七年级数学上册3.3勾股定理应用教学设计鲁教版五四制

《勾股定理的应用举例》教案教学目标教学知识点能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.能力训练要求1、学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.2、在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.情感与价值观要求：1、通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2、在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学.教学重点难点重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题.难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题. 教学过程1、创设问题情境，引入新课前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC＝12米，BC＝5米，AB是梯子的长度.所以在Rt △ABC中，AB2＝AC2＋B C2＝122＋52＝132；AB＝13米.所以至少需13米长的梯子.2、讲授新课：①蚂蚁怎么走最近？A BA B出示问题：有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面上圆的周长等于18cm ．在圆行柱的下底面点A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，沿圆柱侧面爬行的的最短路程是多少？(1)自己做一个圆柱，尝试从A 点到B 点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？(小组讨论)(2)如图1-12，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A 点到B 点的最短路线是什么？你画对了吗？(3)蚂蚁从A 点出发，想吃到B 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(学生分组讨论，公布结果)我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形，好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA ′将圆柱的侧面展开(如下图).我们不难发现，刚才几位同学的走法：(1)A →A ′→B ； (2)A →B ′→B ；(3)A →D →B ； (4)A →B .哪条路线是最短呢？你画对了吗？第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.②做一做李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD 和边BC 是否分别垂直于底边AB ，但他随身只带了卷尺.(1)你能替他想办法完成任务吗？(2)李叔叔量得边AD 长是30cm ，边AB 长是40cm ，边BD 长是50cm ，AD 边垂直于AB 边吗？为什么？(3)小明随身只有一个长度为20cm 的刻度尺，他能有办法检验边AD 是否垂直于边AB 吗？边BC 与边AB 呢？也就是要检测∠DAB ＝90°，∠CBA ＝90°.连结BD 或AC ，也就是要检测△DAB 和△C BA 是否为直角三角形.很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题.解答：(2) ∴AD 和AB 垂直.③随堂练习(1)甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以6km /h 的速度向正东行走.1时后乙出发，他以5km /h 的速度向正北行走.上午10∶00，甲、乙两人相距多远？分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.解：(如图)根据题意，可知A 是甲、乙的出发点，10∶00时甲到达B 点，则AB ＝2×6＝12(km )；乙到达C 点，则AC ＝1×5＝5(km).在Rt △ABC 中，BC 2＝AC 2＋AB 2＝52＋122＝169＝132，所以BC ＝13km .即甲、乙两人相距13km .例题：1、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？我们可以将这个实际问题转化成数学模型.解：如图，设水深为x 尺，则芦苇长为(x ＋1)尺，由勾股定理可求得(x ＋1)2＝x 2＋52，x 2＋2x ＋1＝x 2＋25解得x ＝12则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.2、某隧道的界面是一个半径为4.2m 的半圆形，一辆高3.6m ,宽3m的卡250040302222=+=+AB AD 25002=BD 222BD AB AD =+∴车能通过该隧道吗？课时小结这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型.课后作业课本习题3.4、3.5.。

鲁教版五·四制《3.1探索勾股定理（1）》教学设计案例名称3.1 探索勾股定理（1）（鲁教版五·四制）七年级教学目标知识与技能：（1）经历探索、验证勾股定理的过程，由测量猜想勾股定理，再由方格纸验证勾股定理；（2）会运用勾股定理计算直角三角形中未知边的长.过程与方法：经历利用三角形卡片进行测量，从“数”的角度猜想直角三角形三边关系，接着借助方格纸从“形”的角度进一步验证，进而得到勾股定理并会简单应用.情感、态度与价值观：教师组织学生在活动中大胆猜想、严格论证、合作学习,培养学生努力解决问题的进取心,体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气.在探索勾股定理的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力，初步形成多角度思考问题的意识.教学重点难点重点：勾股定理的探索和验证以及勾股定理的应用.难点：勾股定理的验证和应用.课前准备分发学案，学具，板书需要用到的图形教学过程教学内容双边活动设计意图情境导入视频《改革开放后深圳的变化发展》120米50米你能求出深圳湾大桥上斜塔的长度吗？时间2分钟学生活动：观看视频师：你能求出深圳湾大桥上斜塔的长度吗？直角三角形中，三边具有怎样的关系呢？由《改革开放后深圳的变化发展》导入新课，出示斜塔问题，能更好引起学生学习兴趣.使学生感受到勾股定理与我们息息相关；讲授新课第一部分玩转纸片初探究两人一张直角三角形卡片，动手操作进行测量，猜想直角三角形三边关系要求：积极测量、计算，合作完成表格。

时间：3分钟学生活动：2人小组合作学生测量并计算各边长的平方，完成表格，小组展示成果师：哪位同学给大家分享一下你们的表格？（汇总表格）观看三组数据，请同学们猜想直角三角形中三边平方关系，哪位同学来回答？活动效果：第1组：同桌2人，一人说a、b、c三边的测量结果，另一人说三边平方的计算结果。

第2组、第3组补充：不同的测量和计算结果的数据展示。

猜想：一位同学直角三角形中，1.通过动手测量、计算、填表，让学生从“数”的角度猜想三边关系,学生可带着问题进行交流，提升了学习效率。

勾股定理的应用举例●教材分析：本节位于七年级上册教材第三章第3节，在前面学习了应用勾股定理及勾股定理的逆定理的基础之上进行的探究勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，学生能够通过简单操作发现在圆柱侧面找最短路径方法，会利用勾股定理解决问题，初步感受应用勾股定理解决问题的思路，为后面探究它的应用做铺垫●学情分析：学生对于勾股定理是一个新的认识，初二的学生对于符号语言不是很规范，所以在讲解时，注意扮演步骤。

且本节课的内容较难，所以一定要让学生多动手操作，引导他们多发现问题，多交流●教学目标学习目标：应用勾股定理及勾股定理的逆定理解决实际问题，能力目标：1、通过解决实际问题，培养学生分析问题，解决问题的能力，进一步发展学生的应用意识2、动手操作实践的过程中，探索发现立体图形中求两点距离最短的方法，渗透转化的数学思想。

情感目标：1、应用定理解决问题时，感受勾股定理的奥妙2、在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识和合作交流的习惯●教学重点：利用勾股定理求立体图形侧面两点的最短距离●教学难点：如何把立体图形侧面转化为平面图形●教学方法：启发、诱导法.动手操作以及学生的互动合作相结合.●教学工具：圆柱体，多媒体，导纲●教学过程：是上底面的直径。

点我们叫上下两底面的相对点。

你能沿侧面画出连接A,C的最短的五、探究活动二：勾股定理的逆运用六、硕果飘香——小结你知道了什么知识？你体会了什么数学思想？你还有疑问吗？七、拓展提高：一个长方体盒子，它的长、宽、高分，8cm，12cm，一只蚂蚁想沿侧面从盒底的点A爬到盒顶的点，最短路径是多少？九、布置作业作业：勾股定理的应用举例（1）教学设计。

《勾股定理的应用举例》教学设计教学内容课题:七年级上册第三章第三节《勾股定理的应用举例》本节课的教材内容主要围绕勾股定理及其逆定理，按照“问题情景—建立模型—解释—应用与拓展”的模式展开活动，让学生能够应用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。

本节课的综合性和拓展性较强，教材图文并茂，既能吸引学生的注意力，又能激发学生的学习兴趣。

通过本课的学习，引导学生将所学知识与实际生活紧密联系，增强合作精神，培养学生数形结合能力和实践能力。

教学目标知识与技能:会用勾股定理解决实际问题。

过程与方法:将实际问题转化为含有直角三角形的数学模型。

在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯情感态度与价值观:1.让学生感受生活中的数学,体会数学的应用性。

2.培养学生运用所学知识解决实际问题的意识，通过与同伴交流，培养协作与交流的意识。

3.敢于面对数学学习中的困难，增加遇到困难时选择其他方法的经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识．教学重点：1.能熟练运用勾股定理解决实际问题，掌握最短路径问题。

2.探索空间与平面图形之间的关系。

3.掌握两个定理之间的联系与区别。

教学难点：熟练运用勾股定理解决最短路径实际问题，增强学生的数学应用能力。

课前准备：制作长方体、彩纸、白纸、圆柱、双面胶。

.教法方法：互动式教学、合作探究学习教学过程一、回顾与思考（一）1. 复习勾股定理，巩固勾股定理的公式、符号语言及变形公式。

2. 小结：勾股定理实质是在直角三角形中，已知两条边，可以求出第三条边。

[设计意图]：通过定理的回顾熟悉知识，引导学生建立找直角三角形和求边长的意识。

二、定理的应用（一）1.问题情景一：爸爸指着墙角的桌子对小明说：“桌面的角是直角，我测出来两条桌边的长是5分米和12分米，你能计算出桌面的对角线的长度吗？”“太简单了。

”你知道小明是如何计算的吗？[设计意图]：（1）轻松的话题引到在桌面（一个平面）的求边的问题，从而给学生建立起一种构造直角三角形解决问题的模型。

勾股定理的应用举例教材与学情分析本节课是在探究了勾股定理后运用勾股定理解决生活中的实际问题，本节内容分两课时，第一课时有两部分内容，第一部分立体图形表面上两点间最短距离，构造的直角三角形中已知两边，可以直接运用勾股定理解决实际问题；第二部分已知三角形的三边判断所构造的三角形是否为直角三角形，应用勾股定理的逆定理解决实际问题。

第二课时在第一课时的基础上，进一步研究勾股定理的两方面实际应用，第一是在直角三角形中已知一边和其他两边等量关系时，要运用方程思想求未知边；第二是决策问题：判断车能否过隧道问题，构造已知两边的直角三角形，判断第三边。

学生在学习勾股定理的直接应用后，当已知两边能熟练求直角三角形的第三边。

因此本课时的重点利用勾股定理的等量关系式列方程求未知边，和通过计算判断并作出决策。

其中难点是在决策问题中如何构造直角三角形。

教学目标知识与技能应用勾股定理解决简单的实际问题，当所构造的直角三角形中只有一边已知时，可以根据勾股定理列方程解决问题应用勾股定理解决生活中一类决策问题过程与方法在探究问题解决方法的过程中感受方程思想方法，感受构建方程模型的必要性在探究问题过程中如何构造直角三角形，体会转化的数学思想方法情感态度与价值观在讨论问题过程中，进一步认识勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智，从而增强学习数学的兴趣.教学资源PPT课件、几何画板课件、三角板等教学设计思路复习总结→创设问题引入新课→合作探究解决问题→巩固提升→梳理总结升华收获五、教学实施过程：（一）复习导入师：同学们，前面学习了勾股定理，知道根据勾股定理能求出直角三角形的边长，请看：1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则总结并板书1）已知两直角边能求斜边2）已知一直角边和斜边能求另一直角边【设计意图】让学生明确直角三角形已知两边第三边能直接运用勾股定理求出第三边，为下面例1中只知一条边时求边要借助方程的方法，不能直接运用勾股定理做好铺垫.师：勾股定理是一个非常重要的定理，从古代到现代，人们在生活中广泛应用。

直角三角形三边关系勾股定理直角三角形的判定应用勾股定理的逆定理勾股数勾股树勾股定理教学目标(1)知识目标：①知道勾股定理是怎样验证出来的．②了解勾股定理的历史背景．(2)能力目标：①经历探索勾股定理的过程，发展合情推理能力，培养学生主动探索的学习热情． ②理解并掌握勾股定理，用它解决简单的问题．(3)情感目标：①发展学生的个性，培养他们学习的养成教育，善于独 立思考，敢于克服困难和创新精神． ②培养学生的民族自豪感，激励学生的爱国热情．教学重点掌握勾股定理，并能利用它解决有关数学问题．教学难点利用勾股定理解决实际问题教学过程（一）知识点回顾（二）基础知识例1．小明家要建房子，已知房屋的俯视图为一个三角形，如图所示，经测量∠A ＝90°，AB ＝24米，AC ＝7米，为了进行成本预算，需要计算三角形的周长，如果不利用测量的方法，同学们能求出BC 边的长吗？例2．五年后，小明家经济富裕起来了，决定以旧屋的三边为长分别规划三个正方形地块，用作车库、花园、新屋的建设用地，如图所示，请问三块建设用地的总面积是多少？例3．小明周末到小张家玩，发现两家的房屋设计相同，如图所示，小张告诉小明，住房、花园、车库都是正方形形状，其中住房面积为225平方米，花园面积为144平方米，车库面积为81平方米，请问：你能判断△ABC 的形状吗？例4．小张的爸爸在一旁听着两个小孩的讨论，不禁插上一句:如果不知道车库、花园、住房的面积，只知道△ABC三边a、b、c满足条件，你们能判断△ABC的形状吗？（三）综合应用例5．有一天，小明的爸爸告诉小明，我们家打算把旧屋拆掉，做重新的设计，需要了解墙角A处到围墙BC处的最短距离AD．你有什么好的方法来解决吗？思考：如图所示，在△ABC中，已知AB＝10，AC＝17，BC＝21，求BC边上的高AD．知识延伸：在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，求BC的长．（四）走进生活例6．据气象台预报，台风“桑美”即将登陆小明家所在的城市，经测得台风中心在小明家的正西方向40千米处，现正以30千米/小时的速度向东北方向移动，距台风中心30千米的范围内将受到影响，问小明家是否受到台风影响？如果会受影响，那么受影响的时间有多长？（五）课堂练习例7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，将△ABC沿直线AD折叠，使点C恰好落在AB边上的C'处，求CD的长．【课堂小结】本节课以小明家的房屋设计为线索，利用勾股定理和勾股定理逆定理解决实际问题．。

第三章勾股定理综合复习课总第6课时教学目标：1、掌握勾股定理及逆定理。

利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题。

2、能利用数形结合的方式解决问题。

3、在利用勾股定理解决实际问题的过程中，会将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想教学重难点：一、复习导入：1、复习并掌握勾股定理及逆定理的内容。

2、回忆勾股数概念，熟记常见的勾股数。

3、利用勾股定理解决实际问题的核心任务是什么？二、典型示例ABCD 341312例1、小区里有一块四边形的绿化带，其中∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13,求绿化带的面积。

考查知识点：勾股定理及直角三角形的判定变式训练小区里有一块四边形的绿化带，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13,你能求出绿化带的面积吗?例2、已知两条线段长分别为5cm,12cm ，则当第三边平方为 多少时这三条线段构成直角三角形。

注意：直角三角形中，已知两边长但没有明确是直角边还是斜边时，应分类讨论。

AB C D341312例3、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。

现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长。

小结：解题方法(1)实际问题构造直角三角形数学模型(2) 找出边与边的数量关系(3) 利用勾股定理列方程(4) 通过解方程解决问题例4、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(π的值取3）是( )A.20cmB.10cmC.14cmD.无法确定小结：求最短路线的解题方法（1）几何体展开成平面图形（2）依据“两点之间线段最短”，构建直角三角形（3）运用勾股定理来解决问题。

三、课堂小结：四、达标测评：1、在直角三角形ABC中，∠C=90，如果AB=13，AC=5，那么BC= ，△ABC的面积是________2、有下列几组数（1）6，7，8（2）8，15，16（3）9，12，15（4）8，15，17 .其中，以每组中的三个数为边长能构成直角三角形的是（）（A）（1）（3）（B）（2）（4）（C）（1）（2）（D）（3）（4）3、如图， 把长方形的纸片折叠，使BC 边与对角线BD 重合，点C 落到点F 处，折痕为BE ，已知CD 边长4cm,BC 边长3cm ，求出CE 的长.4、如图，棱体的底面边长为2.5cm 的正方形，侧面都是长为12cm 的长方形，一只蚂蚁如果要沿着棱体的表面从A 点爬到B 点，需要爬行的最短距离是多少？ABDCF E。

5米3米2024--2025学年度七年级数学上册学案3.1探索勾股定理(2)【学习目标】1.掌握运用勾股定理解决一些实际问题的方法；2.理解勾股定理的多种方法验证。

【自主学习】阅读课本第68至69页的内容，思考并解答下列问题。

1.搜集关于勾股定理的有趣的人物或故事在班级内分享。

2.勾股定理的内容是_______________________________________。

3.利用下图来验证勾股定理。

【典型例题】知识点一验证勾股定理1.下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（）知识点二勾股定理的简单应用2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.3.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BC＝3，求CD的长.【巩固训练】1.下列说法正确的是()．A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2B．若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2＋b2＝c22.在下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A.a=32，b=42，c=52B.a=11、b=12、c=132题图3题图C.a=9，b=40，c=41D.a:b:c=1：1：23.在直角三角形ABC 中，斜边AB=2，则222AB AC BC ++=______.4.一直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边与斜边长的和是49cm ，则斜边的长( )A.18cmB.20cmC.24cmD.25cm5.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ）A.5B.7C.5D.5或7【课后拓展】1.如图1-16所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB ＝6，BC ＝8，将△ABC 折叠，使AB 落在斜边AC 上，折痕为AD ，则BD 的长为 ( )2.已知△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高AD=8，则边BC 的长为（ ）A.21B.15C.6D.以上答案都不对3.已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°，求四边形ABCD 的面积。