6-3正态总体样本均值和样本方差的分布

§ 5.5正态总体统计量的分布1.单个正态总体的统计量的分布从总体X 中抽取容量为n 的样本X i , X 2,…,X n ，样本均值与样本方差分别是 _ 1 n1 n_ 2X Xi,S 2 =——Z (Xi -X ). n y n —1 y定理1设总体X 服从正态分布N （巴b 2）,则样本均值X 服从正态分布N 巴N (巴 CT 2证 因为随机变量 X i ,X 2，…，X n 相互独立，并且与总体 X 服从相同的正态分布 宀 ——I o n丿 ），所以由§ 4.3中的定理知，它们的线性组合 X 服从正态分布N ［巴 定理2设总体X 服从正态分布N （巴b 2），则统计量X —卩 u=^~^服从标准正态分布 b/J n N (01 )，即X —卩 U =.厂 ~ N （0,1 ） b/U n由定理1结论的标准化即得到定理2o 定理3设总体X 服从正态分布N （巴b 2 ），则统计量■/2 1 n - 2(X i -X )服从自由 ◎ y 度为n 的/2分布，即 1 n _ 2 22=产三(X i -X)"怖) 证注意到X i 〜N （巴CT 2 ），则 X 一卩 - ----- N(0,1) i =1,2,…,nc 又上述统计量相互独立，并按照/2分布的定义可得结果。

定理4设总体X 服从正态分布N （巴b 2 ），则 （1） 样本均值X 与样本方差S 2相互独立；（2） 统计量*2 = 一服从自由度为nT 的,2分布，即C72/2=(n」S〜/2( n-1)证明略。

Y 11定理5设总体X服从正态分布N （巴b2）,则统计量t =---- =服从自由度为n-1的S V nt分布，即X —卩7〜心证由定理2知，统计量u 〜N(o,1 )又由定理4知，统计量厂=5-〜工2（n_i）C2因为X与S2相互独立，所以u与72也相互独立，于是根据t分布的定义得结论。

2.两个正态总体的统计量的分布从总体X中抽取容量为n x的样本X1,X2，…,X n x，从总体丫中抽取容量为n y的样本Y,丫2,…，Y n y。

第一部分 基本概念基础练习一． 填空题1若1210,,,X X X 相互独立，2~(,),1,2,,10i i iX N i μσ=，并且σ已知，则1210,,,X X X 的函数=2χ________服从于210χ（）分布.答案：102211)ii i X μσ=-∑（2 ),(~),,(~222211σσμμN Y N X ，从总体X 、Y 中分别抽取容量为1n 、2n 的样本，样本均值分别为X 、Y X Y -则,= 。

答案： ),(22212121n n N σσμμ+-3设T 服从自由度为{}{}λλ<=>T P a T P t n 则若分布的,,= 。

答案：21a- 4设621,,,X X X 是取自总体)1,0(~N X 的样本，264231)()(∑∑==+=i i i i X X Y ，则当c ＝ 时， cY 服从2χ分布，)(2χE ＝ .。

答案：1/3，25设总体X 服从N(a,22)分布，12(,,,)n X X X 是来自此总体的样本，X 为样本均值，试问样本容量n>_________，才能使E(|X -a|2)≤0.1。

答案：n >406设12,,n X X X ，为总体X 的一个样本，若11ni i X X n ==∑且EX μ=，2DX σ=，则EX = _________，DX = __________。

答案：μ，2nσ7设总体()22X N σ服从正态分布，，1216,,X X X ，是来自总体X 的一个样本，且161116i i X X ==∑, 则48X σ-服从 ____ ______分布.答案：()01N ，8某地的食用水中以每cm3中含大肠杆菌个数 X 为特性指标，已知它服从均值为λ 的泊松分布，从水中抽一个容量为n 的样本 Z Z Z n 12,,, ，则样本的联合分布律为 。

答案：P Z x Z x x e n x i i nn i 111===-=∏,,!b gλλ12()12(!!!)n n ex x x n x x x λλ-+++=9某种元件的寿命服从均值为1λ的指数分布，用寿命作为元件的特性指标，任取n 个元件，其寿命构成一个容量为n 的样本，则样本分布的联合分布密度为 。

正态分布的均质和方差
正态分布是一种常见的概率分布，它在自然界和人类社会中广泛应用。

它的均值和方差是描述这种分布特征的重要参数。

均值是正态分布的中心位置，它代表了数据的平均值。

均值越大，分布的中心越靠右；均值越小，分布的中心越靠左。

例如，我们可以用正态分布来描述人们的身高。

如果均值为170厘米，那么大多数人的身高会集中在这个数值附近。

而方差则决定了分布的扩散程度。

方差越小，数据点越集中在均值附近；方差越大，数据点分布得越广。

正态分布在很多领域都有应用。

在医学研究中，正态分布常被用来分析人群的生理指标，如血压、血糖等。

在财经领域，正态分布可以用来描述股市的波动情况，帮助投资者做出决策。

在社会科学中，正态分布可以用来研究人们的意见、行为等。

正态分布的特点使得它成为了统计学中重要的工具。

通过对数据的分析，我们可以了解到数据的分布情况，进而做出合理的判断和预测。

然而，正态分布并不适用于所有情况。

有些数据可能不服从正态分布，可能需要使用其他的概率分布进行分析。

正态分布的均值和方差是描述分布特征的重要参数。

它在各个领域都有广泛的应用，帮助我们理解和解释数据。

虽然正态分布并不适用于所有情况，但它仍然是统计学中不可或缺的工具之一。

通过对
均值和方差的理解和应用，我们可以更好地分析数据，做出准确的判断和预测。

正态总体中均值与方差的关系-回复正态总体指的是服从正态分布的概率分布，也被称为高斯分布。

它具有许多特性，包括对称的形状、均值和方差对分布起着重要的影响。

正态分布的均值μ表示数据的中心位置，而方差σ^2则衡量了数据的离散程度。

在正态总体中，均值和方差之间存在一定的关系，即均值的变化会影响方差的大小，反之亦然。

首先，我们来探讨均值对方差的影响。

正态总体的方差受到均值的影响，均值的变化会导致分布的形状发生改变，从而影响方差的大小。

当均值发生变化时，数据的分布趋势会向均值方向偏移，这会使得数据的离散程度也发生变化。

如果均值增加，那么数据分布将会向右偏移，数据点相对于均值的距离会变大，导致方差增加。

反之，如果均值减小，数据分布将会向左偏移，数据点相对于均值的距离会变小，从而方差减小。

可以看出，均值的变化对方差的大小具有明显的影响。

其次，我们来讨论方差对均值的影响。

方差衡量了数据的离散程度，方差的大小取决于数据点离均值的距离。

当方差增加时，数据点相对于均值的距离变大，这意味着数据的离散程度变大。

在正态总体中，方差的变化会导致数据的分布形状发生改变。

当方差增加时，数据分布会变得更加扁平，即数据点相对于均值的距离变大，从而改变了分布的形状。

这会使得均值的准确性下降，因为更多的数据点偏离了均值，所以均值也会有所增加或减小。

综上所述，正态总体中均值和方差之间存在着紧密的关系。

均值的变化会导致数据分布的形状发生变化，进而影响方差的大小。

方差的变化会对数据的离散程度产生影响，进而影响均值的准确性。

需要注意的是，均值和方差是正态总体的两个重要参数，它们之间的关系可以通过数学公式进行描述和计算。

通过对均值和方差的分析，我们可以更好地理解正态总体的特点和性质，从而为统计分析和推断提供支持。

《概率论与数理统计》复习©基本内容和要求第一章随机事件及其概率1、掌握样本空间、随机事件、事件的概率等基本概念，了解频率的稳定性；2、掌握事件的关系与运算、熟悉概率的一些性质，会利用其计算概率；3、掌握古典概型的概率计算；4、掌握条件概率、乘法公式、事件的独立性，会利用其计算概率；5、掌握全概率公式和贝叶斯公式，会利用其计算概率。

第二章随机变量及其分布1、理解随机变量及其概率分布的概念；2、掌握离散型随机变量的分布律的概念与性质，掌握重要的常见分布：0-1，二项，Poisson分布；3、掌握分布函数和概率密度的概念及性质，熟悉均匀分布和正态分布，会查表计算正态分布随机变量的概率；4、掌握随机变量函数的分布。

5、掌握二维随机变量与联合分布，掌握联合分布与概率密度；6、理解边缘分布与条件分布，掌握边缘分布与条件分布公式；7、理解随机变量的独立性，会用其计算概率；8、掌握两个随机变量的函数的分布：Z=X+Y的分布，M=max(X,Y)、N=min(X,Y)的分布。

第三章随机变量的数字特征1．掌握数学期望和方差的概率意义和基本性质，并能熟练计算随机变量的数学期望和方差；2．记住常见分布的数学期望和方差；3．理解并掌握随机变量的协方差及相关系数，了解矩。

第四章大数定律与中心极限定理1．掌握切比雪夫不等式；2．了解贝努里大数定律，理解频率稳定性的含义；3．理解独立同分布的中心极限定律及德莫弗—拉普拉斯定理，会近似计算。

第五章统计估计1．理解总体、个体、样本、统计量等概念；2．熟记几个常见的统计量及分布：2 分布，t分布，F分布，3.正态总体的样本均值与样本方差的分布，临界值查法。

4．理解估计量与估计值的概念，会计算未知参数的矩估计和极大似然估计；5．了解估计量的评选标准；6．理解置信区间、置信度的概念，掌握单（双）正态总体均值和方差的区间估计。

第六章 假设检验1．两类错误2．掌握假设检验的一般步骤；3．掌握正态总体的均值和方差的双侧假设检验（z 检验,t 检验, 2χ检验）方法。