行测MBA数学容斥问题根解法

行测备考之容斥问题上海市考即将来临，面对行测试卷中的数量关系，很多考生觉得自己数学基础较弱选择全部放弃。

但是数量关系的题量、分值真实存在，大家要克服心理障碍，接受数量关系，由浅及深，不断突破。

在数量关系中有一些较简单易得分的知识点包括容斥、鸡兔同笼、整除、利润等。

今天我们先来学习容斥问题，所谓容斥，从字面意思上理解，就是包容与排斥，容斥问题的本质是研究集合与集合之间的关系。

一、方法1.文氏图法：利用有着重叠区域的圆圈来表示不同的集合，每个区域代表不同的概念。

2.公式法：常见题型有可以直接代入的公式，公式法直观且节省时间，只需明确核心为“保留为一层”。

二、题型（一）两者容斥公式：I=A+B-A∩B+Y例题：40人参加期末考试，某科目只有理论和实验均及格方为通过。

在理论考试中有34人及格，实验有32人及格，两次考试中，都没有及格的有4人。

通过该考试的有多少人？A.30人B.32人C.34人D.36人中公解析：设既没通过理论考试又没通过实验的人数为x，根据两者容斥公式得：34+32-x+4=40，解的x=30，因此选择A。

（二）三者容斥公式1：I=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+x公式2：I=A+B+C-两者交集-2×三者交集+x例题1：18名游泳运动员中，有8名参加仰泳，有10名参加蛙泳，有12名参加自由泳，有4名既参加仰泳又参加蛙泳，有6名既参加蛙泳又参加自由泳，有5名既参加仰泳又参加自由泳，有2名这三个项目都参加。

三个项目都没有参加的有多少名？A.1人B.2人C.3人D.0人中公解析1：利用公式I=A∪B∪C+x=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+x，本题要求的是x，把数据代入公式18=8+10+12-4-6-5+2+x，解得x=1，因此选择A。

例题2：对某儿童服装生产厂的52件儿童衣物进行质量抽检，其中有8件衣物纤维含量不合格，10件衣物的PH值不达标，9件衣物不符合绳带安全要求，两项都不合格的有7件，有1件产品这三项都不合格。

行测数学运算16种题型之容斥原理问题核心公式：（1）两个集合的容斥关系公式：A＋B＝A∪B＋A∩B（2）三个集合的容斥关系公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C【例1】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。

其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：A．22人 B．28人 C．30人 D．36人【解析】设A＝喜欢看球赛的人（58），B＝喜欢看戏剧的人（38），C＝喜欢看电影的人（52）A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18）B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16）A∩B∩C＝三种都喜欢看的人（12）A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100）根据公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩CC∩A＝A＋B＋C－（A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C）＝148－（100＋18＋16－12）＝26所以，只喜欢看电影的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C＝52－16－26＋12＝22【例2】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )。

A.22B.18C.28D.26【解析】设A＝第一次考试中及格的人(26)，B＝第二次考试中及格的人(24)显然，A＋B＝26＋24＝50；A∪B＝32-4＝28，则根据公式A∩B＝A＋B-A∪B＝50-28＝22所以，答案为A。

【例3】某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有( )人A.57B.73C.130D.69【解析】设A＝会骑自行车的人(68)，B＝会游泳的人(62)显然，A＋B＝68＋62＝130；A∪B＝85-12＝73，则根据公式A∩B＝A＋B-A∪B＝130-73＝57所以，答案为A。

行测数量关系容斥问题引言：在行测考试中，数量关系容斥问题是一个常见的考点。

掌握了该问题的解题方法，能够帮助考生更好地应对这一类题型。

本文将从概念、解题思路以及实例分析等方面进行详细讲解，以帮助考生更好地理解和掌握数量关系容斥问题。

一、概念解释：数量关系容斥问题是指在求解满足多个条件的情况数量时，通过排除重复计数的方法来得到准确结果。

其基本思想是通过理清各个条件的关系，累加满足每个条件的情况数量，然后再减去同时满足不止一个条件的情况数量，以得到最终结果。

二、解题思路：1.理解问题要求：首先，要明确问题所要求的情况数量。

通常情况下，此类问题要求计算满足多个条件的情况数量。

2.列出条件：将题目中给出的条件进行列举，每个条件单独列成一行。

3.计算满足每个条件的情况数量：对于每个条件，可以单独计算满足该条件的情况数量。

这可以通过排列组合、分类讨论等方法来计算。

4.累加满足每个条件的情况数量：将每个条件满足的情况数量累加起来，得到初步的结果。

5.减去同时满足不止一个条件的情况数量：根据容斥原理，需要减去同时满足不止一个条件的情况数量，以避免重复计数。

通过分类讨论或使用其他方法计算同时满足不止一个条件的情况数量。

6.得到最终结果：将初步结果减去同时满足不止一个条件的情况数量，即可得到最终的结果。

三、实例分析：下面通过一个实例来进一步说明解题思路。

例题：某校有甲、乙、丙三位老师，每位老师选择在星期一至星期五中任意一天进行家访。

如果每位老师至少选择一天进行家访，那么共有多少种家访方式？条件：1.甲、乙、丙三位老师任选一天进行家访；2.甲、乙、丙三位老师至少选择一天进行家访。

解题思路：1.理解问题要求：题目要求计算满足两个条件的家访方式数量。

2.列出条件：条件1：甲、乙、丙三位老师任选一天进行家访；条件2：甲、乙、丙三位老师至少选择一天进行家访。

3.计算满足每个条件的情况数量：条件1满足的情况数量为3（每个老师有5种选择，共有3个老师）；条件2满足的情况数量为5^3-1（每个老师有5种选择，减去同时不选择任意一天的情况数量）。

行测数量关系技巧：容斥问题求极值在考场上人与人拉开差距的除了平常的知识点的积累，还有面对考试题型能够有一个更好的解答思路，下面为你精心准备了“行测数量关系技巧：容斥问题求极值”，持续关注本站将可以持续获取的考试资讯！行测数量关系技巧：容斥问题求极值对于绝大部分考生而言，行测数量关系一直是比较难的专项，但是要想真正在笔试中遥遥领先数量部分还是要去攻破的。

因此，针对数量所考察的所有题型我们也要由易到难的逐步攻破，在考场考试时学会挑出自己平时擅长的题型先入手。

所以，今天就给大家分享下容斥这一考点。

容斥问题常规的考点有二者容斥和三者容斥问题，利用一些公式以及文氏图能够轻松地解决。

今天我们就把这个题型深入挖掘探讨。

容斥问题也会涉及到求极值的问题，接下来我们就以题目为例讲解下容斥中求极值问题怎么处理。

例题1、某一学校有500人，其中选修数学的有359人，选修文学的有408人，那么两种课程都选的学生至少有多少人?A.165B.203C.267D.199【答案】C。

读完题目我们就能判断出考察容斥问题中的二者容斥问题，但是有涉及到求极值问题。

解极值问题我们可以通过逆向思维来求解，题目要求两种课程都选的至少，即求没选课程的人数最多。

通过这个表格我们可以得出要想不选课程的人数最多，即未选数学的141人和未选文学的92人不重复，因此不选课程的人数最多为141+92，因此题目所求的两种都选的最少=500-(141+92)=267人，故选C。

例题2、阅览室有100本杂志。

小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，小刘借阅过60本，则三人共同借阅过的杂志最少有()本。

A.5B.10C.15D.30【答案】A。

读完题目我们也可以判断出事考察三者容斥中的极值问题，那么我们也可以利用逆向思维来求解，所以我们也能知道未借阅的杂志最多=25+30+40，那么题目所求=100-(25+30+40)=5，因此选A。

通过这2道例题的讲解我们了解到容斥问题的极值问题其实也可以很简单，求N部分都包含的至少=(A+B+C+D+...+N)-(N-1)×I，后期我们碰到这样的问题直接带入公式求解就可以啦。

行测容斥问题公式行测中的容斥问题可是个有趣的“家伙”，在考试中时不时就会冒出来，给咱们考生带来点小挑战。

咱们先来说说啥是容斥问题。

简单来讲，容斥问题就是研究集合之间重叠部分的情况。

比如说，一个班级里喜欢数学的有一部分同学，喜欢语文的有一部分同学，那么既喜欢数学又喜欢语文的同学有多少呢？这就是一个典型的容斥问题。

容斥问题有几个常用的公式。

两集合容斥公式：A∪B = A + B -A∩B。

这就好比有两个盒子，一个装苹果，一个装香蕉。

把两个盒子里的水果都放到一个大筐里，总数就是两个盒子里水果数的和，减去两个盒子里都有的那种水果（比如既是苹果又是香蕉的水果）。

再说说三集合容斥公式，标准型：A∪B∪C = A + B + C - A∩B -B∩C - C∩A + A∩B∩C 。

这个公式看起来有点复杂，其实就是把三个集合的数量加起来，然后减去两两重叠的部分，再把三个都重叠的部分加回来。

打个比方，咱就说班级里的兴趣小组，有数学小组、语文小组和英语小组。

数学小组有多少人，语文小组有多少人，英语小组有多少人，这都好算。

但是有些同学既参加了数学又参加了语文，有些既参加了语文又参加了英语，有些既参加了数学又参加了英语，还有些同学三个小组都参加了。

要算出班级里一共参加兴趣小组的人数，就得用这个公式。

还有个非标准型的三集合容斥公式：A∪B∪C = A + B + C - 只属于两个集合的 - 2×属于三个集合的。

这个公式呢，理解起来也不难。

还是拿兴趣小组举例，咱们先把三个小组的人数加起来，然后把重复算的只属于两个小组的人数减掉，但是属于三个小组的人数被多减了一次，所以要再加上两倍的属于三个小组的人数。

我记得之前有个学生，在做容斥问题的时候，那叫一个头疼。

题目是这样的：一个班级有 50 名同学，参加数学竞赛的有 25 人，参加语文竞赛的有20 人，其中有10 人既参加了数学竞赛又参加了语文竞赛，问班级里参加竞赛的总人数是多少。

容斥原理公式行测容斥原理公式在行测中的应用那可是相当重要的哟！咱先来说说啥是容斥原理。

简单来讲，就是在计算多个集合的总数或者某个集合元素的数量时，要把重复计算的部分去掉，把遗漏的部分补上。

这就好比你去超市买水果，苹果、香蕉、橙子都想买，但有的水果可能被你算了两次，这时候就得用容斥原理来算清楚到底买了多少种、多少个水果。

容斥原理公式主要有两个，一个是两集合的容斥原理公式，另一个是三集合的容斥原理公式。

两集合的容斥原理公式是：A∪B = A + B - A∩B 。

比如说，一个班级里喜欢数学的有 30 人，喜欢语文的有 25 人，既喜欢数学又喜欢语文的有 10 人，那这个班级里喜欢数学或者喜欢语文的同学总数就是 30 + 25 - 10 = 45 人。

三集合的容斥原理公式就稍微复杂点，有标准型和非标准型。

标准型是：A∪B∪C = A + B + C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C 。

非标准型是：A∪B∪C = A + B + C - 只属于两个集合的元素 - 2×属于三个集合的元素。

给您举个例子吧，就说咱公司组织活动，有喜欢爬山的，有喜欢游泳的，还有喜欢骑自行车的。

喜欢爬山的有 50 人，喜欢游泳的有 40 人，喜欢骑自行车的有 30 人，既喜欢爬山又喜欢游泳的有 15 人，既喜欢游泳又喜欢骑自行车的有 10 人，既喜欢爬山又喜欢骑自行车的有8 人，三个都喜欢的有 3 人。

那用标准型公式来算，参加活动的总人数就是 50 + 40 + 30 - 15 - 10 - 8 + 3 = 90 人。

在行测考试中，容斥原理的题目经常出现，而且形式多种多样。

有的是让你直接用公式计算人数，有的是通过给出一些条件让你推导某个集合的元素数量，还有的会把容斥原理和其他知识点结合起来考，比如概率问题、最值问题等等。

我之前有个朋友考行测，就碰到了一道容斥原理的题目，他当时没搞清楚，结果在这道题上浪费了好多时间，最后也没做对。

⾏测数字推理：双剑合璧破容斥 容斥常见的题型分为，两者容斥，三者容斥和容斥极值。

⼩编为⼤家提供⾏测数字推理：双剑合璧破容斥，⼀起来复习⼀下吧！祝⼤家备考顺利！ ⾏测数字推理：双剑合璧破容斥 容斥问题，是公考⾏测数量关系中常考的题型。

所谓容斥问题，本质是考察对集合间关系的理解。

常见的题型分为，两者容斥，三者容斥和容斥极值。

⼩编⽤两⼤⽅法——图⽰法和公式法，帮助考⽣精准作答。

⼀、两者容斥： 例：某班有60⼈，参加物理竞赛的有30⼈，参加数学竞赛的有32⼈，两科都没有参加的有20⼈。

同时参加物理、数学两科竞赛的有多少⼈? 【解析】：从题⼲中得知，“物理竞赛”和“数学竞赛”两个集合存在交叉关系，属于容斥问题，不妨画图分析⼀下。

⽤封闭曲线表⽰各个集合的位置关系，集合A表⽰参加物理竞赛，B表⽰参加数学竞赛，I表⽰全班，m表⽰都没有参加的。

如下图， 三者容斥与⼆者容斥相⽐，题⼲数据更多，对应计算关系更加复杂，考⽣应注重公式的理解和数据的对应，⽅能快速作答。

三、容斥极值： 例1：在100名学⽣中，体育爱好者68⼈，⾳乐爱好者46⼈，两个都爱好的最少有多少⼈? 例2：⼩明、⼩红、⼩哲三⼈参加⼀次考试，题⽬共有100道，现已知⼩明做对了68题，⼩红做对了73道题，⼩哲做对了75道题，则三⼈都做对了⾄少多少道题? 例3：有45⼈参加四项⽐赛，统计参加⼈四个项⽬分别有38、40、32、35⼈参加，则⾄少有多少⼈四项都参加? 【解析】：容斥中的极值问题，所求为多个集合公共部分的最⼩值。

对于此类题⽬直接套⽤公式： n个集合交集的最⼩值=n个集合的和-(n-1)全集。

例1解答，68+46-100=14，都爱好的⾄少14⼈; 例2解答，68+73+75-2×100=16，都做对的⾄少16题; 例3解答，38+40+32+35-3×45=10，都参加的⾄少10⼈。

对于容斥极值问题，基本思路是利⽤公式进⾏推导，常见题型中，则只需记住对应的公式即可求解。

行测备考三集合容斥非标准公式原理容斥原理一直都是各省行测考试的重点，尤其是三集合容斥原理，屡出不穷。

这次，小编带领大家一起来好好的看看目前的有关三集合容斥原理的题型概况和通用思路。

三集合容斥原理按题型可以分为两种题型，一种为标准型公式，另一种为变异型公式，接下来，我们就着重看看三集合容斥原理的解题方法1.解题步骤涉及三个事件的集合，解题步骤分三步：①画文氏图;②弄清图形中每一部分所代表的含义，填充各部分的数字;③代入公式(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C)进行求解。

2.解题技巧三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。

公式：总数=各集合数之和-两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数【例1】（陕西2015）针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有（）人。

A.20B.18C.17D.15【解析】可以用上述公式，我们将数据逐个代入可得：28＋30＋42－8－10－5＋3＝100－x，其中x为我们要求的量，求得x＝20，答案选择A。

【例2】（国家2015）某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。

调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷？（）A.310B.360C.390D.410【解析】由于题目中出现了“使用其中两种的有24人”，故我们要使用的就是三集合的变异型公式，如下列式：179＋146＋246－1×24－2×115＝x－52，此时，我们分析一下可以看出，我们所求的x为收回的问卷数量，而题目所求为发出的问卷，明显所求非所问，但是题目中有个条件为“问卷回收率为90%”，故我们将所求的x÷90%即所求的答案，通过列式可得x=369，故发出的问卷为369÷90%=410，故选D。

2018年国考行测指导：二者容斥问题解题技巧公务员考试频道为您整理《2018年国考行测指导：二者容斥问题解题技巧》，希望广大考生们都能及时报考2018年国家公务员考试，并好好复习，通过考试!2018年国考行测指导：二者容斥问题解题技巧在我们公务员考试的过程中，容斥问题是行测数量关系中比较常考的一道题。

这类题型总是令很多考生头疼不已，因为容斥问题看起来复杂多变，让考生一时找不到头绪。

但是这类题还是有着非常明显的内在规律，只要大家能够掌握该题型的内在规律，看似复杂的问题就能迎刃而解。

对于二者容斥问题一般可以用文氏图或者直接用公式来解决，下面总结一下二者容斥的公式。

容斥问题是一种计数类问题，在计数的过程中重点是每个部分只能计一次，不能重复，如下图I表示全集也就是总数，A、B表示两个集合，A、B重叠的部分我们叫做集合的交集，用A∩B表示，Y表示在整体中但不在A、B里面的部分，那么全集I就可以表示成A+B-A∩B+Y，这就是二者容斥的简单公式。

【例1】公司某个部门有80%的员工有硕士以上学历，有50%的员工有销售经验，该部门既有硕士以上学历，又有销售经验的员工至少占员工的( )?A 20%B 30%C 40%D 50%【答案】选B【解析】此题考查的是二者容斥极值问题，求两个集合交集的最小值，用两个集合相加减去全集，所求=80%+50%-100%=30%。

【例2】现有50名学生都做物力、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( )A 27人B 25人C 19人D 10人【答案】选B【解析】根据二者容斥的公式直接带入数值，两种实验都做对的=(40+31+4)-50=25。

【例3】体育课上老师要求全班50名同学按顺序报数，报4的倍数的同学向后转，报6的倍数的同学再向后转，那么现在面向老师的有几人( )A 26人B 30人C 34人D 38人【答案】选D【解析】在报数之后面向老师的学生分为两类，一类是报的数字既不是4也不是6的倍数，一类是报的数字既是4也是6的倍数的同学。

行测考试数学运算之容斥问题解题技法容斥是一种计数方法，它是能够避免重复和遗漏计数的一种方法。

而解决容斥问题我们常借助的一种工具叫做文氏图（如下图1），方法是全集I等于每一部分的面积加和。

图1：全集I=四个部分面积的加和那么接下来我们一起学习一下如何用文氏图解容斥问题。

一、两者容斥问题例：幼儿园有100个小朋友，有50个小朋友穿的是粉上衣，有60个小朋友穿的蓝裤子，又有20个小朋友即没有穿粉上衣也没有穿蓝裤子。

那么一共有多少小朋友既穿粉上衣又穿蓝裤子？解析：我们来画文氏图如果我们用50+60，那么我们会发现，途中空白部分就被加了两次，所以要减去一次而这一部分正是我们要求的既穿粉上衣又穿蓝裤子的小朋友数量，所以我们设这一部分为x，然后再加上外面的20就等于全集100，所以我们列式100=50+60-x+20，解得x=30即为所求。

二、三者容斥问题例：幼儿园有100个小朋友，有50个小朋友穿的是粉上衣，有60个小朋友穿的蓝裤子，40个穿红皮鞋，有30个既穿粉上衣又穿蓝裤子，有30个小朋友既穿蓝裤子又穿红皮鞋，有30个小朋友既穿粉上衣又穿红皮鞋，又有20个小朋友什么都没穿。

那么一共有多少小朋友既穿粉上衣又穿蓝裤子又穿红皮鞋？解析：我们同样先画文氏图。

我们用50+60+40，那么中间1、2、3这三个部分被加了两次，4这部分被加了3次，所以我们要把这4部分变为1层。

50+60+40-30-30-30,此时中间4这部分的3层全部被减没了，那么我们就需要补回一层，而这一部分正好是我们要求的部分，所以设为 x，50+60+40-30-30-30+x此时计算的是三个圆的覆盖面积，再加上外面的20 就等于全集100，所以列式为 100=50+60+40-30-30-30+x+20，解得x=20即为所求。

同学们理解的怎么样？还是相对比较容易的吧！那我们就趁热打铁，一起来做一道题巩固一下吧。

例题：如图所示，每个圆纸片的面积都是36，圆纸片A与B，B与C，C与A的重叠部分面积分别为7、6、9，三个圆纸片覆盖的总面积为88，则途中阴影部分的面积为（）。