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第一章测量误差及数据处理物理实验的任务不仅是定性地观察各种自然现象，更重要的是定量地测量相关物理量。
而对事物定量地描述又离不开数学方法和进行实验数据的处理。
因此，误差分析和数据处理是物理实验课的基础。
本章将从测量及误差的定义开始，逐步介绍有关误差和实验数据处理的方法和基本知识。
误差理论及数据处理是一切实验结果中不可缺少的内容，是不可分割的两部分。
误差理论是一门独立的学科。
随着科学技术事业的发展，近年来误差理论基本的概念和处理方法也有很大发展。
误差理论以数理统计和概率论为其数学基础，研究误差性质、规律及如何消除误差。
实验中的误差分析，其目的是对实验结果做出评定，最大限度的减小实验误差，或指出减小实验误差的方向，提高测量质量，提高测量结果的可信赖程度。
对低年级大学生，这部分内容难度较大，本课程尽限于介绍误差分析的初步知识，着重点放在几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法，不进行严密的数学论证，减小学生学习的难度，有利于学好物理实验这门基础课程。
第一节测量与误差物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。
因此就需要进行定量的测量，以取得物理量数据的表征。
对物理量进行测量，是物理实验中极其重要的一个组成部分。
对某些物理量的大小进行测定，实验上就是将此物理量与规定的作为标准单位的同类量或可借以导出的异类物理量进行比较，得出结论，这个比较的过程就叫做测量。
例如，物体的质量可通过与规定用千克作为标准单位的标准砝码进行比较而得出测量结果；物体运动速度的测定则必须通过与二个不同的物理量，即长度和时间的标准单位进行比较而获得。
比较的结果记录下来就叫做实验数据。
测量得到的实验数据应包含测量值的大小和单位，二者是缺一不可的。
国际上规定了七个物理量的单位为基本单位。
其它物理量的单位则是由以上基本单位按一定的计算关系式导出的。
因此，除基本单位之外的其余单位均称它们为导出单位。
如以上提到的速度以及经常遇到的力、电压、电阻等物理量的单位都是导出单位。
误差分析与数据处理基础知识 不确定度 小结一．误差分类系统误差 偶然误差（随机误差） 粗差（过失误差）系统误差可以消除；粗差应该剔除； 偶然误差永远存在，不可避免。
因此，误差分析与数据处理基础知识，主要针对偶然误差分析。
二．多次等精度测量的主要内容对物理量x 进行多次等精度测量，得到一个测量列：),,,(n i x x x x 21； 近真值为算术平均值：nx x n i i /∑==1 测量列的标准偏差（简称标准差）为：∑=--=n i i x x x n 12)(11σ； 近真值即算术平均值的标准差为：n xx σσ=；测量的统计结果表达形式为：⎪⎩⎪⎨⎧⨯==±=%).()(1006830x E P x x x x x σσ单位意义：真值落在)(x x σ-到)(x x σ+的概率为68.3％。
这种结果形式中，置信概率P =0.683可以省略三．间接测量的主要内容1．误差传递公式如果),,( C B A f N =，则+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆C C f B B f A A f N两个结论：① 和与差的绝对偏差，等于各直接测量量的绝对偏差之和。
② 积与商的相对偏差，等于各直接测量量的相对偏差之和。
2. 标准误差传递公式+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2222B A NB f A f σσσ 两个结论：① 和与差的绝对偏差等于各直接测量量的绝对偏差的“方和根”。
② 积与商的相对偏差等于各直接测量量的相对偏差的“方和根”。
四．测量不确定度评定与表示的主要内容1．A 类不确定度x A x u σ=)(∑=--=n i i xx x n n n 12)()1(1σ2．B 类不确定度 k x u B ∆=)(； 式中∆为仪器误差。
通常仪器误差服从的规律可简单认为服从均匀分布，这种情况下常数k 取3。
即误差均匀分布的B 类不确定度3∆=)(x u B 3．总不确定度（即合成不确定度）)()()(22x u x u x u B A C += 注意：通常先将各来源的标准不确定度划归入A 类评定和B 类评定，再计算总不确定度。
误差及数据处理物理实验离不开测量，数据测完后不进行处理，就难以判断实验效果，所以实验数据处理是物理实验非常重要的环节。
这节课我们学习误差及数据处理的知识。
数据处理及误差分析的内容很多，不可能在一两次学习中就完全掌握，因此希望大家首先对其基本内容做初步了解，然后在具体实验中通过实际运用加以掌握。
一、测量与误差1. 测量概念：将待测量与被选作为标准单位的物理量进行比较，其倍数即为物理量的测量值。
测量值：数值+单位。
分类：按方法可分为直接测量和间接测量；按条件可分为等精度测量和非等精度测量。
直接测量：可以用量具或仪表直接读出测量值的测量，如测量长度、时间等。
间接测量：利用直接测量的物理量与待测量之间的已知函数关系，通过计算而得到待测量的结果。
例如，要测量长方体的体积，可先直接测出长方体的长、宽和高的值，然后通过计算得出长方体的体积。
等精度测量：是指在测量条件完全相同（即同一观察者、同一仪器、同一方法和同一环境）情况下的重复测量。
非等精度测量：在测量条件不同（如观察者不同、或仪器改变、或方法改变，或环境变化）的情况下对同一物理量的重复测量。
2.误差真值A：我们把待测物理量的客观真实数值称为真值。
一般来说，真值仅是一个理想的概念。
实际测量中，一般只能根据测量值确定测量的最佳值，通常取多次重复测量的平均值作为最佳值。
误差ε：测量值与真值之间的差异。
误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示。
绝对误差＝测量值－真值，反应了测量值偏离真值的大小和方向。
为了全面评价测量的优劣, 还需考虑被测量本身的大小。
绝对误差有时不能完全体现测量的优劣, 常用“相对误差”来表征测量优劣。
相对误差＝绝对误差/测量的最佳值×100%分类：误差产生的原因是多方面的，根据误差的来源和性质的不同，可将其分为系统误差和随机误差两类。
（1）系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，误差的大小和符号保持恒定，或按规律变化，这类误差称为系统误差。
误差与数据处理知识一、误差1、量：描述现象、物体或物质的特性、其大小可用一个数和一个参照对象表示。
由定义可知，量是由一个纯数据和一个计量单位组成。
量可指一般概念的量或特定量。
其符号用斜体表示，一般概念的量如：长度l、质量m。
特定量如：长度为2m、质量为0.5g。
2、真值：与量的定义一致的量值。
如按照计量单位定义复现出来的量值为真值。
量的真值只能通过完善的测量才能获得，所以真值是无法测量到的，随着测量准确度的逐步提高，只能越来越接近真值。
但在实际应用时还需要使用真值，为此，人们常常将高等级的计量标准复现的量值作为下一级测量的约定真值；将有证标准物质的量值作为检测结果的约定真值。
3、被测量：拟测量的量。
为保证特定条件下的被测量值是单一的，应根据所需要的准确度及特定条件予以完整定义，如：1m长的铁棒需要测至微米级准确度，就必须说明所给定的温度和压力等，但要测到毫米级准确度就不需给定温度、压力和其他影响的值。
4、影响量：在直接测量中不影响实际被测的量、但会影响示值与测量结果之间关系的量。
原定义：不是被测量但对测量结果有影响的量。
如：a）测量某物体长度时测微计的温度（不包括物体本身的温度，因为物体的温度可以进入被测量的定义中）；b）测量交流电压时的频率；科学是从测量开始的，对自然界所发生的量变现象的研究，常常需要借助于各式各样的试验与测量来完成。
由于认识能力的不足和科学水平的限制，试验中测得的值和它的客观真值并不一致，这种矛盾在数值上的表现即为误差。
误差公理:测量结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实验和测量的过程之中。
由于我们的工作就是测量，所以就应该了解有关误差的知识。
5、测量误差：测得的量值减去参考量值。
根据定义误差表示两个量的差值，所以误差为带有正号或负号的量值，与测量结果一样的计量单位。
表示测量结果对真值的偏离量，以真值为参照点。
是一个确定的量值，所以误差值不能带有±号。
常用“Δ”或“δ”表示。
第一章 测量误差及数据处理的基本知识 物理实验离不开对物理量的测量。
由于测量仪器、测量方法、测量条件、测量人员等因素的限制，测量结果不可能绝对准确。
所以需要对测量结果的可靠性做出评价，对其误差范围作出估计，并能正确地表达实验结果。
本章主要介绍误差和不确定度的基本概念，测量结果不确定度的计算，实验数据处理和实验结果表达等方面的基本知识。
这些知识不仅在每个实验中都要用到，而且是今后从事科学实验工作所必须了解和掌握的。
1.1 测量与误差
1.1.1测量
物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。
因此就需要进行定量的测量。
测量就是借助仪器用某一计量单位把待测量的大小表示出来。
根据获得测量结果方法的不同，测量可分为直接测量和间接测量：由仪器或量具可以直接读出测量值的测量称为直接测量。
如用米尺测量长度，用天平称质量；另一类需依据待测量和某几个直接测量值的函数关系通过数学运算获得测量结果，这种测量称为间接测量。
如用伏安法测电阻，已知电阻两端的电压和流过电阻的电流，依据欧姆定律求出待测电阻的大小。
一个物理量能否直接测量不是绝对的。
随着科学技术的发展，测量仪器的改进，很多原来只能间接测量的量，现在可以直接测量了。
比如车速的测量，可以直接用测速仪进行直接测量。
物理量的测量，大多数是间接测量，但直接测量是一切测量的基础。
一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。
这个重要参数却往往容易为人们所忽视。
设想如果得到一个测量结果的可靠性几乎为零，那么这种测量结果还有什么价值呢？因此，从表征被测量这个意义上来说，对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同等的重要意义，三者是缺一不可的。
1.1.2 误差
绝对误差 在一定条件下，某一物理量所具有的客观大小称为真值。
测量的目的就是力图得到真值。
但由于受测量方法、测量仪器、测量条件以及观测者水平等多种因素的限制，测量结果与真值之间总有一定的差异，即总存在测量误差。
设测量值为N ，相应的真值为N 0，测量值与真值之差ΔN
ΔN ＝N －N 0
称为测量误差，又称为绝对误差，简称误差。
误差存在于一切测量之中，测量与误差形影不离，分析测量过程中产生的误差，将影响降低到最低程度，并对测量结果中未能消除的误差做出估计，是实验测量中不可缺少的一项重要工作。
相对误差 绝对误差与真值之比的百分数叫做相对误差。
用Ｅ表示：
%1000
⨯∆=N N E 由于真值无法知道，所以计算相对误差时常用Ｎ代替0N 。
在这种情况下，Ｎ可能是公认
值，或高一级精密仪器的测量值，或测量值的平均值。
相对误差用来表示测量的相对精确度，相对误差用百分数表示，保留两位有效数字。
1.1.3 误差的分类
根据误差的性质和产生的原因，误差可分为三类：系统误差、随机误差和粗大误差。
1. 系统误差 是指在同一条件（指方法、仪器、环境、人员）下多次测量同一物理量时，结果总是向一个方向偏离，其数值一定或按一定规律变化。
系统误差的特征是具有一定的规律性。
系统误差的来源具有以下几个方面：
（1）仪器误差 它是由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的误差。
如螺旋测径器的零点不准，天平不等臂等。
（2）理论误差 它是由于测量所依据的理论公式本身的近似性，或实验条件不能达到理论公式所规定的要求，或测量方法不当等所引起的误差。
如实验中忽略了摩擦、散热、电表的内阻、单摆的周期公式g
l T π2=的成立条件等。
（3）个人误差 它是由于观测者本人生理或心理特点造成的误差。
如有人用秒表测时间时，总是使之过快。
（4）环境误差 是外界环境性质（如光照、温度、湿度、电磁场等）的影响而差生的误差。
如环境温度升高或降低，使测量值按一定规律变化。
产生系统误差的原因通常是可以被发现的，原则上可以通过修正、改进加以排除或减小。
分析、排除和修正系统误差要求测量者有丰富的实践经验。
这方面的知识和技能在我们以后的实验中会逐步地学习，并要很好地掌握。
2. 随机误差 在相同测量条件下，多次测量同一物理量时，误差的绝对值符号的变化，时大时小、时正时负，以不可预定方式变化着的误差称为随机误差，有时也叫偶然误差。
引起随机误差的原因也很多，与仪器精密度和观察者感官灵敏度有关。
如无规则的温度变化，气压的起伏，电磁场的干扰，电源电压的波动等，引起测量值的变化。
这些因素不可控制又无法预测和消除。
当测量次数很多时，随机误差就显示出明显的规律性。
实践和理论都已证明，随机误差服从一定的统计规律（正态分布），其特点表现为：
① 单峰性 绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大；
② 对称性 绝对值相等的正负误差出现的概率相同；
③ 有界性 绝对值很大的误差出现的概率趋于零；
④ 抵偿性 误差的算术平均值随着测量次数的增加而趋于零。
因此，增加测量次数可以减小随机误差，但不能完全消除。
3. 粗大误差 由于测量者过失，如实验方法不合理，用错仪器，操作不当，读错数值或记错数据等引起的误差，是一种人为的过失误差，不属于测量误差，只要测量者采用严肃认真的态度，过失误差是可以避免的。
在数据处理中要把含有粗大误差的异常数据加以剔除。
剔除的准则一般为3σ准则或肖维勒准则。
1.1.4 测量的精密度、准确度和精确度
测量的精密度、准确度和精确度都是评价测量结果的术语，但目前使用时其涵义并不尽一致，以下介绍较为普遍采用的说法。
精密度表示的是在同样测量条件下，对同一物理量进行多次测量，所得结果彼此间相互接近的程度，即测量结果的重复性、测量数据的弥散程度，因而测量精密度是测量偶然误差的反映。
测量精密度高，偶然误差小，但系统误差的大小不明确。
准确度表示的是测量结果与真值接近的程度，因而它是系统误差的反映。
测量准确度高，则测量数据的算术平均值偏离真值较小，测量的系统误差小，但数据较分散，偶然误差的大小不确定。
精确度表示的则是对测量的偶然误差及系统误差的综合评定。
精确度高，测量数据较集中在真值附近，测量的偶然误差及系统误差都比较小。
1.1.5随机误差的估计
对某一物理量进行多次重复测量时，其测量结果服从一定的统计规律，也就是正态分布（或高斯分布）。
我们用描述高斯分布的两个参量（x 和σ）来估计随机误差。
设在一组测量值中，n 次测量的值分别为：n x x x ,,21
1．算术平均值
根据最小二乘法原理证明，多次测量的算术平均值
∑==n i i x n x 1
1 （1—1） 是待测量真值0x 的最佳估计值。
称x 为近似真实值，以后我们将用x 来表示多次测量的近似真实值。
2．标准偏差
根据随机误差的高斯理论可以证明，在有限次测量情况下，单次测量值的标准偏差为：
()11
2-∑=-==n n i x
i x x x S σ （贝塞尔公式） （1—2）
通常称x x v i i -=为偏差，或残差。
x s 表示测量列的标准偏差，它表征对同一被测量在同一条件下作n 次（在大学物理实验中，通常取105≤≤n ）有限测量时，其结果的分散程度。
其相应的置信概率)(x s p 接近于58.3%。
其意义是n 次测量中任一次测量值的误差（或偏差）落在（x σ±）区间的可能性约为68.3%，也就是真值落在（x x x x σσ+-,）范围的概率为68.3%。
标准偏差x σ小表示测量值密集，即测量的精密度高；标准偏差x σ大表示测量值分散，即测量的精密度低。
3. 算术平均值的标准偏差
当测量次数n 有限，其算术平均值的标准偏差为
()()112--=∑=n n x x n n i i x
σσ （1—3）
其意义是测量平均值的随机误差在x x σσ+-~之间的概率为68.3%。
或者说，待测量的真
值在()()
x x x x σσ+-~范围内的概率为68.3％。
因此x σ反映了平均值接近真值的程度。
1.1.6 异常数据的剔除
剔除测量列中异常数据的标准有几种，有3x σ准则、肖维准则、格拉布斯准则等。
1．3x σ准则
统计理论表明，测量值的偏差超过3x σ的概率已小于1％。
因此，可以认为偏差超过3x σ的测量值是其他因素或过失造成的，为异常数据，应当剔除。
剔除的方法是将多次测量所得的一系列数据，算出各测量值的偏差i x ∆ 和标准偏差x σ，把其中最大的j x ∆与3x σ比较，若j x ∆＞3x σ，则认为第j 个测量值是异常数据，舍去不计。
剔除j x 后，对余下的各测量值重新计算偏差和标准偏差，并继续审查，直到各个偏差均小于3x σ为止。
2．肖维准则
假定对一物理量重复测量了n 次，其中某一数据在这n 次测量中出现的几率不到半次，即小于n
21，则可以肯定这个数据的出现是不合理的，应当予以剔除。
根据肖维准则，应用随机误差的统计理论可以证明，在标准误差为σ的测量列中，
若某一个测量值的偏差等于或大于误差的极限值σ
K，则此值应当剔出。
不同测量次数的误差极限值σ
K列于下表。
表1 肖维系数表。
