第12章无穷级数近年试题

第十二章 无穷级数练习1.判别下列级数的敛散性：212111111!21sin ;ln(1);;()32n n n n n n n n n n n n ∞∞∞∞+====++-∑∑∑∑2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？211(1)[3n n n n ∞-=-+∑； 21cos 3nn n n ∞=∑；1(1)n n ∞-=-∑。

3.求幂级数0nn ∞=的收敛区间。

4.证明级数1!nnn n x n∞=∑当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。

注：数列nn nx )11(+=单调增加，且e x n n =∞→lim 。

5.在区间(1,1)-求幂级数 11n n x n +∞=∑ 的和函数。

6.求级数∑∞=-222)1(1n nn 的和。

7.设11112,()2n n na a a a +==+ （1,2,n =）证明1）lim n n a →∞存在； 2）级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛。

8.设40tan n n a xdx π=⎰，1） 求211()n n n a a n∞+=+∑的值； 2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1nn a nλ∞=∑收敛。

9.设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞=-1)1(n n na 发散，试问∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+111n nn a 是否收敛？并说明理由。

10.已知222111358π+++=[参见教材246页]，计算1011ln 1x dx x x+-⎛⎜⎠。

无穷级数例题选解1.判别下列级数的敛散性：212111111!21sin ;ln(1);;()32n nn n n n n n n n n n ∞∞∞∞+====++-∑∑∑∑解：1）2211sin n n < ，而∑∞=121n n 收敛，由比较审敛法知 ∑∞=121sin n n 收敛。

2）)(1~)11ln(∞→+n n n ，而∑∞=11n n发散，由比较审敛法的极限形式知 ∑∞=+1)11ln(n n 发散。

第十二章无穷级数练习题含答案第十二章无穷级数练习1.判断下列数列的收敛性和发散性：n?1sin1n?;2?n?1ln(1?1n?);?n?1n!n?;n?n?1(2n?13n?2)2n?12.判断下列序列是绝对收敛、条件收敛还是发散？（？1）n？1n？1n1；[n？]3n2??n?1ncosn3n2?；N1（？1）n？11n？lnn3.求幂级数?n?0(x?1)nn?1的收敛区间。

4.证明系列？N1n！NNX何时|x |？当e是绝对收敛时，当| x |？E.1n）处的散度单调增加，而limxn？En??nn注：数列xn?(1?5.找出区间（？1,1）中的幂级数n?1xn?1n的和函数。

6.找到这个系列吗？N21（n？1）和22 n。

一7.设a1?2,an?1?12(an?1an)（n?1,2,?）证明1）利曼存在；2）连续剧？（n？Anan？1？1）收敛。

n?18.设定一个？？40? ntanxdx1）求?n?11n(an?an?2)的值；2）验证：对于任何常数？？0系列？N1安？汇聚19.设正项数列{an}单调减少，且?(?1)nan发散，试问a?1?是否收敛？并说明理N1.N1n拜拜。

1211??11?xlndx。

10.已知1?2?2[参见教材246页]，计算??1?x3580x。

二无穷级数例题选解1.判断下列数列的收敛性和发散性：n?1sin1n?;2?n?1ln(1?1n21n?);n?1n!n2?;n?n?1(2n?13n?2)2n?1解决方案：1）？sin1n2和N11n收敛，由比较审敛法知2）?ln(1?1n?n?1sin1n2收敛。

)~ 1n（n？？）和N1.1n散度，由比较审敛法的极限形式知联合国？1un？N1ln（1？1n）散度。

n3）??lim?nlim(n?1)!(n?1)n?1?n??1?nlim，NN1n！Ennn？？知识收敛比1n1n!n2收敛。

14）?? 林恩？？un4？2n？1.2n？1.N林N3n？29 3n？2.2n？1.2n？1.汇聚1.从根值收敛法，我们可以知道3n？2.N1.2.判断下列序列是绝对收敛、条件收敛还是发散？N1（？1）n？1n1；[n？]3n?n?12??n?1ncosn3n2?；N1（？1）n？11n？lnn解：1）对于级数?(?1)n?1n32n，N1人？？林？|联合国？1 | | un | n？1n13.知道进展情况吗？（？1）n？1.N32n绝对收敛，n1[n?]条件收敛。

第十二章 无穷级数无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题.第一节 常数项级数的概念和性质教学目的：1、理解无穷级数的概念；2、理解级数的收敛或发散的概念；3、掌握等比级数和p 级数等特殊级数的敛散性；4、了解无穷级数的基本性质。

教学重点：级数收敛或发散的判定 教学难点：级数收敛或发散的判定 教学内容：一、常数项级数的概念定义1 给定数列{}n u ，则称12n u u u ++++L L为常数项无穷级数，简称级数，记做1n n u ¥=å，即121n n n u u u u ¥==++++åL L式子中每一项都是常数，称作常数项级数，第n 项称为级数的一般项（或通项）。

级数1n n u ¥=å的前n 项和称为级数的部分和，记做n s ，即12n n s u u u =+++L级数的所有前n 项部分和n s 构成一个数列{}n s ，称此数列为级数1n n u ¥=å的部分和数列。

定义2 若级数1n n u ¥=å的部分和数列{}n s 收敛于s ，则称级数1n n u ¥=å收敛，或称1nn u ¥=å为收敛级数，称s 为这个级数的和，记作121n n n s u u u u ¥==++++=åL L而12n n n n r s s u u ++=-=++L称为级数的余项，显然有lim lim()0n n nnr s s =-=若{}n s 是发散数列，则称级数1n n u ¥=å发散，此时这个级数没有和。

第十二章 无穷级数同步测试A 卷一、单项选择题(每小题3分，共15分)1．下列级数中，收敛的是（ ）2100111111()22223++++++++A n 2111111()23100222++++++++n B211111()(1)()()2222+++++++n C n2111111()(1)()23222++++++++++n D n2．设1∞=∑nn u为数项级数，下列结论中正确的是（ ）1()lim,1+→∞=<n n n u A l l u ，级数绝对收敛.1()lim,1+→∞==n n nu B l l u ，级数发散.1()lim,1+→∞=<n n nu C l l u ，级数绝对收敛. 1()lim,1+→∞=<n n nu D l l u ，级数条件收敛. 3．已知幂级数1∞=∑nn n a x的收敛半径2=R ，则对幂级数1(3)∞=-∑nn n a x 而言，下列的x 值不能确定收敛或发散的是（ ）()2()2()1()1==-=-=A x B x C x D x4. 设常数0>k ，则级数121(1)∞-=+-∑n n k nn （ ）.()A 发散. ()B 条件收敛. ()C 绝对收敛. ()D 收敛性与k 有关.5. 周期为2π的函数()f x ，在一个周期上的表达式为 (0)()2(2)πππππ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩x f x x x ，设它的傅里叶级数的和函数是()S x ，则(2)π=S （ ）.()()()2()02πππA B C D二、填空题(每小题4分，共20分)6. 级数111()23∞=+∑n nn 的和为 . 7. 幂级数2112(3)∞-=+-∑n n nn n x 的收敛半径为 . 8. 已知级数12111(1)2,5∞∞--==-==∑∑n n n n n u u ，则级数1∞==∑n n u .9．将1()2=-f x x展开为x 的幂级数时，其收敛域为 . 10．将()1(0)π=+≤≤f x x x 展开为余弦级数时，0=a .三、解答题(共65分)11. （8分）判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在. 因为11ln(1)(1)∞-=+=-∑n n n x x n ，因此取2=x 得112ln 3(1)∞-==-∑n n n n . 12. （8分）讨论级数∞=n 的敛散性. 13. （8分）求级数2012!∞=+∑nnn n x n 的和函数. 14. （8分）将2125()65-=--xf x x x 展开为x 的幂级数.15. （8分）求极限212lim()(1)→∞+++>n n na a a a.16. （8分）利用对展开式11(1)2sin +∞=-=∑n n x nx n 逐项积分，求2x 在(,)ππ-内的傅里叶级数.17. （8分）已知22116π∞==∑n n ，求10ln 1+⎰x dx x .18. （9分）设有级数212(2)!∞=+∑nn x n ，验证此级数的和函数()y x 满足微分方程()()10''-+=y x y x ，并求幂级数212(2)!∞=+∑nn x n 的和函数.第九章 多元函数微分法及其应用同步测试A 答案及解析一、单项选择题答案详细解析1. 解 利用级数的性质.由于2100111222+++是常数，11123++++n 发散，因此()A 发散.由于11123100+++是常数，2111222++++n 收敛，因此()B 收敛.由于 211111(1)()()2222+++++++n n2111111(1)()23222=++++++++++n n这是一个发散级数与一个收敛级数的和，因此()C 发散.同理，()D 发散. 故选()B .『方法技巧』 本题考查无穷级数的性质.『特别提醒』 增加或去掉有限项，不影响级数的敛散性；一个收敛级数与一个发散级数的和发散.2. 解 比值审敛法只适用于正项级数，所以()A 不正确.事实上，令(1)=-nn u n ，11(1)(1)lim lim 11(1)++→∞→∞-+==-<-n n n n n nu n u n ，但级数1(1)∞=-∑n n n 发散. 令21=n u n ，2121(1)lim lim 11+→∞→∞+==n n n nu n u n ，但级数211∞=∑n n 收敛，所以()B 不正确.若11lim lim 1++→∞→∞==<n n n n n nu u l u u ，则级数1∞=∑n n u 收敛，因此1∞=∑n n u 绝对收敛. 故()D 不正确，选()C .『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法及绝对收敛和条件收敛的概念.『特别提醒』 比值审敛法只限于正项级数使用.3. 解 由于1∞=∑nn n a x 的收敛半径2=R ，则幂级数1(3)∞=-∑n n n a x 在32-<x ，即15<<x 内绝对收敛，在5>x 或1<x 处发散，在1,5=x 不能确定，故选()D .『方法技巧』 本题考查幂级数的阿贝尔定理.『特别提醒』 阿贝尔定理经常出现在各类考试的选择题或填空题中，要求大家熟练掌握它.4. 解 由于 111221111(1)(1)(1)∞∞∞---===+-=-+-∑∑∑n n n n n n k n k n n n 由比较审敛法 22lim 01→∞=>n kn k n ，得121(1)∞-=-∑n n k n 绝对收敛；而111(1)∞-=-∑n n n 条件收敛，则级数 121(1)∞-=+-∑n n k nn 条件收敛，故选()B . 『方法技巧』 本题考查正项级数的比较审敛法及绝对收敛、条件收敛的概念.5. 解 2π=x 是函数的间断点，则由狄利克雷收敛定理知，傅里叶级数收敛于(20)(20)0(2)222πππππ-+++===f f S故选()A .『方法技巧』 本题考查傅里叶级数的狄利克雷收敛定理.在函数的连续点0=x x ，级数收敛到0()f x ；在函数的间断点0=x x ，级数收敛到00(0)(0)2-++f x f x .『特别提醒』 首先要判断所求点是函数的间断点还是连续点（可以画出函数的图形），再应用狄利克雷收敛定理.二、填空题6. 328. 8 9. (2,2)- 10. 2π+答案详细解析6. 解 由于级数1111,23∞∞==∑∑n n n n 均为等比级数，且公比1<q ，因此两级数均收敛.又由收敛级数的和仍收敛，故111111111332()11232321123∞∞∞===+=+=+=--∑∑∑n n n n n n n 『方法技巧』 本题考查等比（几何）级数求和及级数的性质. 『特别提醒』 等比级数的和为1(1)1<-a q q，一定记住分子为第一项. 7. 解 211121112112(3)2(3)limlim lim 2(3)2(3)++++++→∞→∞→∞-++-+-==+-+-n n n n n n n n n n n n nn nn x u x n u x2212()113lim 233()13→∞+-+==-+n n n x x由比值审敛法知：当213<x，即<x 213>x，即>x级数发散，因此级数的收敛半径为=R『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法及其特殊性.由比值审敛法判断级数1∞=∑n n u 收敛时，原级数1∞=∑n n u 绝对收敛；而级数1∞=∑n n u 发散时，原级数1∞=∑nn u 也发散.这是由于比值审敛法判断级数发散是使用的必要条件，即lim 0→∞≠n n u ，此时lim 0→∞≠n n u ，故级数1∞=∑n n u 也发散.『特别提醒』 观察本题时，发现级数缺少偶数幂项，因此求收敛半径不可以直接应用公式，应使用比值审敛法或变量代换法（令2=t x ）.8. 解 由题设112342113511(1)2,5∞∞--==-=-+-+==+++=∑∑n n n n n u u u u u u u u u1234135123412()()∞==++++=+++--+-+∑nn uu u u u u u u u u u u121112(1)2528∞∞--===--=⨯-=∑∑n n n n n u u『方法技巧』 本题考查收敛级数的性质——收敛级数的代数和仍收敛（此性质只适用于收敛级数）.『特别提醒』 一些同学不熟悉符号∑，可以将其写成普通和的形式，看起来会方便一些.9. 解 由于111()2212==--f x xx ，则当 12<x ，即2<x 时，函数可以展开为x 的幂级数，故收敛域为(2,2)-.『方法技巧』 本题考查形如1()1=-f x x的函数展开式及收敛域1<x .若函数不是标准形式，需先化为标准形式.10. 解 由傅里叶系数公式200221(1)(1)22πππππ=+=+=+⎰a x dx x『方法技巧』 本题考查余弦级数的傅里叶展开式及系数公式：2()cos (0,1,2,)ππ==⎰n a f x nxdx n则 01()cos 2∞==+∑n n a f x a nx （x 在连续点）三、解答题11. 解 运算过程是错误的.函数ln(1)+x 的幂级数展开式并不是在整个数轴上均为11(1)∞-=-∑nn n x n，而是在区间(1,1]-上，11ln(1)(1)∞-=+=-∑nn n x x n，故运算错误. 『方法技巧』 本题考查函数的幂级数展开式及幂级数的收敛域. 12. 解 当3≥n 时，1<≤，又 1=n ，由夹逼准则知10=≠n ，故级数2∞=n . 『方法技巧』 本题考查级数收敛的必要条件： 1∞=∑n n u 收敛lim 0→∞⇒=n n u .即若lim 0→∞≠n n u ，则1∞=∑n n u 发散.『特别提醒』 解题过程中用到了结论1=n ，证明如下：由于 ln ln 1limlim0limlim 1→+∞→+∞→+∞=====x x xx xxxx x eeee故1=n一些数列的极限如果能够记住，会很方便，如1(0)=>n a ；1=n 等.13. 解 222000111(1)1()()()2!!2!2(1)!2∞∞∞∞====+-+=+=+-∑∑∑∑xn n n nnn n n n n n x x n x x e n n n n22111()()(2)!2(1)!2∞∞===++--∑∑xn nn n x x e n n22122111()()4(2)!22(1)!2∞∞--===++--∑∑x n n n n x x x x e n n 222242=++xx x x xe e e 『方法技巧』 本题考查函数xe 的展开式：0()!∞==-∞<<+∞∑nxn x e x n . 展开式 0!∞==∑nxn x e n 中，三处的n 要相同.『特别提醒』 若对∑符号不熟悉，可以将每一项直接写出. 在20()!2∞=∑nn n x n 中，n 从0开始取，但在1(1)1()(1)!2∞=-+-∑nn n x n 中，n 从1开始取. 14. 解 21256(1)(6)6111()65(6)(1)6111()6---+===+=+--+-+----x x x f x x x x x x x x x 01(1)()616∞==-+∑n n n xx （16<x 即6<x ） 011∞==-∑n n x x （1<x ） 故 2000125(1)()(1)()[1]6566∞∞∞===--==-+=+--∑∑∑n n n nn n n n n x x f x x x x x （1<x ） 『方法技巧』 本题考查形如1()1=-f x x的函数展开式及收敛域1<x .首先利用分式的性质，将2125()65-=--x f x x x 化为标准形式1111()6+---x x . 15. 解 所求极限实际上是级数1∞=∑n n na 的和，所以考虑幂级数1∞=∑n n nx .令 1211()[]()1(1)∞∞-==''====--∑∑n n n n x xS x x nxx x x x x （11-<<x ）故 2221121lim()()1(1)(1)→∞+++===--n n n a a S a aa a a a『方法技巧』 本题考查利用级数的和求其部分和的极限.关键是找到一个适当的幂级数，利用它求出常数项级数的和，再利用级数收敛的充要条件求极限.16. 解 由于当(,)ππ∈-x 时，有11(1)2sin +∞=-=∑n n x nx n ，而()=f x x 在(,)ππ-内连续，对展开式逐项积分得1001(1)2sin +∞=-=∑⎰⎰n xxn xdx nxdx n 1122011(1)(1)2cos 2(1cos )++∞∞==--=-=-∑∑n n xn n nx nx n n 故 112222111(1)(1)(1)4(1cos )44cos ++∞∞∞===---=-=+∑∑∑n n nn n n x nx nx n n n021(1)4cos 2∞=-=+∑nn a nx n由傅里叶系数公式知 2200223πππ==⎰a x dx ，因此3221(1)4cos ()3πππ∞=-=+-<<∑nn x nx x n『方法技巧』 本题考查利用间接方法（对已知函数展开式逐项积分）将函数展开为傅里叶级数.省去了求傅里叶系数的过程（傅里叶系数中的,n n a b 计算比较复杂）.17. 解 11100000ln ln [(1)](1)ln 1∞∞===-=-+∑∑⎰⎰⎰n nn n n n x dx x x dx x xdx x 1112000(1)(1)ln 1(1)+∞∞+==--==++∑∑⎰nn n n n xdxn n 2200112(2)∞∞===-+∑∑n n n n 2222201116262612ππππ∞==-+=-+=-∑n n『方法技巧』 本题题型比较特殊，在被积函数中，需要将其中一个展开为x的幂级数，逐项积分再求和.『特别提醒』 122220(1)1111(1)234+∞=-=-+-+-+∑n n n222221111112()23424=-----+++222220000011111112(2)22∞∞∞∞∞======-+=-+=-∑∑∑∑∑n n n n n n n nn n 18. 解 当(,)∈-∞+∞x 时，记21()2(2)!∞==+∑nn x y x n ，则211()(21)!-∞='=-∑n n x y x n ，22211()1()1(22)!(2)!-∞∞==''==+=--∑∑n nn n x x y x y x n n 且(0)2,(0)0'==y y ，则 ()()1()1()10''-+=--+=y x y x y x y x ，故()y x 满足微分方程()()10''-+=y x y x .由于幂级数212(2)!∞=+∑nn x n 的和函数为()y x ，因此所要求的是二阶常系数非齐次线性微分方程()()10''-+=y x y x 的满足条件(0)2,(0)0'==y y 的特解()y x . 其特征方程为210-=r ，特征根为1=±r ，对应的齐次方程的通解为12-=+x x Y C e C e ，观察知1*=y 是方程的一个特解，故其通解为121-=++x x y C e C e ，将(0)2,(0)0'==y y 代入得1212==C C ，即11()122-=++x xy x e e ，即幂级数 211121(2)!22∞-=+=++∑n x x n x e e n 『方法技巧』 本题考查幂级数逐项求导及二阶常系数非齐次线性微分方程求通解和通解.『特别提醒』 求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解时，也可用一般方法，设特解形式为*=y A （0λ=不是特征根），代入原方程中，求出特解.。

第十二章 无穷级数§ 1 常数项级数的概念和性质1、 设级数∑∞=053n nn ，则其和为（ ）A21B 53D 352、 若0lim=∞→nn a ，则级数∑∞=1n na （ ）A 收敛且和为C 发散可能收敛也可能发散3 、若级数∑∞=1n nu 收敛于S ，则级数)(11∑∞=++n n n u u （ ）A 收敛于2SB 收敛于2S+1u2S-1u D 发散4、若+∞=∞→n n b lim ，0≠nb ,求 )11(11+∞=-∑n n nb b 的值解： (=nS 11143322111)11......()11()11()11(++-=-+-+-+-n n nb b b b b b b b b b所以11limb S nn =∞→5、若级数∑∞=1n na 收敛，问数列{n a }是否有界解：由于0lim =∞→nn a ，故收敛数列必有界。

6、若aa nn =∞→lim，求级数)(11∑∞=+-n n n a a 的值解：=nS 1113221)......())(()(++-=-+-+-n n n a a a a a a a a故aa a a a a n n n n n -=-=-+∞→∞=+∑11111)(lim )(7、求)(12121-+∞=-∑n n n a a 的值解：=nS +-)(3a a aa a a a a n n n -=-+-+-+12121235)......()(故)(12121-+∞=-∑n n n a a =aa a n n -=-=+∞→1)(lim 128、求 ∑∞=++1)2)(1(1n n n n 的和 ()41§ 2 常数项级数的审敛法一、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性1、判定级数 ∑∞=+-1)13)(23(1n n n 的敛散性 解：由于)13)(23(1+-n n <21n,而∑∞=121n n收敛，故∑∞=+-1)13)(23(1n n n 收敛2、判定敛散性 ∑∞=11n nnn解： n n= 2121).1(1.....1.1.<-=-+<nn n n n n n故nnn 1>n21,而级数∑∞=121n n发散，故∑∞=11n nnn发散3、判定敛散性 ∑∞=+111n na)0(>a ,1>a 收敛; ≤<a 01, 发散4、判定敛散性 ∑∞=-++13221n nnn en en ne(收敛);二、用比值或根值审敛法判别下列级数的收敛性5、判定级数∑∞=1!.3n nnn n 的敛散性解：ea a nn n 3lim1=+∞→>1,所以∑∞=1!.3n nnnn 发散6、判定级数∑∞=-1354n nnn的敛散性解：154lim1<=+∞→nn n a a ，所以∑∞=-1354n nnn收敛7、 ∑∞=+112tan.n n n π收敛8、 nn n an ∑∞=+1)1(，1>a 收敛三、判别下列级数是否收敛。

无穷级数练习题无穷级数题一、填空题1、设幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}ax^n$ 的收敛半径为3，则幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}na(x-1)^n(n+1)$ 的收敛区间为 $(-2,4)$。

2、幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(2n+1)x^n$ 的收敛域为 $(-1,1)$。

3、幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{( -3)^n}{n+2}(2n-1)x^n$ 的收敛半径 $R= \dfrac{1}{3}$。

4、幂级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{(n+1)(x-2)^{2n}}$ 的收敛域是 $(-\infty。

2) \cup (2.\infty)$。

5、级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{n^4(\ln3)^n}$ 的收敛域为 $(0,4)$。

6、级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ 的和为 $\dfrac{\pi^2}{6}$。

7、级数 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n(n-1)}$ 的和为 $1$。

8、设函数 $f(x)=\pi x+x(-\pi<x<\pi)$ 的___级数展开式为$a_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$，则其系数 $b_3$ 的值为 $0$。

9、设函数 $f(x)=\begin{cases} -1.& -\pi<x\leq 0 \\ 1+x。

& 0<x\leq \pi \end{cases}$，则其以 $2\pi$ 为周期的___级数在点$x=\pi$ 处的收敛于 $1$。

1. 下列级数中，哪一个级数是绝对收敛的？oA. ∑(−1)nn∞n=1o B. ∑1n 2∞n=1 oC. ∑n √n ∞o D. ∑1n ∞n=1参考答案：B解析： 选项B 是p -级数，其中p =2>1，因此它是绝对收敛的。

选项A 和C 是交错级数，而选项D 是发散的调和级数。

2. 无穷级数∑1n (n+1)∞n=1的和是多少？o A. 1 o B. 12 o C. 2 o D. ∞参考答案：A解析： 该级数可以通过部分分式分解为∑(1n −1n+1)∞n=1，这是一个可缩放的级数，其和为1。

3. 下列级数中，哪一个级数是条件收敛的？o A. ∑12n ∞n=1 oB. ∑(−1)nn∞n=1o C. ∑1n 3∞n=1 o D. ∑1n ∞n=1参考答案：B解析： 选项B 是交错调和级数，它是条件收敛的，因为它的绝对值级数是发散的。

4. 无穷级数∑1n 2∞n=1的和可以表示为哪个数学常数？o A. π o B. eo C. π26o D. ln (2)参考答案：C解析： 该级数是著名的巴塞尔问题，其和为π26。

5. 无穷级数∑1n p ∞n=1，当p =1时，该级数是？o A. 绝对收敛 o B. 条件收敛 o C. 发散 o D. 无法确定参考答案：C解析： 当p =1时，该级数是调和级数，它是发散的。

6. 无穷级数∑1n!∞n=1的和等于？o A. e o B. e −1 o C. e +1 o D. 2e参考答案：B解析： 该级数是e x 的泰勒级数在x =1时的展开，减去第一项1，因此其和为e −1。

7. 无穷级数∑12n ∞n=1的和是多少？o A. 1 o B. 12 o C. 2 o D. 14参考答案：A解析： 该级数是一个几何级数，其首项a =1/2，公比r =1/2，因此其和为a1−r =1。

8.无穷级数∑(−1)n+1n∞n=1的和等于？o A. ln (2) o B. ln (2)−1 o C. ln (2)+1 o D. 2ln (2)参考答案：A解析： 该级数是自然对数ln (1+x )在x =1时的泰勒级数展开，其和为ln (2)。

第 12 章无穷级数练习题一、填空题∞∞1. 已知级数∑u 收敛，而级数∑nn=1 n=1∞u 发散，则称级数∑u 为收敛。

n nn=1∞2. 如果幂级数∑n=0a n x 在点n1x =处收敛，那么它在点21x =−处的收敛性是。

3x x x2 3 n3. 幂级数1+x +++++（−∞<x <+∞) 的和函数是。

2! 3! n!∞4. 设常数k > 0,则级数∑(−1)nn=1 k+n2n的收敛性为。

∞15. 若级数∑n n α+1=1nnα+1收敛，则α的取值范围是。

∑∑∞−1 ( 1)∞n6. =n=0 n 0 n !!n=。

∞7．已知级数∑u 的前n 项部分和为nn=13nsn =(n = 1,2,,n) ，则此级数的通项n +1u =。

n∞n28．级数∑=0 n!n的收敛和为。

二、判断题∞1．如果∑n=1 a 收敛，则部分和nS 有界。

（）n∞2．如果lim = 0 a 收敛。

（）a ，则∑→nnn ∞n=13．设f (x) = 1− cos x ，那么( 1) (1)∞−n−1f 绝对收敛。

（）∑nn=1∞a4．设> 0 a 收敛，那么lim +1 =ρ< 1a ，如果∑n。

（）n nn→∞a n=1n∞∞5. 如果∑ a 的收敛区间是(−R, R) ，那么∑n 3n+ln x a （l 是某自然数）的收敛区间是n xn=0 n=0(−3 R,3 R) 。

（）∞6．如果∑n=0∞a 的收敛半径是R，则∑n xa 的收敛半径是R，则∑n(n n x 的收敛半径也为 R。

（）1)an −−n 2n=2三、选择题1．下列级数中，收敛的是。

1 1 1A．++++；1⋅ 3 3⋅ 5 (2n −1)(2n +1)1 1 1B．1+++++1+ 2 1+ 4 1+ 2(n −1)；1 1 1 1C．+++++2 4 6 2n；+1 1 1 +11+1D ．++++。