北师大版2020九年级数学上册2.6应用一元二次方程自主学习基础过关测试A卷(附答案详解)

北师大版2020九年级数学上册第二章一元二次方程自主学习培优测试卷A （附答案详解）1．已知关于x 的方程20x px q -+=的两个根分别是0和2-，则p 和q 的值分别是（ ）A ．2p =-，0q =B ．2p =，0q =C ．12p =，0q =D ．12p =-，0q =2．关于 x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+3x+m 2﹣1=0 的一根为 0，则 m 的值是（ ） A ．±1 B ．±2 C ．﹣1 D ．﹣23．党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番．在本世纪的前20年（2001～2020年），要实现这一目标，以10年为单位计算，设每10年的国民生产总值的增长率都是x ，那么x 满足的方程为（ ）．A ．（1+x ）2=2B ．（1+x ）2=4C ．1+2x=2D ．（1+x ）+2（1+x ）=44．若关于x 的一元二次方程()20a x m b ++=的解是123,1x x =-=，（a ，b ，m 均为常数，a≠0），则方程()220a x m b +-+=的解是（ ）A ．125,1x x ==B ．123,7x x =-=-C ．123,1x x ==-D ．121,5x x =-=- 5．关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠．下列论断：()1若0a b c -+=，则它有一根为1-；()2若它有一根为c -，则一定有1ac b -=-；()3若2b a c =+，则它一定有两个不相等的实数根；其中正确的是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则A ．2m =±B ．2m ≠±C ．m=–2D ．m=27．将方程23610x x +-=配方，变形正确的是（ ）A ．2(31)10x +-=B ．2(31)20x +-=C ．23(1)40x +-=D ．2 3(1)10x +-=8．将方程x 2+4x ＝5左边配方成完全平方式，右边的常数应该是( )A ．9B ．1C ．6D ．49．我们解方程3x 2-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x （x-2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，进而得到原方程的解为x 1=0，x 2=2．这种解法体现的数学思想是（ ）A ．函数思想B ．数形结合思想C ．公理化思想D ．转化思想10．关于x 的方程2m(x h)k 0(m ++=，h ，k 均为常数，m 0)≠的解是1x 3=-，2x 2=，则方程2m(x h 3)k 0+-+=的解是（ ）A ．1x 6=-，2x 1=-B ．1x 0=，2x 5=C ．1x 3=-，2x 5=D ．1x 6=-，2x 2=11．有一个矩形铁片，长是30cm ，宽是20cm ，中间挖去2144cm 的矩形，剩下的铁框四周一样宽，若设宽度为xcm ，那么挖去的矩形长是________cm ，宽是________cm ，根据题意可得方程________．12．在实数范围内因式分解2243=x x +- _____________.13．已知关于x 的方程x 2﹣kx ﹣6=0的一个根为x=3，则实数k 的值为_____．14．请写出一个根为x 1=，另一个根满足2x 1-<<的一元二次方程________．15．关于x 的一元二次方程（x ﹣2）2=k +2有解，则k 的取值范围是_____．16．已知x 1、x 2是一元二次方程x 2＋x －3＝0的两个根，则x 1＋x 2＝______．17．一元二次方程x 2=4x 的根是_____．18．一种微波炉每台成本价原来是400元，经过两次技术改进后，成本降为256元，如果每次降低率相同，则降低率为________．19．已知关于x 的方程()()2m 1x 2m 1x m 10-+-++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．20．一条长64cm 的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形．若两个正方形的面积和等于2160cm ，则两个正方形的边长分别为________．21．如图，有长为30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20m ），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB ）的矩形花圃ABCD ．设花圃的一边AB 为()x m ．()1则BC =________（用含x 的代数式表示），矩形ABCD 的面积=________（用含x 的代数式表示）；()2如果要围成面积为263m 的花圃，AB 的长是多少？()3将()1中表示矩形ABCD 的面积的代数式通过配方，问：当AB 等于多少时，能够使矩形花圃ABCD 面积最大，最大的面积为多少？22．解方程:(1)(3x +8)2-(2x -3)2=0;(2)2x 2-6x +3=0.23．（1）不解方程，求方程5x 2﹣1=2x 的两个根x 1、x 2的和与积；（2）求证：无论p 取何值，方程（x ﹣2）（x ﹣1）﹣p 2=0总有两个不相等的实数根． 24．计算题；；；．25．已知|a －1|＋2b +＝0,求方程a x ＋bx ＝1的解. 26．解方程： ()211(3)13x +=； ()()22(21)327x x x -=+-． 27．已知m ，n 是一元二次方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求代数式2m 2＋4n 2－6n ＋1999的值．(提示：用根的定义和根与系数的关系来解)28．某服装店销售一批衬衫，每件进价元，开始以每件元的价格销售，每星期能卖出件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价元，每星期能卖出件．已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率；聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，且每件衬衫售价每降低元，销售会增加件，若店主想要每星期获利元，应把售价定为多少元？参考答案1．A【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可以计算出两根之和，两根之积，然后可以求出p，q的值．【详解】由题意知，x1x2=q=0，x1+x2=p=-2．∴p=-2，q=0．故选A．【点睛】本题考查对韦达定理（根与系数的关系）的简单运用，由于选项中q=0是确定的，所以只要考虑p就可以了，由p=-2即可确定．2．C【解析】【分析】把x=0 代入方程得到一个关于m 的方程，求出方程的解．【详解】解：把x=0 代入方程得：0+0+m2﹣1=0，解得：m=±1，∵m﹣1≠0，∴m=﹣1，故选C．【点睛】本题主要考查对一元二次方程的解，一元二次方程的定义等知识点的理解和掌握，解此题的关键是能理解一元二次方程的解的含义．3．B【解析】试题分析：主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可用x表示出2010年的国民生产总值，再根据2010年的生产总值表示出2020年的生产总值．最后根据已知条件列出方程化简即可得出本题的答案．解：设2000年生产总值为1，则2020年的国民生产总值为22=4，依题意得：2010年的国民生产总值=1×（1+x）=1+x，则2020年的国民生产总值=（1+x）（1+x）=（1+x）2=4∴（1+x）2=4．故选B．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．4．C【解析】【分析】先根据题意求出x与a、b、m的关系及，进而将方程a（x＋m－2）2＋b＝0变形求出解即可.【详解】∵方程a（x＋m）2＋b＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1，∴x＝﹣3或1.a（x＋m－2）2＋b＝0可变形为x＝2－所以方程a（x＋m－2）2＋b＝0的两根分别为x1＝2－3＝﹣1，x2＝2＋1＝3.故选C.【点睛】此题考查解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键.5．C【解析】【分析】（1）与（2）根据方程的根的定义，代入方程分别把x＝−1和x＝−c代入检验即可；（3）将b＝a＋2c代入△中，再判断△与0的关系即可确定方程根的个数．【详解】（1）∵方程有一根为−1；∴ax2＋bx＋c＝0可变形为a−b＋c＝0；所以（1）正确；（2）∵方程有一根为−c；∴a（−c）2＋b（−c）＋c＝0可变形为ac2−bc＋c＝0；化简得：c（ac−b＋1）＝0，当c≠0时，ac−b＋1＝0，ac−b＝−1；但是当c＝0时，上面的关系不一定成立，所以（2）不一定成立；（3）∵b＝a＋2c，∴△＝b2−4ac＝（a＋2c）2−4ac＝a2＋4c2；∵a≠0；∴△＝a2＋4c2＞0；∴方程一定有两个不相等的实数根；所以（3）正确．故选：C．【点睛】本题考查了方程的根的定义，方程解的个数的判定可以转化为判定判别式与0的大小关系．6．D【解析】m=2且m+2≠0，解得m=2．故选D．根据一元二次方程的定义可得：||7．C【解析】【分析】首先把二次项系数化为1，然后进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．【详解】∵3x2+6x-1=0∴3（x2+2x）-1=0∴3（x2+2x+1-1）-1=0∴3（x2+2x+1）-3-1=0∴3（x+1）2-4=0故选：C【点睛】先把二次项的系数化为1，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．8．A【解析】【分析】在方程两边都加上4，配方即可.【详解】解：∵245x x +=，∴44454x x ++=+，∴()229x +=，故选：A .【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，掌握一元二次方程的配方法是解决本题的关键. 9．D【解析】【分析】由题意可知，题目中所给的解方程的方法是把一元二次方程转化为两个一元一次方程，由此解答即可.【详解】题目中所给的解方程的方法叫因式分解法，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，体现了转化的数学思想.故选D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程运用的数学思想，利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程，运用了转化的数学思想.10．B【解析】【分析】利用直接开平方法得方程m （x+h ）2+k=0的解x=﹣，则﹣h ﹣3，﹣=2，再解方程m （x+h ﹣3）2+k=0得x=3﹣x 1=0，x 2=5．【详解】解方程()20m x h k ++=（,,m h k 均为常数）得 ，∵关于x 的方程m （x+h ）2+k=0（m ，h ，k 均为常数，m≠0）的解是x 1=-3，x 2=2，∴，，∵方程()230m x h k +-+=的解为， ∴x 1=3-3=0，x 2=3+2=5．故选B.【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法——直接开平方法，熟练运用直接开平方法解方程是解决本题的关键.11．18 8 ()()302202144x x -⨯-=【解析】【分析】设宽度为xcm ，则挖去的矩形长是（30-2x ）cm ，宽是（20-2x ）cm ，根据矩形的面积为2144cm ，列出方程，解方程即可.【详解】设宽度为xcm ，则挖去的矩形长是（30-2x ）cm ，宽是（20-2x ）cm ，根据题意可得， （30-2x ）（20-2x ）=144解得，x=6或19（19不符合题意，舍去）∴挖去的矩形长是30-2×6=18cm ，挖去的矩形宽是20-2×6=8cm.答：挖去矩形的长为18cm ，宽为8cm ．故答案为：18；8；（30-2x ）（20-2x ）=144.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设宽为xcm ，用x 表示出挖去矩形的长和宽，利用矩形的面积公式列方程是解决本题的基本思路.12．2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．2x 2+4x-3不是完全平方式，所以只能用求根公式法分解因式．【详解】2x 2+4x-3=0的解是x 1=22-，x 2=-22-，所以可分解为2x 2+4x-3=2（）（）．即: 2x 2+4x-3=2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭.故答案为: 2x x ⎛+ ⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．求根公式法分解因式：ax 2+bx+c=a （x-x 1）（x-x 2），其中x 1，x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个根．13．1【解析】【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．【详解】∵x=3是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得32-3k-6=0，解此方程得到k=1．【点睛】本题逆用一元二次方程解的定义易得出k 的值．14．2x x 0-=【解析】【分析】在-1＜x ＜1的范围内选取x 的一个值，作为方程的另一根，再根据因式分解法确定一元二次方程即可．本题答案不唯一．解：由题意知，另一根为0时，满足-1＜x＜1，∴方程可以为：x（x-1）=0，化简，得x2-x=0故答案为x2-x=0．（本题答案不唯一，符合要求即可）【点睛】本题考查的是已知方程的两根，写出方程的方法．本题解法不唯一，答案也不唯一，只要符合要求即可．15．k≥﹣2．【解析】【分析】由于方程左边为非负数，则k+2≥0，然后解不等式即可．【详解】∵关于x的一元二次方程（x﹣2）2=k+2有解，∴k+2≥0，解得k≥-2．故答案是：k≥-2．【点睛】考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．16．-1【解析】【分析】根据韦达定理即可解题.【详解】∵x1、x2是一元二次方程x2＋x－3＝0的两个根∴x1+x2=-ba=-1本题考查根与系数的关系,属于简单题.韦达定理的掌握是解题关键.17．10x =，24x =．【解析】【分析】移项并采用因式分解的方法解方程.【详解】解：移项得，240x x -=，x(x-4)=0，解得x=0或4，故答案为10x =，24x =.【点睛】本题考查了因式分解法解方程.18．20%【解析】【分析】设平均每次降价的百分率为x ，根据“原来的价格×（1-x ）2=两次降价后的价格”列出方程，解方程即可.【详解】设平均每次降价的百分率为x ，根据题意得：400（1-x ）2=256解得：x=20%或x=1.8（舍去），故答案是：20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ． 19．5m 4<且m 1≠ 【解析】【分析】根据方程有两个不相等的实数根时，b2﹣4ac＞0且m﹣1≠0列出不等式，解不等式即可．【详解】∵方程有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac=（2m﹣1）2﹣4×（m﹣1）（m+1）＞0，解得：m＜54．∵m﹣1≠0，∴m≠1，∴实数m的取值范围是m＜54且m≠1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．20．12cm和4cm【解析】【分析】可设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为6444x-cm，又因两个正方形的面积和等于160cm2，则可列出方程求解即可．【详解】设一个正方形的边长为xcm，∵正方形的四边相等，∴此正方形的周长是4xcm,另一个正方形的边长是6444x-cm，根据题意得x2+(6444x-)2=160，解得x1=12,x2=4.当x=12时,6444x-=4；当x=4时,6444x-=12，所以另一个正方形的边长为4或12.答：两个正方形的边长为12cm和4cm.故答案为：12cm和4cm.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的应用.21．（1）303x -，2330x x -+；（2）7；（3）当AB=5时，矩形花圃ABCD 面积最大，最大面积为75m 2．【解析】【分析】（1）用总长减去与墙垂直的三条篱笆的长度的和即为BC 的长，然后利用长乘以宽即可求得面积；（2）根据面积为63列出一元二次方程求解即可；（3）配方后即可确定面积的最值及AB 的长．【详解】解：（1）BC =30﹣3x ，矩形ABCD 的面积=﹣3x 2+30x ；（2）当矩形ABCD 的面积为63时，﹣3x 2+30x =63，解此方程得：x 1=7，x 2=3，当x =7时，30﹣3x =9＜20，符合题意；当x =3时，30﹣3x =21＞20，不符合题意，舍去；∴当AB 的长为7m 时，花圃的面积为63m 2．（3）矩形ABCD 的面积=﹣3x 2+30x =﹣3（x ﹣5）2+75．∵（x ﹣5）2≥0，∴﹣3（x ﹣5）2≤0，∴﹣3（x ﹣5）2+75≤75．∵0＜30﹣3x ≤20即：10103x ≤＜，∴当x =5时，满足10103x ≤＜． 即当AB =5时，矩形花圃ABCD 面积最大，最大面积为75m 2．【点睛】本题考查了配方法的应用及一元二次方程的应用的知识，根据题目的条件，合理地建立等量关系式，会根据等量关系列方程．22．（1）x 1=-1,x 2=-11.（2）x 1=32+,x 2【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可.【详解】(1) (3x +8+2x -3)(3x +8-2x +3)=5(x +1)(x +11)=0,∴x +1=0或x +11=0,∴x 1=-1,x 2=-11. (2) ∵a =2,b =-6,c =3, ∴b 2-4ac =36-24=12. ∴x =612623332242±±±==⨯, ∴x 1=332+,x 2=3-3. 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解方程时会根据所给的方程选择适当的方法解方程． 23．（1）x 1+x 2=25，x 1x 2=﹣15；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）先把右边的项移到左边，然后根据一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）先整理成一元二次方程的一般形式，然后求出∆的值即可判断.【详解】（1）方程可化为5x 2﹣2x ﹣1=0，∴x 1+x 2=25，x 1x 2=﹣15； （2）方程可化为x 2﹣3x +2﹣p 2=0，∴△=（﹣3）2﹣4（2﹣p 2）=4p 2+1＞0，∴无论p 取何值，方程（x ﹣2）（x ﹣1）﹣p 2=0总有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根的判别式及根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12b x x a +=-，12c x x a ⋅= . 24．，；，，，；，【解析】【分析】（1）先找a ，b ，c ，再求△，判断方程根的情况，代入求根公式计算即可．（2）先移项，然后进行因式分解．（3）提取公因式进行因式分解．（4）先整理成一般式，然后进行因式分解．【详解】解：∵，，，，∴，，；；，，或，解方程得：，，；，或，解方程得：，；．整理得，或，解方程得：，．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识点，解题的关键是熟练的掌握因式分解法解一元二次方程.25．x1＝－1,x2＝1 2 .【解析】首先根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后再代入方程求解即可．解：由|a－1|2b 0,得a＝1,b＝－2.由方程1x－2x＝1得2x2＋x－1＝0,解得x1＝－1,x2＝1 2 .经检验,x 1＝－1,x 2＝12是原方程的解. 点睛：本题考查非负数的性质和解分式方程.利用非负数的性质得出a 、b 的值是解题的关键.26．(1)1 3x =-，23x =-(2)12x =，24x =．【解析】【分析】【详解】解：()1由原方程，得2(3)3x +=，直接开平方，得3x +=解得13x =-23x =-()()22(21)327x x x -=+-，22441327x x x x -+=+-，2680x x -+=，()()240x x --=，解得12x =，24x =．【点睛】本题考查了学生解一元二次方程的能力，掌握配方法或者公式法解方程是解决此题的关键. 27．2011【解析】【分析】根据方程的根的定义，把x=m ，x=n 分别代入方程，等式成立，然后将已知式子变形降次，结合根与系数的关系，得出结果．【详解】解：依题意有223,1,310,310,m n mn m m n n +=⎧⎪=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩ ∴2m 2＋4n 2－6n ＋1 999＝2(m 2＋n 2)＋2(n 2－3n)＋1999＝2[(m ＋n)2－2]＋2×(－1)＋1999＝14－2＋1999＝2011【点睛】此题主要考查了方程的根的定义及根与系数的关系，将它们与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．28．应把售价定为185元或175元．【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得每次降价的百分率；（2）根据题意可以列出相应的方程，求出相应的售价.【详解】 解：设每次降价的百分率为，解得，，（舍去），即每次降价的百分率是； 设店主将售价降价元，解得，， ∴，，即应把售价定为元或元. 【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.。

北师大版2020九年级数学上册2.6应用一元二次方程自主学习基础过关测试题3（附答案详解）1．某厂一月份的产值为15万元，第一季度的总产值是95万元，设月平均增长率为x，则可列方程为（）．A．95=15（1+x）2B．15（1+x）3=95C．15（1+x）+15（1+x）2=95 D．15+15（1+x）+15（1+x）2=952．已知一长方体的表面积是56，长、宽、高的比是4:2:1，设高是x，则下列所列方程中正确的是（）A．22856x=B．21456x=C．2656x=D．3856x=3．某药品原价每盒是25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是（）A．10% B．20%C．30% D．20%或180%4．“水是生命之源”，为了提高市民节约用水意识，市自来水公司调整了收费标准，规定每户每月标准用水量为a吨，如果用户一个月用水不超过标准用水量，那么每吨水按0.6元收费；若超过了标准用水量，则超过的部分按每吨15a元收费．某户4月份用水8吨，平均每吨水0.75元；5月份用水5.5吨，平均每吨0.6元，则a的值是( ) A．5B．6C．7D．85．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（）．A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18mC．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m D．以上都不对6．组织一次篮球联赛，每两队之间都赛一场，计划安排15场比赛，应邀请（）个球队参加比赛．A．5B．6C．7D．97．某市一中初三年级要组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场，计划安排90场比赛，应邀请多少个球队参加比赛A．9 B．10C．11 D．88．某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等的人行通道（如图），并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的12，设人行通道的宽度为x千米，则下列方程正确的是（）A．（2﹣3x）（1﹣2x）=1B．12（2﹣3x）（1﹣2x）=1C．12（2﹣3x）（1﹣2x）=1D．12（2﹣3x）（1﹣2x）=29．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=3210．直角三角形两直角边长之和为7,其面积为6,则斜边长为()A．5 B．C．7 D．11．2012年11月11日，某网站销售额191亿人民币．2014年，销售额增长到571亿人民币．设这两年销售额的平均增长率为x，则根据题意可列出方程_____．12．一辆汽车，新车购买价20万元，每年的年折旧率为x，如果该车购买之后的第二年年末折旧后价值14.25万元，求年折旧率x的值．根据题意，可列出关于x的方程为________（列出方程即可，无需求解）．13．某种型号的微机,原售价7200元/台，经连续两次降价后,现售价为3528元/台，则平均每次降价的百分率为______________.14．某钢铁厂今年月份生产某种钢材吨，月份生产这种钢材吨，设平均每月增长的百分率为，则根据题意可列方程为________．15．方程x4-8=0的根是______16．如图，在△ABC中，AC＝50 cm，BC＝40 cm，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2 cm/s的速度匀速移动，同时另一点Q从点C开始以3 cm/s的速度沿着射线CB匀速移动，当△PCQ的面积等于300 cm2时，运动时间为__________.17．有一间长20m，宽15m的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的12，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空宽度为_____m．18．一个长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为______cm.19．三(六)班的同学毕业时每人都送了其他人一张自己的照片,全班共送了3 540张,则三(六)班的人数是__.20．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画四周壤上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积为5400cm．设金色纸片的宽为xcm，那么写出x的方程是________．21．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元.（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同,求每次下降的百分率; （2）这种水果进价为每千克40元，若在销售等各个过程中每千克损耗或开支2.5元,经一次降价销售后商场不亏本,求一次下降的百分率的最大值．22．某商店经销一批小家电，每件成本40元．经市场预测，销售定价为50元时，可售出200个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2250元，应涨价多少元？23．房价上涨成为热点问题.据统计，某地房价由8月份房子每平方均价由5000元涨到10月份每平方均价7200元.（1）求该地这两个月房价的平均增长率；（2）按此速度上涨，11月房价每平方能否超过8500元，请说明理由.24．以大约与水平成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离s（单位：m）与标枪出手的速度v(单位：m/s)之间大致有如下关系：s=2 9.8v+2如果抛出40米，求标枪出手速度（精确到0.1 m/s）.25．平顶山市某中学开展弘扬传统文化活动，鼓励学生到阅览室借书阅读，并进行统计.校阅览室在2015年图书借阅总量为7500本，2017年图书借阅总量为10800本．()1求该学校的图书借阅总量从2015年到2017年连续两年的平均增长率．()2已知2017年该校学生借阅图书人数有1350人，预计2018年达到1440人.若2017年至2018年图书借阅总量增长率与2015年到2017年两年的平均增长率相同，那么2018年的人均借阅量比2017年增长a%，求a 的值．26．某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米．设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米．设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米()1用含x 的代数式表示平行于墙的一边的长为________米，x 的取值范围为________；()2这个苗圃园的面积为88平方米时，求x 的值．27．校园空地上有一面墙，长度为20m ，用长为32m 的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m 2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由． （2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积能达到170m 2吗？请说明理由．28．如图，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，16AB cm =，6AD cm =，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3/cm s 的速度向点B 移动，一直到达B 为止，点Q 以2/cm s 的速度向D 移动．()1P 、Q 两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ 的面积为233cm ；()2P 、Q 两点从出发开始到几秒时？点P 和点Q 的距离是10cm ．29．某文具店销售A 、B 两种文具，其中A 文具的定价为20元/件，B 产品的定价10元/件．（1）若该文具按定价售出A 、B 两种文具共400件，若销售总额不低于5000元，则至少销售A 产品多少件？（2）该文具店2018年2月按定价销售A 文具280件，B 文具120件，2018年3月，市场情况发生变化，A 文具销售价与上个月持平，但这个月的销售量比上个月减少了m%；B 文具的销售价比上个月减少了m%，但销售量增加了203m%；3月份的销售总金额与2月份保持不变．求m 的值．30．如图，在ABC 中，90B ∠=，12AB cm =，24BC cm =，动点P 从点A 开始沿着边AB 向点B 以2/cm s 的速度移动，同时动点Q 从点B 开始沿着边BC 向点C 以4/cm s 的速度移动,P 、Q 分别到达B 、C 后运动停止．若P 、Q 两点同时移动()t s ；()1当t 为何值时，BPQ 的面积为232cm ．()2设四边形APQC 的面积为()2S cm ，当移动几秒时，四边形APQC 的面积为2108cm ？() 3 在P 、Q 运动过程中，BPQ 面积是否有最大值？若有，求出BPQ 面积最大时t 的值；若没有，请说明理由。

2.1-2.4一元二次方程的解法自主学习基础达标训练题A1．下列方程中，一元二次方程共有（ ）个①x 2﹣2x ﹣1=0；②ax 2+bx+c=0；③+3x ﹣5=0；④﹣x 2=0；⑤（x ﹣1）2+y 2=2；⑥（x ﹣1）（x ﹣3）=x 2．A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．方程（m –2）x 2+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．m≠±2 B ．m=2 C ．m=–2 D ．m≠23．已知等腰三角形三边长分别为m 、n 、2，若m 、,n 分别是关于x 的一元二次方程x 2－8x+a －1=0的两个实数根，则a 的值为（ ） A ．13或17 B ．11或15 C ．17 D ．154．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．()232x x x -=+B ．20ax bx c ++=C ．21320x x -+=D ．221x =5．用配方法解方程，变形后的结果正确的 是( ) A ．(x+4)²=15 B ．(x+4)²=17 C ．(x-4)²=15 D ．(x-4)²=176．关于x 的一元二次方程x －4x ＋2=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．有无实数根，无法判断7．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣px+q=0有两个根，则这两个根是（ ）A ．x= B ．x= C ．x=D ．8．方程2x +x=0的解是（ ）.A ．x=±1 B ．x=0 C ．1x =0，2x =﹣1 D ．x=1 9．关于x 的方程2330ax x -+=是一元二次方程，则a 的取值范围是( )A ．a ＞0 B ．a≥0 C ．a=1 D ．a≠0 10．若关于x 的一元二次方程(k +2)x 2+3x +k 2－k －6＝0必有一根为0，则k 的值是（ ）A ．3 或－2 B ．－3或2 C ．3 D ．－2 11．若将方程2109x x -=化为()2x m n -=的形式，则m ＝____，n ＝____. 12．若a 是方程x 2﹣2x ﹣2=0的一个根，则2a 2﹣4a=__________． 13．方程（x ﹣3）2=x ﹣3的根是__． 14．已知x ＝−1是关于x 的方程2x 2−ax ＋a=0的一个根，则a =__________． 15．若代数式4x 2－2x －5与2x 2＋1的值互为相反数，则x 的值是____． 16．关于x 的一元二次方程2ax -bx -c =0的a 的取值范围________． 17．把方程3x (x +1)=2(x –2)+8化为一般形式______，二次项系数______，一次项系数__________，常数项______。

北师大版2020九年级数学上册2.6应用一元二次方程自主学习基础过关测试题2（附答案详解）1．某商店现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元利润，应将销售单价定为（ ）A ．56元B ．57元C ．59元D ．57元或59元 2．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m ，另一边减少了3m ，剩余一块面积为220m 的矩形空地.设原正方形空地的边长为xm ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．()()x 3x 220--=B ．()()x 3x 220++=C ．2x 3x 2x 20--=D ．2x 3220-⨯=3．“学在恩阳、生态教育”恩阳区自成区以来一直把教育放在优先发展的地位，教育教学质量得到了空前的提升，特别是近两年高考更是捷报频频，得到了社会各界和老百姓的好评．2015年高考重本上线50人，到2017年重本上线218人，设每年增长的百分率为x ，则列出方程正确的是（ ）A ．250(1+x)=218B ．50(1+x)=218C ．250(1-x)=218D ．2218(1-x)=50 4．如图，要设计一幅宽为20cm ，长为30cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度之比为2:1.若要使彩条所占面积是图案面积的1975，则竖彩条的宽为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．19cmD ．1cm 或19cm 5．由于受猪瘟的影响，今年9月份猪肉的价格两次大幅上涨，瘦肉价格由原来每千克23元，连续两次上涨%a 后，售价上升到每千克60元，则下列方程中正确的是（ ） A ．()2231%60a +=B ．()2231%60a -= 2226．2018年某县GDP总量为1000亿元，计划到2020年全县GDP总量实现1440亿元的目标．如果每年的平均增长率相同，那么该县这两年GDP总量的平均增长率为（）A．1.21% B．10% C．20% D．21%7．长方形的长比宽多4厘米，面积是60平方厘米，则它的长是______厘米.8．某种商品原价是250元，经两次降价后的价格是160元，则平均每次降价的百分率为______．9．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．10．某厂一月份的总产量为500吨，通过技术更新，产量逐月提高，三月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是，则可列方程为__．11．某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2016年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2018年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为_______．12．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程是________．13．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；(2)为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？14．近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？15．为美化校园环境，学校计划修建个花圃，花圃的一边靠墙（墙长10米），用长度为22米的竹篱笆围成一个面积为64平方米的长方形花圈，并在垂直于墙的两边各开一道1米宽的小门，问整个花圃的长与宽为多少?16．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是多少元（结果用含m的代数式表示）17．如图是2019年1月份的日历．任意选择图中的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11-3×17=48，13×15-7×21=48．不难发现，结果都是48（1）请证明发现的规律；（2）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120，请判断他的说法是否正确．18．小明将1000元存入银行，定期一年，到期后他取出600元后，将剩下部分（包括利息）继续存入银行，定期还是一年，到期后全部取出，正好是550元，请问定期一年的利率是多少？19．某学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．（1）若购买树苗70棵，则每棵树苗的售价为元；（2）若该校最终向园林公司支付树苗款8 800元，则购买了多少棵树苗？20．风驰汽车销售公司2月份销售某型号汽车，进价为30万元/辆，售价为32万元/辆,当月销售量为x辆（x≤30，且x为正整数）,销售公司有两种进货方案供选择：方案一：若x≤5辆，进价不变，若x超过5辆，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆；方案二：进价始终不变，当月每销售1辆汽车，生产厂另外返还给销售公司1万元/辆．（1）按方案一进货：①当x=8时，该型号汽车的进价为万元/辆；②写出进价y（万元/辆）与x（辆）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当月该型号汽车的销售量为多少辆时，选用方案一和方案二销售公司获利相同．（注：销售利润=销售价-进价+返利）．参考答案 1．A【解析】【分析】设降价元，根据商家获利金额列出一元二次方程并求解，因为要顾客得实惠，所以要保留较大的值并求出售价．【详解】设降价元，则售价为()60x -元，销量为()30020+x 件．由题意得：()()6040300206080x x --+=，展开得220100800x x -+-=，因式分解得()()20140x x ---=，所以121,4x x ==.因为要顾客得实惠，所以取4x =，此时60456-=（元），即应将售价定为56元.故答案选：A.【点睛】本题主要考查了一元二次方程.2．A【解析】【分析】设原正方形的边长为xm ，则剩余的空地长为（x ﹣2）m ，宽为（x ﹣3）m ．根据长方形的面积公式即可列出方程.【详解】设原正方形的边长为xm ，则剩余的空地长为（x ﹣2）m ，宽为（x ﹣3）m ．根据题意得：（x ﹣3）（x ﹣2）=20．故选A.【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握长方形的面积计算公式是解决问题的关键． 3．A【解析】【分析】根据题意先表示出2016年重本上线人数，然后再表示出2017年重本上线人数，从而找到等量关系列出方程即可.【详解】根据题意可知2016年重本上线为：50（1+x ），2017年重本上线为：50（1+x ）（1+x ）=50（1+x ）2=218，故本题答案为：A.【点睛】一元二次方程在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键.4．A【解析】【分析】根据题意，可设竖彩条的宽是x cm ，则横彩条的宽是2x cm ，分别计算出彩条和长方形图案的面积,根据彩条所占面积是图案面积的1975可列方程求解. 【详解】设竖彩条的宽为x cm ，则横彩条的宽为2x cm ，则19(302)(204)3020(1)75x x --=⨯⨯-， 整理得：220190x x -+=解得：121,19x x ==（不合题意，舍去）所以竖彩条的宽是1cm故答案是：A【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，设出未知数，找出关系式，解方程，最后对解做出一个判断，舍去不合题意的.5．A【解析】【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），先表示出第一次提价后商品的售价，再根据题意表示第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于a%的方程．【详解】解：当猪肉第一次提价%a 时，其售价为2323a%23(1%)+=+a ；当猪肉第二次提价%a 后，其售价为2231%231%%231%.（）（）（）+++=+a a a a2231%60.（）∴+=a故选：A .【点睛】本题考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ． 6．C【解析】【分析】根据平均增长率的计算公式先列一元二次方程，再解答.【详解】解：设该县这两年GDP 总量的平均增长率为x ，根据题意，得：210001x 1440+（）＝，解得：1x 2.2＝﹣（舍），2x 0.220%＝＝，即该县这两年GDP 总量的平均增长率为20%.故选C ．【点睛】此题重点考查学生对一元二次方程的应用，熟练掌握增长率的计算是解题的关键.7．10【解析】【分析】首先设长为x cm ，根据长与宽的关系，得到宽为()4x cm -，然后根据长方形面积公式可列出方程并解方程即可.【详解】解：设长方形的长为x cm ，则它的宽为()4x cm -，根据题意得：()460x x -=解得：110x =，26x =-（舍去）答：这个长方形的长是为10cm .故答案为10.【点睛】本题考查的是一元二次方程的运用，要灵活运用长方形的面积公式对题意进行分析从而列出方程.8．20%【解析】【分析】得第一次降价后的价格为：250×（1−x ），那么第二次降价后的价格为：250×（1−x ）×（1−x ），那么相应的等量关系为：原价×（1−降低的百分率）2＝第二次降价后的价格，把相关数值代入即可．【详解】设平均每次降价的百分率为x ，由题意得：250（1−x ）2＝160，解得：x 1＝0.2，x 2＝1.8（不合题意，舍去）．故答案为：20%．【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2＝b ．得到第二次降价后价格的等量关系是解决本题的关键．9．9 -9【解析】【分析】把方程化为 x 2 ＝81容易推出x 的值【详解】∵ x 2 ＝81，又∵ (±9) 2 ＝81，∴x ＝±9故答案为：9，-9此题考查解一元二次方程，解题关键在于掌握运算法则10．2500(1)720x +=【解析】【分析】根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：500(1)x +，三月份的产量为：2500(1)720x +=.【详解】二月份的产量为：500(1)x +，三月份的产量为：2500(1)720x +=.【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟练理解增长率的表示方法，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）.11．20%【解析】【分析】设每年投资的增长率为x ，根据题意可得，2016年投资额×（1+x ）2=2018年的投资额，据此列方程求解．【详解】设每年投资的增长率为x ，由题意得，5×（1+x ）2=7.2，解得：x=0.2或x=-1.2（不合题意，舍去），答：每年投资的增长率为20%．故答案为：20%．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．12．1+x+x(1+x)=64【分析】根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染了x 个人， 经过一轮传染之后有x+1人感染流感，两轮感染之后的人数为64人，依此列出一元二次方程即可.【详解】解： 设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，依题可得：1+x+x （1+x ）=64.故答案为1+x+x （1+x ）=64.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．13．(1)年平均增长率为20%；(2)每碗售价定为20元时，每天利润为6300元.【解析】【分析】（1）根据题意设平均增长率为未知数x ，再根据题意建立方程式求解.（2）根据题意设每碗售价为未知数y ，再根据题意建立方程式求解.【详解】(1)设平均增长率为x ，则2201)28.8x （+=解得：10.220%x == 2 2.2x =-(舍)·答：年平均增长率为20%(2)设每碗售价定为y 元时，每天利润为6300元()6y -[300+30(25-y )]=6300·解得：120y = 221y =·∵每碗售价不超过20元，所以20y =.【点睛】本题考查了在实际生活中对方程式的建立及求解，熟练掌握方程式的实际运用是本题解题关键.14．（1）10% ；（2）2.662万人次【解析】【分析】（1）设增长率为x ，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解；（2）用2.42×（1+增长率），计算即可求解．【详解】（1）设增长率为x ，根据题意，得2（1+x ）2=2.42，解得x 1=-2.1（舍去），x 2=0.1=10%．答：增长率为10%．（2）2.42（1+0.1）=2.662（万人）．答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.15．花圃的长与宽均为8米.【解析】【分析】根据题意设垂直于墙的一边长为x 米，平行于墙的一边长为()2222x +-米，得出方程()222264x x +-=，然后解方程即可.【详解】解：设垂直于墙的一边长为x 米，平行于墙的一边长为()2222x +-米根据题意得：()222264x x +-=解得14x =，28x =当14x =时，22221610x +-=>，不合题意，舍去.当28x =时，2222810x +-=<.答：花圃的长与宽均为8米.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，同时要注意考虑实际问题（舍去不符合实际情况的根）. 16．100（1-m）2.【解析】【分析】根据降低率问题等量关系可知：现在的价格=原价×（1-降价的百分率）2.根据上述关系列出来即可.【详解】解：等量关系是：现在的价格=原价×（1-降价的百分率）2即100（1-m）2元．故答案为：100（1-m）2．【点睛】本题难度中等，考查根据实际问题情景列代数式．熟练掌握增长率（降低率）问题的一般公式是解题关键.17．（1）见解析；（2）小明的说法不正确，理由见解析【解析】【分析】（1）设中间的数为a，则另外4个数分别为（a-7），（a-1），（a+1），（a+7），利用相对的两对数分别相乘再相减，可证出规律成立；（2）设这5个数中最大数为x，则最小数为（x-14），根据最小数与最大数的积是120，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，由该值在第一列可知不符合题意，进而可得出小明的说法不正确．【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a-7），（a-1），（a+1），（a+7），∴（a-1）（a+1）-（a-7）（a+7）=a2-1-（a2-49）=48．（2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x-14），依题意，得：x（x-14）=120，解得：x1=20，x2=-6（不合题意，舍去）．∵20在第一列，∴不符合题意，∴小明的说法不正确【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18．10%【解析】【分析】设定期一年的利率是x，则存入一年后的利息和是1000（1+x）元，取600元后余[1000（1+x）-600]元，再存一年则有方程[1000（1+x）-600]•（1+x）=550，解这个方程即可求解．【详解】设定期一年的利率是x，根据题意得：一年时：1000+1000x＝1000（1+x），取出600后剩：1000（1+x）﹣600，同理两年后是[1000（1+x）﹣600]（1+x），即方程为[1000（1+x）﹣600]•（1+x）＝550解之得，x＝10%，﹣（不合题意，舍去）答：定期一年的利率是10%．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是掌握公式：本息和=本金×（1+利率×期数），设未知数，列方程，解方程即可．19．（1）115；（2）购买了80棵树苗【解析】【分析】（1）根据如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元即可求解；（2）根据设购买了(60＋x)棵树苗．根据题意列方程得(60＋x)(120－0.5x)＝8800 ,进而得出结论．【详解】（1）120−0.5（70−60）=115故填115；（2）解：∵120×60＝7200＜8800，所以购买的树苗数量多于60棵 设购买了(60＋x )棵树苗．根据题意列方程得(60＋x )(120－0.5x )＝8800解得x 1＝160，x 2＝20当x ＝160时，120－0.5x ＝120－0.5×160＝40＜100， ∴ x ＝160不合题意舍去．60＋x ＝60＋20＝80棵答：购买了80棵树苗【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知“如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元”得出方程是解题关键．20．（1）①29.7,②30.50.1(530,y x x x =-≤为正整数）；y=30（05x <≤，x 为正整数）（2）该月售出15辆汽车.【解析】【分析】（1）①依题意易知当x ＝8时，该型号汽车的进价是30－0.1×（8－5），再计算即可；②根据题意分别写出当0＜x ≤5与5＜x ≤30时进价y （万元/辆）与x （辆）的函数关系式即可；（2）设当月该型号汽车的销售量为x 辆时，选用选用方案一和方案二销售公司获利相同，根据其中的等量关系列出方程求解即可.【详解】解：（1）①当 x =8时,该型号汽车的进价为: 30－0.1×（8－5）=29.7（万元/辆）, 故答案为29.7 .②根据题意得， 30y = （05,x x <≤为正整数）30.50.1y x =-（530,x x 为正整数<≤）；（2）设当月该型号汽车的销售量为x 辆时，选用选用方案一和方案二销售公司获利相同，根据题意有，20.1 1.53x x x +=解得：x 1=0（舍去），x 2=15．答：该月售出15辆汽车时，选用选用方案一和方案二销售公司获利相同.【点睛】本题主要考查运用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，设立合适的未知数，并利用其中的等量关系列方程求解.。

第二章一元二次方程单元测试（基础过关）一、单选题1．下列方程中属于一元二次方程的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义可判断A，根据分母中有未知数，不是整式方程，可判断B根据二次项系数为a是否为0可判断C，根据二次项系数是0，不是一元二次方程，可判断D【解析】解：A、∵，∴，根据一元二次方程的定义A满足条件，故A正确；B、分母中有未知数，不是整式方程，是分式方程,不选B；C、二次项系数为a是否为0，不确定，当=0，b≠0时，一元一次方程，当时是一元二次方程，不选C；D、没有二次项，不是一元二次方程，不选D．故选择：A．【点睛】本题考查一元二次方程问题，关键掌握一元二次方程定义满足的条件．2．下列配方正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据完全平方公式，对各个选项逐一分析，即可．【解析】解：A. ，故该选项错误；B. ，故该选项错误；C. ，故该选项正确；D. ，故该选项错误．故选C．【点睛】本题主要考查多项式的配方，掌握完全平方公式，是解题的关键．3．以为根的一元二次方程可能是( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】对照求根公式确定二次项系数、一次项系数和常数项．【解析】解：根据求根公式知，-b是一次项系数，二次项系数是1，常数项是-c．所以，符合题意的只有D选项．故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程--公式法．利用求根公式x=解方程时，一定要弄清楚该公式中的字母a、b、c所表示的意义．4．方程的根是（）A．-1，3B．1，-3C．0，-1，3D．0，-1，-3【答案】D【分析】根据因式分解法求解即可．【解析】由题可得，或或，解得：或或．故选：D．【点睛】本题考查了因式分解法解方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键．5．解方程①9(x -3)2 = 25，②6x2 -x = 1，③x2 +4x -3596 = 0，④x(x -1) = 1.较简便的方法依次是（）；A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法B．因式分解法、公式法、公式法、配方法C．配方法、因式分解法、配方法、公式法D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法【答案】D【解析】【分析】对于第①个方程，由于左右两边是某个数或式子的平方，据此选择开平方法解方程；对于方程②可结合因式分解中的基本方法分析即可得解; 对于方程③二次项系数为1可考虑配方法; 对于方程④利用公式法求解比较简便.【解析】解：方程①符合直接开方法的形式，因此选择开平方法比较简便；方程②等号左边含有公因式x，则可利用因式分解法比较简便；方程③等号左边二次项系数为1，则可利用配方法比较简便；方程④等号左边展开，移项，然后利用公式法求解比较简便.故选D.【点睛】本题是解一元二次方程的题目，关键是知道如何合理的选择解一元二次方程的方法.6．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）A．200（1+x）2＝1000B．200+200×2x＝1000C．200+200×3x＝1000D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000【答案】D【分析】根据增长率问题公式即可解决此题，二月为200（1+x），三月为200（1+x）2，三个月相加即得第一季度的营业额.【解析】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为200×（1+x），∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．故选D．【点睛】此题考察增长率问题类一元二次方程的应用，注意：第一季度指一、二、三月的总和.7．一元二次方程的两个根为，则的值是（）A．10B．9C．8D．7【答案】D【分析】利用方程根的定义可求得，再利用根与系数的关系即可求解．为一元二次方程的根，，．根据题意得，，．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．8．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同实根，则b的值是（）．A．4；B．-7；C．4或-7；D．所有实数．【答案】A【分析】根据方程解相同，得到常数项相等即可求出b的值．【解析】解：根据题意得：b2-16=-3b+12，即b2+3b-28=0，分解因式得：（b-4）（b+7）=0，解得：b=4或-7，当b=-7时，两方程为x2+3x+33=0无解，舍去，故选A．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．9．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（）A．6cm2B．7 cm2C．12cm2D．19 cm2【答案】B【分析】设矩形的长为x cm，宽为y cm，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未覆盖部分的面积，即可得出关于x、y的方程组，利用(②-①)÷3可得出x=y+1③，将③代入②中可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，即可得到y值，进而得出x的值，再利用矩形面积公式得出图③摆放位置时未覆盖的面积即可得出答案．【解析】解：设矩形的长为xcm，宽为ycm，依题意，得：，（②-①）÷3，得：y-x+1=0，∴x=y+1③．将③代入②，得：y（y+1）=16+3（y-4）+11，整理，得：y2-2y-15=0，解得：y1=5，y2=-3（舍去），∴x=6．∴按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：（x-4）（y-3）+（x-3）（y-4）=2×2+3×1=7．故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．已知为实数，且，则之间的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先根据已知等式求出，再利用完全平方公式判断出的符号，由此即可得出答案．【解析】，，，，，，又，，，故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．11．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则其中正确的是（）A．只有①②B．只有①②④C．只有①③④D．只有①②③【答案】B【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断排除．【解析】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：△=b2-4a≥0，故①正确；②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，∴△=0-4ac＞0，∴-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2-4a＞0，∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0，∴c（ac+b+1）=0，若c=0，等式仍然成立，但ac+b+1=0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则由求根公式可得：x0=，∴2ax0+b=±，∴b2-4ac=（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．12．若，，，，为互不相等的正奇数，满足，则的末位数字是（）A．1B．3C．5D．7【答案】A【分析】因为，，，，为互不相等的正奇数，所以，，，，为互不相等的非零偶数（有偶数个负数），又因为，所以这5个偶数只能是2，-2，4，6，-6（否则就会有相同的偶数），所以，，，，分别等于2007，2003，2001，1999，2011，所以的末位数字是1【解析】解：∵，，，，为互不相等的正奇数∴，，，，为互不相等的偶数，且负数个数为偶数个而将分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：∴，，，，分别等于2、、4、6、∴，，，，分别等于2007，2003，2001，1999，2011又∵20072尾数是9，20032尾数是9，20012尾数是1，19992尾数是1，20112尾数是1∴的末位数字是1．故选A．【点睛】本题主要考查了数字变化类的一些简单的问题，能够掌握七内在规律并熟练求解是解题关键．二、填空题13．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是______．【答案】5【解析】解：x2﹣3x+1＝0△==（-3）2-4×1×1=9-4=5．故答案为5．14．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是__________．【答案】2022【分析】根据一元二次方程解的意义可得a+b的值，然后代入所求的算式即可得到解答．【解析】解：由题意可得：a+b+1=0，∴2021-a-b=2021-(a+b)=2021+1=2022，故答案为2022．【点睛】本题考查代数式的求值，根据一元二次方程解的意义求得a+b的值是解题关键．15．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_______________ ．【答案】且【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求写出两不等式的公共部分即可．【解析】∵，，，根据题意得且，解得且．故答案为：且．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()的根与有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．注意二次项系数不为0的隐含条件．16．方程的解为________．【答案】或首先把方程转化为一般形式，再利用公式法求解．【解析】（x-1）（x+3）=12x2+3x-x-3-12=0x2+2x-15=0x=,∴x1=3，x2=-5故答案是:3或-5．【点睛】考查了学生解一元二次方程的能力，解决本题的关键是正确理解运用求根公式．17．若三角形的两边长分别是3和5，第三边的长是方程的根，则此三角形是______三角形.【答案】直角【分析】利用因式分解法求出方程的解得到第三边的长，根据勾股定理逆定理即可判断三角形形状．【解析】解：方程＝0，分解因式得：（3x＋2）（x−4）＝0，解得：x＝（舍去）或x＝4，∴三角形三边分别为3，4，5，∵32+42=52，∴此三角形是直角三角形，故答案为直角.【点睛】此题主要考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有_____人．【答案】22【分析】设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，列出方程进行计算即可.【解析】解：设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，根据题意得：1+x+x（x+1）＝121，解得：x1＝10，x2＝﹣12（舍去），∴2（1+x）＝22．故答案为22．【点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.19．当x满足时，方程x2﹣2x﹣5＝0的根是__．【答案】1先求出不等式组的解集，然后解一元二次方程，结合不等式的解集即可得到答案．【解析】解：解不等式组，得：2＜x＜4，∵x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝6，（x﹣1）2＝6，x﹣1＝±，∴x1＝1，x2＝1．而2＜x＜4，∴x＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解不等式组，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．20．已知，则_________．【答案】4【分析】利用完全平方公式将原等式左边适当变形，再根据非负数的性质可求得a、b、c的值，代入计算即可．解：因为，所以，即，即，，，所以，∴．【点睛】本题考查完全平方公式，乘方的符号法则．能利用完全平方公式对等式适当变形是解题关键．21．已知为一元二次方程的一个根，且，为有理数，则______，______．【答案】；；【分析】将因式分解求得，则可化简得，根据，为有理数，可得，也为有理数，故当时候，只有，，据此求解即可．【解析】解：∵∴∴∴∴∴∵，为有理数，∴，也为有理数，故当时候，只有，，∴，，故答案是：，；【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念的理解，熟悉相关性质是解题的关键．22．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．①方程是“倍根方程”；②若是“倍根方程”，则；③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”；④若方程是“倍根方程”，则必有．【答案】②③④【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．【解析】①解方程，得，，方程不是“倍根方程”．故①不正确；②是“倍根方程”，且，因此或．当时，，当时，，，故②正确；③，，，，因此是“倍根方程”，故③正确；④方程的根为，若，则，即，，，，，，若，则，，，，，．故④正确，故答案为：②③④．【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．三、解答题23．解方程：（1）．（2）．（3）（4）【答案】（1）x1=5，x2=；（2）x1=，x2=；（3）x1=，x2=；（4）x1=-1，x2=2【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法可求出解；（2）方程整理后，求出b2-4ac的值，再代入公式求出解即可；（3）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（4）设，代入方程求出t值，再分别求解．【解析】解：（1），3（x-5）2=2（5-x），3（x-5）2-2（5-x）=0，分解因式得：（x-5）[3（x-5）+2]=0，∴x-5=0或3（x-5）+2=0，解得：x1=5，x2=；（2），方程整理得：3x2+10x+5=0，∵a=3，b=10，c=5，b2-4ac=100-60=40＞0，∴x=，∴x1=，x2=；（3），∴，即，∴，∴x1=，x2=；（4），设，∴，∴，∴，∴t=2或t=-5，当t=2时，，即，∴，解得：x1=-1，x2=2；当t=-5时，，∵，∴方程无解，综上：x1=-1，x2=2．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键24．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2x+1﹣a2＝0有一个根为﹣1，求a的值．【答案】a＝0或a＝1【分析】将x＝﹣1代入原方程可求出a的值．【解析】解：将x＝﹣1代入原方程，得（a+1）﹣2+1﹣a2＝0，整理得：a2﹣a＝0，即：a（a﹣1）＝0解得：a＝0或a＝1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将x=-1代入原方程求出a值是解题的关键．25．已知关于的一元二次方程．（）求证：方程总有两个实数根；（）记该方程的两个实数根为和若以，，为三边长的三角形是直角三角形，求的值．【答案】（1）见解析；（2）或．【分析】（）先计算，再利用配方法证明是个非负数即可得到结论；（2）先解方程，求解方程的根为：再分类讨论即可得到答案．【解析】（）证明：，无论取何值，方程总有两个实数根．（）解：，．，．以，，为三边长的三角形是直角三角形，．当为斜边时，则，解得．当为斜边时，则，解得．综上所述，的值为或．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，掌握利用根的判别式解决问题是解题的关键．26．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为，，若，求方程的两个根．【答案】（1）见解析；（2）6或0【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式△＞0来证明即可；（2）解方程即可得到结论．【解析】解：（1）∵△=（4m）2-4×1×（4m2-9）=16m2-16m2+36=36＞0，∴已知关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9=0一定有两个不相等的实数根；（2）∵x=2m±3，∵x1=3−x2，∴x1+x2=6，∵x1+x2=4m，∴4m=6，∴m=，∴x=2×±3，∴x1=6，x2=0．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4a c．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．27．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门．当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？【答案】当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米．【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25-2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．【解析】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m，由题意得x(25-2x+1)=80，化简，得x2-13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26-2x=16＞12（舍去），当x=8时，26-2x=10＜12，答：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．28．受今年疫情的影响，原材料价格上涨，为提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种新型电子产品进行提价销售，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为60元时，每天可售出100个；若销售单价每提高10元，每天就少售出20个．已知每个电子产品的固定成本为50元．（1）若销售单价提高20元，则平均每天可售出多少个？（2）既要考虑公司的利润，保证公司每天可获利1600元，又要让利于消费者，这种电子产品的销售单价定为多少元合适？【答案】（1）平均每天可售出60个；（2）这种电子产品的销售单价定为70元合适．【分析】（1）根据题意可直接进行列式求解；（2）设这种电子产品的销售单价定为x元，由题意易得，然后进行求解即可．【解析】解：（1）由题意得：（个）；答：平均每天可售出60个．（2）设这种电子产品的销售单价定为x元，由题意得：，解得：，∵要让利于消费者，∴；答：这种电子产品的销售单价定为70元合适．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．29．数学课上,老师展示了这样一段内容．问题求式子的最小值．解:原式:∵,∴,即原式的最小值是2．小丽和小明想,二次多项式都能用类似的方法求出最值（最小值或最大值）吗？（1）小丽写出了一些二次三项式:①; ②; ③;④; ⑤; ⑥．经探索可知,有最值的是__________（只填序号）,任选其中一个求出其最值;（2）小明写出了如下 3 个二次多项式:①;②;③．请选择其中一个,探索它是否有最值,并说明理由．说明:①②③的满分分值分别为 3 分､4 分､5 分;若选多个作答,则以较低分计分．【答案】（1）①②③⑥;（2）①无最值,见解析;②最小值为1,见解析;③最小值为,见解析【分析】（1）可以选择①,运用上面类似的方法——配方法,可得到:,再根据平方具有非负性可得到最小值,其它的也用类似的方法解答即可;（2）①进行探究,配方后得到,无法确定最值,②进行研究,配方后得到即可,③进行研究,配方后得到即可,选择一个作答即可．【解析】（1）①②③⑥①最小值为0②,∵,∴,即原式最小值5;③,∵,∴,∴,即原式有最大值为4;④,无法确定最值;⑤,无法确定最值;⑥,∵,∴,∴,即原式有最大值为;（2）①无最值②∵,∴,即原式有最小值为1③,∵,,,∴,即原式有最小值为．【点睛】本题主要考查了类比的方法,解题的关键是需要学生认真审题,总结出配方的方法,然后再用类比的方法进行解答即可．30．如图1，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、点，与正比例函数的图象交于点，将点向右平移1个单位，再向下平移6个单位得到点．（1）求的周长和点的坐标；（2）如图2，点是轴上一动点，当最小时，求点的坐标；（3）若点是轴上一动点，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．【答案】（1）△OAB的周长，（，）；（2）（，）；（3）点（，），或（，），或（，），或（，）【分析】（1）先求出点A、B坐标，可求得△OAB的周长，再联立方程组求得点C坐标，根据坐标平移规律可求得点D坐标；（2）作点关于轴的对称点，则，连接交轴于点，连接，此时最小，利用待定系数法求得直线的解析式，令x=0，可求得点P坐标；（3）设点Q（x，0），分OD=OQ、OD=DQ、OQ=DQ三种情况分别求解即可．【解析】解：（1）在中，当x=0时，y=4，当y=0时，由得：x=8，∴A（8，0）、B（0，4）．∴，．∴．∴△OAB的周长．联立与，解得：．∴点（2，3）．由题意得：点（3，﹣3）；（2）作点关于轴的对称点，则．连接交轴于点．连接，此时最小．设直线的解析式为，把点（2，3），代入得：．解得：，．∴直线的解析式为．当时，．∴点（0，），即当最小时，点的坐标为（0，）；（3）设点Q（x，0），∵D（3，﹣3），O（0，0），∴OD2=（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2=18，OQ2=（x﹣0）2+（0﹣0）2=x2，DQ2=（x﹣3）2+（0+3）2=x2﹣6x+18，当为等腰三角形时，可分三种情况：当OD=OQ时，由18=x2得：x=±，∴（，0），或（，0），当OD=DQ时，由18= x2﹣6x+18得：x=6或x=0（与O重合，舍去），∴（6，0），当OQ=DQ时，由x2=x2﹣6x+18得：x=3，∴（3，0），综上，为等腰三角形时，点Q坐标为（，0），或（，0），或（3，0），或（6，0）．【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标变换、两直线的交点问题、最短路径问题、等腰三角形的性质、两点间距离公式、解一元二次方程等知识，解答的关键是读懂题意，寻找相关知识的关联点，利用数形结合及分类讨论思想进行推理、探究和计算．31．阅读理解:材料1:对于一个关于x的二次三项式（）,除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外,还可以用其他的方法:比如先令（）,然后移项可得:,再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围,请仔细阅读下面的例子:例:求的取值范围:解:令,,即;材料2:在学习完一元二次方程的解法后,爱思考的小明同学又想到类比一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题,他的具体做法如下:若关于x的一元二次方程（）有两个不相等的实数根､（）,则关于x的一元二次不等式（）的解集为:或,则关于x的一元二次不等式（）的解集为:;请根据上述材料,解答下列问题:（1）若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为-6,则_____.（2）求出代数式的取值范围．类比应用:（3）猜想:若中,,斜边（a为常数,）,则_____时,最大,请证明你的猜想．【答案】（1）或；（2）或；（3）当时,最大．【分析】（1）根据材料1:设,化为关于x的一元二次方程用根的判别式，得出y的取值范围,在列出关于a的方程解出即可；（2）设，化为，再用，然后根据材料2结论，即可求出；（3）设，，根据一元二次方程,利用根的判别式解答问题即可．【解析】解:（1）设，∴，∴,即，根据题意可知,∴，解得:或；（2）设，可化为，即，∴,即，令,解得,，∴或；（3）猜想:当时,最大．理由:设，，则，在中,斜边（a为常数,），∴，∴，∴，即，∴，即，∵，，∴，当时,有，∴，即当时,最大．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式､根与系数的关系及解不等式,读懂阅读材料中的方法并明确一元二次方程的根的情况与判别式的关系,运用类比的思想是解题的关键．。

北师大版2020九年级数学上册第二章一元二次方程自主学习优生提升测试卷A （附答案详解）1．已知关于x 的一元二次方程2220ax x c ++-=有两个相等的实数根，则1c a+的值等于( )A ．2 B ．1 C ．0 D ．无法确定 2．关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围在数轴上可以表示为（）A ．B ．C ．D ． 323412360a b b +-+=，则ab 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．﹣8D ．84．将一元二次方程(4)812x x x +=+化为一般形式，正确的是（ ）A ．24120x x ++=B ．24120x x +-=C ．24120x x --=D ．24120x x -+=5．若123x x +=，22125x x +=，则以1x ，2x 为根的一元二次方程是（ ）A ．2320x x -+=B ．2320x x +-=C ．2320x x ++=D ．2320x x --= 6．某市的商品房原价为12000元/m 2，经过连续两次降价后，现价为9200元/m 2，设平均每次降价的百分率为x ，则根据题意可列方程为（ ）A ．12000（1﹣2x ）＝9200B ．12000（1﹣x ）2＝9200C ．9200（1+2x ）＝12000D ．9200（1+x ）2＝120007．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是 （ ）A ．x 2－6x+2B ．2x 2＋y ＋1＝0C ．5x 2＝0D ．21x＋x ＝2 8．关于x 的方程ax 2+2x ﹣1=0有实数根，则a 的取值范围正确的是（ ）A ．a ＞﹣1B ．a≥﹣1C ．a≤﹣1D ．a≥﹣1且a≠0 9．关于x 的一元二次方程﹣x 2+4mx +4=0的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．不能确定10．某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x ．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）A ．22500(1)9100x +＝B ．22500(1%)9100x +＝C ．22500(1)2500(1)9100x x +++＝D ．225002500(1)2500(1)9100x x ++++＝11．若()()22222340a b a b +-+-=，则代数式22a b +的值为____________.12．方程x 2﹣2x +1＝0的根为x 1＝1，x 2＝1，x 2﹣3x +2＝0的根为x 1＝1，x 2＝2；x 2﹣4x +3＝0的根为x 1＝1，x 2＝3；…；根据以上方程特征，请猜想：方程x 2﹣22x +21＝0的根为_____；关于x 的方程_____的根为x 1＝1，x 2＝n ．13．关于x 的方程()()211320m x m x m -++++=，当m ______时，为一元一次方程；当m ______时，为一元二次方程.14．为绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多14m ，面积为23200m ，则操场长________m ，宽________m .15．若()()222393200x x x x +-++=，则23x x +=______.16．一元二次方程22y y =的解为________．17．方程3x 2+6x ＝0的解是_____．18．若实数,a b 满足225-4690a b ab b +++=，则+a b 的值为________．19．如果关于x 的一元二次方程250x x m -+=的一个根为1，则另一为______． 20．10月8号到校前,帅童收到学校的一条短信通知发给若干同学,每个收到的同学又给相同数量的同学转发了这条短信,此时收到这条短信的同学共有157人,帅童给____个同学发了短信21．A 、B 两码头相距48千米，一轮船从A 码头顺水航行到B 码头后，立即逆水航行返回到A 码头，共用了5小时；已知水流速度为4千米/时，求轮船在静水中的速度． 22．用适当的方法解下列方程(1)2257x x +=.(2)()()23231x x -=--．23．解方程：（1）x 2﹣4x ﹣7=0（2）2(3)2(3)0x x -+-=24．某市某企业为节约用水，自建污水净化站.7月份净化污水3000t ，9月份增加到3630t ，求这两个月净化污水量的平均每月增长的百分率.25．解方程：21x -3x-502= 26．解方程：（1）2890x x +-= ；（2）解方程：3(2)42x x x -=-27．解方程：()212132x +=. 28．某商店购进一批小玩具，每个成本价为20元，经调查发现售价为32元时，每天可售出20个，若售价每增加5元，每天销售量减少2个；售价每减少5元，每天销售量增加2个，商店同一天内售价保持不变.（1）若售价增加元，则销售量是（______________）个（用含的代数式表示）； （2）某日商店销售该玩具的利润为384元，求当天的售价是多少元？（利润=售价-进价）参考答案1．A【解析】【分析】根据“关于x的一元二次方程ax2＋2x＋2−c＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案．【详解】根据题意得：△＝4−4a（2−c）＝0，整理得：4ac−8a＝−4，4a（c−2）＝−4，∵方程ax2＋2x＋2−c＝0是一元二次方程，∴a≠0，等式两边同时除以4a得：c−2＝−1a，则1a＋c＝2，故选A.【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．2．B【解析】【分析】根据已知得出22-4×1×k＞0，求出不等式的解集，最后在数轴上表示出来，即可得出选项．【详解】∵关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，∴22-4×1×k＞0，解得：k＜1，在数轴上表示为：，故选B．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．3．C【解析】【分析】先根据非负数的性质求出a ，b 的值，然后代入ab 计算即可.【详解】212360b b -+=，（b ﹣6）2＝0，∴3a +4＝0，b ﹣6＝0，∴a ＝﹣43，b ＝6， ∴ab ＝﹣43×6＝﹣8， 故选C ．【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.，初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方.4．C【解析】【分析】去括号、移项，可得出答案．【详解】解：∵(4)812x x x +=+，∴24812x x x +=+，∴24120x x --=，故选：C ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确变形是解题关键．5．A【解析】【分析】先对22125x x +=变形，再由123x x +=得到122x x =，最后结合选项即可得到答案.【详解】∵22125x x +=，∴()2121225x x x x +-=，而123x x +=，∴12925x x -=，∴122x x =，∴以1x ，2x 为根的一元二次方程为2320x x -+=．故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程根的求解.6．B【解析】【分析】设平均每次降价的百分率为x ，根据该市商品房的原价及经过两次降价后的价格，可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】设平均每次降价的百分率为x ，依题意，得：12000（1﹣x ）2＝9200．故选：B ．【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．C【解析】【分析】根据一个未知数，未知数的最高次是2次的方程就可以判断出.【详解】一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次是二次的方程叫做一元二次方程。

北师大版2020九年级数学上册2.1-2.4一元二次方程的解法自主学习基础过关测试题A （附答案详解）1．下列方程中的一元二次方程是( )A ．x 2+x ﹣3x ＝0B ．x 2﹣2x ＝x 2C ．x 2+y ﹣1＝0D ．x 2﹣x ﹣6＝0 2．用配方法解一元二次方程2410x x -+=时，下列变形正确的是（ ）．A ．()221x -=B ．()225x -=C ．()223x +=D ．()223x -= 3．方程x 2=1的解是（）A ．1x =B ．1x =±C ．1x =-D ．12x = 4．下列各式中是一元二次方程的有（ ）A ．3x 2=1B ．x 2+y 2=4C ．11x x +=D ．xy =25．方程2410x x -=+的左边配成完全平方后所得方程为（ ） A ．2(2)5x += B ．2(2)5x -= C ．2(4)9x += D ．2(4)9x -= 6．下列关于x 的方程中，是一元二次方程的为（ ）A ．20ax bx c ++=B ．211x x -= C ．2350x y +-= D ．210x -= 7．若方程（n ﹣1）x 2+x ﹣1=0是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．n≠1B ．n≥0C ．n≥0且n≠1D ．n 为任意实数8．下列多项式，在实数范围内能用公式法分解因式的有（ ）.①269x x ++；②2441x x --；③22x y --；④222x y -；⑤27x -；⑥22964x xy y ++.A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个9．已知关于x 的方程x 2﹣ax+1＝0有两个相等的实数根，且该实数根也是关于x 的方程2x b +＝11x -的根，则b a 的值为（ ） A ．19 B ．﹣19 C ．9 D ．﹣9 10．用配方法解方程2310x x ++=，经过配方，得到（）A ．2313()24x += B ．2()3524x += C ．2(3)1x += D ．2(3)8x +=11．一个三角形的两边长为2和9,第三边长是方程x 2－14x+48=0的一个根，则三角形的周长为____．12．方程22(1)8x -=的解是________.13．关于x 的一元二次方程2x 2-4x+m-1=0有两个相等的实数根，则m 的值为________。

北师大版2020九年级数学上册2.6应用一元二次方程自主学习基础过关测试B 卷（附答案详解）1．某外贸公司受全球金融危机影响，今年五月份销售额为450万元，从六月份起经济有所复苏，销售额逐月上升，七月份销售额达到648万元．则该公司六、七两月份销售额平均增长率为（ ）A ．10%B ．20%C ．19%D ．25%2．某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为（ ）A ．()12550x x += B ．() 12550x x -= C ．()212550x x += D ．() 125502x x -=⨯ 3．广州亚运会的某纪念品原价188元，连续两次降价a %后售价为118元，下列所列方程中正确的是( )A ．188(1＋a %)2＝118B ．188(1－a %)2＝118C ．188(1－2a %)＝118D ．188(1－a 2%)＝1184．某种产品原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本 ，现在的成本是81元，设平均每次降低成本的百分率为x ，则所得方程为（ ）A ．100(1＋x)2＝81B ．100(1－x)2＝81C ．81 (1－x)2＝100D ．81(1＋x)2＝1005．某超市7月份的营业额是200万元，第三季度的营业额共1000万元，如果每月的增长率都是x ，根据题意列出的方程应该是（ ）A ．200(1＋x)2=1000B ．200(1＋2x)=1000C ．200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2=1000D ．200(1＋3x)=10006．某商品的单价降低，要保持销售总收入不变，则销售量应增加（ ）A ．B ．C ．D ．7．在一块长35米，宽26米的矩形绿地上有宽度相同的两条小路，如图所示，其中绿地的面积为2850m ，若设小路的宽为xm ，则可列出方程为_____________.8．某公司举行年会晚宴，出席者两两碰杯一次，总共碰杯19900次，设晚宴共有x 人参加，根据题意，可列方程__________．9．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”．设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为____________．10．一口井直径为2m．用一根竹竿直深入并底，竹竿高出井口0.5m，如果把竹竿斜深入井口，竹竿刚好与井口并口平，则井深为________m，竹竿长为________m．11．某商场销售额3月份为16万元，5月份为25万元，设商场这两个月销售额的平均增长率为x，则可列方程为____________.12．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的.设每次降价的百分率为x，所列方程是______．百分率相同，求每次降价的百分率13．要用总长160cm长的绳子围成如图所示的图案，其中两节绳子将矩形外框分割成三个小矩形，已知矩形外框的面积为800cm2，求矩形外框的周长．14．中秋节前夕，某超市采购了一批土特产，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下表的关系：每千克售价(元) 38 37 36 35 (20)每天销售量(千克) 50 52 54 56 (86)设当售价从38元/千克下调到x元/千克时，销售量为y千克．(1)根据上述表格中提供的数据，通过在直角坐标系中描点连线等方法，猜测并求出y与x之间的函数解析式；(2)如果这种土特产的成本价是20元/千克，为使某一天的利润为780元，那么这一天每千克的售价应为多少元？(利润＝销售总金额－成本)15．如图1，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成.（1）要使所围矩形猪舍的面积达到50m2，求猪舍的长和宽.（2）农户想在现有材料的基础上扩建矩形猪舍面积达到60m2，小红为该农户提出了一个意见：“为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门就行”，如图2，请通过计算求小红设计的猪舍的长和宽？16．为打造“文化九中，书香校园”，阜阳九中积极开展“图书漂流”活动，旨在让全体师生共建共享，校团委学生处在对上学期学生借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了名著类书籍，5月份人数比4月份增加10%，6月份全校借阅名著类书籍人数比5月份增加340人.(1)求6月份全校借阅名著类书籍的学生人数；(2)列方程求从4月份到6月份全校借阅名著类书籍的学生人数的平均增长率.17．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB 边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．(1)如果P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一?(2)如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，几秒钟后，P，Q相距6厘米?18．某班将2005年暑假勤工俭学挣得的班费2000元按一年定期存入银行．2006•年暑假到期后取出1000元寄往灾区，将剩下的1000元和利息继续按一年定期存入银行，待2007年毕业后全部捐给母校．若2007年到期后可取人民币（本息和）1069元，•问银行一年定期存款的年利率是多少．（假定不交利息税）参考答案1．B【解析】【分析】设增长率是x ，则六月份的销售额是()4501x +万元，第七月份的销售额是()24501x +万元，据此即可列出方程从而求解．【详解】解：设该公司六、七两月份销售额平均增长率为x ，则2450(1)648x ⨯+=，2(1) 1.44x +=，解得x =0.2=20%，x =−2.2(舍去)，∴该公司六、七两月份销售额平均增长率为20%，故选B ．【点睛】本题主要考查百分率的问题，应理解“价格上调”的含义．一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．2．B【解析】【分析】如果全班有x 名学生,那么每名学生应该送的相片为(x-1)张,根据“全班共送了2550张相片”,可得出方程为x(x-1)=2550.【详解】∵全班有x 名学生,∴每名学生应该送的相片为(x-1)张,∴x(x-1)=2550.故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系.3．B【解析】当商品第一次降价a%时,其售价为168(1−a%)；当商品第二次降价a%后,其售价为168(1−a%) ·(1−a%) =168(1−a%)2.∴168(1−a%)2=128.故选B.点睛：本题考查了一元二次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n =b，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率．4．B【解析】【分析】原来成本是100元，设每次降低的百分比是x，则第一次降价后的成本为100﹣100x，第二次降价后的成本为（100﹣100x）﹣（100﹣100x）x=100（1﹣x）2元，据此即可列出方程即可．【详解】设每次降低的百分比是x，根据题意得：100（1﹣x）2=81，故选B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每次降低的百分比是x，能表示出两次连续降价后的成本是100（1﹣x）2是关键．5．C【解析】试题解析：8月份的月营业额为200×（1+x），9月份的月销售额在二月份月销售额的基础上增加x，为200×（1+x）×（1+x），则列出的方程是200+200（1+x）+200（1+x）2=1000. 故选C．点睛：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．6．B【解析】【分析】收入=售价×售量，依题可列方程：原单价×十分之九×（原售量+增加售量）=原单价×原售量，化简即得结论．【详解】原单价×十分之九×(原售量+增加售量)=原单价×原售量，×原售量+×增加售量=原售量，即增加售量=原售量，故答案选B.【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的应用.7．35×26-35x-26x+x2=850．【解析】【分析】本题可先用x表示矩形的面积和小路的面积，用矩形的面积减去小路的面积即为绿地的面积，这样就可以得到方程.【详解】解：矩形面积=35×26，小路面积为=35x+26x-x2，则绿地面积=35×26-35x-26x+x2=850．故答案为：35×26-35x-26x+x2=850．【点睛】本题考查的是一元二次方程的运用，要结合图形和题意进行分析．解题要注意两条小路中有重复的地方，在计算时要加上多减去的部分．8．x(x-1)=19900【解析】【分析】此题利用基本数量关系：两两碰一次，总次数x（x-1），x表示人数，列方程解答即可.【详解】x（x-1）=19900【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要会从实际问题抽象为数学问题.9．（x-4）2+102=x2【解析】【分析】设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB=（x-4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2．【详解】设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为x2＝102＋(x－4)2，故答案为x2＝102＋(x－4)2.【点睛】本题考查勾股定理的应用.10．3.75 4.25【解析】【分析】根据题意画出图形，设为x米．一条直角边是1.5，另一条直角边是（x-0.5）米．根据勾股定理，得：x2=1.52+（x-0.5）2，x=2.5．则可求出井水的深度．【详解】如图所示：假设竹竿长x 米，则井水深（x-0.5）米，由题意得，x 2=22+（x-0.5）2解得：x=4.25所以井水深4.25-0.5=3.75米，竹竿长为4.25米．故答案是：3.75，4.25．【点睛】考查了一元二次方程的应用及勾股定理的应用，解题的难点在于能够理解题意，正确画出图形．11．2161x)25+=（【解析】试题分析：3月份的销售额为16万元，平均每次增长百分率为x ，则四月份的销售额是16(1＋x )，五月份的销售额是16(1＋x )(1＋x )即16(1＋x )2，根据5月份的销售额是25万元可列方程为16(1＋x )2＝25．故答案为16(1＋x )2＝25．12．2560(1x)315-=【解析】【分析】根据降价后的价格=降价前的价格×（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1-x ），第二次降价后的价格是560（1-x ）2，据此列方程即可．【详解】解：设每次降价的百分率为x ，由题意得：560（1-x ）2=315，故答案为560（1-x ）2=315．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．13．120cm【解析】【分析】设矩形外框的宽为xcm，则矩形外框的长为（80﹣2x）cm，根据矩形的面积公式结合矩形外框的面积为800cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x值，再根据矩形的周长公式即可求出矩形外框的周长．【详解】设矩形外框的宽为xcm，则矩形外框的长为（80﹣2x）cm，根据题意得：x（80﹣2x）=800解得：x1=x2=20，∴80﹣2x=40，∴2×（40+20）=120（cm）．答：矩形外框的周长为120cm．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．（1）y＝－2x＋126 （2）为33元或50元【解析】【分析】(1)观察表中的函数关系,利用待定系数法求解析式.(2)利用利润=单件利润⨯件数，列方程求解.【详解】解：(1)在直角坐标系中描点连线略．猜测y与x是一次函数关系．设y与x之间的函数解析式是y＝kx＋b(k≠0)．根据题意，得20863556k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得2126.kb=-⎧⎨=⎩，∴y＝－2x＋126，∴所求的函数解析式是y＝－2x＋126(2)设这一天每千克的售价为a元．根据题意，得(a－20)(－2a＋126)＝780，解得a1＝33，a2＝50.答：这一天每千克的售价应为33元或50元.【点睛】待定系数法求一次函数解析式，需要列两个方程，求解.15．（1）所围猪舍的长是10m，宽是5m；（2）所围猪舍的长是10m，宽是6m.【解析】试题分析：（1）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（25-2x）m，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可；（2）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm ，可以得出平行于墙的一边的长为（25+1-2x ）m ，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可.试题解析：（1）设与住房墙垂直的一边长为x m ，则与住房墙平行的一边长为(252x -)m根据题意，列方程得：x (252x -)=50，解得：1 2.5x =，210x =，当x =2.5时，与住房墙平行的一边长252x -=20＞12，不符合题意，1 2.5x =舍掉，当x =10时，与住房墙平行的一边长252x -=5＜12.5分，答：所围猪舍的长是10m ，宽是5m ；(2) 设与住房墙垂直的一边长为x m ，则与住房墙平行的一边长为(2512x +-)m 根据题意，列方程得：x (2512x +-)=60，解得：13x =，210x =，当x =3时，与住房墙平行的一边长2512x +-=20＞12，不符合题意，13x =舍掉，当x =10时，与住房墙平行的一边长2512x +-=6＜12，答：所围猪舍的长是10m ，宽是6m.【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．16．（1）1440人；（2）20％【解析】【分析】（1）5月份借阅了名著类书籍的人数是1000（1+10%），则6月份借阅了名著类书籍的人数为：5月份借阅了名著类书籍的人数+340人；（2）根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．设平均每年的增长率是x ，列出方程求解即可．解：（1）由题意，得5月份借阅了名著类书籍的人数是：1000×（1+10%）=1100（人），则6月份借阅了名著类书籍的人数为：1100+340=1440（人）；（2）设平均增长率为x．1000（1+x）2=1440，解得：x=0.2.答：从4月份到6月份全校借阅名著类书籍的学生人数的平均增长率为20%．【点睛】本题是一道数学应用题中的增长率问题的实际问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用及一元二次方程的解法的运用，解答中对结果验根是否符合题意是解答的关键．17．(1) 2 秒或4秒；(2) 0秒或2.4秒．【解析】【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，分别表示出线段PB和线段BQ的长，然后根据面积之间的关系列出方程求得时间即可；（2）根据勾股定理列出方程求解即可；【详解】（1）设t秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，根据题意得：1 2×2t（6-t）=13×12×6×8，解得：t=2或4．答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一．（2）设x秒时，P、Q相距6厘米，根据题意得：（6-x）2+（2x）2=36，解得：x=0或x=125．答：0秒或125秒时，P、Q相距6厘米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握三角形的面积计算方法，勾股定理，能够表示出线段PB和QB的长是解答本题的关键．【解析】【分析】设银行一年定期存款的年利率为x，则2006年本息总和为2000×(1+x)，取出1000元后剩下[2000×(1+x)-1000]，到2007年底后本息总和为[2000×(1+x)-1000]×(1+x)，由题意列出方程：[2000（1+x）－1000]（1+x）=1069.【详解】设银行一年定期存款的年利率是x，根据题意，列方程为[2000（1+x）－1000]（1+x）=1069，整理得2x2+3x－0.069=0，x1≈0.0225，x2≈－1.5225（不符合题意，舍去）．【点睛】理清本题中的一些重要词句，从而理清其等量关系是解题关键，本题所对应的公式是：本息总和=本金×(1+年利率).。

北师大版2020九年级数学上册2.6应用一元二次方程自主学习培优测试题3（附答案详解）1．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10 次，若共有 x 人参加聚会，则根据题意，可列方程（ ） A ．(1)10x x -=B ．(1)10x x +=C ．1(1)102x x -= D ．1(1)102x x +=2．某机械厂一月份生产零件万个，计划通过改革技术，使今后两月的产量都比前一月增长一个相同的百分数，使得三月份生产零件万个．若设这个百分数为，则可列方程为（ ） A ．50(1+x)²=72 B ．50+50(1+x)²=72 C ．50(1+x)+50(1+x)²=72D ．50+50(1+x)+50(1+x)²=723．一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图1放置，两个小正方形纸片的重叠部分面积为4：按如图2放置（其中一小张正方形居大正方形的正中），大正方形中没有被小正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为44，则把两张小正方形按如图3放置时，两个小正方形重叠部分的面积为（ ）A ．11B ．12C ．20D ．244．某县为做大旅游产业，在2015年投入资金3.2亿元，预计2017年投入资金6亿元，设旅游产业投资的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．3.2+x ＝6B ．3.2x ＝6C ．3.2（1+x ）＝6D ．3.2（1+x ）2＝65．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由a 元降为b 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是（ ） A ．()21a x b += B ．()21a x b -= C ．()212a x b -=D ．()21a xb -=6．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是25400cm ，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=7．某楼盘2016年房价为每平方米14400元，经过两年连续降价后，2018年房间为8100元，则该楼盘这两年房价平均降低率为______．8．已知线段AB 的长为a ，以AB 为边在AB 的下方作正方形ACDB ．取AB 边上一点E ，以AE 为边在AB 的上方作正方形AENM ．过E 作EF 丄CD ，垂足为F 点．若正方形AENM 与四边形EFDB 的面积相等，則AE 的长为______________．9．甲公司前年缴税40万元，今年缴税67.6万元，则该公司缴税的年平均增长率为_______．10．某市2014年投入教育经费2500万元，预计2016年要投入教育经费3600万元，已知2014年至2016年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则增长率为__________． 11．某公司今年元月份利润为500万元，以后两个月均匀增长，第一季度的利润1820万元，设该公司利润月平均增长率为x ，根据题意可列方程_____．12．已知矩形的长是3，宽是2，另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，那么新矩形的长是_____．13．某区为争创全国文明卫生城，2016年区政府对区绿化工程投入的资金是2000万元，2018年投的资金是2420万元，且2017年和2018年，每年投入资金的年平均增长率相同．（1）求该区对区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该区在2020年需投入资金多少万元？ 14．为了增进亲子关系，丰富学生的生活，学校九年级(1)班家委会组织学生、家长一起参加户外拓展活动，所联系的旅行社收费标准如下：如果人数不超过24，人均活动费用为120元；如果人数超过24，每增加1人，人均活动费用降低2元，但人均活动费用不得低于85元，活动结束后，该班共支付该旅行社活动费用3 520元，请问该班共有多少人参加这次旅行活动？15．求证：不论k 为何实数，关于x 的式子()()212x x k -⋅--都可以分解成两个一次因式的积.16．如图，在菱形ABCD 中，,AC BD 交于点O ，8cm AC ，6cm BD =，动点M 从点A 出发沿AC 以2cm /s 的速度匀速运动到点C ，动点N 从点B 出发沿BO 以1cm/s 的速度匀速运动到点O ，若点,M N 同时出发，问出发后几秒时，MCN ∆的面积为22cm ？17．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．设每千克核桃应降价x 元．（1）降价后的每千克核桃的售价为 元，每天的销售量为 千克． （2）如果该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，同时尽可能让利于顾客，赢得市场，那么该店应按原售价的几折出售？18．如图，用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m ．设矩形菜园的边AB 的长为xm ，面积为Sm 2．（I ）写出S 关于x 的函数解析式，并求出x 的取值范围； （Ⅱ）当该矩形菜园的面积为72m 2时，求边AB 的长；（Ⅲ）当边AB 的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？19．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．20．某商店销售一种销售成本为每千克30元的水产品，据市场分析，若按每千克40元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克45元时，计算月销售量和月销售利润；（2）该商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少?参考答案1．C 【解析】 【分析】如果x 人参加了这次聚会，则每个人需握手1x -次，x 人共需握手()1x x -次；而每两个人都握了一次手，因此一共握手()11102x x -=次. 【详解】设x 人参加了这次聚会，则每个人需握手1x -次， 依题意，可列方程()11102x x -=. 故选C. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用. 2．A 【解析】 【分析】设平均每月增长率为x ，根据等量关系“一月份生产零件的个数×（1+平均每月增长的百分率）2=三月份生产零件的个数”，列出方程即可求解． 【详解】设平均每月增长的百分率为x ， 根据题意，得50（1+x ）2=72， 故选：A ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 3．B 【解析】 【分析】设小正方形的边长为a ，大正方形的边长为b ，利用图1得到一个a 与b 关系式，再利用图2得到一个a 与b 关系式，即可求出a 和b ，然后再求图3阴影面积即可.【详解】解：设小正方形的边长为a ，大正方形的边长为b ∵图1中的重叠部分为正方形，且它的面积为4 ∴重叠部分的边长为2 ∴()2a a b +-= 整理得：22b a =-①，图2中阴影部分可以用大正方形的面积减去两个小正方形的面积加上两个小正方形重叠部分的面积，其中：由下图可知两个小正方形重叠部分的边长为：2b aa --，∴2222442b a b a a -⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭②， 将①代入②中，并整理得：29281560a a --=解得：12266,9a a ==-（不符合实际，舍去） 此时26210b =⨯-=∵图3中阴影部分的长为a ，宽为2a b -∴图3中两个小正方形重叠部分的面积为()()26261012a a b -=⨯⨯-= 故选B. 【点睛】此题考查的是代数式的运算，正方形的性质，解一元二次方程，找到每个图中的等量关系式是解决此题的关键. 4．D 【解析】 【分析】设这两年投入资金的年平均增长率为x ，根据题意可得，2015的投入资金×（1+增长率）2＝2017年的投入资金，据此列方程即可． 【详解】解：设这两年投入资金的年平均增长率为x ， 由题意得，3.2（1+x ）2＝6． 故选：D ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 5．B 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为x ，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是a （1-x ），第二次后的价格是a （1-x ）2，即为b ． 【详解】解：设每次降价的百分率为x ，由题意得： a （1-x ）2=b ， 故选B ． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找到价格变化前后的等量关系是解题的关键． 6．B 【解析】 【分析】根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程. 【详解】由题意，设金色纸边的宽为xcm ， 得出方程：（80+2x ）（50+2x ）=5400， 整理后得：2653500x x +-=【点睛】本题主要考查了由实际问题得出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据等量关系列出方程是解题关键. 7．25% 【解析】 【分析】设该楼盘这两年房价每年平均降低率为x ，则第一次降价后房价为每平方米()144001x -元，第二次降价后房价为每平方米214400(1x)-元，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设该楼盘这两年房价每年平均降低率为x ，根据题意列方程得：214400(1x)8100⨯-=，解得：x 0.2525%==或x 1.75(=舍去) 故答案为：25%． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的.找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 8．【解析】设AE 的长为x ，则BE 的长为a ﹣x 根据题意得：x 2=（a ﹣x ）•a 解得：x=故答案为．9．30% 【解析】设该公司缴税的年平均增长率为x，依题意得40（1+x）2=67.6，解方程可得.【详解】设该公司缴税的年平均增长率为x，依题意得40（1+x）2=67.6解方程得x=0.3=10%（舍去负值）所以该公司缴税的年平均增长率为30%．故答案是：30%．【点睛】考核知识点：一元二次方程与增长率问题.理解数量关系可得.10．20%【解析】【分析】设两年该市教育经费的年平均增长率为x，根据题意2015年为2500（1+x），2016年为2500（1+x）（1+x），由此列出方程即可．【详解】解：设年平均增长率为x，根据题意得：2500（1+x）2=3600．解之得x1=0.2，x2=-2.2（舍去）.∴增长率为0.2，即20%.故答案为：20%．【点睛】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．11．500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820【解析】【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设公司利润的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．【详解】解：设该公司利润月平均增长率为x，根据题意可列方程500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820，故答案为：500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系求解.12．【解析】【分析】设新矩形的长为x，则新矩形的宽为（10-x），根据新矩形的面积为12，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【详解】设新矩形的长为x，则新矩形的宽为（10﹣x），根据题意得：x（10﹣x）=2×3×2，整理得：x2﹣10x+12=0，解得：x1=5x2∵x≥10﹣x，∴x≥5，∴故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．（1）该区对区绿化工程投入资金的年平均增长率为10%．（2）该区在2020年需投入资金2928.2万元．【解析】【分析】（1）等量关系为：2016年该区对区绿化工程投入资金×（1+增长率）2=2018年该区对区绿化工程投入资金，把相关数值代入求解即可；（2）2020年该区对区绿化工程投入资金=2018年该区对区绿化工程投入资金×（1+增长率）2．【详解】解：（1）设该区对区绿化工程投入资金的年平均增长率为x ，根据题意得：2200012420（x ）＝+，解得：120.110% 2.1x ＝＝，x ＝﹣（不合题意，舍去）．答：该区对区绿化工程投入资金的年平均增长率为10%．（2）22420110%2928.2（）＝⨯+（万元）． 答：该区在2020年需投入资金2928.2万元．【点睛】找到数量关系是解题的关键。

北师大版2020九年级数学上册2.6应用一元二次方程自主学习基础过关测试题（附答案详解）1．党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番．在本世纪的前20年（2001～2020年），要实现这一目标，以10年为单位计算，设每10年的国民生产总值的增长率都是x ，那么x 满足的方程为（ ）．A ．（1+x ）2=2B ．（1+x ）2=4C ．1+2x=2D ．（1+x ）+2（1+x ）=42．近几年，手机支付用户规模增长迅速，据统计2015年手机支付用户约为3.58亿人，连续两年增长后，2017年手机支付用户达到约5.27亿人．如果设这两年手机支付用户的年平均增长率为x ，则根据题意可以列出方程为（ ） A ．3.58(1) 5.27x += B ．3.58(12) 5.27x +=C ．23.58(1) 5.27x +=D ．23.58(1) 5.27x -=3．某楼盘2016年房价为每平方米15600元，经过两年连续降价后，2018年房价为每平方米12400元.设该楼盘这两年房价每年平均降低率为x ，根据题意可列方程为（ ） A ．()156001212400x -= B ．()215600112400x ⨯-= C ．()2156********x -=D ．()2156001x12400-=4．如图，在一幅长60 cm 、宽40 cm 的矩形树叶画四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是31002cm ，设金色纸边的宽为x cm ，则满足的方程是（ ）A ．(60)(40)3100x x ++=B ．(602)(40)3100x x ++=C ．(602)(402)3100x x ++=D ．(60)(402)3100x x ++=5．一种药品经两次降价，由每盒50元调至40.5元，平均每次降价的百分率是（ ） A ．5%B ．10%C ．15%D ．20%6．青山村种的水稻 2017 年平均每公顷产 5000kg ，设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x ， 则 2019 年平均每公顷比 2018 年增加的产量是（ ） A ．5000(x ＋1)2kgB ．5000(x 2＋x )kgC ．5000(x 2＋1)kgD ．5000(x ＋1)kg7．如图，在ABC 中，50AC m =，40BC m =，90C ∠=，点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以2/m s 的速度匀速移动，同时另一点Q 由C 点开始以3/m s 的速度沿着射线CB 匀速移动，当PCQ 的面积等于2300m 运动时间为( )A ．5秒B ．20秒C ．5秒或20秒D ．不确定8．2017年某县GDP 总量为1000亿元，计划到2019年全县GDP 总量实现1210亿元的目标，如果每年的平均增长率相同，那么该县这两年GDP 总量的年平均增长率为（ ） A ．1.21%B ．8%C ．10%D ．12．1%9．如果两个连续奇数的积是323，求这两个数，如果设其中一个奇数为x ，你能列出求解x 的方程吗？ ________ ．10．某种传染性禽流感在鸡群中传播迅猛，平均一只鸡每隔4小时能传染m 只鸡，现知道某鸡场有a 只鸡有此病，那么8小时后感染此病的鸡共有________只．11．利用13m 的铁丝和一面墙，围成一个面积为20m 2的长方形，墙作为长方形的长边，求这个长方形的长和宽．设长为xm ，可得方程 ．12．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为__________元时，获得的利润最多． 13．一个直角三角形的面积为6，两直角边的和为7，则它的斜边长为_____． 14．如图，在一块长12m,宽8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为60m 2，设道路的宽为x m ，则根据题意,可列方程为________.15．将关于x 的一元二次方程x 2+px +q ＝0变形为x 2＝﹣px ﹣q ，就可将x 2表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知x 2﹣x ﹣1＝0，可用“降次法”求得x 4﹣3x +2014的值是_____．16．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s 的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，则出发__秒时，四边形DFCE的面积为20cm2．17．某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图l、图2和图3所示（阴影部分为草坪）．请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解．①甲方案设计图纸为图l，设计草坪的总面积为600平方米．②乙方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为600平方米．③丙方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为540平方米．18．某汽车销售公司2017年10月份销售一种新型低能耗汽车20辆，由于该型号汽车经济适用性强，销量快速上升，12月份该公司销售该型号汽车达45辆．（1）求11月份和12月份的平均增长率；（2）该型号汽车每辆的进价为10万元，且销售a辆汽车，汽车厂队销售公司每辆返利0.03a万元，该公司这种型号汽车的售价为11万元/辆，若使2018年1月份每辆汽车盈利不低于2.6万元，那么该公司1月份至少需要销售该型号汽车多少辆？此时总盈利至少是多少万元？（盈利＝销售利润+返利）19．（1）列式：x与20的差不小于0；（2）若（1）中的x（单位：cm）是一个正方形的边长，现将正方形的边长增加2cm，则正方形的面积至少增加多少．20．如图所示，一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长度为70cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？21．十八世纪，古巴比伦泥板书上出现了历史上第一批一元二次方程，其中一个问题为：“一块矩形田地面积为55，长边比短边多6，问长边多长？”．请你用学过的一元二次方程知识解决这个问题． 22．完成下列问题：（1）若n （n≠0）是关于x 的方程x 2+mx+2n=0的根，求m+n 的值；（2）已知x ，y 为实数，且25523y x x =--，求2xy 的值．23．某汽车租赁公司共有汽车50辆，市场调查表明，当租金为每辆每日200元时可全部租出，当租金每提高10元，租出去的车就减少2辆． （1）当租金提高多少元时，公司的每日收益可达到10120元？（2）公司领导希望日收益达到10200元，你认为能否实现？若能，求出此时的租金，若不能，请说明理由．（3）汽车日常维护要一定费用，已知外租车辆每日维护费为100元，未租出的车辆维护费为50元，当租金为多少元时，公司的利润恰好为5500元？（利润＝收益一维护费）． 24．汽车产业的发展，有效促进我国现代建设．某汽车销售公司2007年盈利3000万元，到2009年盈利4320万元，且从2007年到2009年，每年盈利的年增长率相同，该公司2008年盈利多少万元?参考答案1．B【解析】试题分析：主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可用x 表示出2010年的国民生产总值，再根据2010年的生产总值表示出2020年的生产总值．最后根据已知条件列出方程化简即可得出本题的答案． 解：设2000年生产总值为1， 则2020年的国民生产总值为22=4，依题意得：2010年的国民生产总值=1×（1+x ）=1+x ， 则2020年的国民生产总值=（1+x ）（1+x ）=（1+x ）2=4 ∴（1+x ）2=4． 故选B ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 2．C 【解析】 【分析】如果设这两年手机支付用户的年平均增长率为x ，那么2016年手机支付用户约为()3.581x +亿人，2017年手机支付用户约为()23.581x +亿人，而2017年手机支付用户达到约5.27亿人，根据2017年手机支付用户的人数不变，列出方程. 【详解】设这两年手机支付用户的年平均增长率为x ，依题意得：()23.581 5.27x +=.故选：C . 【点睛】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程-平均增长率问题.解决这类问题所用的等量关系一般是：()1=⨯+增长的次数增长前的量平均增长率增长后的量.3．C 【解析】 【分析】设该楼盘这两年房价每年平均降低率为x ，则第一次降价后房价为每平方米()156001x -元，第二次降价后房价为每平方米()2156001x -元，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设该楼盘这两年房价每年平均降低率为x ，根据题意列方程得：()2156********x -=，故选：C ． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，准确根据题意列出方程是解决本题的关键． 4．C 【解析】 【分析】首先表示出镶金边后的长和宽，然后再利用矩形的面积公式表示出面积=3100即可． 【详解】解：设金色纸边的宽为x cm ， 则整个挂图的长为（60+2x ），宽为（40+2x ）， 根据整个挂图的面积是3100cm 2可得： （60+2x ）（40+2x ）=3100， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 5．B 【解析】设平均降价的百分率为x ，根据题意可得，50（1－x ）2=40.5，解得x =0.1或1.9，x =1.9不符合题意，舍去，所以x =0.1=10％. 故选B.点睛：降价后的价格=降价前的价格×（1－降价率）. 6．B 【解析】 【分析】根据增长后的产量=增长前的产量×（1+增长率），设年平均增长率是x ，则2018年的产量为5000（1+x ），2019年的产量是5000（1+x ）2，据此可求解．【详解】设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2018年的产量为5000（1+x），2019年的产量为：5000（1+x）2，则2019年平均每公顷比2018年增加的产量是5000（1+x）2-5000（1+x）=5000（x2+x），故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的应用-增长率问题．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．表示出2018年、2019年的产量是解决本题的关键．7．C【解析】【分析】根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．【详解】由题意得：AP=2t，CQ=3t，∴PC=50﹣2t，∴12•PC•CQ=300，∴12•（50﹣2t）•3t=300，解得：t=20或5，∴t=20s或5s时，△PCQ的面积为300m2．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型．8．C【解析】【分析】设该县这两年GDP总量的平均增长率为x，根据：2017年某县GDP总量x（1+增长百分率）2=2019年全县GDP总量，列一元二次方程求解可得【详解】解：设该县这两年GDP总量的平均增长率为x，根据题意得：1000（1+x）2=1210解得：x1=-2.1（舍），x2=0.1=10%，即该县这两年GDP 总量的平均增长率为10% 故选：C. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关于增长率问题：若原数是a ，每次增长的百分率为a ，则第一次增长后为a （1+x ）；第二次增长后为a （1+x ）2,即：原数x （1+增长百分率）2=后两次数.9．x （x+2）=323或x （x ﹣2）=323 【解析】 【分析】如果设其中一个奇数为x ，当这个奇数为较大的奇数时，根据题意可列方程为x （x ﹣2）=323；如果这个奇数为较小的奇数时，根据题意可列方程为x （x+2）=323． 【详解】设其中一个奇数为x ，当这个奇数为较大的奇数时，根据题意可列方程为x （x ﹣2）=323； 如果这个奇数为较小的奇数时，根据题意可列方程为x （x+2）=323． 故答案是：x （x+2）=323或x （x ﹣2）=323． 【点睛】考查了列方程，解决问题的关键找到关键描述语和等量关系． 10．2(1)a m 【解析】 【分析】根据每轮传染数和传染的轮数列出一元二次方程即可． 【详解】解：∵平均一只鸡每隔4小时能传染m 只鸡，∴8小时能传染两轮，根据题意得：a +ma +m （a +ma ）=a （m +1）2． 故答案为a （m +1）2． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，类似于增长率问题，难度适中． 11．12x （13-x ）=20【解析】试题解析：设平行于墙的一边为xm ，那么垂直于墙的有2个边，等于12（13-x ）， 根据题意得出：12x （13-x ）=20， 考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 12．70 【解析】 【分析】 【详解】解：设销售单价定为每千克x 元，获得利润为y 元，则： y=（x-40）[500-（x-50）×10]， =（x-40）（1000-10x ）， =-10x 2+1400x-40000， =-10（x-70）2+9000，∴当x=70时，利润最大为9000元． 故答案为：70． 13．5． 【解析】 【分析】 【详解】设两直角边长为a 和b ，则7162a b ab +=⎧⎪⎨=⎪⎩， 解方程组得a=3，b=4或b=3，a=4， 所以斜边． 故答案为5．14．(12)(8)60x x --= 【解析】 【分析】利用平移的思想把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个矩形，根据矩形面积公式列出方程即可. 【详解】解：因为道路的宽为x m ，所以根据题意可得：(12)(8)60x x --=. 故答案为：(12)(8)60x x --=. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，是典型的利用平移思想求解的问题，解题的关键正确理解题意、掌握方法列出方程. 15．2016． 【解析】试题分析：由x 2﹣x ﹣1=0可得，x 2=x+1，所以x 4﹣3x+2014=（x+1）2﹣3x+2014=x 2+2x+1﹣3x+2014=x 2﹣x+2015=x+1﹣x+2015=2016． 故答案为2016．考点：因式分解的应用；一元二次方程的解． 16．1或5 【解析】 【分析】设点D 出发x 秒后四边形DFCE 的面积为20cm 2，利用BD×CF=四边形DFCE 的面积，列方程解答即可． 【详解】设点D 出发x 秒后四边形DFCE 的面积为20 cm 2，根据题意得， DE =AD =2x ，BD =12−2x ，CF =DE =2x ， 又∵BD ×CF =四边形DFCE 的面积， ∴2x (12−2x )=20， x 2−6x +5=0， (x −1)(x −5)=0， 解得x 1=1,x 2=5；答：点D 出发1秒或5秒后四边形DFCE 的面积为20 cm 2. 17．：①()() 352x 202x 600--=；②()() 35x 20x 600--=；③()() 352x 20x 540--=【解析】试题分析：①设道路的宽为x 米．长应该为35﹣2x ，宽应该为20﹣2x ；那么根据草坪的面积为600m 2 ，即可得出方程；②如果设路宽为xm ，草坪的长应该为35﹣x ，宽应该为20﹣x ；那么根据草坪的面积为600m 2，即可得出方程；③如果设路宽为xm ，草坪的长应该为35﹣2x ，宽应该为20﹣x ；那么根据草坪的面积为540m 2 ， 即可得出方程．试题解析：①设道路的宽为x 米．依题意得：（35﹣2x ）（20﹣2x ）=600；②设道路的宽为x 米．依题意得：（35﹣x ）（20﹣x ）=600；③设道路的宽为x 米．依题意得：（35﹣2x ）（20﹣x ）=540．18．（1）50%；（2）54辆，此时总盈利至少是141.48万元．【解析】【分析】（1）设11月份和12月份的平均增长率为x ，根据该销售公司10月份及12月份的销售数量，可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据盈利=销售利润+返利结合盈利不低于2.6万元，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围，结合a 为整数即可得出a 的最小值，再代入盈利=销售利润+返利可求出总盈利的最少值．【详解】解：（1）设11月份和12月份的平均增长率为x ，根据题意得：20（1+x ）2＝45，解得：x 1＝0.5＝50%，x 2＝﹣2.5（舍去）．答：11月份和12月份的平均增长率为50%．（2）根据题意得：11﹣10+0.03a ≥2.6，解得：a ≥5313． ∵a 为整数，∴a ≥54．∴此时总盈利为54×（11﹣10+0.03×54）＝141.48（万元）．答：该公司1月份至少需要销售该型号汽车54辆，此时总盈利至少是141.48万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量间的关系，列出一元一次不等式． 19．（1）x ﹣20≥0；（2）84cm 2．【解析】【分析】（1）不小于意思为“≥”；（2）正方形增加的面积=新正方形的面积﹣原正方形的面积．能够结合（1）中x 的取值范围，求得正方形的面积增加的范围，从而得到正方形的面积至少增加多少．【详解】解：根据题意，得（1）x ﹣20≥0；（2）由（1），得x≥20．则正方形的面积增加（x+2）2﹣x 2=4x+4≥4×20+4=84．即正方形的面积至少增加84cm 2．20．这个点将绳子分成的两段分别是30cm 、40cm 或370cm 7、120cm 7. 【解析】【分析】设cm AC x =，则()70cm BC x =-，分以AB 为斜边，AC 为斜边，BC 为斜边三种情况讨论，利用勾股定理建立方程，解方程即可求出x 的值.【详解】如图所示：设cm AC x =，则()70cm BC x =-，若AB 为斜边，则()2225070x x =+-，解得：130x =，240x = 若AC 为斜边，则()2225070x x +-=，解得：3707x = 若BC 为斜边，则()2225070x x +=-，解得：1207x = 综上所述，这个点将绳子分成的两段分别是30cm 、40cm 或370cm 7、120cm 7. 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用，正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是解决问题的关键．21．11.【解析】【分析】根据题意设长为x,根据题意即可列出一元二次方程，即可求解.【详解】设长为x, 根据题意得x(x-6)=55解得x=11（-5舍去）∴长边为11.【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程.22．(1) －2;(2) －15【解析】试题分析：（1）把方程的解代入原方程，利用因式分解可直接求解；（2）根据二次根式的意义，直接可求解x ，然后求出y ，再代入即可.试题解析：(1)解:由题意得220n mn n ++=∵0n ≠ ∴20n m ++=得m n +＝－2(2) 52x =， 3y =- ∴2xy＝－15 23．（1）当租金提高20元或30元时，公司的每日收益可达到10120元；（2）日收益不能达到10200元；（3）当租金为250元时，公司的利润恰好为5500元．【解析】【分析】（1）设租金提高x元，则每日可租出（50−210x）辆，根据总租金＝每辆车的租金×租车辆数，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据总租金＝每辆车的租金×租车辆数，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△＜0，即可得出该一元二次方程无解，进而可得出日收益不能达到10200元；（3）根据总租金＝每辆车的租金×租车辆数，结合利润＝收益−维护费，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）设租金提高x元，则每日可租出（50﹣210x）辆，依据题意，得：（200+x）（50﹣210x）＝10120，整理，得：x2﹣50x+600＝0，解得：x1＝20，x2＝30．答：当租金提高20元或30元时，公司的每日收益可达到10120元．（2）假设能实现，依题意，得：（200+x）（50﹣210x）＝10200，整理，得：x2﹣50x+1000＝0，∵24b ac＝（﹣50）2﹣4×1×1000＝﹣1500＜0，∴该一元二次方程无解，∴日收益不能达到10200元．（3）依题意，得：（200+x）（50﹣210x）﹣100（50﹣210x）﹣50×210x＝5500，整理，得：x2﹣100x+2500＝0，解得：x1＝x2＝50，∴200+x＝250．答：当租金为250元时，公司的利润恰好为5500元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．2008年盈利3600万元．【解析】【分析】设该公司从2007年到2009年，每年盈利的年增长率是x ，根据题意列出方程进行求解即可求出年增长率；然后根据2007年的盈利，即可算出2008年的盈利．【详解】解：设每年盈利的年增长率为x ，由题意得：3000(1+x )2=4320，解得：10.2x =，2 2.2x =-（不合题意，舍去），∴年增长率20%，∴3000×(1+20%)=3600，答：该公司2008年盈利3600万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是求出从2007年到2009年，每年盈利的年增长率．。