z
1

n
2
Z
1

若我们能给出一个区间，在此区间 内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了.
也就是说，我们希望确定一个区间，使我
们能以比较高的可靠程度相信它包含真参
数值.
湖中鱼数的真值
[ ]
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作1 ，这里 是一个
（三）置信区间的求法
1.寻找未知参数θ的一个良好估计T. 2.寻找一个与待估参数和估计量有关的随 机变量 Z，要求其分布为已知.
3. 若置信水平是 1 ,
求出使P(a Z b) 1成立的a，b；
4. 把P(a Z b) 1变形为P(1 2) 1


n
Z1 , X 2


n
Z1 ] 2
(2)u的置信度为1 - 的置信区间为[ X

正态分布总体 总体均值已知 方差的置信区间

正态分布总体 总体均值已知 方差的置信区间

如何确定正态分布总体均值已知的方差的置信区间在统计学中，置信区间是一种用来估计参数真实值范围的方法。

当我们知道总体均值，但方差未知时，我们需要确定正态分布总体总体均值已知的方差的置信区间。

在本文中，我将以从简到繁的方式来探讨这个主题，让您能更深入地理解。

1. 正态分布总体的概念让我们简要回顾一下正态分布总体的概念。

正态分布是最为常见的概率分布之一，其特点是呈钟形曲线，均值和标准差决定了曲线的中心位置和宽度。

在统计学中，我们常常使用正态分布来描述连续型随机变量的分布情况。

2. 总体均值已知的情况当我们已经知道正态分布总体的均值时，我们可以通过样本来估计总体的方差。

我们可以利用样本方差来估计总体方差，然后构建置信区间来确定总体方差的范围。

3. 方差的置信区间估计为了确定正态分布总体均值已知的方差的置信区间，我们可以利用卡方分布来进行估计。

卡方分布是一种特殊的概率分布，用于描述正态分布总体方差的抽样分布。

通过卡方分布的性质，我们可以构建出方差的置信区间，从而对总体方差做出估计。

4. 个人观点和理解在我的个人观点中，确定正态分布总体总体均值已知的方差的置信区间是统计学中非常重要的一部分。

这不仅可以帮助我们对总体方差进行估计，还可以为我们后续的推断统计提供重要的依据。

通过合理地构建置信区间，我们可以更准确地对总体参数进行推断，并且可以对我们的结论进行更加可靠的评估。

总结通过本文的阐述，我们可以深刻理解确定正态分布总体总体均值已知的方差的置信区间的方法。

我们需要对正态分布总体及其性质有一个清晰的认识。

我们可以利用样本数据来对总体方差进行估计，并且通过卡方分布来构建置信区间。

我也共享了我个人的观点和理解，希望可以为您对这个主题提供更多的思考。

在知识的文章格式中，可以使用序号标注来清晰地展示每个步骤的逻辑关系。

我希望本文的内容能够帮助您更好地理解正态分布总体总体均值已知的方差的置信区间的确定方法。

在统计学中，确定正态分布总体均值已知的方差的置信区间是一项重要的任务。

第7章 参数估计7.5 正态总体均值与方差的区间估计

第7章 参数估计7.5 正态总体均值与方差的区间估计

这个误差的可信度为95%. 这个误差的可信度为
续例) 续例 求补充1中总体标准差 例2 (续例 求补充 中总体标准差σ 的置信度为 0.95的置信区间 的置信区间. 的置信区间 解
α
2
975,
n − 1 = 15,
附表2-2 附表
查 χ 2 ( n − 1) 分布表可知 :
= 1 − α,
即
S12 σ12 S12 1 1 P 2 < 2< 2 S2 F1−α / 2 (n1 − 1, n2 − 1) S2 Fα / 2 (n1 − 1, n2 − 1) σ 2
2 S12 S1 1 1 2 . , 2 S F (n − 1, n − 1) S F (n1 − 1, n2 − 1) 2 1−α / 2 2 α/2 1 2
注意: 在密度函数不对称时,如χ 2 分布和 F分布, 注意: 在密度函数不对称时, 习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图). 习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).
二、两个总体 N ( µ1 ,σ ), N ( µ 2 ,σ )的情况
2 1 2 2
设给定置信度为1 − α , 并设 X 1 , X 2 ,L, X n 为
σ 于是得 的一个置信度为1 − α 的置信区间 σ
2 1 2 2
= 1 − α,
例5
2
生产的钢管内径, 研究由机器 A 和机器 B 生产的钢管内径
随机抽取机器 A 生产的管子 18 只, 测得样本方差
为s1 = 0.34(mm 2 ); 抽取机器 生产的管子 13 只, 抽取机器B生产的管子
2 测得样本方差 s 2 = 0.29(mm 2 ). 设两样本相互独
其中
正态总体均值方差的区间估计

正态总体均值方差的区间估计

2 2 2
2
)
(2) σ12=σ22=σ2, σ2未知,μ1- μ2的1-α置信区间 ① 对于μ1- μ2，构造枢轴变量: ( X Y ) ( 1 2 ) T ~ t (n1 n2 2) S 1 / n1 1 / n2 ② 构造T的 一个1-α区间:
P(| T | t (n1 n2 2)) 1
X
③ μ的1-α置信区间:
( X t / 2 ( n 1 ) S n , X t / 2 ( n 1 ) S n )
1-α
例1 设正态总体的方差为1, 根据取自该总体的容 量为100的样本计算得到样本均值为5, 求总体均 值的置信度为0.95的置信区间.
解 已知σ2=1, α=0.05, μ的1-α置信区间：
③ 变形得到μ1- μ2的1-α置信区间:
2
( ( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
1 1 , n1 n2 1 1 ) n1 n2
( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
例 4 某工厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取随机样本: X 1 , X 2 , , X 12
未知
① 构造枢轴变量: (n 1)S 2 2 Q ~ ( n 1) 2 ② 构造Q的 一个1-α区间:
P{1 Q 2 } 1
f(x)
α/2 λ1 α/2 X 2 λ (n 1)2 (n 1)
2 1
③ 解不等式得到σ2的1-α置信区间:
若 1 2 的置信区间的上限小于零, 则可认为1 2 ;
(2)构造F的 一个1-α区间: P(λ1<F< λ2)=1-α
第五节 正态总体均值与方差的区间估计 7-5

第五节 正态总体均值与方差的区间估计 7-5


\ 2 的置信度为 1 - a 的置信区间为 2 2 ( n - 1)S ( n - 1)S ( 2 ) ， 2 a / 2 ( n - 1) 1 - a / 2 ( n - 1)
而 的置信度为 1 - a 的置信区间为 (
n - 1S
2 / 2 ( n - 1) a
，
n - 1S
2 1 - a / 2 ( n - 1)
2 2 1 2 的置信区间包含1, 在实际中我们认为 1 , 由于 2
2 两者没有显著差别。 2
17
全章要求
1. 了解点估计的概念， 掌握矩估计法、极大 似然估计法； 2. 了解估计量的评选标准：
无偏性、有效性、一致性。
2 1 n1 + 2 n 2 2
~ N(0,1),
即 可 得 到 1 - 2的 一 个 置 信 度 为 a的 置 信 区 间 12 ( X - Y z a / 2 1 n1 + 2 n 2 ). 2
2. 当 和 均 未 知 时求 1 - 2的 置 信 区 间 ,
2 1 2 2
1
第七章 参 数 估 计
§5.正态总体均值与方差的区间估计
一. 单个正态总体的均值与方差的区间估计: 二. 两个正态总体的区间估计:
2
一. 单个正态总体的均值与方差的区间估计:
设总体 ~ N(, ), X1 , X2 , , Xn是一个样本 X .
2
1 .当 2 已知时，求 的置信区间。 X - 选取 Z = n
本题中的置信下限大于零，实际中可认为μ1比μ2大。
13
三. 两个总体方差比的置信区间:
仅讨论总体均值 1 , 2 未知的 情况，由于
2 ( n1 - 1) S1

正态分布总体均值和方差的区间估计


2
的置信区间是
x
1.96
n
, x1.96
n
0.01时， z1 z0.995 2 的置信区间是
2.58
x
2.58
n
,
x
2.58
n
比较可知 越大,则 1 越小,置信区间越小,
落在区间内的把握也就越小。
因此,在实际应用中,要适当选取
常取 值: 0.05, 0.01, 0.10
1
2
n
s 用样本方差 2 来代替总体方差 2
x
1 n (x1 U
x2 xn )
x
~
N (0,1)
~
N(, 2
n
)
n
s 2 1
n
(x x)2
n 1 i i 1
V (n 1) s 2 ~ 2 (n 1) 2
U与V独立, 统计量
T x U ~ t(n 1)
s/ n V (n 1)
设总体 X ~ N (, 2 ), 其中 2 已知.
x , x ,, x 为来自于总体的样本。
1
2
n
x
1 n
( x1
xn )
~
N(, 2
n
)
U x ~ N (0,1) / n
对于给定的 , 可以找到一个数 z1 , 2
使 P{| U | z } 1 1 2
即
P
x
/
n
z 1 2
1
P
对于给定的 , 查t分布表可得临界值
t (n 1), 使得
1 2
P T t (n 1) 1
1 2
2
P T
t 1 2
(n
1)

概率论-7.4 正态总体均值和方差的区间估计


给定置信度为1 ，设样本 X1, X2,L , Xn 来自正态
总体
N
(
1
,
2 1
)
， 样 本 Y1,Y2,L
,Ym
来自正态总体
N
(
2
,
2 2
)
，两个样本相互独立，
X
,
S12
,
Y
,
S
2 2
分别表示两
个样本的样本均值和样本方差．
(1)若
2 1
，
2 2
均已知，因
X
，Y
分别为 1 ， 2
的无
偏估计，故 X Y 为 1 2 的无偏估计，由 X ，Y 的独
x
n
u / 2 , x
n
u
/
2
．
将 x 6.0, 0.6 ，n 9 ， z0.025 1.96 ，代入上式得 的
置信区间为 (5.602,6.392) ．
2020年4月26日星期日
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【例 15】设某种清漆的 9 个样品，其干燥时间(以 h 计) 分别为
6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0
设干燥时间总体服从正态分布 N(, 2) ．求 的置信度
为 0.95 的置信区间：
(1)若由以往经验知 0.6 (h)；(2)若 未知．( 0.05) 解 (2)由题可知，总体方差未知，采用统计量 T ， 的
置信区间为
x
s n
t
/
2
(n
1),
x
s n
t
/
2
(n
1)
．
将 x 6.0 ， s 0.57 ， n 9 ， t0.025 (8) 2.306 ，代入上式
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1
于是所求 的 置信区间为
(X

n
Z 2 , X

n
Z 2 )
注意 置信区间不是唯一的.对于同一个置信度,可以
有不同的置信区间.置信度相同时,当然置信区间越短越 好.一般来说,置信区间取成概率对称区间.
从例1解题的过程，我们归纳出求置 信区间的一般步骤如下:
取 Z
寻找未知参数的 明确问题,是求什么参数的置信区间 ? 一个良好估计. 置信水平是多少？ X

n
~N(0, 1)
寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.
有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.
对于给定的置信水平(大概率), 根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平.
P( z Z z ) 1
2 2
Z
( X Y ) ( 1 2 )
1 / n1 2 / n2
2 2
~ N (0,1)
③ 概率恒等变形，得到μ1- μ2的1-α置信区间:
1 2 1 2 (( X Y ) z , ( X Y ) z n1 n2 n1 n2 2 2
n t ( n 1) 2.1315 计算：x 503.75, s 6.2022 查表：
2
( X t / 2 ( n 1 )
S n
, X t / 2 ( n 1 )
S
)
μ的1-α置信区间:
(500.4, 507.1)
二、单个正态总体方差的区间估计
设总体X~N(μ,σ2), X1,X2,…,Xn 为一组样本， 总体均值
即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间 长度 ˆ2 ˆ1 尽可能短，或能体现该要求的其 它准则. 可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度
2. 寻找置信区间的方法
ˆ， 1. 选取未知参数的某个估计量
使得
ˆ | } 1 P{|
若 1 2 的置信区间的上限小于零, 则可认为1 2 ;
2
2
2
查表得 F (n1 1, n2 1) 2.57, F (n2 1, n1 1) 2.76
2 2
12 故 2 的0.95置信区间: (0.58,4.14) 2
由上述方法求得的总体均值差或总体方差比的置信区间 , 我们在实际中通常有下列结论: (1) 若 1 2 的置信区间的下限大于零, 则可认为 1 2;
② 构造T的 一个1-α区间: P(| T | t / 2 (n 1)) 1
P{ X t / 2 ( n 1 ) X t / 2 ( n 1 ) S n S n
f(x)
α/2
t /2 (n 1)
α/2
t / 2 ( n 1 )
} 1
(2)构造F的 一个1-α区间: P(λ1<F< λ2)=1-α
F ( n1 1, n2 1 )
2
(3)解不等式得σ12/σ22 的1-α置信区间: 2 2 S1 S1 1 ( , F ( n2 1, n1 1 ) 2 ) 2 F ( n1 1, n2 1 ) S 2 S2 2
2
故μ1- μ2的0.95置信区间:
(1.81,4.01)
四、两个正态总体方差比 σ12/σ22的1-α置信区间 (1)对于σ12/σ22 ，构造枢轴变量: f(x) α/2 1-α λ1 λ2
S1 / 1 F 2 ~ F (n1 1, n2 1) 2 S2 / 2
2 2
α/2 X
解 σ12=σ22=σ2, σ2未知,μ1- μ2的0.95置信区间:
( ( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
1 1 , n1 n2 1 1 ) n1 n2
( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
2 2 ( n 1) S ( n 1) S 1 2 2 其中 S 2 1 n1 n2 2 t (n1 n2 2) 2.0518 查表得
四. 区间估计
譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若 我们根据一个实际样本，得到鱼数的极大 似然估计为1000条. 湖中鱼数的真值
ˆ 1
[
]
ˆ 2
ˆ ˆ } 1 P{ 1 2
1. 区间估计定义： 设 是 一个待估参数，给定 0, 若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量 ˆ ˆ ( X , X ,, X ), ˆ ˆ ( X , X ,, X ) 1 1 1 2 n 2 2 1 2 n (ˆ1 ˆ2 ) 满足
小时. 试以95%的可靠性估计两总体方差之比的置信区间.
解 设方法一生产的产品的寿命为 X~N(μ1,σ12),
方法二生产的产品的寿命为
要求 σ12/σ22
Y~ N(μ2,σ22),
的置信度为95%的置信区间 .
S1 S1 1 ( , F ( n2 1, n1 1 ) 2 ) 2 F ( n1 1, n2 1 ) S 2 S2 2
1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间? 置信水平 1 是多少? 2. 寻找参数 的一个良好的点估计 T (X1,X2,…Xn) 3. 寻找一个待估参数 和估计量T的函数 只能含有 S(T, ),且其分布为已知. 待估参数 称S(T, )为枢轴量.
4. 对于给定的置信水平1 ，根据S(T, ) 的分布，确定常数a, b，使得 P(a<S(T, )<b)= 1 5. 对“a≤S(T, )≤b”作等价变形,得到如下 形式: ˆ ˆ } 1 P{ 1 2
ˆ ˆ } 1 P{ 1 2
ˆ ,ˆ ]是 的置信水平（置信度、 则称区间 [ 1 2
置信概率）为 1 的置信区间. ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
两个要求：
ˆ ,ˆ ] 1. 要求 以很大的可能被包含在区间 [ 1 2 ˆ ˆ } 要尽可能大. 内，就是说，概率P{ 1 2
X ①从点估计着手构造枢轴量: Z / n
~ N ( 0 ,1 )
② 构造Z的 一个1-α区间:
P{|
X
③ μ的1-α置信区间:
( X z , X z ) n n 2 2

n
| Z 2 } 1
(2)σ2未知,求μ的置信度为1-α置信区间
X ①从点估计着手构造枢轴变量: T ~ t( n 1 ) S/ n
误差限 .
2. 根据置信水平1 ，找一个正数 ，
ˆ | 可以解出 ： 3. 由不等式 |
ˆ ˆ
2 例1 设X1,…Xn是取自N ( , 2 )的样本， 已知,
求参数 的置信水平为1 的置信区间. 解： 选 的点估计为X
和Y1 , Y2 , , Y17 , 计算出 X 10.6(克),Y
2 S1
9.5
(克),

的重量都服从正态分布, 其总体均值分别为 1 , 2 ,
且有相同的总体方差. 试求总体均值差 1 2 的
2 2.4, S 2
4.7. 假设这两条流水线上罐装番茄酱
区间估计, 置信系数为0.95.
2
F ( n1 1, n2 1 )
1 2
1 F / 2 ( n2 1, n1 1 )
例 5 为了比较用两种不同方法生产的某种产品的寿命 而进行一项试验. 试验中抽选了由方法一生产的16个产品
组成一随机样本, 其方差为1200小时; 又抽选了由方法二
生产的21个产品组成另一随机样本, 得出的方差为800
2 2 2
2
)
(2) σ12=σ22=σ2, σ2未知,μ1- μ2的1-α置信区间 ① 对于μ1- μ2，构造枢轴变量: ( X Y ) ( 1 2 ) T ~ t (n1 n2 2) S 1 / n1 1 / n2 ② 构造T的 一个1-α区间:
P(| T | t (n1 n2 2)) 1
0.95).
解 总体均值 未知,α=0.05,方差的区间估计.
(n 1) S 2 (n 1) S 2 ( 2 , 2 ) (n 1) (n 1)
2 1 2
查表得方差的区间估计
(0.615 S 2 ,1.905 S 2 )
三、两个正态总体均值差的区间估计 设X~N(μ1,σ12),Y~ N(μ2,σ22),从中分别抽取容量为n1,n2的样 本,且两组样本独立，样本均值和样本方差分别记为 2 2 X , S 1 ;Y , S 2 . (1) σ12, σ22已知, μ1- μ2的1-α置信区间 ① 相对μ1- μ2，构造枢轴变量: ② 构造Z的 一个1-α区间:
未知
① 构造枢轴变量: (n 1)S 2 2 Q ~ ( n 1) 2 ② 构造Q的 一个1-α区间:
P{1 Q 2 } 1
f(x)
α/2 λ1 α/2 X 2 λ (n 1)2 (n 1)
2 1
③ 解不等式得到σ2的1-α置信区间:
查表：( z ) 1 , z 1.96 2 2 2
( X z , X z ) n n 2 2
(4.804, 5.196)
μ的1-α置信区间:
例 2 有一大批糖果 . 现从中随机地取 16 袋 , 称得重量 (单位: 克)如下： 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 假设袋装糖果的重量近似服从正态分布, 求平均重量 的区间估计, 置信系数是0.95. 解 未知σ2, α=0.05,求 μ的1-α置信区间: