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6-3正态总体样本均值和样本方差的分布

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正态总体统计量的分布

正态总体统计量的分布

§ 5.5正态总体统计量的分布1.单个正态总体的统计量的分布从总体X 中抽取容量为n 的样本X i , X 2,…,X n ，样本均值与样本方差分别是 _ 1 n1 n_ 2X Xi,S 2 =——Z (Xi -X ). n y n —1 y定理1设总体X 服从正态分布N （巴b 2）,则样本均值X 服从正态分布N 巴N (巴 CT 2证 因为随机变量 X i ,X 2，…，X n 相互独立，并且与总体 X 服从相同的正态分布 宀 ——I o n丿 ），所以由§ 4.3中的定理知，它们的线性组合 X 服从正态分布N ［巴 定理2设总体X 服从正态分布N （巴b 2），则统计量X —卩 u=^~^服从标准正态分布 b/J n N (01 )，即X —卩 U =.厂 ~ N （0,1 ） b/U n由定理1结论的标准化即得到定理2o 定理3设总体X 服从正态分布N （巴b 2 ），则统计量■/2 1 n - 2(X i -X )服从自由 ◎ y 度为n 的/2分布，即 1 n _ 2 22=产三(X i -X)"怖) 证注意到X i 〜N （巴CT 2 ），则 X 一卩 - ----- N(0,1) i =1,2,…,nc 又上述统计量相互独立，并按照/2分布的定义可得结果。

定理4设总体X 服从正态分布N （巴b 2 ），则 （1） 样本均值X 与样本方差S 2相互独立；（2） 统计量*2 = 一服从自由度为nT 的,2分布，即C72/2=(n」S〜/2( n-1)证明略。

Y 11定理5设总体X服从正态分布N （巴b2）,则统计量t =---- =服从自由度为n-1的S V nt分布，即X —卩7〜心证由定理2知，统计量u 〜N(o,1 )又由定理4知，统计量厂=5-〜工2（n_i）C2因为X与S2相互独立，所以u与72也相互独立，于是根据t分布的定义得结论。

2.两个正态总体的统计量的分布从总体X中抽取容量为n x的样本X1,X2，…,X n x，从总体丫中抽取容量为n y的样本Y,丫2,…，Y n y。

正态总体的抽样分布

正态总体的抽样分布

则服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量是
．
练习
设总体X的密度函数为 | x |, | x | <1 f ( x) 其他 0, X1 ,X 2 , Xn为取自X的一个样本:求
(1)E (X),D(X) (2)E(S )
2Hale Waihona Puke 练习设总体X~N(0,1),样本X 1 , X 2 ,
2
X6
2
(2) X 和 S 相互独立.
取不同值时 的分布
2
例题分析
定理 3
设
（与样本均值和样本方差有关
的一个分布） 的样本,
X1, X2 ,…, Xn 是取自正态总体
分别为样本均值和样本方差, 则有
且它们独立。 则由t-分布的定义：
当
4. 两个正态总体
（1） 若 X ~ N (μ1,σ12) ： X1，X2，…,Xn1
2 2
证：EX i 0, DX i 1, X i ~ N (0,1)
2 i 4 i 2 2 i n
n
EX 1,
2 i
DX EX ( EX ) 3 1 2, i 1, 2,
所以 E 2 E ( X i2 ) EX i2 n.
D 2 D( X i2 ) DX i2 2n.
设 X: 1. 2. 若 X~N（0，1），则 X1，X2，…，Xn
四大统计量
两个正态总体
Y ~ N (μ2,σ2 2) ： Y1，Y2，…,Yn2 ，它们相互独立，
（1） 若 X ~ N (μ1,σ12) ： X1，X2，…,Xn1
则
（2）
当σ12 =σ22 =σ2时，
（ 3）

《概率与数理统计》第06章 - 样本及抽样分布

《概率与数理统计》第06章 - 样本及抽样分布

(3)g( x1, x2 ,L xn )是统计量g(X1, X2 ,L Xn )的观察值
几个常见统计量
样本平均值
X
1 n
n i 1
Xi
它反映了 总体均值 的信息
样本方差
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
它反映了总体 方差的信息
n
1
1
n
X
2 i
i 1
nX
2
样本标准差
S
1 n
n
1
(
i 1
X
i
是来自总体的一个样本，则
(1) E( X ) E( X ) ,
(2) D( X ) D( X ) 2 n ,
n
(3) E(S 2 ) D( X ) 2
矩估计法的 理论根据
若总体X的k阶矩E( X k ) k存在，则
(4) Ak
1 n
n i 1
Xik
p k
k 1, 2,L .
(3)证明：E(S2 )
定义 设X1 , X2 ,L , Xn是来自总体X的一个样本， g( X1 , X 2 ,L , X n )是X1 , X 2 ,L , X n的函数，若g 中不含未知参数，则g( X1 , X 2 ,L , X n )称是一 个统计量.
请注意 :
(1)X1, X2 ,L
X
是样本，也是随机变量
n
(2)统计量是随机变量的函数，故也是随机变量
1
e
(
xi 2
2
)2
2
n
( xi )2
1
e i1 2 2
n
2
第二节
抽样分布

西安交大西工大 考研备考期末复习 数理统计第一部分 基本概念(带答案)

西安交大西工大 考研备考期末复习 数理统计第一部分 基本概念(带答案)

第一部分 基本概念基础练习一． 填空题1若1210,,,X X X 相互独立，2~(,),1,2,,10i i iX N i μσ=，并且σ已知，则1210,,,X X X 的函数=2χ________服从于210χ（）分布.答案：102211)ii i X μσ=-∑（2 ),(~),,(~222211σσμμN Y N X ，从总体X 、Y 中分别抽取容量为1n 、2n 的样本，样本均值分别为X 、Y X Y -则,= 。

答案： ),(22212121n n N σσμμ+-3设T 服从自由度为{}{}λλ<=>T P a T P t n 则若分布的,,= 。

答案：21a- 4设621,,,X X X 是取自总体)1,0(~N X 的样本，264231)()(∑∑==+=i i i i X X Y ，则当c ＝ 时， cY 服从2χ分布，)(2χE ＝ .。

答案：1/3，25设总体X 服从N(a,22)分布，12(,,,)n X X X 是来自此总体的样本，X 为样本均值，试问样本容量n>_________，才能使E(|X -a|2)≤0.1。

答案：n >406设12,,n X X X ，为总体X 的一个样本，若11ni i X X n ==∑且EX μ=，2DX σ=，则EX = _________，DX = __________。

答案：μ，2nσ7设总体()22X N σ服从正态分布，，1216,,X X X ，是来自总体X 的一个样本，且161116i i X X ==∑, 则48X σ-服从 ____ ______分布.答案：()01N ，8某地的食用水中以每cm3中含大肠杆菌个数 X 为特性指标，已知它服从均值为λ 的泊松分布，从水中抽一个容量为n 的样本 Z Z Z n 12,,, ，则样本的联合分布律为 。

答案：P Z x Z x x e n x i i nn i 111===-=∏,,!b gλλ12()12(!!!)n n ex x x n x x x λλ-+++=9某种元件的寿命服从均值为1λ的指数分布，用寿命作为元件的特性指标，任取n 个元件，其寿命构成一个容量为n 的样本，则样本分布的联合分布密度为 。

概率论6-1,2,3

概率论6-1,2,3

例如，考察某工厂10月份生产的灯泡的寿命所组 例如，考察某工厂 月份生产的灯泡的寿命所组 成的总体。 成的总体。灯泡寿命落在各个时间区间内有一定的 百分比，如灯泡寿命落在1000小时 小时~1300小时的占灯 百分比，如灯泡寿命落在 小时 小时的占灯 泡总数的85％，落在1300小时 ％，落在 小时~1800小时的占灯泡总 泡总数的 ％，落在 小时 小时的占灯泡总 数的5％， ％，…。 即灯泡寿命的取值有一定的分布。 数的 ％， 。 即灯泡寿命的取值有一定的分布。
就取位于 [ 是整数， x([ np ]+1) , 不是整数， 当np不是整数， x 综上， 综上， p = 1 [ x( np ) + x( np+1) ], 当np是整数 . 2
0 当 特别， 特别， p = 0.5时，.5分位数 x0 .5也记为Q2或
数据集的箱线图是由箱子和直线组成的图形， 数据集的箱线图是由箱子和直线组成的图形， 它是基于以下五个数的图形概括： 它是基于以下五个数的图形概括： 最小值 Min， 第一四分位数 Q1，中位数M，第三四分位数 Q3和 中位数 最大值 Max. 作法如下： 作法如下： (1) 画一水平数轴， 在轴上标上 Min，Q1， M， 画一水平数轴， Q3，Max. 在数轴上方画一个上、 下侧平行于数 在数轴上方画一个上、 Q 箱子的左右两侧分别位 于 Q1， 3 的上方. 轴的矩形箱子， 轴的矩形箱子， 在 M点的上方画一条垂直线 段 .线段位于箱子内部. ( 2)自箱子左侧引一条水平 线至 Min； 在同一水平 高度自箱子右侧引一条水平线直至最大值. 高度自箱子右侧引一条水平线直至最大值. 如图所示. 如图所示.
1.总体与个体 总体与个体
§1 随机样本
总体 试验的全部可能的观察值称为总体. 试验的全部可能的观察值称为总体. 个体 总体中的每个可能观察值称为个体. 总体中的每个可能观察值称为个体.

6-5 两个正态总体均值及方差比的置信区间

6-5 两个正态总体均值及方差比的置信区间

6.5 两个正态总体均值差及 方差比的置信区间
1. 两正态总体均值差 µ1 − µ 2的置信区间
2 σ1 2. 两个总体方差比 2 的置信区间 σ2
3. 小结
设给定置信度为1 − α , 并设 X 1 , X 2 ,⋯, X n 为 第一个总体 N ( µ1 ,σ 1 )的样本 , Y1 ,Y2 ,⋯,Yn 为第二
要点回顾
无偏性 1. 估计量的评选的三个标准 有效性 相合性 2. 置信区间是一个随机区 (θ , θ ), 它覆盖未知参 间 ( 数具有预先给定的概率置信水平) , 即对于任
意的θ ∈Θ, 有 P{θ < θ < θ } ≥ 1−α. 求置信区间的一般步骤(分三步 分三步). 求置信区间的一般步骤 分三步
例4 分别由工人和机器人操作钻孔机在纲部件 上钻孔，今测得所钻的孔的深度（以cm计）如下 上钻孔，今测得所钻的孔的深度（ 计
工人 操作 机器人 操作 4.02 3.64 4.03 4.02 3.95 4.06 4.00 4.01 4.03 4.02 4.01 4.00 3.99 4.02 4.00
2 σ1 , 由 X , Y 的独立性及 X ~ N µ1 , n1 2 2 σ1 σ 2 , + 可知 X − Y ~ N µ1 − µ 2 , n1 n2
2 σ2 , Y ~ N µ2 , n2
或
( X − Y ) − (µ1 − µ 2 ) ~ N (0, 1),
2 s1 s12 1 1 2 , 2 s F (6,7) s F (6,7) = ( 2.87,46.81). 0.95 2 2 0.05
这个区间的下限大于1，在实际中， 这个区间的下限大于 ，在实际中，我们就认为

正态分布的均质和方差

正态分布的均质和方差
正态分布是一种常见的概率分布，它在自然界和人类社会中广泛应用。

它的均值和方差是描述这种分布特征的重要参数。

均值是正态分布的中心位置，它代表了数据的平均值。

均值越大，分布的中心越靠右；均值越小，分布的中心越靠左。

例如，我们可以用正态分布来描述人们的身高。

如果均值为170厘米，那么大多数人的身高会集中在这个数值附近。

而方差则决定了分布的扩散程度。

方差越小，数据点越集中在均值附近；方差越大，数据点分布得越广。

正态分布在很多领域都有应用。

在医学研究中，正态分布常被用来分析人群的生理指标，如血压、血糖等。

在财经领域，正态分布可以用来描述股市的波动情况，帮助投资者做出决策。

在社会科学中，正态分布可以用来研究人们的意见、行为等。

正态分布的特点使得它成为了统计学中重要的工具。

通过对数据的分析，我们可以了解到数据的分布情况，进而做出合理的判断和预测。

然而，正态分布并不适用于所有情况。

有些数据可能不服从正态分布，可能需要使用其他的概率分布进行分析。

正态分布的均值和方差是描述分布特征的重要参数。

它在各个领域都有广泛的应用，帮助我们理解和解释数据。

虽然正态分布并不适用于所有情况，但它仍然是统计学中不可或缺的工具之一。

通过对
均值和方差的理解和应用，我们可以更好地分析数据，做出准确的判断和预测。

概率论与数理统计A第6章


几个常见统计量
样本平均值
样本方差
它反映了总体 方差的信息
X
1 n
n i1
Xi
它反映了 总体均值 的信息
S2n11in1(Xi X)2
n1 1i n1Xi2nX2
样本标准差 S n1 1i n1(Xi X)2
样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i1
Xik
k=1,2,…
样本k阶中心矩
Mk
1 n n i1
(1)
(n1)S2
2
~2(n1)
(2) X与S2独立 .
n取不同值时 (n 1)S 2
2
的分布
推论1 (样本均值的分布)
设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N(,2)
的样本, X和S2 分别为样本均值和样本方差,
则有
X ~t(n1)
Sn
证由定 1、 2理 t,分布的定义可得
X~N(0,1), n
X ~ N(,2) n
即 X~N(0,1) n
X ~ N(,2) X ~ N(0,1) n n
请注意 : 在已知总体，2时， 可用本定理计算样 本均值X.
n取不同值时样本
均值 X 的分布
定理 5 (样本方差的分布)
设X1,X2,…,Xn是来自正态总体 N(,2)的样本,
X和S2分别为样本均值和样本方差, 则有
的 点 t ( n ) 为 t ( n ) 分 布 的 上 分 位 数 。 如 图 所 示 .
t ( n )
t分布的上分位点的性质： t1(n)t(n)
t分 布 的 左 侧 分 位 点 t(n)可 查 表 求 得 ， 例 t0.975(15)6.262.
当n45时，对于常 的 用值 的，可用正态近

统计学第六版贾俊平


6 -3
统计学(第6版)
6. 1 统计量
6. 1 统计量
6.1.1 统计量的概念
统计量是样本的函数，它不依赖于任何未知参 数； 根据不同的研究目的，可构造不同的统计量； 利用构造的统计量，用样本性质推断总体的性 质； 统计量是统计推断的基础，在统计学中占据着 非常重要的地位。
6 -5
统计学(第6版)
6 - 17
n=1
n=4 n=10
当自由度增加时， 卡方分布的概率 密度曲线趋于对
n=20
称。当n趋于无
穷大时，卡方分
布的极限分布就
2 是正态分布。
不同容量样本的卡方分布
统计学(第6版)
6.3 由正态分布得到的几个重要分布
2分 布 的 性 质 1 . 数学期望为：2E)( n 2 . 方差为：D2() 2 n 3 .2分布的可加性，即12若~ 2( n 1 ),22 ~ 2( n 2 ) , 且独立，则
（1）抽检的100个元件中有3个不合格； （2）抽检的100个元件中前3个不合格；
100
在产品检验中，二项分布的统计量T X i是不合格
品率p的充分统计量。
i 1
6 - 11
统计学(第6版)
6. 2 关于分布的几个概念
6. 2 关于分布的几个概念
6.2.1 抽样分布
近代统计学的创始人之一，英国统计学家费希尔曾把 抽样分布、参数估计和假设检验看作统计推断的三个 中心内容。
6.2.2 渐近分布
当n无限增大时，统计量T(X1，X2，…Xn)的极限 分布常称为统计量的渐近分布； 第4节中的中心极限定理揭示的就是样本均值的 渐近分布； 不少重要的统计方法就是基于渐近分布提出的。
6 - 14

概率论与数理统计：6-3样本均值与样本方差的分布

是X的一个简单随机样本，试确定统计量
n
m Xi
T
i 1
的概率分布。
nm
n
X
2 i
i n 1
解
由题设可知：X1
,
X
2
,
X
相互独立，且
nm
Xi N 0, 2 ,i 1, 2, , n m.
n
n
Xi
故
Xi ~ N (0, n 2 ),
i 1
则
i1 ~ N (0,1).
n
而
nm
i n 1
基本定理
定理 设随机变量X1, X 2 , , X n 相互独立,且
Xi ~ N ( i , i2 ) (i 1, 2, , n)
则它们的任一确定的线性函数
n
n
n
ci Xi ~ N ( cii ,
ci2
2 i
).
i 1
i 1
i 1
其中c1, c2 , , cn为不全为零的常数.
一、单个正态总体的抽样分布
第6.3节 样本均值与样本方差的分布
一、基本定理 二、例题
三、小结
既然统计量是依赖于样本的,而后者又是随 机变量,故统计量也是随机变量,因而就有一定的 分布.称这个分布为“抽样分布”.也即抽样分布就 是统计量的分布
抽样分布
精确抽样分布
渐近分布
(小样本问题中使用) (大样本问题中使用)
这一节, 我们来讨论正态总体的抽样分布.
例4 设 X ~ N 1, 12 , X1, X2,......Xn 是X 的一个样本
Y ~ N
2
,
2 2
, Y1,Y2,......Yn 是 Y的一个样本。
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12
2 ( 2 ) 1 2 0 , 9 7 72 1 【注】 D(X Y ) D(X ) D(Y ) 3 3 1 ．
20 30 4
0．. 9 5 4 4
•7
§3 正态总体样本均值和样本方差的分布
（本节为第七章和第八章的基础）
内容： 单正态总体样本均值和样本方差的分布（重点讲授） 双正态总体样本均值和样本方差的分布（简单介绍）
•1
一、单正态总体样本均值和样本方差的分布
定理 3.1 设 (X1, X2,L , Xn ) 为来自总体 X ~ N (, 2 ) 的
1) ．
•6
例 3.3 从总体 X ~ N(1,3) 中分别抽取容量为 20, 30 的两个 独立样本，求其样本均值差的绝对值小于1的概率．
解 设 两个 样本均 值分 别为 X 和 Y ， 由定 理 3.2⑴ ，可 得 X Y ~ N(0, 1) ，所以
4 P{ X Y 1} P{ X Y 2}
Xi
，样本方差为 S12
1 n1 1
n1 i1
(Xi
X )2
．
(Y1,Y2 ,L
,Yn2 ) 为来自总体Y
~
N
(2
,
2 2
)
的一个样本，样本均
值为Y
1 n2
n2
Yi ，样本方差为 S22
i 1
1 n2 1
n2 i1
(Yi
Y )2
，且
X1, X 2 ,L , X n1 与 Y1,Y2 ,L ,Yn2 相互独立．则
例 3.1 设 (X1, X2,L , X9 ) 为来自总体 X ~ N (, 2 ) 的一个 样本，求 P{0.4656 X 0.9655}．
S
解 由定理 3.1⑵知， X ~ t(8) ， 所以
S9
P{0.4656 X 0.9655} P{1.3968 X 2.8965}
S
S9
P{t0.10 (8)
X S
9
t0.01 (8)}
P{t0.90 (8)
X S
9
t0.01 (8)}
0.90 0.01 0.89 ．
•3
例 3.2 设 (X1, X2,L , Xn ) 为来自总体 X ~ N (, 2 ) 的一个样
本，其中 n
1．令 S02
1 n
n i 1
(Xi
)2
，分别计算
E(S02 ) ， D(S02 ) ， E(S 2 ) 和 D(S 2 ) ． 考研必须掌握其
解 由定理 3.1⑶和⑷知，
方法和结论！
nS02
2
1
2
n
(Xi
i 1
)2
~
2
(n)
，
(n
1)S
2
2
~
2 (n 1) ，
所以
E
(
nS02
2
)
n,
D(
nS02
2
)
2n
，
E[
(n
1)S
2
2
]
n
1,
D[
(n
1)
2
S
2
]
2(n
1)
，
故得 E(S02 )
2,
D(S02 )
2 4
n
， E(S2)
2,
D( S 2 )
2 4 ．
n 1 •4
二、双正态总体样本均值差和样本方差比的分布
定理 3.2
设 ( X1, X 2 ,L
, X n1 1
)
的样本，
样本均值为 X
1 n1
n1 i1
•5
⑴
X
Y
~
N (1
2
,
12
n1
2 2
n2
)
；
⑵
当
12
,
2 2
未知，但
12
=
2 2
2
时，
T ( X Y ) (1 2 ) ~ t(n1 n2 2) ，
Sw
11 n1 n2
其中 S
(n1 1)S12 (n2 1)S22 ；
n1 n2 2
⑶
F
S12 S22
12
2 2
~
F (n1 1, n2
一个样本，则
⑴
X
~
N (,
2
) ，或
U X ~ N(0,1) ；
n
n
差别
⑵ T X ~ t(n 1) ，
Sn
不同
n
(Xi )2
不同
⑶ 2 i1 2
~ 2 (n) ；
n
差别
⑷ 2
(n 1)S 2
(Xi
i 1
X )2
~
2 (n 1) ，
2
2
且 X 与 S 2 相互独立．
•2