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建筑力学第四章 平面力系的简化与平衡方程

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第四章平面一般力系的平衡方程及其应用简化及平衡方程

第四章平面一般力系的平衡方程及其应用简化及平衡方程

7
（5）校核
[例]如图所示拱形桁架的一端A为铰支座，另一端B为滚轴支 座，其支承面与水平面成倾角300。桁架自重G=100KN,风压力 的合力Q=20KN,其方向水平向左，试求A、B 支座反力。
8
解：〈1〉、选桁架为研究对象，画出其受力图
〈2〉、列平衡方程选A、B两点为矩心，用二矩式
mA( 20 sin 600 0
mB (F) 0
FRAy 20 FP 4 G 10 0
Fx 0 FRAx FRB cos 60 0 FP 0
解得：FRB 62.4kN
FRAy 46kN
FRAx

11 .2k N 9
需要指出的是，上述平衡方程是相互独立的，用来求 解平面一般力系的平衡问题时，能且最多只能求解三个未 知量。为了避免求解联立方程，应使所选的坐标轴尽量垂 直于未知力，所选矩心尽量位于两个未知力的交点（可在 研究对象之外）上。此外，列平衡方程时，既可先列投影 方程，也可先列力矩方程。总之，应尽量使每一方程式中 只含一个未知量，以便简化计算。
当F P h(2R h) 时球方能离开地面
Rh
12
2、平面平行力系的平衡方程 平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
平面平行力系平衡方程的一般形式：
Fy 0

mo
(F
)

0
平面平行力系平衡方程的二矩式：
各力在x轴上的投影恒等于零，即
Fx 0
15
mB 0
FW 2(6 2) G 2 FW1 (12 2) FRA (2 2) 0
限制条件： FRA 0
解得：
FW 2
建筑力学-第4章 平面力系的简化与平衡方程.

建筑力学-第4章 平面力系的简化与平衡方程.


平面固定端约束
=
=
≠
=
3、 平面任意力系的简化结果分析
=
FR 0 M O 0
合力
合力作用线过简化中心
FR 0 M O 0
合力
合力作用线距简化中心M O
FR
其中
MO d FR
M o FRd
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
FR FR FR
q 20 kN
求： 固定端A处约束力.
, l 1m; F 400kN, m
解： 取T型刚架，画受力图. 1 其中 F1 q 3l 30kN 2 Fx 0 FAx F1 F sin 600 0 解得 FAx 316.4kN
F Ay P F cos 60 0 Fy 0 解得 FAy 300kN
A
M
解得
0
12 FBy 10 P 6 P 1 4P 2 2 P 5F 0
FBy 77.5kN
iy
F
解得
0 FAy FBy 2 P P 1P 2 0
FAy 72.5kN
取吊车梁,画受力图.
M
解得
D
0
8FE' 4P 1 2P 2 0
Fx 0
Fy 0
FAx FB 0
FAy P 1P 2 0
M
解得
A
0
FB 5 1.5 P 1 3.5 P 2 0
FAy 50kN
FB 31kN
FAx 31kN
例4-4 已知： P, q, a, M pa; 求： 支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.
第4章——平面力系的简化

第4章——平面力系的简化

建筑力学
ARCHITECTURAL MECHANICS
第4章 平面力系的简化 与平衡方程
June, 2008
第 4章 平面力系的简化与平衡方程 建筑力学
平面任意力系：力系中各力的作用线都在同一平面内，且 任意分布。
工程中的多数问题都简化为平面任意力系问题来解决。 本意内容在工程实践中应用广泛。
第 4章 平面力系的简化与平衡方程 建筑力学
几点说明： 1、 一般情况下，平面任意力系等效于一力和一力偶。
主矢一般不与原力系等效，不是原力系的合力；附加力偶系的合力偶M， 一般不与原力系等效，不是原力系的合力偶。
2、平面任意力系的主矢大小和方向与简化中心位置无关。
主矢等于各力的矢量和，由力系中各力矢量和确定，故与主矢简化中心 的选择无关。对于给定的力系，选取不同的简化中心，所得主矢相同。
2、平面任意力系的主矩大小和转向与简化中心O 位置有关。
主矩等于各力对简化中心的矩的代数和，选取不同的点作为简化中心， 各力的力臂将有改变，各力对简化中心的矩也有改变，所以，一般情况 下，主矩与简化中心的选择位置有关。对于给定的力系，选取不同的简 化中心，所得主矩一般不同。
因此，在说到力系的主矩时，一定要指明是力系对于哪一点的主矩。
设想将合力FR沿作用线移 至K点，分解为两个分力 FRx和FRy。
力系向点A简化的主矩为 MA ，根据合力矩定理。
建筑力学
式中负号表明K点在坐标原点A的左侧。
第 4章 平面力系的简化与平衡方程 建筑力学
3．主矢为零，主矩不为零
各力向简化中心等效平移后，所得汇交力系是平衡力系， 原力系与附加力偶系等效。原力系简化为一合力偶，该力 偶的矩就是原力系相对于简化中心O的主矩Mo。此种情况 下，主矩与简化中心的位置无关，向不同点简化，所得主 矩相同。
第四章 平面力系简化平衡方程

第四章 平面力系简化平衡方程

第四章 平面力系的简化与平衡方程
工程实例：
厂房吊车梁实例：
平面任意力系：
本章任务：
（1）掌握平面任意力系向一点的简化---主矢 和主矩 （2）掌握平面任意力系的平衡条件· 平衡方程 （3）掌握物系的平衡问题（包括了解考虑摩 擦的物系平衡问题的处理）
一、平面一般力系向一点(简化中心O点)简化：
解（1）取整体为研究对 象，作受力图如图；
（2）列平衡方程， 求解未知力。 ∑X=0，XA +qL =0 XA A
1.5L
q
B
NB
L
X
∑Y=0，YA +NB
=0
YA
∑ mA（Fi）=0 1.5LNB -0.5L×qL =0
XA =-qL(←)
NB =qL/3
YA = -qL/3(↓)
[例4-4]十字交叉梁用三个链杆支座固定，如图所示。求在 水平力P的作用下各支座的约束反力。
[例4-1] 在边长为a=1m的正方形的四个顶点上，作用有 F1、 F2 、 F3 、F4等四个力，如图所示。已知F1=40N，F2=60N， F3=60N，F4=80N。试求该力系向A点简化的结果。
解：R′x=40cos45°+60cos45°+60cos60°-80sin30°=60.7N R′y=40sin45°-60sin45°-60sin60°- 80cos30°=-106.1N R′=√(R′ x)2+(R′ y)2=122.4N cos=60.7/122.4 , =60.27°
1.若R´=0，Mo=0，原力 系为平衡力系，物体处于 平衡状态。
平衡
2．若 R´=0，Mo≠0， 原力系与一力偶等效， 其力偶矩就是原力系 的 主矩。并且简化结 果与 简化中心位置无关。
建筑力学第四章 平面力系的简化与平衡方程

建筑力学第四章 平面力系的简化与平衡方程

设有F1, F2 … Fn 各平行力系， 向 O点简化得：
主R 矢 R' F O
主 M O 矩 m O (F i) F ix i
平衡的充要条件为
主矢 R ' =0
主矩MO =0
建筑力学电子教案
第四精章品文平档面力系的简化与平衡方程
所以 平面平行力系的平衡方程为：
Y0
mO(Fi)0
一矩式
mA(Fi)0 二矩式
建筑力学电子教案
第四精章品文平档面力系的简化与平衡方程
[例3]
已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如 图。求：①保证满载和空载时不 致翻倒，平衡块Q=？ ②当 Q=180kN时，求满载时轨道A、B 给起重机轮子的反力？
建筑力学电子教案
第四精章品文平档面力系的简化与平衡方程
求：A、B的支反力。
解：研究AB梁
由 X 0 ,X A 0
mA(F)0;
RBaqaa2mP2a0
解得：
Y0 YAR Bq a P 0
R B q 2 m a a 2 P 2 2 0 0 .8 0 1 .8 2 6 2 1 0 ( k 2 )N Y A P q R B a 2 2 0 0 . 8 0 1 2 2 ( k 4 )N
简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ R ≠ 0,MO ≠0,为最任意的情况。
建筑力学电子教案
第四章精品平文面档力系的简化与平衡方程
§4–3 平面任意力系 的平衡条件、平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件为：力系的主矢 R '和主矩 MO 都等于零，即： R '( X )2 ( Y )20
MOmO(Fi)0
（移动效应）
第四章—平面任意力系的简化和平衡方程

第四章—平面任意力系的简化和平衡方程


4.1 平面任意力系向一点简化· 主矢与主矩
平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系 的主矢。主矢与简化中心的位置无关。
FR x + FR y Fx i Fy j FR
2 2 FR ( Fx ) ( Fy )
Fx , i) cos( FR FR Fy , j) cos( FR FR
例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
A
例1
a
b
P
Fx 0 : FAx qb 0
Fy 0 : FAy P 0
M A (F ) 0 :
MA
q
P FAx
A FAy
1 2 M A Pa qb 0 2
解之得：
q
FAx qb
FAy P
平面力偶系的合成结果为
M O M 1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fi )
平面汇交力系力，FR′ 平面力 偶 系力偶，MO
(主矢，作用在简化中心) (主矩，作用在该平面上)
4 平面任意力系
各力的作用线在同一平面内呈任意分布，即 各力的作用线在同一平面内既不汇交于同一点， 又不全部相互平行的力系称为平面任意力系。 工程中经常遇到平面任意力系的问题，或可 以简化为平面任意力系的问题。 本章采用解析法研究平面任意力系向一点的 简化和平衡问题，并以研究平衡问题为重点，尤 其是刚体系统的平衡问题。
4.4 平面平行力系的平衡方程
力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面 平行力系。 F3 F y n 平面平行力系作为平面任意力系 F 1 的特殊情况，当它平衡时，也应满足 平面任意力系的平衡方程，选如图的 F2 坐标，则∑Fx＝0自然满足。于是平面 O x 平行力系的平衡方程为：
【2019年整理】第四章平面力系的简化与平衡方程

【2019年整理】第四章平面力系的简化与平衡方程

工程力学（上）网上辅导（4）第四章 平面力系的简化与平衡方程一、本章知识点：1．平面任意力系简化2．平面任意力系的平衡3．物体系的平衡问题4．考虑摩擦的平衡二、重点内容介绍：（一）平面任意力系的简化1． 平面任意力系力系中各力的作用线都在同一平面内，且任意地分布，这样的力系称为平面任意力系。

如教材图4－1，荷载（力、力偶）、反力既不全部平行，也不交于一点；有两种特殊情况：平面平行力系：各力全部平行；平面汇交力系：各力全部汇交一点。

2．平面任意力系向一点的简化主矢 ∑==n i i F R 1' 主矩 ∑==n i i o o F M M 1)( 这一点称为简化中心。

主矢等于力系中各力的矢量和；力偶的矩等于力系中各力对简化中心的矩的代数和。

平面任意力系向平面内任选的简化中心简化。

简化结果：（1）等效于一个力和一个力偶的共同作用，既非一个合力也非一个力偶；（2）主矢与简化中心位置无关，即对于任一点主矢都等于原力系各力的矢量和，确定其大小和方向；（3）主矩一般与简化中心的位置有关3．力系简化的方法：（1）将复杂的平面力系用力向一点平移的方法分解为平面汇交力系和平面力偶系；（2）分别按两种力系的合成方法简化得到主矢'R 与主矩O M 。

4．主矢的计算∑==n i i x X R 1' ∑==n i i y Y R 1' 主矢可以用代数方法，由X ，Y 轴的投影合成。

将复杂的问题分解为简单的几个问题，分别进行分析，再合成，这是解决复杂问题的有效方法教材例题4－1：在边长为m a 1=的正方形的四个顶点上，作用有1F 、2F 、3F 、4F 等四个力，如图。

已知kN F 401=、kN F 602=、kN F 603=、kN F 804=。

试求该力系向A 点简化的结果。

分析：原题直接向A 点简化，我们用不同的方法简化，同学们可体会主矢与主矩的特性。

力系先向B 点简化，得到主矢与B M ，再向A 点平移主矢，可以与书中结果比较。

第四章力系简化及平衡方程

第四章力系简化及平衡方程

总结平面一般力系的最后简化结果，当 么平衡，要么是一个力偶；当
F 0 时，原力系要
' R
FR' 0
时，不论主矩是否为零
，原力系合成结果都是一个力。平面一般力系的最后简化结果 与简化中心的位置无关，因为最后简化结果为：要么是平衡、 要么是一个力偶、要么是一个力，三者必居其一。这三种结果 与简化中心的位置都无关
个合力。如下图所示
7
合力
的转向与 M 0的转向一致原则来确定。
FR 的作用线应在O点哪一侧，须根据力FR
对O点的矩
8
合力矩定理：由于主矩 而合力对O点的矩
n i 1
R M O mO ( F i)
i 1
n
mO (FR ) FR d M O (主矩)
M O ( FR ) mO ( Fi ) ———合力矩定理
F F
x y
0 0
利用几何法求解平面汇交力系的平衡 问题时，画出自行封闭的力多边形 ， 然后按比例尺从力多边形中直接量出 未知力的大小即可。
24
[例] 求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h
解：1）研究块,受力如图，
由力三角形：
F FN cos
R2 (R h)2 1 cos h(2R h) R R
M 0 m0 ( FR ) m0 ( FRx ) m0 ( FRy ) 0 FRy x M0 2355 解得x ( )m 3.5m FRy 670
15
§ 4-2 平面一般力系的平衡方程及其应用
平面一般力系平衡的必要和充分条件：力系的主矢和力 系对于任一点的矩都等于零，即 '
主矢FR ' F1 F2 F3 Fi
建筑力学D04平面力系的简化和平衡方程

建筑力学D04平面力系的简化和平衡方程


×
§４-２ 平面力系向一点简化结果的讨论 ２
1.当 FR = 0，M O ≠ 0 时:
简化结果为合力偶。这个合力偶与原力系等效。力 偶矩矢量与矩心位置无关。所以，此时主矩矢量与 简化中心无关。
′
2.当 FR′ ≠ 0，MO = 0 时:
简化结果为合力。这个合力与原力系等效。这个 合力作用线过简化中心。
3.当 FR′ ≠ 0，M O ≠ 0 时
×
将 M O 用构成力偶的二力 F , F ″ 代替, 二力在垂直于M O R R 平面内，使得： F = F′′ = F′ ″ M O = M ( FR , FR ) = M O ( FR ) R R R 由加减平衡力系公理，可去掉
′ ″ F R , F R。
n
i =1
Mo = ∑ M i = ∑ M o ( Fi )
i =1 i =1
×
从上面分析可知道: (1) 解决力系的平衡问题，应知道所研究对象是哪一种 力系; (2) 该力系有几个平衡方程，可解几个未知数; (3) 对于单刚体，未知数数量等于能列得的独立方程的 个数。 (4)刚体系要考虑总的未知数个数和能列得的独立平衡 方程的个数相等。
FAx
A
C
P
E
FE
x
∑M
A
(F ) = 0
3m 3m 3m MA FAy M A + FE ⋅ sin 45° ⋅ 9 + FE ⋅ cos 45° ⋅ 3 − F ⋅ 6 − P ⋅ (3 + 1.5 + 1) − q ⋅ 6 ⋅ 3 = 0
M A = 23 KNm
∑F ∑F
y
x
=0 =0
FAx = −5 KN
第4章平面力系的简化和平衡方程

第4章平面力系的简化和平衡方程


§4-3 平面任意力系的平衡条件 平衡方程
如果平面任意力系向任一点简化后的主矢和主矩都等于 零，表明简化后的汇交力系和附加力偶系都自成平衡，则原 力系必为平衡力系。所以，主矢和主矩都等于零是平面任意 力系平衡的充分条件。反之，如果主矢和主矩中有一个量不 为零，则原力系可合成为一个合力或一个力偶；如果主矢和 主矩都不为零，则原力系可进一步合成为一个合力。这种情 况下，力系不平衡，所以，主矢和主矩都等于零又是力系平 衡的必要条件。
平面任意力系平衡的充要条件是:力系的主 矢和力系对任一点的主矩都等于零。即： FR 0 MO 0
§4-3 平面任意力系的平衡条件 平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件：
即：
所以：
R ( X ) ( Y ) 0
2 2
主矢 R 0，主矩 LO 0
LO mO ( Fi ) 0
§4-2
平面任意力系简化结果的讨论
Rx 25.59 arccos arccos 52 .48 0 R 42.01 R' 25kN 20kN MA d 60o B A
1m 1m 1m
30o 18kN
R
求力系的主矩 MA = 1×25 + 2 × 20sin60o - 3 × 18sin30o = 32.64 kN· m M A 32.64 d 0.777 m R 42.01
§4-4 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系：各力的作用线相互平行的平面力系 。 平面平行力系的平衡方程
y 若取y轴与诸力作用线平行，必恒有
X 0
Y 0 mo ( F ) 0
x
或
m A ( F ) 0 mB ( F ) 0
第四章 平面力系的简化与平衡方程

第四章 平面力系的简化与平衡方程


由：
M
D
0
得： 2lFC 1.5lF 0.5lW 0
FC 0.5W
（2）考虑AB杆分离体平衡： 由：
F 0 F 0 M 0
x y A
得： F F F 0 B Ax FAy 0
M A 2lFB 1.5lF 0 FAx 0.5W FAy 0 M A 0.5lW
FAx F , FAy 2F , M A 2.5Fa
3、平衡方程的其它形式
（1）二矩式：
M ( F ) 0 A i i 1 n M ( F ) 0 (4 10) B i i 1 n Fxi 0 i 1 •矩心A和B两点的连线不能与x垂直。 （1）三矩式： n M A ( Fi ) 0 i 1 n M B ( Fi ) 0 (4 11) i 1 n M C ( Fi ) 0 i 1 •矩心A、B和C三点不共线。
a 3a FAy a FR1 FR 2 0 2 2
n
[例4-5] 十字交叉梁用三个链杆支座固定，如图所示。求在水 平力F的作用下各支座的约束力。 解： 1)取分离体，作受力图。 2) 列平衡方程，求未知力。 取坐标如图： （1）用二矩式平衡方程求解： 由： M L 0 M 0 B F 0 y 得： 2aF 2aFA cos 30 aFA sin 30 0 Fa FC a 2aFA cos 30 0 FB FA cos 30 0 FA 1.62F FB 1.40F FC 1.81F
2 2 FRx FR FRy 98.05 N

第4章平面力系的简化与平衡方程


4.3 平面任意力系的平衡条件· 平衡方程
4.3平面任意力系的平衡条件 平衡方程▲▲
对于平面一般力系，平衡条件为： R0 =M0= 0
第4章平面力系的简化与平衡方程
4.3 平面任意力系的平衡条件· 平衡方程
对于平面一般力系，平衡方程为：
O z
y
x
S Fx = 0, S Fy = 0, S MO= 0
C FQ
e
y
FT
第4章平面力系的简化与平衡方程
h
x
4.2 平面任意力系简化结果的讨论
解：1．向C点简化结果
FT
FCx FT FT 0; FCy FQ FC FCy FQ FCx cos 0 FC cos FCy FC 1
FQ C MC C FT
e
y
解得：主矢与x、y轴正向夹角为
第4章平面力系的简化与平衡方程
4.1 平面任意力系向一点的简化
注意事项
1 主矢R0一般不与原力系等效，不是原力 系的合力； 2 主矢与简化中心的位置无关； 3 主矩与简化中心的位置有关。
第4章平面力系的简化与平衡方程
4.2 平面任意力系简化结果的讨论
4.2 平面任意力系简化结果的讨论
1.R0 = 0, M0 ≠0
第4章平面力系的简化与平衡方程
a
q
4.4 物体系统的平衡问题
F
C C
FCx q
A
' FCx ' FCy
FCy
FBx FBy
FAx FAy
（2）取BC构件为分离体，受力图如上，列平衡方程如下：
1 M C F 0, 2 Fa FBy a FBx a 0 带入 FBy 的值，解得：

建筑力学 第四章 平面一般力系

分析方法：
整体 求解刚体系统的平衡问题，主要依据前 面给出的平衡理论。 局部
先以系统整体为研究对象，列出平衡方程，这样的方 程中不包含内力，未知量较少，解出部分未知量后，再选 择合适的单个物体为研究对象，列出平衡方程，直到求出 所有的未知量为止。 以系统的每一个物体为研究对象，列出全部的平衡方程， 然后求解。
b
qm
A x C dx B
1 qm l 2
2l / 3
l
l
合力作用点C的位置
l
qm 1 2 2 x dx R AC qxdx q l m l 0 3 0
2 AC l 3
例题4-1 在水平梁AB上作用一力偶矩为m 的力偶,在 梁的中点C处作用一集中力P它与水平的夹角为, 如 图所示。梁长为 l 且自重不计。求支座A和 B的反力
F/R
MA A

X 1m
25kN
20kN
60o
C
1m
B
30o
1m
x
18kN
FR
4、求合力的作用线位置
M A 32.64 x 0.98m = AC FRy 33.32
所以简化的最终结果为一个合力FR 。
§ 4-4 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
一、平面一般力系的平衡条件 平面一般力系平衡的必要和充分条件是: 力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零。
• 平面平行力系有2个独立的平衡方程，可以 求解2个未知数。
Y 0 M A ( F ) 0 AB连线不能平行 或 于各力作用线。 M ( F ) 0 o M B ( F ) 0
•
平面汇交力系的平衡方程
各力汇交于一点 A ， M A (Fi ) 0 自然 满足。则平面汇交力系平衡方程为

平面力系的简化与平衡方程


q
l
q
A
B
1.5 l
解:
FAx
A
B
FAy
FBy
(1)研究整体，取分离体，作受力图。
q
l
q
A
B
解:
1.5 l
FAx
A
B
FAy
FBy
(2)列平衡方程，求解未知力。（q如何处理？）
X 0 Y 0 M A 0
ql FAx 0
FBy FAy 0
1.5lFBy 0.5lql 0
0
一矩式平衡方程
X 0 Y 0 M A 0
FAx FCB cos 30 0
FAy FCB sin 30 F 0
FCB
l
sin 30

F

l 2

0
4-4 平面平行力系的 平衡方程
• 平面平行力系：
• 力系中各力的作用线在同一平面内且相 互平行。
M AF 0,
WD

a
W

l 2
WE

l

b

F
cos

c

F
sin


l

0
3.联立求解。
y
F = 12 456 N FAx= 11 290 N
FAy
A
FAx D
F
α CE
B x
FAy= 4 936 N
WD W
WE
F
c
C
A
α
B
WD WE
a
b
l
解题步骤一
解： F

建筑力学(第四章)


Da a
Fx 0 :
FAx FCcon45 0
FAx FCcon45
2F
2 2

F
FAx
A
M0=Fa
C
FAy FC
B F
Fy 0 : FAy FC sin 45 F 0
FAy FC sin 45 F
2F
2 2

F
第二节 平面一般力系向作用面内任一点简化
简化中心 F1
OA
F3 C
B
F2 =
m1F'1′ F′3 O
m2
F'2′ =
m3
M0 O

FR
主矢（FR’ ）：将平面汇交力系 （F1’、F2’、 F3’ ）合成， 可得一合力FR’，这个力称为原力系的主矢。通过0点。
大小:
FR ( Fx)2 ( Fy)2 ( Fx )2 ( Fy )2

0
aa
负号说明约束反力FAX的实际方向与图中
假定方向相反。
应用举例
例4-4：求图示梁支座的
y
F
F
约束反力。已知 ：
Fy
F 2kN a 2m A
解:取梁为研究对象。
Fx
受力图如图示。建立坐标
a
a
FB
Bx
a
系，列平衡方程：
Fx 0 Fy 0


M
O
(
F
)

0

(2) 主矢、主矩均不为零 FR≠0 Ｍ0≠0 根据力的平移定理的逆过程可知，主矢FR和主矩ＭO也可
以合成为一个 合力FR。

平面力系的简化与平衡方程


i 1
n
M B (Fi ) 0
i 1
(4 10)
n
Fxi 0
i 1
•矩心A和B两点的连线不能与x垂直。
（1）三矩式：n来自MA(
Fi
)
0
i 1
n
M B (Fi ) 0
i 1
(4 11)
n
MC (Fi ) 0
i 1
•矩心A、B和C三点不共线。
[例4-5] 十字交叉梁用三个链杆支座固定，如图所示。求在水
n
Fxi
2
n
Fyi
2
i1 i1
cos
FRx FR
co s
FRy FR
(4 3) (4 4) (4 5)
2、主矢和主矩的性质
（1）主矢一般不是原力系的合力；主矩一般不是原力系的合力偶 矩。 （2）主矢与简化中心的位置无关。
（3）主矩一般与简化中心的位置有关。
[例4-1]在边长为a=1m的正方形的四个顶点上，作用有F1、F2、 F3、F4等四个力。已知F1=40N、F2=60N、F3=60N、F4=80N。试求 该力系向点A简化的结果。
（1）力系可简化为一个合力。
（2）力系可简化为一个合力偶。
（3）力系是一平衡力系。
§4-3 平面任意力系的平衡条件•平衡方程
一、平面任意力系的平衡条件
MFRO00
(4 8)
二、平衡方程
1、平面任意力系的平衡方程
FR 0 等价于：FRx 0 和 FRy 0
n
MO 0 等价于： MO (Fi ) 0
解：1)取分离体，作受力图。
2)列平衡方程，求未知力。 取坐标如图：
由：
Fx Fy
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实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即 X0恒成立 ， 所以只有两个独立方程，只能 求解两个独立的未知数。
mB(Fi)0
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
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第四章 平面力系的简化与平衡方程
§4–5 物体系的平衡问题
刚体系：由若干个刚体通过约束所组成的系统。
刚化原理：变形体在已知力系的作用下处于平衡，若将变形
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第四章 平面力系的简化与平衡方程
[例3]
已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如 图。求：①保证满载和空载时不 致翻倒，平衡块Q=？ ②当 Q=180kN时，求满载时轨道A、B 给起重机轮子的反力？
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第四章 平面力系的简化与平衡方程
解：研究AB梁
由 X 0 ,X A 0
mA(F)0;
解得：
RBaqaa2mP2a0
Y0 YAR Bq a P 0
R B q 2 m a a 2 P 2 2 0 0 .8 0 1 .8 2 6 2 1 0 ( k 2 )N Y A P q R B a 2 2 0 0 . 8 0 1 2 2 ( k 4 )N
解：①选AB梁研究
②画受力图（以后注明
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构 的原图上）
解除约束
由 m A(F i)0 P 2aN B3a0, N B2 3 P
X0 XA0
Y0 YBNBP0, YAP 3
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第四章 平面力系的简化与平衡方程
[例2] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。
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第四章 平面力系的简化与平衡方程
§4–2 平面任意力系 简化结果的讨论
① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。
② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平 面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
解：⑴ ①首先考虑满载时，起
重机不向右翻倒的最小Q为：
mB(F)0
Q ( 6 2 ) P 2 W ( 1 2 ) 2 N A ( 2 2 ) 0
限制条件： NA0
解得 Q75kN
②空载时，W=0 由 mA(F)0 Q (6 2 ) P 2 N B (2 2 ) 0
限制条件为：NB 0 解得 Q350kN
大小：R 'R 'x 2 R 'y 2( X )2 ( Y )2
主矢 R 方向： tg1 Ry tg1 Y
（移动效应）
Rx X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
大小： MOmO(Fi)
主矩MO 方向： 方向规定 +
—
（转动效应） 简化中心： (与简化中心有关)
（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
后的变形体换成刚体（刚化），则平衡状态不变。
[例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。 解刚体系问题的一般方法：
由整体
局部（常用），由局部
整体（用较少）
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第四章 平面力系的简化与平衡方程
[例1] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？
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建筑力学
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第四章 平面力系的简化与平衡方程
任意力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系
（未知力系）
（已知力系）
汇交力系
力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心)
力偶系
力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
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第四章 平面力系的简化与平衡方程
Q P W N AN B0
解得：
N A 210kN, NB 870kN
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第四章 平面力系的简化与平衡方程
[例4] 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平时，冲压力为P 时，求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？
④冲头给导轨的侧压力？
解：研究B
由 X0
NSBsin0
Y0
P S B co 0 s
③ R ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, R。R（ 此时与
简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ R ≠ 0,MO ≠0,为最任意的情况。
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第四章 平面力系的简化与平衡方程
§4–3 平面任意力系 的平衡条件、平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件为：力系的主矢 R '和主矩 MO 都等于零，即： R '( X )2 ( Y )20
因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系：
7k5N Q35k0N
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第四章 平面力系的简化与平衡方程
⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA ,NB为多少 由平面平行力系的平衡方程可得：
mA(F)0
Fi 0,
Q (6 2 ) P 2 W (1 2 ) 2 N B 4 0
SBcP os, NPg t
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第四章 平面力系的简化与平衡方程
再研究轮
mO(F)0
SAco R sM 0
X0
XOSAsin0
Y0
SAco sYO0
MPRXOPtg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
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第四章 平面力系的简化与平衡方程
§4–6 考虑摩擦的平衡问题
前面的学习，我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略 了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般 情况下都存在有摩擦。
MOmO(Fi)0
①一矩式
X0
Y0
②二矩式
③三矩式
X0
mA(Fi)0
mA(Fi)0 mB(Fi)0
mO(Fi)0 mB(Fi)0
条件：x 轴不AB连线
mC(Fi)0
条件：A,B,C不在 同一直线上
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第四章 平面力系的简化与平衡方程
§4–4 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
设有F1, F2 … Fn 各平行力系， 向O点简化得：
主R 矢 R' F O
主 M O 矩 m O (F i) F ix i
平衡的充要条件为
主矢 R ' =0
主矩MO =0
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第四章 平面力系的简化与平衡方程
所以 平面平行力系的平衡方程为：
Y0
mO(Fi)0
一矩式
mA(Fi)0 二矩式