两条直线的交点坐标 课时训练

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1.4 两条直线的交点课时训练 北师大版必修2一、选择题1．直线3x －2y ＋m ＝0和(m 2＋1)x ＋3y －3m ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．重合D ．不确定 【解析】 ∵k 1＝32，k 2＝－m 2＋13＜0，∴k 1≠k 2的两直线相交． 【答案】 B2．直线l 1：3x －4y ＋5＝0与l 2：4x －3y －13＝0的交点坐标为( ) A ．(2,3)B ．(73，3)C ．(3，73) D ．(37，3) 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋5＝0，4x －3y －13＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝73，y ＝3.本题也可代入选项验证． 【答案】 B3．(2013·长沙高一检测)两条直线x ＋y －a ＝0与x －y －2＝0相交于第一象限，则实数a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜2B ．a ＜－2C ．a ＞2D ．a ＜－2或a ＞2 【解析】 联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －a ＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋22，y ＝a －22.由交点在第一象限，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋22＞0，a －22＞0，解得a ＞2.【答案】 C 4．已知直线ax ＋4y －2＝0与2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c ＝( )A ．－4B ．20C ．0D ．24【解析】 由两直线垂直得－a 4×25＝－1，∴a ＝10， 将垂足代入ax ＋4y －2＝0，得c ＝－2，再代入2x －5y ＋b ＝0，得b ＝－12，∴a ＋b ＋c ＝－4.【答案】 A5．已知点P (－1,0)，Q (1,0)，直线y ＝－2x ＋b 与线段PQ 相交，则b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[－12，12]D ．[0,2]【解析】 点P ，Q 所在直线的方程为y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋b ，y ＝0，得交点(b 2，0)，由－1≤b 2≤1，得－2≤b ≤2. 【答案】 A二、填空题6．(2013·南京高一检测)三条直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y ＝102x －y ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝－2.将(4，－2)代入ax ＋2y ＋8＝0，得4a ＋2×(－2)＋8＝0∴a ＝－1.【答案】 －17．已知直线y ＝kx ＋3k －2与直线y ＝－14x ＋1的交点在x 轴上，则k 的值为________． 【解析】 直线y ＝－14x ＋1交x 轴于点(4,0)． ∵两条直线的交点在x 轴上，∴直线y ＝kx ＋3k －2过点(4,0)．∴0＝4k ＋3k －2.∴k ＝27. 【答案】 278．若三条直线x －2y ＋1＝0，x ＋3y －1＝0，ax ＋2y －3＝0共有两个不同的交点，则a ＝________.【解析】 因为直线x －2y ＋1＝0与x ＋3y －1＝0相交于一点，要使三条直线共有两个不同交点，只需ax ＋2y －3＝0与以上两条直线中的一条平行即可，当ax ＋2y －3＝0与x －2y ＋1＝0平行时，有－a 2＝12，解得a ＝－1；当ax ＋2y －3＝0与x ＋3y －1＝0平行时，有－a 2＝－13，解得a ＝23. 【答案】 －1或23三、解答题9．判断直线l 1：2x －y ＝7，l 2：3x ＋2y －7＝0的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标．【解】 ∵k 1＝2，k 2＝－32，∴k 1≠k 2，∴l 1与l 2相交， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝73x ＋2y －7＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝－1∴l 1与l 2的交点坐标为(3，－1)．10．已知△ABC 的顶点A 的坐标为(5,6)，两边AB 、AC 上的高所在直线的方程分别为4x ＋5y －24＝0与x －6y ＋5＝0，求直线BC 的方程．【解】 ∵AB 边上的高所在直线的方程为4x ＋5y －24＝0，∴可设直线AB 的方程为5x －4y ＋m ＝0，把点A (5,6)坐标代入得25－24＋m ＝0，∴m ＝－1，即直线AB 方程为5x －4y －1＝0由⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －4y －1＝0x －6y ＋5＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1即B (1,1)．同理可得C (6,0)，∴k BC ＝1－01－6＝－15. ∴直线BC 的方程为y ＝－15(x －6) 即x ＋5y －6＝0.11．(2013·岳阳高一检测)已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0.(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝2，∴点P 的坐标是(－2,2)．又所求直线l 与x －2y －1＝0垂直，可设直线l 的方程为2x ＋y ＋C ＝0.把点P 的坐标代入得2×(－2)＋2＋C ＝0，即C ＝2.∴所求直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0.(2)由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是－1、－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝12×1×2＝1.。

§3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标【课时目标】 1．掌握求两条直线交点的方法．2．掌握通过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法．3．通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想．1．两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0．若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0y ＝y 0，则两直线______，交点坐标为________．2一、选择题1．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．垂直D ．重合2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝03．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．以上答案均不对5．已知直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，l 1∥l 2，则m 的值是( )A ．m ＝3B ．m ＝0C ．m ＝0或m ＝3D ．m ＝0或m ＝－16．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．32B ．23C ．－32D ．－23二、填空题7．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________．8．已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y－5＝0，则直线l的方程是______________．9．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．三、解答题10．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线l的方程．11．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(－2，－3)，E(3,1)，F(－1,2)．先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标．能力提升12．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．13．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标．1．过定点(x 0，y 0)的直线系方程y －y 0＝k (x －x 0)是过定点(x 0，y 0)的直线系方程，但不含直线x ＝x 0；A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0是过定点(x 0，y 0)的一切直线方程．2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(D ≠C )．与y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m ≠b )．3．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程是A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但此方程中不含l 2；一般形式是m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(m 2＋n 2≠0)，是过l 1与l 2交点的所有直线方程．§3．3 直线的交点坐标与距离公式3．3．1 两条直线的交点坐标答案知识梳理1．相交 (x 0，y 0)2．无 1 无数作业设计1．A [化成斜截式方程，斜率相等，截距不等．]2．A [首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0．]3．B [首先联立⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y ＝102x －y ＝10，解得交点坐标为(4，－2)，代入方程ax ＋2y ＋8＝0得a ＝－1．]4．C [2x ＋3y －m ＝0在y 轴上的截距为m 3，直线x －my ＋12＝0在y 轴上的截距为12m，由12m ＝m 3得m ＝±6．] 5．D [l 1∥l 2，则1·3m ＝(m －2)·m 2，解得m ＝0或m ＝－1或m ＝3．又当m ＝3时，l 1与l 2重合，故m ＝0或m ＝－1．]6．D [设直线l 与直线y ＝1的交点为A (x 1,1)，直线l 与直线x －y －7＝0的交点为B (x 2，y 2)，因为M (1，－1)为AB 的中点，所以－1＝1＋y 22即y 2＝－3，代入直线x －y －7＝0得 x 2＝4，因为点B ，M 都在直线l 上，所以k l ＝－3＋14－1＝－23．故选D ．] 7．2解析 首先解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0x －2y ＋4＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2， 代入直线y ＝3x ＋b 得b ＝2．8．8x ＋16y ＋21＝09．(－1，－2)解析 直线方程可写成a (x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．10．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意．(2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时，设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0，即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0．据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0．令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ． ∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ解之得λ＝18，此时y ＝23x ． ∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或y ＝23x ． 11．解如图，过D ，E ，F 分别作EF ，FD ，DE 的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC 的三个顶点A ，B ，C ．由已知得，直线DE 的斜率k DE ＝1＋33＋2＝45，所以k AB ＝45． 因为直线AB 过点F ，所以直线AB 的方程为y －2＝45(x ＋1)，即4x －5y ＋14＝0．① 由于直线AC 经过点E (3,1)，且平行于DF ，同理可得直线AC 的方程5x －y －14＝0．②联立①，②，解得点A 的坐标是(4,6)．同样，可以求得点B ，C 的坐标分别是(－6，－2)，(2，－4)．因此，△ABC 的三个顶点是A (4,6)，B (－6，－2)，C (2，－4)．12．解如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A 的角平分线所在直线的交点． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1， 故A (－1,0)．又∠A 的角平分线为x 轴，故k AC ＝－k AB ＝－1，(也可得B 关于y ＝0的对称点(1，－2)．∴AC 方程为y ＝－(x ＋1)，又k BC ＝－2，∴BC 的方程为y －2＝－2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5y ＝－6， 故C 点坐标为(5，－6)．13．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－18×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3，∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫78，3．。

§2.3 直线的交点坐标与距离公式2．3.1 两条直线的交点坐标1．直线x ＝1和直线y ＝2的交点坐标是( )A ．(2,2)B ．(1,1)C ．(1,2)D ．(2,1)答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，得交点坐标为(1,2)，故选C. 2．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点坐标为( )A ．(－4，－3)B ．(4,3)C ．(－4,3)D ．(3,4) 答案 C解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3.故选C. 3．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点，且经过原点的直线的方程是( )A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．3x ＋19y ＝0D ．19x －3y ＝0 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－197，y ＝37.故过点⎝⎛⎭⎫－197，37 和原点的直线方程为y ＝－319x ， 即3x ＋19y ＝0.4．两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值是( )A ．－24B ．6C ．±6D ．24答案 C解析 因为两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，所以设交点为(0，b )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3b －k ＝0，－kb ＋12＝0，消去b ，可得k ＝±6. 5．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过一定点，这个定点是( )A ．(2,3)B ．(－2,3) C.⎝⎛⎭⎫1，－12 D ．(－2,0)答案 B 解析 直线化为a (x ＋2)－x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，－x －y ＋1＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，直线过定点(－2,3)． 6．过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________．答案 3x ＋y ＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －5＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3， 则所求直线的方程为y ＋3＝－3(x －1)，即3x ＋y ＝0.7．三条直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10,2x －y ＝10相交于一点，则实数a 的值为________． 答案 －1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y ＝10，2x －y ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，又点(4，－2)在直线ax ＋2y ＋8＝0上， 所以4a ＋2×(－2)＋8＝0，解得a ＝－1.8．已知直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋c ＝0垂直相交于点(1，m )，则a ＝________，c ＝________，m ＝________.答案 5 －12 －2解析 由两直线垂直得2a －10＝0，解得a ＝5.又点(1，m )在直线上得a ＋2m －1＝0,2－5m ＋c ＝0，所以m ＝－2，c ＝－12.9．求经过直线l 1：7x －8y －1＝0和l 2：2x ＋17y ＋9＝0的交点，且垂直于直线2x －y ＋7＝0的直线方程．解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋17y ＋9＝0，7x －8y －1＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－1127，y ＝－1327，所以交点坐标为⎝⎛⎭⎫－1127，－1327.又因为直线斜率为k ＝－12， 所以，所求直线方程为y ＋1327＝⎝⎛⎭⎫－12×⎝⎛⎭⎫x ＋1127，即27x ＋54y ＋37＝0. 10．若两条直线l 1：y ＝kx ＋2k ＋1和l 2：x ＋2y －4＝0的交点在第四象限，求k 的取值范围．解 联立两直线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，x ＋2y －4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1，∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2－4k 2k ＋1>0，6k ＋12k ＋1<0，解得⎩⎨⎧ －12<k <12，－12<k <－16， 即－12<k <－16. 则k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，－16.11．直线kx ＋y ＋1＝2k ，当k 变动时，所有直线都通过定点( )A ．(2，－1)B ．(－2，－1)C ．(2,1)D ．(－2,1) 答案 A解析 kx ＋y ＋1＝2k ，可化为y ＋1＝k (2－x )，故该直线恒过定点(2，－1)．12．若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2 答案 D解析 (1)若三条直线重合，由三条直线的方程可知a ＝1.(2)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3的交点(－a －1,1)代入l 1的方程解得a ＝1(舍去)或a ＝－2.(3)若l 1∥l 2，由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1，当a ＝1时，l 1与l 2重合．(4)若l 2∥l 3，由1×1－a ×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合．(5)若l 1∥l 3，由a ×1－1×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合．综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2.13．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________. 答案 2解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2， 代入直线y ＝3x ＋b ，得b ＝2.14．已知A (－2,4)，B (4,2)，直线l ：ax －y －2＝0与线段AB 恒相交，则a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 如图所示，直线l ：ax －y －2＝0经过定点D (0，－2)，a 表示直线l 的斜率，设线段AB 与y 轴交于点C ，由图形知，当直线l ：ax －y －2＝0与线段AB 的交点在线段CB 上时，a 大于或等于DB 的斜率，即a ≥2＋24－0＝1，即a ≥1. 当直线l ：ax －y －2＝0与线段AB 的交点在线段AC 上时，a 小于或等于DA 的斜率，即a ≤4＋2－2－0＝－3，即a ≤－3. 综上，a 的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．15．已知A (3,1)，B (－1,2)，若∠ACB 的平分线方程为y ＝x ＋1，则AC 所在直线方程为( )A ．y ＝2x ＋4B ．y ＝12x －3C ．x －2y －1＝0D ．3x ＋y ＋1＝0答案 C解析 设B 关于直线y ＝x ＋1的对称点B ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y －2x ＋1＝－1，y ＋22＝x －12＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，即B ′(1,0)．又B ′在直线AC 上， 则直线AC 的方程为y －10－1＝x －31－3，即x －2y －1＝0. 16．直线l 过定点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程． 解 方法一 设A (x 0，y 0)，由中点公式，有B (－x 0，2－y 0)，∵A 在l 1上，B 在l 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－3y 0＋10＝0，－2x 0＋2－y 0－8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4，y 0＝2， ∴k AP ＝1－20＋4＝－14， 故所求直线l 的方程为y ＝－14x ＋1， 即所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.方法二 由题易知，直线l 的斜率存在， 设所求直线l 方程为y ＝kx ＋1，l 与l 1，l 2分别交于A ，B ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝73k －1，y ＝10k －13k －1，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫73k －1，10k －13k －1； 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝7k ＋2，y ＝8k ＋2k ＋2，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫7k ＋2，8k ＋2k ＋2， ∵A ，B 的中点为P (0,1)，则有12⎝⎛⎭⎫73k －1＋7k ＋2＝0， ∴k ＝－14. 故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 方法三 设所求直线l 与l 1，l 2分别交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)为AB 的中点，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝0，y 1＋y 2＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－x 1，y 2＝2－y 1， 代入l 2的方程得2(－x 1)＋2－y 1－8＝0， 即2x 1＋y 1＋6＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－3y 1＋10＝0，2x 1＋y 1＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－4，y 1＝2， 所以A (－4,2)，由两点式可得所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.。

2021年高中数学 3.3.1两条直线的交点坐标及两点间的距离练习 新人教A 版必修2 基础梳理1．求两直线的交点坐标的方法：解方程组，以方程组的解为坐标的点就是交点．2．两点间的距离公式：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是平面直角坐标系中的两个点，则|AB |练习1：直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＝2的位置关系为平行．练习2：(1)两点A(0，－4)与B(0，－1)间的距离为3.(2)已知两点A(2，5)，B(3，7)，则|AB|(3)P(x ，y)到原点O(0，0)的距离d►思考应用如何利用方程判断两直线的位置关系？解析：只要将两条直线l 1和l 2的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. (1)若方程组无解，则l 1∥l 2；(2)若方程组有且只有一个解，则l 1与l 2相交；(3)若方程组有无数解，则l 1与l 2重合．自测自评1．直线3x ＋5y ＋1＝0与直线4x ＋3y ＋5＝0的交点是(A )A ．(－2，1)B ．(－3，2)C ．(2，－1)D ．(3，－2)2．直线x ＝1与直线y ＝2的交点坐标是(A )A (1，2)B ．(2，1)C ．(1，1)D ．(2，2)3．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过一个定点，这个定点是(B ) A ．(2，3) B ．(－2，3)C .⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．(－2，0) 解析：将直线化为a(x ＋2)＋(－x －y ＋1)＝0，故直线过定点(－2，3)．4．已知点A(a ，0)，B(b ，0)，则A ，B 两点间的距离为(D )A ．a －bB ．b －aC .a 2＋b 2D ．|a －b|5．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是(B )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：|AB|＝|AC|＝17，|BC|＝18，故△ABC 为等腰三角形．基础达标1．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标为(C )A ．(4，1)B ．(1，4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 2．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点是P (2，3)，则过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线方程是(C )A ．3x ＋2y ＝0B ．2x －3y ＋5＝0C ．2x ＋3y ＋1＝0D ．3x ＋2y ＋1＝03．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |等于(C )A.895B.175C.135D.115解析：易知A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，25，|AB |＝135. 4．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于(C )A ．5B ．4 2C ．2 5D ．210解析：设A (x ，0)，B (0，y )，由中点公式得x ＝4，y ＝－2，则由两点间的距离公式得|AB |＝（0－4）2＋（－2－0）2＝20＝2 5.5．根据图中信息写出：(1)|AB |＝________；|BC |＝________．(2)|CD |＝________；|DA |＝________．(3)|AC |＝________；|BD |＝________．(1) 5 2 2 (2) 5 2 2 (3)317巩固提升6．已知M (1，0)，N (－1，0)，点P 在直线2x －y －1＝0上移动，则|PM |2＋|PN |2的最小值为________．答案：2.47．求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．证明：证法一：对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0，令m ＝0，得x －3y －11＝0；令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －11＝0，x ＋4y ＋10＝0，得两直线的交点为(2，－3)． 将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝4m－2－3m －9－m ＋11＝0.这表明不论m 为什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．证法二：将已知方程以m 为未知数，整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0.由于m 取值的任意性，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，－x ＋3y ＋11＝0， 解得x ＝2，y ＝－3.所以所给的直线不论m 取什么实数，都经过一个定点(2，－3)．8．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－3，1)，B (3，－3)，C (1，7)．(1)求BC 边上的中线AM 的长；(2)证明△ABC 为等腰直角三角形．(1)解析：设点M 的坐标为(x ，y )，∵点M 为BC 边的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12＝2，y ＝－3＋72＝2，即M (2，2)，由两点间的距离公式得：|AM |＝（－3－2）2＋（1－2）2＝26.∴BC 边上的中线AM 长为26.(2)证明：由两点间的距离公式得|AB |＝（－3－3）2＋（1＋3）2＝213，|BC |＝（1－3）2＋（7＋3）2＝226，|AC |＝（－3－1）2＋（1－7）2＝213，∵|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |，∴△ABC 为等腰直角三角形．9．(1)求与点P (3，5)关于直线l ：x －3y ＋2＝0对称的点P ′的坐标．(2)已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 1的方程．解析：(1)设P ′(x 0，y 0)，则k PP ′＝y 0－5x 0－3， PP ′中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋32，y 0＋52. ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0－5x 0－3·13＝－1，x 0＋32－3×y 0＋52＋2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝5，y 0＝－1. ∴点P ′坐标为(5，－1)．(2)当直线l 1的斜率不存在时，方程为x ＝1，此时l 1与l 的交点B 的坐标为(1，4)． |AB |＝（1－1）2＋[4－（－1）]2＝5符合题意．当直线l 1的斜率存在时，设为k .则k ≠－2，∴直线l 1为y ＋1＝k (x －1)，则l 1与l 的交点B 为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，2（2k －1）k ＋2， ∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2（2k －1）k ＋2＋12＝5. 解得k ＝－34，∴直线l 1为3x ＋4y ＋1＝0. 综上可得l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.1．关于两条直线相交的判定：(1)两直线组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．注意两直线的斜率一个存在，另一个不存在时，两直线也相交．2．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离公式适用于坐标系中的任意两点．3．对于特殊情况，可结合图形求解．(1)P1P2平行于x轴时，y1＝y2，|P1P2|＝|x2－x1|；(2)P1P2平行于y轴时，x1＝x2，|P1P2|＝|y2－y1|；(3)P1，P2在直线y＝kx＋b上时，|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝（x2－x1）2＋（kx2－kx1）2＝1＋k2·|x2－x1|.27834 6CBA 沺27388 6AFC 櫼 23454 5B9E 实25517 63AD 掭26133 6615 昕^38550 9696 隖b34085 8525 蔥`29174 71F6 燶39443 9A13 験。

3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离选题明细表知识点、方法题号两直线的交点2,7,9两点间的距离1,3,6对称问题4,10综合应用问题5,8,11,12,13基础巩固1.已知A(-1,0),B(5,6),C(3,4),则的值为( D )(A)(B)(C)3 (D)2解析:由两点间的距离公式,得|AC|==4,|CB|==2,故==2.2.两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值为( C )(A)-24 (B)6 (C)±6 (D)24解析:在2x+3y-k=0中,令x=0得y=,将(0,)代入x-ky+12=0,解得k=±6.3.已知△ABC的顶点A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则△ABC的周长是( C )(A)2 (B)3+2(C)6+3 (D)6+解析:|AB|==3,|BC|==3,|AC|==3,则△ABC的周长为6+3.故选C.4.点P(2,5)关于直线x+y=0的对称点是( C )(A)(5,2) (B)(2,5)(C)(-5,-2) (D)(-2,5)解析:设P(2,5)关于x+y=0的对称点为(a,b),则解得5.已知A(3,-1),B(5,-2),点P在直线x+y=0上.若使|PA|+|PB|取最小值,则P点的坐标为( C )(A)(1,-1) (B)(-1,1)(C)(,-) (D)(-2,2)解析:点A(3,-1)关于直线x+y=0的对称点为A′(1,-3),连接A′B,则A′B与直线x+y=0的交点即为所求的点,直线A′B的方程为y+3=(x-1),即y=x-,与x+y=0联立,解得x=,y=-,故P点的坐标为(,-).6.已知A(1,5),B(5,-2),在x轴上的点M与A,B的距离相等,则点M的坐标为.解析:设M(x0,0)由|AM|=|BM|得=,解得x0=.即2x+y+2=0.答案:(,0)7.过两直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点,且垂直于直线x-2y+4=0的直线方程为.解析:由得所以交点(-2,2)又知所求直线的斜率为-2,由点斜式得y-2=-2(x+2).即2x+y+2=0.答案:2x+y+2=08.若三条直线l1:x-y=0,l2:x+y-2=0,l3:5x-ky-15=0能构成一个三角形,求k的取值范围.解:①当l1∥l3时知k≠0且有=1,所以有k=5.②当l2∥l3时知k≠0且有=-1,所以有k=-5.③当l1,l2,l3三线交于一点时,解方程组得故直线l1与l2相交于点(1,1).又l3过点(1,1),所以有5×1-k-15=0,所以有k=-10.综上可知,要使三条直线构成一个三角形,需有k≠±5且k≠-10.能力提升9.直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0(k∈R)所经过的定点是( B )(A)(5,2) (B)(2,3)(C)(-,3) (D)(5,9)解析:由(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0,得k(2x-y-1)-x-3y+11=0,由得所以直线过定点(2,3).10.直线l:x+2y-1=0关于点(1,-1)对称的直线l′的方程为( C )(A)2x-y-5=0 (B)x+2y-3=0(C)x+2y+3=0 (D)2x-y-1=0解析:由题意得l′∥l,故设l′:x+2y+c=0,在l上取点A(1,0),则点A(1,0)关于点(1,-1)的对称点是A′(1,-2),所以1+2×(-2)+c=0,即c=3,故直线l′的方程为x+2y+3=0,故选C.11.过点P(3,0)作一直线l,使它被两直线l1:2x-y-2=0和l2:x+y+3=0所截的线段AB以P为中点,则此直线l的方程是. 解析:设l1上的点A的坐标为(x1,y1),因为P(3,0)是线段AB的中点,所以l2上的点B的坐标为(6-x1,-y1),所以解得所以点A的坐标为(,),由两点式可得l的方程为8x-y-24=0.答案:8x-y-24=012.在x轴上求一点P,使得:(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值;(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值.解:如图.(1)直线BA与x轴交于点P,此时P为所求点,且|PB|-|PA|=|AB|==5.因为直线BA的斜率k BA==-,所以直线BA的方程为y=-x+4.令y=0得x=,即P(,0).故距离之差最大值为5,此时P点的坐标为(,0).(2)作A关于x轴的对称点A′,则A′(4,-1),连接CA′,则|CA′|为所求最小值,直线CA′与x轴交点为所求点.又|CA′|==,直线CA′的斜率k CA′==-5,则直线CA′的方程为y-4=-5(x-3).令y=0得x=,即P(,0).故A与C距离之和最小值为,此时P点的坐标为(,0).探究创新13.(1)已知点P是平面上一动点,点A(1,1),B(2,-2)是平面上两个定点,求|PA|2+|PB|2的最小值,并求此时P的坐标. (2)求函数f(x)=+的最小值.解:(1)设P(x,y)(x∈R,y∈R)则|PA|=,|PB|=,所以|PA|2+|PB|2=(x-1)2+(y-1)2+(x-2)2+(y+2)2=2x2-6x+5+2y2+2y+5= 2(x-)2+2(y+)2+5,所以x=,y=-时|PA|2+|PB|2最小.故|PA|2+|PB|2最小值为5,此时P(,-).(2)如图f(x)=+=+.设A(2,3),B(6,1),P(x,0),则上述问题转化为求|PA|+|PB|的最小值.点A关于x轴的对称点A′(2,-3),因为|PA′|+|PB|≥|A′B|=4, 所以|PA|+|PB|≥4.所以f(x)的最小值为4.。

3.3.1 两条直线的交点坐标一、基础过关1．两直线2x －y ＋k ＝0和4x －2y ＋1＝0的位置关系为( )A ．垂直B ．平行C ．重合D ．平行或重合2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝03．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．以上答案均不对5．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________. 6．已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0，则直线l 的方程是______________．7．判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标． (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0； (3)l 1：x －y ＋1＝0，l 2：2x －2y ＋2＝0.8．求经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且在y 轴上的截距为在x 轴上截距的两倍的直线l 的方程． 二、能力提升9．若两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点位于第二象限，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－32，2 B ．(0,2) C.⎝⎛⎭⎫－32，0D.⎣⎡⎦⎤－32，2 10．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.32B.23C ．－32D ．－2311．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．12．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的角平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．三、探究与拓展13．一束平行光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线与直线l 的交点坐标．答案1．D 2．A 3.B 4．C 5．26．8x ＋16y ＋21＝07．解 (1)21≠1－2，所以方程组有唯一解，两直线相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)12＝12≠23，所以方程组没有解，两直线平行． (3)12＝－1－2＝12，方程组有无数个解，两直线重合． 8．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时， 设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0， 即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0. 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0.令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ.∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ 解之得λ＝18，此时y ＝23x .即2x －3y ＝0.∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或2x －3y ＝0. 9．A 10．D 11．(－1，－2)12．解 如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1， 故A (－1,0)．又∠A 的角平分线为x 轴， 故k AC ＝－k AB ＝－1，∴AC 所在直线方程为y ＝－(x ＋1)，又k BC ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －2＝－2(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－6， 故C 点坐标为(5，－6)．13．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得 ⎩⎨⎧b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－18×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3，∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫78，3.。

两条直线的交点坐标 同步练习一、选择题1、若三条直线：0832=++y x ，0=-y x ，和054=++ky x 相交于一点，则k 的值 等于（ ） A. –2 B. 21-C. 2D. 21 2、已知方程0||=-y x a 和0=+-a y x )0(>a 所确定的曲线有两个交点，则a 的取值范围是（ ） A. 0>a B. 10<<a 或1>a C. 1>a D. 10<<a3、. 两直线ax ＋y －4＝0与x －y －2＝0相交于第一象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．－1＜a ＜2B ．a ＞－1C ．a ＜2D ．a ＜－1或a ＞24、如果{}{}φ==++⋂=++01|),(0|),(ay x y x b y ax y x ，则（ ）A. 1=a 且 1≠bB. 1=a 且 1-≠bC. 1±=a 且 1±≠bD. 1=a 且 1≠b 或1-=a 且 1-≠b5、设两直线l 1与l 2的方程分别为x ＋y 1－cos α ＋b ＝0，xsin α＋y 1+cos α －a ＝0，（a ，b 为常数，α为第三象限角），则l 1与l 2 （ ）A ．平行B ．垂直C ．平行或重合D ．相交但不一定垂直二、填空题6、直线0243=-+y x 和022=++y x 的交点坐标为__________________.7、已知P （-3，-1），Q （4，6），线段PQ 与直线0523=-+y x 交于点，则M 分PQ 的比为__________________.8、两条直线032:1=-+k y x l 和012:2=+-ky x l 的交点在y 轴上，则=k __________________.9、经过直线053:1=++y x l 和072:2=+-y x l 的交点及A （2，1）的直线l 的方程是__________________.10、已知菱形ABCD 的相对顶点A （1，-2），C （-2，-3），则对角线BD 所在的直线方程为__________________.三、解答题11、已知直线1l 过)1,0(1-P ，)0,2(2P 两点，直线01:2=-+y x l ，求1l 与2l 的交点坐标。