Knight不确定条件下的模糊二叉树期权定价模型

Knight 不确定条件下的模糊二叉树期权定价模型
李 伟 ,韩立岩
( 北京航空航天大学经济管理学院 ,北京 100191)
摘 要 : 在市场含有 Knight 不确定因素的环境下 , 影响期权价格的因素不仅仅具有随机性的特点 , 而且还存在着 模糊的性质 。因而我们假设股票价格服从模糊随机过程 ,使用基于抛物型模糊数的二叉树模型对欧式期权进行定 价 ,得到的风险中性概率及期权价格为一个赋权区间 。在使用中国权证数据进行的实证中 , 采用二次规划方法确 定模型参数 ,并对模糊期权价格进行去模糊化 ,与传统的二叉树模型进行实证比较后发现 ,应用模糊二叉树模型能 得出更准确的市场价格预测 。投资者可以选择自己可接受的置信度 ,得到一个模糊价格区间 ,以此指导投资策略 。 此外 ,应用此模型能够得到期权价格的模糊程度的度量 — 模糊度 ,从而获知 Knight 不确定性的大小 。 关键词 : Knightian 不确定性 ; 二叉树模型 ; 抛物型模糊数 ; 风险中性定价 ; 去模糊化 ; 二次规划 中图分类号 : F8301 9 文献标识码 :A
m ≠ m 时 , M 为区间数 , 当α = β = 0 , 且 m = m 时 ,
L - R 型模糊数退化为确定数 ( crisp number ) , 即 M
= ( m , m , 0 , 0) L R 。 若取 L ( x ) = R ( x ) = max{ 0 , 1 - | x | } , 则 M 即为梯形模糊数 ,若 m = m 也满足 ,
第 17 卷 第6期 中国管理科学 Vol. 17 , No . 6 2009 年 12 月 Chinese Journal of Management Science Dec. , 2009 文章编号 :1003 - 207 (2009) 06 - 0009 - 08
n = 1 时 , 左右枝为直线 , 此时为梯形模糊数 , 当 n > 1
) = [ u (α ) , u (α )] u (α
1/ n 1/ n = [ u1 +α ( u2 - u1 ) , u4 - α ( u4 - u3 ) ]
时 ,左右枝收缩 。 假设在时间 t = 1 股票价格从起始值 S 分别以 概率 p 和 1 - p 随机移动到两个新值 S u = S u 和 S d = S d 中 的 某 一 个 。传 统 二 叉 树 模 型 ( Co x 等 ,
1979 ) 假设 u = e
σ Δt
) = [ d (α ) , d (α )] d (α
1/ n 1/ n = [ d1 +α ( d2 - d1 ) , d4 - α ( d4 - d3 ) ]
( 4)
, d = e
- σ Δt
, 其中σ为标的资产
的波动率 。有许多方法用以估计股票价格的波动 率 ,例如采用历史数据或采用隐含波动率方法 。由 于股价波动率的估计中存在大量的不确定性 , 一个 更合理的的方法是假设波动率 σ为一个赋权区间 , 区间中不同的波动率的可靠程度并不相同 , 从而 u 和 d 也是赋权区间 , 在本文中我们直接假设 u 和 d 为抛物型模糊数 。 三角模糊数及梯型模糊数是抛物型模型数的特 殊形式 ,如前所述 ,当 n = 1 , b ≠ c 时抛物线型模糊 数转化为梯型模糊数 ,而当 n = 1 , b = c 时 ,抛物线 型模糊数转化为三角模糊数 , 此外抛物型模糊数的 左右枝可以具有不同的函数形式 , 使用抛物型模糊 数可以降低模型参数选择时的主观性 , 提高模型稳 健性 ,在实际应用中 ,采用最优化方法来确定模型参 数。
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中国管理科学 2009 年
期望的定义给出了欧式期权的模糊定价公式以及对 冲策略 ,在文献 [ 9 ] 中 Yo shida 用二叉树的方法对美 式看跌期权给出了离散模糊定价模型 , 在文献 [ 10 ] 中 Yo shida 引进主观的模糊测度计算 — 模糊均值估 计 ,给出了美式看跌期权的另一种定价方法 。在这 三篇文章中 , Yo shida 采用对称的三角型模糊数形 式 ,并假设模糊程度与股票价格成比例 。 Wu ( 2004 ,2006 ) [ 11 ,12 ] 运用了模糊数学的理论 对经典的 B2S 公式进行了修正 , 得到的定价公式不 用假设股票价格的模糊形式是对称的 , 而且模糊程 度可以与股票价格无关 。 韩立岩 、 郑承利 ( 2005) [ 13 ] 采用基于非可加测度 的模糊期权定价方法对市政债券发债规模控制进行 了实证研究 ; 韩立岩 、 周娟 ( 2007) [ 14 ] 用一个λ- 模糊 测度来表征 Knight 不确定环境下的经济人代表的 信念 ,用基于λ 2模糊测度的 Choquet 积分表示其偏 好 ,基于 Cochrane 的定价公式导出欧式无红利股票 期权的定价公式 ,所得期权价格是一个区间而不是 某个特定数值 。 本文提出期权定价的模糊二叉树模型 , 假定股 票价格波动为模糊数 , 采用概率期望和通过可能性 测度得出的模糊期望分别刻画随机性和模糊性 。由 于难以得出波动的准确估计 , 在本文中我们用可能 性测度来描述波动的不确定性 , 采用抛物型模糊数 抛物型模糊数刻画股票价格的上升过程及下降过 程 ,并得到风险中性概率和欧式看涨期权价格为一 个赋权区间 。在使用中国权证数据进行的实证中 , 采用二次规划方法确定模型参数 , 并对模糊期权价 格进行去模糊化 ,与传统的二叉树模型进行实证比 较后发现 ,应用模糊二叉树模型能得出更精确的市 场价格预测 。此外 ,应用模糊二叉树模型 ,投资者可 以选择自己可接受的置信度 , 得到一个模糊价格区 间 ,以此指导投资策略 。本方组织如下 : 第二节介绍 抛物型模糊数 ,并采用抛物型模糊数来描述股票价 格过程的 Knight 不确定性 ; 第三节推导风险中性概 率 ,并分析其主要性质 ; 第四节我们采用风险中性定 价方法在单期二叉树框架架下对期权进行定价 ; 第 五节我们将上述结果扩展到多期二叉树的情况下 ; 第六节介绍去模糊化方法及用以确定模型参数的二 次规划方法 ; 第七节采用中国金融市场上的权证数 据进行实证研究 ; 第八节是总结及展望 。
将 ( 1) 式中的 u 、 d 用其α截集表示 ,得 : ) + p u (α ) = 1 p d (α
) , d (α )] ) , u (α )] [ d (α [ u (α ) + ) ( 5) p d (α p u (α 1 + r 1 + r = [1 ,1 ]
容易证明 : ) + p u (α ) = 1 ; p u (α ) + p d (α ) = 1 p d (α 所以可将 ( 1) 用两个方程组表示 : ) + p u (α ) = 1 p d (α
则 M 为三角模糊数 。 下面介绍一类特殊的 L2R 模糊数 — 抛物型模 糊数 ,其隶属函数如下 :
0,
x - a b - a
n
x ≤a , a < x ≤b b < x ≤c
n
μ M ( x) =
1,
d - x d - c ,
c < x ≤d x > d
0,
其中 , n > 0 , a < b ≤c < d 。 上述抛物型模糊 数可以简记为 M = ( a , b , c , d) n 。 当 n = 1 , 上述模糊 数即为梯形模糊数 ,记为 M = ( a , b , c , d) 。 当n = 1 且 b = c , 上述模糊数即为三角模糊数 。 可以看出 , 三 角模糊数及梯形模糊数是 n 次抛物型模糊数的特 例。 抛物型模糊数 M 的α截集为 : 1/ n 1/ n ) = [ a +α ( b - a) , d - α ( d - c) ] , α ∈ M (α
收稿日期 :2008 - 03 - 05 ; 修订日期 :2009 - 10 - 30 基金项目 : 国家自然科学基金面上项目 (70671005) ; 国家自然科 学基金创新研究群体科学基金项目 (70521001) 作者简介 : 李伟 (1980 - ) ,男 ( 汉族) ,湖南娄底人 ,北京航空航天 大学经济管理学院博士研究生 ,研究方向 : 资产定价 .
1 引言
主流的资产定价理论 ,总是以 “经济行为人能够 对不确定自然状态做出确切概率估计” 作为前提假 定 。事实上 ,面对充满了不确定因素的金融市场 ,这 个假定是有局限性的 。 Knight ( 1921 ) [ 1 ] 将投资者 能够准确地加以观察 、 分析和预见的那部分不确定 性视为风险 ,余者称为 “真正” 的不确定性 。其后的 研究者常常将 “真正” 的不确定性称为 “ Knight 不确 定性 ( Knightian uncertaint y ) ” 或 “不明确性 ( ambi2
guit y) ” ,并在模型研究中将风险限定为概率分布唯
机概率理论来描述 。 实际上期权的价格受到众多因素的影响 , 其中 既含客观因素也有主观因素 。在市场含有 Knight 不确定因素的环境下 , 影响期权价格小的因素不仅 仅具 有 随 机 性 的 特 点 , 而 且 还 存 在 着 模 糊 的 性 质 [ 4 ,5 ] 。因而实际定价问题中的风险和 Knight 不确 定性可以分解为随机性和模糊性两个部分 , 二者不 能互相替代 。我们可以用概率理论来表示概率测度 唯一存在的不确定性 。而对不能用单一概率测度描 述的 Knight 不确定性问题 , 概率理论已经无法解 决 ,而 Zadeh 的模糊理论提供了有用的工具 ,可以用 模糊理论来解决在资产定价中由不明确信息以及主 观概率的不唯一性所带来的难题 。带有隶属函数的 模糊集的概念是在 1965 年由 Zadeh 第一次提出的 , 这个理论至今已被广泛地应用并发展 。为了计量一 个模糊事件 , Zadeh ( 1978 ) 提出可能性测度 [ 6 ] , 并形 成了可能性理论 。 正是考虑到金融市场上存在随机和模糊的不确 定性因素 ,许多研究者都在考虑对经典的期权定价 理论进行改进 。 Cherubini ( 1997) [ 7 ] 采用模糊测度表示市场中 信息的 Knight 不确定性 ,用次可加的预期效用函数 来表现当事人对 Knight 不确定性的厌恶 ,从某一连 续分布出发采用取上 、 下界的方法进行资产定价 ,并 用此法模糊化了传统的基于 B2S 公式的公司债券价 格。