2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版专题突破练2 函数与方程思想、数形结合思想 Word版含

2020年高考文科数学专题二函数含习题答案函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．§2－1 函数【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．【复习要求】1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．【例题分析】例1 设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．【分析】由已知，在映射f 作用下x 的象为2x ＋x ． 所以，2的象是22＋2＝6；设象20的原象为x ，则x 的象为20，即2x ＋x ＝20．由于x ∈N ，2x ＋x 随着x 的增大而增大，又可以发现24＋4＝20，所以20的原象是4．例2 设函数⎩⎨⎧>++-≤-=,0,22,0,1)(2x x x x x x f 则f (1)＝______；若f (0)＋f (a )＝－2，则a的所有可能值为______．【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则． 所以f (1)＝3．又f (0)＝－1，所以f (a )＝－1， 当a ≤0时，由a －1＝－1得a ＝0；当a ＞0时，由－a 2＋2a ＋2＝－1，即a 2－2a －3＝0得a ＝3或a ＝－1(舍)． 综上，a ＝0或a ＝3．例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( ) (A)22)(,t y x y ==(B)2|,|t y x y ==(C)1,112+=--=x y x x y (D)x x y x y 2,==【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的定义域相同，化简后为y ＝｜x ｜及y ＝｜t ｜，法则也相同，所以选(B)．【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同．一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致．例4 求下列函数的定义域 (1);11--=x y(2);3212-+=x x y(3);)1()3lg(0-+-=x xx y(4);2|2|12---=x x y解：(1)由｜x －1｜－1≥0，得｜x －1｜≥1，所以x －1≥1或x －1≤－1，所以x ≥2或x ≤0．所以，所求函数的定义域为{x ｜x ≥2或x ≤0}． (2)由x 2＋2x －3＞0得，x ＞1或x ＜－3． 所以，所求函数的定义域为{x ｜x ＞1或x ＜－3}．(3)由⎪⎩⎪⎨⎧=/-=/>-,01,0,03x x x 得x ＜3，且x ≠0，x ≠1， 所以，所求函数的定义域为{x |x ＜3，且x ≠0，x ≠1}(4)由⎩⎨⎧=/=/≤≤-⎩⎨⎧=/-≥-⎩⎨⎧≠--≥-,4,0,112|2|01,02|2|0122x x x x x x x 且即，，得，所以－1≤x ≤1，且x ≠0．所以，所求函数定义域为{x ｜－1≤x ≤1，且x ≠0}．例5 已知函数f (x )的定义域为(0，1)，求函数f (x ＋1)及f (x 2)的定义域．【分析】此题的题设条件中未给出函数f (x )的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：①定义域是指x 的取值范围；②受对应法则f 制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的．那么由f (x )的定义域是(0，1)可知法则f 制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f (x ＋1)中，受f 直接制约的是x ＋1，而定义域是指x 的范围，因此通过解不等式0＜x ＋1＜1得－1＜x ＜0，即f (x ＋1)的定义域是(－1，0)．同理可得f (x 2)的定义域为{x ｜－1＜x ＜1，且x ≠0}．例6 如图，用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出定义域．解：根据题意，AB ＝2x ．⋅--==2π2,πxx l AD x 所以，.)2π2(π212π2222lx x x x x l x y ++-=+--=⋅⋅根据问题的实际意义．AD ＞0，x ＞0．解.π20,02π2,0+<<⎪⎩⎪⎨⎧>-->l x xx l x 得所以，所求函数定义域为⋅+<<}π20|{lx x 【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题．(1)给出函数解析式求定义域(如例4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围．正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的．中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：①分式中分母不为零；②偶次方根下被开方数非负；③零次幂的底数要求不为零；④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤y ＝tan x ，则2ππ+≠k x ，k ∈Z ． (2)不给出f (x )的解析式而求定义域(如例5)．其解决办法见例5的分析．(3)在实际问题中求函数的定义域(如例6)．在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制，还应考虑实际问题对自变量的限制．另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的．比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域．例7 (1)已知21)1(x xxf -=，求f (x )的解析式； (2)已知221)1(xx x x f +=+，求f (3)的值；(3)如果f (x )为二次函数，f (0)＝2，并且当x ＝1时，f (x )取得最小值－1，求f (x )的解析式； (4)*已知函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )＝2x 的图象关于直线x ＝1对称，求f (x )的解析式． 【分析】(1)求函数f (x )的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题．方法一．⋅-=-=1)1(111)1(2xxx xxf 通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则f是“原象对应于原象除以原象的平方减1”．所以，⋅-=1)(2x xx f 方法二．设t x =1，则tx 1=．则1111)(22-=-=t t t t t f ，所以⋅-=1)(2x x x f 这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么． (2)用“凑型”的方法，.7)3(,2)(.2)1(1)1(2222=-=-+=+=+f x x f xx x x x x f 所以 (3)因为f (x )为二次函数，并且当x ＝1时，f (x )取得最小值－1，所以，可设f(x)＝a(x－1)2－1，又f(0)＝2，所以a(0－1)2－1＝2，所以a＝3．f(x)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2．(4)这个问题相当于已知f(x)的图象满足一定的条件，进而求函数f(x)的解析式．所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求f(x)的解析式．设f(x)的图象上任意一点坐标为P(x，y)，则P关于x＝1对称点的坐标为Q(2－x，y)，由已知，点Q在函数y＝g(x)的图象上，所以，点Q的坐标(2－x，y)满足y＝g(x)的解析式，即y＝g(2－x)＝22－x，所以，f(x)＝22－x．【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法．值得注意的是(4)中所用的解析法．在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法．同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系．例8 已知二次函数f(x)的对称轴为x＝1，且图象在y轴上的截距为－3，被x轴截得的线段长为4，求f(x)的解析式．解：解法一设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(x)的对称轴为x＝1，可得b＝－2a；由图象在y轴上的截距为－3，可得c＝－3；由图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程ax2＋bx＋c＝0的根．所以f(－1)＝0，即a－b＋c＝0，所以a＝1．f(x)＝x2－2x－3．解法二因为图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程f(x)＝0的根．所以，设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，又f(x)图象在y轴上的截距为－3，即函数图象过(0，－3)点．即－3a＝－3，a＝1．所以f(x)＝x2－2x－3．【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重．二次函数的解析式有三种形式：一般式y＝ax2＋bx＋c；顶点式y ＝a (x －h )2＋k ，其中(h ，k )为顶点坐标；双根式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)，其中x 1，x 2为函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根．例9 某地区上年度电价为0.8元／kW·h ，年用电量为a kW·h ．本年度计划将电价降到0.55元／kW·h 至0.75元／kW·h 之间，而用户期望电价为0.40元／kW·h ．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.30元／kW·h ．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；(2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％?解：(1)依题意，当实际电价为x 元／kW·h 时，用电量将增加至,4.0a x k+-故电力部门的收益为)75.055.0)(3.0)(4.0(≤≤-+-=x x a x ky ．(2)易知，上年度的收益为(0.8－0.3)a ，依题意，%),201)(3.08.0()3.0)(4.02.0(+-≥-+-a x a x a且0.55≤x ≤0.75，解得0.60≤x ≤0.75．所以，当电价最低定为0.60元／kW·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％．练习2－1一、选择题 1．已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N ＝( ) (A){x ｜x ＞1}(B){x ｜x ＜1}(C){x ｜－1＜x ＜1} (D)∅2．图中的图象所表示的函数的解析式为( )(A))20(|1|23≤≤-=x x y (B))20(|1|2323≤≤--=x x y(C))20(|1|23≤≤--=x x y (D)y ＝1－｜x －1｜(0≤x ≤2)3．已知f (x －1)＝x 2＋2x ，则=)1(xf ( )(A)x x 212+(B)112-x(C)22143x x x ++(D)212xx + 4．已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,3,21,,1,3)(2x x x x x x x f 若f (x )＝3，则x 的值是( )(A)0 (B)0或23 (C)3± (D)3二、填空题5．给定映射f ：(x ，y )→(x ＋2y ，x －2y )，在映射f 下(0，1)的象是______；(3，1)的原象是______． 6．函数2||3)(--=x xx f 的定义域是______． 7．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出则f [g (1)]的值为______；满足f [g (x )]＞g [f (x )]的x 的值是______．8．已知函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )＝2x 的图象关于点(0，1)对称，则f (x )的解析式为______． 三、解答题9．已知f (x )＝2x＋x －1，⎩⎨⎧<-≥=),0(1),0()(2x x x x x g 求g (－1)，g [f (1)]的值．10．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A (0，9)，其轨迹方程为y ＝ax 2＋c (a ＜0)，D ＝(6，7)为x 轴上的给定区间．为使物体落在区间D 内，求a 的取值范围．11．如图，直角边长为2cm的等腰Rt△ABC，以2cm／s的速度沿直线l向右运动，求该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(cm2)与时间t的函数关系(设0≤t≤3)，并求出y的最大值．§2－2 函数的性质【知识要点】函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点P (－x，－f(x))都在其图象上．又点P 与点P '关于原点对称，我们可以得到：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形．2．一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间M ⊆A ．如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，改变量∆x ＝x 2－x 1＞0，则当∆y ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是增函数； 当∆y ＝f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是减函数．如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性，区间M 称为单调区间．在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．3．一般的，对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域中的每一个值时，f (x ＋T )＝f (x )都成立，那么就把函数y ＝f (x )叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期．4．一般的，对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数a ，使得当x 取定义域中的每一个值时，f (a ＋x )＝f (a －x )都成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． 【复习要求】1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性． 3．了解函数周期性的含义．4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题． 【例题分析】例1 判断下列函数的奇偶性． (1);1)(-=x xx f(2);11)(+=xx f (3)f (x )＝x 3－3x ；(4);11lgxxy -+= (5)⋅+-=1212xx y 解：(1)解01≥-x x，得到函数的定义域为{x ｜x ＞1或x ≤0}，定义域区间关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为{x ｜x ≠0}，但是，由于f (1)＝2，f (－1)＝0，即f (1)≠f (－1)，且f (1)≠－f (－1)，所以此函数为非奇非偶函数．(3)函数的定义域为R ，又f (－x )＝(－x )3－3(－x )＝－x 3＋3x ＝－f (x )， 所以此函数为奇函数． (4)解011>-+xx，得－1＜x ＜1， 又),(11lg 11lg )(1)(1lg)(x f xxx x x x x f -=-+-=+-=---+=-所以此函数为奇函数．(5)函数的定义域为R ，又)(21211212)(x f x f xxxx -=+-=+-=---， 所以此函数为奇函数．【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称； ②f (x )是奇函数，并且f (x )在x ＝0时有定义，则必有f (0)＝0； ③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为f (x )＝0． 判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤： ①判断函数的定义域是否关于原点对称； ②考察f (－x )与f (x )的关系．由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类．例2 设函数f (x )在R 上有定义，给出下列函数：①y ＝－｜f (x )｜；②y ＝xf (x 2)；③y ＝－f (－x )；④y ＝f (x )－f (－x )． 其中必为奇函数的有______．(填写所有正确答案的序号)【分析】①令F (x )＝－｜f (x )｜，则F (－x )＝－｜f (－x )｜，由于f (x )与f (－x )关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．②令F (x )＝xf (x 2)，则F (－x )＝－xf [(－x )2]＝－xf (x 2)＝－F (x )，所以F (x )为奇函数． ③令F (x )＝－f (－x )，则F (－x )＝－f [－(－x )]＝－f (x )，由于f (x )与f (－x )关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．④令F (x )＝f (x )－f (－x )，则F (－x )＝f (－x )－f [－(－x )]＝f (－x )－f (x )＝－F (x )，所以F (x )为奇函数．所以，②④为奇函数．例3 设函数f (x )在R 上有定义，f (x )的值不恒为零，对于任意的x ，y ∈R ，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，则函数f (x )的奇偶性为______．解：令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0，再令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )，所以f (－x )＝－f (x )，又f (x )的值不恒为零， 故f (x )是奇函数而非偶函数．【评析】关于函数方程“f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )”的使用一般有以下两个思路：令x ，y 为某些特殊的值，如本题解法中，令x ＝y ＝0得到了f (0)＝0．当然，如果令x ＝y ＝1则可以得到f (2)＝2f (1)，等等．令x ，y 具有某种特殊的关系，如本题解法中，令y ＝－x ．得到f (2x )＝2f (x )，在某些情况下也可令y ＝x1，y ＝x ，等等． 总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理．在不是很熟悉的时候，要有试一试的勇气．例4 已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )，求b 的值，并比较f (－1)与f (4)的大小．解：因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以x ＝1为二次函数图象的对称轴， 所以12=-b，b ＝－2． 根据对称性，f (－1)＝f (3)，又函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以f (3)＜f (4)，即f (－1)＜f (4)．例5 已知f (x )为奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ， (1)求f (－1)的值；(2)当x ＜0时，求f (x )的解析式．解：(1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－(12－2×1)＝1．(2)方法一：当x ＜0时，－x ＞0．所以，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ． 方法二：设(x ，y )是f (x )在x ＜0时图象上一点，则(－x ，－y )一定在f (x )在x ＞0时的图象上．所以，－y ＝(－x )2－2(－x )，所以y ＝－x 2－2x ．例6 用函数单调性定义证明，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间),2(+∞-ab上为增函数．证明：设),2(21+∞-∈abx x 、，且x 1＜x 2 f (x 2)－f (x 1)＝(ax 22＋bx 2＋c )－(ax 12＋bx 1＋c )＝a (x 22－x 12)＋b (x 2－x 1) ＝a (x 2＋x 1)(x 2－x 1)＋b (x 2－x 1)＝(x 2－x 1)[a (x 1＋x 2)＋b ] 因为x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，又因为),2(21+∞-∈abx x 、， 所以0)(,2121>++->+b x x a ab x x ，所以f (x 2)－f (x 1)＞0， 函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间),2(+∞-ab上为增函数． 例7 已知函数f (x )是定义域为R 的单调增函数． (1)比较f (a 2＋2)与f (2a )的大小；(2)若f (a 2)＞f (a ＋6)，求实数a 的取值范围．解：(1)因为a 2＋2－2a ＝(a －1)2＋1＞0，所以a 2＋2＞2a ， 由已知，f (x )是单调增函数，所以f (a 2＋2)＞f (2a )．(2)因为f (x )是单调增函数，且f (a 2)＞f (a ＋6)，所以a 2＞a ＋6， 解得a ＞3或a ＜－2．【评析】回顾单调增函数的定义，在x 1，x 2为区间任意两个值的前提下，有三个重要的问题：∆x ＝x 2－x 1的符号；∆y ＝f (x 2)－f (x 1)的符号；函数y ＝f (x )在区间上是增还是减．由定义可知：对于任取的x 1，x 2，若x 2＞x 1，且f (x 2)＞f (x 1)，则函数y ＝f (x )在区间上是增函数；不仅如此，若x 2＞x 1，且函数y ＝f (x )在区间上是增函数，则f (x 2)＞f (x 1)； 若f (x 2)＞f (x 1)，且函数y ＝f (x )在区间上是增函数，则x 2＞x 1；于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着天然的联系．请结合例5例6体会这一点．函数的单调性是极为重要的函数性质，其与其他问题的联系、自身的应用都很广泛，在复习中要予以充分注意．例8 设f (x )是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，且它在区间(－∞，0)上是减函数． (1)试比较f (－2)与－f (3)的大小；(2)若mn ＜0，且m ＋n ＜0，求证：f (m )＋f (n )＞0． 解：(1)因为f (x )是奇函数，所以－f (3)＝f (－3)，又f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，所以f (－3)＞f (－2)，即－f (3)＞f (－2)． (2)因为mn ＜0，所以m ，n 异号，不妨设m ＞0，n ＜0， 因为m ＋n ＜0，所以n ＜－m ，因为n ，－m ∈(－∞，0)，n ＜－m ，f (x )在区间(－∞，0)上是减函数， 所以f (n )＞f (－m )，因为f (x )是奇函数，所以f (－m )＝－f (m )， 所以f (n )＞－f (m )，即f (m )＋f (n )＞0．例9 函数f (x )是周期为2的周期函数，且f (x )＝x 2，x ∈[－1，1]． (1)求f (7.5)的值；(2)求f (x )在区间[2n －1，2n ＋1]上的解析式．解：(1)因为函数f (x )是周期为2的周期函数，所以f (x ＋2k )＝f (x )，k ∈Z ． 所以f (7.5)＝f (－0.5＋8)＝f (－0.5)＝41． (2)设x ∈[2n －1，2n ＋1]，则x －2n ∈[－1，1]． 所以f (x )＝f (x －2n )＝(x －2n )2，x ∈[2n －1，2n ＋1]．练习2－2一、选择题1．下列函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是( ) (A)y ＝x 2－4x(B)y ＝｜x ｜(C)xy 1(D)y ＝x 2＋2x2．下列判断正确的是( )(A)定义在R 上的函数f (x )，若f (－1)＝f (1)，且f (－2)＝f (2)，则f (x )是偶函数 (B)定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＞f (1)，则f (x )在R 上不是减函数(C)定义在R 上的函数f (x )在区间(－∞，0]上是减函数，在区间(0，＋∞)上也是减函数，则f (x )在R 上是减函数(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数3．已知函数f (x )是R 上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，又知f (1)＝2．则f (2)＝( ) (A)－2(B)2(C)1(D)－14．设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) (A)f (x )f (－x )是奇函数(B)f (x )｜f (－x )｜是奇函数 (C)f (x )－f (－x )是偶函数(D)f (x )＋f (－x )是偶函数二、填空题5．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是______；f (1)的取值范围是______．6．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 4，则当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝______．7．设函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则实数a ＝______．8．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于]2π,2π[-上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1＞x 2； ②;2221x x > ③｜x 1｜＞x 2． 其中能使f (x 1)＞f (x 2)恒成立的条件序号是______ 三、解答题9．已知函数f (x )是单调减函数． (1)若a ＞0，比较)3(aa f +与f (3)的大小； (2)若f (｜a －1｜)＞f (3)，求实数a 的取值范围．10．已知函数).,0()(2R ∈=/+=a x xa x x f (1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)当a ＝1时，证明函数f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．11．定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足①f (2)＝1；②f (xy )＝f (x )＋f (y )，其中x ，y 为任意正实数，③任意正实数x ，y 满足x ≠y 时，(x －y )[f (x )－f (y )]＞0恒成立． (1)求f (1)，f (4)的值； (2)试判断函数f (x )的单调性；(3)如果f (x )＋f (x －3)≤2，试求x 的取值范围．§2－3 基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质． 【知识要点】1．一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0) (1)定义域为R ，值域为R ； (2)图象如图所示，为一条直线；(3)k ＞0时，函数为增函数，k ＜0时，函数为减函数；(4)当且仅当b ＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数． (5)函数y ＝kx ＋b 的零点为⋅-kb2．二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方，函数的解析式可以变形为⋅-++=a b ac ab x a y 44)2(22 (1)定义域为R ：当a ＞0时，值域为),44[2+∞-ab ac ；当a ＜0时，值域为]44,(2ab ac --∞；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为abx 2-=，顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --．当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下．(3)当a ＞0时，]2,(a b --∞是减区间，),2[+∞-a b是增区间； 当a ＜0时，]2,(a b --∞是增区间，),2[+∞-ab是减区间．(4)当且仅当b ＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．(5)当判别式∆＝b 2－4ac ＞0时，函数有两个变号零点aacb b 242-±-；当判别式∆＝b 2－4ac ＝0时，函数有一个不变号零点ab 2-； 当判别式∆＝b 2－4ac ＜0时，函数没有零点． 3．指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1) (1)定义域为R ；值域为(0，＋∞)．(2)a ＞1时，指数函数为增函数；0＜a ＜1时，指数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．4．对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数． (1)定义域为(0，＋∞)；值域为R ．(2)a ＞1时，对数函数为增函数；0＜a ＜1时，对数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为1．5．幂函数y＝xα(α∈R)幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴．要注意：因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，xα＞0，所以所有的幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限都有图象．根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．6．指数与对数(1)如果存在实数x，使得x n＝a(a∈R，n＞1，n∈N＋)，则x叫做a的n次方根．负数没有偶次方根．),1()(+∈>=N n n a a n n ；⎩⎨⎧=为偶数时当为奇数时当n a n a a n n |,|,)( (2)分数指数幂，)0(1>=a a a n n；,0()(>==a a a a n m m n nm n ，m ∈N *，且nm为既约分数)． *N ,,0(1∈>=-m n a aa nm nm ，且nm为既约分数)． (3)幂的运算性质a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，a 0＝1(a ≠0)．(4)一般地，对于指数式a b ＝N ，我们把“b 叫做以a 为底N 的对数”记为log a N ， 即b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)． (5)对数恒等式：Na alog ＝N ．(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)； 底的对数是1，1的对数是0． (7)对数的运算法则及换底公式：N M NMN M MN a a a a a a log log log ;log log )(log -=+=； M M a a log log αα=；bNN a a b log log log =.(其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，M ＞0，N ＞0).【复习要求】1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，21,1x y xy ==这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．【例题分析】例1 化简下列各式： (1)31522732-⨯；(2)031π2)27102(412-+-；(3)21)972()71()027.0(231+----；(4)log 2[log 3(log 464)]；(5)4015018lg 5lg 2lg g g --+．解：(1)⋅=⨯=⨯=⨯---3432)3()2(2732123135253152 (2)⋅=-+=-+=-+--41243232)2764()49(π2)27102()412(3121315.0(3)443549310)925(49)103()972()71()027.0(21313321231-=+-=+-=+-----(4)log 2[log 3(log 464)]＝log 2[log 3(log 443)]＝log 2[log 33]＝log 21＝0．(5) .145lg 45lg4050lg 852lg40150lg 8lg 5lg 2lg ==⨯=--+g 【评析】指数、对数运算是两种重要的运算，在运算过程中公式、法则的准确、灵活使用是关键．例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试确定f (x )的解析式．解：解法一设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+--=++,7,4,4,,8441,1242c b a ab ac c b a c b a 解之得解之得所以所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7． 解法二f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，为f (2)＝－1，f (－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为212)1(2=-+=x ， 又f (x )的最大值为8，所以8)21()(2+-=x a x f .因为(－1，－1)点在抛物线上，所以8)211(12+--=-a ，解得a ＝－4． 所以所求二次函数为7448)21(4)(22++-=+--=x x x x f .例3 (1)如果二次函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋5在区间(2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是______．(2)二次函数y ＝ax 2－4x ＋a －3的最大值恒为负，则a 的取值范围是______． (3)函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对于任意t ∈R 均有f (2＋t )＝f (2－t )，则f (1)，f (2)，f (4)的大小关系是_______．解：(1)由于此抛物线开口向上，且在(2，＋∞)上是增函数， 画简图可知此抛物线对称轴22+-=a x 或与直线x ＝2重合，或位于直线x ＝2的左侧， 于是有222≤+-a ，解之得6-≥a . (2)分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数a ＜0，且判别式∆＜0”，即⎩⎨⎧<--<0)3(416,0a a a ，解得a ∈(－∞，－1)．(3)因为对于任意t ∈R 均有f (2＋t )＝f (2－t )，所以抛物线对称轴为x ＝2，又抛物线开口向上，做出函数图象简图可得f (2)＜f (1)＜f (4)．例4 已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的范围．解：当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，其图象与x 轴的交点为)0,31(，符合题意； 当m ＜0时，注意到f (0)＝1，又抛物线开口向下，所以抛物线与x 轴的两个交点必在原点两侧．所以m ＜0符合题意；当m ＞0时，注意到f (0)＝1，又抛物线开口向上，所以抛物线与x 轴的两个交点必在原点同侧(如果存在)，所以若满足题意，则⎩⎨⎧>-=-≥--=∆,0232,04)3(2mm a b m m 解得0＜m ≤1．综上，m ∈(－∞，1]．【评析】在高中阶段，凡“二次”皆重点，二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次曲线都应着重去理解、掌握．例2、3、4 三个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用．这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用．例5 (1)当a≠0时，函数y＝ax＋b与y＝b ax的图象只可能是( )(2)函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象分别是图中的①、②、③、④，则a，b，c，d的大小关系是______．【分析】(1)在选项(A)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，b＞1，所以b a＜b0＝1(根据以为底的指数函数的性质)，所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．在选项(B)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，b＞1，所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．在选项(C)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，0＜b＜1，所以b a＜b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．与图形提供的信息相符．在选项(D)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，0＜b＜1，所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．综上，选C．(2)如图，作直线y＝1与函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象依次交于A，B，C，D四点，则A，B，C，D四点的横坐标分别为a，b，c，d，显然，c＜d＜a＜b．【评析】在本题的解决过程中，对函数图象的深入分析起到了至关重要的作用． 这里，对基本初等函数图象的熟悉是前提，对图象的形态的进一步研究与关注是解决深层问题要重点学习的，例4中“注意到f (0)＝1”，例5中“作直线y ＝1”就是具体的表现，没有“熟悉”和“深入的研究”是不可能“注意到”的，也作不出“直线y ＝1”．例6 已知幂函数)()(22123Z ∈=-+k xx f k k ．(1)若f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(0，＋∞)上是减函数，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以021232>-+k k ，解得－1＜k ＜3， 因为k ∈Z ，所以k ＝0，1，2，又因为f (x )为偶函数，所以k ＝1，f (x )＝x 2． (2)因为f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以021232<-+k k ， 解得k ＜－1，或k ＞3(k ∈Z )． 例7 比较下列各小题中各数的大小 (1)21log ,0,6.0log 6.02；(2)lg2与lg(x 2－x ＋3)；(3)0.50.2与0.20.5； (4)332与；(5)21log ,32,)21(3131；(6)a m ＋a －m 与a n ＋a －n (a ＞0，a ≠1，m ＞n ＞0)【分析】(1)函数y ＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以log 20.6＜log 21＝0， 函数y ＝log 0.6x 在区间(0，＋∞)上是减函数，所以01log 21log 6.06.0=> 所以216.0log 06.0log 2<<. (2)由于2411)21(322>+-=+-x x x ，所以lg2＜lg(x 2－x ＋3)． (3)利用幂函数和指数函数单调性．0.50.2＞0.20.2＞0.20.5．(4)因为9)3(,8)2(636==.根据不等式的性质有.323<(5)因为;32)21(,)728()21(,27821313131>>>即所以 比较32与log 32，只需比较3233log 与log 32，因为y ＝log 3x 是增函数，所以只需比较323与2的大小， 因为3332289)3(=>=，所以2332>，所以2log 323>， 综上，.2log 32)21(331>>(6))1)((1)(--=+-+++--n m n m nm n n m m a a a aa a a a ，当a ＞1时，因为m ＞n ＞0，a m ＞a n ，a m ＋n ＞1，所以a m ＋a－m＞a n ＋a －n ；当0＜a ＜1时，因为m ＞n ＞0，a m ＜a n ，a m ＋n ＜1，所以a m ＋a －m ＞a n ＋a －n ． 综上，a m ＋a －m ＞a n ＋a －n ．例8 已知a ＞2，b ＞2，比较a ＋b ，ab 的大小． 【分析】方法一(作商比较法)b a ab b a 11+=+，又a ＞2，b ＞2，所以211,211<<b a ，所以1<+abba ，所以a ＋b ＜ab ． 方法二(作差比较法))]2()2([21)]2()2[(21)222(21a b b a ab b ab a ab b a ab b a -+-=-+-=-+=-+， 因为a ＞2，b ＞2，所以2－a ＜0，2－b ＜0，所以a ＋b －ab ＜0，即a ＋b ＜ab ． 方法三(构造函数)令y ＝f (a )＝a ＋b －ab ＝(1－b )a ＋b ，将y 看作是关于a 的一次函数， 因为1－b ＜0，所以此函数为减函数，又a ∈(2，＋∞)，y 最大＜f (2)＝(1－b )×2＋b ＝2－b ＜0，所以a ＋b －ab ＜0，即a ＋b ＜ab ． 【评析】两个数比较大小的基本思路：如果直接比较，可以考虑用比较法(包括“作差比较法”与“作商比较法”，如例8的方法一与方法二)，或者利用函数的单调性来比较(如例7(1)(2)(3)，例8的方法三)．如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比较，也可以考虑借助中间量来比较(如例7(4)(5)(6))．。

专题突破练2函数与方程思想、数形结合思想一、选择题1.(2019安徽江淮十校高三三联,文4)已知数列{a n}满足-=2,a1=20,则的最小值为()A.4B.4-1C.8D.92.椭圆+y2=1的两个焦点为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,其一交点为P,则|PF2|=()A. B.C. D.43.(多选题)关于x的方程ax2-|x|+a=0有四个不同的实数解,则实数a的值可能是()A. B.C. D.4.(多选题)已知向量m=(sin x,-),n=(cos x,cos2x),函数f(x)=m·n+,下列命题,说法正确的选项是()A.y=f(x)的最小正周期为πB.y=f(x)的图象关于点对称C.y=f(x)的图象关于直线x=对称D.y=f(x)的单调增区间为2kπ-,2kπ+(k∈Z)5.(2019河北衡水中学高三六模,理9)已知函数f(x)=-ax有两个极值点,则实数a的取值范围是()A.-,+∞B.(-1,+∞)C.(-1,0)D.-,06.已知在正四棱锥S-ABCD中,SA=2,则当该棱锥的体积最大时,它的高为()A.1B.C.2D.37.已知f(x)=sin(ωx+φ)满足f(1-x)=f(x),且f(x+2)=-f(x),对于定义域内满足f(x1)=f(x2)=的任意x1,x2∈R,x1≠x2,当|x1-x2|取最小值时,f(x1-x2)的值为()A.-或B.或-C. D.8.(2019陕西延安高三一模,理12)已知函数f(x)=|lg(x-1)|,若1<a<b且f(a)=f(b),则实数2a+b的取值范围是()A.[3+2,+∞)B.(3+2,+∞)C.[6,+∞)D.(6,+∞)9.(2019广东高三适应性考试,文12)双曲线=1(a>0,b>0),A(-t,0),B(t,0)(t>0),斜率为的直线过点A且与双曲线交于M,N两点,若2=0,则双曲线的离心率为()A. B.C. D.二、填空题10.已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R},且在(0,+∞)内单调递增,若f(1)=0,则满足x·f(x)<0的x的取值范围是.11.(2019北京清华大学附中高三三模,文9)已知向量a=(1,2),b=(x,1),c=(1,3),若(a+b)⊥c,则x=.12.(2019河南洛阳高三模拟,文14)已知a,b∈R,函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,则关于x的不等式f(2-x)>0的解集为.13.(2019北京西城区高三一模,文13)设函数f(x)=----当f(a)=-1时,a=;如果对于任意的x∈R都有f(x)≥b,那么实数b的取值范围是.14.(2019安徽示范高中皖北协作区高三模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若C=,a=6,1≤b≤4,则sin A的取值范围为.15.如图所示,正方形ABCD的边长为2,切去阴影部分围成一个正四棱锥,则正四棱锥的侧面积的取值范围为.参考答案专题突破练2函数与方程思想、数形结合思想1.C解+析由a n+1-a n=2n知,a2-a1=2×1,a3-a2=2×2,…,a n-a n-1=2(n-1),相加得a n-a1=n2-n,∵a1=20,=n+-1.又n∈N*,所以当n≤4时,单调递减,当n≥5时,单调递增.因为,所以的最小值为=8.故选C.2.C解+析如图,令|F1P|=r1,|F2P|=r2,则-即故r2=-3.BCD解+析方程ax2-|x|+a=0中,a=0时,只有一个解x=0,因此方程ax2-|x|+a=0有四个不同的解,则a≠0,x≠0,因此方程可变为=|x|+作出函数y=|x|+的图象和直线y=,如图,函数y=|x|+的最小值为2,因此当>2时,直线y=与函数y=|x|+的图象有四个不同的交点,即原方程有四个解,满足>2的有BCD.故选BCD.4.AB解+析f(x)=m·n+=sin x cos x-cos2x+sin 2x-cos 2x=sin-,其最小正周期是T==π,A正确;又sin2=0,因此f(x)图象关于点,0对称,B正确;2x-=kπ+得x=(k∈Z),因此x=-是f(x)图象的一条对称轴,C错误;由2kπ-2x-2kπ+,得kπ-x≤kπ+,即单调增区间为kπ-,kπ+(k∈Z),D错误.故选AB.5.D解+析因为函数f(x)=-ax有两个极值点,所以方程f'(x)=--a=0有两个不相等的实根.令g(x)=,则g(x)=与直线y=-a有两个不同的交点.又g'(x)=-,由g'(x)=-=0得x=1.所以当x<1时,g'(x)>0,g(x)=单调递增;当x>1时,g'(x)<0,g(x)=单调递减.所以g(x)max=g(1)=又g(0)=0,当x>0时,g(x)=>0.作出函数的简图如下:因为g(x)=与直线y=-a有两个不同交点,所以0<-a<,即-<a<0.故选D.6.C解+析设正四棱锥S-ABCD的底面边长为a(a>0),则高h=--,所以体积V=a2h=-设y=12a4-a6(a>0),则y'=48a3-3a5.令y'>0,得0<a<4;令y'<0,得a>4.故函数y在(0,4]内单调递增,在[4,+∞)内单调递减.可知当a=4时,y取得最大值,即体积V取得最大值,此时h=-=2,故选C.7.B解+析∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)周期为4,由4=,得ω=,f(x)=sin由f(1-x)=f(x),得x=是y=f(x)的对称轴,+φ=kπ+,当k=0时,φ=,f(x)=sin由f(x1)=f(x2)=,得|x1-x2|=-,当k1=k2时,|x1-x2|min=,当x1-x2=时,f(x1-x2)=,当x1-x2=-时,f(x1-x2)=-,故选B.8.A解+析函数f(x)=|lg(x-1)|,如图所示.∵1<a<b且f(a)=f(b),则b>2,1<a<2,∴-lg(a-1)=lg(b-1),即-=b-1,可得ab-a-b=0.那么a=-,则2a+b=-+b=--+b-1+1=(b-1)+-+3≥2+3,当且仅当b=+1时取等号.满足b>2,故选A.9.A解+析由题意知,直线MN的方程为y=(x+t),联立方程组-消元可得,(9b2-a2)x2-2a2tx-a2t2-9a2b2=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则由根与系数的关系可得,x1+x2=-2,∴D为MN的中点,∴D--=0,∴BD⊥MN.∴k BD=-3,即---=-3,化简可得a2=4b2,解得b=e=故选A.10.(-1,0)∪(0,1)解+析作出符合条件的一个函数图象草图,如图所示.由图可知x·f(x)<0的x的取值范围是(-1,0)∪(0,1).11.-10解+析因为a=(1,2),b=(x,1),c=(1,3),所以a+b=(x+1,3).∵(a+b)⊥c,∴(a+b)·c=x+1+9=0.∴x=-10.故答案为-10.12.(0,4)解+析因为f(x)=(x-2)(ax+b)=ax2+(b-2a)x-2b为偶函数,所以b=2a,f(x)=ax2-4a=a(x+2)·(x-2).又因为f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以a<0.因为f(2-x)>0,所以f(2-x)=a(4-x)(-x)>0,解得0<x<4.故答案为(0,4).13.-(-∞,-2]解+析若a≥-1,则有ln(a+2)=-1,解得a=-2<-1,不符;若a<-1,则有-2a-4=-1,解得a=-<-1,符合题意.所以a=-画出函数的大致图象,由图可知f(x)的值域为(-2,+∞),对于任意的x∈R都有f(x)≥b, 则有b≤f(x)min,所以b≤-2.14.,1解+析C=,a=6,1≤b≤4,由余弦定理可得:c2=a2+b2-2ab cos C=36+b2-6b=(b-3)2+27,∴c2=(b-3)2+27∈[27,31].∴c∈[3].由正弦定理可得,,即sin A=,1.故答案为,1.15.(0,2)解+析如图所示.设三棱锥一个侧面为△APQ,∠APQ=x,则AH=PQ×tan x=--PQ,∴PQ=,AH=,∴S=4PQ×AH=2×PQ×AH=2,x∵S==2(当且仅当tan x=1,即x=时取等号).而tan x>0,故S>0.∵S=2时,△APQ是等腰直角三角形,顶角∠PAQ=90°,阴影部分不存在,折叠后A与O重合,构不成棱锥,∴S的范围为(0,2).。

中难提分突破特训(二)1．已知具有相关关系的两个变量x ，y 的几组数据如下表所示：x 2 4 6 8 10 y3671012(1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并估计当x ＝20时，y 的值．参考公式：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^ x －.解 (1)散点图如图所示．(2)依题意，x －＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y －＝15×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，∑i ＝15x 2i ＝4＋16＋36＋64＋100＝220， ∑i ＝15x i y i ＝6＋24＋42＋80＋120＝272，b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝272－5×6×7.6220－5×62＝4440＝1.1， ∴a ^＝7.6－1.1×6＝1，∴线性回归方程为y ^＝1.1x ＋1，故当x ＝20时，y ^＝23.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2kn (k ∈N *)，S n 的最小值为－9. (1)确定k 的值，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n·a n ，求数列{b n }的前2n ＋1项和T 2n ＋1. 解 (1)由已知得S n ＝n 2－2kn ＝(n －k )2－k 2， 因为k ∈N *，当n ＝k 时，(S n )min ＝－k 2＝－9， 故k ＝3.所以S n ＝n 2－6n .因为S n －1＝(n －1)2－6(n －1)(n ≥2)，所以a n ＝S n －S n －1＝(n 2－6n )－[(n －1)2－6(n －1)]， 得a n ＝2n －7(n ≥2)．当n ＝1时，S 1＝－5＝a 1，综上，a n ＝2n －7. (2)依题意，b n ＝(－1)n ·a n ＝(－1)n(2n －7)，所以T 2n ＋1＝5－3＋1＋1－3＋5＋…＋(－1)2n(4n －7)＋(－1)2n ＋1·[2(2n ＋1)－7]＝5－＝5－2n .3．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BCD ＝60°，AC 与BD 交于点O .以BD 为折痕，将△ABD 折起，使点A 到达点A 1的位置．(1)若A 1C ＝6，求证：平面A 1BD ⊥平面ABCD ； (2)若A 1C ＝22，求三棱锥A 1－BCD 的体积．解 (1)证明：因为∠BCD ＝60°，四边形ABCD 为菱形，所以△BCD 为正三角形，BD ⊥OA ，BD ⊥OA 1，OC ＝OA ＝OA 1＝3，因为OC 2＋OA 21＝6＝A 1C 2，所以OA 1⊥OC ， 所以OA 1⊥平面ABCD ，OA 1⊂平面A 1BD ， 所以，平面A 1BD ⊥平面ABCD .(2)由于BD ⊥OC ，BD ⊥OA 1，所以BD ⊥平面A 1OC ， 在△A 1OC 中，OA 1＝OC ＝3，A 1C ＝22， 所以，S △A 1OC ＝12×22×32－22＝2， V 三棱锥A 1－BCD ＝13×S △A 1OC ×BD ＝13×2×2＝223. 4．在直角坐标系xOy中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ－2cos θ＝0.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1上有一动点M ，曲线C 2上有一动点N ，求|MN |的最小值． 解 (1)由ρ－2cos θ＝0，得ρ2－2ρcos θ＝0. ∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，∴x 2＋y 2－2x ＝0， 即曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)由(1)可知，圆C 2的圆心为C 2(1,0)，半径为1. 设曲线C 1上的动点M (3cos θ，2sin θ)， 由动点N 在圆C 2上可得|MN |min ＝|MC 2|min －1. ∵|MC 2|＝3cos θ－12＋4sin 2θ＝5cos 2θ－6cos θ＋5，∴当cos θ＝3时，|MC |＝45，∴|MN |min ＝|MC 2|min －1＝455－1.5．已知不等式|2x －3|<x 与不等式x 2－mx ＋n <0(m ，n ∈R )的解集相同且非空． (1)求m －n ；(2)若a ，b ，c ∈(0,1)，且ab ＋bc ＋ac ＝m －n ，求a 2＋b 2＋c 2的最小值． 解 (1)当x ≤0时，不等式|2x －3|<x 的解集为空集，不符合题意； 当x >0时，|2x －3|<x ⇒－x <2x －3<x ⇒1<x <3， ∴1,3是方程x 2－mx ＋n ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＋n ＝0，9－3m ＋n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝3，∴m －n ＝1.(2)由(1)得ab ＋bc ＋ac ＝1， ∵a 2＋b 22≥ab ，b 2＋c 22≥bc ，a 2＋c 22≥ac ，∴a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22≥ab ＋bc ＋ac ＝1⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号. ∴a 2＋b 2＋c 2的最小值是1.。

第1讲 坐标系与参数方程[做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝4t 1＋t2(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．解：(1)因为－1＜1－t 21＋t 2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2（1＋t 2）2＝1，所以C 的直角坐标方程为x 2＋y24＝1(x ≠－1)．l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π＜α＜π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7.2．(2019·高考全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4，0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解：(1)因为M (ρ0，θ0)在曲线C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3. 由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 的任意一点．连接OQ ，在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2. 经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π3＝2上． 所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π3＝2. (2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，π2.[明考情]1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．2．全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．极坐标方程及其应用(综合型)[知识整合]1．极坐标与直角坐标的互化方法若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r.(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：ρ＝2a cos θ.(3)当圆心位于M(a，π2)，半径为a：ρ＝2a sin θ.3．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a.(3)直线过点M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b .[典型例题](2019·高考全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标．【解】 (1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4≤θ≤π. (2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知：若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6.综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，2π3或⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，5π6.(1)求曲线的极坐标方程的一般思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．(2)解决极坐标问题的一般思路一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．[对点训练]1．在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22(ρ≥0，0≤θ<2π)．(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)，将(0，1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，π2，即为所求． 2．(2019·安徽五校联盟第二次质检)在直角坐标系xOy 中，直线l 1：x ＝0，圆C ：(x －1)2＋(y －1－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 1和圆C 的极坐标方程；(2)若直线l 2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设l 1，l 2与圆C 的公共点分别为A ，B ，求△OAB 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2， 所以直线l 1的极坐标方程为ρcos θ＝0， 即θ＝π2(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0. (2)设A (ρ1，π2)、B (ρ2，π4)，将θ＝π2代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0，解得ρ1＝1＋ 2.将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0，解得ρ2＝1＋ 2. 故△OAB 的面积为12×(1＋2)2×sin π4＝1＋324.参数方程及其应用(综合型)[知识整合]直线和圆锥曲线的普通方程和参数方程(2019·郑州市第二次质量预测)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2 θ＋3ρ2sin 2 θ＝12，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22ty ＝22t(t 为参数)，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．(1)若点P 的极坐标为(2，π)，求|PM |·|PN |的值； (2)求曲线C 的内接矩形周长的最大值．【解】 (1)由ρ2cos 2 θ＋3ρ2sin 2 θ＝12得x 2＋3y 2＝12，故曲线C 的直角坐标方程为x 212＋y 24＝1，点P 的直角坐标为(－2，0)，将直线l 的参数方程⎝⎛x ＝－2＋22t ，y ＝22t ，代入曲线C 的直角坐标方程x 212＋y 24＝1中，得t 2－2t －4＝0，设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝4.(2)由曲线C 的直角坐标方程为x 212＋y 24＝1，可设曲线C 上的动点A (23cos α， 2sin α)，0<α<π2.则以A 为顶点的内接矩形的周长为4(23cos α＋2sin α)＝16sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π3，0<α<π2.因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当α＝π6时取得最大值．(1)有关参数方程问题的2个关键点①参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化． ②利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义． (2)利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sinα(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：①t 0＝t 1＋t 22.②|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③|AB |＝|t 2－t 1|. ④|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|.[对点训练]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解：(1)⊙O 的普通方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，3π4. 综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎪⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α.所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎪⎫α为参数，π4<α<3π4. 2．(2019·成都第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t －1(t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ. (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P (0，－1)，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|P A |＋|PB |的值． 解：(1)将直线l 的参数方程消去参数t 并化简，得直线l 的普通方程为3x －y －1＝0.曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ，即ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ，所以x 2＋y 2＝2y ＋2x ， 故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)将直线l 的参数方程代入(x －1)2＋(y －1)2＝2中，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －22＝2， 化简，得t 2－(1＋23)t ＋3＝0.因为Δ>0，所以此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2.由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝23＋1，t 1t 2＝3，故t 1，t 2同正． 由直线的参数方程中参数的几何意义，知|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝23＋1.极坐标方程与参数方程的综合应用(综合型)[典型例题](2019·广东六校第一次联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x＝55t ，y ＝255t ，(t 为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝22ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程，并指明曲线C 的形状； (2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|OA |<|OB |，求1|OA |－1|OB |.【解】(1)由⎩⎨⎧x ＝55t ，y ＝255t ，消去参数t ，得y ＝2x .由ρ2＝22ρsin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4－1，得ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0， x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0， 即(x －1)2＋(y －1)2＝1.所以直线l 的普通方程为y ＝2x ，曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，曲线C 表示以(1，1)为圆心，1为半径的圆．(2)将x ＝55t ，y ＝255t 代入x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，得t 2－655t ＋1＝0， 设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2.则t 1＋t 2＝655>0，t 1t 2＝1>0， 所以t 1>0，t 2>0.因为|OA |<|OB |，所以1|OA |－1|OB |>0， 所以1|OA |－1|OB |＝1t 1－1t 2＝t 2－t 1t 1t 2＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6552－4×11＝455.解决极坐标、参数方程的综合问题应关注的三点(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简洁．(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．[对点训练]1．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 是参数)． (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程． (2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝14， 求直线l 的倾斜角α的值．解：(1)因为ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， 所以曲线C 的极坐标方程ρ＝4cos θ可化为ρ2＝4ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝4x ，所以(x －2)2＋y 2＝4.(2)将⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4得：(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎨⎧t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3，所以|AB |＝|t 1－t 2| ＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos 2 α＋12，因为|AB |＝14， 所以4cos 2 α＋12＝14.所以cos α＝±22.因为α∈[)0，π，所以α＝π4或α＝34π. 所以直线的倾斜角α＝π4或α＝34π.2．在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M (－2，－4)．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，且在两坐标系中长度单位相同，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2 θ＝2cos θ.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |＝40，求倾斜角α的值． 解：(1)因为倾斜角为α的直线过点M (－2，－4)，所以直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝－4＋t sin α(t 是参数)．因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2 θ＝2cos θ，所以ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .(2)把直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2 α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0，由题意知，Δ>0，设t 1，t 2为方程t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0的两根，则t 1＋t 2＝2cos α＋8sin αsin 2 α，t 1t 2＝20sin 2 α， 根据直线参数方程的几何意义知|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝20sin 2 α＝40， 故α＝π4或α＝3π4，又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin 2α>0，所以α＝π4.1．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝2＋3t(t 为参数)． (1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝12y得到曲线C ′，过点F (3，0)作倾斜角为60°的直线交曲线C ′于A ，B 两点，求|F A |·|FB |.解：(1)直线l 的普通方程为23x －y ＋2＝0， 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y ，所以C ′的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.易知直线AB 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t为参数)．将直线AB 的参数方程代入曲线C ′：x 24＋y 2＝1， 得134t 2＋3t －1＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1·t 2＝－413， 所以|F A |·|FB |＝|t 1·t 2|＝413.2．(2019·郑州市第一次质量预测)已知曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9，A 是曲线C 1上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90°得到点B ，设点B 的轨迹为曲线C 2.(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝5π6(ρ>0)与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点， 定点M (－4，0)，求△MPQ 的面积． 解：(1)曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9，把⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入可得，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6sin θ.设B (ρ，θ)，则A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ρ，θ－π2， 则ρ＝6sin(θ－π2)＝－6cos θ.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝－6cos θ. (2)M 到直线θ＝5π6的距离为d ＝4sin 5π6＝2，射线θ＝5π6与曲线C 1的交点P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，5π6， 射线θ＝5π6与曲线C 2的交点Q ⎝⎛⎭⎪⎪⎫33，5π6， 所以|PQ |＝33－3，故△MPQ 的面积S ＝12×|PQ |×d ＝33－3.3．(2019·河北省九校第二次联考)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2 θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l ：⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t ，(t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．解：(1)把⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρsin 2θ＝2a cos θ，得y 2＝2ax (a >0)，由⎩⎨⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t(t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，所以曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是y 2＝2ax (a >0)，x －y －2＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22ty ＝－4＋22t(t 为参数)代入y 2＝2ax ，整理得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0.设t 1，t 2是该方程的两根，则t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )， 由题意知，|MN |2＝|PM |·|PN |，所以(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2，所以8(4＋a )2－4×8(4＋a )＝8(4＋a )，所以a ＝1.4．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos β，y ＝2＋2sin β(β为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程；(2)已知射线l 1：θ＝α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2，将射线l 1顺时针旋转π6得到射线l 2：θ＝α－π6，且射线l 1与曲线C 1交于O ，P 两点，射线l 2与曲线C 2交于O ，Q 两点，求|OP |·|QQ |的最大值．解：(1)曲线C 1的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 所以C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)设点P 的极坐标为(ρ1，α)，即ρ1＝4cos α，点Q 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，α－π6，即ρ2＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π6， 则|OP |·|OQ |＝ρ1ρ2＝4cos α·4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＝16cos α·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α－12cos α＝8sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2α－π6－4. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，所以2α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6，5π6.当2α－π6＝π2，即α＝π3时，|OP |·|OQ |取最大值4.5．(2019·石家庄市质量检测)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，以极点O 为直角坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，将曲线C 1向左平移2个单位长度，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变，得到曲线C 2.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝－1＋3t(t 为参数)，点Q 为曲线C 2上的动点，求点Q 到直线l 距离的最大值．解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ， 所以曲线C 1的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.设曲线C 1上任意一点的坐标为(x ，y )，变换后对应的点的坐标为(x ′，y ′)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12（x －2），y ′＝y ，即⎩⎨⎧x ＝2x ′＋2，y ＝y ′，代入曲线C 1的直角坐标方程(x －2)2＋y 2＝4中，整理得x ′2＋y ′24＝1，所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1.(2)设Q (cos θ1，2sin θ1)，由直线l 的参数方程得直线l 的普通方程为3x －2y －8＝0，则Q 到直线l 的距离d ＝|3cos θ1－4sin θ1－8|13＝|5cos （θ1＋α）－8|13⎝⎛⎭⎪⎫tan α＝43， 当cos(θ1＋α)＝－1时，d 取得最大值，为13，所以点Q 到直线l 距离的最大值为13.6．(2019·洛阳尖子生第二次联考)在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝1＋t sin α(α为参数)， 求曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝1＋t sin α(t 为参数)， A (0，1)，且曲线C 1与曲线C 2的交点分别为P ，Q ，求1|AP |＋1|AQ |的取值范围．解：(1)ρ＝2cos θ，则ρ2＝2ρcos θ.因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，所以曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.将曲线C 2的参数方程消去参数α，可得曲线C 2的普通方程为x 2＋(y －1)2＝t 2.(2)将C 2的参数方程⎩⎨⎧x ＝t cos αy ＝1＋t sin α(t 为参数)代入C 1的方程x 2＋y 2－2x ＝0得，t 2＋(2sin α－2cos α)t ＋1＝0.因为Δ＝(2sin α－2cos α)2－4＝8sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4－4>0， 所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4>12，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1. 设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2则t 1＋t 2＝－(2sin α－2cos α)＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π4，t 1·t 2＝1. 因为t 1·t 2＝1>0，所以t 1，t 2同号， 所以|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|.由t 的几何意义可得1|AP |＋1|AQ |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1|·|t 2|＝|t 1＋t 2||t 1·t 2|＝|t 1＋t 2|＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π4， 所以1|AP |＋1|AQ |∈(2，22]．。