2020届吉林省长春市高三质量监测(三)(三模)数学(理)试题(解析版)

2020届吉林市高三第三调理科数学试题一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。

1. 已知集合{-1,0,1,2}A =,{|lg(1)}B x y x ==-，则A B =A. {2}B. {1,0}-C. {1}-D. {1,0,1}-2. 已知复数z 满足i z11=-，则z = A.i 1122+ B. i 1122-C.i 1122-+ D. i 1122-- 3. 已知向量a b (3,1),(3,3)=-=，则向量b 在向量a 方向上的投影为 A.B.C. 1-D. 14. 已知m n ,为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是 A. m ∥n m n ,,αβ⊂⊂ B.m ∥n m n ,,αβ⊥⊥C.m n m ,⊥∥n ,α∥βD. m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥5. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A.103B.3 C.83D.736. 函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为 A.x 56π=-B.x 3π=-C. x 6π=D. x 3π=7. 已知f x ()为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当x (0,2)∈时，f x x 2()2=, 则f (3)=A.18-B. 18C. 2-D. 28. 已知数列n a {}为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++= A.1318B.1318或1936C.139D.1369. 椭圆x y 22192+=的焦点为F F 12,，点P 在椭圆上，若PF 2||2=，则F PF 12∠的大小为A. 150︒B. 135︒C. 120︒D. 90︒10. 已知b a b c a 0.2121()2,log 0.2,===，则a b c ,,的大小关系是A. a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D. b c a <<11. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=,若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六正视图俯视图侧视图边形的概率为A.B.413C. 7D. 4712. 已知F F 12,分别为双曲线x y C a b2222:1-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以F F 12为直径的圆经过点P ，若PF F 12∆的面积为23，则双曲线的离心率为A.B. 2C.D. 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 二项式x 5(2)-的展开式中x 3的系数为（用数字作答） .14. 已知两圆相交于两点A a B (,3),(1,1)-，若两圆圆心都在直线x y b 0++=上，则a b +的值是 .15. 若点P (cos ,sin )αα在直线y x 2=上，则cos(2)2πα+的值等于 .16. 已知数列n a {}的前n 项和n n S a 14λ=-+且114a =，设x x f x e e 2()1-=-+，则 f a f a f a 721222(log )(log )(log )+++的值等于 .三、解答题：共70分。

2020年吉林省示范高中高考数学三模试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|x =5−2n,n ∈N}，B ={x|x >1}，则A ∩B =( )A. ⌀B. {3}C. {3,5}D. {1,3，5} 2. 复数z 1=3+i ，z 2=−1−i ，则z 1−z 2等于( )A. 2B. 2+2iC. 4+2iD. 4−2i3. 若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的实轴长为4，离心率为√3，则其虚轴长为( )A. 8√2B. 4√2C. 2√2D. 4√634. 已知函数f(x)={log 2x −1(x >0)f(2−x)(x ≤0)，则f(0)=( )A. −1B. 0C. 1D. 35. 由变量x 与y 相对应的一组数据(3,y 1)，(5,y 2)，(7,y 3)，(12,y 4)，(13,y 5)得到的线性回归方程为y ̂=12x +20，则∑y i 5i=1=( ) A. 25B. 125C. 120D. 24 6. 4名同学甲、乙、丙、丁按任意次序站成一排，甲或乙站在边上的概率为( )A. 12B. 56C. 23D. 167. 已知函数f(x)=2 1+x 2−11+x 2，则使得f(2x)>f(x −3)成立的x 的取值范围是( )A. (−∞,−3)B. (1,+∞)C. (−3,−1)D. (−∞,−3)∪(1,+∞)8. 函数f(x)=x −√2sinx 在区间[0,π]上的最大、最小值分别为( )A. π，0B. π2−√2 ,0C. π ,π4−1D. 0 , π4−19. 阅读如图所示的程序框图，则输出的S =( )A. 3B. 15C. 21D. 3510. 在ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若sinA:sinB =2:3，则a:b =( )A. 3:2B. 4:9C. 9:4D. 2:311. 已知F 1，F 2是椭圆x 216+y 212=1的左、右焦点，直线l 过点F 2与椭圆交于A 、B 两点，且|AB|=7，则△ABF 1的周长为( )A. 10B. 12C. 16D. 312. 如图，平面四边形ABCD 中，E ，F 是AD ，BD 中点，AB =AD =CD =2，BD =2√2，∠BDC =90°，将△ABD 沿对角线BD 折起至△A′BD ，使平面A′BD ⊥平面BCD ，则四面体A′BCD 中，下列结论不正确的是( )A. EF//平面A′BCB. 异面直线CD 与A′B 所成的角为90°C. 异面直线EF 与A′C 所成的角为60°D. 直线A′C 与平面BCD 所成的角为30°二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−3)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−m,−(3+m))，若A 、B 、C 三点共线，则实数m 的值为______ ．14. 若α=20∘，β=25∘，则(1+tanα)(1+tanβ)=________．15. 《九章算术》卷五——商功中提出如下问题：“今有委菽依垣，下周三丈，高七尺，问积几何⋅”意思是：“今靠墙壁堆放大豆，大豆下周长为3丈，高7尺，问这堆大豆的体积为多少⋅”己知大豆靠墙时堆放的形状可大致认为是半圆锥形，则基于上述事实，可以求得这堆大豆的体积为______________立方尺．注：1丈=10尺，取π=316. 已知函数f(x)=x(e x −1e x )，则使f(x)>f(2x −1)成立的x 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某市某年一个月中30天对空气质量指数的监测数据如下：61 76 70 56 81 91 55 91 75 81 88 67 101 103 57 91 77 86 81 83 82 82 64 79 86 85 75 71 49 45 (Ⅰ)完成下面的频率分布表；(Ⅱ)完成下面的频率分布直方图，并写出频率分布直方图中a 的值；(Ⅲ)在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，求这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内的概率．分组频数频率[41,51)22 30[51,61)33 30[61,71)44 30[71,81)66 30[81,91) [91,101)[101,111)22 3018.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S6=21．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=a n+2n，求数列{b n}的前n项和T n．19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，M为线段CC1上的一点，且AC=1，BC=CC1=2．(Ⅰ)求证：AC⊥B1M；(Ⅱ)若N为AB的中点，若CN//平面AB1M，求三棱锥M−ACB1的体积．20.已知抛物线C:x2=2y，过点(−2,4)且斜率为k的直线l与抛物线C相交于M，N两点．(1)若k=2，求|MN|的值;(2)记直线l1:x−y=0与直线l2:x+y−4=0的交点为A，求K AM·K AN的值．21.已知函数f(x)=xe x+x2+ax+b，曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为4x−2y−3=0．(1)求a,b的值；(2)证明：f(x)>lnx．22.已知圆C：ρ=2cosθ，直线l：ρcosθ−ρsinθ=4，求过点C且与直线l垂直的直线的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−a|+|x−1|−3(a≠0)的一个零点为2．(Ⅰ)求不等式f(x)≤2的解集；(Ⅱ)若直线y=kx−2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查交集的求法，是基础题．分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x=5−2n,n∈N}，={5,3，1，−1，−3……}，B={x|x>1}，∴A∩B={3,5}．故选：C．2.答案：C解析：【分析】本题考查复数的减法运算，属于基础题．【解答】解：因为复数z1=3+i，z2=−1−i，则z1−z2=4+2i．故选C．3.答案：B解析：【分析】根据题意，由双曲线的实轴长可得a的值，进而由离心率公式可得c的值，计算可得b的值，由双曲线的虚轴长为2b，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的实轴长为2a．【解答】解：根据题意，若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为4，即2a=4，则a=2，又由双曲线的离心率e=√3，则有e =ca =√3，则c =√3a =2√3， 则b =√c 2−a 2=2√2， 则该双曲线的虚轴长2b =4√2； 故选：B ．4.答案：B解析： 【分析】本题考查分段函数求值，为基础题． 将自变量代入相应解析式求值，可得结果． 【解答】解：f (0)=f (2−0)=f (2)=log 22−1=0． 故选B ．5.答案：C解析： 【分析】利用已知求得x ，将样本中心点(x,y)代入线性回归方程y ̂=12x +20求得y ，再由y =15∑y i 5i=1即可求得∑y i 5i=1的值．本题考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程必过样本中心点(x,y)，考查计算能力，属于基础题． 【解答】 解：由x =3+5+7+12+135=8，∵线性回归方程必过样本中心点(x,y)， ∴y =12x +20，解得y =24，即y =15∑y i 5i=1=24， ∴∑y i 5i=1=120， 故选C ．6.答案：B解析：解：甲、乙、丙、丁四人并排站成一排一共有A 44=24种甲和乙站在中间的情况有A 22⋅A 22=4种∴甲或乙站在边上的情况有20种甲或乙站在边上的概率为2024=56，故选：B．先求出甲、乙、丙、丁四人并排站成一排的事件种数，然后求出甲和乙站在中间的情况，从而求出甲或乙站在边上的情况，最后利用古典概型的概率公式进行求解即可．本题求的是概率实际上本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．7.答案：D解析：解：函数f(x)=2 1+x2−11+x，有f(−x)=f(x)，f(x)为偶函数，当x>0时，可得y=2 1+x2递增，y=−11+x2递增．则f(x)在(0,+∞)递增，且有f(|x|)=f(x)，则f(2x)>f(x−3)即为f(|2x|)>f(|x−3|)，即|2x|>|x−3|，则|2x|2>|x−3|2，即为(x+3)(3x−3)>0，解得x>1或x<−3．故选：D．判断函数f(x)为偶函数，讨论x>0时，f(x)为增函数，再由偶函数的性质：f(|x|)=f(x)，以及单调性，可得|2x|>|x−3|，解不等式即可得到所求解集．本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，注意运用复合函数的单调性和偶函数的性质，考查运算能力，属于中档题．8.答案：C解析：解：函数f(x)=x−√2sinx，∴f′(x)=1−√2cosx；令f′(x)=0，解得cosx=√22，又x∈[0,π]，∴x=π4；∴x∈[0,π4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(π4,π]时，f′(x)>0，f(x)单调递增；∴f(x)min=f(π4)=π4−√2sinπ4=π4−1，f(0)=0，f(π)=π；∴函数f(x)在区间[0,π]上的最大、最小值分别为π和π4−1．故选C．对函数f(x)求导数，利用导数判断f(x)的单调性，并求f(x)在区间[0,π]上的最大、最小值．本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是中档题．9.答案：A解析：解：第一次循环得到的结果为T=1，S=1，i=2，不满足i≥3，执行“否”；第二次循环得到的结果为T=3，S=3，i=3，满足i≥3，执行“是”，输出S=3．故选：A．模拟程序框图的运行过程，判断循环的结果是否满足判断框中的条件，直到满足判断框中的条件执行输出结果即可．本题考查了循环结构，解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环得到结果，从中找规律．10.答案：D解析：【分析】本题考查正弦定理，属于基础题目．直接利用正弦定理得出即可．【解答】解：∵sinA:sinB=2:3，∴由正弦定理可得a:b=sinA:sinB=2:3．故选D．11.答案：C解析：【分析】本题考查椭圆的定义．椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．利用椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，并且|AF2|+|BF2|=|AB|，进而得到答案．【解答】解：椭圆x216+y212=1，可得a=4，根据题意结合椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a=8，并且|BF1|+|BF2|=2a=8，又因为|AF2|+|BF2|=|AB|，所以△ABF1的周长为：|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16．故选：C．12.答案：C解析：【分析】本题考查异面直线所成角的求法，线面角的求法和线面平行的判断，考查转化思想和运算能力，属于中档题．运用线面平行的判定定理可判断A；由面面垂直的性质定理，结合异面直线所成角可判断B；由异面直线所成角和勾股定理的逆定理可判断C；由线面角的求法，可判断D．【解答】解：A：因为E，F分别为A′D和BD两边中点，所以EF//A′B，即EF//平面A′BC，EF⊄平面A′BC，A正确；B：因为平面A′BD⊥平面BCD，交线为BD，且CD⊥BD，所以CD⊥平面A′BD，A′B⊂平面A′BD，即CD⊥A′B，故B正确；C：取CD边中点M，连接EM，FM，则EM//A′C，所以∠FEM为异面直线EF与A′C所成角，又EF=1，EM=12A′C=√2，FM=12BC=√3，即∠FEM=90°，故C错误；D：连接A′F，可得A′F⊥BD，由面面垂直的性质定理可得A′F⊥平面BCD，连接CF，可得∠A′CF为A′C与平面BCD所成角，由sin∠A′CF=A′FA′C =√22√2=12，则直线A′C与平面BCD所成的角为30°，故D正确．故选：C．13.答案：12解析：m =12；解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,−3)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−m,−(3+m))，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−m,1−m)， ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //AC⃗⃗⃗⃗⃗ ∴3(1−m)=2−m解得m =12故答案为：12．利用三点共线，通过坐标运算求出m 的值．本题考查三点共线，向量的坐标运算，考查计算能力． 14.答案：2解析：【分析】本题主要考查两角和的正切公式，属于容易题．根据两角和的正切公式即可求解．【解答】解：因为α=20°，β=25°，所以tan (α+β)=tan45°=1，所以(1+tanα)(1+tanβ)=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+tan (α+β)(1−tanαtanβ)+tanαtanβ=1+1−tanαtanβ+tanαtanβ=2．故答案为2．15.答案：350解析：【分析】本题考查圆锥的体积，属于基础题．熟练掌握圆锥的体积公式是解题的关键．【解答】解：由下周长(半圆周长)为30尺，得πR =30，R =30π，∴所求体积立方尺．故答案为350．16.答案：(13,1)解析：解：根据题意，f(x)=x(e x−1e x)，则f(−x)=(−x)(e−x−e x)=x(e x−e−x)=f(x)，为偶函数；又由f′(x)=(e x−e−x)+x(e x+e−x)，当x≥0时，f′(x)>0，则函数f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(x)>f(2x−1)⇔f(|x|)>f(|2x−1|)⇒|x|>|2x−1|，即x2>4x2−4x+1，解可得：13<x<1，即x的取值范围为(13,1)；故答案为：(13,1)根据题意，分析可得函数f(x)为偶函数与，利用导数与函数单调性的关系，分析可得函数f(x)在[0,+∞)上为增函数，进而可以将f(x)>f(2x−1)转化为|x|>|2x−1|，即x2>4x2−4x+1，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，涉及函数的导数与单调性的判断方法，属于综合题．17.答案：解：(Ⅰ)如下图所示．…(4分)(Ⅱ)如下图所示．…(6分)由己知，空气质量指数在区间[71,81)的频率为630，所以a=0.02.…(8分)分组频数频率………[81,91)1010 30[91,101)33 30………(Ⅲ)设A表示事件“在本月空气质量指数大于等于91的这些天中随机选取两天，这两天中至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内”，由己知，质量指数在区间[91,101)内的有3天，记这三天分别为a ，b ，c ，质量指数在区间[101,111)内的有2天，记这两天分别为d ，e ，则选取的所有可能结果为：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)．基本事件数为10.…(10分)事件“至少有一天空气质量指数在区间[101,111)内”的可能结果为：(a,d)，(a,e)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)．基本事件数为7，…(12分)所以P(A)=710.…(13分)解析：(I)先将数据从小到大排序，然后进行分组，找出频数，求出频率，立出表格即可． (II)先建立直角坐标系，按频率分布表求出频率/组距，得到纵坐标，画出直方图即可；利用空气质量指数在区间[71,81)的频率，即可求出a 值．(III)样本中空气质量质量指数在区间[91,101)内的有3天，记这三天分别为a ，b ，c ，质量指数在区间[101,111)内的有2天，记这两天分别为d ，e ，列举出基本事件及符合条件的事件，根据概率公式求出相应的概率即可．本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量．频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率等等．18.答案：解：(1)设公差为d ，由已知可得：{a 1+2d =36a 1+6×52d =21，解得a 1=1，d =1． ∴a n =1+(n −1)=n ．(2)b n =a n +2n =n +2n ．∴数列{b n }的前n 项和T n =(1+2+⋯+n)+(2+22+⋯+2n )=n(n +1)2+2(2n −1)2−1=n 2+n 2+2n+1−2．解析：(1)设公差为d ，由已知可得：{a 1+2d =36a 1+6×52d =21，解得a 1，d.即可得出． (2)b n =a n +2n =n +2n .利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∵AC⊥CC1，AC⊥BC，CC1∩BC=C．∴AC⊥平面BB1C1C，∵B1M⊂平面BB1C1C，∴AC⊥B1M；(Ⅱ)解：当M为CC1中点时，CN//平面AB1M.理由如下：∵CM=12CC1，CM//BB1，CM=12BB1，取AB1中点E，连接NE，ME，∵N、E分别为AB、AB1中点，∴NE//BB1，NE=12BB1，∴CM//NE，CM=NE，则四边形CMEN为平行四边形，∴CN//ME，又CN⊄平面AMB1，ME⊂平面AMB1，∴CN//平面AMB1，∵S△B1MC =12CM·BC=1，∴V M−ACB1=V A−CMB1=13S△B1MC·AC=13．解析：本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．(Ⅰ)由直三棱柱ABC−A1B1C1，可得AC⊥CC1，AC⊥BC，则AC⊥平面BB1C1C，从而得到AC⊥B1M；(Ⅱ)证明当M为CC1中点时，CN//平面AB1M，然后利用等积法求三棱锥M−ACB1的体积．20.答案：解：(1)依题意，直线l：y=2x+8，联立抛物线C：x2=2y，可得x2−4x−16=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=4，x1x2=−16，故|MN|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√1+4⋅√16+4×16=20；(2)联立{x −y =0x +y −4=0，解得x =y =2，故A (2,2)， 设直线l 的方程为：y −4=k(x +2)，联立抛物线C ：x 2=2y ，可得x 2−2kx −4k −8=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，可得x 1+x 2=2k ，x 1x 2=−4k −8，则k AM =y 1−2x 1−2=k(x 1+2)+2x 1−2，k AN =y 2−2x 2−2=k(x 2+2)+2x 2−2，k AM ⋅k AN =[k(x 1+2)+2][k(x 2+2)+2](x 1−2)(x 2−2)=k 2[x 1x 2+2(x 1+x 2)+4]+2k(x 1+x 2+4)+4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=k 2(−4k−8+4k+4)+2k(2k+4)+4−4k−8−4k+4=−1．解析：(1)求得直线l 的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值：(2)求得交点A(2,2)，设直线l 的方程为：y −4=k(x +2)，联立抛物线C ：x 2=2y ，运用韦达定理和斜率公式，化简整理即可得到所求值．本题考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式、直线的斜率公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.答案：(1)解：f ′(x)=(x +1)e x +2x +a 依题意有{f ′(0)=1+a =2f(0)=b =−32解得a =1,b =−32.(2)证明：由(Ⅰ)知，f(x)=xe x +x 2+x −32．设， 依题意只需证明ℎ(x)>32 .ℎ′(x)=(x +1)e x +2x +1−1x =(x +1)(e x +2−1x )(x >0) 设g(x)=e x +2−1x ，g ′(x)=e x +1x 2>0，所以g(x)在上单调递增． 又g(14)=e 14+2−4<0,g(13)=e 13+2−3>0，所以 使得g(x 0)=e x 0+2−1x 0=0， 当x ∈(0,x 0) 时g(x)<0，当时g(x)>0，所以当x ∈(0,x 0) 时ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；当时ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增．，且e x 0+2−1x 0=0，所以， 设，φ′(x)=2x −1−1x =(2x+1)(x−1)x ,x ∈(14,13)， 当x ∈(14,13)时,φ′(x )<0 ，故φ(x)单调递减，所以所以ℎ(x)>32证毕．解析：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．(1)求出导数f′(x)，根据题意有{f ′(0)=1+a =2f(0)=b =−32，解出即可； (2)证明：由(Ⅰ)知，f(x)=xe x +x 2+x −32.设，依题意只需证明ℎ(x)>32 . 利用导数求证ℎ(x)min >32即可． 22.答案：解：由题意可得圆C 的直角坐标方程是x 2+y 2−2x =0，化为标准方程可得(x −1)2+y 2=1，圆心C(1,0)，直线l 的直角坐标方程为x −y −4=0，∴过C 与l 垂直的直线方程为y −0=−(x −1)化简可得x +y −1=0．化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ−1=0，即ρcos(θ−π4)=√22．解析：本题考查曲线的极坐标方程，属基础题．由题意可得圆和直线的直角坐标方程，可得直线的直角坐标方程，化为极坐标方程即可． 23.答案：解：(Ⅰ)∵函数f(x)=|x −a|+|x −1|−3(a ≠0)的一个零点为2，∴f(2)=|2−a|+1−3=0，由a ≠0，得a =4，∴f(x)=|x −4|+|x −1|−3，由f(x)≤2，得{x ≤12−2x ≤2或{1<x <40≤2或{x ≥42x −8≤2, 解得0≤x ≤5，故不等式f(x)≤2的解集为[0,5]．(Ⅱ)f(x)=|x−4|+|x−1|−3={2−2x,x≤1 0,1<x<4 2x−8,x≥4,作出函数f(x)的图象，如图所示，直线y=kx−2过定点C(0,−2)，当此直线经过点B(4,0)时，k=12；当此直线与直线AD平行时，k=−2．故由图可知，k∈(−∞,−2)∪[12,+∞)．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道中档题．(Ⅰ)先得出a的值，通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；(Ⅱ)求出f(x)的分段函数的性质，结合函数的图象求出k的范围即可．。

吉林省实验中学2020届高三第三次模拟考试数学学科（理）试题考试时间：120分钟 满分：150分命题 审题 高三数学（理科）备课组 2019年11月9日一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）（1）已知α是第三象限角，且sin α＝－1213，则tan α＝（A ）－513 （B ）513 （C ）－125 （D ）125（2）设函数()f x =()(),ln 1M g x x =-的定义域为N ，则MN =（A ）{}21x x -<< （B ）{}12x x <<（C ）{}2x x <- （D ）{}2x x >（3）1+2sin （π＋1）cos （π－1）＝( )（A ）sin 1－cos 1 （B ）sin 1+cos1 （C ）±(sin 1－cos 1) （D ）cos1－sin 1（4） 设θ∈R ，则“|θ－π12|<π12”是“sin θ<12”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()4x f x =，则()512f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（A ）2- （B ）2 （C ）12 （D ）12- (6) 设231tan 30,sin ,ln 22a b xdx c ππ=︒==⎰，则（A ）a <b <c （B ）a < c < b （C ）b < a <c （D ）c < b <a(7) 函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为 （A ）3，－1 （B ）3，－2 （C ）2，－2 （D ）2，－1(8) 函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >, 0ω>,2πϕ<）的一部分图象如图所示，将函数图象上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则()g x 解析式可以为（ ）（A ）()sin 3g x x π=+⎛⎫⎪⎝⎭（B ）()sin 43x x g π=+⎛⎫⎪⎝⎭ （C ）()sin 6x x g π=+⎛⎫⎪⎝⎭（D ）()sin 46g x x π=+⎛⎫⎪⎝⎭(9) 设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6+sin2x ,则f (x )的一个单调递增区间是 （A ）71212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）51212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （C ）233ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （D ）566ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，(10) 将函数()sin 6f x x π=+⎛⎫⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的1(0)ωω>，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，()g x 在,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，91104848g g ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω=（A ）12（B ）2 （C ）3 （D ）4(11) 若函数3()3f x x x =-在区间()212,a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（A ）(- （B ）(1,4)- （C ）(]1,2- （D ）()1,2-(12) 设函数7()sin 2,0,66f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若方程()()f x t t R =∈恰好有三个根，分别为1,x 2,x 3123()x x x x <<，则1233+5+2x x x 的值为（A ）9π （B ）5π （C ）73π （D ）113π二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．） (13) 已知log 2,log 3a a m n ==，则m n a -＝(14) 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C ＝ .(15) 函数f (x )＝3sin π2x –2log x 的零点的个数是 个.(16) 若[,)x e ∀∈+∞，满足32l n 0mxx x m e -≥恒成立，则实数m 的取值范围为__________．三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）(17)(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为312x y t =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为)4πρθ=+.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，1(3)P ，为直线l 上一点，求11PAPB+.(18) (本小题满分12分)已知点(4,3)P -为角α终边上一点． （Ⅰ）求tan 2α的值；cos 2424απαπ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．(19) (本小题满分12分) 设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (Ⅰ)求f (x )的单调区间；(Ⅱ)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值.(20) (本小题满分12分) 如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，各棱长均相等．D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．(Ⅰ)求证：EF ∥平面A 1CD ； (Ⅱ)若三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值．(21) (本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，(0,2)D 为椭圆C 短轴的一个端点，F 为椭圆C 的右焦点，线段DF 的延长线与椭圆C 相交于点E ，且3DF EF =.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 与OB 的斜率之积为32-，求OA OB ⋅的取值范围.(22) (本小题满分12分)设函数()sin (0)f x x a x a =->．(Ⅰ)若函数()y f x =是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)设1()()ln 1(0)2a g x f xb x b R b ==++∈≠，，，()g x '是()g x 的导函数． ①若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在00x >使0()0g x <； ②若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <．数学学科（理）试题答案一、选择题：DABAB DCABD CD二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）(13)23(14) 60° .(15) 3 .(16) _____(,2]e -∞_____． 三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）(17)(本小题满分10分)解:(1)直线l 的普通方程为2y x =-曲线C 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -++=.(2)将直线l的参数方程化为3+21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数) 代入曲线C 的方程22(2)(2)8x y -++=，得20+2t =∴12t t +=-122t t =∴1212+11t t PA PB t t +==(18) (本小题满分12分) （Ⅰ）由已知，得3sin 5α=，∴242225sin sin cos ααα==-．2722125cos cos αα=-=，得2427tan α=-，（Ⅱcos 2424απαπ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==25α（1+sin ）． (19) (本小题满分12分)解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z,可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ). (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立.因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34(20) (本小题满分12分)解：(1)证明：连接ED ，在△ABC 中，因为D ，E 分别为棱AB ，BC 的中点，所以DE ∥AC ，DE ＝12AC .又F 为A 1C 1的中点，可得A 1F ＝12A 1C 1，又因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以A 1F ∥DE ，A 1F ＝DE ，因此四边形A 1FED 为平行四边形， 所以EF ∥A 1D ，又EF ⊄平面A 1CD ，A 1D ⊂平面A 1CD ， 所以EF ∥平面A 1CD .(2)设A 1B 1的中点为O ，连接OC 1，OD ，因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，所以OD ⊥平面A 1B 1C 1，所以OD ⊥OC 1，OD ⊥OA 1. 又△A 1B 1C 1为等边三角形， 所以OC 1⊥A 1B 1.以O 为坐标原点，OA 1―→，OD ―→，OC 1―→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .设三棱柱的棱长为a ，则B ⎝⎛⎭⎫－a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎫0，a ，32a ，A 1⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，D (0，a,0)．所以BC ―→＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，32a ，A 1D ―→＝⎝⎛⎭⎫－a 2，a ，0， DC ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32a .设平面A 1CD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n·A 1D ―→＝0， n·DC ―→＝0，即⎩⎨⎧－a2x ＋ay ＝0，32az ＝0.令x ＝2，解得n ＝(2,1,0)．设直线BC 与平面A 1CD 所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈n ，BC ―→〉＝|n ·BC ―→||n |·|BC ―→|＝a 5·a 2＝55. 所以直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值为55.(21) (本小题满分12分)（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点(),0F c ，因为()0,2D 为椭圆短轴的一个端点，则2b =.因为3DF EF =，则点42,33c E ⎛⎫-⎪⎝⎭. 因为点E 在椭圆上，则22161199c a +=，即222a c =. 又224c a =-，则()2224a a =-，得28a =，所以椭圆C 的标准方程是22184x y +=.（2）解法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 代入椭圆方程，得()2228x kx m ++=，即()222214280k x kmx m +++-=.设点()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k +=-+，21222821m x x k -=+. 因为32OA OBk k ⋅=-，则121232y y x x ⋅=-，即1212320x x y y +=，即()()1212320x x kx m kx m +++=，即()()22121223220k x x km x x m ++++=，所以()222222228823202121m k m k m k k -+⋅-+=++， 即()()()2222222344210k m k m mk+--++=，化简得2223m k =+.所以12121212OA OB x x y y x x ⋅=+=- 2222242121212121m k k k k --=-=-=-+++.因为()()22221642128k m k m ∆=-+- ()()2228848610k m k=+-=+>，20k ≥，则220221k <≤+，所以11OA OB -<⋅≤.又120x x ≠，则24m ≠，即212k ≠，则22121k ≠+，所以0OA OB ⋅≠. 当直线l 的斜率不存在时，点A ，B 关于x 轴对称，则OA OB k k =-. 因为32OA OBk k =-，不妨设0OA k >，则OA k =.联立y x =与22184x y +=，得点A，B，或点(A，(B ，此时1OA OB ⋅=-.综上分析，OA OB ⋅的取值范围是[)(]1,00,1-⋃. 解法二：因为302OA OB k k ⋅=-<，设0OA k k =≠，则32OB k k=-. 设点()11,A x y ，()22,B x y ，则121232y y x x ⋅=-，即121232y y x x =-，所以12121212OA OB x x y y x x ⋅=+=-. 由22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22228x k x +=，即()22218k x +=，所以212821x k =+.同理，22222816293212k x k k ==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.所以()()222212422281681642092129k k x x k k k k ⨯⨯==++++ 228169420k k⨯=++.因为229412k k +≥=，当且仅当2294k k =，即k =221204x x <≤.即1222x x -≤≤，且120x x ≠，所以OA OB ⋅的取值范围是[)(]1,00,1-⋃. (22) (本小题满分12分) （1）由题意，()1cos f x a x =-'， 若()0f x '≤恒成立，得1cos x a≥恒成立，又0a >，x ∈R ，显然不成立； 若()0f x '≥∵0a >∴1cos x a≥对x ∈R 恒成立， ∵()max cos 1x =∴11a ≥，从而01a <≤． 的 （2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，则()11cos 2bg x x x'=-+． 若0b <，则存在02b ->，使11cos 0222b b g ⎛⎫⎛⎫-=---'< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合题意.∴0b >．取2ebx -=，则001x <<．此时()2000000111sin ln 11sin ln 1sin 0222b g x x x b x x b e x -=-++<-++=-<．∴存在00x >，使()00g x <．②依题意，不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >．由（1）知函数sin y x x =-单调递增，则2211sin sin x x x x ->-，从而2121sin sin x x x x ->-． ∵()()12g x g x =∴11122211sin ln 1sin ln 122x x b x x x b x -++=-++ ∴()()()2121212111ln ln sin sin 22b x x x x x x x x --=--->-．∴212120ln ln x x b x x -->>-．下面证明2121ln ln x x x x ->-1ln t t->，只要证明()ln 0*t <．设())ln 1h t t t =->，则()210h t '-=<在()1+∞，恒成立． ∴()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证． ∴2b ->，即2124x x b <．。

吉林省长春市普通高中高三质量检测（三）数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由诱导公式可得，故选B.2.已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|（x+1）（x-2）＜0}，则A∩B=（）A. B. C. 0， D. 1，【答案】A【解析】由B中不等式解得：-1＜x＜2，即B={x|-1＜x＜2}，∵A={-1，0，1，2}，∴A∩B={0，1}，故选：A．3.若实部与虚部相等，则实数a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3的【答案】A【解析】由题得，所以.故选：A4.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出p为（）A. 6B. 24C. 120D. 720【答案】B【解析】按照程序框图运行程序，输入，，，一次运行：，此时，循环得二次运行：，此时，循环得三次运行：，此时，循环得四次运行：，此时，输出本题正确选项：5.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=4，a4=2，则S6=（）A. 0B. 10C. 15D. 30【答案】C【解析】数列{a n}是等差数列，a2=4=a1+d，a4=2=a1+3d，所以a1=5，d=-1，则S6=6a1+=15．故选：C．6.已知、是两个单位向量，且夹角为，则＝（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】、是两个单位向量，且夹角为，则（2）•（﹣2）＝﹣4+5．故选：A．7.若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意，设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A，“一件上一等品，另一件不是一等品”为事件B，则P（A）＝11，P（AB），则P（B|A）；故选：．8.已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】当时，若，可得又，可知本题正确选项：9.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A. 2012﹣2013 年研发投入占营收比增量相比2017﹣2018 年增量大B. 该企业连续12 年研发投入逐年增加C. 2015﹣2016 年研发投入增值最大D. 该企业连续12 年研发投入占营收比逐年增加【答案】D【解析】【分析】根据图形给出的信息，分析判断即可．【详解】从研发投入占营收比（图中的红色折线）07～09年有所下降并非连续12年研发投入占营收比逐年增加，故D错．故选：D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查识图能力，考查分析问题解决问题的能力，属基础题．10.函数f（x）=的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.11.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=8x上一点A到焦点F的距离为6，若点P为抛物线C 准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（）A. 4B.C.D.【答案】C【解析】抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，∵|AF|=6，∴A到准线的距离为6，即A点的横坐标为4，∵点A在抛物线上，不妨设为第一象限，∴A的坐标A（4，4）∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（-4，0），∴|PO|=|PB|，∴|P A|+|PO|的最小值：|AB|=．故选：C．【点睛】本题主要考查抛物线的相关知识．两条线段之和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．12.已知函数，若，且，则取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设若，则，不成立；若，则，不成立若，则设，则当时，，则单调递减当时，，则单调递增本题正确选项：二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.已知函数的最小正周期为，则＝_____，若，则＝____．【答案】 (1). 2 (2).【解析】由周期公式，可得ω=2，由，得，所以，平方得，∴故答案为：2；．14.已知矩形，以为焦点，且过两点的双曲线的离心率为_____．【答案】【解析】由题意易知：即，，由双曲线定义可得，∴双曲线的离心率为故答案为：15.我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π．其中正确的描述为____．【答案】①②④【解析】由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，P A⊥底面ABCD，P A=2，底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，则四个侧面是直角三角形，故①正确；最长棱为PC，长度为2，故②正确；由已知可得，PB=2，PC=2，PD=2，则四个侧面均不全等，故③错误；把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为PC=，其表面积为4π×=24π，故④正确．∴其中正确的命题是①②④．故答案为：①②④．16.已知数列中，则_______．【答案】【解析】∵，，∴，即记，显然为常数列，且，∴，∴故答案为：三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，，．（1）若，求的面积；（2）若点D在BC边上且，AD＝BD，求BC的长．解：（1）由正弦定理得：，所以sin C=1，，所以，所以．（2）设DC=x，则BD=2x，由余弦定理可得解得：所以．18.某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分组）．第一车间样本频数分布表（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；（Ⅱ）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中，随机抽取3人，记抽取的生产时间小于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．解：（I）估计第一车间生产时间小于75min工人人数为（人）.估计第二车间生产时间小于75min的工人人数为（人）.（II）第一车间生产时间平均值约为（min）.第二车间生产时间平均值约为（min）.∴第二车间工人生产效率更高.（III）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75min的工人有6人，其中生产时间小于65min的有2人，从中抽取3人，随机变量X服从超几何分布，X可取值为0，1，2，，,.X的分布列为：所以数学期望.19.如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（Ⅰ）证明：平面POB⊥平面ABCE；（Ⅱ）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A-PE-C的余弦值．（Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD中，易知△DAE为等边三角形，所以OD⊥AE，OB⊥AE,即在△P AE 中，OP ⊥AE ，∴AE ⊥平面POB ，AE ⊂平面ABCE ，所以平面POB ⊥平面ABCE ；（Ⅱ）解：在平面POB 内作PQ ⊥OB =Q ，∴PQ ⊥平面ABCE ． ∴直线PB 与平面ABCE 夹角为，又∵OP =OB ，∴OP ⊥OB ，O 、Q 两点重合，即OP ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，，，∴，，设平面PCE 的一个法向量为，则，即，设，则y =-1，z =1，∴，由题意得平面P AE 的一个法向量，设二面角A -P -EC 为α，．即二面角A -P -EC 为α的余弦值为．20.如图所示，椭圆离心率为，、是椭圆C 的短轴端点，且到焦点的距离为，点M 在椭圆C 上运动，且点M 不与、重合，点N满足．（1）求椭圆C的方程；（2）求四边形面积的最大值．解：又且，解得：，因此椭圆的方程为法一：设，，直线……①；直线……②由①②解得：又四边形的面积当时，的最大值为法二：设直线，则直线……①直线与椭圆的交点的坐标为则直线的斜率为直线……②由①②解得：四边形的面积：当且仅当时，取得最大值21.已知a∈R，函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若x=2是f（x）的极值点，且曲线y=f（x）在两点P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））（x1＜x2＜6）处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为b1、b2，求b1-b2的取值范围．解：（1），①当a≤0时，f'（x）＜0在x∈（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a＞0时，时f'（x）＜0，时，f'（x）＞0，即f（x）在上单调递减，在单调递增；（2）∵x=2是f（x）的极值点，∴由（1）可知，∴a=1，设在P（x1，f（x1））处的切线方程为，在Q（x2，f（x2））处的切线方程为∴若这两条切线互相平行，则，∴∵，且0＜x1＜x2＜6，∴，∴，∴x1∈（3，4）令x=0，则，同理，．【解法一】∵，∴设，∴∴g（x）在区间上单调递减，∴即b1-b2的取值范围是．【解法二】∵，∴令，其中x∈（3，4）∴∴函数g（x）在区间（3，4）上单调递增，∴∴b1-b2的取值范围是．【解法三】∵x1•x2=2（x1+x2），∴设，则∵，∴g'（x）＞0，∴函数g（x）在区间上单调递增，∴，∴b1-b2的取值范围是．22.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N 为射线OM上的点，满足，记点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．解：（Ⅰ）直线l1的参数方程为，（t为参数）即（t为参数）．设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），则，即，即ρ=4cosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0（x≠0）.（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得，即，t1，t2为方程的两个根，∴t1t2=-3，∴|AP|•|AQ|=|t1t2|=|-3|=3．23.已知函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）设函数的最小值为m，当a，b，，且时，求的最大值．解：（Ⅰ）①当时，②当时，③当时，综上：的解集为（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）可知即又且则，设同理：，，即当且仅当时取得最大值法二：由（Ⅰ）可知即又且当且仅当时取得最大值法三：由（Ⅰ）可知即由柯西不等式可知：即：当且仅当即时，取得最大值。

2020年高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x2≤1}，B＝{x|lgx≤1}，则A∩B＝（）A．[0，1]B．（0，1]C．（0，1）D．[﹣1，10]2．已知向量，满足（2，1），（1，y），且⊥，则|2|＝（）A．B．C．5D．43．已知复数z满足（1+i）2•z＝1﹣i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则x+y的值为（）A．7B．8C．9D．105．等比数列{a n}中，a5、a7是函数f（x）＝x2﹣4x+3的两个零点，则a3•a9等于（）A．﹣3B．3C．﹣4D．46．函数f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．7．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β8．已知直线y＝﹣2与函数，（其中w＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数f（x）的单调递增区间为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，且f（﹣4）＝0，则使得xf（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣4，4）B．（﹣4，0）∪（0，4）C．（0，4）∪（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）10．若函数有且只有一个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）C．[﹣1，0）D．[0，+∞）11．已知双曲线1（a＞0，b＞0）与椭圆1有相同焦点F1，F2，离心率为．若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为12，N为线段MF2的中点，O 为坐标原点，则|NO|等于（）A．4B．3C．2D．12．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是②当时，直线y＝ax+2a与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y），则x+y的最大值为2；④设点P（﹣2，b），点Q在此太极图上，使得∠OPQ＝45°，b的范围是[﹣2，2]．其中所有正确结论的序号是（）A．①④B．①③C．②④D．①②二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tanα＝3，π＜α，则cosα﹣sinα＝．14．已知长方形ABCD中，AB＝1，∠ABD＝60°，现将长方形ABCD沿着对角线BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，则折后几何图形的外接球表面积为．15．若x1，x2是函数f（x）＝x2﹣7x+4lnx的两个极值点，则x1x2＝；f（x1）+f（x2）＝．16．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，满足4S n＝a n2+2a n（n∈N*），设b n ＝（﹣1）n•a n a n+1，T n为数列{b n}的前n项和，则T20＝．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”．笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌（优等品和合格品），某公司年产宣纸10000刀，公司按照某种质量标准值x给宣纸确定质量等级，如表所示：x（48，52]（44，48]∪（52，56]（0，44]∪（56，100]质量等级正牌副牌废品公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100张）进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元．（Ⅰ）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100张）纸中抽出一个容量为5的样本，再从这个样本中随机抽出两张，求其中无废品的概率；（Ⅱ）试估计该公司生产宣纸的年利润（单位：万元）．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a＝2b cos C+c sin B．（Ⅰ）求tan B；（Ⅱ）若C，△ABC的面积为6，求BC．19．四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥平面ABCD，E在棱PB上．（Ⅰ）求证：AC⊥PD；（Ⅱ）若V P﹣ACE，求证：PD∥平面AEC．20．已知O为坐标原点，抛物线E的方程为x2＝2py（p＞0），其焦点为F，过点M（0，4）的直线1与抛物线相交于P、Q两点且△OPQ为以O为直角顶点的直角三角形．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设点N为曲线E上的任意一点，证明：以FN为直径的圆与x轴相切．21．已知函数f（x）＝axe x，g（x）＝x2+2x+b，若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）都过点P（1，c）．且在点P处有相同的切线l．（Ⅰ）求切线l的方程；（Ⅱ）若关于x的不等式k[ef（x）]≥g（x）对任意x∈[﹣1，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4坐标系与参数方程]22．以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（θ∈[0，]），直线1的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C的参数方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设点P为曲线C上的动点，点M和点N为直线l上的点，且满足△PMN为等边三角形，求△PMN边长的取值范围．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，g（x）＝|x+3|．（Ⅰ）当x∈R时，有f（x）≤g（x），求实数m的取值范围．（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集为[1，3]，正数a，b满足ab﹣2a﹣b＝3m﹣1，求a+b 的最小值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2≤1}，B＝{x|lgx≤1}，则A∩B＝（）A．[0，1]B．（0，1]C．（0，1）D．[﹣1，10]【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤10}，∴A∩B＝（0，1]．故选：B．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．已知向量，满足（2，1），（1，y），且⊥，则|2|＝（）A．B．C．5D．4【分析】根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得•2+y＝0，解可得y的值，即可得的坐标，进而计算可得向量（2）的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．解：根据题意，（2，1），（1，y），且⊥，则有•2+y＝0，解可得y＝﹣2，即（1，﹣2），则2（4，﹣3），故|2|5；故选：C．【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的计算和向量垂直与数量积的关系，属于基础题．3．已知复数z满足（1+i）2•z＝1﹣i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．解：由（1+i）2•z＝1﹣i，得z，则，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则x+y的值为（）A．7B．8C．9D．10【分析】对甲组数据进行分析，得出x的值，利用平均数求出y的值，解答即可．解：由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是83，80+x，85，因为甲班学生成绩众数是83，所以83出现的次数最多，可知x＝3．由茎叶图可知乙班学生的总分为76+81+82+80+y+91+91+96＝597+y，又乙班学生的平均分是86，总分又等于86×7＝602．所以597+y＝602，解得y＝5，可得x+y＝8．故选：B．【点评】本题主要考查统计中的众数与平均数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x，y的值，进而得到x+y的值．5．等比数列{a n}中，a5、a7是函数f（x）＝x2﹣4x+3的两个零点，则a3•a9等于（）A．﹣3B．3C．﹣4D．4【分析】利用根与系数的关系求得a5•a7＝3，再由等比数列的性质得答案．解：∵a5、a7是函数f（x）＝x2﹣4x+3的两个零点，∴a5、a7是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，∴a5•a7＝3，由等比数列的性质可得：a3•a9＝a5•a7＝3．故选：B．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．6．函数f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】先判断函数f（x）的奇偶性，可排除选项CD，再由f（1）＜0，可排除选项A，进而得出正确选项．解：函数的定义域为{x|x≠0}，，即函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除CD；又，可排除A；故选：B．【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．7．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【分析】根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．解：A、B、D的反例如图．故选：C．【点评】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，同时考查充分条件的含义及空间想象能力．8．已知直线y＝﹣2与函数，（其中w＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数f（x）的单调递增区间为（）A．B．C．D．【分析】根据最值点之间的关系求出周期和ω，结合三角函数的单调性进行求解即可．解：∵y＝﹣2与函数，（其中w＞0）的相邻两交点间的距离为π，∴函数的周期T＝2，即2，得ω＝2，则f（x）＝2sin（2x），由2kπ2x2kπ，k∈Z，得kπx≤kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数单调性的应用，根据最值性求出函数的周期和ω，以及利用三角函数的单调性是解决本题的关键．难度不大．9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，且f（﹣4）＝0，则使得xf（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣4，4）B．（﹣4，0）∪（0，4）C．（0，4）∪（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）【分析】由奇函数的图象关于原点对称及f（x）在（0，+∞）为增函数，可得函数f（x）是在（﹣∞，0）上是增函数，结合f（﹣4）＝f（4）＝0，转化为不等式组求解．解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴函数f（x）是在（﹣∞，0）上是增函数，又f（﹣4）＝0，∴f（4）＝0，由xf（x）＞0，得或，∴x＞4或x＜﹣4．∴x的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）．故选：D．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．10．若函数有且只有一个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）C．[﹣1，0）D．[0，+∞）【分析】当x＞0时，因为log21＝0，所以有一个零点，所以要使函数f（x）有且只有一个零点，则当x≤0时，函数f（x）没有零点即可，即恒为负或恒为正，进而求出a的取值范围即可．解：当x＞0时，因为log21＝0，所以有一个零点，所以要使函数有且只有一个零点，则当x≤0时，函数f（x）没有零点即可，当x≤0时，0＜2x≤1，∴﹣1≤﹣2x＜0，∴﹣1﹣a≤﹣2x﹣a＜﹣a，所以﹣a≤0或﹣1﹣a＞0，即a≥0或a＜﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，是中档题．11．已知双曲线1（a＞0，b＞0）与椭圆1有相同焦点F1，F2，离心率为．若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为12，N为线段MF2的中点，O 为坐标原点，则|NO|等于（）A．4B．3C．2D．【分析】由题意画出图形，利用三角形的中位线定理可得|NO||MF1|＝6﹣a，再由已知椭圆方程及双曲线的离心率求解a，则答案可求．解：如图，∵N为线段MF2的中点，∴|NO||MF1|（|MF2|﹣2a）＝6﹣a，∵双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为e，∴，∵椭圆1与双曲线1的焦点相同，∴c4，则a＝3，即6﹣a＝3，∴|NO|＝3．故选：B．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．12．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是②当时，直线y＝ax+2a与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y），则x+y的最大值为2；④设点P（﹣2，b），点Q在此太极图上，使得∠OPQ＝45°，b的范围是[﹣2，2]．其中所有正确结论的序号是（）A．①④B．①③C．②④D．①②【分析】根据“太极图”和各选项对应知识，即可判断真假．解：对于①，将y轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半，根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是，正确；对于②，直线y＝ax+2a x﹣3，圆的方程为x2+y2＝4，联立可得，13x2+36x+20＝0，△＝362﹣4×13×20＞0，但是两根之和为负，两根之积为正，所以两根都为负，即说明直线y＝ax+2a与白色部分没有公共点，错误；对于③，设l：z＝x+y，由线性规划知识可知，当直线l与圆x2+（y﹣1）2＝1相切时，z 最大，由解得z（z＝1舍去），错误；对于④，要使得∠OPQ＝45°，即需要过点P的切线所成角大于等于90度，所以，即OP≤2，于是22+b2≤8，解得﹣2≤b≤2．故选：A．【点评】本题主要考查图象的应用，考查学生识图用图以及运用相关知识的能力，涉及几何概型的计算公式，直线与圆的位置关系，以及线性规划知识的应用，属于较难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tanα＝3，π＜α，则cosα﹣sinα＝．【分析】由tanα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα与sinα的值，代入原式计算即可．解：∵tanα＝3，π＜α，∴cosα，sinα，则cosα﹣sinα，故答案为：【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14．已知长方形ABCD中，AB＝1，∠ABD＝60°，现将长方形ABCD沿着对角线BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，则折后几何图形的外接球表面积为4π．【分析】由长方形中AB＝1，∠ABD＝60°，可得BD，BC，及A到BD的距离AE，由面ABD⊥平面BCD可得AE⊥面BCD，求出底面外接圆的圆心及外接圆的半径，再由椭圆求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．解：长方形ABCD中，AB＝1，∠ABD＝60°，可得BD＝2，AD，作AE⊥BD于E，可得AE•BD＝AB•AD，所以AE，BE，因为平面ABD⊥平面BCD，AE⊆面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥面BCD，由直角三角形BCD可得其外接圆的圆心为斜边BD的中点O1，且外接圆的半径r1，过O1作OO1垂直于底面BCD，所以EO1＝O1B﹣BE＝1，所以OO1∥AE，取三棱锥外接球的球心O，设外接球的半径为R，作OF⊥AE于F，则四边形EFOO1为矩形，O1E＝OF，EF＝OO1，则OA＝OC＝OB＝OD＝R，在△AFO中，OA2＝AF2+OF2＝（AE﹣EF）2+EO12即R2＝（OO1）2；①在△BOO1中：OB2＝OO12+EO12，即R2＝OO12；②由①②可得R2＝1，OO1＝0，即外接球的球心为O1，所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π，故答案为：4π．【点评】本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题．15．若x1，x2是函数f（x）＝x2﹣7x+4lnx的两个极值点，则x1x2＝2；f（x1）+f（x2）＝4ln2．【分析】先求出导函数f'（x），由题意可得x1，x2是方程2x2﹣7x+4＝0 的两个根，利用韦达定理可得，x1x2＝2，代入f（x1）+f（x2）即可求出f（x1）+f（x2）＝4ln2．解：∵函数f（x）＝x2﹣7x+4lnx，x∈（0，+∞），∴f'（x）＝2x﹣7，令f'（x）＝0得：2x2﹣7x+4＝0，∴x1，x2是方程2x2﹣7x+4＝0 的两个根，∴，x1x2＝2，∴f（x1）+f（x2）7（x1+x2）+4ln（x1x2）4ln2，故答案为：2，4ln2．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及韦达定理的应用，是中档题．16．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，满足4S n＝a n2+2a n（n∈N*），设b n ＝（﹣1）n•a n a n+1，T n为数列{b n}的前n项和，则T20＝880．【分析】利用公式a n＝S n﹣S n﹣1可得数列{a n}是首项为2，公差为2的等差数列，所以a n＝2n，所以b n＝（﹣1）n•a n a n+1＝4×（﹣1）n n（n+1），进而T20＝4×[﹣2+6﹣12+20﹣30+42﹣……﹣380+420]，再利用并项求和法即可算出结果．解：∵4S n＝a n2+2a n（n∈N*），当n＝1时，，解得a1＝2或0（舍去），当n≥2时，4S n＝a n2+2a n①，4S n﹣1＝a n﹣12+2a n﹣1②，①﹣②得：，整理得：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1﹣2＝0，即a n﹣a n﹣1＝2，∴数列{a n}是首项为2，公差为2的等差数列，∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n，∴b n＝（﹣1）n•a n a n+1＝4×（﹣1）n n（n+1），∴T20＝4×[﹣2+6﹣12+20﹣30+42﹣……﹣380+420]＝4×[（﹣2+6）+（﹣12+20）+（﹣30+42）+……+（﹣380+420）]＝4×（4+8+12+……+40）＝4880，故答案为：880．【点评】本题主要考查了数列的递推式，以及并项求和法求数列的前n项和，是中档题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”．笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌（优等品和合格品），某公司年产宣纸10000刀，公司按照某种质量标准值x给宣纸确定质量等级，如表所示：x（48，52]（44，48]∪（52，56]（0，44]∪（56，100]质量等级正牌副牌废品公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100张）进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元．（Ⅰ）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100张）纸中抽出一个容量为5的样本，再从这个样本中随机抽出两张，求其中无废品的概率；（Ⅱ）试估计该公司生产宣纸的年利润（单位：万元）．【分析】（Ⅰ）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100张）约中抽出一个容量为5的样本，设抽出的2张正牌为A，B，2张副牌为a，b，1张废品为t，从中任取两张，基利用列举法能求出其中无废品的概率．（Ⅱ）由频率分布直方图得一刀（100张）宣纸有正牌宣纸40张，有副牌宣纸40张，有废品20张，由此能估计该公司生产宣纸的年利润．解：（Ⅰ）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100张）约中抽出一个容量为5的样本，设抽出的2张正牌为A，B，2张副牌为a，b，1张废品为t，从中任取两张，基本事件有：AB，Aa，Ab，At，Ba，Bb，Bt，ab，at，bt，共10种，其中无废品包含的基本事件有：AB，Aa，Ab，Ba，Bb，ab，共6种，∴其中无废品的概率p．（Ⅱ）由频率分布直方图得：一刀（100张）宣纸有正牌宣纸100×0.1×4＝40张，有副牌宣纸100×0.05×4×2＝40张，有废品100×0.025×4×2＝20张，∴该公司一刀宣纸的利润为40×10+40×5+20×（﹣10）＝400元，∴估计该公司生产宣纸的年利润为：400万元．【点评】本题考查概率、利润的求法，考查考查频率分布直方图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a＝2b cos C+c sin B．（Ⅰ）求tan B；（Ⅱ）若C，△ABC的面积为6，求BC．【分析】（I）由2a＝2b cos C+c sin B，利用正弦定理可得：2sin A＝2sin B cos C+sin C sin B，又sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，化简即可得出．（II）由tan B＝2，B∈（0，π），可得sin B，cos B．sin A＝sin（B+C），由正弦定理：，可得：a．又ab sin6，可得b．即可得出a．解：（I）∵2a＝2b cos C+c sin B，利用正弦定理可得：2sin A＝2sin B cos C+sin C sin B，又sin A ＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，化为：2cos B＝sin B≠0，∴tan B＝2．（II）∵tan B＝2，B∈（0，π），可得sin B，cos B．∴sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C．∴，可得：a．又ab sin6，可得b．∴a，解得a＝3．【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥平面ABCD，E在棱PB上．（Ⅰ）求证：AC⊥PD；（Ⅱ）若V P﹣ACE，求证：PD∥平面AEC．【分析】（Ⅰ）过A作AF⊥DC于F，推导出AC⊥DA，AC⊥PA，从而AC⊥平面PAD，由此能求出AC⊥PD；（Ⅱ）设E到平面ABCD的距离为h，由已知体积列式求得h，可得PB：EB＝PA：h ＝3：1，连接DB交AC于O，连接OE，再由三角形相似证得DB：OB＝3：1，可得PB：EB＝DB：OB，得到PD∥OE，再由直线与平面平行的判定可得PD∥平面AEC．【解答】证明：（Ⅰ）过A作AF⊥DC于F，∵AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，∴四边形ABCF为正方形，则CF＝DF＝AF＝1，∴∠DAC＝90°，得AC⊥DA，又PA⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PA，又PA，AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A，∴AC⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AC⊥PD；（Ⅱ）设E到平面ABCD的距离为h，则V P﹣ACE，得h．又PA＝2，则PB：EB＝PA：h＝3：1．∵BC＝1，CD＝2，∴DB，连接DB交AC于O，连接OE，∵△AOB∽△COD，∴DO：OB＝2：1，得DB：OB＝3：1，∴PB：EB＝DB：OB，则PD∥OE．又OE⊂平面AEC，PD⊄平面AEC，∴PD∥平面AEC．【点评】本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20．已知O为坐标原点，抛物线E的方程为x2＝2py（p＞0），其焦点为F，过点M（0，4）的直线1与抛物线相交于P、Q两点且△OPQ为以O为直角顶点的直角三角形．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设点N为曲线E上的任意一点，证明：以FN为直径的圆与x轴相切．【分析】（Ⅰ）由题意设直线l的方程，与抛物线联立求出两根之积，由△OPQ是以O 为直角顶点的直角三角形，所以0，可得p的值，进而求出抛物线的方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F的坐标和准线方程，设N的坐标，可得NF的中点M，即圆心的坐标，求出M的纵坐标到x轴的距离，再求NF的半径，可得M的纵坐标恰好等于半径，可证得结论．解：（Ⅰ）由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y＝kx+4，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l与抛物线的方程，整理可得：x2﹣8kpx﹣8p＝0，所以x1x2＝﹣8p，所以y1y216，因为△OPQ是以O为直角顶点的直角三角形，所以0，即x1x2+y1y2＝0，所以﹣8p+16＝0，解得p＝2，所以抛物线的方程为：x2＝4y；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得F（0，1），准线方程为：y＝﹣1，设N（m，n），则NF的中点M的纵坐标，即以NF为直径的圆的圆心M到x轴的距离为，而由抛物线的性质可得|NF|＝n+1，即以NF为直径的圆的半径为，所以可得圆心M到x轴的距离恰好等于圆的半径，所以可证得以FN为直径的圆与x轴相切．【点评】本题考查直角三角形与向量的关系，及直线与抛物线的综合，属于中档题．21．已知函数f（x）＝axe x，g（x）＝x2+2x+b，若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）都过点P（1，c）．且在点P处有相同的切线l．（Ⅰ）求切线l的方程；（Ⅱ）若关于x的不等式k[ef（x）]≥g（x）对任意x∈[﹣1，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出切线方程；（Ⅱ）构造函数h（x）＝2kxe x﹣（x2+2x﹣1），利用导数求出函数的最小值，使得最小值大于等于0，需要分类讨论．解：（Ⅰ）∵f′（x）＝ae x（x+1），g′（x）＝2x+2，由已知可得，即，解得a，b＝﹣1，c＝2，∴切线的斜率g′（1）＝4，∴切线l的方程为y﹣2＝4（x﹣1），即4x﹣y﹣2＝0，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）＝2xe x﹣1，g（x）＝x2+2x﹣1，设h（x）＝k[ef（x）]﹣g（x）＝2kxe x﹣（x2+2x﹣1），即h（x）≥0，对任意x∈[﹣1，+∞）恒成立，从而h（x）min≥0，∴h′（x）＝2k（x+1）e x﹣2（x+1）＝2（x+1）（ke x﹣1），①当k≤0时，h′（x）≤0，h（x）在[﹣1，+∞）上单调递减，又h（1）＝2ke﹣2＜0，显然h（x）≥0不恒成立，②当k＞0时，h′（x）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣lnk，（i）当﹣lnk＜﹣1时，即k＞e时，h′（x）≥0，h（x）单调递增，又h（x）min＝h（﹣1）20，显然h（x）≥0不恒成立，（ii）当﹣lnk＝﹣1时，即k＝e时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min＝h（﹣1）20，即h（x）≥0恒成立，（iii）当﹣lnk＞﹣1时，即0＜k＜0时，当x∈[﹣1，﹣lnk）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（﹣lnk，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min＝h（﹣lnk）＝2﹣lnk﹣（ln2k﹣2lnk﹣1）＝1﹣ln2k≥0，解得k≤e，∴k＜e，综上所述得k≤e．【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．一、选择题22．以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（θ∈[0，]），直线1的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C的参数方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设点P为曲线C上的动点，点M和点N为直线l上的点，且满足△PMN为等边三角形，求△PMN边长的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ2（θ∈[0，]），转换为直角坐标方程为（），转换为参数方程为（θ为参数，θ∈[0，]）．直线1的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为x+2y﹣8＝0．（Ⅱ）设P（），θ∈[0，]，所以点P到直线l的距离d，由于θ∈[0，]，所以，所以，故等边三角形的边长的取值范围：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，g（x）＝|x+3|．（Ⅰ）当x∈R时，有f（x）≤g（x），求实数m的取值范围．（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集为[1，3]，正数a，b满足ab﹣2a﹣b＝3m﹣1，求a+b 的最小值．【分析】（1）利用绝对值三角不等式性质（2）利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本不等式可以求解．解：（1）由题意得：∵f（x）≤g（x）在x∈R上恒成立，∴m≤|x+3|+|x﹣2|恒成立，即m≤（|x+3|+|x﹣2|）min又∵|x+3|+|x﹣2|≥|（x+3）﹣（x﹣2）|＝5∴m≤5，即m∈（﹣∞，5]（2）令f（x）≥0，∴m≥||若m≤0，则解集为∅，不合题意；若m＞0，则有﹣m≤x﹣2≤m，即x∈[2﹣m，2+m]又∵解集为x∈[1，3]，∴m＝1∴ab﹣2a﹣b＝2∴b∵，解得a＞1∴a+b＝a3∴a+b≥23＝7当且仅当a﹣1，即a＝3时，等号成立，此时b＝4∴a＝3，b＝4时a+b的最小值为7【点评】本题考查绝对值三角不等式，以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题。

长春市2020届高三质量监测（三）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|4}A x Z x =∈…，{|42}B x x =-<< ，则A B =I （ ）A. {|22}x x -<≤B. {|42}x x -<≤C. {2,1,0,1,2}--D. {2,1,0,1}--2.已知复数()(12) ()z a i i a R =+-∈的实部为3，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ）A. 1-B. -iC. 1D. i3.已知向量(1,2)=-r a ，(3,3)b =-r ，(1,)c t r =，若向量a r 与向量b c +r r 共线，则实数t =（ ）A. 5B. 5-C. 1D. 1-4.已知函数()cos 3sin 22x x f x =-的图象为C ，为了得到关于原点对称的图象，只要把C 上所有的点（ ） A. 向左平移3π个单位 B. 向左平移23π个单位 C. 向右平移3π个单位 D. 向右平移23π个单位 5.函数3()x x x f x e e-=-的图象大致为（ ） A. B.C. D.6.在521()x x +的展开式中，一定含有（ ） A. 常数项B. x 项C. 1x -项D. 3x 项 7.已知直线,m n 和平面,,αβγ，有如下四个命题：①若,//m m αβ⊥，则αβ⊥；②若,//,m m n n αβ⊥⊂，则αβ⊥；③若,,n n m αβα⊥⊥⊥，则m β⊥；④若,m m n α⊥⊥，则//n α.其中真命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其塔俯视图通常是正方形、正六边形和正八边形.下图是风雨桥中塔的俯视图.该塔共5层，若011223340.5m B B B B B B B B ====，008m A B =，则五层正六边形的周长和为（ ）A. 35mB. 45mC. 210mD. 270m 9.已知圆E 的圆心在y 轴上，且与圆2220x y x +-=的公共弦所在直线的方程为30x y -=，则圆E 的方程为（ ）A. 22(3)2x y +-=B. 22(3)2x y ++=C. 22(3)3x y +-=D. 22(3)3x y ++= 10.某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中，列出各个学段每个主题所包含的条目数（如下表），下图是统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（ ）A. 除了“综合实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图象几何” 在第三学段增加较多，约是第二学段的3.5倍.B. 所有主题中，三个学段的总和“图形几何”条目数最多，占50%，综合实践最少，约占4% .C. 第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形几何”条目数最多.D. “数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少.“图形几何”条目数，百分比都随学段的增长而增长.11.已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足2*42 ()n n n S a a n N =+∈，设1(1)n n n n b a a +=-⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，则20T =（ ）A. 110B. 220C. 440D. 880 12.设椭圆C 的左右焦点为12,F F ，焦距为2c ，过点1F 的直线与椭圆C 交于点,P Q ，若2||2PF c =，且114||||3PF QF =，则椭圆C 的离心率为（ ） A. 12B. 34C. 57D. 23 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.一名信息员维护甲乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________14.等差数列{}n a 中，11a =，公差2[]1,d ∈，且391515a a a λ++=，则实数λ的最大值为_________.15.若12,x x 是函数2()74ln f x x x x =-+的两个极值点，则12x x =____，12()()f x f x +=____.16.现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面ABCD 为正方形， 2AB =，侧面PAD 为等边三角形，线段BC 的中点为E ，若1PE =.则所需球体原材料的最小体积为___________.三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答.第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.17.笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”.笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌（优等品和合格品），某公司年产宣纸10000刀（每刀100张），公司按照某种质量标准值X 给宣纸确定质量等级，如下表所示：公式在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100张）进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元.（1）估计该公式生产宣纸的年利润（单位：万元）；（2）该公司预备购买一种售价为100万元的机器改进生产工艺，这种机器的使用寿命是一年，只能提高宣纸的质量，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量标准值X 的频率，如下表所示：其中X 为改进工艺前质量标准值X 的平均值，改进工艺后，每张正牌和副牌宣纸的利润都下降2元，请判断该公司是否应该购买这种机器，并说明理由.18.在△ABC 中， 角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且4cos a c B = .（1）求证：sin cos 3sin cos B C C B =；（2）求B C -的最大值.19.四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，AD DC ⊥，1BC CD ==，2AD =，PA PD =，E 为PC 的中点，平面PAD ⊥平面ABCD ，F 为AD 上一点，//PA 平面BEF .（1）求证：平面BEF ⊥平面PAD ；（2）若PC 与底面ABCD 所成的角为60︒，求二面角E BF A --的余弦值.20.已知点(0,1)A ，点B 在y 轴负半轴上，以AB 为边做菱形ABCD ，且菱形ABCD 对角线的交点在x 轴上，设点D 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 方程；（2）过点(,0)M m ，其中14m <<，作曲线E 的切线，设切点为N ，求AMN V 面积的取值范围.21.已知函数1()ln , () (0)x f x m x g x x x-==>. （1）讨论函数()()()F x f x g x =-在(0,+)∞上的单调性；（2）是否存在正实数m ，使()y f x =与g()y x =的图象有唯一一条公切线，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22120,3sin 2πρθθ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭，直线l的参数方程为253x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （1）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；（2）设点过P 为曲线C 上的动点，点M 和点N 为直线l 上的点，且满足PMN V 为等边三角形，求PMN V 边长的取值范围.23.已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，()3g x x =+． （Ⅰ）当x ∈R 时，有()()f x g x ≤，求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若不等式()0f x ≥的解集为[]1,3，正数a ，b 满足231ab a b m --=-，求+a b 的最小值．。

长春市202X 届高三质量监测(三)理科数学本试卷共4页。

考试结束后，将答题卡交回。

考前须知：I.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘2. 选赤题，荡1扁用2B 铅楚鬲涂：非选择题必须使用0.5亳米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不折叠，不弄破、弄皱，不使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中， 只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 设集合 A = {XE Z| 亍 W4}, B = {X \-4<X <2}9 那么 A(}B =A. {x|-2Wxv2}B. {x|T<x 〈2}C. {-2,-1,0.1,2}D. {-2,-1,0,1}2. Ll 知复数z = (〃 + i)(l-2i) (“cR )的实部为3,其中i 为虚数单位，那么复数z 的虚部为A. -1 3.己知向星。

=(1,一2),力=(3, - 3), c = (lj)，假设向量。

与向量b , c 共线，那么实数，=4.己知函数/(x) = cos ；-J5sin ；的图象为C,为了得到关于原点对称的图象，只要 把C 上所有的点5.函数f(x) = 的图象大致为C. D.A.向左平移:个单位 C,向右平移：个单位B.向左平移一厂个单位 D.向右平移号个单位6. 7. 在（X+A-）5的展开式中，一定含有JTA.常数项B.X 项C. X"1项 己知直线〃7,〃和平面a ，D ，y ,有如下四个命题：① 假设 m la . mH §,那么 a ±/7 ；② 假设 m ±a. mH n .③ 假设n La . 〃 J/?,④ 假设〃】-L a , m ± n , 其中真命题的个数是A. 1B.2〃u/?，那么al/?；mla 9 那么m±flz那么nil a.C.3D.48. 9. 10. 风雨桥是佃族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亨组成，其塔俯视图通常是正 方形、正六边形利正八边形.右下列图是风雨桥中塔的俯视图.该塔共5层，假设Bq =以月=任用=坎/^ = 0.5〃?，4A = 8〃?，那么 /X /\这五层正六边形的周K 总和为——A. 35mB. 45mC. 210mD. 270mA.己知圆E 的圆心在y 轴上，且与圆C ： r + y 2-2x = o 的公共弦所在直线的方程为 x->/3y = 0， A. /+（,、/5）2 =2 C.工2+（）,一后）2=3某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中，列出各个学段每个主题所包含的 条目数（如下表），下右图始将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高 条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中 错误的选项是那么圆£的方程为 B ・，/+(y + x/5)2=2 D ・ x 2+(y + V3)2=3段笫一学段 （1-3年坂） 第二学段 （4 6年欲） 第三学段 （7-9年级）合计 致勺代敷 21 28 49 98 图形凡何 18 25 87 130统计级率 3 8 11 22综合实践 3 4 3 10 合计45 65 150260第一学段第二学段第三学段匚■好凡何 匚二♦计（=□»*** A. 除了 “综合与实践”外，其它三个领域的条H 数都随着学段的升高而增加，尤其 “图形与几何”在第三学段增加较多，约是第二学段的3.5倍.B. 所有主题中，三个学段的总和“图形与儿何”条目数最多，占50%,综合与实践 最少，约占4%.C. 第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形与几何”条目数最多.D. “数与代数”条目数虽然随假设学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少.“图 形与几何”条目数 ，百分比都随学段的增长而增长.II.己知数列｛《,｝的各项均为正数，其前〃项和S 〃满足4S,；2q,,设如=（-1）"・时职,7；为数列｛勿｝的前〃项和，那么乌=A. 110B. 220C. 440D. 88012 •设椭圆的左右焦点为％，&，焦距为2c,过点A ；的直线与椭圆C 交于点P,Q,假设（长舂三切\PF 21= 2c,且那么椭圆C 的离心率为1 3 5 A. —B. —C.—247二、 填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.一名信息员维护甲、乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护的概率分别为0.4和0.3.那么至少有一个公司不需要维护的概率为 __________ ・等差数列中，％=1,公差dc[l,2],旦《+如+弓5=15,那么实数人的最大 值为 .假设玉，冯是函数/（x ） = x 2-7x+4lnx 的两个极值点，那么x ｝x 2 =___________ , /（^） + /（^2）= _____________ ・（此题第一空2分，第二空3分）现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面ABCD 为正方形，48 = 2,侧面△ PAD^等边三角形，线段BC 的中点为E,假设 PE = 1.那么所需球体原材料的最小体积为 ______________ ・ 三、 解答题：共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. （-）必考题：共60分.17. （12 分）笔、墨、纸、砚足中国独有的文书工具，即“文房四宝” O 笔、墨、纸、砚之名， 起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始丁•唐代，产于泾县”，而唐代 泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌 （优等品和合格品），某公司年产宣纸10（）00刀（每刀100张），公司按照某种质量标 准值X 给宣纸确定质量等级，如下表所示：X (48,521(44,482(5256](0,44|U(56J(X)|质房等级正牌副牌废品公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀 （l （X ）张）进行检验，得到频率分布直方图如 图所示，己知每张正牌纸的利润是10元，副 牌纸的利润是5元，废品亏损10元.（I ） 估计该公司生产宣纸的年利润（单 位：万元）：（II ） 该公司预备购置一种售价为100万 元的机器改良生产工艺，这种机器的使用寿命7D.二 313. 14. 15. 16.是一年，只能提高宣纸的质量，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量标准值A•的频率，如下表所示：(x-2,x + 2]其中三为改良工艺前质量标准值A•的平均值，改良工艺后，每张正牌和副牌宣纸的利润都卜降2元，请判断该公司是否应该购置这种机器，并说明理由.18. (12 分)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为。

吉林省2020版高考数学三模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·武邑模拟) 已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二下·赣州期末) =（）A . 1﹣2iB . 1+2iC . ﹣ iD . + i3. （2分） (2016高一下·石门期末) 若 = ，则tan2α（）A . ﹣B .C . ﹣D .4. （2分）已知函数，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）设圆（x－3）2＋（y＋5）2＝r2（r>0）上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是（）A . 3<r<5B . 4<r<6C . r>4D . r>56. （2分） (2017高二下·洛阳期末) 设x＞0，由不等式x+ ＞2，x+ ≥3，x+ ≥4，…，类比推广到x+ ≥n+1，则a=（）A . nnB . n2C . 2nD . n7. （2分） (2019高一下·大庆月考) 在中，A最大，C最小，且，，则此三角形的三边之比为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·仙桃期末) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .9. （2分） (2015高三上·秦安期末) 如图所示的程序框图的功能是（）A . 求数列{ }的前10项的和B . 求数列{ }的前11项的和C . 求数列{ }的前10项的和D . 求数列{ }的前11项的和10. （2分）若平面向量=（﹣1，2）与的夹角是180°，且||=3，则坐标为（）A . （6，﹣3）B . （﹣6，3）C . （﹣3，6）D . （3，﹣6）11. （2分）(2020·宝鸡模拟) 《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（）A . 4πB . 8πC .D .12. （2分） (2018高二下·辽宁期中) 函数有极值点，则的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·丰城期中) 由曲线y= ，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为________．14. （1分）(2018·河北模拟) 设变量满足不等式组，则的取值范围是________．15. （1分） (2017高二下·黑龙江期末) 已知点，抛物线：（）的准线为，点在上，作于，且，，则 ________．16. （1分） (2016高三上·浦东期中) 已知函数y=f（x），y=g（x）的值域均为R，有以下命题：①若对于任意x∈R都有f[f（x）]=f（x）成立，则f（x）=x．②若对于任意x∈R都有f[f（x）]=x成立，则f（x）=x．③若存在唯一的实数a，使得f[g（a）]=a成立，且对于任意x∈R都有g[f（x）]=x2﹣x+1成立，则存在唯一实数x0 ，使得g（ax0）=1，f（x0）=a．④若存在实数x0 ， y0 ， f[g（x0）]=x0 ，且g（x0）=g（y0），则x0=y0 ．其中是真命题的序号是________．（写出所有满足条件的命题序号）三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分）(2020·长春模拟) 已知数列中，，，设 .（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和 .18. （10分） (2016高二上·黑龙江期中) 已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC= AB=1，M为PB中点．（1）证明：CM∥平面PAD；（2）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．19. （5分）(2020·南昌模拟) 某班级共有50名同学（男女各占一半），为弘扬传统文化，班委组织了“古诗词男女对抗赛”，将同学随机分成25组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个不同问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分5分为满分.最后25组同学得分如下表：组别号12345678910111213男同学得分5455455444554女同学得分4345554555535分差1110-101-1-1-102-1组别号141516171819202122232425男同学得分434444555433女同学得分534543553455分差-100-1010020-2-2（I）完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“该次对抗赛是否得满分”与“同学性别”有关；（Ⅱ）某课题研究小组假设各组男女同学分差服从正态分布，首先根据前20组男女同学的分差确定和，然后根据后面5组同学的分差来检验模型，检验方法是：记后面5组男女同学分差与的差的绝对值分别为，若出现下列两种情况之一，则不接受该模型，否则接受该模型.①存在；②记满足的i的个数为k，在服从正态分布的总体（个体数无穷大）中任意取5个个体，其中落在区间内的个体数大于或等于k的概率为P， .试问该课题研究小组是否会接受该模型.0.100.050.0102.7063.841 6.635参考公式和数据：，；若，有， .20. （10分） (2018高二上·陆川期末) 已知椭圆的一个顶点为A(2，0)，离心率为 .直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M、N.（1）求椭圆C的方程.（2）当△AMN的面积为时，求k的值.21. （5分）(2017·黑龙江模拟) 已知函数f（x）= （e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线4x+3ey+1=0互相垂直．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若对任意x∈（，+∞），（x+1）f（x）≥m（2x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设g（x）= ，Tn=1+2[g（）+g（）+g（）+…+g（）]（n=2，3…）．问：是否存在正常数M，对任意给定的正整数n（n≥2），都有 + + +…+ ＜M成立？若存在，求M的最小值；若不存在，请说明理由．22. （10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsinθ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线L的参数方程为，t（为参数），直线L与曲线C分别交于M，N两点．（1）写出曲线C的平面直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）若PM，MN，PN成等比数列，求实数a的值．23. （10分） (2017高二下·中原期末) 已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。