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理论力学4章作业题解4-1三铰拱受铅直力F 作用。
如拱的重量不计，求A 、B 处支座反力。
解答 左半拱为二力构件，A 处约束力作用线通过两铰。
整体为三力平衡力系，三力组成闭合的三角形如附图（a ），根据几何关系确定约束力的大小。
45sin sin sin B A F F F ==j a其中31tan =j ，043.18=j ，056.116=a 。
解得F F F F B A 79.0 ,35.0==。
4-3 已知F =10 kN ，杆AC ，BC 及滑轮重均不计，试用作图法求杆AC ，BC 对轮的约束力。
解：取脱离体轮C ，示力图如图所示，力F 1=F 2=F ，其合力通过轮心C ，故仍是汇交力系的平衡。
:0=åiyF 045sin 20=-F F BCKN FF BC 1.1445cos =°=045cos :010=-+=åF F F FAC BC ix0=AC F4-7 长2l 的杆AB ，重W ，搁置在宽a 的槽内，A 、D 接触处都是光滑的。
试求平衡时杆AB 与水平线所成的角a 。
设a >l 。
解答 取杆为研究对象，为三力汇交力系的平衡。
示力图如附图(a)所示。
在ΔADE 中，a cos AD AE =。
在ΔAEC 中，l AE ´=a cos 。
所以有l AD ´=a 2cos 。
在ΔA GD 中，a cos a AD =。
得a =a 3cos ，31cosl a -=a 。
F BCAC题3-4 附图F BF AF BF AFa45j(a)A (a)题4-7 附图G4-9 AB ，AC ，AD 三连杆支撑一重物，如图所示。
已知W=10kN ，AB =4m ，AC =3 m ，且ABEC 在同一水平面内，试求三连杆所受的力。
解：取铰A 研究，示力图如图示，为汇交力系的平衡。
0=åix F ： 05430sin =´°+AD AB F F 0=åiy F ： 05330sin =´°+AD AC F F 0=åiZF： 030cos =-°W F AD联立求解KNF KNF KN F AD AC AB 5.115.36.4=-=-=4-8 图示结构上作用一水平力F 。
第6章力系的平衡——思考题——解答6-1 空间一般力系向三个相互相交的坐标平面投影，得到三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，这样力系就有九个平衡方程，那么能否求解九个未知量为什么6-1 解答：(1) 空间一般平衡力系，有六个独立的平衡方程，能求解六个未知量。
(2) 空间一般力系向三个相互相交的坐标平面投影，得到三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，这样力系就有九个平衡方程，但并非独立，因为三个相互相交的坐标平面满足一定的几何关系（每一个坐标平面之间的夹角是确定的，共有三个确定的夹角），这样得到的三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，力系就有九个平衡方程，其实独立的还是六个平衡方程，能求解六个未知量。
6-2 试问在下述情况下，空间平衡力系最多能有几个独立的平衡方程为什么（1）各力的作用线均与某直线垂直； （2）各力的作用线均与某直线相交； （3）各力的作用线均与某直线垂直且相交； （4）各力的作用线均与某一固定平面平行； （5）各力的作用线分别位于两个平行的平面内； （6）各力的作用线分别汇交于两个固定点； （7）各力的作用线分别通过不共线的三个点；（8）各力的作用线均平行于某一固定平面，且分别汇交于两个固定点； （9）各力的作用线均与某一直线相交，且分别汇交于此直线外的两个固定点； （10）由一组力螺旋构成，且各力螺旋的中心轴共面；（11）由一个平面任意力系与一个平行于此平面任意力系所在平面的空间平行力系组成；（12）由一个平面任意力系与一个力偶矩均平行于此平面任意力系所在平面的空间力偶系组成。
6-2 解答：空间的一般平衡力系共有六个独立的平衡方程0=∑xF，0=∑y F ，0=∑z F ，0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M(1) 各力的作用线均与某直线垂直 —— 最多有五个独立平衡方程。
假设各力的作用线均与z 轴垂直，则0=∑z F 自动满足，独立的平衡方程有5个。
力学中的平衡问题及解题方法力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动和相互作用。
在力学中，平衡是一个关键概念，指的是物体在外力作用下保持静止或者匀速运动的状态。
解决平衡问题是力学学习的基础，本文将重点介绍平衡问题的概念及解题方法。
一、平衡问题概述在力学中，平衡是指物体的合力与合力矩均为零的状态。
合力指的是物体受到的所有力的矢量和，合力矩是指物体受到的所有力矩之和。
当一个物体处于平衡状态时，其合力为零，即物体受到的所有力相互抵消；合力矩也为零，即力矩的总和等于零。
通过解决平衡问题，我们可以推导出物体的受力关系及各个力的大小和方向。
二、解题方法解决平衡问题的思路和方法有很多，下面将介绍几种常用的方法。
1. 通过自由体图分析自由体图是解决平衡问题的重要工具。
通过将物体从整体中分离出来，将作用在物体上的力单独画在一张图上，即可更清晰地分析受力情况。
首先，选择心理上合适的参考点，计算该点的合力和合力矩，然后利用力的平衡条件和力矩的平衡条件，推导出物体的受力关系。
在绘制自由体图时，需要标注各个力的名称、大小和方向，以便更好地进行分析。
2. 利用转动平衡条件解题当物体可以绕某个轴进行转动时，我们可以利用转动平衡条件解题。
转动平衡条件是指物体的合力矩等于零，即物体受力矩的总和等于零。
通过将每个力的力矩与其距离乘积求和，然后令其等于零，我们可以解得物体的未知量。
在利用转动平衡条件解题时，需要注意选择正确的参考点和力臂的方向。
3. 使用迭加法解题迭加法是一种常用的解决力学问题的方法。
对于一个复杂的平衡问题，我们可以将其分解为多个简单的平衡问题来处理。
将物体逐步分解，每次只考虑其中的一部分受力情况，然后根据平衡条件解题。
最后通过迭代计算，得到物体的受力关系和未知量。
4. 运用静摩擦力解决问题在某些平衡问题中，静摩擦力起到重要的作用。
静摩擦力是指物体接触面上的摩擦力，当其超过一定程度时，可以阻止物体发生滑动。
通过利用静摩擦力的性质，我们可以解决涉及摩擦力的平衡问题。
工程力学（工程静力学与材料力学）习题与解答第3章 力系的平衡3－1 试求图示两外伸梁的约束反力FRA 、FRB ，其中（a ）M = 60kN ·m ，FP = 20 kN ；（b ）FP = 10 kN ，FP1 = 20 kN ，q = 20kN/m ，d = 0.8m 。
知识点：固定铰支座、辊轴支座、平面力系、平衡方程 难易程度：一般 解答：图（a-1） 0=∑x F ，FAx = 00=∑A M ，05.34R P =⨯+⨯--B F F M 05.342060R =⨯+⨯--B F FRB = 40 kN （↑）=∑y F ，0P R =-+F F F B Ay20-=Ay F kN （↓）图（b-1），M = FPd 0=∑A M ，03221P R P =⋅-⋅++⋅d F d F d F dqd B即 032211P R P =-++F F F qd B 02032108.02021R =⨯-++⨯⨯B FFRB = 21 kN （↑）=∑y F ，FRA = 15 kN （↑）3－2 直角折杆所受载荷，约束及尺寸均如图示。
试求A 处全部约束力。
A MB Ay F B R F CAx F PF(a) M A B B R F A R F P 1F C qdBD(b)（a ）（b ） 习题3－1图FMB习题3－3图sF W A F ABF BF AN F(a)知识点：固定端约束、平面力系、平衡方程 难易程度：一般 解答： 图（a ）： 0=∑x F ，0=Ax F=∑y F ，=Ay F （↑）0=∑A M ，0=-+Fd M M AM Fd M A -=3－3 图示拖车重W = 20kN ，汽车对它的牵引力FS = 10 kN 。
试求拖车匀速直线行驶时，车轮A 、B 对地面的正压力。
知识点：固定端约束、平面力系、平衡方程 难易程度：一般解答： 图（a ）：0)(=∑F A M 08.214.1NB S =⨯+⨯-⨯-F F W6.13NB =F kN=∑y F ，4.6NA =F kN3－4 图示起重机ABC 具有铅垂转动轴AB ，起重机重W = 3.5kN ，重心在D 。
基础部分——静力学第3 章力系的平衡主要内容：§3-7 重心即：力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和对任一点3-2-1 平衡方程的一般形式∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 已知∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 投影式：平衡方程i即：力系中所有力在各坐标轴上投影的代数和分别等于零；所有力对各坐标轴之矩的代数和分别等于零。
说明：¾一般¾6个3个投影式，3个力矩式；¾一般形式基本形式3-2-2 平面一般力系的平衡方程xy zOF1F2Fn平面内，¾一般形式¾3个2个投影式，1个力矩式；¾ABAzzCC附加条件：不垂直附加条件：不共线Bx二矩式的证明必要性充分性合力平衡AA 点。
B 点。
过ABBx故必有合力为零，力系平衡证毕平面问题3个3个 解题思路BAMFo45l l[例3-1] 悬臂梁，2解：M A 校核：0)(=∑F MB满足！解题思路？AyF AxF[例3-2] 伸臂梁F AxF AyF BF q 解：0=∑x F 0)(=∑F AM3(F −+0=∑yF3(F −+(F −+0)(=∑F AM=∑yF0=∑x F F AxF AyF BF q 思考：如何用其他形式的平衡方程来求解？0=∑x F 3(F −+0)(=∑F AMF AxF F BF q 0)(=∑F BM(F −+二矩式思考练习][练习FFlll F ACB DlllACB DM=F l[思考][思考]lll F ACB DlllACB DF见书P54例3-1—约束lllACB DF—约束CBADEFM—约束—约束—整体平衡局部平衡CB ADEFM研究对象的选取原则¾仅取整体或某个局部，无法求解；¾一般先分析整体，后考虑局部；¾尽量做到一个方程解一个未知力。
qCBAm2m2m2m2MBCM[例3-3] 多跨梁，求：如何选取研究对象？F CqF CFAxF AyM ABAqF'BxF'ByM A F Ax F AyF Bx F By解：先将分布力用合力来代替。
第6章 力系的平衡——习题16-1(7.1 改动字母) 图示均质长方形薄板，重P = 200N ，角O 通过光滑球铰链与固定墙相连，角B 处突缘嵌入固定墙的光滑水平滑槽内，使角B 的运动在x 、z 方向受到约束，而在y 方向不受约束，并用不计质量的钢索DE 将薄板支持在水平位置上，试求O 、B 处的约束力及钢索DE 的拉力。
（题 6.1答案：N 100=Ox F ，N 200=Oy F ，N 100=Oz F ，0==Bz Bx F F ，N 6100=DE F ）6-2(7.2) 图示重为P ，长为l 的均质直杆AB 用两根与杆等长的相互平行的绳索DA 和EB （质量不计）挂在水平天花板上。
现在杆上作用一主动力偶，其力偶矩M 的方向垂直向上，试求杆平衡时转过的角度及绳索的拉力大小。
（题6.2答案：Pl M 2arcsin2=ϕ，2cos 221ϕPF F T T ==）6-3(7.3 改动字母) 图示长为2a 、宽为a 的均质矩形薄板ABDE ，重为P ，由六根无重直杆支撑在水平位置，已知铅垂杆的长度均为a 。
现沿边ED 和DB 作用水平力F 1和F 2，若不计摩擦，试求各杆对板的约束力。
（题6.3答案：P F F 2111N -=，12N 25F F -=，13N 22F F -=，)2(21214N F F F +-=，题6-1图题6-2图)2(22215N F F F +=，P F 216N -=）6-4(7.4 改动字母) 图示边长为b ，重为P 的等边三角形均质薄板ABD 用三根铅垂杆1、2、3和三根与水平面成30◦ 角的斜杆4、5、6支撑在水平位置，在板的平面内作用着一主动力偶，其力偶矩M 的方向垂直向下，若不计各杆的自重和铰接处摩擦，试求各杆对板的作用力。
（题6.4答案：)2(311P b M F +-=，P F 312-=，P F 313-=，bM F 344=，b MF 345-=，b MF 346=）6-5(7.5) 如图所示，长为2l 的均质筷子放在半径为r 的半球形碗内，已知筷子重为P 。
第6章力系的平衡——思考题——解答6-1 空间一般力系向三个相互相交的坐标平面投影，得到三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，这样力系就有九个平衡方程，那么能否求解九个未知量？为什么？6-1 解答：(1) 空间一般平衡力系，有六个独立的平衡方程，能求解六个未知量。
(2) 空间一般力系向三个相互相交的坐标平面投影，得到三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，这样力系就有九个平衡方程，但并非独立，因为三个相互相交的坐标平面满足一定的几何关系（每一个坐标平面之间的夹角是确定的，共有三个确定的夹角），这样得到的三个平面一般力系，每个平面一般力系都有三个独立的平衡方程，力系就有九个平衡方程，其实独立的还是六个平衡方程，能求解六个未知量。
6-2 试问在下述情况下，空间平衡力系最多能有几个独立的平衡方程？为什么？（1）各力的作用线均与某直线垂直； （2）各力的作用线均与某直线相交； （3）各力的作用线均与某直线垂直且相交； （4）各力的作用线均与某一固定平面平行； （5）各力的作用线分别位于两个平行的平面内； （6）各力的作用线分别汇交于两个固定点； （7）各力的作用线分别通过不共线的三个点；（8）各力的作用线均平行于某一固定平面，且分别汇交于两个固定点； （9）各力的作用线均与某一直线相交，且分别汇交于此直线外的两个固定点； （10）由一组力螺旋构成，且各力螺旋的中心轴共面；（11）由一个平面任意力系与一个平行于此平面任意力系所在平面的空间平行力系组成；（12）由一个平面任意力系与一个力偶矩均平行于此平面任意力系所在平面的空间力偶系组成。
6-2 解答：空间的一般平衡力系共有六个独立的平衡方程0=∑xF，0=∑y F ，0=∑z F ，0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M(1) 各力的作用线均与某直线垂直 —— 最多有五个独立平衡方程。
假设各力的作用线均与z 轴垂直，则0=∑z F 自动满足，独立的平衡方程有5个。
(2) 各力的作用线均与某直线相交 —— 最多有五个独立平衡方程。
假设各力的作用线均与z 轴相交，则0=∑z M 自动满足，独立的平衡方程有5个。
(3) 各力的作用线均与某直线垂直且相交 —— 最多有四个独立平衡方程。
假设各力的作用线均与z 轴相交且垂直，则0=∑z F ，0=∑z M 自动满足，独立的平衡方程有4个。
(4) 各力的作用线均与某一固定平面平行（与“各力的作用线均与某直线垂直”相等价）——最多有五个独立平衡方程。
假设各力的作用线均与xy平面平行（与“各力的作用线均与z轴垂直”相等价），∑z F自动满足，独立的平衡方程有5个。
则0=(5) 各力的作用线分别位于两个平行的平面内——最多有四个独立的平衡方程。
(6) 各力的作用线分别汇交于两个固定点——最多有五个独立的平衡方程。
6-3 如图所示，ABCDA′B′C′O 为边长等于a 、b 、c 的长方体，试问下列方程组中， 是空间力系平衡的充分必要条件？（1）0=∑x F ，0=∑z F ，0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，0=∑'A A M ； （2）0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，0=∑'B B M ，0=∑'C C M ，0=∑y F ； （3）0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，0=∑'A A M ，0=∑'B B M ，0=∑'C C M 。
6-3 解答：(1) 0=∑x F ，0=∑z F ，0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，0=∑'A A M ： 是空间力系平衡的充分必要条件。
原因如下：设空间力系向点O 简化所得到的一个力和一个力偶的力偶矩分别为k F j F i F k F j F i F F F z y x z y x O ρρρρρρρρ)()()(R R R R ∑∑∑++=++==k M j M i M k M j M i M M z y x z y x O ρρρρρρρ)()()(∑∑∑++=++= 由于满足方程 0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，故 0=O M ρ，又满足方程 0=∑x F ，0=∑z F ，又根据 0R ==∑'b F M y A A ⇒ 0R =y F ⇒ 0=∑y F 。
由此可见，题目中的六个方程能保证空间力系一定是平衡力系，所以它们是空间思考题6-3图力系平衡的充分必要条件。
(2) 0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，0=∑'B B M ，0=∑'C C M ，0=∑y F ： 是空间力系平衡的必要而非充分条件。
原因如下：设空间力系向点O 简化所得到的一个力和一个力偶的力偶矩分别为k F j F i F k F j F i F F F z y x z y x O ρρρρρρρρ)()()(R R R R ∑∑∑++=++==k M j M i M k M j M i M M z y x z y x O ρρρρρρρ)()()(∑∑∑++=++= 由于满足方程 0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，故 0=O M ρ，又根据 0R =-=∑'b F M x C C ⇒ 0R =x F ， 再根据 0R R =+-=∑'a F b F M y x B B ⇒ 0R =y F ，至此，空间力系的简化结果可能是一个合力 k F F F z O ρρρR R ==或平衡力系，这两个结果均满足0R ==∑y y F F ，即题目中第六个方程给不出任何新的信息，也就是说它与前五个方程是线性相关的。
因此，这六个方程不能保证空间力系一定是平衡力系，所以它们不是空间力系平衡的充分条件，但显然是必要条件。
解析：(1) 空间力系与其向点O 简化所得力系是等效力系，它们对任何一根轴的矩和在任何一根轴上的投影均相等。
(2) 若将题中第六个方程改写为0=∑x F ，或0=∑l M （其中l 轴为既不与z 轴平行，也不与z 轴相交的任一轴），则这六个方程就成为空间力系平衡的充分必要条件。
(3) 0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，0=∑'A A M ，0=∑'B B M ，0=∑'C C M ： 是空间力系平衡的必要而非充分条件。
原因如下：设空间力系向点O 简化所得到的一个力和一个力偶的力偶矩分别为k F j F i F k F j F i F F F z y x z y x O ρρρρρρρρ)()()(R R R R ∑∑∑++=++==k M j M i M k M j M i M M z y x z y x O ρρρρρρρ)()()(∑∑∑++=++= 由于满足方程 0=∑x M ，0=∑y M ，0=∑z M ，故 0=O M ρ，又根据 0R ==∑'b F M y A A ⇒ 0R =y F ⇒ 0=∑y F ，0R =-=∑'b F M x C C ⇒ 0R =x F ⇒ 0=∑x F ， 0R R =+-=∑'a Fb F My x B B ⇒ 0R =y F ⇒0=∑yF由此可见，0=∑'A A M 与0=∑'B B M 是等价的线性相关方程。
因此，题目中给出的六个方程不能保证空间力系一定是平衡力系，所以它们不是空间力系平衡的充分条件，但显然是必要条件。
6-4 试分别给出空间任意力系平衡时平衡方程四矩式、五矩式和六矩式的一种方法。
6-4 解答：待解答6-5 图示均质等粗直角弯杆，已知其AB = l ，BD = 2l ，试求平衡时ϕ为多少？6-5 解答：受力分析如图(a)所示。
0=∑B M ：0cos sin 2211=⋅-⋅ϕϕBC P BC P ⇒0cos 2sin 221=⋅-⋅ϕϕBD P AB P ⇒ 0cos 222sin 211=⋅-⋅ϕϕl P l P ⇒ 4tan =ϕ ⇒ο9638.75=ϕ思考题6-5图思考题6-5图 (a)6-6 自重和摩擦不计的图示平面结构受三个已知力作用，分别汇交于点B 和点C ，平衡时有 。
（1）F A = 0，F N D 不一定为零； （2）F A 不一定为零，F N D = 0； （3）F A = 0，F N D = 0； （4）F A 和F N D 均不一定为零。
6-6 解答：(2) F A 不一定为零，F N D = 0 ：正确。
思考题6-6图 (a)思考题6-6图 (b)6-7 试问图示各系统分别是什么系统（静定、超静定、机构）？6-7 解答：(a) 静定系统（结构）； (b) 单自由度系统（机构）； (c) 一次静不定系统（结构）； (d) 一次静不定系统（结构）； (e) 静定系统（结构）； (f) 静定系统（结构）。
思考题6-7图 (a)M思考题6-7图 (b)M思考题6-7图 (c)M思考题6-7图 (d)思考题6-7图 (e)思考题6-7图 (f)6-8 若不计自重和摩擦，试问图示平面系统中杆OA、AB、CD分别在什么力系作用下处于平衡状态？思考题6-8图6-8 解答：杆OA在三个共线力（三个力的作用线均与OA重合）作用下处于平衡状态；杆AB在三个平行力作用下处于平衡状态；杆CD在力偶系作用下处于平衡状态。
6-9 若不计自重和摩擦，试问图示平面系统中杆AB 和CD 分别在什么力系作用下处于平衡状态？6-9 解答：杆BD 和杆GH 为二力杆。
对于整体而言，整个结构为力偶平衡系统，A F ρ与C F ρ的大小相等方向反向。
待续思考题6-9图D6-10 若不计自重和摩擦，已知M 1 = M 2 = M ，两圆盘的半径都为r ，试计算图(a)、(b)所示结构中A 、B 、C 处约束力的大小和方向。
从计算结果看，你能发现什么规律？思考题6-10图 (a)思考题6-10图 (b)6-11 试判断图示平面桁架中哪些杆为零杆？6-12 如何快速地求出图示平面桁架中杆OC 的内力？思考题6-11图 (a)思考题6-11图 (b)思考题6-12图6-13 在图示平面桁架中，杆OE 与BC 、杆BD 与AE 都相交但不相连，如何快速地求出杆AB 的内力？6-14 在如图所示桁架中，OABCDE 为正八角形的一半，杆OC 、OD 分别与杆AE 、BE 相交但不相连，F 1 = F 2 = F ，如何快速地求出杆BC 的内力？思考题6-13图思考题6-14图6-15 已知F 1 = F 2 = F ，如何快速地求出图示平面桁架中杆GL 和KN 的内力？6-16 如图所示，均质物块重为P ，放在粗糙的水平面上，它们之间的静摩擦因数为23sf ，今受到一方向如图所示的推力F 的作用，且F = P ，若物块不会被翻倒，试问物块能否保持平衡？为什么？思考题6-15图2思考题6-16图6-17 如图所示，在机械设备、木工以及坑道作业中，常采用一种楔块，将楔块打入上下两段支柱之间。
