(江苏版)2018年高考数学一轮复习 专题4.6 正余弦定理(练)

1．(2016·隆化期中)在△ABC 中，如果sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，那么cos C ＝________.2.(2016·银川月考)如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点间的距离为______________m.3．(2016·安庆检测)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a 2－c 2＝3bc ，sin B ＝23sin C ，则A ＝________.4．(2016·苏北四市一模)在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，那么边BC 的长为________．5．(2016·常州一模)在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若tan A＝7tan B ，a 2－b 2c ＝3，则c ＝________.6．(2016·东营期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B ＝________.7．(2016·南京、盐城、徐州二模)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，已知∠B ＝60°，AD ＝2，AC ＝10，DC ＝2，那么AB ＝________.8．已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x ，y ，使得AO→＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为________． 9．△ABC 中，A 、B 、C 是其内角，若sin2A ＋sin(A －C )－sin B ＝0，则△ABC 的形状是________________三角形．10．(2016·惠州二调)在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且∠C ＝60°，c ＝3，则a ＋23cos A sin B＝________. 11．(2016·佛山期中)如图，一艘船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.12．(2016·吉安期中)在△ABC 中，D 为BC 边上一点，若△ABD 是等边三角形，且AC ＝43，则△ADC 的面积的最大值为________．13．(2016·如东高级中学期中)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________．14．(2016·南通二模)若一个钝角三角形的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是________．答案精析1．－14 2.502 3.π6 4.7 5.46．45°解析 由正弦定理可知a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c sin C ＝2R sin C ·sin C ，∴sin C ＝1，C ＝90°.∴S ＝12ab ＝14(b 2＋c 2－a 2)，解得a ＝b ，因此B ＝45°. 7.263解析 在△ADC 中，AD ＝2，AC ＝10，DC ＝2，则cos ∠ADC ＝－22，所以∠ADC ＝135°，从而在△ABD 中，∠ADB ＝45°.又因为∠B ＝60°，由正弦定理得AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，即232＝AB 22，解得AB ＝263. 8.23解析 设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC .因为AO→＝xAB →＋yAC →，所以AO →＝xAB →＋2yAD →. 又x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线，即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23. 9．等腰或直角解析 因为sin2A ＋sin(A －C )－sin B＝sin2A ＋sin(A －C )－sin(A ＋C )＝2sin A cos A －2sin C cos A＝2cos A (sin A －sin C )＝0，所以cos A ＝0或sin A ＝sin C ，所以A ＝π2或A ＝C .故△ABC 为等腰或直角三角形．10．4解析 由正弦定理知a sin A ＝c sin C ＝2，所以a ＝2sin A ，代入得原式＝2sin A ＋23cos A sin B＝4·sin (A ＋60°)sin B ＝4.11．30 2解析 依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin45°＝BM sin30°，解得BM ＝30 2.12．4 3解析 在△ACD 中，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝AD 2＋DC 2－482AD ·DC ＝－12，整理得AD 2＋DC 2＝48－AD ·DC ≥2AD ·DC ，∴AD ·DC ≤16，当且仅当AD ＝CD 时等号成立，∴△ADC 的面积S ＝12AD ·DC ·sin ∠ADC ＝34AD ·DC ≤4 3.13.533解析 由题意得203＝12×8×10×sin C ⇒sin C ＝32⇒C ＝π3或C ＝2π3(舍)，由余弦定理得c 2＝82＋102－2×8×10×12＝84，由三角形中大边对大角知角B 最大，则cos B ＝82＋84－1022×8×84＝384，所以tan B ＝533. 14．(2，＋∞)解析 设A 为钝角，C 为最小角，则A ＋C ＝120°，C ∈(0°，30°)，由正弦定理得m＝a c ＝sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.而0＜tan C ＜33，∴1tan C ＞3，则m ＞2.。

2018届高考数学正弦定理、余弦定理的应用复习题及答案
5 c 高三数学（理）一轮复习教案第五编平面向量、解三角形总第25期
§55 正弦定理、余弦定理的应用
基础自测
1在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,c点的俯角为70°，则∠BAc=
答案130°
2从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则、的大小关系为
答案 =
3在△ABc中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinc=2sinAcsB,则△ABc是三角形
答案等边
4已知A、B两地的距离为10 ,B、c两地的距离为 =5，
∴AB= ()∴A、B之间的距离为
例2．沿一条小路前进，从A到B，方位角（从正北方向顺时针转到AB方向所成的角）是50°，距离是3 ，从B到c方位角是110°，距离是3 ，从c到D,方位角是140°，距离是（9+3 ）试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离（结果保留根号）解示意图如图所示，连接Ac，在△ABc中，
∠ABc=50°+(180°-110°)=1(70°+30°)=14cs
∴=S△Pc+S△PcD= ×1×2sin + （5-4cs ）=2sin( - )+
∴当 - = ，即 = 时，ax=2+
所以四边形PDc面积的最大值为2+
巩固练习
1某观测站c在A城的南偏西60°)=sin cs60°-cs sin60°。

【最新考纲解读】【考点深度剖析】综合近年的高考试卷可以看出：三角形中的三角函数问题已成为近几年的高考热点，经常稳定在解答题中出现，中等难度，故这部分知识应引起充分的重视． 【课前检测训练】(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比。

( )解析 错误。

三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比。

(2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B 。

( ) 解析 正确。

(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素。

( ) 解析 错误。

如已知三角形的三个内角，则无法解三角形。

(4)正弦定理对钝角三角形不成立。

( ) 解析 错误。

正弦定理适用于所有三角形。

(5)在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，则△ABC 为钝角三角形。

( )解析 正确。

由a 2＋b 2<c 2，得a 2＋b 2－c 2<0，即cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，又因为0<C <π，所以π2<C <π。

1．(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。

若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D. 3解析 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－2·b ·23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或4。

又因为b <c ，所以b ＝2。

答案 C2．(2016·江西省宜春中学与新余一中高三联考)在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，∠A ＝45°，则符合条件的三角形的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．1 D ．不确定答案 B3．(2016·江西省宜春中学与新余一中高三联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332D ．3 3解析 在△ABC 中，由已知条件及余弦定理可得c 2＝(a －b )2＋6＝a 2＋b 2－2ab cos π3，整理得ab ＝6，再由面积公式S ＝12ab sin C ，得S △ABC ＝12×6×sin π3＝323。

第四章三角函数、解三角形 4.6 正弦定理、余弦定理教师用书理苏教版1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径).【知识拓展】 1.三角形内角和定理 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：A ＋B 2＝π2－C2. 2.三角形中的三角函数关系 (1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B2＝cos C2；(4)cosA ＋B2＝sin C2.3.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( √ )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( × ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形.( × )(5)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －csin A ＋sin B －sin C.( √ )(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( √ )1.(教材改编)在△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积S △ABC ＝ . 答案3＋1解析 ∵b ＝a sin B sin A ＝2×sin 105°sin 30°＝6＋2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝(6＋2)×22＝3＋1.2.(教材改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c ＝ . 答案1063解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即1032＝c22，∴c ＝1063.3.(教材改编)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB ＝ . 答案 1解析 方法一 在△ABC 中，根据余弦定理，即BC 2＝AB 2＋AC 2－2·AB ·AC ·cos 60°，得(3)2＝AB 2＋22－2AB ×2×cos 60°，整理得AB 2－2AB ＋1＝0，解得AB ＝1. 方法二 在△ABC 中，根据正弦定理， 得ACsin B ＝BC sin A ，即2sin B ＝3sin 60°，解得sin B ＝1， 因为B ∈(0°，180°)，所以B ＝90°， 所以AB ＝22－ 3 2＝1.4.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝120°，a ＝2，b ＝233，则B ＝ .答案π6解析 ∵A ＝120°，a ＝2，b ＝233，∴由正弦定理a sin A ＝bsin B 可得，sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝12.∵A ＝120°，∴B ＝30°，即B ＝π6.5.(教材改编)在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AC 边上的中线长为 . 答案 7解析 由条件知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝92＋82－722×9×8＝23， 设AC 边上的中线长为x ，由余弦定理知x 2＝(AC 2)2＋AB 2－2×AC2×AB cos A＝42＋92－2×4×9×23＝49，∴x ＝7，故所求中线长为7.题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (1)(2016·南京、盐城调研)在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝5，A ＝π4，cos B ＝35，则c ＝ .答案 7解析 因为cos B ＝35，所以B ∈(0，π2)，从而sin B ＝45，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×35＋22×45＝7210，又由正弦定理得asin A ＝c sin C ，即522＝c7210，解得c ＝7. (2)(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a＋cos B b＝sin Cc. ①证明：sin A sin B ＝sin C ； ②若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .①证明 根据正弦定理，可设 a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k (k >0)， 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ， 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C .所以sin A sin B ＝sin C . ②解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由①知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B .故tan B ＝sin B cos B＝4.思维升华 应用正弦、余弦定理的解题技巧 (1)求边：利用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A或其他相应变形公式求解. (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A ＝a sin B b ，sin B ＝b sin A a ，sin C ＝c sin Aa或其他相应变形公式求解.(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.(1)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A＝2a ，则ba＝ .(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝b ，且sin(A －C )＝2cosA sin C ，则b ＝ .答案 (1) 2 (2)2 解析 (1)(边化角)由a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 及正弦定理，得 sin A sin A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin Bsin A＝ 2.(2)(角化边)由题意，得sin A cos C －cos A sin C ＝2cos A sin C ， 即sin A cos C ＝3cos A sin C ， 由正弦、余弦定理，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3c ·b 2＋c 2－a 22bc，整理得2(a 2－c 2)＝b 2， ①又a 2－c 2＝b ，②联立①②得b ＝2.题型二 和三角形面积有关的问题例2 (2016·南通模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝2a cos B ，b ＝2，求△ABC 的面积. 解 (1)在△ABC 中，由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，即cos C ＝－12.因为0<C <π，所以C ＝2π3.(2) 方法一 因为c ＝2a cos B ，由正弦定理，得 sin C ＝2sin A cos B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )， 所以sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0， 又－π3<A －B <π3，所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ＝2. 所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin2π3＝ 3. 方法二 由c ＝2a cos B 及余弦定理，得c ＝2a ×a 2＋c 2－b 22ac，化简得a ＝b ， 所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin2π3＝ 3. 思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是 . 答案332解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6. ①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.题型三 正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点1 判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb<cos A ，则△ABC 的形状为 三角形.(2)设ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则△ABC 的形状为 三角形. 答案 (1)钝角 (2)钝角解析 (1)由c b <cos A ，得sin Csin B<cos A ，所以sin C <sin B cos A ， 即sin(A ＋B )<sin B cos A ， 所以sin A cos B <0，因为在三角形中sin A >0，所以cos B <0， 即B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形. (2)由3sin A ＝5sin B 及正弦定理得3a ＝5b ， 故a ＝53b ，c ＝73b .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，即C ＝23π.从而△ABC 为钝角三角形.引申探究1.例3(2)中，若将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状. 解 ∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos B sin A ， ∴sin(A －B )＝0， 又A ，B 为△ABC 的内角. ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形.2.例3(2)中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状.解 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ， 故△ABC 为等边三角形. 命题点2 求解几何计算问题例4 (2016·连云港调研)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD ＝1，BD ＝210，∠CAD ＝π4，tan∠ADC ＝－2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.解 (1)因为tan∠ADC ＝－2，且∠ADC ∈(0，π)， 所以sin∠ADC ＝255，cos∠ADC ＝－55.所以sin∠ACD ＝sin(π－∠ADC －π4)＝sin(∠ADC ＋π4)＝sin∠ADC ·cos π4＋cos∠ADC ·sin π4＝1010， 在△ADC 中，由正弦定理得CD ＝AD ·sin∠DAC sin∠ACD＝ 5.(2)因为AD ∥BC ，所以cos∠BCD ＝－cos∠ADC ＝55，sin∠BCD ＝sin∠ADC ＝255. 在△BDC 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos∠BCD ，得BC 2－2BC －35＝0，解得BC ＝7,所以S △BCD ＝12BC ·CD ·sin∠BCD ＝12×7×5×255＝7.思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论. (2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.(1)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的一点，已知∠B ＝60°，AD ＝2，AC ＝10，DC＝2，则AB ＝ .(2)(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 .答案 (1)263(2)(6－2，6＋2)解析 (1)由题意得cos∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD＝4＋2－102×2×2＝－22， ∴sin∠ADC ＝22，∴sin∠ADB ＝sin(π－∠ADC )＝22. 由正弦定理可得，AD sin 60°＝ABsin∠ADB ，∴AB ＝232·22＝263. (2)如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE .在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2， ∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2. 在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BEsin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2.二审结论会转换典例 (14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值.(1)求cos A ―――――→根据余弦定理求三边a ，b ，c 的长或长度问题 ――――――→已有a －c ＝66b利用正弦定理将sin B ＝6sin C 化为b ＝6c (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6―→求cos 2A ，sin 2A ―→求sin A ，cos A ――――→第 1 问已求出cos A根据同角关系求sin A 规范解答解 (1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C 及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c ，[2分]又由a －c ＝66b ，有a ＝2c ， [4分] 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64.[7分](2)在△ABC 中，由cos A ＝64， 可得sin A ＝104.[9分]于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，[10分] sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.[11分]所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A cos π6＋sin 2A sin π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×32＋154×12＝15－38.[14分]1.(教材改编)若△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则S △ABC ＝ .答案154解析 由cos C ＝14，得sin C ＝154，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝154.2.(2016·全国乙卷改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝ .答案 3解析 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去.3.(2016·盐城模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，且sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 的形状为 三角形. 答案 等腰直角解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ，在三角形中sin A ≠0， ∴sin A ＝1，∴A ＝90°， 由sin 2B ＝sin 2C ，知b ＝c ，综上可知，△ABC 为等腰直角三角形.4.在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是有 解.(填0,1,2) 答案 0解析 由正弦定理得b sin B ＝csin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在.5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A 2＝b ＋c 2c，则△ABC 的形状是 三角形. 答案 直角解析 在△ABC 中，∵cos 2A 2＝b ＋c 2c， ∴1＋cos A 2＝b 2c ＋12，∴cos A ＝bc， ∴由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2.即a 2＋b 2＝c 2.故△ABC 是直角三角形.6.(2016·连云港模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C＝π4，则△ABC 的面积为 . 答案3＋1解析 ∵b ＝2，B ＝π6，C ＝π4.由正弦定理b sin B ＝csin C，得c ＝b sin Csin B ＝2×2212＝22，A ＝π－(π6＋π4)＝712π，∴sin A ＝sin(π4＋π3)＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝2＋64. 则S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.7.(2016·全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝ .答案2113解析 在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113. 8.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin∠CED ＝ .答案1010解析 由题意得EB ＝EA ＋AB ＝2，则在Rt△EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝ 5. 在△EDC 中，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4，由正弦定理得sin∠CED sin∠EDC ＝DC EC ＝15＝55，所以sin∠CED ＝55·sin∠EDC ＝55·sin 3π4＝1010. 9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为 .答案 8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24， 又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64， ∴a ＝8.*10.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A .若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为 . 答案 12解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3(b ＋c2)2，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.11.(2016·苏锡常镇一调)若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是 .答案 (2，＋∞)解析 由三角形的三个内角成等差数列，得中间角为60°.设最小角为α，则最大角为120°－α，其中0°<α<30°.由正弦定理得m ＝sin 120°－α sin α＝32·1tan α＋12>32×3＋12＝2.12.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若∠B ＝∠C 且7a 2＋b 2＋c 2＝43，则△ABC 的面积的最大值为 . 答案55解析 由∠B ＝∠C ，得b ＝c ，代入7a 2＋b 2＋c 2＝43， 得7a 2＋2b 2＝43，即2b 2＝43－7a 2，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a2b，所以sin C ＝1－cos 2C ＝4b 2－a22b＝83－15a 22b ，则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12ab ×83－15a 22b ＝14a 83－15a 2＝14a 2 83－15a 2＝14×115 15a 2 83－15a 2 ≤14×115×15a 2＋83－15a 22 ＝14×115×43＝55， 当且仅当15a 2＝83－15a 2时取等号，此时a 2＝4315.所以△ABC 的面积的最大值为55. 13.四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解 (1)由题设A 与C 互补及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ， ① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，BD ＝7，因为C 是三角形内角，故C ＝60°. (2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2si n 60° ＝2 3.14.(2015·湖南)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A . (1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .(1)证明 由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入a ＝b tan A 得 sin A ＝sin B ·sin Acos A ，又∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴1＝sin B cos A ，即sin B ＝cos A .(2)解 由sin C －sin A cos B ＝34知，sin(A ＋B )－sin A cos B ＝34，∴cos A sin B ＝34.由(1)知，sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝34，由于B 是钝角，故A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos A ＝32，A ＝π6.sin B ＝32，B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π6. 15.(2015·陕西)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行. (1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积.解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝3， 由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)方法一 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 而由a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332.方法二 由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ， 从而sin B ＝217， 又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332.。

第六节 正弦定理、余弦定理[最新考纲] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦、余弦定理在△ABC 中，假设角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径，那么 定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R .a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(3)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin A＝2R .cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．[常用结论]1．在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 2．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .3．内角和公式的变形(1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C . 4．角平分线定理：在△ABC 中，假设AD 是角A 的平分线，如图，那么AB AC ＝BDDC.一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，假设sin A ＞sin B ，那么A ＞B .( ) (3)在△ABC 的六个元素中，任意三个元素可求其他元素． ( )(4)当b 2＋c 2－a 2＞0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2＜0时，△ABC 为钝角三角形．( )[答案](1)× (2)√ (3)× (4)× 二、教材改编1．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，那么b＝( )A ．2B ．1 C. 3D. 2D [由a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin B sin A ＝sinπ4sinπ6＝22×2＝ 2.]2．在△ABC 中，假设a ＝18，b ＝24，A ＝45°，那么此三角形有( ) A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定B [∵b sin A ＝24sin 45°＝122， ∴122＜18＜24，即b sin A ＜a ＜b . ∴此三角形有两解．]3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，那么这个三角形的形状为．等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ， 所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]4．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，那么△ABC 的面积等于． 23 [因为23sin 60°＝4sin B，所以sin B ＝1，所以 B ＝90°，所以AB ＝2，所以S △ABC ＝12×2×23＝2 3.]考点1 利用正、余弦定理解三角形问题 解三角形的常见题型及求解方法(1)两角A ，B 与一边a ，由A ＋B ＋C ＝π及a sin A ＝b sin B ＝csin C，可先求出角C 及b ，再求出c .(2)两边b ，c 及其夹角A ，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，先求出a ，再求出角B ，C . (3)三边a ，b ，c ，由余弦定理可求出角A ，B ，C . (4)两边a ，b 及其中一边的对角A ，由正弦定理a sin A ＝bsin B可求出另一边b 的对角B ，由C ＝π－(A ＋B )，可求出角C ，再由a sin A ＝c sin C 可求出c ，而通过a sin A ＝bsin B 求角B 时，可能有一解或两解或无解的情况．(1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A －b sinB ＝4c sinC ，cos A ＝－14，那么bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sinB sinC .①求A ；②假设2a ＋b ＝2c ，求sin C . (1)A [∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ， ∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－4c 2＋b 22bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴bc＝6.应选A.](2)[解] ①由得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.②由①知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 由于0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝6＋24. 解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据．[教师备选例题](2018·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． [解](1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6， 可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b＝7.由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a ＜c ，故cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17，所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .b sin A ＋a cosB ＝0，那么B ＝.3π4 [∵b sin A ＋a cos B ＝0，∴a sin A ＝b－cos B.由正弦定理，得－cos B ＝sin B ，∴tan B ＝－1.又B ∈(0，π)，∴B ＝3π4.] 2．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝7，BC 边上中线AD ＝72，那么BC ＝.9 [设BD ＝DC ＝x ，∠ADC ＝α，∠ADB ＝π－α，在△ADC 中，72＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722－2x ×72cos α，①在△ABD 中，42＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722－2x ×72cos(π－α)，②①＋②得x ＝92，∴BC ＝9.]3．(2019·某某模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°.(1)求边长a ；(2)求AB 边上的高CD 的长．[解](1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos 120°＝a 2＋a ＋22－a ＋422a a ＋2，即a 2－a －6＝0，所以a ＝3或a ＝－2(舍去)，所以a ＝3.(2)法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由三角形的面积公式得 12ab sin∠ACB ＝12c ×CD ， 所以CD ＝ab sin∠ACBc ＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由正弦定理得3sin A ＝7sin∠ACB ＝7sin 120°，即sin A ＝3314，在Rt△ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.考点2 与三角形面积有关的问题 三角形面积公式的应用原那么(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)[一题多解]设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．[解](1)由条件可得tan A ＝－3，A ∈(0，π)，所以A ＝2π3，在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，或c ＝4.(2)法一：如图，由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6， 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1，又△ABC 的面积为12×4×2sin∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3. 法二：由余弦定理得cos C ＝27， 在Rt△ACD 中，cos C ＝ACCD，所以CD ＝7，所以AD ＝3，DB ＝CD ＝7， 所以S △ABD ＝S △ACD ＝12×2×7×sin C ＝7×37＝ 3.法三：∠BAD ＝π6，由余弦定理得cos C ＝27，所以CD ＝7，所以AD ＝3，所以S △ABD ＝12×4×3×sin∠DAB ＝ 3.(1)假设一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)假设三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)假设求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．[教师备选例题]△ABC 的面积为33，AC ＝23，BC ＝6，延长BC 至D ，使∠ADC ＝45°. (1)求AB 的长； (2)求△ACD 的面积．[解](1)因为S △ABC ＝12×6×23×sin∠ACB ＝33，所以sin∠ACB ＝12，∠ACB ＝30°或150°，又∠ACB ＞∠ADC ，且∠ADC ＝45°，所以∠ACB ＝150°，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝12＋36－2×23×6cos 150°＝84，所以AB ＝84＝221.(2)在△ACD 中，因为∠ACB ＝150°，∠ADC ＝45°， 所以∠CAD ＝105°，由正弦定理得CD sin∠CAD ＝ACsin∠ADC ， 所以CD ＝3＋3，又∠ACD ＝180°－150°＝30°，所以S △ACD ＝12AC ·CD ·sin∠ACD ＝12×23×(3＋3)×12＝33＋12. 1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .假设b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，那么△ABC 的面积为．63 [法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3. 法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC的面积S ＝12×23×6＝6 3.]2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)假设△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．[解](1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)．所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.考点3 判断三角形的形状 判断三角形形状的2种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设b cos C ＋c cos B ＝a sinA ，那么△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定B [由正弦定理得sin B cosC ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴sin A ＝1， 即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．][母题探究]1．(变条件)本例中，假设将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． [解]∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin(A －B )＝0. 又A ，B 为△ABC 的内角． ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．2．(变条件)本例中，假设将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．[解] ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0＜C ＜π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ， 故△ABC 为等边三角形．在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的X 围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解．1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b＋c －a )＝3bc ，那么△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形word- 11 - / 11 C ．等边三角形 D ．钝角三角形C [因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝a c.所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.所以△ABC 是等边三角形．]2．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，假设a sin B ＋bsin A＝2c ，那么△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 C [因为a sin B ＋b sin A ＝2c ，所以由正弦定理可得sin A sin B ＋sin B sin A ＝2sin C ，而sin A sin B＋sin B sin A ≥2sin A sin B ·sin B sin A＝2，当且仅当sin A ＝sin B 时取等号．所以2sin C ≥2，即sin C ≥1.又sin C ≤1，故可得sin C ＝1，所以C ＝90°.又因为sin A ＝sin B ，所以A ＝B .故三角形为等腰直角三角形．应选C.]。

4-61．(2018·石家庄二检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“sin A >sinB ”是“a >b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 设△ABC 外接圆的半径为R ，若sin A >sin B ，则2R sin A >2R sin B ，即a >b ；若a >b ，则a 2R >b2R ，即sin A >sin B ，所以在△ABC 中，“sin A >sin B ”是“a >b ”的充要条件，故选C.【答案】 C2．(2016·全国乙卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b 等于( )A. 2B. 3 C ．2D ．3【解析】 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去，故选D.【答案】 D3．(2018·西安模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，且sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【解析】 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ，在三角形中sin A ≠0， ∴sin A ＝1，∴A ＝90°， 由sin 2B ＝sin 2C ，知b ＝c ， 综上可知△ABC 为等腰直角三角形． 【答案】 D4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C 等于( )A.2π3 B.π3 C.3π4D.5π6【解析】 因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝5b .因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －35a ＝75a .令a ＝5，b ＝3，c ＝7，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝25＋9－2×3×5cos C ，解得cos C ＝－12，所以C ＝2π3.【答案】 A5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B 等于( )A.π6 B.π4 C.π3D.3π4【解析】 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝ac ＋b， 即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.【答案】 C6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2D.3－1【解析】 ∵b ＝2，B ＝π6，C ＝π4.由正弦定理b sin B ＝csin C，得c ＝b sin Csin B ＝2×2212＝22，A ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＝712π，∴sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝6＋24. 则S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.【答案】 B7．(2016·全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cosC ＝513，a ＝1，则b ＝________．【解析】 在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.【答案】 21138．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．【解析】 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32， ∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 【答案】 π3或2π39．(2018·昆明检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋asin A的值等于________． 【解析】 依题可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62， 所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B ＝16 2.【答案】 16 210．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________．【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A. 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12. 【答案】 1211. (2017·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .【解析】 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，或cos B ＝1517.故cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4.所以b ＝2.12．(2018·云南二检)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 对的边，b ＝ 3. (1)若C ＝5π6，△ABC 的面积为32，求c ；(2)若B ＝π3，求2a －c 的取值范围．【解析】 (1)∵C ＝5π6，△ABC 的面积为32，b ＝3，∴12ab sin C ＝12×a ×3×12＝32. ∴a ＝2.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋3－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝13. ∴c ＝13.(2)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，∴a ＝b sin A sin B ＝2sin A ，c ＝b sin Csin B＝2sin C . ∴2a －c ＝4sin A －2sin C ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C －2sin C＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3cos C －cos 2π3sin C －2sin C＝23cos C . ∵B ＝π3，∴0<C <2π3，∴－12<cos C <1，∴－3<23cos C <23，∴2a －c 的取值范围为(－3，23).。

第6讲正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，C＝60°，AB＝错误!，BC＝错误!，那么A等于( )．A．135° B．105° C．45° D．75°解析由正弦定理知错误!＝错误!，即错误!＝错误!，所以sin A＝错误!,又由题知，BC＜AB，∴A＝45°.答案C2．已知a，b,c是△ABC三边之长,若满足等式（a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab,则角C的大小为（)．A．60° B．90° C．120° D．150°解析由(a＋b－c)（a＋b＋c）＝ab，得(a＋b）2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2ab cos C，∴cos C＝－错误!，∴C＝120°。

答案C3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B,C依次成等差数列，且a＝1，b＝错误!，则S△ABC＝( ）．A.错误!B.错误!C。

错误!D．2解析∵A，B,C成等差数列，∴A＋C＝2B,∴B＝60°。

又a＝1，b＝错误!，∴错误!＝错误!，∴sin A＝错误!＝错误!×错误!＝错误!，∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝错误!×1×错误!＝错误!。

答案C4．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于（)．A.错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!解析设AB＝c，BC边上的高为h.由余弦定理,得AC2＝c2＋BC2－2BC·c cos 60°,即7＝c2＋4－4c cos 60°，即c2－2c－3＝0,∴c＝3(负值舍去)．又h＝c·sin 60°＝3×错误!＝错误!，故选B.答案B5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a＝λ，b＝错误!λ（λ〉0），A＝45°，则满足此条件的三角形个数是（）A．0 B．1C．2 D．无数个解析直接根据正弦定理可得错误!＝错误!,可得sin B＝错误!＝错误!＝错误!〉1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0。

第六节 正弦定理和余弦定理———————————————————————————————— 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦定理和余弦定理(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，若A ＞B ，则必有sin A ＞sin B ．( ) (2)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则△ABC 为锐角三角形．( )(3)在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝45°或135°.( )(4)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －csin A ＋sin B －sin C.( )(1)正确．A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .(2)错误．由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0知，A 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形．(3)错误．由b ＜a 知，B ＜A .(4)正确．利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，可知结论正确． (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定C3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3D4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.π3或2π35．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． 2 3在△ABC 中，∠BAC ＝4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD的长．【导学号：31222129】设△ABC 的内角∠BAC ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×co s 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a ＝310.6分 又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010， 由题设知0＜B ＜π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010.9分 在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ，所以∠ADB ＝π－2B ， 故由正弦定理得AD ＝AB ·sin B π－2B ＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B＝10.12分1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．(1)(2017·郑州模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边， 且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°(2)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cosC ＝513，a ＝1，则b ＝________.(1)A (2)2113(1)(2017·东北三省四市二联)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，满足a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形(2)(2016·安徽安庆二模)设角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则“A ＋B ＜C ”是“△ABC 是钝角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (1)D (2)A1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形B(2015·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sinA sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .2分 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.5分(2)由(1)知b 2＝2ac .7分因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2， 故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2.9分 所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.12分三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． (2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．(1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，3分 故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.5分(2)由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.9分由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.12分1．在解三角形时，应熟练运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .1．已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角．可能有一解、两解、无解． 在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：2.课时分层训练(二十二)正弦定理和余弦定理A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( )【导学号：31222130】A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定B2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )【导学号：31222131】A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定C3．(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( ) A．1 B．2C．3 D．4A4．(2017·重庆二次适应性测试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝3，则△ABC的面积为( )A.34B.34C.32D.32B5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( )A.310 B.1010 C.55D.31010D 二、填空题6．(2017·郴州模拟)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝__________. 637．(2016·青岛模拟)如图3­6­1所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．图3­6­138．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________. 【导学号：31222132】32三、解答题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35. 【导学号：31222133】(1)求b 的值； (2)求sin C 的值．(1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋25－2×2×5×35＝17，所以b ＝17.5分(2)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45，7分由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745＝5sin C，所以sin C ＝41717.12分10．(2017·云南二次统一检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(sinB,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直．(1)求sin A 的值；(2)若a ＝22，求△ABC 的面积S 的最大值．(1)∵m ＝(sin B,5sin A ＋5sin C )与n ＝(5sin B －6sin C ，sin C －sin A )垂直，∴m ·n ＝5sin 2B －6sin B sin C ＋5sin 2C －5sin 2A ＝0，即sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝6sinB sinC 5.3分根据正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝6bc 5， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.∵A 是△ABC 的内角， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝45.6分(2)由(1)知b 2＋c 2－a 2＝6bc 5，∴6bc 5＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2.8分 又∵a ＝22，∴bc ≤10.∵△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2bc5≤4，∴△ABC 的面积S 的最大值为4.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·山东高考)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4 B.π3 C.π4D.π6C2．如图3­6­2，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上的点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为________．图3­6­25623．在△ABC 中，cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根． (1)求角C ；(2)当a ＋b ＝10时，求△ABC 周长的最小值． (1)因为2x 2－3x －2＝0，所以x 1＝2，x 2＝－12.2分又因为cos C 是方程2x 2－3x －2＝0的一个根， 所以cos C ＝－12，所以C ＝2π3.5分(2)由余弦定理可得：c 2＝a 2＋b 2－2ab ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝(a ＋b )2－ab ，7分则c 2＝100－a (10－a )＝(a －5)2＋75，当a ＝5时，c 最小且c ＝75＝53，此时a ＋b ＋c ＝10＋53， 所以△ABC 周长的最小值为10＋5 3.12分。

考点22 正弦定理和余弦定理的应用1．（江苏省苏锡常镇2018届高三3．【解析】2．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试）在中，已知________．【解析】分A,B,C 的余弦定理代入得a=b 时取到等号，故cosC 3．（江苏省启东中学第一次月考数学试题）在锐角三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围为___________.【答案】13⎛ ⎝⎭， 【解析】∵22b a ac -=，∴22222cos b a ac a c ac B =+=+-， ∴2cos c a B a =+，由正弦定理得sin 2sin cos sin C A B A =+， 又()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， ∴()sin cos sin sin cos sin A A B A B B A =-=-， ∵ABC ∆是锐角三角形， ∴A B A =-，∴2,3B A C A π==-，∴02{02 2032A A A ππππ<<<<<-<，解得64A ππ<<，∴232A ππ<<，即32B ππ<<．∵()sin 11cos cos sin cos cos sin tan tan sin sin sin sin sin sin B A A B B A B A A B A B A B A B ---=-== sin 1sin sin sin A A B B ==．sin 1B <<，∴1sin B <<11tan tan A B -的取值范围为⎛ ⎝⎭． 答案：1,3⎛ ⎝⎭． 4．（江苏省苏北六市2018届高三第二次调研测试）在△ABC 中，已知AB ＝1，AC，B ＝45°，则BC 的长为_______．【答案】2【解析】222cos 2AB BC AC B AB BC +-=⋅即21222BC BC+-= 化简得：210BC --=解得BC =5．（江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研二模）在ABC 中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为____．【解析】由题意得1c =， b =根据余弦定理得222212cos 22a c b a B ac a +-+-===∴210a -= ∵0a >∴2a =，即2BC =.故答案为2. 6．（江苏省南通市2019的正西方向((如图所示)。