正态总体样本标准差

正态总体样本标准差S 不是总体标准差σ的无偏估计量

设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自正态总体2

(,)N μσ的一个样本，1

1n

i i X X n

==

∑

为样本均值，

2

2

1

1

()1

n

i

i S X X n ==

--∑为样本方差。众所周知，对任何总体来说样本方差2

S 是总体方差

2

σ的无偏估计两，正态总体更不是例外。但样本标准差S 却不是总体标准差σ的无偏估计

量。 证明： 由于

2

2

2

(1)~(1)n S

n χσ

--，若令2

2

(1)n S

Y σ

-=

，则2

~(1)Y n χ-的概率密度为

11

()

22110

22()200

n n n y y e y P y y --Γ-⎧

->⎪=⎨⎪

≤⎩

从而

11

22

2

2

1

22()11

2()11

()2()

2()

22

2

n

y

n

y n n

n

E y dy y e dy y

e

dy n n n

+∞

+∞

+∞

----

--∞

=

=

=--ΓΓΓ⎰

⎰

⎰

①

()

21()

2

n n =

-Γ 另一方面，

)()E E E S σσ

==

，

所以有1()2

n E S E C σσ=

=

=≠，

所以，样本标准差S 却不是总体标准差σ的无偏估计量。 如果进行修正，则可以得到σ的无偏估计量 n

C S σ=

，其中2

n C =

评注：

1. 理论依据：

正态总体样本的抽样分布，2

χ分布与Γ分布的有关性质。 2. 应用与推广：

无论总体X 服从什么分布，修正的样本方差

2

2

1

1()1

n

i

i S X

X n ==

--∑

是总体方差()D X 的无偏估计量，但是样本方差S 不是总体标准差

()X σ=

的无偏估计量。只有在正态总体的情况下才有确定性的修正方法，使得

n

C S σ= 是总体标准差的无偏估计量，对于非正态总体，情况极为复杂，一般不对其进行讨论。

参考文献：

茆诗松等，概率论与数理统计。本经：中国统计出版社，2000

参数估计方法在捕鱼问题中的应用

设湖中有鱼N 条，做上记号后放回湖中（记号不消失），一段时间后让湖中的鱼（做上记号的和没做记号的）混合均匀，再从湖中捕出鱼数s 条()s r ≥ ,其中有t 条(0)t r ≤≤标有记号。试根据这些信息，估计湖中鱼数的N 值。

（1）根据概率的统计定义：湖中有记号的鱼的比例应是r N

（概率），而在捕出的s

条中有记号的鱼为t 条，有记号的鱼的比例是

t s

（频率）。设想捕鱼是完全随机的，每条

鱼被捕的机会都相等，于是根据用频率来近似概率的道理，便有

r t N

s

= 即 rs N t

=

故 rs N

t

≈（取最接近的整数）。

（2）用矩估计法：设捕出的s 条鱼中，标有记号的鱼为ξ，因为ξ是超几何分布，

而超几何分布的数学期望是()rs E N

ξ=

。捕s 条鱼得到有标记的鱼的总体平均数，而现在

只捕一次，出现t 条有标记的鱼，故由矩估计法，令总体一阶原点矩等于样本一阶原点矩，即

rs

t N =，于是也得 rs N t

≈（取最接近的整数）。 （3）根据二项分布与极大似然估计：若再加上一点条件，及假定捕出的鱼数s 与湖中的鱼数N 的比很小，即s N,这样的假定对实际来说一般是可以满足的，这样我们可以认为每捕一条鱼出现有标记的概率为r p N

=

，且认为在s 次捕鱼（每次捕一条）中

p 不变。把捕s 条鱼近似地看做s 重贝努力实验，于是，根据二项分布，s 条鱼有t 条有

标记的，就相当于s 次试验中有t 次成功。故

1()(1)

(

)(1)

()

t

t

s t

t

t

s t

t t s t

s s s s s

r r p t C p p C C r N r N

N

N

---=-=-

=

-

同样地，我们取使N 概率()s p t 达到最大，为此我们将N 作为非负实数看待，求

()s p t 关于的N 最大值。为方便，求 ln ()s p t 关于N 的最大值。于是

ln ()()ln ()ln ln ln ()ln()

0t

s s s d p t s s t p t s N C t r s t N r dN

N

N r

-=-+++--=-

+

=-

令

ln ()()0s d p t s s t dN

N

N r

-=-

+

=-

同样可得 rs N

t

≈（取最接近的整数）。

（4）根据超几何体分布鱼最大似然估计法：设捕出的s 条鱼中，标有记号放入鱼为

ξ，则 ξ是一个随机变量，显然ξ只能取{}0,1,2,(min ,)l l s r ⋯=。

令先考虑s 条中有i 条有标记的鱼的概率，即()p i ξ=。因湖中鱼数设为N 条，捕出s 条，故

{}(),0,1,2(m in ,)i

s i

r N r

s N

C C p i i l l s r C ξ--==

=⋯,=

因为捕出s 条出现t 条有标记的鱼的概率为

()()t

s t

r N r

s

N C C p t L N C

ξ--==

≡

根据最大似然估计法，今捕s 条出现有标记的鱼t 条，那么参数N 应该使得()()p t L N ξ==达到最大，即参数N 的估计值N 使得

()m ax ()N

L N

L N = 由比值