九年级数学下册第2章圆2.5直线与圆的位置关系2.5.3切线长定理习题课件新版湘教版

2.5.3 切线长定理一、选择题1．如图K－19－1，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是 ( )链接听课例1归纳总结图K－19－1A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO2．2017·华容县模拟如图K－19－2所示，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，若OP ＝4，PA＝23，则∠AOB的度数为( )A．60° B．90° C．120° D．150°3．如图K－19－3，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，∠APB＝60°，点P到圆心O 的距离OP＝2，则⊙O的半径为( )图K－19－3A.12B．1 C.32D．24．如图K－19－4所示，PA，PB是⊙O的切线，A，B分别为切点，E是⊙O上一点，且∠AEB ＝60°，则∠P的度数为( )图K－19－4A．120° B．60°C．30° D．45°5．如图K－19－5所示，直线PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B，∠APB＝120°，OP＝10 cm，则弦AB的长为( )图K －19－5A ．5 3 cmB ．5 cmC ．10 3 cm D.532cm6．如图K －19－6，正方形ABCD 的边长为4 cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过点A 作半圆的切线，与半圆相切于点F ，与DC 相交于点E ，则△ADE 的面积为( )图K －19－6A ．12 cm 2B ．24 cm 2C ．8 cm 2D ．6 cm 2二、填空题7．小明同学想要测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板按图K －19－7所示放置于桌面上，并量出AB ＝3 cm ，则此光盘的半径是________cm.图K －19－78．如图K －19－8，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝60°，连接AB ，过A ，B 两点分别作⊙O 的切线，两切线交于点P .若⊙O 的半径为1，则△PAB 的周长为________．图K －19－8三、解答题9．如图K －19－9所示，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，连接PO 与⊙O 相交于点C ，连接AC ，BC .求证：AC ＝BC . 链接听课例2归纳总结图K－19－9 10．如图K－19－10，PA，PB，CD是⊙O的切线，切点分别为A，B，E，若△PCD的周长为18 cm，∠APB＝60°，求⊙O的半径.链接听课例2归纳总结图K－19－1011．如图K－19－11，大圆的弦AB，AC分别切小圆于点M，N.(1)求证：AB＝AC；(2)若AB＝8，求圆环的面积．图K－19－1112．如图K－19－12，在△ABC中，∠C＝90°，O是斜边AB上的一点，以点O为圆心的⊙O 分别与边AC，BC相切于点D，E，连接OD，OE.(1)求证：四边形CDOE是正方形；(2)若AC＝3，BC＝4，求⊙O的半径．图K －19－1213．如图K －19－13，⊙O 的直径AB ＝12 cm ，AM 和BN 是它的两条切线，DE 与⊙O 相切于点E ，并与AM ，BN 分别交于点D ，C .(1)若∠ADC ＝122°，求∠BCD 的度数；(2)设AD ＝x ，BC ＝y ，求y 关于x 的函数表达式(不必写出自变量的取值范围)．图K －19－13素养提升 思维拓展 能力提升方程思想如图K －19－14所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交斜边AB 于点M ，若H 是AC 的中点，连接MH . (1)求证：MH 为⊙O 的切线；(2)若MH ＝32，tan ∠ABC ＝34，求⊙O 的半径；(3)在(2)的条件下，分别过点A ，B 作⊙O 的切线，两切线交于点D ，AD 与⊙O 相切于点N ，过点N 作NQ ⊥BC ，垂足为E ，且交⊙O 于点Q ，求线段NQ 的长．图K －19－14教师详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] D 连接OA ，OB.∵PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，由切线长定理，知∠1＝∠2，PA ＝PB ，∴△ABP 是等腰三角形．∵∠1＝∠2，∴AB ⊥OP(等腰三角形三线合一)，故A ，B ，C 正确，根据切割线定理知：PA 2＝PC·(PO＋OC)，因此D 错误．故选D .2．[解析] C ∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∠APO ＝∠BPO.又∵OP ＝4，PA ＝2 3，∴cos ∠APO ＝AP OP ＝32，∴∠APO ＝30°，∴∠APB ＝60°，∴∠AOB ＝120°.3．[解析] B 连接OA.∵PA 为⊙O 的切线， ∴PA ⊥OA. ∵∠APO ＝12∠APB ＝30°，∴OA ＝OP·sin ∠APO ＝2×12＝1，∴⊙O 的半径为1. 4．[解析] B 连接OA ，BO.∵∠AOB ＝2∠E ＝120°，∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴∠P ＝180°－∠AOB ＝60°. 5．[解析] A 连接OA ，OB ，则∠OAP ＝90°.由切线长定理知∠APO ＝12∠APB ＝12×120°＝60°，∴∠AOP ＝30°，∴AP ＝12OP ＝12×10＝5(cm )，∴OA ＝OP 2－AP 2＝102－52＝5 3(cm )，∴12·12A B·OP＝12OA·AP＝S △AOP ， ∴12AB×10＝5 3×5，∴AB ＝5 3 cm . 6．[解析] D ∵AE 与半圆O 切于点F ，根据切线长定理有AF ＝AB ＝4 cm ，EF ＝EC.设EF ＝EC＝x cm ，则DE ＝(4－x)cm ，AE ＝(4＋x)cm .在Rt △ADE 中，由勾股定理，得(4－x)2＋42＝(4＋x)2，解得x ＝1，∴EC ＝1，∴DE ＝4－1＝3，∴S △ADE ＝12AD·DE＝12×4×3＝6(cm 2)．7．[答案] 3 3[解析] 连接OA.∵∠CAD ＝60°，∴∠CAB ＝120°.∵AB 和AC 与⊙O 相切，∴∠OAB ＝∠OAC ，∴∠OAB ＝12∠CAB ＝60°.∵AB ＝3 cm ，∴OA ＝6 cm ，∴由勾股定理，得OB ＝3 3 cm ，∴光盘的半径是3 3 cm . 8．[答案] 3 3[解析] ∵AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝60°，∴∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°.∵AC ＝2OA ＝2，∴CB ＝1，AB ＝ 3.∵AP 为⊙O 的切线，∴∠CAP ＝90°，∴∠PAB ＝60°.又∵AP ＝BP ，∴△PAB 为正三角形，∴△PAB 的周长为3 3. 9．证明：∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ， ∴PA ＝PB ，∠APC ＝∠BPC. 又∵PC ＝PC ，∴△APC ≌△BPC ，∴AC ＝BC.10．解：连接OA ，OP ，则OA ⊥PA.根据题意，得CA ＝CE ，DE ＝DB ，PA ＝PB.∵PC ＋CE ＋DE ＋PD ＝18 cm ，∴PC ＋CA ＋DB ＋PD ＝18 cm ，∴PA ＝12×18＝9(cm )．∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴∠APO ＝12∠APB ＝30°，∴在Rt △AOP 中，PO ＝2AO ，故OA 2＋92＝(2AO)2，解得OA ＝3 3(cm )．故⊙O 的半径为3 3 cm .11．解：(1)证明：连接OM ，ON ，OA.∵AB ，AC 分别切小圆于点M ，N ，∴AM ＝AN ，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，∴AM ＝BM ，AN ＝NC ，∴AB ＝AC. (2)∵弦AB 与小圆相切于点M ， ∴OM ⊥AB ，∴AM ＝BM ＝4，∴在Rt △AOM 中，OA 2－OM 2＝AM 2＝16，∴S 圆环＝πOA 2－πOM 2＝πAM 2＝16π.12．解：(1)证明：∵AC ，BC 分别为⊙O 的切线，∴∠ODC ＝∠OEC ＝90°.∵∠C ＝90°，∴四边形CDOE 为矩形．∵OD ＝OE ，∴四边形CDOE 为正方形． (2)连接OC ，设⊙O 的半径为r.∵S △ACB ＝S △ACO ＋S △BCO ，∴12×3×4＝12·3·r＋12·4·r ，∴r ＝127.13．解：(1)∵AD 与BC 都是⊙O 的切线， ∴∠OAD ＝∠OBC ＝90°， ∴∠OAD ＋∠OBC ＝180°， ∴AD ∥BC ，∴∠BCD ＋∠ADC ＝180°， ∵∠ADC ＝122°， ∴∠BCD ＝58°.(2)过点D 作DF ⊥BC 于点F ，可知AB ＝DF ＝12.∵AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DE 与⊙O 相切于点E ，∴AD ＝DE ＝x ，BC ＝CE ＝y ，∴CD ＝DE ＋CE ＝x ＋y ，∴CF ＝BC －BF ＝y －x.在Rt △DFC 中，由勾股定理，得DF 2＋CF 2＝CD 2，即122＋(y －x)2＝(x ＋y)2，化简可得y ＝36x.[素养提升]解：(1)证明：连接OH ，OM.∵H 是AC 的中点，O 是BC 的中点，∴OH 是△ABC 的中位线，∴OH ∥AB ， ∴∠COH ＝∠ABC ，∠MOH ＝∠OMB. 又∵OB ＝OM ， ∴∠OMB ＝∠MBO ， ∴∠COH ＝∠MOH.在△COH 与△MOH 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OM ，∠COH ＝∠MOH ，OH ＝OH ，∴△COH ≌△MOH ，∴∠HMO ＝∠HCO ＝90°，又∵OM 为⊙O 的半径，∴MH 是⊙O 的切线． (2)由题意及(1)知MH ，AC 是⊙O 的切线， ∴HC ＝MH ＝32，∴AC ＝2HC ＝3.∵tan ∠ABC ＝34，∴AC BC ＝34，∴BC ＝4，∴⊙O 的半径为2.(3)连接OA ，CN ，ON ，OA 与CN 相交于点I. ∵AC 与AN 都是⊙O 的切线， ∴AC ＝AN ，AO 平分∠CAD ， ∴OA ⊥CN.∵AC ＝3，OC ＝2，∴由勾股定理可求得OA ＝13.由三角形面积公式，得12AC ·OC ＝12OA·CI，∴CI ＝61313，∴由垂径定理可求得CN ＝121313.设OE ＝x.由勾股定理，得CN 2－CE 2＝ON 2－OE 2，即14413－(2＋x)2＝4－x 2，解得x ＝1013， 即OE ＝1013.由勾股定理可求得EN ＝2413，∴由垂径定理可知NQ ＝2EN ＝4813.。

2.5直线与圆的位置关系【推本溯源】1.回顾一下点与圆的位置关系，那么直线与圆有几种关系呢？点在圆内，点在圆上，点在圆外；直线与圆的位置关系：2.2.点与圆的位置关系我们是用点到圆心距离与半径比较，那直线与圆的位置关系怎么表示出来？设圆心到直线的距离为r当d ＜r 时，相交；当d=r 时，相切；当d ＞r 时，相离。

同样地，当相交时，d ＜r ；当相切时，d=r ；当相离时，d ＞r 。

3.如右图，经过圆O 的半径OD 外端点D ，作直线l ⊥OD ，直线l 的关系？∵l ⊥OD ∴OD=r ∴直线与l 相切因此，经过半径外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线。

注：①直线与圆有一个交点；②直线与过交点的半径垂直。

几何语言：∵l ⊥OD ，OD 是半径∴直线与l 相切4.如图，直线l 是圆O 的切线，切点为D ，直线l 与半径OD 有怎样（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线（如右图l 1）；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；（如右图l 2）．（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

（如右图l 3）的关系？l ⊥OD用反证法；假设l 与OD 不垂直，过圆心O 作OD ′⊥l ，垂足为D ′∵直线l 是圆O 的切线∴点O 到直线l 的距离等于半径∵点D ′在圆上，这样切线会和圆有两个交点，与题目相切矛盾∴l ⊥OD因此，圆的切线垂直于经过切点的半径。

5.（1）做一个圆，使它与已知三角形的各边都相切？可得圆心O 是三个内角平分线得交点。

（2）画出右图▲ABC 里面最大的圆因此，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三边的距离都相等.这个三角形是圆的外切三角形。

如图：▲ABC因此，三角形的面积等于三角形周长与内切圆半径之积的一半。

*2.5.3 切线长定理知识点切线长定理1．如图2－5－32，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中不一定正确的是( )图2－5－32A．∠1＝∠2 B．PA＝PBC．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠12．如图2－5－33，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( )图2－5－33A．4 B．8 C．4 3 D．8 33．如图2－5－34，PA和PB是⊙O的切线，A和B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠P ＝40°，则∠ACB的度数是( )图2－5－34A．40°B．60°C．70°D．80°4．如图2－5－35，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠APB＝50°，则∠AOP＝________°.图2－5－355．如图2－5－36，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO与⊙O相交于点C，连接AC，BC.求证：AC＝BC.图2－5－366．如图2－5－37，四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 和⊙O 分别相切于点L ，M ，N ，P.若四边形ABCD 的周长为8，则AB ＋CD 的值为( )图2－5－37A ．2B ．4C ．6D ．87．教材习题2.5B 组第11题变式如图2－5－38，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，C 是AB ︵上一点，过点C 作⊙O 的切线分别交PA ，PB 于点D ，E ，△PDE 的周长是8 cm ，∠DOE ＝70°.求：(1)PA 的长；(2)∠APB 的度数．图2－5－388．如图2－5－39，边长为1的正方形ABCD 的边AB 是⊙O 的直径，CF 是⊙O 的切线，E 为切点，点F 在AD 上，BE 是⊙O 的弦，求△CDF 的面积．图2－5－39教师详解详析1．D2．B [解析] ∵PA ，PB 都是⊙O 的切线，∴PA ＝PB .又∵∠P ＝60°，∴△PAB 是等边三角形，即AB ＝PA ＝8.3．C4．65 [解析] ∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，∠APB ＝50°，∴∠APO ＝12∠APB ＝25°，∠OAP ＝90°，∴∠AOP ＝90°－25°＝65°.5．证明：∵PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ， ∴PA ＝PB ，∠APC ＝∠BPC .又∵PC ＝PC ，∴△APC ≌△BPC ，∴AC ＝BC .6．B [解析] 由切线长定理可得该四边形两组对边的和相等． 7．解：(1)∵PA ，PB ，DE 是⊙O 的切线， ∴DC ＝DA ，EC ＝EB ，PA ＝PB . ∵△PDE 的周长是8 cm ， ∴PD ＋PE ＋DE ＝8 cm ， ∴PD ＋PE ＋DC ＋EC ＝8 cm ， ∴PD ＋PE ＋DA ＋EB ＝8 cm ， ∴PD ＋DA ＋PE ＋EB ＝8 cm ， 即PA ＋PB ＝8 cm.又PA ＝PB ，∴PA ＝4 cm.(2)连接OA ，OB ，OC ，则∠OAP ＝90°，∠OBP ＝90°. ∵DA ＝DC ，OA ＝OC ，OD ＝OD ，∴△OAD ≌△OCD ，∴∠AOD ＝∠COD ，同理∠BOE ＝∠COE ，∴∠COD ＋∠COE ＝∠AOD ＋∠BOE ， ∴∠AOB ＝2∠DOE ＝2×70°＝140°.在四边形OAPB 中，∠APB ＝180°－∠AOB ＝180°－140°＝40°. 8．解：设AF ＝x ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DAB ＝∠ABC ＝90°， ∴DA ⊥AB ，CB ⊥AB . 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴AD ，BC 是⊙O 的切线．∵CF 是⊙O 的切线，E 为切点， ∴EF ＝AF ＝x ，CE ＝CB ＝1，∴FD ＝1－x ，CF ＝CE ＋EF ＝1＋x .在Rt △CDF 中，由勾股定理得CF 2＝CD 2＋DF 2，即(1＋x )2＝12＋(1－x )2，解得x ＝14，∴DF ＝1－x ＝34，∴S △CDF ＝12×1×34＝38.倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。