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不等式恒成立问题——数形结合法一、基础知识：1、函数的不等关系与图像特征：（1）若x D ∀∈，均有()()()f x g x f x <⇔的图像始终在()g x 的下方； （2）若x D ∀∈，均有()()()f x g x f x >⇔的图像始终在()g x 的上方。
2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数；3、要了解所求参数在图像中扮演的角色，如斜率，截距等；4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图像，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）；5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备；6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点： （1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图； （2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义； （3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征。
二、典型例题：例1：已知不等式()21log a x x -<在()1,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是_________。
思路：本题难于进行参变分离，考虑数形结合解决，先作出()21y x =-的图像，观察图像可 得：若要使不等式成立，则log a y x =的图像应在()21y x =-的上方，所以应为单增的对数函数，即1a >，另一方面，观察图像可得：若要保证在()1,2x ∈时不等式成立，只需保证在2x =时，()21log a x x -<即可，代入2x =可得：1log 22a a ≤⇒≤，综上可得：12a <≤答案：12a <≤小炼有话说：（1）通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围。
（2）学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的2x =） （3）处理好边界值是否能够取到的问题例2：若不等式log sin 2(0,1)a x x a a >>≠对于任意的0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是___________。
数形结合思想与初中一元一次不等式求解教学
数形结合思想是数学教学中的一种教学方法，它通过将数学概念与图形进行结合，使
学生能够通过对图形的观察、分析和推理，深入理解数学概念，提高数学思维能力和解决
问题的能力。
在初中一元一次不等式求解的教学中，数形结合思想也可以发挥重要作用。
可以通过绘制数值的线段图或数轴图来将不等式问题可视化。
对于不等式x-2>3，可
以在数轴上找出满足条件的x的取值范围，并用阴影区域表示。
这样，学生可以通过观察
图形直观地理解不等式的含义，提高对不等式问题的认识和理解。
可以通过绘制几何图形来解决一元一次不等式问题。
对于求解不等式2x+3<9，可以将不等式化为2x<6，然后绘制2x=6的直线和y=9的直线，通过观察两者的交点来确定x的取值范围。
这样，学生可以通过几何图形的观察和推理，解决不等式问题，提高解决问题的
能力和思维能力。
数形结合思想还可以通过实际问题的分析和图形的绘制来提高学生的解决问题的能力。
通过绘制不等式2x+3>0的线段图，可以找出满足条件的x的取值范围，并根据实际问题的要求确定具体的解。
这样，学生不仅可以将数学知识应用到实际问题中，还可以通过图形
的分析和推理解决问题，提高解决问题的能力和思维能力。
数形结合思想在解题中的应用2012年秋季学期，广西将进入高中新课程改革，新课程理念逐渐深入人心；学习新理念，转变旧观念正成为高中教师重要的课题.数学课程改革的重心是发展学生的广泛的数学能力，注重数学思想、方法的教学渗透,培养学生形成良好的数学素质.数形结合是高中数学中重要的思想方法，通过数形结合可沟通数与形的内在联系，把代数语言的精确刻画与几何图形的直观描述有机地结合起来，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能使高中数学中许多复杂问题迎刃而解，收到事半功倍的效果.【例1】解不等式x+2＞x.解法一：原不等式可化为x≥0x+2≥0x+2≥x2或x＜0x+2≥0，解得0≤x＜2或-2≤x＜0，∴原不等式的解集为{x|-2≤x＜2}.解法二：设y1=x+2,y2=x,在同一坐标系中作出这两个函数的图象（如图1），则不等式x+2＞x的解就是y1=x+2的图象在y2=x的上方的那一段对应的横坐标，即不等式的解集为{x|xa≤x＜xb}，其中xa=-2，解方程x+2=x得xb=2.∴原不等式的解集为{x|-2≤x＜2}.评析：比较上述两种解法，可以看到用图形直观地反映数量关系，解决问题简洁明了.【例2】设f(x)=x2-2ax+2-a，当x∈［-1,+∞］时，f(x)＞a恒成立，求实数a的取值范围.解法一：f(x)＞a在x∈［-1,+∞)上恒成立等价于x2-2ax+2-a ＞0在x∈［-1,+∞)上恒成立.设函数g(x)=x2-2ax+2-a，其图象在x∈［-1,+∞)时位于x轴上方有两种情况（如图2、图3所示）.(1)δ=4a2-4(2-a)＜0,解得-2＜a＜1；(2)δ=4a2-(2-a）≥0a＜-1g(-1)=a+3＞0，解得-3＜a≤-2.故实数a的取值范围是(-3,1).解法二：由f(x)＞a得x2+2＞a(2x+1)，设h(x)=x2+2，t(x)=a(2x+1),在同一坐标系中这两个函数的图象如图4所示，直线l1与抛物线相切，的对应值为1，直线l2经过点(- 12,0) 和点（-1，3），a的对应值为-3，符合题意的直线t(x)=a(2x+1)恒过点(-12,0)且位于l1与l2之间，故实数a的取值范围是(-3,1).图5【例3】已知：椭圆x29+y24=1 与抛物线y=x2+m有四个不同的交点，求实数m的取值范围.错解：在同一坐标系中作出椭圆和抛物线的图象（如图5），根据图象可得：m＜-2-m＜3，解得-9＜m＜-2.评析：图形的直观性给解决问题提供了很大的帮助，但离开了严格的数学推理，往往受图形直观错觉的影响得出错误的结论.图6正解：联立椭圆和抛物线的方程，得x29+y24 =1y=x2+m ，消去y,整理得9x4+(18m+4)x2+9m2-36=0，令t=x2,得9t2+(18m+4)t+9m2-36=0.设f(t)=9t2+(18m+4)t+9m2-36，根据题意知方程f(t)=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根（如图6），即得δ=(18m+4)2-36(9m2-36)＞0，-18m+418 ＞0，f(0)=9m2-36＞0解得-829＜m＜-2 .评析：这是一个关于图形交点的问题，求解过程却是从分析方程的根的情况入手，而在讨论方程f(t)=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根时，又需要利用二次函数的图象特征，这样数和形的密切结合、相互补充，使问题得到了圆满的解决.(责任编辑黄春香）。
从数形结合角度解绝对值不等式文︳吴远觉绝对值不等式的常见解法有定义法、平方法、零点分区法，要点在于去掉绝对值。
如果运用绝对值的几何意义，或者运用绝对值函数图像，从数形结合角度来解绝对值不等式，则显得直观、简便。
下面笔者结合实例加以说明。
例1（2017年全国卷Ⅲ）已知函数f（x）= |x+1|-|x-2|，求不等式f（x）≥1的解集。
解析：|x+1|-|x-2|表示x与-1的距离和x与2的距离之差，f（x）≥1表示这个差不小于1。
结合数轴可知，x需位于1或者1的右边（如图1），故不等式的解集为{x|x≥1}。
图1当然也可以通过零点分区讨论求解，还可以作出函数f（x）与y=1的图像，从图像上发现f（x）的解是{x|x≥1}。
例2（2009年辽宁卷）设函数f（x）=|x-1|+|x-a|。
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3；（2）如果xf（x）≥2恒成立，求a的取值范围。
解析：（1）a=-1时，f（x）=|x-1|+|x+1|表示x到-1的距离和到1的距离之和。
如图2，当x位于-1和1中间时，f（x）=2＜3，显然不成立，故x需位于-1左侧或者1的右侧。
由线段长可知，x∈（-∞，-1.5］∪［1.5，+∞）。
图2（2）xf（x）≥2恒成立表示f（x）的最小值大于等于2。
而f（x）最小时x位于1和a的中间，故a应该在1的左边或者右边最少相距2的位置，故a∈（-∞，-1］∪［3，+∞）。
本题常规做法需要对a与1进行比较，分三种情况讨论，显得繁琐。
数形结合让题目变得简单直观，方便快捷。
例3设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）>f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”。
已知f（x）是定义在上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）为上的“2015型增函数”，则实数a的取值范围是（）A.（-∞，20154） B.（20154，+∞）C.（-∞，20156） D.（20156，+∞）解析：本题的常规方法是由奇函数的性质可得f（x）的解析式：f（x）=|x-a|-2a，x＞0，0，x=0，-|x-a|+2a，x＜0。
数形结合思想是解答高中数学问题常用的一种数学思想.在解答不等式问题时，灵活运用数形结合思想，根据不等式的几何意义画出几何图形，通过图形和数量关系之间的转化，可以使解题的过程变得更加简单，有利于提升解题的效率.一、求参数的取值范围在运用数形结合思想解答含参不等式问题时，可先根据不等式的结构特征，将参数与变量分离，使参数在不等式的一侧；再将不等式另一侧的式子构造成函数，判断出函数的单调性，画出函数的图象，或根据另一侧式子的几何意义画出几何图形，即可通过研究图形的变化趋势，确定不等式另一侧式子的最值，进而求得参数的取值范围.例1.已知集合A ={}|()x ,y m 2≤()x -22+y 2≤m 2,x ,y ∈R ，B ={}|()x ,y 2m ≤x +y ≤2m +1,x ,y ∈R ，若A ⋂B ≠∅，则实数m 的取值范围为_____.解：由A ⋂B ≠∅可知A ≠∅，故m 2≤m 2，可得m ≤0或m ≥12，①当m ≤0时，集合A 表示以()2,0为圆心、以||m 为半径的圆，集合B 表示两平行线y =2m 和y =2m +1之间的区域，而点()2,0到直线y =2m 的距离d 1=||2-2m 2=2-2m >-m ，点()2,0到直线到y =2m +1的距离d 2=||2-2m -12=-2m >-m ，可知集合A 与集合B 无交集，所以不等式无解.②当m ≥12时，集合A 表示以()2,0为圆心、和||m 为半径的圆环，如图1所示.图1则圆心A 到直线y =2m 的距离d 1=||2-2m 2=2-2m ≤m ，解得12≤m ≤2+2，故实数m 的取值范围为éëêùûú12,2+2.解答本题，需将集合A 中的元素看作以()2,0为圆心，||m 为半径的圆环上的点，集合B 中的元素看作两平行线y =2m 和y =2m +1之间的点，通过研究圆与直线之间的位置关系，建立满足题意的关系式，进而求得参数的取值范围.运用数形结合思想解答此类问题，要仔细挖掘代数式的几何意义，并画出相应的几何图形，借助几何图形来分析问题.例2.已知f ()x =x ||x ，若对任意x ∈éëêùûút -2,1t ，不等式f ()x +t ≥4f ()x 恒成立,则实数t 的取值范围为_____.解：由题意可知f ()x =x ||x =ìíîx 2,x ≥0,-x 2,x <0,由图2可知f ()x 在R 上单调递增.图2因为4f ()x =4x ||x =2x ||2x =f ()2x ，所以f ()x +t ≥4f ()x ⇔f ()x +t ≥f ()2x ，即x +t ≥2x ⇔t ≥x 在x ∈éëêùûút -2,1t 上恒成立.图3解题宝典39由图3可知,ìíîïïïït ≥1t,t -2≤1t ,①当t >0时，ìíîïïïït ≥1t,t -2≤1t ,⇔ìíît 2-1≥0,t 2-2t -1≤0,解得1≤t ≤1+2，②当t <0时，ìíîïïïït ≥1t,t -2≤1t ,⇔ìíît 2-1≤0,t 2-2t -1≥0,解得-1≤t ≤1-2，综上可知，实数t 的取值范围为[]-1,1-2⋃[]1,1+2.解答本题,需先根据函数f ()x =x ||x 的解析式画出图象,以根据其图象和单调性去掉f ()x +t ≥4f ()x 的符号“f ”，将不等式转化为常规不等式；然后借助数轴来讨论满足不等式的t 的取值范围.在解不等式时，要学会将问题转化为函数图象、数轴上的点的集合的问题，运用数形结合思想来解题，这样能有效地提升解题的效率.二、求不等式的解集含参不等式问题往往较为复杂，运用数形结合思想来辅助解题，能有效地提升解题的效率.在解题时，要先将不等式变形，构造出合适的函数模型.可构造一个函数模型，将不等式化为f ()x >0、f ()x <0的形式；也可以构造两个函数模型，将不等式化为f ()x >g ()x 、f ()x <g ()x 的形式.再画出函数的图象，研究函数图象与x 轴、图象之间的位置关系，找到使不等式成立的情形，从而建立新不等式.通过解新不等式，求得不等式的解集.例3.解关于x 的不等式：a 2-2x 2>x +a .解：设y 1=x +a ，y 2=a 2-2x 2，则y 1=x +a 表示的是一条直线，y 2=a 2-2x 2表示的是半个椭圆，如图4所示.图4由a 2-2x 2=x +a ，可得x =0或x =-2a 3，移动直线，由图4可知，当-2a3<x <0时，直线始终在椭圆的下方，故不等式的解集为{}|x -2a3<x <0.先将不等式两侧的式子分别构造成函数y 1=x +a ，y 2=a 2-2x 2，并画出两个函数的图象；然后移动直线的位置，即可发现要使不等式恒成立，需使直线始终在椭圆的下方；再求得两个函数的交点，就能发现当-2a3<x <0时，直线始终在椭圆的下方.运用数形结合思想解不等式，关键要根据题意找出临界的情形，并求出相应的值.例4.已知f ()x 是R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，若f ()a =0()a >0，则不等式xf ()x <0的解集为_____.解：由题意可画出f ()x 的图象，如图5所示.图5由xf ()x <0，可知x 与f ()x 异号.由图5可知，当x ∈()-a ,0⋃()a ,+∞时，x 与f ()x 异号，故不等式的解集为{}|x -a <x <0或x >a .若采用常规方法解答本题，则需进行分类讨论，解题的过程较为复杂.我们运用数形结合思想，根据函数的解析式画出图象，讨论满足不等式的情形，即可确定x 的取值范围.运用数形结合思想解不等式，需通过研究图象，找出满足题意的一段曲线，并求出与之对应的x 的取值范围.运用数形结合思想，将不等式问题转化为几何图形问题或函数图象问题，即可通过研究图形或图象的位置关系，快速获解.这样不仅能使题目中的条件变得直观，还能使解题的思路更加明朗，有助于提升解题的效率.（作者单位：新疆巴楚县第一中学）解题宝典40。
