2020届高考文科数学复习练习题(二)：函数 专题训练

第一部分 专题二 第3讲题型对应题号 1.向量的概念及线性运算 3,6,11 2.平面向量基本定理 2,7,103.向量的数量积及应用1,4,5,8,9,12,13,14,15,16基础热身(建议用时：40分钟)1．已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°A 解析 |BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.因为0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A 项．2．(2019·辽宁东北育才学校模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量c ＝λa ＋b ，则实数λ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2D 解析 由题中所给图象可得2a ＋b ＝c ，又c ＝λa ＋b ，所以λ＝2.故选D 项． 3．(2019·江西七校联考)已知平面向量a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，且a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(－1,7) B ．(－1,2) C ．(1,2)D ．(1，－2)D 解析 因为a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，且a ∥b ，所以－1×y －2×2＝0，解得y ＝－4，故可得3a ＋2b ＝3(－1,2)＋2(2，－4)＝(1，－2)．故选D 项．4．设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．5A 解析 由|a ＋b |＝10得|a ＋b |2＝10， 即a 2＋2a·b ＋b 2＝10，①又|a －b |＝6，所以a 2－2a·b ＋b 2＝6，② 由①－②得4a·b ＝4，则a·b ＝1.故选A 项．5．已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b|＝( ) A ．9 B ．3 C ．109D ．310 D 解析 向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，所以2a ＋b ＝(1，x －8)，由(2a ＋b )⊥c ，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9，则|b |＝(－3)2＋92＝310.故选D 项．6．(2019·广东东莞统考)如图所示，△ABC 中，BD →＝2DC →，点E 是线段AD 的中点，则AC→＝( )A ．34AD →＋12BE →B ．34AB →＋BE →C ．54AD →＋12BE →D ．54AD →＋BE →C 解析 由题意和图可知，AC →＝AD →＋DC →，DC →＝12BD →，BD →＝BE →＋ED →，ED →＝12AD →，所以AC →＝54AD →＋12BE →.故选C 项．7．(2019·湖南师大附中月考)如图，已知|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2，tan ∠AOB ＝－43，∠BOC ＝45°，OC →＝mOA →＋nOB →，则m n＝( )A ．57B ．75C ．37D ．73A 解析 以OA 所在的直线为x 轴，过O 作与OA 垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示．因为|OA →|＝|OB →|＝1，且tan ∠AOB ＝－43，所以cos ∠AOB ＝－35，sin ∠AOB ＝45，所以A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－35，45，又令∠AOC ＝θ，则θ＝∠AOB －∠BOC ，所以tan θ＝tan(∠AOB －∠BOC )＝－43－11－43＝7，又因为点C 在∠AOB 内，所以cos θ＝210，sin θ＝7210，又|OC →|＝2，所以C ⎝⎛⎭⎫15，75，因为OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，所以⎝⎛⎭⎫15，75＝(m,0)＋⎝⎛⎭⎫－35n ，45n ＝⎝⎛⎭⎫m －35n ，45n ，即⎩⎨⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎨⎧n ＝74，m ＝54，所以m n ＝57.故选A 项．8．(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析 cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3－λ3＋11＋λ2＝12，解得λ＝33.答案339．(2019·四川攀枝花统考)已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝4，则b 在a 方向上的投影等于________．解析 因为a·b ＝2×4cos 120°＝－4，所以b 在a 方向上的投影为a·b |a|＝－42＝－2.答案 －210．(2019·山东两校诊断)已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝__________.解析 由条件知M 是△ABC 的重心，设D 是BC 边的中点，则AB →＋AC →＝2AD →，而AM →＝23AD →，所以2AD →＝m ·23AD →，所以m ＝3.答案 311．在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________．解析 如图，△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，记NA →＝CA →－mCB →，则当N 在D 处，即AD ⊥BC 时，f (m )取得最小值32，因此|AD →|＝32，容易得到∠ACB ＝120°.因为CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1，所以O 在边AB 上，所以当CO ⊥AB 时，|CO →|最小，|CO →|min ＝12.答案 1212．(2019·江西上饶模拟)平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，AB →·AD →＝4，点P 在边CD 上，则P A →·PC →的取值范围是________．解析 设|PD →|＝x ，x ∈[0,4]，则P A →·PC →＝(PD →＋DA →)·PC →＝⎝⎛⎭⎫－x 4AB →－AD →·4－x 4AB →＝－x 4×4－x 4AB →2－4－x 4AD →·AB →＝－x 4×4－x 4×16－4－x 4×4＝x 2－3x －4＝⎝⎛⎭⎫x －322－254，所以当x ＝32时，取最小值－254，当x ＝4时，取最大值0，即P A →·PC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤－254，0. 答案 ⎣⎡⎦⎤－254，0 能力提升(建议用时：25分钟)13．设平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(1，λ)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________．解析 因为a 与b 的夹角为钝角，所以a ·b <0，且a 与b 不平行，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－2＋λ<0，－2λ≠1，即λ<2且λ≠－12，所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，2. 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，2 14．(2019·湖南湘潭质检)已知A B →与A C →的夹角为90°，|A B →|＝2，|A C →|＝1，AM →＝λA B →＋μA C →(λ，μ∈R )，且AM →·B C →＝0，则λμ的值为________．解析 根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB →＝(0,2)，AC →＝(1,0)，BC →＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y )，所以AM →·BC →＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM →＝λAB →＋μAC →，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y x ＝14.答案 1415．如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，1为半径的圆上任意一点，则AP →·BP →的取值范围是________．解析 取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA →＋CB →＝2CD →，所以AP →·BP →＝(CP →－CA →)·(CP →－CB →)＝CP →2－CP →·(CA →＋CB →)＋CA →·CB →＝CP →2－2CD →·CP →＋CA →·CB →＝1－2×3×1×cos CD →，CP→＋(23)2cos π3＝7－6cos CD →，CP →，所以当cos CD →，CP →＝1时，AP →·BP →取得最小值为1；当cos CD →，CP →＝－1时，AP →·BP →取得最大值为13. 因此AP →·BP →的取值范围是[1,13]． 答案 [1,13]16．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求向量a 在b 上的投影； (2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．解析 (1)a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，则|a －b |＝2－2cos (α－β)＝2，所以cos(α－β)＝0，而0＜β＜α＜π，所以0＜α－β＜π，所以α－β＝π2.所以向量a 在b 上的投影为|a |cos a ，b ＝a ·b|b |＝cos(α－β)＝0.(2)由a ＋b ＝c 得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②①2＋②2得cos(α－β)＝－12，而0＜α－β＜π，故α－β＝2π3，而由①得α＋β＝π，解得α＝5π6，β＝π6.。

2020年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数一、选择题1 ．（2020年高考重庆卷（文））函数21log (2)y x =-的定义域为（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(2,3)(3,)+∞UD ．(2,4)(4,)+∞U【答案】C2 ．（2020年高考重庆卷（文））已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则(lg(lg 2))f =（ ）A ．5-B ．1-C ．3D ．4【答案】C3 ．（2020年高考大纲卷（文））函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数 （ ）A ．()1021x x >- B ．()1021xx ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210x x -> 【答案】A4 ．（2020年高考辽宁卷（文））已知函数())()21ln1931,.lg 2lg 2f x x x f f ⎛⎫=+++=⎪⎝⎭则（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D5 ．（2020年高考天津卷（文））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==,则（ ）A ．()0()g a f b <<B ．()0()f b g a <<C ．0()()g a f b <<D ．()()0f b g a <<【答案】A6 ．（2020年高考陕西卷（文））设全集为R , 函数()1f x x =-M , 则C M R 为 （ ）A ．(-∞,1)B ．(1, + ∞)C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞【答案】B7 ．（2020年上海高考数学试题（文科））函数()()211f x x x =-≥的反函数为()1fx -,则()12f -的值是（ ）A 3B ．3C ．12D ．12-【答案】A 8 ．（2020年高考湖北卷（文））x 为实数,[]x 表示不超过x 的最大整数,则函数()[]f x x x =-在R 上为（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数【答案】D9 ．（2020年高考四川卷（文））设函数()x f x e x a =+-(a R ∈,e 为自然对数的底数).若存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立,则a 的取值范围是（ ）A ．[1,]eB ．[1,1]e +C ．[,1]e e +D ．[0,1]【答案】A10．（2020年高考辽宁卷（文））已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（ ）A ．2216a a --B ．2216a a +-C ．16-D ．16【答案】C 11．（2020年高考北京卷（文））下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 （ ）A ．1y x=B ．x y e-=C ．21y x =-+D ．lg ||y x =【答案】C12．（2020年高考福建卷（文））函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A13．（2020年高考浙江卷（文））已知a.b.c ∈R,函数f(x)=ax 2+bx+c .若f(0)=f(4)>f(1),则 （ ）A ．a>0,4a+b=0B ．a<0,4a+b=0C ．a>0,2a+b=0D ．a<0,2a+b=0【答案】A 14．（2020年高考山东卷（文））已知函数)(x f 为奇函数,且当0>x 时,xx x f 1)(2+=,则=-)1(f（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-2【答案】D15．（2020年高考广东卷（文））函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是（ ）A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞UD ．[1,1)(1,)-+∞U【答案】C 16．（2020年高考陕西卷（文））设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 （ ）A ．·log log log a c c b a b =B ．·log lo log g a a a b a b =C ．()log ?l g o lo g a a a b c bc =D ．()log g og o l l a a a b b c c +=+【答案】B17．（2020年高考山东卷（文））函数1()123xf x x =-++的定义域为 （ ）A ．(-3,0]B ．(-3,1]C ．(,3)(3,0]-∞--UD ．(,3)(3,1]-∞--U【答案】A 18．（2020年高考天津卷（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是（ ）A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]【答案】C19．（2020年高考湖南（文））函数f(x)=㏑x 的图像与函数g(x)=x 2-4x+4的图像的交点个数为______（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C20．（2020年高考课标Ⅰ卷（文））已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩,若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-【答案】D;21．（2020年高考陕西卷（文））设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有 （ ）A ．[-x ] = -[x ]B ．[x + 12] = [x ] C ．[2x ] = 2[x ]D ．1[][][2]2x x x ++=【答案】D22．（2020年高考安徽（文））函数()y f x =的图像如图所示,在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,,,n x x x L ,使得1212()()()n nf x f x f x x x x ===L ,则n 的取值范围为 （ ）A ．{}2,3B ．{}2,3,4C ．{}3,4D ．{}3,4,5【答案】B 23．（2020年高考湖北卷（文））小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是【答案】C 24．（2020年高考湖南（文））已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于____ （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】B 二、填空题25．（2020年高考安徽（文））定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.若当01x ≤≤时.()(1)f x x x =-,则当10x -≤≤时,()f x =________________.距学校的距离距学校的距离距学校的距离时间时间时间时间OOOO距学校的距离【答案】(1)()2x x f x +=-26．（2020年高考大纲卷（文））设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时，____________.【答案】-127．（2020年高考北京卷（文））函数f(x)=12log ,12,1x x x x ≥⎧⎪⎨⎪<⎩的值域为_________.【答案】(-∞,2)28．（2020年高考安徽（文））函数21ln(1)1y x x=++-的定义域为_____________.【答案】(]0,129．（2020年高考浙江卷（文））已知函数f(x)=x-1 若f(a)=3,则实数a= ____________.【答案】1030．（2020年高考福建卷（文））已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<=20,tan 0,2)(3πx x x x x f ,则=))4((πf f ________ 【答案】2- .31．（2020年高考四川卷（文））lg 5lg 20+的值是___________.【答案】132．（2020年上海高考数学试题（文科））方程91331xx+=-的实数解为_______. 【答案】3log 4 三、解答题33．（2020年高考江西卷（文））设函数1,0()1(1),11x x a af x x a x a⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩ a 为 常数且a ∈(0,1).(1) 当a=12时,求f(f(13)); (2) 若x 0满足f(f(x 0))= x 0,但f(x 0)≠x 0,则称x 0为f(x)的二阶周期点,证明函数()f x 有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x 1,x 2;(3) 对于(2)中x 1,x 2,设A(x 1,f(f(x 1))),B(x 2,f(f(x 2))),C(a 2,0),记△ABC 的面积为s(a),求s(a)在区间[13,12]上的最大值和最小值. 【答案】解:(1)当12a=时,121222(),(())()2(1)333333f f f f ==-=＝(2222221,01(),(1)2)(())1(),1(1)1(1),11(1)x x a a a x a x a a a f f x x a a x a a a x a a x a a ⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪-⎪=⎨⎪-<<-+-⎪⎪⎪--+≤≤⎪-⎩当20x a ≤≤时,由21x x a=解得x=0,由于f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点; 当2a x a <≤时由1()(1)a x x a a -=-解得21ax a a =-++2(,),a a ∈ 因222211()1111a a af a a a a a a a a a =•=≠-++-++-++-++ 故21ax a a =-++是f(x)的二阶周期点; 当21a x a a <<-+时,由21()(1)x a x a -=-解得12x a=-2(,1)a a a ∈-+ 因1111()(1)2122f a a a a =•-=----故12x a=-不是f(x)的二阶周期点; 当211a a x -+≤≤时,1(1)(1)x x a a -=-解得211x a a =-++ 2(1,1)a a ∈-+因22221111()(1)11111a f a a a a a a a a a =•-=≠-++--++-++-++ 故211x a a =-++是f(x)的二阶周期点.因此,函数()f x 有且仅有两个二阶周期点,121a x a a =-++,2211x a a =-++. (3)由(2)得222211(,),(,)1111a a A B a a a a a a a a -++-++-++-++则2322221(1)1(222)(),()212(1)a a a a a a s a s a a a a a ---+'=•=•-++-++ 因为a 在[13,12]内,故()0s a '>,则11()[]32s a 在区间，上单调递增， 故111111()[]32333220s a 在区间，上最小值为s()=，最大值为s()=34．（2020年高考安徽（文））设函数22()(1)f x ax a x =-+,其中0a >,区间{}|()0I x f x =>.(Ⅰ)求I 的长度(注:区间(,)αβ的长度定义为βα-;(Ⅱ)给定常数()0,1k ∈,当11k a k -≤≤+时,求I 长度的最小值.【答案】解:(1)令2()-10f x x a a x ⎡⎤=+=⎣⎦（）解得 10x = 221ax a =+ 2|01a I x x a ⎧⎫∴=<<⎨⎬+⎩⎭ I ∴的长度212-1a x x a=+ (2) ()0,1k ∈ 则0112k a k <-≤≤+< 由 (1)21aI a =+ 2221'0(1)a I a -=>+,则01a << 故I 关于a 在(1,1)k -上单调递增,在(1,1)k +上单调递减.()1221-1-2211-k kI k kk ==+++ 22111kI k +=++（）min21-22kI k k =++。

第8讲 函数的奇偶性、周期性与对称性夯实基础 【p 17】【学习目标】1． 理解函数奇偶性的概念，了解函数周期性的定义，判断函数的奇偶性．2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及参数值．3．掌握函数的单调性与奇偶性的综合应用．【基础检测】1．下列函数中，是偶函数的是( )A ．y ＝|x 2＋x|B ．y ＝2|x|C ．y ＝x 3＋xD ．y ＝lg x【解析】A 项代入－x ，得y ＝|x 2－x|，与原函数不相等，所以不是偶函数． B 项代入－x ，得y ＝2|x|，与原函数相等，所以是偶函数．C 项代入－x ，得y ＝－x 3－x ，与原函数不相等，所以不是偶函数．D 项定义域没有关于原点对称，所以不是偶函数．【答案】B2．设函数y ＝f(x)定义在实数集R 上，则函数y ＝f (a －x )与y ＝f (x －a )的图象( )A ．关于直线y ＝0对称B ．关于直线x ＝0对称C ．关于直线y ＝a 对称D ．关于直线x ＝a 对称【解析】令t ＝x －a ，因为函数y ＝f ()－t 与y ＝f ()t 的图象关于直线t ＝0对称，所以函数y ＝f ()a －x 与y ＝f ()x －a 的图象关于直线x ＝a 对称．【答案】D3．若函数f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f (2)＝0，则f （x ）－f （－x ）x＜0的解集为( )A ．(－2，0)∪(0，2)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(2，＋∞)【解析】由奇函数的性质以及特殊点可作出如下简图：由奇函数定义化简解析式：f （x ）－f （－x ）x ＝2f （x ）x＜0， 即f (x )与x 异号即可，由图象可知当－2<x <0或0<x <2时f (x )与x 异号．【答案】A4．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝1f （x ）对x ∈R 恒成立，当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝( ) A.12 B. 2 C.22D ．－1 【解析】∵f (x ＋2)＝1f （x ），∴f (x ＋4)＝1f （x ＋2）＝f (x )对x ∈R 恒成立， ∴f (x )的周期为4，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， ∵当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ 2. 【答案】B5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，且f (x －1)＝f (－x )，给出下列四个结论：①f (1)＝0；②f (x )是以2为周期的函数；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减； ④f (x ＋1)为奇函数．其中正确命题序号为__________．【解析】①∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )，又∵f (－x )＝f (x －1)，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (0)＝0，正确．②∵f (x )是奇函数，且f (－x )＝f (x －1)，∴f (x －1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期是2，正确．③∵f (x )是奇函数，f (x －1)＝－f (x )，∴f (1－x )＝f (x )，即函数f (x )关于x ＝12对称， ∵f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，不正确． ④∵f (x )是奇函数，函数f (x )的周期是2，∴f (－x ＋1)＝f (－x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x ＋1)是奇函数，正确．【答案】①②④【知识要点】1．函数奇偶性的定义一般地，如果__对于函数f(x)的定义域内任意一个x__：(1)都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)就叫做奇函数；(2)都有__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做偶函数．2．奇函数的图象是关于__原点__成__中心__对称图形，若奇函数的定义域含有数0，则必有__f(0)＝0__；偶函数的图象是关于__y 轴__成__轴__对称图形，对定义域内的任意x 的值，必有__f(－x)＝f(x)＝f(|x|)__．3．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．4．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中有最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．5．三个重要结论(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a<b)，则y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝|a－b|.典例剖析【p17】考点1函数奇偶性的判断例1(1)下列函数为奇函数的是( )A．y＝ln x B．y＝e xC．y＝xsin x D．y＝e x－e－x【解析】对于选项A，定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故不是奇函数．所以选项A错；对于选项B，f(－x)＝e－x＝1e x≠－f(x)，故选项B错；对于选项C，f(－x)＝－xsin(－x)＝－x(－sin x)＝xsin x＝f(x)，所以y＝xsin x 为偶函数，故选项C错；对于选项D，f(－x)＝e－x－e x＝－(e x－e－x)＝－f(x)，所以函数y＝e x－e－x为奇函数，故选项D正确．【答案】D(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数【解析】因为f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )，所以f (x )g (x )是奇函数；因为|f (－x )|g (－x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|g (x )是偶函数；因为f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数；因为|f (－x )g (－x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数．【答案】C(3)已知函数f (x )＝x 2－2x 22x ＋1，则下列判断正确的是( ) A ．f (x )是偶函数不是奇函数B ．f (x )是奇函数不是偶函数C ．f (x )既是偶函数又是奇函数D ．f (x )既不是偶函数也不是奇函数【解析】该函数的定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－2（－x ）22－x ＋1＝x 2－2x 2·2x2x ＋1 ＝x 2（2x ＋1）－2x 2·2x 2x ＋1＝x 2－x 2·2x 2x ＋1＝x 2（－1－2x ＋2）2x ＋1 ＝－x 2＋2x 22x ＋1＝－f (x )， 所以函数f (x )是奇函数，f (1)＝1－23＝13，f (－1)＝1－232＝－13， 所以函数f (x )不是偶函数．【答案】B【点评】判断函数的奇偶性包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立．考点2 函数的奇偶性的应用例2(1)已知函数f (x )＝asin x ＋btan x －1(a ，b∈R )，若f (－2)＝2 018，则f (2)＝( )A ．－2 020B ．2 019C ．－2 018D ．2 017【解析】函数f (x )＝a sin x ＋b tan x －1(a ，b ∈R )，则f (－x )＝a sin(－x )＋b tan(－x )－1＝－a sin x －b tan x －1，即有f (－x )＋f (x )＝－2，又f (－2)＝2 018，则f (2)＝－2－f (2)＝－2－2 018＝－2 020.【答案】A(2)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －2)＝－f (x )，且在[0，1]上是增函数，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 【解析】由题设知f (x )＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又函数f (x )是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数f (x )在[0，1]上是增函数，故f (x )在[－1，0]上也是增函数，综上，函数f (x )在[－1，1]上是增函数，在[1，3]上是减函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32. 【答案】B(3)若函数f (x )＝8－ax －2x 2是偶函数，则该函数的定义域是________．【解析】因为函数f (x )＝8－ax －2x 2是偶函数，则a ＝0，函数f (x )＝8－2x 2的定义域满足8－2x 2≥0，解得－2≤x ≤2，故函数的定义域为[－2，2]．【答案】[－2，2](4)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是__________．【解析】由函数特点绘出函数的图象如图，可求得函数与y＝5的交点坐标为(－5，5)，(5，5)，要使f(x＋2)<5，则有－5<x＋2<5⇒－7<x<3，故解集为(－7，3)．【答案】(－7，3)【点评】已知函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；(2)求解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出；(3)求解析式中的参数，利用待定系数法求解；(4)画函数图象，利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象．考点3函数的周期性与对称性及应用例3(1)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，f(4＋x)＝f(4－x)，且－3＜x≤3时，f(x)＝ln(x＋1＋x2)，则f(2 020)＝( )A．0 B．1C．ln(5－2) D．ln(5＋2)【解析】因为f(1＋x)＝f(1－x)，f(4＋x)＝f(4－x)，所以f(x)＝f(2－x)，f(x)＝f(8－x)，∴f(2－x)＝f(8－x)，∴T＝8－2＝6，f(2 020)＝f(－2)＝ln(5－2)．【答案】C(2)已知函数f(x)与函数g(x)＝(x－1)2的图象关于y轴对称，若存在a∈R，使x∈[1，m](m>1)时，f(x＋a)≤4x成立，则m的最大值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12【解析】由于函数f (x )与函数g (x )＝(x －1)2的图象关于y 轴对称，因此f (x )＝(x ＋1)2，由f (x ＋a )≤4x 得(x ＋a ＋1)2≤4x ，把x ＝1代入得－4≤a ≤0.当a ＝0时，(x ＋1)2≤4x ，解得x ＝1，当a ＝－4时，(x －3)2≤4x ，解之得1≤x ≤9，因此m 的最大值为9.【答案】C(3)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <4B ．－2<a <1C ．－1<a <2D ．－1<a <0【解析】因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且以3为周期，所以f (5)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝f (1)<1，即2a －3a ＋1<1，解得－1<a <4. 【答案】A【点评】(1)判断函数的周期性只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)即可，且周期为T .(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用．(4)函数周期性的三个常用结论(a >0)：①若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ，②若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a ， ③若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a . (5)函数对称性代数表示：函数f (x )为奇函数⇔f (x )＝－f (－x )，函数f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )(定义域关于原点对称)；函数f (x )关于点(a ，b )对称⇔f (x )＋f (－x ＋2a )＝2b ，函数f (x )关于直线x ＝m 对称⇔f (x )＝f (－x ＋2m )．考点4 函数性质的综合应用例4(1)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2【解析】∵f (x ＋1)为偶函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则f (－x )＝f (x ＋2)，又y ＝f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )＝f (x ＋2)，且f (0)＝0.从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，y ＝f (x )的周期为4.∴f (4)＋f (5)＝f (0)＋f (1)＝0＋2＝2.【答案】A(2)函数f (x )对任意的实数x 都有f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)，若y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，且f (0)＝2，则f ()2 019＋f ()2 020＝( )A ．0B ．2C ．3D ．4【解析】因为y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，所以y ＝f (x )的图象关于x ＝0对称，即f (x )为偶函数，因为f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)，所以f (－1＋2)－f (－1)＝2f (1)，所以f (1)＝0，f (x ＋2)＝f (x )，因此f ()2 019＝f ()1＝0，f ()2 020＝f ()0＝2，f ()2 019＋f ()2 020＝2.【答案】B(3)已知函数f (x ＋1)为偶函数，且f (x )在(1，＋∞)上单调递增，f (－1)＝0，则f (x －1)>0的解集为( )A ．(－∞，0)∪(4，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)【解析】因为函数f(x＋1)为偶函数得，所以f(x)关于x＝1对称，因为f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，因为f(－1)＝0，所以f(3)＝0，因此由f(x－1)>0得x－1>3或x－1<－1，解得x>4或x<0.【答案】A【点评】(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.方法总结【p18】1．函数的奇偶性、周期性是在整个定义域内讨论的整体性质，要正确理解奇函数与偶函数、周期函数的定义，必须注意以下几点：(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称，周期函数的定义域是无界的．(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)和f(x＋T)＝f(x)(T≠0)是定义域上的恒等式．(3)若T是f(x)的一个周期，则kT(k≠0，k∈Z)也是f(x)的周期．2．f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是周期函数，则f(x)的图象周期性重复出现．3．判断函数的奇偶性的方法：定义法、图象法、性质法．4．函数的奇偶性与周期性是函数的两个重要性质，它们又存在着一定的联系，特别是存在两条对称轴的函数，一定是一个周期函数，且最小正周期是相邻两条对称轴之间距离的2倍．走进高考【p18】1．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )A．－50 B．0C．2 D．50【解析】因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1＋x )＝－f (x －1)，∴f (3＋x )＝－f (x ＋1)＝f (x －1)，∴T ＝4，因此f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)， 因为f (3)＝－f (1)，f (4)＝－f (2)，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，∵f (2)＝f (－2)＝－f (2)，∴f (2)＝0，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝f (1)＝2.【答案】C2．(2016·上海)设f (x )、g (x )、h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x )＋g (x )、f (x )＋h (x )、g (x )＋h (x )均为增函数，则f (x )、g (x )、h (x )中至少有一个增函数；②若f (x )＋g (x )、f (x )＋h (x )、g (x )＋h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )、g (x )、h (x )均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题【解析】①不成立，可举反例f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，－x ＋3，x >1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，x ≤0，－x ＋3，0<x <1，2x ，x ≥1，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，2x ，x >0. ②f (x )＋g (x )＝f (x ＋T )＋g (x ＋T )，f (x )＋h (x )＝f (x ＋T )＋h (x ＋T )，g (x )＋h (x )＝g (x ＋T )＋h (x ＋T )．前两式作差，可得g (x )－h (x )＝g (x ＋T )－h (x ＋T )，结合第三式，可得g (x )＝g (x ＋T )，h (x )＝h (x ＋T )．也有f (x )＝f (x ＋T )，∴②正确，故选D.【答案】D考 点 集 训 【p 183】A 组题1．函数f (2x ＋1)是奇函数，则函数f (x )的对称中心为( )A ．(0，0)B ．(1，0)C ．(－1，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 【解析】∵f (2x ＋1)是奇函数，∴f (2×0＋1)＝f (1)＝0，∴f (x )对称中心为(1，0)．【答案】B2．若函数f (x )(x ∈R )是偶函数，则下列各点中必在y ＝f (x )图象上的是( )A ．(－a ，f (a ))B ．(－a ，－f (a ))C ．(－a ，－f (－a ))D ．(a ，－f (－a ))【解析】由于函数f (x )图象必过点(a ，f (a ))，且函数f (x )(x ∈R )是偶函数，所以函数f (x )经过点(－a ，f (－a ))．又因为f (－a )＝f (a )．所以函数一定经过(－a ，f (a ))和(a ，f (－a ))．【答案】A3．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( ) A ．－12 B ．－14C.14D.12【解析】f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12. 【答案】A4．已知函数f (x )，满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)均为偶函数，且f (1)＝π2，设g (x )＝f (x )＋f (－x )，则g (2 019)＝( )A.π2B.2π3 C ．π D.4π3【解析】由题意可得：f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (－x ＋2)＝f (x －2)，故f (x )＝f (x ＋4)，周期为4.g (2 019)＝f (2 019)＋f (－2 019)＝f (3)＋f (－3)＝f (－1)＋f (1)＝2f (1)＝π.【答案】C5．若f (x )＝ln(e x＋1)＋kx 是偶函数，则k ＝________．【解析】∵f (x )是偶函数，∴f (－1)＝f (1)， ∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋1－k ＝ln(e ＋1)＋k ， 解得k ＝－12，经检验k ＝－12符合题意． 【答案】－126．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，f (1)＝4，则f (3)＋f (10)的值为________．【解析】∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (x )＝f (－x )，∵f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，令x ＝－2，可得f (2)＝f (－2)＋f (2)，则f (－2)＝0，f (2)＝f (－2)＝0，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的函数，∴f (10)＝f (6)＝f (2)＝0，∵f (1)＝4，∴f (3)＝f (－1)＝f (1)＝4，则f (3)＋f (10)＝4＋0＝4.【答案】47．已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的不恒为零的函数，对于任意非零实数a ，b 满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且当x >1时，有f (x )>0.(1)判断并证明y ＝f (x )的奇偶性；(2)求证：函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，并求不等式f (x －1)<0的解集．【解析】(1)f (x )是偶函数．证明：由已知得f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0，f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝0，f (－x )＝f (－1)＋f (x )，即f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数．(2)设x 1>x 2>0，则x 1x 2>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2>0. 所以f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2·x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＋f (x 2)>f (x 2)， 所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．因为f (x －1)<0＝f (1)，又f (x )是偶函数，所以有|x －1|<1，解得0＜x ＜2.∴不等式f (x －1)<0的解集为(0，2)．8．已知函数f (x )＝x 2－2x . (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3时，求函数f (x )的值域； (2)若定义在R 上的奇函数g (x )对任意实数x ，恒有g (x ＋4)＝g (x )，且当x ∈[0，2]时，g (x )＝f (x )，求g (1)＋g (2)＋…＋g (2 020)的值．【解析】(1)由题意得f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，在[1，3]上单调递增． ∴当x ＝1时，f (x )取得最小值，且[f (x )]min ＝－1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－34，f (3)＝3， ∴[f (x )]max ＝3.∴函数f (x )的值域是[－1，3]．(2)由g (x ＋4)＝g (x )可得函数g (x )的周期T ＝4，∵g (1)＝f (1)＝－1，g (2)＝f (2)＝0，g (3)＝g (－1)＝－g (1)＝1，g (4)＝g (0)＝f (0)＝0，∴g (1)＋g (2)＋g (3)＋g (4)＝0，∴g (1)＋g (2)＋…＋g (2 020)＝505[g (1)＋g (2)＋g (3)＋g (4)]＝0.B 组题1．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称，若函数f (x )＝x (0<x ≤1)，则f (－5.5)＝( ) A.22 B ．1.5 C ．－22D ．－1.5 【解析】因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以可得f (－x )＝－f (x )．又因为它的图象关于直线x ＝1对称，所以可得f (x )＝f (2－x )．由上面两式可得－f (－x )＝f (2－x )．由此可递推得f (2－x )＝－f (－x )＝f (－2－x )．所以函数f (x )周期为4.所以f (－5.5)＝f (－1.5)＝－f (1.5)＝－f (2－1.5)＝－f (0.5)＝－22. 【答案】C2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是________．【解析】∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.【答案】(－2，1) 3．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34是奇函数，给出以下四个命题：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称； ③函数f (x )是偶函数；④函数f (x )在R 上是单调函数．在述四个命题中，正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．【解析】对于①，∵f (x ＋3)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )， ∴函数f (x )是以3为周期的周期函数，故①正确；对于②，∵y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34是奇函数，∴其图象关于原点对称，又函数f (x )的图象是由y＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34的图象向左平移34个单位长度得到，所以函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，故②正确；对于③，由②知，对于任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋x ， 用34＋x 换x ，可得：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－x ＝－f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32， 令t ＝32＋x ，则f (－t )＝f (t )，∴函数f (x )是偶函数，故③正确； 对于④，由③知f (x )是偶函数，偶函数的图象关于y 轴对称，∴f (x )在R 上不是单调函数，故④错误．综上所述，正确命题的序号是①②③.【答案】①②③4．关于函数y ＝f ()x ()x ∈D 有如下结论：若函数y ＝f ()x 的图象关于点()a ，b 对称，则有f ()a ＋x ＋f ()a －x ＝2b 成立．(1)若函数f ()x ＝－2x ＋1x －2的图象关于点()2，m 对称，根据题设中的结论求实数m 的值； (2)若函数y ＝f ()x 的图象既关于点()2，0对称，又关于点()－2，1对称，且当x ∈[]2，6时，f ()x ＝2x ＋3x ，求f ()－5的值．【解析】(1)f ()x ＝－2x ＋1x －2的定义域为{x |x ≠2}， 对任意x (x ≠2)，都有f ()2＋x ＋f ()2－x ＝2m ，即－2()2＋x ＋12＋x －2＋－2()2－x ＋12－x －2＝2m ，解得m ＝－2. (2)因为函数y ＝f ()x 的图象关于点()2，0对称，所以f ()2＋x ＋f ()2－x ＝0，即f ()x ＋f ()4－x ＝0，①又函数y ＝f ()x 的图象关于点()－2，1对称，所以f ()－2＋x ＋f ()－2－x ＝2，即f ()x ＋f ()－4－x ＝2，②由①②得，f ()4－x ＝f ()－4－x －2，即f ()x ＝f ()x ＋8＋2，－5＝f()3＋2＝23＋3×3＋2＝19. 所以f()。

2020届高考数学命题猜想函数﹑基本初等函数的图像与性质2【考向解读】1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数.常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大.【命题热点突破一】函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．2．奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．3．周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a 不等于0)，则其一个周期T＝|a|.f x例1、【2017北京，文5】已知函数，则()（A）是偶函数，且在R上是增函数（B）是奇函数，且在R上是增函数（C）是偶函数，且在R上是减函数（D）是奇函数，且在R上是增函数【变式探究】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则= .【答案】-2【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数， 所以，所以，即(1)0f =，，所以.【变式探究】【2017课标1，文8】函数sin21cos xy x =-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【变式探究】函数在[]2,2-的图像大致为（A）（B）（C）（D）【答案】D【感悟提升】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法．(2)研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用．【变式探究】(1)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x 1)](x2－x1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.c ＞a ＞bB.c ＞b ＞aC.a ＞c ＞bD.b ＞a ＞c(2)设函数f(x)＝ex(2x －1)－ax ＋a ，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－32e ，1B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－32e ，34C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32e ，34D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32e ，1 【解析】(1)由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f(x)的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b ＞a ＞c.选D.【高考真题解读】1. （2018年浙江卷）函数y=sin2x 的图象可能是A.B. C. D.【答案】D2. （2018年全国III 卷）函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D【答案】D【解析】当时，，排除A,B.,当时，,排除C，故正确答案选D.3. （2018年全国卷Ⅱ）函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D【答案】B4. （2018年天津卷）已知，则的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知：，即，，即，，即，综上可得：.本题选择D选项.5. （2018年全国I卷）设函数，则满足的x的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】将函数的图像画出来，f x3.【2017北京，文5】已知函数，则()（A）是偶函数，且在R上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数 【答案】B【解析】，所以该函数是奇函数，并且3xy =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选B. 4.【2017北京，文8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与MN 最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093 【答案】D5.【2017课标1，文9】已知函数，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y=()f x 的图像关于直线x=1对称D ．y=()f x 的图像关于点（1，0）对称【答案】C 【解析】由题意知，，所以()f x 的图像关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．1.【2016高考新课标3文数】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A 【解析】因为，，所以b a c <<，故选A ．2.【2016年高考北京文数】已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ）A.110x y ->B.C. D.【答案】C3.【2016高考新课标1卷】函数在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】函数f(x)=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图像关于y 轴对称，因为，所以排除A 、B 选项；当[]0,2x ∈时，有一零点，设为x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(2)x x ,∈时，()f x 为增函数．故选D 。

课时规范练 A 组 基础对点练1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：当x ＞0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C. 答案：C2.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1x B ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |解析：A 中y ＝1x 是奇函数，A 不正确；B 中y ＝e －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是非奇非偶函数，B不正确；C 中y ＝－x 2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C 正确；D 中y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，D 不正确．故选C. 答案：C3．(2019·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝(x －1)2 B ．f (x )＝e x C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ； 对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确； 对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D. 答案：C4．(2019·福州模拟)函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3a ，x ＜0a x ，x ≥0，(a ＞0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 解析：∵⎩⎨⎧0＜a ＜13a ≥1，∴13≤a ＜1.答案：B5．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：若函数f (x )＝a x 在R 上为减函数，则有0＜a ＜1；若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有2－a ＞0，即a ＜2，所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，选A. 答案：A6．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)＜f (20.3)＜f (log 25)B ．f (log 25)＜f (20.3)＜f (0.32)C ．f (log 25)＜f (0.32)＜f (20.3)D ．f (0.32)＜f (log 25)＜f (20.3)解析：∵对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数．又∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∵0＜0.32＜20.3＜log 25，∴f (0.32)＜f (20.3)＜f (log 25)．故选A. 答案：AB 组 能力提升练7．定义在[－2，2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1，2) B ．[0，2) C ．[0，1)D ．[－1，1)解析：函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，∴函数在[－2，2]上单调递增，∴⎩⎨⎧－2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，2a －2＜a 2－a ，∴⎩⎨⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2，∴0≤a ＜1，故选C. 答案：C8．已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，且f (x ＋1)是偶函数，不等式f (m ＋2)≥f (x －1)对任意的x ∈[－1，0]恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－3，1]B ．[－4，2]C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)解析：因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，所以f (x )的图象关于x ＝1对称，由f (m ＋2)≥f (x －1)得|(m ＋2)－1|≤|(x －1)－1|，所以根据题意得|m ＋1|≤2，解得－3≤m ≤1.故选A. 答案：A9．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 C ．[1，2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以k －1≥0，即k ≥1.令f ′(x )＝4x 2－12x ＝0，解得x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－12舍.因为函数f (x )在区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，得－12＜k ＜32.综上得1≤k ＜32. 答案：B10．(2018·西安一中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(－1，2)D ．(－2，1)解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.故选D. 答案：D11．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________．解析：由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －a ，x ＜－a22x ＋a ，x ≥－a2，可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞，故3＝－a 2，解得a ＝－6.答案：－612．已知函数f (x )＝x ＋ax (x ≠0，a ∈R )，若函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．解析：设x 1<x 2≤－2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2＝（x1－x2）（x1x2－a）x1x2.因为x1－x2<0，x1x2>0，所以要使Δy＝（x1－x2）（x1x2－a）x1x2<0恒成立，只需使x1x2－a>0恒成立，即a<x1x2恒成立．因为x1<x2≤－2，所以x1x2>4，所以a≤4，故函数f(x)在(－∞，－2]上单调递增时，实数a的取值范围是(－∞，4]．答案：(－∞，4]。

专题03 二次求导函数处理（二阶导数）一、考情分析1、在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，并且在六道解答题中必有一题是导数题。

利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.2、而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。

需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。

本文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。

3、解决这类题的常规解题步骤为： ①求函数的定义域；②求函数的导数)('x f ，无法判断导函数正负； ③构造求)(')(x f x g =，求'(x)g ； ④列出)(),(',x g x g x 的变化关系表； ⑤根据列表解答问题。

二、经验分享方法 二次求导使用情景对函数()f x 一次求导得到()f x '之后，解不等式()0()0f x f x ''><和难度较大甚至根本解不出.解题步骤设()()g x f x '=，再求()g x '，求出()0()0g x g x ''><和的解，即得到函数()g x 的单调性，得到函数()g x 的最值，即可得到()f x '的正负情况，即可得到函数()f x 的单调性.三、题型分析(一) 利用二次求导求函数的极值或参数的范围例1.【2020届西南名校联盟高考适应月考卷一，12】（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化） 已知关于x 的不等式()22ln 212x m x mx +-+≤在()0,∞上恒成立，则整数m 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B ．【解析】【第一种解法（排除法）（秒杀）】：令1=x 时，m m ≤+⨯-+21)1(21ln 2化简：34≥m ； 令2=x 时，m m 422)1(22ln 2≤+⨯-+，化简42ln 22+≥m 你还可以在算出3,4，选择题排除法。

2020届高考数学命题猜想函数与方程﹑函数模型及其应用【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．例1 、（2018年全国卷Ⅱ）已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．【答案】见解析【解析】（2）由于，所以等价于．设=，则g ′（x ）=≥0，仅当x=0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．又f （3a –1）=，f （3a+1）=，故f （x ）有一个零点．综上，f （x ）只有一个零点．【感悟提升】新定义问题的本质是转化思想的应用，即把新定义问题转化为已知的问题加以解决，解题的关键是理解新定义，把新定义表达的问题转化为我们已经掌握的数学问题，然后根据题目的要求进行推理计算得出结论．【变式探究】给出定义：如果函数f(x)在[a ，b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)，满足f ′(x1)＝f （b ）－f （a ）b －a ，f ′(x2)＝f （b ）－f （a ）b －a ，则称实数x1，x2为[a ，b]上的“对望数”，函数f(x)为[a ，b]上的“对望函数”．已知函数f(x)＝13x3－x2＋m 是[0，m]上的“对望函数”，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，3 B ．(2，3) C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，2 3 D ．(2，2 3)【答案】A【命题热点突破三】 函数模型及其应用解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．例3、(2017·江苏)设f(x)是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N*，则方程f(x)－lg x ＝0的解的个数是_____.【答案】8【变式探究】随着网络的发展，网校教育越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势．假设某网校每日的套题销售量y(单位：万套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x<6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21万套．(1)求m 的值；(2)假设每套题的成本为2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)【解析】解：（1）因为x ＝4时，y ＝21，代入y ＝mx －2＋4（x －6）2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.（2）由（1）可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4（x －6）2，所以每日销售套题所获得的利润f （x ）＝（x －2）·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4（x －6）2（x －2）＝4x3－56x2＋240x －278（2<x<6），从而f ′（x ）＝12x2－112x ＋240＝4（3x －10）（x －6）（2<x<6）.令f ′（x ）＝0，得x ＝103（x ＝6舍去），且在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，103上，f ′（x ）>0，函数f （x ）单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫103，6上，f ′（x ）<0，函数f （x ）单调递减，所以x ＝103是函数f （x ）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f （x ）取得最大值，即当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.1 、(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x ＋a(ex －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a 等于 A.－12B.13C.12 D.1【解析】f(x)＝x2－2x ＋a(ex －1＋e －x ＋1) ＝(x －1)2＋a[ex －1＋e －(x －1)]－1，令t ＝x －1，则g(t)＝f(t ＋1)＝t2＋a(et ＋e －t)－1. ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e －t ＋et)－1＝g(t)， ∴函数g(t)为偶函数.∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点. 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12 .【答案】C.2、(2017·江苏)设f(x)是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N*，则方程f(x)－lg x ＝0的解的个数是_____.【答案】81.【2016高考新课标1卷】函数在[]2,2-的图像大致为（A）（B）（C）（D）【答案】D2.【2016高考山东文数】已知函数其中0m>，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.【答案】() 3,+∞【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要()f x b=有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得3m >。

2020届高考数学选择题填空题专项练习（文理通用）08函数图像02第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·山西高三月考）函数()[]2cos e,,xf x x x ππ=∈-，的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】先确定函数()f x 为偶函数,排除B,D 选项,再取特值即可判断最终结论. 【详解】因为f (﹣x )=(﹣x )2e cos(﹣x )=x 2e cos x =f (x ),所以函数f (x )为偶函数,排除B ､D 选项,因为f (π)=π2e cosπ=π2e ﹣1>0,所以排除A 选项,故选:C.【点睛】本题考查函数图象的识别,难度不大.对于判断函数图象的试题,排除法是十分常用的方法,一般通过函数的奇偶性､单调性和特殊值即可判断.2．（2020·洪洞县第一中学高三期中）函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（ ）A ．12为()f x 的极大值点 B ．2-为()f x 的极大值点 C ．2为()f x 的极大值点D ．45为()f x 的极小值点 【答案】A 【解析】【分析】观察各极值点附近左右的导数符号，可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，当122x -<<时，()0f x '>，当122x <<时，()0f x '<，12为()f x 的极大值点，A 选项正确；对于B 选项，当2x <-时，()0f x '<，当122x -<<时，()0f x '>，2-为()f x 的极小值点，B 选项错误；对于C 选项，当122x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，2为()f x 的极小值点，C 选项错误；对于D 选项，由于函数()y f x =为可导函数，且405f ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，45不是()f x 的极值点，D 选项错误.故选：A.【点睛】本题考查利用导数的图象判断极值点，解题时要充分利用极大值点和极小值点的概念加以理解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.3．（2020·广西师大附属外国语学校高三（理）已知函数()()2ln 1f x x ax =+-的导数为()f x '，且()10f '=，则函数()()cos xg x f ex '=图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】根据导函数求出1a =，讨论()211xg x cosx e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的函数图象，结合奇偶性和特殊值即可得解.【详解】()21f x a x ='-+，()110,1f a a ='=-=，()211xg x cosx e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭, ()()221111x x x e g x cos x cosx e e -⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()2211co 1212s x x x e cosx x g x e e ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭+-⎝⎭所以()211xg x cosx e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭为奇函数，且当02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，有g (x )<0.结合选项，只有A 符合题意. 【点睛】此题考查根据导数值求参数的取值，根据函数的性质确定函数图象，关键在于根据导函数准确求解.4．（2020·四川成都七中高三开学考试）若函数()121x af x =--的图象关于原点对称，则实数a 等于（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】A 【解析】【分析】由题意知，函数()f x 为奇函数,利用()()0f x f x -+=,化简整理即可求出实数a . 【详解】因为函数()121xaf x =--的图象关于原点对称，所以函数()f x 为奇函数，则有()()0f x f x -+=， 即(1)(1)02121x x a a --+-=--，化简可得，(21)2021x xa -+=-，解可得2a =-.故选:A 【点睛】本题考查奇函数的定义和性质;根据题意,挖掘题中隐含的条件:函数()f x 为奇函数是求解本题的关键;属于中档题.5．（2020·广东高三期末）函数3cos 1()x f x x+=的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】分析函数的定义域、奇偶性以及函数值的正负变化，排除错误选项可得答案.【详解】由3cos 1()x f x x+=，可得()()f x f x -=-，故()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A. 当π02x <<时，()0f x >；当11cos 3x -≤<-时，()0f x <，排除C,D.故选：B.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质分析函数图象的特征，排除错误选项得到答案.6．（2020·山西大同一中高三月考）函数()()33lg xxf x x -=+⋅的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。

韩哥智慧之窗-精品文档精品文档韩哥智慧之窗-精品文档精品文档 1专题03 二次求导函数处理（二阶导数）一、考情分析1、在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，并且在六道解答题中必有一题是导数题。

利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.2、而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。

此时解题受阻。

此时解题受阻。

需要利用需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。

本文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。

文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。

3、解决这类题的常规解题步骤为：、解决这类题的常规解题步骤为： ①求函数的定义域；①求函数的定义域；②求函数的导数)('x f ，无法判断导函数正负；，无法判断导函数正负； ③构造求)(')(x f x g =，求'(x)g ； ④列出)(),(',x g x g x 的变化关系表；的变化关系表； ⑤根据列表解答问题。

⑤根据列表解答问题。

二、经验分享方法方法 二次求导二次求导使用情景使用情景对函数()f x 一次求导得到()f x '之后，解不等式()0()0f x f x ''><和难度较大甚至根本解不出.解题步骤解题步骤设()()g x f x '=，再求()g x '，求出()0()0g x g x ''><和的解，即得到函数()g x 的单调性，得到函数()g x 的最值，即可得到()f x '的正负情况，即可得到函数()f x 的单调性.三、题型分析(一) 利用二次求导求函数的极值或参数的范围例1.【2020届西南名校联盟高考适应月考卷一，12】（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化） 已知关于x 的不等式()22ln 212x m x mx +-+≤在()0,∞上恒成立，则整数m 的最小值为（的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B ．【解析】【第一种解法（排除法）（秒杀）】：令1=x 时，m m ≤+⨯-+21)1(21ln 2化简：34≥m ；令2=x 时，m m 422)1(22ln 2≤+⨯-+，化简42ln 22+≥m你还可以在算出3,4，选择题排除法。

第二篇函数及其性质专题2.03函数的奇偶性与周期性【考试要求】1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.【知识梳理】1.函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【微点提醒】1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称. (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2在x ∈(0，＋∞)时是偶函数.( ) (2)若函数f (x )为奇函数，则一定有f (0)＝0.( )(3)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期.( )(4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b ，0)中心对称.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y ＝x 2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错. (2)由奇函数定义可知，若f (x )为奇函数，其在x ＝0处有意义时才满足f (0)＝0，(2)错. (3)由周期函数的定义，(3)正确.(4)由于y ＝f (x ＋b )的图象关于(0，0)对称，根据图象平移变换，知y ＝f (x )的图象关于(b ，0)对称，正确. 【教材衍化】2.(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( ) A.y ＝x 2sin x B.y ＝x 2cos x C.y ＝|ln x |D.y ＝2－x【答案】 B【解析】 根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数；B 选项为偶函数；C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D 选项既不是奇函数，也不是偶函数.3.(必修4P46A10改编)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 【答案】 1【解析】 由题意得，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 【真题体验】4.(2019·济南调研)下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A.y ＝x 3B.y ＝x 14 C.y ＝|x |D.y ＝|tan x |【答案】 C【解析】 对于A ，y ＝x 3为奇函数，不符合题意；对于B ，y ＝x 14是非奇非偶函数，不符合题意；对于D ，y ＝|tan x |是偶函数，但在区间(0，＋∞)上不单调递增.5.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________. 【答案】 12【解析】 ∵x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，且f (x )在R 上为奇函数， ∴f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.6.(2019·上海崇明区二模)设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则当x ∈[1，2]时，f (x )＝________. 【答案】 log 2(3－x )【解析】 当x ∈[1，2]时，x －2∈[－1，0]，2－x ∈[0，1]， 又f (x )在R 是上以2为周期的偶函数，∴f (x )＝f (x －2)＝f (2－x )＝log 2(2－x ＋1)＝log 2(3－x ). 【考点聚焦】考点一 判断函数的奇偶性 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.【答案】见解析【解析】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg(1－x 2)－x .又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x ＝－lg(1－x 2)－x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数.(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数. 【规律方法】 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立.【训练1】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A.y ＝x ＋sin 2x B.y ＝x 2－cos x C.y ＝2x ＋12xD.y ＝x 2＋sin x(2)已知f (x )＝x 2x －1，g (x )＝x2，则下列结论正确的是( )A.f (x )＋g (x )是偶函数B.f (x )＋g (x )是奇函数C.f (x )g (x )是奇函数D.f (x )g (x )是偶函数 【答案】 (1)D (2)A【解析】 (1)对于A ，定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数；对于B ，定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数；对于C ，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x ＋12x ＝f (x )，为偶函数；对于D ，y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数.(2)令h (x )＝f (x )＋g (x )， 因为f (x )＝x 2x －1，g (x )＝x2，所以h (x )＝x 2x －1＋x2＝x ·2x ＋x 2（2x －1），定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为h (－x )＝－x ·2－x －x 2（2－x －1）＝x （1＋2x ）2（2x －1）＝h (x )， 所以h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数， 令F (x )＝f (x )g (x )＝x 22（2x －1），定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).所以F (－x )＝（－x ）22（2－x －1）＝x 2·2x2（1－2x ）， 因为F (－x )≠F (x )且F (－x )≠－F (x )，所以F (x )＝g (x )f (x )既不是奇函数也不是偶函数. 考点二 函数的周期性及其应用【例2】 (1)(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( ) A.－50B.0C.2D.50(2)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________. 【答案】 (1)C (2)7【解析】 (1)法一 ∵f (x )在R 上是奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x ). ∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x ).因此f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为4的函数， 由于f (1－x )＝f (1＋x )，f (1)＝2， 故令x ＝1，得f (0)＝f (2)＝0令x ＝2，得f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2， 令x ＝3，得f (4)＝f (－2)＝－f (2)＝0， 故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.法二 取一个符合题意的函数f (x )＝2sin πx2，则结合该函数的图象易知数列{f (n )}(n ∈N *)是以4为周期的周期数列.故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2. (2)因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x .又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点有7个. 【规律方法】1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.2.若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数，且a ≠0)，则2a 为函数f (x )的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.【训练2】 (1)(2019·南充二模)设f (x )是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1＋x )，则f ⎝⎛⎭⎫－92＝( ) A.－34B.－14C.14D.34(2)(2017·山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2).若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.【答案】 (1)A (2)6【解析】 (1)∵f (x )是周期为4的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－92＝－f ⎝⎛⎭⎫92＝－f ⎝⎛⎭⎫12 又0≤x ≤1时，f (x )＝x (1＋x )故f ⎝⎛⎭⎫－92＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－12⎝⎛⎭⎫1＋12＝－34. (2)∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f [(x ＋2)＋4]＝f [(x ＋2)－2]，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)， 又f (x )在R 上是偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6－(－1)＝6，即f (919)＝6.考点三 函数性质的综合运用 角度1 函数单调性与奇偶性【例3－1】 (2019·石家庄模拟)设f (x )是定义在[－2b ，3＋b ]上的偶函数，且在[－2b ，0]上为增函数，则f (x －1)≥f (3)的解集为( ) A.[－3，3] B.[－2，4] C.[－1，5] D.[0，6]【答案】 B【解析】 因为f(x)是定义在[－2b ，3＋b]上的偶函数， 所以有－2b ＋3＋b ＝0，解得b ＝3，由函数f(x)在[－6，0]上为增函数，得f(x)在(0，6]上为减函数.故f(x －1)≥f(3)⇒f(|x －1|)≥f(3)⇒|x －1|≤3，故－2≤x≤4.【规律方法】 1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.2.本题充分利用偶函数的性质f (x )＝f (|x |)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程. 角度2 函数的奇偶性与周期性【例3－2】 (1)(2019·山东省实验中学检测)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋5)＝f (x )，且当x ∈⎝⎛⎭⎫0，52时，f (x )＝x 3－3x ，则f (2 018)＝( ) A.2B.－18C.18D.－2(2)(2019·洛阳模拟)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝( ) A.π3B.2π3C.πD.4π3【答案】 (1)D (2)B【解析】 (1)∵f (x )满足f (x ＋5)＝f (x )， ∴f (x )是周期为5的函数，∴f (2 018)＝f (403×5＋3)＝f (3)＝f (5－2)＝f (－2)， ∵f (x )是奇函数，且当x ∈⎝⎛⎭⎫0，52时，f (x )＝x 3－3x ， ∴f (－2)＝－f (2)＝－(23－3×2)＝－2， 故f (2 018)＝－2.(2)由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2). ∴f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4.所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3.【规律方法】 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【训练3】 (1)(2019·重庆九校模拟)已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，当x ∈[0，3]时，f (x )＝－x ，则f (－16)＝________.(2)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________. 【答案】 (1)2 (2)⎣⎡⎦⎤1e ，e【解析】 (1)根据题意，函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，则有f (x )＝f (6－x )， 又由函数为奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 则有f (x )＝－f (6－x )＝f (x －12)， 则f (x )的最小正周期是12，故f (－16)＝f (－4)＝－f (4)＝－f (2)＝－(－2)＝2. (2)由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (ln t )＝f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ， 由f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)， 得f (ln t )≤f (1).又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增函数， 所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e ≤t ≤e.【反思与感悟】1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性. 3.在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用. 【易错防范】1.f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2.函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图象的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 【核心素养提升】【数学运算】——活用函数性质中“三个二级”结论 类型1 奇函数的最值性质已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0.特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0，且若0∈D ，则f (0)＝0.【例1】 设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.【答案】 2【解析】 显然函数f (x )的定义域为R ， f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. 类型2 抽象函数的周期性(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .(3)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .【例2】 已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，且当x ∈(0，3)时，f (x )＝x ＋1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝( ) A.3 B.2 C.1 D.0【答案】 C【解析】 因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数， 所以f (－2 017)＝－f (2 017)， 因为当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，即当x ≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次. 又当x ∈(0，3)时，f (x )＝x ＋1， ∴f (2 017)＝f (336×6＋1)＝f (1)＝2， f (2 018)＝f (336×6＋2)＝f (2)＝3.故f (－2 017)＋f (2 018)＝－f (2 017)＋3＝1.类型3 抽象函数的对称性 已知函数f (x )是定义在R 上的函数.(1)若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称，特别地，若f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a ，0)对称.【例3】 (2019·日照调研)函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为________. 【答案】 4【解析】 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称， 所以函数y ＝f (x )的图象关于(0，0)对称， 所以f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为4. 所以f (2 017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，所以f (2 016)＋f (2 018)＝－f (2 014)＋f (2 014＋4) ＝－f (2 014)＋f (2 014)＝0， 所以f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.(2019·玉溪模拟)下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是( ) A.y ＝|log 3x | B.y ＝x 3 C.y ＝e |x |D.y ＝cos |x |【答案】 C【解析】 对于A 选项，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B 项中，y ＝x 3是奇函数. 对于C 选项，函数的定义域是R ，是偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，正确.对于D 选项，y ＝cos |x |在(0，1)上单调递减.2.(一题多解)(2019·河北“五个一”名校联盟二模)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0， 则g (－8)＝( ) A.－2B.－3C.2D.3【答案】 A 【解析】 法一 当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数，则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x ).因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0，故g (－8)＝－log 39＝－2.法二 由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2.3.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2，0)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)等于( )A.－2B.2C.－98D.98 【答案】 B【解析】 由f (x ＋4)＝f (x )知，f (x )是周期为4的函数，f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)，又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (3)＝f (－1)，由－1∈(－2，0)得f (－1)＝2，∴f (2 019)＝2.4.(一题多解)(2017·天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x ).若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a <b <cB.c <b <aC.b <a <cD.b <c <a【答案】 C【解析】 法一 易知g (x )＝xf (x )在R 上为偶函数，∵奇函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0.∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数.又3>log 25.1>2>20.8，且a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，∴g (3)>g (log 25.1)>g (20.8)，则c >a >b .法二 (特殊化)取f (x )＝x ，则g (x )＝x 2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log 25.1>20.8，从而可得c >a >b .5.(2019·山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，且f (x ＋1)是偶函数，不等式f (m ＋2)≥f (x －1)对任意的x ∈[－1，0]恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.[－3，1]B.[－4，2]C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－4]∪[2，＋∞) 【答案】 A【解析】 因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，所以f (x )的图象关于x ＝1对称，由f (m ＋2)≥f (x －1)得|(m ＋2)－1|≤|(x －1)－1|，即|m ＋1|≤|x －2|在x ∈[－1，0]恒成立，所以|m ＋1|≤|x －2|min ，所以|m ＋1|≤2，解得－3≤m ≤1.二、填空题6.若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.【答案】 1【解析】 f (x )为偶函数，则y ＝ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，则ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.7.若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝________. 【答案】 －2【解析】 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又f (x )在R 上的周期为2，∴f (2)＝f (0)＝0.又f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝－2. 8.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是________. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫13，1【解析】 由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|). 当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数，则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，两边平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1. 三、解答题9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x ).于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3， 故实数a 的取值范围是(1，3].10.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 都有f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x 成立. (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期；(2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值.【答案】见解析【解析】(1)由f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x ， 且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎡⎦⎤32＋⎝⎛⎭⎫32＋x ＝ －f ⎣⎡⎦⎤32－⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )， 所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期.(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以|f (x )|为偶函数.故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数，即g (－x )＝g (x )恒成立，于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立.于是2ax ＝0恒成立，所以a ＝0.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·石家庄模拟)已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为( )A.{x |0<x <1或x >2}B.{x |x <0或x >2}C.{x |x <0或x >3}D.{x |x <－1或x >1}【答案】 A【解析】 由题意知函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (－1)＝0，不等式f (x －1)>0⇔f (x －1)>f (1)或f (x －1)>f (－1).∴x －1>1或0>x －1>－1，解之得x >2或0<x <1.12.定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有( )A.f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫14B.f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32C.f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14D.f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14 【答案】 C【解析】 由题设知：f (x )＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称；函数f (x )是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数f (x )在[0，1]上是减函数，所以f (x )在[－1，0]上也是减函数，综上函数f (x )在[－1，1]上是减函数；又f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12，－14<14<12， ∴f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14，即f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14.13.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x ，则有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________. 【答案】 ①②【解析】 在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1，0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故②正确；由②知，f (x )在[0，2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1且f (x )是周期为2的周期函数，∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误.14.设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积.【答案】见解析【解析】(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x ).故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如下图所示.当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.【新高考创新预测】15.(多填题、新定义题)定义：函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值之差为函数f(x)的极差.若定义在区间[－2b，3b－1]上的函数f(x)＝x3－ax2－(b＋2)x是奇函数，则a＋b＝________，函数f(x)的极差为________. 【答案】1 4【解析】由f(x)在[－2b，3b－1]上为奇函数，所以区间关于原点对称，故－2b＋3b－1＝0，b＝1，又由f(－x)＋f(x)＝0可求得a＝0，所以a＋b＝1.又f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3，易知f(x)在(－2，－1)，(1，2)上单调递增，f(x)在(－1，1)上单调递减，所以在[－2，2]上的最大值、最小值分别为f(－1)＝f(2)＝2，f(1)＝f(－2)＝－2，所以极。

-2n （I）求数列｛｝与｛｝的通项公式；（A ）（B ）（C ）（D ）（10）设函数f （x ）=x ²-4x+3，g （x ）=3x-2，集合M={x ∈R|f （g （x ））＞0}，N={x ∈R g （x ）g （x ）＜2}，则M ∩N 为（A ）（1，﹢∞）（B ）（0，1）（C ）（-1，1）（D ）（-∞，1）（11）首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4=__________________（12）若f （x ）=（x+a ）（x-4）为偶函数，则实数a=___________________（13）设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=1，b=2，，则sinB=________（14）设P 为直线与双曲线（a ＞0，b ＞0）左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e=___________（15）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为____________（用数字作答）（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.。

） 已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12.（17）(本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.。

) 已知函数f （x ）=ax3＋bx ＋c 在点x=2处取得极值c-16.。

（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若f （x ）有极大值28，求f （x ）在[﹣3,3]上的最小值.。

（18）(本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分.。

)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.。

约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球三次时投篮结束.。

设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.。

（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率.。

第二章 函 数知识体系 【p 12】第5讲 函数及其表示夯实基础 【p 12】【学习目标】1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．【基础检测】1．给定映射f ：(x ，y )→(x ＋2y ，2x －y )，在映射f 下，(3，1)的象为( )A ．(1，3)B ．(5，5)C ．(3，1)D ．(1，1)【解析】因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝5，2x －y ＝5，所以()3，1的象为()5，5，故选B.【答案】B2．下列图形中可以表示以M ＝{x|0≤x ≤1}为定义域，N ＝{y|0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )【解析】对于选项A ，函数定义域为M ，值域不是N ； 对于选项B ，函数定义域不是M ，值域为N ；对于选项C ，函数定义域是M ，值域为N ，符合题意； 对于选项D ，集合M 中存在x 与集合N 中的两个y 对应， 不构成映射关系，故也不构成函数关系，故选C. 【答案】C 3．函数f (x )＝18－2x －x 2的定义域是( )A.()－4，2B.()－∞，－4∪()2，＋∞C.[]－4，2D.(]－∞，－4∪[)2，＋∞【解析】解不等式8－2x －x 2>0得(x －2)(x ＋4)<0x ∈()－4，2.选A. 【答案】A4．已知定义在R 上的函数f ()x 满足f ()x ＝⎩⎨⎧log 2()8－x ，x ≤0，f ()x －1，x >0，则f ()3＝( )A ．3B ．2C ．log 29D ．log 27【解析】f ()3＝f ()2＝f ()1＝f ()0＝log 28＝3，故选A. 【答案】A 【知识要点】函数映射两集合 A ，B 设A ，B 是两个__非空的数集__ 设A ，B 是两个__非空的集合__ 对应 关系如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的__任意__如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的__任意__(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的__定义域__；与x 的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫作函数的__值域__．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：__定义域__、__值域__和__对应关系__． (3)相等函数：如果两个函数的__定义域__和__对应关系__完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法表示函数的常用方法有：__解析法__、__图象法__、__列表法__． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的__对应关系__，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．典 例 剖 析 【p 13】考点1 函数与映射的概念例1(1)设集合A 和B 都是坐标平面上的点集{}（x ，y ）|x ∈R ，y ∈R ，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在映射f 下，象(2，1)的原象是( )A.()3，1B.⎝⎛⎭⎫32，12 C.⎝⎛⎭⎫32，－12 D ．(1，3) 【解析】由题意得，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝1，解得x ＝32，y ＝12，即在映射f 下，象(2，1)的原象是⎝⎛⎭⎫32，12，故选B.【答案】B【小结】对于映射f ：A →B 的理解要抓住以下三点：(1)集合A 、B 及对应法则f 是确定的，是一个整体，是一个系统；(2)对应法则f 具有方向性，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系是不同的；(3)对于A 中的任意元素a ，在B 中有唯一元素b 与之相对应．其重点在“任意”“唯一”两词上．集合B 中的元素可以没有原象．(2)下列各组函数表示相同函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝1，g (x )＝x 2C ．f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t |D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1【解析】两个函数若是相同函数，需定义域相同，对应关系相同，值域相同．A.f ()x 的定义域是R ，g ()x 的定义域是{}x |x ≥0；B.两个函数的定义域相同，但对应关系和值域不同；C.表面看两个函数的对应关系不同，但函数f ()x ＝||x ，和g ()t ＝||t 是一样的，所以是同一个函数；D.两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数．【答案】C【小结】虽然函数的定义中有定义域、值域和对应关系三要素，由于函数的值域完全由定义域和对应关系完全确定，这样，确定一个函数关系关键就在于定义域和对应关系这两个基本要素；考查两个函数是否相同，只需看它们的对应法则和定义域是否一致．考点2 函数的定义域例2(1)函数f (x )＝x －4|x|－5的定义域是________________． 【解析】由x －4≥0且|x|－5≠0得x ≥4且x ≠5. 【答案】[4，5)∪(5，＋∞)(2)若函数y ＝f (x )的定义域为(0，1)，则f (x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(－1，1)【解析】根据函数的定义，f (x ＋1)中的x ＋1与f (x )中的x 的取值范围相同． 由题意0<x ＋1<1，解得－1<x<0. 故选A. 【答案】A(3)已知函数f (x )＝1kx 2－4kx ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值集合是______________．【解析】由定义域是全体实数可得对于任意实数，不等式kx 2－4kx ＋k ＋8>0恒成立，当k ＝0时有8>0恒成立；当k ≠0时需满足⎩⎨⎧k >0，Δ<0，∴0<k <83，综上，实数k 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫k |0≤k <83.【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫k |0≤k <83方法 解读适合题型直接法 构造使解析式有意义的不等式(组)求解已知函数的具体表达式，求f (x )的定义域转移法若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域 已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域 已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域考点3 函数的解析式例3(1)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x －1，求f (x )及f (2)． 【解析】设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b. 又f [f (x )]＝4x －1， ∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. ∴f (x )＝2x －13，或f (x )＝－2x ＋1.则f (2)＝113，或f (2)＝－3.(2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．【解析】换元法：设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝(t －1)2，∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)．凑配法：∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．【小结】根据已知条件求函数的解析式常用待定系数法、换元法、凑配法、赋值法、解方程组法等．当所求函数的解析式的形式已知(如二次函数、指数函数等)，常用待定系数法．考点4 分段函数例4(1)已知f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x<2，2x ，x ≥2，若f (x )＝3，则x 的值为__________．【解析】当x ≤－1时，f (x )＝x ＋2＝3，得x ＝1(舍)； 当－1<x<2时，f (x )＝x 2＝3，得x ＝－3(舍)或x ＝3； 当x ≥2时，f (x )＝2x ＝3，得x ＝32(舍)．综上可知：x ＝ 3. 【答案】3(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x>1，则f ⎝⎛⎭⎫1f （2）的值为( )A ．－2716 B.1516 C.89 D ．18【解析】∵f (2)＝22＋2－2＝4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （2）＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－⎝⎛⎭⎫142＝1516. 【答案】B【小结】(1)根据分段函数解析式求函数值：首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围：应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．【能力提升】例5已知实数a ≠0，函数f ()x ＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x<1，－x －2a ，x ≥1.(1) 若a ＝－3，求f (10)，f (f (10))的值； (2) 若f (1－a )＝f (1＋a )，求a 的值．【解析】(1) 若a ＝－3，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x<1，－x ＋6，x ≥1.所以f (10)＝－4，f (f (10))＝f (－4)＝－11. (2) 当a>0时，1－a<1，1＋a>1，所以2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32，不合题意，舍去；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，所以－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，解得a ＝－34，符合题意．综上可知，a ＝－34.【小结】分段函数的解析式必须分段考虑，其次注意实际问题中的自变量取值有意义的条件．方 法 总 结 【p 14】1．函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值的集合，也就是：(1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数的真数必须大于零；(4)a x 与log a x 中，a ＞0且a ≠1；(5)y ＝tan x 中，x ≠k π＋π2(k ∈Z )等．在实际问题中还要注意要有实际意义． 2．与分段函数有关的问题，最重要的就是逻辑划分思想，即将问题分段解决．3．求函数的解析式的常用方法有：待定系数法、换元法、凑配法、函数方程法、赋值法等．当已知函数类型时，常用待定系数法，复合函数问题常用换元法或凑配法，抽象函数问题常用赋值法或函数方程法．4．解决抽象函数问题，通常的方法是赋值法，并善于根据题目条件寻找该函数的一个原型，帮助探求结论，找到解题的思路和方法．走 进 高 考 【p 14】1．(2018·江苏)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________． 【解析】由log 2x －1≥0得x ≥2. 【答案】[2，＋∞)。

专题二 考点06 函数的奇偶性与周期性（C 卷）1.已知()f x 在R 上为奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为( ) A.0B.-1C.1D.22.设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是( ) A.(1)1f x -- B.(1)1f x -+ C.(1)1f x +-D.(1)1f x ++3.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=,且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,221()1x f x x +=+,则()2020f =（ ）A.12 B. 12-C.1D.20204.已知定义在R 上的函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，且函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增，30.2a =，0.23b =，0.2log 3c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为( ) A.()()()f a f b f c >> B.()()()f c f a f b >> C.()()()f b f a f c >>D.()()()f c f b f a >>5.设函数()()y f x x =∈R 为偶函数,且x ∀∈R ,满足3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当[2,3]x ∈时,()f x x =,则当[2,0]x ∈-时,()f x =( )A.4x +B.2x -C.21x ++D.31x -+6.已知()3()2()F x x x f x =-，且()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x 不恒等于零，则()F x 为( ) A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数7.已知()f x 是定义在区间(,0)(0,)-∞⋃+∞上的奇函数，对任意不相等实数12,(0,)x x ∈+∞，满足()()1221210x f x x f x x x ->-，且(2)4f =，则不等式()20f x x ->的解集为( ) A.(2,0)(2,)-⋃+∞B.(2,0)(0,2)-⋃C.(,0)(0,4)-∞⋃D.(,2)(2,)-∞-⋃+∞8.函数()f x 对任意x ∈R 满足1(4)()f x f x +=及()()0f x f x --=，且在(2,0)-上有()2f x x =-，则(2021)f =( ) A.13-B.13C.-3D.39.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ) A.()()()251180f f f -<< B.()()()801125f f f <<- C.()()()118025f f f <<- D.()()()258011f f f -<<10.历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet ），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数:1,,()0,c x f x x ∈⎧=⎨∈⎩Q Q （其中Q 为有理数集，c Q 为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：,,(),c a x D x b x ∈⎧=⎨∈⎩Q Q （其中,a b ∈R ，且a b ≠）以下对()D x 的说法错误的是( )A.()D x 的定义域为RB.当a b >时，()D x 的值域为[,]b a ；当a b <时，()D x 的值域为[,]a bC.()D x 偶函数D.()D x 为在实数集的任何区间上都不具有单调性11.已知定义在R 上的偶函数() f x 满足(1)(3)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()31x f x =-，则(2021)f -=________;当[2,4]x ∈时，()f x =________.12.已知定义在R 上的奇函数()f x ,对任意x 都满足()()24x x f f +=-,且当[0,3]x ∈时,()()2log 1f x x =+,则()2019f =________________.13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当[0,)x ∈+∞时，2()2f x x x =+，则(1)f -=__________.14.已知函数()y f x =，()y g x =的定义域为R ，且()()y f x g x =+为偶函数，()()y f x g x =-为奇函数，若(2)2f =，则(2)g -=_________.15.设函数()f x 的定义域为(1,1)-，且满足： ①(1,0)x ∈-时，()0f x >；②()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，,(1,1)x y ∈-.则()f x 是________函数（填“奇”或“偶”），且()f x 在定义域上是__________函数（填“增”或“减”）.答案以及解析1.答案：A 解析：(2)(),()f x f x f x +=-∴为周期函数，且4T =.又()f x 为奇函数，(0)0.(6)(2)(0)0f f f f ∴=∴==-=. 2.答案：B解析：本题考查函数的性质.由1()1xf x x-=+，得1(1)2(1)1(1)x x f x x x ----==+-，1(1)(1)1(1)2x x f x x x -+-+==+++，所以22(1)112x f x x x ---=-=-，显然不是奇函数；22(1)11x f x x x --+=+=是奇函数；22(1)12xf x x --+-=+显然不是奇函数；2(1)12f x x++=+，显然不是奇函数. 3.答案：A解析：∵函数()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()()33f x f x -=--，∴由题意得()()()33f x f f x x -==--，∴()()()333f x f x f x +=+-=，∴()f x 的周期为3，∴(2020)(36731)(1)(1)f f f f =⨯+==--.又3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，221()1x f x x +=+，∴1(1)2f -=-，∴1(2020)2f =.4.答案：C解析：函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，∴函数()y f x =的图象关于点(0,0)对称，∴函数()y f x =为奇函数.函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增，∴函数()y f x =在R 上单调递增，0.230.2310.20log 3b a c ∴=>>=>>=，()()()f b f a f c ∴>>，故选C. 5.答案：D 解析：x ∀∈R ,满足31,(2)()22f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故()()y f x x =∈R 是周期为2的函数.①当[2,1]x ∈--时,4[2,3],()(4)4x f x f x x +∈=+=+;②当(1,0]x ∈-时,[0,1),2[2,3)x x -∈-+∈,又函数()()y f x x =∈R 为偶函数,()()(2) 2f x f x f x x ∴=-=-+=-+.综合①②可知,当[2,0]x ∈-时,()3|1|f x x =-+.故选D.6.答案：B解析：依题意得()F x 的定义域为R ，且()()33()2()2()()F x x x f x x x f x F x -=-+-=-=，所以()F x 为偶函数，故选B. 7.答案：A解析：令210x x >>，则210x x ->，依题意可得()()1221x f x x f x -0>，即()()21210f x f x x x ->，令()()f x F x x=，则()F x 在(0,)+∞上是增函数， 易知()F x 为偶函数且在(,0)-∞上单调递减， 当0x >时，()20f x x ->等价于()20f x x ->，即()(2)22f x f x >=，即()F x (2)F >，则2.x >当0x <时，()20f x x ->等价于()20f x x-<，即()(2)F x F <-，则2x -<<0.综上，不等式()20f x x ->的解集为(2,0)(2,)-⋃+∞，故选A.8.答案：B 解析：由1(4)()f x f x +=得1(8)()(4)f x f x f x +==+，所以函数()f x 的周期为8因为()()0f x f x --=，所以函数()f x 为偶函数，其图像关于y 轴对称又在(2,0)-上有()2f x x =-，所以1111(2021)(82525)(5)(1)(1)2(1)3f f f f f =⨯+=====---. 故选B. 9.答案：D解析：因为()f x 满足()()4f x f x -=-,所以()()8f x f x -=,所以函数()f x 是以8为周期的周期函数,则()()()()()()251,80013,1f f f f f f -=-==.由()f x 是定义在R 上的奇函数,且满足()()4f x f x -=-,得()()()()11311f f f f ==--=.因为()f x 在区间[]0,2是增函数,()f x 在R 上是奇函数,所以()f x 在区间[2,2]-上是增函数,所以()()()101f f f -<<,即()()()258011f f f -<<.故选D. 10.答案：B解析：显然无理数集和有理数集的并集是实数集，故A 正确； ()D x 的函数值只有两个，所以()D x 的值域为{,}b a ，故B 错误；若x ∈Q ,则x -∈Q ,()()D x D x a =-=,若x ∈Q ,则c x -∈Q ,()()D x D x b =-=,所以()D x 为偶函数，故C 正确；由于任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有有理数，()D x 的函数值在a ,b 之间无限转换，所以()D x 在实数集的任何区间上都不具有单调性，故D 正确. 11.答案：2;43x -解析：由(1)(3)f x f x +=-，得(4)()f x f x +=，所以()f x 是以4为周期的周期函数.所以(2021)(2021)(45051)(1)312f f f f -==⨯+==-=.设[2,0]x ∈-，则[0,2]x -∈.因为()f x 是R 上的偶函数，所以当[2,0)x ∈-时，()()31x f x f x -=-=-.当[2,4]x ∈时，4[2,0]x -∈-，所以(4)4()(4)3131x x f x f x ---=-=-=-. 12.答案：2解析：由()()24f x f x +=-可得()()6f x f x =-,又()f x 在R 上为奇函数,即()()()00,f x f x f -=-=,所以()()()()612f x f x f x f x =--=-+=+,则()f x 是周期为12的周期函数,所以()()()()220191681233log 312f f f =⨯+==+=. 13.答案：-3解析：因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当[0,)x ∈+∞时，2()2f x x x =+， 所以()2(1)(1)1213f f -=-=-+⨯=-. 14.答案：2解析：因为()()y f x g x =+为偶函数，()()y f x g x =-为奇函数， 所以(2)(2)(2)(2)f g f g -+-=+①， (2)(2)(2)(2)f g g f ---=-②，由①②可得，(2)(2)f g =-，若(2)2f =，则(2)2g -=.故答案为2. 15.答案：奇；减解析：()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，令0x y ==，则(0)(0)(0)f f f +=，所以(0)0f =， 令y x =-，则()()(0)0f x f x f +-==，又因为(1,1)x ∈-， 所以()f x 为奇函数.任取12,(1,0)x x ∈-，且12x x <，则()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭，因为1210x x -<<<，所以120x x -<，1201x x <<， 所以1210x x ->， 所以121201x x x x -<-，因为()()12121212111011x x x x x x x x +--+=>--，所以121211x xx x ->--， 所以1212101x x x x --<<-，由条件①得121201x x f x x ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，所以()()120f x f x ->， 所以()f x 在(1,0)-上是减函数， 又()f x 为奇函数， 在(1,0)-上()0f x >， 所以()f x 在(1,1)-上是减函数.。

第二章 第4节 指数与指数函数[基础训练组]1．已知f (x )＝2x ＋2－x，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：B [由f (a )＝3得2a＋2－a＝3，两边平方得22a＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.]2．函数y ＝2x－2－x是( ) A ．奇函数，在(0，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，在(0，＋∞)上单调递减 C ．偶函数，在(－∞，0)上单调递增 D ．偶函数，在(－∞，0)上单调递减解析：A [根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，借助指数函数的图象及相关结论判断单调性．令f (x )＝2x－2－x，则f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，所以函数是奇函数，排除C 、D.又函数y ＝2x ，y ＝－2－x都是R 上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知f (x )＝2x－2－x是R 上的增函数，故选择A.]3．(理科)(2018·宜宾市诊断)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a|x ＋b |的图象为( )解析：A [∵x ∈(0,4)，∴x ＋1>1，∴f (x )＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，取等号．∴a ＝2，b ＝1.因此g (x )＝2|x ＋1|，该函数图象由y ＝2|x |向左平移一个单位得到，结合图象知A 正确．]3．(文科)函数y ＝xa x|x |(0<a <1)图象的大致形状是( )解析：D [函数定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >0，－a x，x <0.当x >0时，函数是一个指数函数，因为0<a <1，所以函数在(0，＋∞)上是减函数；当x <0时，函数图象与指数函数y ＝a x(x <0,0<a <1)的图象关于x 轴对称，在(－∞，0)上是增函数．]4．若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]5．若函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则实数a 的值是( ) A ．3 B.13C ．3或13D ．5或15解析：C [设a x ＝t ，则原函数的最大值问题转化为求关于t 的函数y ＝t 2＋2t －1的最大值问题．因为函数图象的对称轴为t ＝－1，且开口向上，所以函数y ＝t 2＋2t －1在t ∈(0，＋∞)上是增函数．当a >1时，a －1≤t ≤a ，所以t ＝a 时，y 取得最大值14，即a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3(舍去－5)；当0<a <1时，a ≤t ≤a －1，所以t ＝a －1时，y 取得最大值14，即a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去－15.综上，实数a 的值为3或13，选C.]答案：9答案：(－∞，8]10．已知函数f (x )＝4x＋m2x 是奇函数．(1)求m 的值； (2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，求实数a 的取值范围．解析：(1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点， 即方程4x－12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a ·2x＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x>0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 方法一：由于a ＝t ＋1t≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．方法二：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0， ∴只须⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2>0，解得a ≥2.∴a 的取值范围为[2，＋∞)．[能力提升组]11．设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x K ，K ，f x K ，给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1解析：D [根据给出的定义，f K (x )是在函数y ＝f (x )，y ＝K 中取较小者．对任意的x ∈(－∞，1]上恒有f K (x )＝f (x )，等价于对任意的x ∈(－∞，1]上恒有f (x )≤K ，等价于f (x )max ≤K ，x ∈(－∞，1]．令t ＝2x∈(0,2]，则函数f (x )＝2x ＋1－4x ，即为函数φ(t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1≤1，故函数f (x )在(－∞，1]上的最大值为1，即K ≥1.故选D.]12．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：D [方程|a x－1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x－1|与y ＝2a 有两个交点． ①当0<a <1时，如图(1)，∴0<2a <1，即0<a <12.②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12.]13．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值范围是 ________ .解析：原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.答案：(－1,2) 14．已知函数f (x )＝3x－13|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值； (2)判断x >0时，f (x )的单调性；(3)若3tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)当x ≤0时，f (x )＝3x －3x ＝0，∴f (x )＝2无解．当x >0时，f (x )＝3x －13x ，令3x－13x ＝2.∴(3x )2－2·3x－1＝0，解得3x＝1± 2. ∵3x>0，∴3x＝1＋ 2.∴x ＝log 3(1＋2)．(2)∵y ＝3x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝13x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )＝3x－13x 在(0，＋∞)上单调递增．(3)∵t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴f (t )＝3t－13t >0.∴3t f (2t )＋mf (t )≥0化为3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －132t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t －13t ≥0，即3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t＋13t ＋m ≥0，即m ≥－32t－1.令g (t )＝－32t－1，则g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上递减，∴g (x )max ＝－4.∴所求实数m 的取值范围是[－4，＋∞)．。

第二篇 函数及其性质 专题2.03 函数的奇偶性与周期性 【考试要求】 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义； 2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义. 【知识梳理】 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点

偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称

奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 【微点提醒】 1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). 2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 3.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0). 4.对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.( ) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( ) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.( ) (4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.( )

课时规范练 A组 基础对点练 1．(2019·江西赣中南五校联考)函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(－2，－1) D．(－1,0) 解析：∵f(－2)＝－359，f(－1)＝－23，

f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5， ∴f(0)f(1)＞0，f(1)f(2)＞0， f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f(0)＜0，故选D. 答案：D 2．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)·(x－a)的两个零点分别位于区间( ) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 解析：令y1＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＝(x－b)[2x－(a＋c)]，y2＝－(x－c)(x－a)，由a1，y2的图象(图略)，由图可知两函数图象的两个交

点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，即函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内． 答案：A 3．(2019·贵阳模拟)函数f(x)＝lg x－sin x在(0，＋∞)上的零点个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：函数f(x)＝lg x－sin x的零点个数，即函数y＝lg x的图象和函数y＝sin x的图象的交点个数，如图所示．显然，函数y＝lg x的图象和函数y＝sin x 的图象的交点个数为3，故选C. 答案：C 4．(2019·宁夏育才中学月考)已知函数f(x)＝ ex＋a，x≤0，3x－1，x＞0(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( ) A．(－∞，－1) B．(－∞，0) C．(－1,0) D．[－1,0) 解析：当x＞0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝13，所以只需要当x≤0时，ex

＋a＝0有一个根即可，即ex＝－a.当x≤0时，ex∈(0,1]，所以－a∈(0,1]，即a∈[－1,0)，故选D. 答案：D 5．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若x0∈(－1,1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3) C．(－3,1) D．(1，＋∞) 解析：依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1，故选A. 答案：A 6．(2019·聊城模拟)若方程|3x－1|＝k有两个解，则实数k的取值范围是________． 解析：曲线y＝|3x－1|与直线y＝k的图象如图所示，由图象可知，如果y＝|3x－1|与直线y＝k有两个公共点，则实数k应满足0＜k＜1. 答案：(0,1) 7．已知函数若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________． 解析：作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示：