福州一中5月高三文科数学质检试卷及答案

福建省福州一中数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份（总分值150分 考试时刻120分钟）参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式s=222121()()()n x x x x x x n ⎡⎤-+-++-⎣⎦… V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中有且只有一项为哪一项符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）1.设复数121,2z i z bi =+=+, 假设12z z ⋅为纯虚数,那么实数b = A.2 B.2- C.1 D.1-2.以下导数运算正确的选项是 A. 211()1x x x'+=+B. 2(cos )2sin x x x '=- C. 3(3)3log x xe '= D. 21(log )ln 2x x '=3.一个首项为23，公差为整数的等差数列，若是前6项均为正数，第7项起为负数，那么它 的公差为 A ．－2B ．－3C ．－4D ．－64.运行下面的程序，若是输入的n 是6，那么输出的p 是A. 120B. 720C. 1440D. 5040 5.将一个整体分为A, B, C 三层,其个体数之比为523,假设用分层抽样 抽取容量为200的样本,那么应从C 中抽取的个体数是A. 20B. 40C. 60D. 806.将函数cos()3y x π=-的图像上各点的横坐标伸长到原的2倍(纵坐标不变),再向左平移6π个单位,所得函数图像的一条对称轴为 A. 9x π=B. 8x π=C. 2x π=D. x π=7. 已知函数2(10)(),1)x x f x x x --≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩那么以下图象错误的是8.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点E 在1A D 上且12A E ED =,点F 在AC 上且2CF FA =, 那么EF 与1BD 的位置关系是A. 相交不垂直B. 相交垂直C. 异面D. 平行9.已知A 、B 为平面内两定点, 过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N, 若2MN AN NB λ=⋅, 其中λ为常数, 那么动点M 的轨迹不可能是 A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线10.已知12,F F 别离为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右核心, P 为双曲线右支上一点,知足212PF F F =,直线1PF 与圆222x y a +=相切, 那么该双曲线的离心率是 A.43 B. 53 C. 54D.以上都不正确 11.已知2a b >≥, 现有以下不等式 ①23b b a >-; ②41112()ab a b+>+; ③ab a b >+; ④log 3log 3a b >; 其中正确的选项是A. ②④B.①②C.③④D.①③12.设A 是整数集的一个非空子集,关于k A ∈, 若是1k A +∉且1k A -∉, 那么称k 是A 的一个“孤立元素”. 现给定集合{}1,2,3,4,5,6,7,8S =由S 的3个元素组成的所有集合中,不含“孤立元素”的集合共有多少个A. 6B. 7C. 8D. 9 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13.式子4327log 3的值为__________________________. 14.设命题21:01x p x -<-. 命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤. 假设p 是q 的充分没必要要条 件.那么实数a 的取值范围是____________________________. 1[0,]215.设点(,)a b 是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点,记A ={}2()41(0)[1,)x f x ax bx a =-+>+∞关于的一元二次函数在上是增函数, 那么事件A 发生的概率是_____________________________. 1/316.如下图, △ABC 是边长为1的正三角形，且点P 在边BC 上运动. 当PA PC ⋅取得最 小值时，那么cos PAB ∠的值为________________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明进程或演算步骤．17.（本小题总分值12分）已知等差数列{}n a 中，n S 是它前n 项和，设10,2106==S a . (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)假设从数列{}n a 中依次掏出第2项，第4项，第8项，……，第2n项，……，按掏出的顺序组成一个新数列{}n b ，试求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.（本小题总分值12分）某学校甲、乙两位学生参加数学竞赛的培训,在培训期间,他们参加5次初赛,成绩记录如下 (I)用茎叶图表示这两组数据;(II)现要从甲、乙两人当选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你以为选派哪位学生参赛更适合? 并说明理由.19.（本小题总分值12分）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边别离为,,a b c , 且A ∠知足22cos A 23cos A A -1=-,(I)假设3,2a c ==, 求ABC ∆的面积; (II)求02cos(60)b ca C -⋅+的值.20.（本小题总分值12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为3的正方形,平面PCD ⊥底面ABCD,E 是 PC 的中点.(I)求证//PA BDE 平面; (II)假设22PD PC DC ==,求证平面PDA ⊥平面PCB ; (III)假设侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD=4.求PAD ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积. 21.（本小题总分值12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，直线)(03)21()3(R m m y m x m ∈=---++恒过的定点F 为椭圆的一个核心，且椭圆上的点到核心的最大距离为3. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）假设直线MN 为垂直于x 轴的动弦，且N M ,均在椭圆C 上，定点)0,4(T ，直线 MF 与直线NT 交于点S ．①求证：点S 恒在椭圆C 上； ②求MST ∆面积的最大值． 22.(本小题总分值14分) 已知函数21()2ln 2f x x x a x =-+有两个极值点12,x x 且12x x < (I)求实数a 的取值范围,并写出函数()f x 的单调区间; (II)判定方程()(1)f x a x =+根的个数并说明理由; (III)证明232ln 2()8f x -->.高三 (文科)数学校质检试卷答案一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 题号 1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A DCBCCBDCBDA二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13． 14-_________ ; 14． __1[0,]2_____ ; 15．13; 16． ____513______ .三、解答题本大题共6小题,总分值74分,解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤. 17．（本小题总分值12分）解（Ⅰ）设数列d a a n ,,}{1公差分别为首项.那么由已知得 251=+d a ①，102910101=⨯+d a ② …………4分 联立①②解得)(102,2,81*∈-==-=N n n a d a n 所以…………6分（Ⅱ）),(102102212*+∈-=-⋅==N n a b n nn n ………………9分因此41021021)21(4221--=---=+++=+n n b b b T n n n n ………… 12分 18．（本小题总分值12分） 解 (1)作出的茎叶图如下…………4分 (2)派甲参赛比较适合. 理由如下1(8282799587)855x =++++=甲…………5分 1(9575809085)855x =++++=乙…………6分2222221[(7985)(8285)(8285)(8785)(9585)]31.65s =-+-+-+-+-=甲……8分2222221[(7585)(8085)(8585)(9085)(9585)]505s =-+-+-+-+-=乙……10分∵22,;x x s s <<乙乙甲甲 ∴甲的成绩较稳固,派甲参赛比较适合. ……12分19．（本小题总分值12分）解 (1)由已知 22cos A 23cos A A -1=-, 可得sin(2)16A π-=,∵1102(,)266662A A A ππππππ<<∴-∈-⇒∴-=即3A π∠=.………… 2分在ABC ∆中,由余弦定理得 22224121cos 242b c a b A bc b +-+-===解得4b =或2b =-(舍去); ………… 4分 ∴113sin 4223222ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=………… 6分 (2)原式=0002sin()2sin 2sin 22sin sin 2sin 32sin cos(60)sin cos(60)sin cos(60)C CR B R C B C R A C A C A C π---⨯-==⋅+⋅+⋅+…… 9分 00033cos sin 3cos(60)22233cos(60)cos(60)C CC C C -+==++………… 12分 20．（本小题总分值12分） 解 (1)连接AC 交BD 于O, 连接EO.∵ABCD 是正方形, ∴O 为AC 中点, 已知E 为PC 的中点, ∴OE//PA. ………2分又∵OE ⊂平面BDE, PA ⊄平面BDE, ∴PA//平面BDE. …………3分 (2)在DPC ∆中, 2222,PD PC DC PD PC DC ==∴+= , 即DP ⊥PC. ……4分又已知 平面PCD ⊥底面ABCD, 平面PCD ∩平面ABCD=DC BC ⊥DC; ∴BC ⊥平面PDC, PD ⊂平面PDC, ∴PD ⊥BC, ………… 6分 BC 与PC 相交且在平面PBC 内.∴PD ⊥平面PCB, PD ⊂平面PDA, ∴平面PDA ⊥平面PCB. ………… 8分(3)过D 作PA 的垂线.垂足为H,那么几何体为以DH 为半径,别离以PH,AH 为高的两个圆锥的组合体. …………9分侧棱PD ⊥底面ABCD, ∴PD ⊥DA, PD=4, DA=DC=3, ∴PA=5431255PD DA DH PA ⋅⨯===,…………10分 22221133111248()53355V DH PH DH AHDH PA πππππ=⋅+⋅=⋅=⨯⨯= …………12分21．（本小题总分值12分）解：（1）直线)(03)21()3(R m m y m x m ∈=---++可化为 033)12(=-++--y x y x m ，……1分 由⎩⎨⎧=-+=--033012y x y x 得⎩⎨⎧==01y x ，)0,1(F ∴， 1=∴c ， ………… 3分又3=+c a ，2=∴a ，.3222=-=∴c a b ∴椭圆的方程为.13422=+y x ………4分 （2）①设直线MN 的方程为s x =，那么可设),(),,(t s N t s M -，且.124322=+t s直线MF 的方程为)1(1--=x s t y ，直线NT 的方程为).4(4---=x s t y …… 6分 联立求得交点)523,5285(---s t s s S ，…… 7分 代入椭圆方程124322=+y x 得， 222)52(1236)85(3-=+-s t s ，化简得：.124322=+t s∴点S 恒在椭圆C 上. ……………… 8分②直线MS 过点)0,1(F ，设其方程为1+=my x ，).,(),,(2211y x S y x M 联立⎩⎨⎧=++=1243122y x my x 得096)43(22=-++my y m ， .439,436221221+-=+-=+∴m y y m m y y ………… 9分 2222122112)43(1184)(23321++=-+=-⨯=∆m m y y y y y y S MST， 令)1(12≥+=u m u ，那么.6191)13()43(12222++=+=++uu u u m mu u 19+在),1[+∞上是增函数， uu 19+∴的最小值为10. .294118=⨯≤∴∆MST S ………………………………………12分 22．（本小题总分值14分）解(Ⅰ)由题设知,函数)(x f 的概念域为(0,)+∞,222()1a x x a f x x x x-+'=-+=;…………………1分且()0f x '=有两个不同的根, ∴2220,2x x a a x x -+==-+且(0)x >有两个交点.2211112()()4424a x x x =--++=--+有两个交点求得 1102,0.48a a <<⇒<< ∴a 的取值范围是1(0,)8.…………………3分(也可利用判别式1180,8a a ∆=-><即;又10,0x a =>∴>).∵1,2x =∴()()0;002121<'<<>'><<x f x x x x f x x x x 时，当时，或当 ∴()f x单调增区间为1(0,2和1()2++∞.单调减区间为11(22-+ ………………………5分 (Ⅱ)由已知方程 ()(1)f x a x =+212ln 2x x a x ax x ⇒-+--=0 ∴令21()(2)2ln 2t x x a x a x =-++, 22(2)2()(2)()(2)a x a x a x a x t x x a x x x-++--'=-++==…………………7分 0x →时,()t x →-∞;x →+∞时,()t x →+∞;∴()t x 有且只有1个零点, ∴原方程有且只有一个根. ……………………9分 (III)由(Ⅰ)可知x(0,)aa(,2)a 2 (,)a +∞()t x +0 -0 +()t x极大值极小值12221212(1)2x x a x x x x a +=⎧∴=-⋅⎨⋅=⎩ , ………………………10分而且由2x =得21(,1)2x ∈. ………………………11分 ∵21()2ln 2f x x x a x =-+=2121ln 2x x x x x -+⋅, 222222221()()ln 2f x x x x x x =-+- 2222222222()1(12)ln (12)ln x x f x x x x x x x -'⇒=-+-+=-, 其中21(,1)2x ∈………13分∴2()0f x '>, 函数()f x 在1(,1)2递增; ∴111111132ln 2()()()ln 22422428f x f -->=⨯-+-⋅=. ………………14分。

2024-2025学年福州市高三年级第一次质量检测数学答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

15. （13分）已知数列{}n a 满足12a =，132n n a a +=+． （1）证明：数列{}1n a +是等比数列； （2）求{}n a 的前n 项和n S ．【解法一】（1）证明：因为132n n a a +=+，且12a =，所以10n a +≠， ··················································································· 1分 所以1132111n n n n a a a a ++++=++ ········································································ 3分 3(1)31n n a a +==+， ···································································· 5分 又113a +=，所以数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列． ······························· 6分 （2）由（1）得13n n a +=，所以31n n a =−， ············································· 8分 所以()()()2313131n n S =−+−++−()233333n n =++++− ···························································· 10分13313n n +−=−− ············································································ 12分 133.2n n +−=− ············································································ 13分【解法二】（1）证明：因为132n n a a +=+，所以()113331n n n a a a ++=+=+， ····························································· 2分 因为12a =，所以1130a +=≠，所以10n a +≠， ········································ 4分 所以1131n n a a ++=+, 所以数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列． ······························· 6分 （2）略，同解法一． 16. （15分）已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且2cos cos cos a C C B =⋅． （1）求角C ；（2）若4a =，b =D 为AB 中点，求CD 的长． 【解法一】（1）因为2cos cos cos a C C B =+⋅， 由正弦定理，得2sin cos cos sin A C B C B C =·············································· 2分()B C =+ ·································································· 4分()πA −A =，······································································ 6分 因为0πA <<，则sin 0A ≠，所以cos C =， ·········································· 7分 由于0πC <<，则π6C =； ···································································· 8分 （2）因为D 为AB 中点，故()12CD CA CB =+， ······································ 10分22111πcos 4426CA CB CA CB =++ ············································ 13分 1113164442=⨯+⨯+ 314=，················································································· 14分 所以CD ． ······································································ 15分 【解法二】（1）因为2coscos cos a CC B =⋅，由余弦定理，得2222222cos 22a b c a c b a C ab ac+−+−=··························· 2分 ， ···························································· 4分所以cos C =， ················································································ 6分 由于0πC <<，则π6C =； ···································································· 8分 （2）由（1）知，π6ACB ∠=， 在ABC △中，由余弦定理，得2222cos c a b ab ACB =+−∠··································································· 10分 22424=+−⨯ 7=， ··························································································· 11分 故c =， ······················································································· 12分 因为D 为AB 中点，所以cos cos 0ADC BDC ∠+∠=，故222222022AD CD AC BD CD BC AD CD BD CD +−+−+=⨯⨯⨯⨯， ·········································· 13分22222240CD CD +−+−=，故CD ． ··········································································· 15分 【解法三】（1）略，同解法一或解法二； （2）由（1）知，π6ACB ∠=， 在ABC △中，由余弦定理，得2222cos c a b ab ACB =+−∠··································································· 10分22424=+−⨯ 7=， ··························································································· 11分故c =， ······················································································· 12分 所以222cos 2b c a A bc+−=2224+−==， ············································································· 13分 在ACD △中，由余弦定理， 得2222cos CD AC AD AC AD A =+−⋅222⎛=+− ⎝⎭⎝314=， ······················································································· 14分故CD ． ··········································································· 15分 17. （15分）如图，在四棱锥S ABCD −中，BC ⊥平面SAB ，∥AD BC ，1SA BC ==，SB =，o 45SBA ∠=．（1）求证：SA ⊥平面ABCD ；（2）若12AD =，求平面SCD 与平面SAB 的夹角的余弦值． 【解法一】（1）在△SAB 中， 因为1SA =，o 45SBA ∠=，SB =， 由正弦定理，得sin sin SA SBSBA SAB=∠∠， ········································································· 1分所以1sin 45︒， ······································································ 2分 所以sin 1SAB ∠=，因为0180SAB ︒<∠<︒，所以90SAB ∠=︒，所以SA AB ⊥． ··················································································· 4分 因为BC ⊥平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以BC SA ⊥， ··················································································· 5分 又BCAB B =，所以SA ⊥平面ABCD ； ········································································· 6分 （2）解：由（1）知SA ⊥平面ABCD ，又,⊂AB AD 平面ABCD ，所以SA AB ⊥，SA AD ⊥，因为BC ⊥平面SAB ， ··········································································· 7分 ⊂AB 平面SAB ，所以BC AB ⊥，因为∥AD BC ，所以AD AB ⊥，所以,,SA AD AB 两两垂直． ··································································· 8分 以点A 为原点，分别以AD ，AB ，AS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ················································································ 9分 则1(1,1,0),,0,0,2(0,0,1),D S C ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()1,1,1SC =−，1,0,12SD ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，设平面SCD 的法向量为1(,,)x y z =n ，则11,,SC SD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即110,10,2SC x y z SD x z ⎧⋅=+−=⎪⎨⋅=−=⎪⎩n n 取2x =，则()12,1,1=−n ， ·································································· 11分显然平面SAB 的一个法向量()21,0,0=n ， ················································ 12分 所以cos ⋅=⋅121212n n n ,n n n ····································································· 13分==········································································· 14分 所以平面SCD 与平面SAB ． ··································· 15分 【解法二】（1）证明：设AB x =，在△SAB 中， 因为1SA =，o 45SBA ∠=，SB =， 由余弦定理，得2222cos SA SB AB SB S AB BA =∠+−⋅， · (1)分 所以212co 5s 4x =+−︒， (2)分所以221x +−=， 所以2210x x −+=，解得1x =． ························································································ 3分 所以2222SA AB SB +==，所以SA AB ⊥． ················································ 4分 因为BC ⊥平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以BC SA ⊥， ··················································································· 5分 又BCAB B =，所以SA ⊥平面ABCD ； ········································································· 6分 （2）略，同解法一．【解法三】（1）设AB x =，在△SAB 中， 因为1SA =，o 45SBA ∠=，SB =， 由余弦定理，得2222cos SA SB AB SB S AB BA =∠+−⋅， (1)分所以212co 5s 4x =+−︒， ································································ 2分所以221x+−=，所以2210x x−+=，解得1x=． ························································································3分所以2222SA AB SB+==，所以SA AB⊥．················································4分因为BC⊥平面SAB，BC⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面SAB；·································································5分又平面ABCD平面SAB AB=，SA AB⊥，SA⊂平面SAB，所以SA⊥平面ABCD；·········································································6分（2）由（1）知SA⊥平面ABCD，过B作BM SA，则BM⊥平面ABCD，又,AB BC⊂平面ABCD，所以BM AB⊥，BM BC⊥，因为BC⊥平面SAB，···········································································7分又⊂AB平面SAB，所以BC AB⊥，所以,,BM BA BC两两垂直．··································································8分以点B为原点，分别以BA，BC，BM所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ················································································9分则1(0,1,0),1,(,0,21,0,1),CS D⎛⎫⎪⎝⎭所以()1,1,1SC=−−，11,,02CD⎛⎫=−⎪⎝⎭，设平面SCD的法向量为1(,,)x y z=n，则11,,SCCD⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩nn即110,10,2SC x y zCD x y⎧⋅=−+−=⎪⎨⋅=−=⎪⎩nn取2y=，则()11,2,1=n， ···································································· 11分显然平面SAB的一个法向量()20,1,0=n， ··············································· 12分所以cos⋅=⋅121212n nn,nn n····································································· 13分=。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x 2－(a+3)x+3a=0},B={x|x 2－5x+4=0},集合A ∪B 中所有元素之和为8,则实数a 的取值集合为()A.{0}B.{0,3}C.{1,3,4}D.{0,1,3,4}2.抛物线y=2x 2的准线方程为()A.41-=yB.81-=yC.21=x D.41-=x3.已知a ∈R,且a ≠0,则"11"<a是“a>1”的(). A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件4.函数y=ln(x+1)与xy 1=的图像交点的横坐标所在区间为() A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)5.执行如图所示的程序框图,如果输出的结果为815,则判断框内应填入的条件是() A.k<3B.k>3C.k<4D.k>46.某公司的一品牌电子产品,2013年年初,由于市场疲软,产品销售量逐渐下降,五月份公司加大了宣传力度,销售量出现明显的回升,九月份,公司借大学生开学之际,采取了促销等手段,产品的销售量猛增,十一月份之后,销售量有所回落.下面大致能反映出公司2013年该产品销售量的变化情况的图象是()7.函数)36sin(2ππ-=xy (0≤x ≤9)的最大值与最小值的和为().A.32-B.0C.－1D.31--9.已知直线a,b 异面,,给出以下命题:①一定存在平行于a 的平面α使α⊥b ;②一定存在平行于a 的平面α使b ∥α;③一定存在平行于a 的平面α使α⊂b ;④一定存在无数个平行于a 的平面α与b 交于一定点.则其中论断正确的是()A.①④B.②③C.①②③D.②③④10.已知P(x,y)为椭圆11625:22=+yx C 上一点,F 为椭圆C 的右焦点,若点M 满足||1MF =u u u r 且0MP MF ⋅=u u u r u u u r ,则||PM u u u u r的最小值为()A.3B.3C.512D.111.在△ABC 中,若a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边,且cos2B +cos B +cos(A －C )=1,则有(). A.a 、c 、b 成等比数列B.a 、c 、b 成等差数列 C.a 、b 、c 成等差数列D.a 、b 、c 成等比数列12.已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠,)()(')(')(x g x f x g x f >,且()()xf x ag x =（01a a >≠且）,(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-,对于数列})()({n g n f (n=1,2,…,10),任取正整数k(1≤k ≤10),则其前k 项和大于1615的概率是(). A.103 B.52C.21D.53第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.一个容量为20的样本数据分组后,分组与频数分别如下(]10,20,2;(]20,30,3;(]30,40,4;(]40,50,5;(]50,60,4;(]60,70,2.则样本在(]10,50上的频率是 ．14.已知函数)sin(2)(ϕω+=x x f (其中R ∈x ,0>ω,πϕπ<<-) 的部分图象如图所示,则函数f (x )的解析式是 .15.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为 .16.已知32()69,,f x x x x abc a b c =-+-<<且()()()0f a f b f c ===,现给出如下结论: ①0)1()0(>⋅f f ;②0)1()0(<⋅f f ;③0)3()0(>⋅f f ;④;0)3()0(<⋅f f ; ⑤()f x 的极值为1和3.其中正确命题的序号为 .【解析】三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.(本小题满分12分)已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列,且满足362755,16a a a a =+=. (I)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式:123232222n n nb b b ba =+++⋅⋅⋅+(n 为正整数)求数列{}nb 的前n 项和n S .18.(本小题满分12分)如图,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N(异于村庄A),要求PM＝PN＝MN＝2(单位:千米).如何设计,可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．即AP≤2 3.19.(本小题满分12分)把一颗骰子投掷两次,观察掷出的点数,并记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b.试就方程组322ax byx y+=⎧⎨+=⎩(※)解答下列问题:(Ⅰ)求方程组没有解的概率;(Ⅱ)求以方程组(※)的解为坐标的点落在第四象限的概率..20.(本小题满分12分)已知正△ABC 的边长为a ,CD 是AB 边上的高,E 、F 分别是AC 和BC 边的中点,现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A-DC-B,如图所示.(Ⅰ)试判断折叠后直线AB 与平面DEF 的位置关系,并说明理由;(Ⅱ)若棱锥E-DFC 的体积为243,求a 的值; (Ⅲ)在线段AC 上是否存在一点P,使BP ⊥DF ？如果存在,求出ACAP 的值;如果不存在,请说明理由.考点：1.图形的翻折.2.线面间的位置关系.3.开放性题的等价变换.4.空间想象力.21.(本小题满分12分)已知焦点在y轴,顶点在原点的抛物线C1经过点P(2,2),以C1上一点C2为圆心的圆过定点A(0,1),记C与x轴的两个交点.M、为圆N2(1)求抛物线1C 的方程;(2)当圆心2C 在抛物线上运动时,试判断MN 是否为一定值？请证明你的结论; (3)当圆心2C 在抛物线上运动时,记m AM =,n AN =,求mn n m +的最大值．,因为C 2在抛物线上,a 2=2b,且圆被x 轴截得的弦长22.(本题满分14分) 已知函数()x ax b f x e x+=(,,0a b R a ∈>且). (Ⅰ)若2,1a b ==,求函数()f x 的极值;(Ⅱ)设()(1)()x g x a x e f x =--．①当1a =时,对任意)(0,x ∈+∞,都有()1g x ≥成立,求b 的最大值;②设()()g x g x '为的导函数.若存在1x >,使()()0g x g x '+=成立,求b a的取值范围.因为b＜0,所以:当0＜x＜1时,g′(x)＜0,g(x)在(0,1)上是减函数；当x＞1时,g′(x)＞0,g(x)在。

福州一中2015-—2016学年第二学期校质量检查试卷高三文科数学试卷（完卷时间120分钟 满分150分） （请将选择题和填空题的答案写在答案卷上）参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题目要求的.(1)设复数121,2z i z bi =+=+, 若12z z ⋅为纯虚数,则实数b =(A) 2 (B) 2- (C) 1 (D) 1- (2)若集合{}}{R x x y y N R t x x Mt ∈==∈==-,sin ,,2，则MN =(A) ∅ (B) (]0,1 (C) []1,1- (D) [)1,0- (3)已知命题:,cos()cos p R απαα∃∈-=；命题2:,10q x R x ∀∈+>，则下面结论 正确的是(A) p q ∨是真命题 (B) p q ∧是假命题 (C) q ⌝是真命题 (D) p 是假命题 (4)函数()sin()f x A x ωϕ=+(0>A ，0>ω，2πϕ<)的图象如图1所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是 (A) 最小正周期是π (B) 对称轴方程是2()3x k k ππ=+∈Z(C)6πϕ=-(D) 对称中心是(,0)()6k k ππ-+∈Z(5)已知函数2(10)(),(01)x x f x x x --≤≤⎧⎪=<≤则下列图象错误的是(A) (B) (C) (D)(6)若实数,x y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为(A)13 (B) 12(C) 1 (D) 2 (7) 关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ； ②若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊥，n ∥β且α∥β，则m n ⊥； ④若m ∥α，n β⊥且αβ⊥，则m ∥n ． 则其中真命题的是 (A) ①② (B) ③④ (C) ①④ (D) ②③ (8)已知三棱锥的三视图如图2所示，则它的外接球的体积为 (A) π (B) 4π (C) 43π (D) 23π(9)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于,A B 两点，左顶点M 在以AB 为直径的圆外，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 (A) 31,2⎛⎫⎪⎝⎭ (B) (1,2) (C) 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(D) (2,)+∞ (10)函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且0x ≤时，1()22xf x x a =-+. 则函数()f x 的零 点个数是(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (11) 如图3，O 为ABC ∆的外心，6,4,AB AC BAC ==∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO ⋅=(A) -10 (B) 36 (C) 13 (D) 16(12)已知函数21()()36f x x mx m R =++∈，且关于x 的不等式()1f x a <-的解集为(3,2)m m -+，则实数a 的值是图1图2图3(A)294 (B) 254 (C) 6 (D)214二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13)已知3cos α=，且 000180α<<，则角α的值________________. (14)已知数列{}n a 满足1,1n na q q a +=>，且47562,8a a a a +=⋅=-，则110a a +=____. (15)若斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，则弦长AB 的最大值为_____. (16) 已知ABC ∆为锐角三角形，角A , B , C 的对边分别是,,,a b c ，其中2c =，3cos cos 2sin ca Bb A C+=，则ABC ∆周长的取值范围为_____________________.三、解答题：解答应写出说明，证明过程或演算步骤，本大题共5小题，60分.(17)（本小题满分12分） 已知数列}{n a ，记123,*nn a a a a V n N n++++=∈.（I ）若21+=n V n ，求数列{n a }的通项公式； （II ）若数列}{n a 是首项为1-，公比为2q =的等比数列，试比较n V 与6-的大小. (18) (本小题满分12分）某汽车厂生产A ,B ,C 三类轿车.每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：按轿车种类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆. （I ）求z 的值;（II ）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中 任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率. (19) (本小题满分12分）如图4，AB 是圆O 的直径，E 是圆O 上不同于,A B 的动点，四边形ABCD 为矩形， 且2,1AB AD ==，平面ABCD ⊥平面ABE . （I ）求证：平面DAE ⊥平面EBC ；（II ）当点E 在AB 上的什么位置时，四棱锥E ABCD -的体积为33； (III)在（II ）的条件下，求EBC ∆以EC 为轴旋转所围成的几何体体积.(20)（本小题满分12分）图4如图5，已知圆O '过定点(0,)(0)A p p >，圆心O '在抛物线22x py =上运动，MN 为圆O '在x 轴上所截得的弦.（I ）当O '点运动时，MN 是否有变化？并证明你的结论；（II ）当OA 是OM 与ON 的等差中项时，试判断抛物线的准线与圆O '的位置关系，并 说明理由.(21)（本小题满分12分）设函数1()1,()1xf xg x x ax =-=+(其中a R ∈, e 是自然对数的底数). （I ）若函数(),()f x g x 的图象在012x =处的切线斜率相同，求实数a 的值；（II ）若()()xf eg x ≤在[0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。

5月福州市普通高中毕业班综合测试文科数学试题(word版含2022年5月7日福州高三质检文科数学含答案2022年福州市普通高中毕业班综合质量检测文科数学能力测试（完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 集合A x Nx 4 ,B __2 4 0 ，则A B（A）x0 x 2 （C）0,1(2) 复数z满足(1 i)z 1 i，则z（A）（B）x 2 x 2 （D）2,0,1,21 2（B）1 （C（D）21(3) 已知条件p:x 0，条件q: 0，则p是q成立的x（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件π(4) 函数f(x) Asin(x )（A 0）在x 处取得最小值，则3ππ（A）f(x )是偶函数（B）f(x )是奇函数33ππ（C）f(x )是偶函数（D）f(x )是奇函数33(5) 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了10根棉花的纤维长度（单位：mm），所得数据如下茎叶图．记甲、乙两品种棉花的纤维长度的平均值分别为x甲,x乙，标准差分别为s甲,s乙，则（A）x甲x乙,s甲s乙（B）x甲x乙,s甲s乙（C）x甲x乙,s甲s乙（D）x甲x乙,s甲s乙2022年5月7日福州高三质检文科数学含答案2x 1 x,x 0,(6) 函数f(x) 的零点个数为1 lnx,x 0（C）1 （D）0(7) 在ABC中，C 90 ,AC 2，点M满足BM MA，则CM CA（A）1 （C（B（D）2（A）3（B）2(8) 在各项均为正数的等比数列an 中，a5a6 4，则数列log2an的前10项和等于（A）20 （C）5（B）10 （D）2 log25(9) 执行右面的程序框图，若输入的n值为4，则输出的结果为（A）8 （C）34（B）21 （D）55(10) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（A）10 （C）30（B）20 （D）60x2y2(11) 过双曲线C:2 2 1(a 0,b 0)的左焦点F作一条渐近线的垂线，与C右支交于ab点A，若OF OA，则C的离心率为（A（B）2（C（D）51(12) 已知a R，函数f(x) x3 ax2 ax 2的导函数f (x)在,1 内有最小值．若3函数g(x)f (x)，则x（B）g x 在1, 上有最小值（D）g x 在1, 上为增函数（A）g x 在1, 上有最大值（C）g x 在1, 上为减函数2022年5月7日福州高三质检文科数学含答案第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每道试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．(13) 在平面直角坐标系xOy中，点P( m2,3)在抛物线y2 mx的准线上，则实数m ．x 1 0,(14) 若x,y满足约束条件x y 2。

福州市2021届高三文科数学5月调研卷参考答案〔总分值：150分考试时间：120分钟〕第Ⅰ 卷〔选择题,共60分〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．复数,那么复数在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】复数，此题正确选项：A2．全集为，集合，，那么的元素个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】或，有个元素，此题正确选项：3．,那么()A．B．C．D．【答案】B【解析】,,,故，此题正确选项：B4．某学生5次考试的成绩(单位:分)分别为85，67，，80，93，其中,假设该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，那么得分的平均数不可能为()A．B．C．D．【答案】D【解析】的四次成绩按照由小到大的顺序排序为：，，，该学生这次考试成绩的中位数为，那么，所以平均数：，可知不可能为，此题正确选项：．5．如图给出的是计算的值的一个程序框图，那么图中空白框中应填入 ( )A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】该程序框图的功能为计算的值，由，A ：假设，那么第一次执行：，不符合；B ：假设，那么第一次执行：，不符合；C ：假设，那么第一次执行：，不符合；D ：假设，那么第一次执行：，然后依次执行，符合题意；此题正确选项：D ．6．用单位立方块搭一个几何体，使其正视图和侧视图如下图，那么该几何体体积的最大值为 ( ) A ．28B ．21C ．20D ．19 【答案】D【解析】结合几何体的正视图和侧视图可知，从上到下，第1层、第2层、第3层只能各有1个单位正方体，第4层〔最底层〕最多有16个正方体，故该几何体体积的最大值为19，此题正确选项：D ．7．函数的图像大致为 ( )【答案】A【解析】由可知为偶函数，排除C 、D 选项，当时，，而递增速度慢于，，故，排除B 选项，此题正确选项：A ．8．抛物线的焦点为，点在上，，假设直线与交于另一点，那么的值是 ( )A ．12B ．10C ．9D ．45【答案】C 第5题 正视图 侧视图 第6题【解析】，解得，，可得，所以，此题正确选项：C．9．设双曲线的左焦点为，直线过点且与双曲线在第二象限的交点为为原点，，那么双曲线的离心率为() A．5B．C．D．【答案】A【解析】根据直线与轴的交点为，可知半焦距，设双曲线的右焦点为，连接，根据且可得，为直角三角形，如图，过点作垂直于直线，垂足为，那么易知为的中位线，又原点到直线的距离，所以故结合双曲线的定义可知所以，故，此题正确选项：A．10．是函数的导函数，且对任意的实数x都有，，那么不等式的解集为()A．B．C．D．【答案】B【解析】由可得：，即，又，，，不等式可化为：，解得：，此题正确选项：B．11．在锐角中，角，，的对边分别为，，，假设，那么的最小值为()A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据条件，把边化成角得到B,C关系式，结合均值定理可求，∵，∴，∴．又，∴，∴．又∵在锐角中, ,∴，当且仅当时取等号，∴，此题正确选项：A．12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线就是其中之一(如图)．给出以下三个结论:①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过√2; ③曲线C 所围成的“心形〞区域的面积小于3．其中,所有正确结论的序号是 ( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③【答案】C【解析】 对①,令得,即曲线C 过整点;令得,解得：，即曲线C 过整点，又由曲线关于y 轴对称知,曲线C 过整点，结合图形知,曲线C 不过其他整点,所以①正确;对②,只需考虑第一象限内的点,即，设曲线C 上的点到原点的距离为,那么，，,所以②正确;对③,由①知, ，，所以，所以心形区域面积大于3,③错误，此题正确选项：C ．第 II 卷〔非选择题,共90分〕二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．某家庭 在家中有人时，打进的 响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，那么 在响前4声内被接的概率是 ．【答案】【解析】分别记“ 响第一、二、三、四声时被接〞为事件，且，， ， ，由四个事件为互斥事件那么 在响前4声内被接的概率为．此题正确答案：．14．如图，圆〔圆心为〕的一条弦的长为2，那么=_____________ ．【答案】2【解析】过作于，可得根据数量积的几何意义知等于乘以在方向上的投影，故=2．此题正确答案：2． 第12题第14题15．我们听到的美妙弦乐，不是一个音在响，而是许多个纯音的合成，称为复合音．复合音的响度是各个纯音响度之和．琴弦在全段振动，产生频率为的纯音的同时，其二分之一局部也在振动，振幅为全段的，频率为全段的2倍；其三分之一局部也在振动，振幅为全段的，频率为全段的3倍；其四分之一局部也在振动，振幅为全段的，频率为全段的4倍；之后局部均忽略不计．全段纯音响度的数学模型是函数〔为时间，为响度〕，那么复合音响度数学模型的最小正周期是．解：，周期为，此题正确答案：．16．三棱锥的棱长均为6，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切〔，且〕，那么球的体积等于__________，球的外表积等于__________．【答案】，【解析】如图，是三棱锥的高，是的外心，因为三棱锥的棱长均为6，那么，，是三棱锥的外接球和内切球的球心，在上，设外接球半径为，内切球半径为，那么由得，，所以，所以，所以球的体积，过中点作与底面平行的平面与三条棱交于点，那么平面与球相切，由题意球是三棱锥的内切球，注意到三棱锥的棱长是三棱锥棱长的，所以有其内切球半径，同理，球的半径为，那么是公比为的等比数列，所以，所以．此题正确答案：，．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．〔一〕必考题：共60分．17．〔本小题总分值12分〕为数列的前项和，，.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕设，求数列的前项和．【解析】〔1〕由，可知，可得，即，3分由于，可得． ···············································································································4分又，解得〔舍去〕，或，··································································································5分所以数列是首项为，公差为的等差数列，可得． ··································································6分〔2〕由可知，········································································································8分数列的前项和为，那么 ································································································································10分 ·····························································································································11分． ··························································································································12分18．〔本小题总分值12分〕如下图的几何体中，为三棱柱，且平面ABC，，四边形ABCD为平行四边形，，．〔1〕求证：平面；〔2〕假设，求四棱锥的体积．【解析】〔1〕证明:四边形ABCD为平行四边形，，，由余弦定理可得：， ····································2分，，·····························································································································3分为三棱柱，且平面ABC，································································································4分平面ABC ···················································································································5分，平面． ·····················································································································6分〔2〕连结，···········································································································7分平面，，平面，··············································································································9分 ································································································································10分．所以四棱锥的体积为8···································································································12分19．〔本小题总分值12分〕某企业新研发了一种产品，产品的本钱由原料本钱及非原料本钱组成．每件产品的非原料本钱〔元〕与生产该产品的数量〔千件〕有关，经统计得到如下数据：根据以上数据，绘制了散点图．观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合，已求得用指数函数模型拟合的回归方程为；与的相关系数，, , , , , , 〔其中〕；〔1〕用反比例函数模型求关于的回归方程；〔2〕用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好〔精确到0．01〕，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料本钱．参考数据：,参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，相关系数．【解析】〔1〕令，那么可转化为， ····················································································1分因为，所以， ···············································································································4分那么，所以， ···············································································································5分所以关于的回归方程为； ································································································6分〔2〕与的相关系数为：， ······························································································································9分因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好， ····································································10分把代入回归方程：，〔元〕，······························································································11分所以当产量为10千件时，每件产品的非原料本钱估计为21元．············································12分20．〔本小题总分值12分〕椭圆的离心率是，过点做斜率为的直线，椭圆与直线交于两点，当直线垂直于轴时．〔1〕求椭圆的方程；〔2〕当变化时，在轴上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，假设存在求出的取值范围，假设不存在说明理由．〔2〕设，的中点由消去得，所以． ·····················································································································7分当时，设过点且与垂直的直线方程 ····················································································8分将代入得： ··················································································································9分假设，那么，假设，那么所以或 ·······················································································································11分当时，综上所述，存在点满足条件,m取值范围是 ·········································································12分21．〔本小题总分值12分〕函数〔1〕求的最小值；〔2〕证明：．【解析】〔1〕，令得········································································································1分当时，，单调递减，当时，，单调递增，········································································································3分故在上，的极小值为 ······································································································4分当时，故的最小值为 ···············································································································5分〔2〕要证当时，，即证当时， ··························································································6分 ·································································································································7分所以 ································································································································10分所以，在上单调递增，故， ··························································································································11分故当时，．···················································································································12分〔二〕选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分．22．[选修4―4：坐标系与参数方程]〔10分〕在直角坐标系中，直线的参数方程为〔为参数〕，曲线的参数方程为〔为参数〕，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，〔1〕求曲线的极坐标方程；〔2〕点的极坐标为，与曲线交于两点，求．【解析】〔1〕曲线的普通方程为，即， ··············································································3分所以，即，所以曲线的极坐标方程为． ··············································································5分〔2〕将直线的参数方程代入到中，得．·············································································6分设两点对应的参数分别为，那么，，···················································································7分因为点的极坐标为，所以点的直角坐标为， ········································································8分所以． ····························································································10分23．[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕为正数，且满足，证明：〔1〕；〔2〕．。

福建省福州一中2025届第二学期高三第一次月考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x 成立 2．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()0,∞+D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 4．已知实数x ，y 满足约束条件2202202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的取值范围是（ ）A．⎣ B ．4,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,85．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．136．已知()()()[)3log 1,1,84,8,6x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．()0,∞+B ．[)1,2C ．[)1,+∞D ．()0,17．不等式42,3x y x y -⎧⎨+⎩的解集记为D ，有下面四个命题：1:(,),25p x y D y x ∀∈-；2:(,),22p x y D y x ∃∈-；3:(,),22p x y D y x ∀∈-；4:(,),24p x y D y x ∃∈-.其中的真命题是（ ）A ．12,p pB ．23,p pC ．13,p pD ．24,p p8．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -9．已知函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕ=+>的图像向右平移8π个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，(0)1f =，当ϕ取得最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）A ．())4f x x π=+B ．()cos(2)4f x x π=+C ．())4f x x π=- D ．()cos(2)4f x x π=-10．已知锐角α满足2sin21cos2 ,αα=-则tan α=（ ）A ．12B ．1C ．2D ．411．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a //β，b //α，则“a //b “是“α//β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知01a b <<<，则（ ）A ．()()111bba a ->- B ．()()211b ba a ->- C ．()()11ab a b +>+ D ．()()11a ba b ->-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年5月福州市高中毕业班质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1到2页，第Ⅱ卷3到4页． 注意事项1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,3,4A =，{}1,3,4,5B =，全集U AB =，则UA =A ．{2}B ．{}1,5C ．{}2,3,4D ．{}1,3,4,52. 设复数z 满足(1i)3i z -=+，则复平面内与z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 已知向量a ，b 为单位向量，且a ⊥b ，则(43)⋅-b a b =A ．3-B ．3C ．5-D ．54. 某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音（如图）．已知噪音的声波曲线()sin y A x ωϕ=+（其中0,0,02A ωϕ>><π）的振幅为1，周期为π，初相为2π，则用来降噪的声波曲线的解析式为 A ．sin 2y x = B ．cos 2y x = C ．sin 2y x =- D ．cos 2y x =-5. 已知函数()2cos 1xf x x π=+，以下结论中错误的是 A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 有无数个零点 C ．()f x 的最小值为12-D ．()f x 的最大值为16. 在底面半径为1的圆柱1OO 中，过旋转轴1OO 作圆柱的轴截面ABCD ，其中母线2AB =， E 是BC 的中点，F 是AB 的中点，则A ．AE CF =，AC 与EF 是共面直线B ．AE CF ≠，AC 与EF 是共面直线C ．AE CF =，AC 与EF 是异面直线D ．AE CF ≠，AC 与EF 是异面直线7. 定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x -=-，若()f x 的图象关于直线3x =对称，则下列选项中一定成立的是 A ．(3)1f -=B ．(0)0f =C ．(3)2f =D ．(5)1f =-8. 已知数列{}n a ，{}n b 的通项分别为2n a n =，21n n b =+．现将{}n a 和{}n b 中所有的项，按从小到大的顺序排成数列{}n c ，则满足123120n n c c c c c ++++⋅⋅⋅+>的n 的最小值为 A ．21B ．38C ．43D ．44二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 若10a b -<<<，则A ．11a b> B ．222a b ab +> C ．a b +>D ．11a b a b+>+ 10. 某质量指标的测量结果服从正态分布()280,N σ，则在一次测量中A ．该质量指标大于80的概率为0.5B ．σ越大，该质量指标落在()70,90的概率越大C ．该质量指标小于60与大于100的概率相等D ．该质量指标落在()75,90与落在()80,95的概率相等11. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线为l ，点M 在抛物线上，以M 为圆心的圆与l 相切于点N ，点(5,0)A 与抛物线的焦点F 不重合，且MN MA =，120NMA ∠=︒，则 A ．圆M 的半径是4 B ．圆M 与直线1y =-相切C ．抛物线上的点P 到点Ａ的距离的最小值为4D ．抛物线上的点P 到点Ａ,Ｆ的距离之和的最小值为412. 一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫、6只白猫．把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫．猫争先恐后地往外钻．如果10只猫都钻出了笼子，事件k A 表示“第k 只出笼的猫是黑猫”，1=k ，2，…，10，则 A ．122()3P A A =B ．122()3P A A +=C ．211(|)3P A A =D ．1021(|)3P A A =第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13. 已知π2sin()cos 3αα-=，则tan α= ．14. 双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）的一条渐近线为2y x =，则它的离心率是 ．15. 某地在20年间经济高质量增长，GDP 的值P （单位：亿元）与时间t （单位：年）之间的关系为0()(110%)t P t P =+，其中0P 为0t =时的P 值．假定02P =，那么在10t =时，GDP 增长的速度大约是 ．（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年） 注：101.1 2.59≈，当x 取很小的正数时，ln(1)x x +≈．16. 已知正方体1111ABCD A B C D -，以1A 为球心，半径为2的球面与底面ABCD 的交线的长度为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （10分）已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①212a a =；②数列{}ln n a 是等差数列；③数列{}1n S a +是等比数列；． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．某种疾病可分为A ，B 两种类型．为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患A 型疾病的人数占男性患者的56，女性患A 型疾病的人数占女性患者的13．（1）若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病类型’与‘性别’有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？（2）某团队进行预防A 型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为()0m m >元．该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为()01p p <<，如果一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期．若23p =，试验人数为1000人，试估计该试验用于接种疫苗的总费用．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，19. 如图1，在△ABC 中，90C ∠=︒，BC =，3AC =，E 是AB 的中点，D 在AC 上，DE AB ⊥．沿着DE 将ADE △折起，得到几何体A BCDE -，如图2．（1）证明：平面ABE ⊥平面BCDE ；（2）若二面角A DE B --的大小为60︒，求直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值．EDCBACBEDA记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin 2sin sin C A B =，点D 在边AB 上，且CD ⊥AB ．（1）证明：12CD c =；（2）若22a b +=，求∠ACB ．21. （12分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到直线2x =的距离和点P 到点(1,0)C 的距离的比P 的轨迹为Γ．（1）求Γ的方程；（2）若不经过点C 的直线l 与Γ交于M ，N 两点，且OCM xCN ∠=∠，求CMN △面积的最大值．22. （12分）设函数1()e x f x x a -=+，曲线()y f x =在1x =-处的切线与y 轴交于点21(0,e )e -． （1）求a ；（2）若当[2,)x ∈-+∞时，()(1)f x b x -≥，记符合条件的b 的最大整数值、最小整数值分别为M ，m ，求M m +．注：e 2.71828=为自然对数的底数．2022年5月福州市高中毕业班质量检测数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。