一模创新题和数列

2023北京高三一模数学汇编等差数列一、单选题1．（2023·北京门头沟·统考一模）已知数列{}n a 满足11a =，2112n n n a a a +=−.给出下列四个结论：①数列{}n a 每一项n a 都满足*01()n a n <≤∈N ；②数列{}n a 的前n 项和2n S <； ③数列{}n a 每一项都满足21n a n ≤+成立； ④数列{}n a 每一项n a 都满足1*1()()2n n a n −≥∈N .其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①②④2．（2023·北京海淀·统考一模）在等差数列{}n a 中，21a =，45a =，则8a =（ ） A ．9B ．11C ．13D ．153．（2023·北京朝阳·统考一模）已知项数为()*k k ∈N 的等差数列{}n a 满足11a =，()-112,3,,4n n a a n k ≤=．若128k a a a +++=，则k 的最大值是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17二、解答题4．（2023·北京房山·统考一模）如果数列{}n a 对任意的*N n ∈，211n n n n a a a a +++−>−，则称{}n a 为“速增数列”.(1)判断数列{}2n是否为“速增数列”？说明理由；(2)若数列{}n a 为“速增数列”.且任意项Z n a ∈，121,3,2023k a a a ===，求正整数k 的最大值； (3)已知项数为2k （2,Z k k ≥∈）的数列{}n b 是“速增数列”，且{}n b 的所有项的和等于k ，若2n bn c =，1,2,3,,2n k =，证明：12k k c c +<.5．（2023·北京东城·统考一模）已知数表11121221222n n n a a a A a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭中的项(1,2;1,2,,)ij a i j n ==互不相同，且满足下列条件： ①{}1,2,,2ij a n ∈；②()112(1)0(1,2,,)m m m a a m n +−−<=.则称这样的数表2n A 具有性质P .(1)若数表22A 具有性质P ，且124a =，写出所有满足条件的数表22A ，并求出1112a a +的值； (2)对于具有性质P 的数表2n A ，当11121n a a a ++⋅⋅⋅+取最大值时，求证：存在正整数()1k k n ≤≤，使得12k a n =；(3)对于具有性质P 的数表2n A ，当n 为偶数时，求11121n a a a ++⋅⋅⋅+的最大值.6．（2023·北京石景山·统考一模）若无穷数列{}n a 满足以下两个条件，则称该数列为τ数列. ①11a =，当2n ≥时，122n n a a −−=+；②若存在某一项5m a ≤−，则存在{}1,2,,1k m ∈⋅⋅⋅−，使得4k m a a =+（2m ≥且m *∈N ）. (1)若20a <，写出所有τ数列的前四项；(2)若20a >，判断τ数列是否为等差数列，请说明理由； (3)在所有的τ数列中，求满足2021m a =−的m 的最小值. 三、双空题7．（2023·北京东城·统考一模）已知数列{}n a 各项均为正数，213a a =，n S 为其前n 项和.若是公差为12的等差数列，则1a =______，n a =______.参考答案1．C【分析】由递推公式，判断每个命题的正误.【详解】①11(1)2n n n a a a +=−，101a <≤，2111(1)2a a a =−，所以201a <<，由递推关系得01n a <≤，①正确； ②11a =，212a =，338a =，43131(1)8288a =−⨯>，则42S >，所以②不正确；③11211(2)2n n n n n aa a a a +==+−−，所以1111122n n n a a a +−=>−，累加得，1112n n a+−>，所以1122n n a ++>，122n a n +<+，所以21n a n <+（2n ≥，*N n ∈），11a =，故21n a n ≤+成立，③正确；④2112n n n a a a +=−，111122n n n a a a +=−≥，累乘得，11()2nn a +≥，所以11()2n n a −≥，④正确.故选：C.【点睛】将递推公式变形为1111122n n n a a a +−=>−和111122n n n a a a +=−≥分别进行累加和累乘，得n a 的取值范围.2．C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，求出2d 的值，即可得出826a a d =+，即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则4224d a a =−=，则82613413a a d =+=+⨯=. 故选：C. 3．B【分析】通过条件11a =，()-112,3,,4n n a a n k ≤=，得到332d k ≥−−， 再利用条件128k a a a +++=得到162(1)k k k d =+−，进而得到不等关系：3162(1)32k k k k −≥+−−，从而得到k 的最大值. 【详解】由11a =，()-112,3,,4n n a a n k ≤=，得到[]1(2)41(1)n d n d +−≤+−，即3(32)0n d +−≥， 当2,3,,n k =时，恒有3(32)0n d +−≥，即332d n ≥−−， 所以332d k ≥−−， 由128k a a a +++=，得到[]12(1)()822k k k d k a a +−+==，所以3162(1)2(1)32k k k d k k k k −=+−≥+−−，N,2k k ∈≥， 整理得到：2349320k k −+≤，所以15k ≤.故选：B4．(1)是，理由见解析 (2)63 (3)证明见解析【分析】（1）计算1212n n n a a +++−=，12nn n a a +−=，122n n +>，得到答案.（2）根据题意得到()120232k k +≥，Z k ∈，计算当64k =时，()120802k k +=，当65k =时，()121452k k +=，得到答案. （3）证明211k m m k k b b b b −+++>+，得到()1k k k k b b +>+，得到11k k b b ++<，代入计算得到证明.【详解】（1）因为2n n a =，则21121222n n n n n a a +++++=−−=，11222n n nn n a a ++−=−=，又122n n +>，故211n n n n a a a a +++−>−，数列{}2n是“速增数列”.（2）121,3,2023k a a a ===，当2k ≥时，()()()11221120231231k k k k k a k a a a a a a a k −−−==−+−++−+≥++++−+，即()120232k k +≥，Z k ∈， 当63k =时，()120162k k +=，当64k =时，()120802k k +=， 故正整数k 的最大值为63.（3）2111k k k k k k b b b b b b +++−−>−>−，故211k k k k b b b b ++−−>−，即211k k k k b b b b +−++>+；32211112k k k k k k k k k k b b b b b b b b b b +++++−−−−>−>−>>−，故3212k k k k b b b b ++−−−>−，即32121k k k k k k b b b b b b +−−+++>+>+，同理可得：211k m m k k b b b b −+++>+，*N m ∈，11m k ≤≤−， 故()()()()1221222111k k k k k k k k b b b b b b b b b k b b −++=+++=++++++>+，故11k k b b ++<，1112222k k k k b b b bk k c c ++++=⨯=<，得证.【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据题意利用累加法的思想确定211k m m k k b b b b −+++>+是解题的关键. 5．(1)答案见解析 (2)证明见解析(3)21128n n +【分析】（1）根据题意写出满足性质P 的所有数表22A ，再分别计算即可； （2）根据题意，可知当11121n a a a +++取最大值时，存在1j n ≤≤，使得22j a n =，由数表2n A 具有性质P 可得j 为奇数，不妨设此时数表为1112122222n n n a aa A n aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再利用反证法证明即可；（3）结合性质P 可得212141,222242,2()()3k k a a a a a a k +++++++≤，11131,2121232,21()()k k a a a a a a k −−++++++−≤，两式相加可得得2123S S k k +−≤，结合21282S S k k +=+，可得21112k kS +≤，构造数表2143415427433231312142638413n k k k k k k k k k k k A k k k k k k k ++−+−+−+−+⎛⎫=⎪++++−⎝⎭，结合性质P 进而可以求解.【详解】（1）满足条件的数表22A 为141424233231⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，， 所以1112a a +的值分别为5，5，6. （2）若当11121n a a a +++取最大值时，存在1j n ≤≤，使得22j a n =.由数表2n A 具有性质P 可得j 为奇数，不妨设此时数表为1112122222n n n a aa A n aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ①若存在1k a （k 为偶数，1k n ≤≤），使得111k a a >，交换1k a 和2n 的位置，所得到的新数表也具有性质P ， 调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在1i n ≤≤，使得12i a n =.②若对任意的1k a （k 为偶数，1k n ≤≤），都有111k a a <，交换12a 和11a 的位置，所得到的新数表也具有性质P ，此时转化为①的情况.综上可知，存在正整数(1)k k n ≤≤，使得12k a n =.（3）当n 为偶数时，令2n k =，()1k n ≤≤，对任意具有性质P 数表11121221222n n n a aa A a aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 一方面，122214241,22,2()()()(41)(43)(21)k k a a a a a a k k k −+−++−−+−+++≤，因此212141,222242,2()()3k k a a a a a a k +++++++≤．①另一方面，211(1351)i i a a i n −=−，，，，≥， 因此11131,2121232,21()()k k a a a a a a k −−++++++−≤.② 记111121,2221222,2,n n S a a a S a a a =+++=+++．由①+②得2123S S k k +−≤.又21282S S k k +=+，可得21112k kS +≤. 构造数表2143415427433231312142638413n k k k k k k k k k k k A k k k k k k k ++−+−+−+−+⎛⎫=⎪++++−⎝⎭可知数表2n A 具有性质P ，且2211111228k k n nS ++==. 综上可知，当n 为偶数时，11121n a a a +++的最大值为21128n n+. 【点睛】方法点睛：在证明抽象问题时，常常使用反证法：先设题设不成立，结合条件推出矛盾，即可说明题目成立.6．(1)τ数列的前四项为：1,1,1,1−−；1,1,1,5−；1,1,3,3−−；1,1,3,7− (2)τ数列为首项为1公差为4的等差数列，理由见解析(3)m 的最小值为1517【分析】（1）先根据条件①去绝对值可得1n n a a −=−或14n n a a −=+，由20a <得21a =−，再根据条件逐个列举即可；（2）由条件①知，当2n ≥时，1n n a a −=−或14n n a a −=+，由20a >得25a =，利用反证法假设τ数列中存在最小的正整数i （3i ≥），使得1i i a a −=−，根据单调性结合条件②可知假设不成立，即可得结论； （3）先根据条件②可得()431506n b n n =−+≤≤必为数列{}n a 中的项，再结合条件①可得31n n a b −=分析即可．【详解】（1）由条件①知，当2n ≥时，1n n a a −=−或14n n a a −=+， 因为20a <，由条件①知21a =−，所以τ数列的前四项为：1,1,1,1−−；1,1,1,5−；1,1,3,3−−；1,1,3,7−. （2）若20a >，τ数列是等差数列由条件①知，当2n ≥时，1n n a a −=−或14n n a a −=+， 因为20a >，所以25a =假设τ数列中存在最小的正整数i （3i ≥），使得1i i a a −=−， 则1231,,,,i a a a a −单调递增，由11a =则1231,,,,i a a a a −均为正数，且125i a a −≥=.所以15i i a a −=−≤−.由条件②知，则存在 {}1,2,3,,1k i ∈−，使得41k i a a =+≤−此时与1231,,,,i a a a a −均为正数矛盾，所以不存在整数i （3i ≥），使得1i i a a −=−，即14n n a a −=+. 所以τ数列为首项为1公差为4的等差数列. （3）由2021m a =−及条件②, 可得1,5,9,,2017,2021−−−−−必为数列{}n a 中的项，记该数列为{}n b ，有()431506n b n n =−+≤≤，不妨令n j b a =，由条件①，143j j a a n +=−=−或1447j j a a n +=+=−+均不为141n b n +=−−； 此时243j a n +=−+或41n +或47n −或411n −+，均不为141n b n +=−− 上述情况中，当143j a n +=−，241j a n +=+时，32141j j n a a n b +++=−=−−= 结合11a =，则有31n n a b −=.由5062021b =−，得350611517m =⨯−=即为所求. 7．14##0.25 214n −12，解得114a =，结合等差数列的通项公式可得24n n S =，利用n a 与n S 的关系即可求出数列{}n a 的通项公式.【详解】由题意知，0n a >，由213a a =，得11S a =，21214S a a a =+=，又等差数列的公差为12，12，12=，解得114a =，1(1)22n n −=，解得24n n S =，当2n ≥时，2211111(1)4424n S n n n −=−=−+，得22111112144244n n n n a S S n n n −−⎛⎫=−=−−+= ⎪⎝⎭，当1n =时，1111244a =−=，与题意中的114a =相符，所以214n n a −=. 故答案为：14；214n −.。

全国新课标区模拟精选题：依据高考命题大数据分析，重点关注基础题3，4，力量题12，14. 专项基础测试 模拟精选题 一、选择题1.(2022·陕西西安模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)，则“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 若数列{a n }为递增数列，则a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意n ∈N *都成立，于是有3>2λ，λ<32，由λ<1可得λ<32；反之由λ<32不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件，故选A. 答案 A2.(2022·玉溪一中模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n （n 为正奇数），a n ＋1 （n 为正偶数），则其前6项之和是( ) A.16 B.20 C.33D.120解析 a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，∴S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33. 答案 C3.(2021·天津南开中学月考)下列可作为数列{a n }：1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是( ) A.a n ＝1B.a n ＝（－1）n ＋12C.a n ＝2－|sin n π2|D.a n ＝（－1）n －1＋32解析 A 项明显不成立；n ＝1时，a 1＝－1＋12＝0，故B 项不正确；n ＝2时，a 2＝（－1）2－1＋32＝1，故D 项不正确.由a n ＝2－|sin n π2|可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…，故选C. 答案 C4.(2022·济南外国语学校模拟)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 016等于( ) A.0 B.－ 3 C. 3D.32解析 由已知得a 1＝0，a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，a 5＝－3＝a 2，a 6＝a 3，…，由此归纳得出a n ＋3＝a n ，故a 2 016＝a 3×672＝a 3＝3，选C. 答案 C5.(2022·北大附中模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 013的值是( ) A.8 B.6 C.4D.2解析 a 1a 2＝2×7＝14，∴a 3＝4，4×7＝28，∴a 4＝8，4×8＝32，∴a 5＝2，2×8＝16，∴a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，∴从第三项起，a n 的值成周期排列，周期数为6，2 013＝335×6＋3，∴a 2 013＝a 3＝4. 答案 C 二、填空题6.(2022·山东聊城二模)如图所示是一个类似杨辉三角的数阵，则第n (n ≥2)行的第2个数为________.解析 每行的第2个数构成一个数列{a n }，由题意知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝11，a 5＝18，所以 a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2(n －1)－1＝2n －3，由累加法得a n －a 2＝[（2n －3）＋3]×（n －2）2＝n 2－2n ，所以a n ＝n 2－2n ＋a 2＝n 2－2n ＋3(n ≥2). 答案 n 2－2n ＋3 创新导向题利用递推公式求数列通项公式问题7.已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________. 解析 ∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴S n ＝2（1－3n ）1－3＝3n －1.答案 3n －1利用S n 与a n 关系式求a n 问题8.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝5n －3，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________(n ∈N *). 解析 数列的前n 项和S n ＝5n －3， ∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝5－3＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(5n －3)－(5n －1－3)＝4×5n －1.此式中令n ＝1，得a 1＝4， ∴a 1不适合a n ＝4×5n －1(n ≥2).故数 列的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 （n ＝1），4×5n －1 （n ≥2）.答案 ⎩⎨⎧2 （n ＝1），4×5n －1 （n ≥2） 专项提升测试 模拟精选题 一、选择题9.(2022·广东佛山一模)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2n π2a n ＋4cos 2n π2，则a 9，a 10的大小关系为( )二、填空题10.(2021·温州质检)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫78n，则当a n 取得最大值时，n 等于________.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎨⎧（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n －1，（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥（n ＋3）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6.答案 5或611.(2021·天津新华中学模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn ≤2的正整数n 的集合为________.解析 由于S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1， 整理得a n ＝2a n －1，所以{a n }是公比为2的等比数列. 又由于a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1， 故a n ＝2n －1，而a nn ≤2，即2n －1≤2n ， 所以有n ∈{1，2，3，4}. 答案 {1，2，3，4}12.(2022·河南洛阳模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 015项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 015＝________. 解析 由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2＝a 1，所以{a n }是以4为周期的数列，而2021＝4×503＋3，a 1a 2a 3a 4＝1，则前2 015项的乘积为1503·a 1·a 2·a 3＝3. 答案 3 三、解答题13.(2021·青岛一中模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值. 解 (1)当n ≥2时，由题可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n .① a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，② ②－①得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ， 即(n ＋1)a n ＋1＝3na n ，（n ＋1）a n ＋1nan＝3，∴{na n }是以2a 2＝2为首项，3为公比的等比数列(n ≥2)， ∴na n ＝2·3n －2， ∴a n ＝2n ·3n －2(n ≥2)，∵a 1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n·3n －2，n ≥2. (2)a n ≤(n ＋1)λ⇔λ≥a n n ＋1，由(1)可知当n ≥2时，a nn ＋1＝2·3n －2n （n ＋1），设f (n )＝n （n ＋1）2·3n(n ≥2，n ∈N *)， 则f (n ＋1)－f (n )＝2（n ＋1）（1－n ）2·3n ＋1<0，∴1f （n ＋1）>1f （n ）(n ≥2)，又1f （2）＝13及a 12＝12，可得λ≥1f （2）， ∴所求实数λ的最小值为13. 创新导向题利用S n 求a n 及数列求和问题14.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝a ，S n ＋1＝2S n ＋n ＋1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)当a ＝1时，若b n ＝na n ＋1－a n，数列{b n }的前n 项和为T n ，n ∈N *，证明：T n <2.(1)解 由S n ＋1＝2S n ＋n ＋1得S n ＝2S n －1＋n (n ≥2)，两式相减得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ≥2). 故数列{a n ＋1}从第2项起，是以a 2＋1为首项，2为公比的等比数列. 又S 2＝2S 1＋1＋1，a 1＝a ，∴a 2＝a ＋2， ∴a n ＝(a ＋3)·2n －2－1(n ≥2)， 又a 1＝a ，不满足a n ＝(a ＋3)·2n －2－1. ∴a n ＝⎩⎨⎧a （n ＝1），（a ＋3）·2n －2－1 （n ≥2）. (2)证明 由a 1＝a ＝1，得a n ＝2n －1(n ∈N *)，则b n ＝n （2n ＋1－1）－（2n －1）＝n 2n ＋1－2n ＝n2n ， ∴T n ＝12＋2·122＋3·123＋…＋n ·12n ①，从而12T n ＝122＋2·123＋…＋(n －1)·12n ＋n ·12n ＋1②， ①－②得：12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1，故12T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n2n ＋1，∴T n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n <2.。

数列1.（2024丰台一模2）已知公差为d 的等差数列{}n a 满足：5321a a −=，且20a =，则d = A.1−B.0C.1D.22.（2024海淀一模3）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和. 若122a a =，公差0d ≠，0m S =，则m 的值为 A.4B.5C.6D.73.（2024门头沟一模5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若330S =，84a =，则9S = A.54B.63C.72D.1354.（2024石景山一模5）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0. 若236,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前5项和为A.15−B.3−C.5D.255.（2024顺义一模6）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若12a =，公差1d =，318k k S S +−=，则k = A.5 B.4 C.3 D.26.（2024朝阳一模6）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121a a +=，344a a +=，则6S = A.9 B.16 C.21 D.257.（2024房山一模5）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第三天走的路程为 A.12里B.24里C.48里D.96里8.（2024丰台一模6）按国际标准，复印纸幅面规格分为A 系列和B 系列，其中A 系列以A0，A1，等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：①A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为 ②将Ai (i 0,1,,9)=纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便称为A(i 1)+规格纸张（如图）.某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格 纸张. 共需A4规格纸张40张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张. 为满足上述要求，至少提供A0规格纸张的张数为A.6B.7C.8D.99.（2024平谷一模7）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，114a b ==−，42a =，548a b =，*m ∈N ，则满足1m m a b ⋅>的数值mA.有且仅有1个值B.有且仅有2个值C.有且仅有3个值D.有无数多个值10.（2024东城一模8）设等差数列{}n a 的公差为d ，则“10a d <<”是“n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.（2024西城一模8）在等比数列{}n a 中，00n a >. 则“001n n a a +>”是“0013n n a a ++>”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.（2024门头沟一模14）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为其前n 项和，1316a a =，314S =，则2a =_________；记12n n T a a a =(1,2,)n =⋅⋅⋅，若存在*0n ∈N 使得nT 最大，则0n 的值为_________.13.（2024西城一模14）在数列{}n a 中，12a =，23a =−. 数列{}n b 满足1n n n b a a +=−*()n ∈N . 若{}n b 是公差为1的等差数列，则{}n b 的通项公式为n b =_________，n a 的最小值为 _________.14.（2024延庆一模14）北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称 为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第 一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块. 已知每层环数相同，且三层共 有扇面形石板（不含天心石）3402块，则上层有扇形石板________块.15.（2024丰台一模10）已知数列{}n a 满足*1*(2,)21(21,)2n n na n k k a a n k k +⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪=−∈⎪⎩N N ，则 A.当10a <时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立 B.当11a >时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M >，使得n a M >恒成立 C.当101a <<时，存在正整数0N ，当0n N >时，11||2100n a −< D.当101a <<时，对于任意正整数0N ，存在0n N >，使得11||21000n a −>16.（2024海淀一模10）某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏 菌的繁殖轨迹，如图1. 通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律： ①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉 （分叉的角度约为60︒），再沿直线繁殖，；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型： 黏菌从圆形培养皿的中心O 开始，沿直线繁殖到11A ，然后 分叉向21A 与22A 方向继续繁殖，其中21112260A A A ∠=︒，且1121A A与1122A A 关于11OA 所在直线对称，11211122111,2A A A A OA ==.若114cm OA =，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r *(,cm)r ∈N 单位:至少为A.6B.7C.8D.917.（2024东城一模15）已知数列{}n a 的各项均为正数，满足21n n n a ca a +=+，其中常数c ∈R . 给出下列四个判断： ①若11a =，0c <，则11n a n <+(2)n ≥； ②若1c =−，则11n a n <+(2)n ≥； ③若1c =，n a n >(2)n ≥，则11a >； ④11a =，存在实数c ，使得n a n >(2)n ≥. 其中所有正确判断的序号是________.18.（2024顺义一模15）已知数列{}n a 满足112()2n n n a a a +=+*()n ∈N ，给出下列四个结论：①若1a =，则数列{}n a ；②若1a <，则对任意*n ∈N ，有1n n a a +>；③若10a >，则存在*0n ∈N ，当0n n ≥时，有12024n a −；④若1a >，则对任意*n ∈N ，有11(2n n a a +−−.其中，所有正确结论的序号是_________.19.（2024丰台一模15）目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具. 其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道. 现有材料科技条件下，对于一个n 级火箭，在第n 级火箭的燃烧耗尽时，火箭的速度可以近似表示为1212103ln(9)(9)(9)nnn a a a v a a a =+++其中11np jj i np j ij m m a m m m ==+=+−∑∑(1,2,,)i n =⋅⋅⋅.注：p m 表示人造天体质量，j m 表示第j (1,2,,)j n =⋅⋅⋅级火箭结构和燃料的总质量. 给出下列三个结论： ①121n a a a <；②当1n =时，3ln10v <；③当2n =时，若12ln 2v =6≥. 其中所有正确结论的序号是_________.20.（2024石景山一模15）黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：[0,1]x ∈ 时，*1,(,,)()0,0,1(0,1)p p x p q q q q R x x ⎧=∈⎪=⎨⎪=⎩N 为既约真分数和内的无理数. 若数列1()n n a R n −=，*n ∈N ， 给出下列四个结论： ①1n a n=； ②21n n a a ++<； ③1112ni i i a a +=<∑； ④11ln2ni i n a =+≥∑. 其中所有正确结论的序号是_________.。

完成日期完成时间!"60#1"E6用题!创新题一、单项选择题1.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题*远看巍巍塔七层$红光点点倍加增$共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯（）A.1盏+3盏 C.5盏D9盏2.（2020•湖北荆门高三模拟）斐波那契数列，指的是这样一个数列：235,8$ 13,21,…,在数学上,斐波那契数列｛a“｝定义如下:$1=$2=1，=$n~1+$n~2（-^03，—,N）,随着-的增大，亘越来越逼近黄金分割$n+1槡尹：0.618$故此数列也称黄金分割数列，而宽与长的比符合黄金比的长方形称为“最美长方形,已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是（）A.20厘米B19厘米C.18厘米D.17厘米3.设有穷数列｛$“｝的前n项和为令T n=S1+S2+&+S n$称0为数列$1$2$…$的“凯森和"，已知数列$1$2$•…$2020的“凯森和"为4042,那么数列一1,$1,$2$…，$2020的“凯森和"为（）A.4036B4037C4038D4039 4.（2020・全国"卷）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层•上层中心有一块圆形石板（称为天心（第4题）石）环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环•向外每环依次增加9块•下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同$且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块5.0—1周期序列在通信技术中有着重要应用•若序列$1$2，…，$n，…满足$i,｛0$ 1｝（=1,2$…）且存在正整数加•使得$+ =$（=1,2,…）成立，则称其为0—1周期序列$7称满足$i+m=$J（=1，2$…）的最小正整数，为这个序列的周期.对于周期为m的0—1序列$1$$2$…，$“$•••$C（.）= m—；$$汁.（=1,2$…，m—1）是描述其性质m m的重要指标•下列周期为5的0—1序列中$满足C（）%*（=1,2,3$）的序列是（!!"A.11010•&B.11011…C.10001…D.11001…二、多项选择题6.对于数列｛$“）若存在数列｛昇满足b n=$n—丄n,N5），则称数列｛b n｝是｛a n｝的$n“倒差数列”•下列关于“倒差数列”描述正确的是（!!）A.若数列｛$｝是单调递增数列，则其“倒差数列”不一定是单调递增数列B.若$.=3n—1$则其“倒差数列”有最大值C.若$n=3n—1$则其“倒差数列”有最New University Entrance Examination41小值D.若a ” = l — (—*"，则其“倒差数列”有最大值7.将九"个数$12$13 ................$4-排成-行-列的一 $"1 $22 $23 (2)个数阵，如图.该数 $31$32$33 ..................$3阵第一列的-个数…… 从上到下构成以加 "”*1 $-2 $&……$"(2)若数组(1"2，…"”)的逆序数为”,则数组(""”-1, •••,")的逆序数为_______.四、解答题10. (2021 •湖南株洲高三一模)由整数 构成的等差数列｛'”｝■满足$3=5,$1 $2= 2$.(1) 求数列｛$｝的通项公式；(2) 若数列｛&”)的通项公式为&” = 2”,将 数列｛”｝,｛”｝的所有项按照“当”为奇数时，&”放在前面；当”为偶数时,$”放在前面”为公差的等差数 "7题)列,每一行的”个数从左到右构成以加为公比的等比数列(其中，〉0).已知$11 =2,$13= $61+1,记这”个数的和为S .下列结论正 确的有 ()A. m=3B. $”=⑶—1)X3'厂苗 _ 103X31+5C ;$= 6D. S =6”(3”+l) (3" — 1)三、填空题& (2020 •山西高三月考)无穷数列'” ｝满足：只要 $P =$g(.p,q,N* "必有 $a +1 =$9+1,则称｛$｝为“和谐递进数列”.若 ｛$｝为“和谐递进数列”，S ”为其前”项和， 且 $1= 1 , $2= 2 , $6= 1 , $6+$8= 6 , 卩 S 2 021 =9. (2019 •清华附中高三月考)对于各数 互不相等的整数数组(1 "2,…"”"其中”是 不小于3的正整数)，若+ p ,q , ｛1,2，…,”),当p&q 时,有,则称""q 为该数组的 一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数 称为该数组的“逆序数”,如数组(2,3,1)的逆 序数等于2.(1)数组(5,2 ,6 ,3 ,1)的逆序数等于的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列｛”｝：&, $1 , $2，&2，&3 , $3 , $6，&，…,求数列 ｛” ｝的前4”+3项和0”+3.11. (2020 #上海徐汇区模拟)对于数列$ ｝,设数列｛$｝的前”项和为S ”,若存在正整数.,使得寻恰好为数列｛$ ｝的一项,则称数列｛$｝为“P (.数列”.(1) 已知数列1,2,3#为6(2)数列”， 求实数#的值；(2) 已知数列｛$｝的通项公式为$” = (” ,” = 2m —1(m ,N * ),( ”—2,、试问数列｛$｝是〔2 • 3丁，” = 2m (m ,N 5),否是“P ()数列”？若是,求出所有满足条件 的正整数.若不是,请说明理由.(命题人:陆咏梅)42 New University Entrance Examination。

数列中的奇偶项问题例1、（12一模）已知数列{}n a 满足：111,1,2n n n a n a a a n ++⎧==⎨⎩奇，，偶为数为数*n N ∈，设21n n b a -=.（1）求23,,b b 并证明：122;n n b b +=+（2）①证明：数列{}2n b +等比数列；②若22122,,9k k k a a a +++成等比数列，求正整数k 的值. 解：（1）2321=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+= 121221=22(1)2(1)22,n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+ （2）①因为111122(2)1,20,2,22n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列.②由数列{}2n b +可得，1121322,322n n n n b a ---=⨯-=⨯-即，则12211321n n n a a --=+=⨯-，因为22122,,9k k k a a a +++成等比数列，所以21(322)(321)(328)k k k -⨯-=⨯-⨯+，令2=k t ，得23(32)(1)(38)2t t t ⨯-=-+，解得243t =或，得2k =. 例2、（14二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，n N *∈． （I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （II ）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c n n n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …………3分230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． …………7分（Ⅱ）14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数． 当n 为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++=212(444)6(14)222214nn n n n ++-⋅-+=+--． ……………10分当n 为奇数时，（法一）1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-……………13分点评:根据结论1退而求之.（法二）132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ． ……………13分12222,221n n nn n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数……………14分点评：分清项数，根据奇偶进行分组求和。

2020北京各区一模数学试题分类汇编一数列（2020海淀一模）若数列｛a n ｝满足a 12,则A. 充分而不必要条件C.充分必要条件p,r N *,a p r a p a r ”是｛a .｝为等比数列”的B. 必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件设等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 3 2，a i a 4 5，则S 6设等差数列a n 的前n 项和为S n ，a n 2n 1，则S 5（2020朝阳区一模）在等比数列｛a n ｝中，a 1 1，a 4 8，则｛a .｝的前6项和为（）A. 21B. 11C. 31D. 63x *（2020 朝阳区一模）已知函数f （x ） XC0S3 .数列｛ a n ｝满足a n f （n ） f （n 1）（n N ），（2020海淀一模）在等差数列a n 中，q 3, a 2 a 5 16，则数列｛a n ｝的前4项的和为A. 10B. 9C. 8D. 7 （2020东城一模）已知正项等比数列a n 中，a 1a 5a 9 27，a 6与a 7的等差中项为9，则aw A. 729B. 332C. 181D. 96 （2020西城一模）（2020丰台一模）则数列｛a n ｝的前100项和是________（2020石景山一模）设a n 是等差数列，其前n 项和为S n .则“　S S 3 2S 2 ”是“　a n 为递增数列”的（）A.充分而不必要条件C. 充分必要条件（2020石景山一模）已知正项等比数列a n 中，a i 1，其前n 项和为S n n N*，且—丄—，a i a 2 a 3则S 4 _______________（2020石景山一模）能够说明“设 a ,b 是任意非零实数”，若“ a b ，则- a b 的值依次为______（2020怀柔一模）在等差数列｛a n ｝中，若a 4a 5a 615，则a 2a 8（2020密云一模）设数列a n 是等差数列，a 1 a 3 a §6，a ?A. 6 B. 10 C. 7 D. 5A. 12B. 21C. 24D. 36 B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件-”是假命题的一组整数b6.则这个数列的前7项和等于（(2020顺义区一模)设S n为公比q 1的等比数列a n的前n项和，且剤,2a2, a s成等差数列，则qS4--------- ，由---------- .(2020延庆一模)已知数列a n是等差数列，S n是a n的前n项和，a i0 16.(1) 判断2024是否是数列3n中的项，并说明理由；(2) 求S n的最值.从①3810 ?，②a8 8 :③a8 20中任选一个，补充在上面的问题中并作答。

（石景山一模文理8）若直角坐标平面内的两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()y f x =的图像上；②,P Q 关于原点对称，则称点对[],P Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”（注：点对[],P Q 与[],Q P 看作同一对“友好点对”）．已知函数()()()22log 040x x f x x x x >⎧⎪=⎨--≤⎪⎩，则此函数的“友好点对”有（ ）对．A ． 0B ． 1C ．2D ． 3 【解答】C（石景山一模理14）对于各数互不相等的整数数组()123,,,,n i i i i （n 是不小于3的正整数），若对任意的{},1,2,3,,p q n ∈，当p q <时有p q i i >，则称,p q i i 是该数组的一个“逆序”．一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组()2,3,1的逆序数等于2．则数组()5,2,4,3,1的逆序数等于 ；若数组()123,,,,n i i i i 的逆序数为n ，则数组()11,,,n n i i i -的逆序数为 ．【解答】8，232n n-（石景山一模文14）观察下列算式： l3 =1, 23 =3+5, 33 = 7+9+11,43 =13 +15 +17 +19 ，… … … …若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n=______． 【解答】45（大兴一模理8）抛物线2(22)yx x ≤≤绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是（A ）1 （B ）8 （C） （D） 【解答】B（大兴一模理14）已知函数12,02()122,12x x f x x x ≤≤≤，定义1()()f x f x ,1()(())n n f x f f x ，(2n ≥,n N )．把满足()n f x x （0,1x ）的x 的个数称为函数()f x 的“n 周期点”．则()f x 的2周期点是 ；n 周期点是 ． 【解答】4，2n（东城一模文8）已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23x f x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为 （A ）2或7- （B ）2或8- （C ）1或7- （D ）1或8- 【解答】A（东城一模文理14）数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若n n a a =(0)a ≠， 则位于第10行的第8列的项等于 ，2013a 在图中位于 ．（填第几行的第几列）【解答】89a 第45行的第77列（东城一模理8）已知向量OA ，AB ，O 是坐标原点，若AB k OA =，且AB 方向是沿OA 的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA 经过一次()k θ，变换得到AB ．现有向量=(11)OA ，经过一次11()k θ，变换后得到1AA ，1AA 经过一次22()k θ，变换后得到12A A ，…，如此下去，21n n A A --经过一次()n n k θ，变换后得到1n n A A -．设1()n n A A x y -=，，112n n θ-=，1cos nn k θ=，则y x -等于（ ） A ．1112sin 2211sin1sin sin 22n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ B ．1112sin 2211cos1cos cos 22n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ C ．1112cos 2211sin1sin sin 22n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．1112cos 2211cos1cos cos 22n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 【解答】B（海淀一模理8）设123l l l ，，为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线．给出下列三个结论：①i i A l ∃∈(123)i =，，，使得123A A A △是直角三角形； ②i i A l ∃∈(123)i =，，，使得123A A A △是等边三角形；③三条直线上存在四点(1234)i A i =，，，，使得四面体1234A A A A 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体． 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ． ① B．①② C． ①③ D． ②③ 【解答】B（海淀一模理14）已知函数π()sin 2f x x =，任取t ∈R ，定义集合：{|t Ay =()y f x =，点(())P t f t ，，(())Q x f x ，满足||PQ ．设t t M m ，分别表示集合t A 中元素的最大值和最小值，记()t t h t M m =-． 则 ⑴ 函数()h t 的最大值是_____；⑵ 函数()h t 的单调递增区间为________． 【解答】2,(21,2),k k k -∈ Z（海淀一模文14）已知函数()y f x =，任取t ∈R ，定义集合: {|t Ay =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x 满足||PQ ≤. 设,t t M m 分别表示集合t A 中元素的最大值和最小值，记()t t h t M m =-.则(1) 若函数()f x x =，则(1)h =______;（2）若函数π()sin 2f x x =，则()h t 的最小正周期为______. 【解答】2；2（海淀一模文8）抛物线24y x =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当FPM ∆为等边三角形时，其面积为A. B. 4 C. 6D. 【解答】D（西城一模理8）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 上的动点，1PE AC ⊥于E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是（ ） A ．线段 B ．圆弧 C ．椭圆的一部分 D ．抛物线的一部分E PD 1C 1B 1A 1AD C B【解答】A（西城一模理14）记实数1x ，2x ，…，n x 中的最大数为{}12max n x x x ，，，，最小数为{}12min n x x x ，，，．设ABC △的三边边长分别为a ，b ，c ，且a b c ≤≤，定义ABC △的倾斜度为max min a b c a b c t bca bca ⎧⎫⎧⎫=⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，，．⑴ 若ABC △为等腰三角形，则t = ． ⑵ 设1a =，则t 的取值范围是 ． 【解答】（1）1；（2）（房山一模文理8）设集合M 是R 的子集，如果点0x ∈R 满足：00,,0a x M x x a ∀>∃∈<-<，称0x 为集合M 的聚点.则下列集合中以1为聚点的有： ① {|}1n n n ∈+N ； ②*2{|}n n∈N ； ③Z ； ④{|2}x y y = A.①④ B. ②③ C. ①② D. ①②④【解答】A（房山一模理14）已知函数()f x 的定义域是D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f =； ②1()()52x f f x =； ③(1)1()f x f x -=-.则4()5f = ，1()2013f = . （文科）1()12f = . 【解答】1/2；1/32；（文科）1/4（丰台一模理8）动圆C 经过点F(1,0)，并且与直线x=-1相切，若动圆C 与直线1y x =+总有公共点，则圆C 的面积(A) 有最大值8π (B) 有最小值2π (C) 有最小值3π (D) 有最小值4π 【解答】D（丰台一模文8）如果函数y =f (x )图像上任意一点的坐标（x,y ）都满足方程lg()lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是(A) y =f(x)是区间（0，+∞）上的减函数，且x +y 4≤ (B) y =f(x)是区间（1，+∞）上的增函数，且x +y 4≥ (C) y =f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x +y 4≥ (D) y =f(x)是区间（1，+∞）上的减函数，且x +y 4≤ 【解答】C（丰台一模理14）已知M 是集合{}1,2,3,,21(*,2)k k N k -∈≥的非空子集，且当x M ∈时，有2k x M -∈.记满足条件的集合M 的个数为()f k ，则(2)f = ；()f k = 。

2021 年各地高考模拟数列局部创新试题之三1.把数列 2n 1 依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数， 第五个括号一个数， ⋯循 分 〔 3〕，〔 5，7〕，〔9 ，11，13〕，〔 15 ，17，19，21〕，〔 23〕，〔 25， 27〕，〔 29 ， 31， 33〕，〔 35，37， 39， 41〕，〔 43〕⋯ 第 104 个括号内各数之和2.数列 { a n } 足 a 12, a 21 并且 a n1a n a n a n 1 ( n 2 )。

数列的第 100a n a n 1 a n 1 a nA. 1B. 1C. 1D. 12100 2 50 10050 3.在数列 { a n } 中， a 1=2 ， a n 1 a n 2(n 奇数 ) ， a 5 等于a n 1 2a n (n 偶数 )4.数列 x n足 x 2x 1 ， x n 1( x n 1 x n 2 ), n3,4, ，假设 limx n2 ， x 122nA.325.数列 { a n } 中， a 15, 且 任意自然数n 都有 a n11a n( 1) n 1 ,数列 {b n } 任意自然数n 都632有 b na n 1 1a n2〔Ⅰ〕求 数列{ b n } 是等比数列；〔Ⅱ〕求数列 { a n } 的通 公式；S ，求 lim S n 的 。

〔Ⅲ〕 数列 { a n } 前 n 的和nn6. 函数 f (x)1 x ln x 在 [1,) 上 增函数 .ax〔Ⅰ〕求正 数a 的取 范 .〔Ⅱ〕假设 a 1，求 ： 11 1 1 ln n n1 1 1 1 , (n N * 且 n 2) .2 3 4n2 3 4n 17.定 如下运算：x 11 x 12 x 13x 1ny 11 y 12 y 13y 1kx 21x22x23x2 ny 21y 22y23y2 kx 31 x 32 x 33 x 3ny 31 y 32 y 33 y 3kx m1 x m2 x m3x mny n1 y n 2 y n3y nkz 11 z 12 z 13 z 1k z 21z 22z23z 2kz 31z 32 z33 z3kz mkz mkzmkzmkx i 3 y 3 jx in y nji mj n i j N其中 z ijx i 1 y 1 jx i 2 y 2 j， (1 ,*) ., 1 ,有 n 2 个正数的数表A 排成行列如下：〔 里用 a ij 表示位于第 i 行第 j 列的一个正数， i, j N 〕.a 11 a 12 a 13a 1na 21a 22a23a2na 31a 32 a33a3na n1a n2an3ann其中每横行的数成等差数列，每竖列的数成等比数列，且各个等比数列的公比相同，假设a 24 1 ，a 42 1 a 43 38 ， 16 .〔Ⅰ〕求 a ij 的表达式〔用 i ，j 表示〕；a 11 a 12 a 13 a 1 n1 3b 11 b 12a 21 a 22 a 23a 2 n23 2b 21b22〔Ⅱ〕假设 a 31a 32 a 33a 3n33b 31 b 32 ，求 b i 1 ． b i 2 (1 in ，用, 表示 ) .i na n1a n2an3annn3 nb n 1 bn28.随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1 升排量的 Q 型车、 R 型车的销量引起市场的关注． 2021 年 1 月 Q 型车的销量为 a 辆，通过分析预测，假设以 2021 年 1 月为第 1 月，其后两年内 Q 型车每月的销量都将以 1％的比率增长， 而 R 型车前 n 个月的销售总量T n 大致满足关系式： T n2n1) 0.〔Ⅰ〕求 Q 型车第 n 个月的月销售量 a n 的表达式；〔Ⅱ〕求 Q 型车前 n 个月的销售总量 S n 的表达式；〔Ⅲ〕比拟两款车前 n 个月的销售总量S n 与 T n 的大小关系 .[ 参考答案 ]5.解：〔 Ⅰ 〕 a n ＋ 1 =1a n ( 1 )n 1①3 22a n ＋2 =2a n 1( 1 )n 1 ②32② － ①得 2a n ＋2－ a n ＋1 =2a n 1 ( 1)a n3 3即b n ＋ 1= 13bn∴ b n 11常数b n 3 即｛ b n ｝ 等比数列〔 Ⅱ 〕 n ＋1 =11 n 1 1 11 n 1 n 13 a n ( 2 )3 ( 3 a n 1( 2) ) ( 2 )a= (1)2a n 1 2( 1 )n 1 ( 1 )n 13 3 2 2= ⋯= (1)n a 1 ( 1 )n 1 2 ( 1) n 1 ( 2 )n 1 ( 1 )n 13 2 3 23 22 n = ( 1 ) n 5 ( 1 ) n 1 1 (3 )3 6 2 1 231 n 51 n 12 n = (3 )6 3(2 ) (1 (3 ) )即｛ a ｝通 公式na n =( 1) n 1 5 3(1)n (1 ( 2)n 1) 3 (1 )n 2( 1)n 362 32 3〔 Ⅲ 〕a n =( 1 )n 1 53 ( 1)n3 (1 )n 13 (1)n2( 1)nn3 n32 n 6 22 323a i( 1 )n (1 )ni 1i 12 i 1 3lim na i = 3 － 1 = 2ni 16.解：〔 Ⅰ 〕由：f (x)ax 2 1( a 0)ax 依 意得：ax1 0 x[1, ) 恒成立，ax 2∴ ax 10 x [1, ) 恒成立∴ a 1 0 即： a1.〔 Ⅱ 〕∵ a 1， ∴ 由〔 Ⅰ〕知： f (x)1 x) 上 增函数，xln x 在 x [1,n1nn n 1∴ n 2f ()n1ln lnf (1) 0时n 1 n 1 1nn n即 1nn 1ln .n n 1∴ 1 1 1 1 ln 2 ln 3ln n 1 ln n . 2 3 4n1 2n设 g( x) ln x x ， x [1, ) 那么 g (x) 1 10 对 x [1, ) 恒成立，x∴ g ( x) 在 [1, ) 为减函数 .∴ n 2 时 g ( n ) ln n 1n ng (1)1 0 ，n 1 n1即 lnn n 1 1n 1, (n2) ，n 1 n 1∴ ln2ln3lnn(11) (1 1 ) (1 1) n1 1 1 .12n 1n 1n 212 3n 1综上所证：：11 1 1 ln n n 11 1 1 ,(n N *且 n 2) 成立 .2 3 4n2 3 4n 17.解：〔 Ⅰ 〕 ∵ a 42 1a 4338 ， 16，且每横行成等差数列，∴ a 4 ja 42( j 2)( 31) 1 j ，16 8 164 11∴ a 4416 4 ，又 ∵ a 241 ，∴ q2 〔 ∵ q 0 〕i 4j∴ a ij a 4 j1；22i〔 Ⅱ 〕 b i111 2 2 3 3 n ni ii i2 2 2 2 1 2 23 2n 2 n(n 1)(2n 1) 2 i 1 2 3 i 11 2 3 2 nb i 23 2 3 ni i 3 2 i 3 2 i3 ①2 2∴ 3b i 21 2 2 3 3 3 4 n n 1i 3 i i 3 i 3 ②2 2 2 2 ② － ①得2b i 21 (32 3nn3 n 11 32 i33 )2 i 2 i1323 n 1n3 n13i1 3ii2221 1 (2n1)3n132 i∴ b i 21 n 13i 1 ( 2n 1)328.解：〔 Ⅰ 〕 Q 型车每月的销售量 a n 是以首项 a 1 a ，公比 q1 1%的等比数列，a nan1.〔 Ⅱ 〕前 n 个月的销售总量 S nn1 n1 ，〔 n N * ，且 n24 〕 .1〔 Ⅲ 〕S n T n n1 2282n1aan1nn1n1n32 ，57又n1 0 ，n320 ， ∴ S nT n .57。

专题15 数列解答题一、解答题1．（2022·河北唐山·高三期末）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，()21n n S n a =+，且11a =． (1)证明：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列；(2)若122nn n n n a b a a ++⋅⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2．（2022·河北保定·高三期末）在数列{}n a 中，312a =，且数列{}2nn a -是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1122n n nn n n a a b a a ++-=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .3．（2022·河北张家口·高三期末）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，2n S n =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T .4．（2022·河北深州市中学高三期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，13*()2n n a S n N +=+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n b a =，若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：1n T <．5．（2022·山东莱西·高三期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a ，n a ，n S 为等差数列；数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++.(1)求数列{}n b 的前n 项和n T ； (2)若对于*N n ∀∈，总有3207464n n m a --<成立，求实数m 的取值范围.6．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足：11a =，121n n S S +=+，*N n ∈．(1)证明：数列{}1n S +为等比数列； (2)设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．7．（2022·山东青岛·高三期末）给定数列{}n a ，若满足()101a a a a =>≠，且，对于任意的,m n N *∈，都有m n m n a a a +=⋅，则称{}n a 为“指数型数列”.(1)已知数列{}n a 的通项公式为3nn a =，证明：{}n a 为“指数型数列”；(2)若数列{}n a 满足：1111,2n n n n a a a a a ++==+⋅；（I ）判断11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；(Ⅱ)若1n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .8．（2022·山东临沂·高三期末）设数列{}n a 的前n 项和为n s ，且满足()12n n n s s a n N *+=++∈，()54623s a a =+．(1)求数列的通{}n a 项公式：(2)若12na n nb a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．9．（2022·山东淄博·高三期末）已知数列{}n a 满足1213243112322n n nna a a a a a a a ++++++=-----．(1)设1n n n b a a +=-，求{}n b 的通项公式； (2)若12a =，求{}n a 的通项公式．10．（2022·山东枣庄·高三期末）已知等差数列{}n a 中，12a =，公差0d >，其前四项中去掉某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列{}n b 的前三项． (1)求d 的值；(2)设{}n a 中不包含{}n b 的项按从小到大的顺序构成新数列{}n c ，记{}n c 的前n 项和为n S ，求200S ．11．（2022·山东泰安·高三期末）在等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一，二，三列中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表中的同一行，设数列{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：数列{}n S 中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列.12．（2022·山东日照·高三期末）数列{}n a 中，已知111,1n n a a S +==+，数列{bn }满足11a b =，点1(),n n P b b +()*N n ∈在直线30x y -+=上.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)数列{}n a 中满足：①999n a <；②存在*m ∈N 使m n b a =的项组成新数列{cn }，求数列{cn }所有项的和.13．（2022·山东青岛·高三期末）已知数列{}n F 满足：()*121231,1,3,2n n n F F F F F n n N --===+≥∈. (1)求证：存在实数λ，使得()1121n n n n F F F F λλλ---+=+；(2)求数列{}n F 的通项公式.14．（2022·山东德州·高三期末）已知等差数列{}n a 中，4d =，首项10a >，其前四项中删去某一项后（按原来的顺序）恰好是等比数列{}n b 的前三项. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设{}n a 中不包含{}n b 的项按从小到大的顺序构成新数列{}n c ，记{}n c 的前n 项和为n S ，求20S .15．（2022·山东烟台·高三期末）已知数列{}n a 满足14a =，1*1,21(N )22,2n n n a n n k a k a n n k+⎧+=-⎪=∈⎨⎪-=⎩． (1)记22n n b a =-，证明：数列{}n b 为等比数列，并求{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S ．16．（2022·山东济南·高三期末）已知数列{}n a 满足：()213nn n a a ++-=，11a =，22a =.(1)记21n n b a -=，求数列{}n b 的通项公式； (2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求30S .17．（2022·湖北武昌·高三期末）已知数列{}n a 满足11a =，22a =，且对任意*N n ∈，都有2132n n n a a a ++=-．(1)求证：{}1n n a a +-是等比数列，并求{}n a 的通项公式； (2)求使得不等式1212154m m a a a ++⋅⋅⋅+≤成立的最大正整数m ．18．（2022·湖北江岸·高三期末）已知数列{}n a 中，11a =，23a =，且满足()()()()12111121n n n n n n a a n a a n a a n n ++++=+-+-+()*N n ∈. (1)设()1*N nn n nna b n a a +=∈-，证明：{}n b 是等差数列； (2)若()*N nn na c nb =∈，求数列{}n nc 的前n 项和n S .19．（2022·湖北襄阳·高三期末）设{}n a 是正项等比数列，{}n b 是等差数列，已知11a =，4322a a a =+，426a b b =+，6474a b b =+．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足23log n bn n c a =⋅，是否存在实数p 、q ，使得{}n c 前n 项和为1233n n n T q p +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，如果存在，求实数p 、q 的值，如果不存在，请说明理由．20．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a n ++=；数列{}n b 前n 项和为n S ，且11b =，121n n S b +=-.(1)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； (2)设n n n c a b =⋅，求{}n c 前2n 项和2n T .21．（2022·湖北·高三期末）已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，0n a >，23432a a a +=，53134S a =+．(1)求{}n a ；(2)记数列{}n a 中不超过正整数m 的项的个数为m b ，求数列{}m b 的前100项和100T ．22．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知{}n a 是公差为1的等差数列，且1a ，2a ，4a 成等比数列．（Ⅱ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．23．（2022·湖南娄底·高三期末）在等差数列{}n a 中，已知2a ，5a 是一元二次方程219700x x -+=的两个根．(1)求2a ，5a ； (2)求{}n a 的通项公式．24．（2022·湖南常德·高三期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()*1n n S n a n n N =+-∈．(1)求1a ，2a 并求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足：1,1104,11n n n n a n b n a a-≤≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩，求数列{}n b 前20项的和20T ．25．（2022·湖南郴州·高三期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且()1221n n S S n +=+≥，{}n b 是公差不为0的等差数列，且124,,b b b 成等比数列，2104,,a b a 成等差数列．(1)求{}{},n n a b 的通项公式； (2)若()()122111log n n n n n c b a ++=-+，求{}n c的前2n 项和2n T ．26．（2022·广东揭阳·高三期末）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，23118,48a a a =-=. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)3log 2nn a b =，求数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .27．（2022·广东潮州·高三期末）设等差数列{}n a 的前n 项和为37,6,14n S a a ==． (1)求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ； (2)若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．在2212;;na n n n n n na ab b S a ++==①②这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解． (注意:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)28．（2022·广东东莞·高三期末）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且517a =，42222S a =+. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)在任意相邻两项k a 和()11,2,3,k a k +=之间插入2k 个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，求数列{}n b 的前200项的和200T .29．（2022·广东罗湖·高三期末）已知数列{}n a 满足11a =，22a =，且2132n n n a a a ++=-（*N n ∈）． (1)证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，若*N n ∀∈，均有n n S a λ<，求实数λ的最小值．30．（2022·广东清远·高三期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，从下面①②③中选择两个作为条件，证明另外一个成立．①n n a n S =-，②1n n b a =-，③112⎛⎫=- ⎪⎝⎭nn T ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．31．（2022·广东汕尾·高三期末）已知等比数列{}n a 满足131,1a a =+是24,a a 的等差中项．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记121log n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n S .32．（2022·广东佛山·高三期末）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3S 、9S 、6S 成等差数列. (1)求证：2a 、8a 、5a 成等差数列；(2)若12a =，n T 是数列{}6n a 的前n 项积，求n T 的最大值及相应n 的值.33．（2022·广东·铁一中学高三期末）已知数列{}n a 的前n 项和为23122n S n n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列[]lg n n b a =，[]x 表示不超过x 的最大整数，求{}n b 的前1000项和1000T .34．（2022·江苏海门·高三期末）已知{an }是公差不为零的等差数列，a 5＝17，a 1，a 2，a 7成等比数列．(1)求数列{an }的通项公式；(2)将数列{an }与{3n }的相同的项按由小到大的顺序排列构成的数列记为{bn }，求数列{bn }的前n 项和Sn ．35．（2022·江苏通州·高三期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1a ＝2，2(+1+n n S S )＝6－+1n a .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n S 的最大值为M ，最小值为m ，求M －m 的值.36．（2022·江苏宿迁·高三期末）已知数列{}n a 满足12213,15,54n n n a a a a a ++===-. (1)设1n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式；(2)设()210log 1n n c a =-+，求数列{}n c 的前20项和20T .37．（2022·江苏扬州·高三期末）已知等差数列{an }和等比数列{bn }，数列{an }的公差d ≠0，a 1＝2．若a 3，a 6，a 12分别是数列{bn }的前3项． (1)求数列{bn }的公比q ； (2)求数列{anbn }的前n 项和Tn ．38．（2022·江苏海安·高三期末）已知数列{an }满足122n n n a a a ++=+，且121,1a a ==-． (1)请你在①，②中选择一个证明： ①若1n n n b a a +=-，则{bn }是等比数列； ②若12n n n b a a +=+，则{bn }是等差数列．注：如果选择多个分别解答，按第一个解答计分． (2)求数列{an }的通项公式及其前n 项和Sn ．39．（2022·江苏如东·高三期末）已知数列{an }的各项均为正数，其前n 页和为Sn ，且a 1＝2，212log log (1)1n n a a +=++.(1)证明：数列{}2n a +是等比数列；(2)求数列2122n n n S S ++⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和.40．（2022·江苏如皋·高三期末）已知数列{an }中，a 1＝0，an ＋1＝an ＋(－1)n &#xF0D7;n . (1)求a 2n ； (2)设bn ＝()2211n a a n ⋅+，求数列{bn }的前n 项和.41．（2022·江苏苏州·高三期末）若数列{}n a 满足n m n a a d +=+（*m ∈N ，d 是不等于0的常数）对任意*n ∈N 恒成立，则称{}n a 是周期为m ，周期公差为d 的“类周期等差数列”．已知在数列{}n a 中，11a =，*141()n n a a n n ++=+∈N ．(1)求证：{}n a 是周期为2的“类周期等差数列”，并求22022,a a 的值； (2)若数列{}n b 满足*1()n n n b a a n +=-∈N ，求{}n b 的前n 项和n T ．42．（2022·江苏常州·高三期末）已知数列{}n a 的前n 项和()()()*122n n n S n ++=∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．43．（2022·江苏无锡·高三期末）已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+*(2,)n n ≥∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若22log n n n a b n ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T .。

第15讲创新型数列问题一．选择题（共5小题）1．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是()A ．10日B ．20日C ．30日D ．40日【解析】解：设此数列为等差数列{}n a ，15a =，1n a =，90n S =．∴(15)902n ⨯+=，解得30n =．故选：C ．2．著名的斐波那契数列{}:1n a ，1，2，3，5，8，⋯，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，*n N ∈，若2020211k n n a a -==∑，则(k =)A ．2020B ．4038C ．4039D ．4040【解析】解：根据题意斐波那契数列{}n a 中：满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，*n N ∈，当n 为奇数时，11232462411n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a +--------=+=++=+++=⋯=+++⋯++．则202021354039404011k n n a a a a a a -===+++⋯+=∑．所以4040k =．故选：D ．3．已知数列{}n a 满足11a =-，1|1|21n n n a a a +=-++，其前n 项和为n S ，则下列说法正确的个数为()①数列{}n a 是等差数列；②数列{}n a 是等比数列；③23n n a -=；④1332n n S --=．A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】解：数列{}n a 满足11a =-，1|1|21n n n a a a +=-++，可得21a =，33a =，49a =，所以数列不是等差数列，也不是等比数列，所以①②③不正确；当2n 时，1111333113931132n n n n S -----=-++++⋯+=-+=-，当1n =时，也满足表达式，所以1332n n S --=，所以④正确．故选：B ．4．用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例：9的因数有1，3，9，g （9）9=，10的因数有1，2，5，10，(10)5g =，那么g （1）g +（2）g +（3）2016(21)(g +⋯+-=)A ．201541433⨯+B ．201541433⨯-C ．201641433⨯+D ．201641433⨯+【解析】解：由()g n 的定义知()(2)g n g n =，且若n 为奇数则()g n n =令(2016)f g =（1）g +（2）g +（3）2016(21)g +⋯-则(2017)f g =（1）g +（2）g +（3）2017(21)g +⋯-201713(21)g =++⋯+-+（2）g +（4）2017(22)g +⋯+-2016201712[1(21)]2g =+-⨯+（1）g +（2）20172016(22)4(2016)g f +⋯+-=+即2016(2017)(2016)4f f -=，分别取n 为1，2，⋯，n 并累加得(2017)f f -（1）20162201620164(14)4444(41)143⨯-=++⋯+==--，又f （1）g =（1）1=，所以20164(2017)(41)13f =-+所以(2016)f g =（1）g +（2）g +（3）201620152015441(21)(41)14333g +⋯-=-+=⨯-．故选：B ．5．数列{}n a 满足113a =，且对任意*n N ∈，21n n n a a a +=+，11n n a =+ð，数列{}n ð的前n 项和为n S ，则2017S 的整数部分是()A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：21n nn a a a +=+ ，113a =，1n n a a +∴>．2114939a ∴=+=，234452()9981a =+=，2452526916()181816561a =+=>．4n ∴时，1(0,1)na ∈．21n n n a a a +=+ ，∴11111n n n a a a +=-+，可得：11111n n n a a a +=-+，111n n n a a +∴=-ð，∴数列{}n ð的前n 项和122311111111111()(()n n n n S a a a a a a a a ++=-+-+⋯+-=-．20171201820181113(2,3)S a a a ∴=-=-∈．其整数部分为2．故选：B ．二．填空题（共10小题）6．在数列{}n a 中，112a =，且11(*)2n na n N a +=∈-，设数列{}n a 的前n 项的积为n T ，则100T =1101．【解析】解： 112a =，且11(*)2n na n N a +=∈-，2111212322a a ∴===--，3211132424233a a ====--，由归纳推理得1n n a n =+，则数列{}n a 的前100项的积为1001231001234101101T =⨯⨯⨯⋯⨯=，故答案为：1101．7．若数列{}n a 满足11a =，*11(()4n n n a a n N ++=∈，设21123444n n n S a a a a -=+++⋯+，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得54n n n S a -=n ．【解析】解：由21123444n n n S a a a a -=+++⋯+ ①得2311231444444n n n n n s a a a a a --=+++⋯++ ②①+②得：2111223154()4()4()4n n n n n n s a a a a a a a a --=+++++⋯+++ 211111144(4(4444n n n n a a --=+⨯++⋯++ 11114n n a =+++⋯++ 4n n n a =+ ．所以54n n n s a n -= ．故答案为n ．8．在数列{}n a ，{}n b中，12()n n n a a b +=++，12()n n n b a b +=+-，111a b ==，设数列{}n c 满足11n n nc a b =+，则数列{}n c 的前10项和10S =1023256．【解析】解：数列{}n a ，{}n b中，12()n n n a a b +=++，①，12()n n n b a b +=+-，②所以①+②得：114()n n n n a b a b +++=+，整理得114n n n na b a b +++=+（常数），所以数列{}n n a b +是以112a b +=为首项，4为公比的等比数列．所以121242n n n n a b --+=⨯=．①⨯②得：222114()4()8n n n n n n n n a b a b a b a b ++=+-+=，所以118n n n na b a b ++=（常数），故数列{}n n a b 是以111a b =为首项，8为公比的等比数列，所以11188n n n n a b --=⨯=，由于数列{}n c 满足212111228n n n n n n c a b ---=+==，所以101012(1)10232125612S -==-，故答案为：1023256．9．设函数()f x 在定义域D 上满足1()1,()02f f x =-≠，且当x ，y D ∈时，()()()1x y f x f y f xy ++=+，若数列{}n x 中，11221,(,*)21n n n nx x x x D n N x +==∈∈+，则数列{()}n f x 的通项公式为1()2n n f x -=-．【解析】解： 函数()f x 在定义域D 上满足1(1,()02f f x =-≠，且当x ，y D ∈时，()()()1x yf x f y f xy++=+，数列{}n x 中，11221,(,*)21n n n n x x x x D n N x +==∈∈+，1222()(()1nn n n x f x f f x x +∴==+，∴1()2()n n f x f x +=，11()()12f x f ==-，1()2n n f x -∴=-．故答案为：1()2n n f x -=-．10．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，对一切*n N ∈，都有1n n na b a +=，则数列{}n b 的通项公式为1n b =．【解析】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，1n n n a b a +=，∴211n n n ab a +++=，∴221()n n n a a q a ++=，221()n n n a a q a ++∴=，2312()n n n a a q a +++∴=，∴2312221n n n n n n a a a a a a +++++=，即33312()n n n n a a a a +++=，即33(3)()(2)n n n n a d a d a d a ++=+，化简可得，0n a d =，0n a ≠ ，0d ∴=，故数列{}n a 是常数列，故11n n na b a +==，故答案为：1n b =．11．已知各项均为整数的数列{}n a 中，12a =，且对任意的*n N ∈，满足1212,3212n n n n n n a a a a ++-<+->⨯-，则2017a =20172．【解析】解：由满足1122n n n a a +-<+，121122n n n a a +++∴-<+，2321n n n a a +∴-<⨯+．又2321n n n a a +->⨯-．232n n n a a +∴-=⨯．20172017201520152013311()()()a a a a a a a a ∴=-+-+⋯+-+2015201313232322=⨯+⨯+⋯+⨯+10082(41)3241-=⨯+-20172=．故答案为：20172．12．定义：对于数列{}n x ，如果存在常数p ，使对任意正整数n ，总有1()()0n n x p x p +--<成立，那么我们称数列{}n x 为“p -摆动数列”①若21n a n =-，(10)n n b q q =-<<，*n N ∈，则数列{}n a 不是“p -摆动数列”，{}n b “p -摆动数列”（回答是或不是）；②已知“p -摆动数列”{}n c 满足111n n c c +=+，11c =．则常数p 的值为；【解析】（1）由21n a n =-知道{}n a 是递增数列，故不存在满足定义的p ，又因为(10)n n b q q =-<<可知n b 正负数值交替出现，故0p =时满足定义．（2）因为数列{}n c 是“p -摆动数列”，故1n =时有21()()0x p x p --<，可求得112p <<，又因为使对任意正整数n ，总有1()()0n n c p c p +--<成立，即有21()()0n n c p c p ++--<成立，则2()()0n n c p c p +-->，所以1c p >，3c p >，⋯，21n c p ->，同理2c p <，4c p <，⋯，2n c p <，所以221n n c p c -<<，即212111n n c c --<+，解得21512n c -->，即512p ，同理2211n n c c >+，解得212n c -<，即12p ，综上，12p =．13．数列{}n a 满足11121.n n n na a a n a ++-==，*n N ∈，则n a =2(1)n n+．【解析】解：根据题意，数列{}n a 满足112n n n na a n a ++-=，即112n n n na a na ++-=，变形可得：12n n a na n +=+，则1211211212()()()113(1)n n n n n a a a n n a a a a a n n n n-----=⋯⨯=⨯⨯⋯⨯⨯=++，故答案为：2(1)n n+．14．我们知道，如果定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1x 、2x ，总有不等式1212()()()22f x f x x x f ++成立，则称函数()f x 为该区间上的向上凸函数（简称上凸）．类比上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：212n n n a a a +++成立，则称数列{}n a 为向上凸数列（简称上凸数列）．现有数列{}n a 满足如下两个条件：（1）数列{}n a 为上凸数列，且11a =，1028a =；（2）对正整数*(110,)n n n N <∈，都有||20n n a b -，其中2610n b n n =-+．则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为[13，25]．【解析】解： 212n n n a a a +++，∴211211n n n na a a a n n n n+++--+--+-，∴1015110151a a a a ----，把11a =，1028a =代入，得513a ⋯（1）．在||20n n ab -，2610n b n n =-+中，令5n =，得52530105b =-+=，552020a b ∴--，51525a ∴-⋯（2）．（1）、（2）联立得1325a ．答案：[13，25]．15．若数列{}n a ，{}n b 满足11a =，11b =，若对任意的*n N ∈，都有1n n n a a b +=++，1n n n b a b +=+-111(3n nn nc a b =+，则无穷数列{}n c 的所有项的和为1．【解析】解：由题意，112()n n n n a b a b +++=+，{}n n a b ∴+是首项为2，公比为2的等比数列，∴2n n n a b +=，而22211()()2n n n n nn n n a b a b a b a b ++=+-+= ，可得12n n n a b -= ，从而11112()333n n n n n n n n n n a b c a b a b +=+== ，其各项和为12311113c q ==--．故答案为：1．。