广东省东莞市2021届新高考数学三月模拟试卷含解析

广东省东莞市2021届高三数学下学期3月模拟考试试题 文（含解析）一、选择题1.已知集合2{|40},{2,1,0,1,2}A x x B =-<=--，则A B =（ ）A. {2,1,0,1,2}--B. {0,1,2}C. {1,0,1}-D. {0,1}【答案】C 【解析】 【分析】首先求出集合A ，再根据交集的定义计算可得； 【详解】解：由240x -<，得22x -<<，{}|22A x x ∴=-<<，又{2,1,0,1,2}B =--，由集合的交集运算，得{1,0,1}.=-A B 故选：C .【点睛】本题考查集合的运算，一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.设21ix yi i=++（,,x y R i ∈为虚数单位），则||x yi -=（ ） A. 1 B.12D.2【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，再由复数相等的条件求得x ，y 值，最后代入复数模的公式求得答案．【详解】解：∵22(1)11(1)(1)i i i i x yi i i i -==+=+++-， ∴ 1x y ==，∴ 1x yi i -=-故选：C【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题． 3.下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ）A. y =B. 33y x =-C. 1y x x=-D. y x x =【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析答案四个函数在定义域上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案．【详解】解：因为函数y =A 不合题意； 函数33y x =-在定义域上为减函数，所以选项B 不合题意； 函数1y x x=-在定义域内不单调，所以选项C 不合题意； 函数y x x =为奇函数，且22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，因为2yx 在[0,)+∞上单调递增，2y x =-在(,0)-∞上单调递增，且2yx 与2y x =-在0x =处函数值都为0，所以y x x=在定义域内是增函数. 故选：D .【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性和单调性，熟练掌握基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键．属于基础题．4.若等比数列{}n a 满足19nn n a a +=+，则其公比为（ ）A. 9B. 9±C.92D. 92±【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 公比q ，由已知条件可得121n n n n a a q a a ++++=+，即可计算得解；【详解】解：设等比数列{}n a 公比q ，又等比数列{}n a 满足19nn n a a +=+，1129n n n a a +++∴+=1219n n n n a a q a a ++++∴==+.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，以及整体代换求值，属于基础题．5.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出2只，则恰有1只测量过该指标的概率为（ ） A.23B.35C.25D.15【答案】B 【解析】 【分析】本题根据组合的概念可知从这5只兔子中随机取出2只的所有情况数为25C ，恰有1只测量过该指标是从3只测过的里面选1，从未测的选1，组合数为3211C C ．即可得出概率． 【详解】解：由题意，可知：从这5只兔子中随机取出2只的所有情况数为25C ，恰有1只测量过该指标的所有情况数为3211C C ． 12235135C C p C ∴==．故选：B【点睛】本题主要考查组合的相关概念及应用以及简单的概率知识，属于基础题． 6.某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高.2021年全年总收入与2021年全年总收入相比增长了一倍，实现翻番.同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化.下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（ ）A. 该企业2021年原材料费用是2021年工资金额与研发费用的和B. 该企业2021年研发费用是2021年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和C. 该企业2021年其它费用是2021年工资金额的14D. 该企业2021年设备费用是2021年原材料的费用的两倍【解析】 【分析】先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解． 【详解】解：由折线图可知：不妨设2021年全年的收入为t ，则2021年全年的收入为2t . 对于选项A ，该企业2021年原材料费用为0.3×2t ＝0.6t ，2021年工资金额与研发费用的和为0.2t +0.1t ＝0.3t ，故A 错误；对于选项B ，该企业2021年研发费用为0.25×2t ＝0.5t ，2021年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和为0.2t +0.15t +0.15t ＝0.5t ，故B 正确；对于选项C ，该企业2021年其它费用是0.05×2t ＝0.1t ，2021年工资金额是0.2t ，故C 错误；对于选项D ，该企业2021年设备费用是0.2×2t ＝0.4t ，2021年原材料的费用是0.15t ，故D 错误. 故选：B .【点睛】本题考查了对折线图信息的理解及进行简单的合情推理，属于基础题． 7.若tan 2α=，则cos(2)2πα-=（ ）A.25或25- B.25C.45或45- D.45【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入求值即可； 【详解】解：因为tan 2α= 所以2222sin cos 2tan 4cos(2)sin 22sin cos tan 15παααααααα-====++.故选：D .【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系以及二倍角公式的应用，属于基础题.8.设12,F F 为椭圆22:+195x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限，若12MF F ∆为等腰三角形，则12MF F ∆的面积为（ ）A.15 B. 23 C. 3D. 15【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得212MF F F =，即可求出2MF 、1MF 的值，再根据面积公式计算可得； 【详解】解：设1F 为左焦点，分析可知2221222954MF F F a b ==-=-=，124MF a ∴=-2342=⨯-=，12221241152MF F S ∆∴=⨯⨯-=.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的方程和简单几何性质，属于基础题.9.已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数sin (0)y ax b a =+>的图象求出a 、b 的范围，从而得到函数log ()a y x b =-的单调性及图象特征，从而得出结论．【详解】解：由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意. 故选：C.【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图象特征，属于基础题．10.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为3，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为,AC BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于,AC BD ，则双曲线Γ的离心率为（ ）32232 D. 22【答案】A 【解析】 【分析】求得圆锥的高，可得矩形ABCD 的对角线长，即有AC ，BD 的夹角，可得两条渐近线的夹角，由渐近线方程和离心率公式，计算可得所求值．【详解】解：设与平面α平行的平面为β，以,AC BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x 轴，在平面β内与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.根据题意可设双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>.由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为2y x =±， 由24=b a ，得离心率222223214+===+=c a b b e a a a .故选：A.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．11.在三棱柱111ABC A B C -中，已知12AB BC CA AA ===，1AA ⊥平面ABC ，D 为AC 的中点，则异面直线1AB 与BD 所成角的大小为（ ）. A. 30 B. 45︒ C. 60︒ D. 90︒【答案】B 【解析】 【分析】取11A C 中点E ，根据平行关系可将问题转化为1AB E ∠的求解，根据垂直关系可求得1AB E ∆的三边长，进而得到所求角的大小. 【详解】取11A C 中点E ，连接1,AE B E ，,D E 分别为11,AC A C 中点，1//BD B E ∴，1AB E ∴∠即为异面直线1AB 与BD 所成角.设11AA =，则2AB BC CA ===162B E BD ∴==， 1AA ⊥平面ABC ，2211113AB AA A B ∴=+=，22116AE AA A E =+=， 22211B E AE AB ∴+=，1B E AE ∴⊥，又1B E AE =，145AB E ∴∠=，即异面直线1AB 与BD 所成角的大小为45. 故选：B .【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行移动，将异面直线所成角转化为相交直线所成角的问题.12.已知()sin 3f x x x =+，且直线12,x x x x ==分别为()y f x =与()sin y f x x =-的对称轴，则()12f x x -的值为（ ） A. 2 B. 2±C. ±1D. 1【答案】B 【解析】 【分析】先转化两个函数()sin 32sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，()sin 3=-=y f x x x ，由直线12,x x x x ==分别为()y f x =与()sin y f x x =-的对称轴，根据对称轴方程可得111222,,,6x k k Z x k k Z πππ=+∈=∈，再将12x x -代入()f x 求解.【详解】()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭()sin =-=y f x x x因为直线12,x x x x ==分别为()y f x =与()sin y f x x =-的对称轴， 所以111222,,,6x k k Z x k k Z πππ=+∈=∈，所以()()12122si 2n 2ππ⎛⎫-=-+=± ⎪⎝⎭f x x k k . 故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 13.已知函数()()21xf x x x e =++，则()f x 在0x =的切线方程为（ ）.A. 10x y ++=B. 10x y -+=C. 210x y -+=D.210x y ++=【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可求得切线斜率，求得切点坐标后，利用直线点斜式方程可整理得到切线方程. 【详解】()()()()2221132x x x f x x e x x e x x e '=++++=++，()02f ∴'=，又()01f =，∴切点坐标为()0,1，()f x ∴在0x =处的切线方程为：()120y x -=-，即210x y -+=.故选：C .【点睛】本题考查求解在曲线某一点处的切线方程的问题，关键是熟练掌握导数的几何意义，利用导数求得切线斜率.14.如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若,AC AM AB λμ=+则λμ+=（ ）A. 1B. 1-C. 3D. 3-【答案】A 【解析】 【分析】由M 为BC 的中点，得1()2AM AC AB =+即可得到； 【详解】解：由M 为BC 的中点，得1()2AM AC AB =+（三角形中线结论）；故2AC AM AB =-，所以2,1λμ==-，即1λμ+=.故选：A.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.15.在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ）A. 810B. 840C. 870D. 900【答案】B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B.16.在ABC ∆中，8,4AB AC BC +==，D 为BC 的中点，当AD 长度最小时，ABC ∆的面积为（ ） A. 2 B. 4C. 42D. 43【答案】D 【解析】 【分析】在ABC ∆中，设,,,AB x AC y AD m ADB θ===∠=，则ADC πθ∠=-，在ABD ∆中，由余弦定理得：2244cos θ+-=m m x （1），在ACD ∆中，由余弦定理得：优质资料\word 可编辑- 11 - / 11- 11 - 2244cos θ++=m m y （2），联立可得22228+=+m x y ，再又由8x y +=，即可得到22828m y y =-+，根据二次函数的性质求出m 的最值，即可得到三角形面积的最值；【详解】解：在ABC ∆中，设,,,AB x AC y AD m ADB θ===∠=，则ADC πθ∠=-，ABD ∆中，由余弦定理得：2244cos θ+-=m m x （1）， 在ACD ∆中，由余弦定理得：2244cos()πθ+--=m m y ，即2244cos θ++=m m y （2），由（1）（2）得：22228+=+m x y ，又8x y +=， 所以222228(8)21664m y y y y +=-+=-+，所以22828m y y =-+，所以当4y =时，m的最小值为即AD长度的最小值为4AB AC BC ===，ABC ∆是等边三角形，易得其面积为故选：D.【点睛】本题考查余弦定理以及二次函数的性质，属于中档题.。

广东省东莞高级中学2021届高考数学模拟试卷(3月份)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.方程组{2x +y =5x −y =1的解集不可以表示为( )A. {(x,y)|{2x +y =5x −y =1} B. {(x,y)|{x =2y =1} C. {2,1}D. {(2,1)}2.若复数z =1−i1+i (i 为虚数单位)，则W =z 2+z 4+z 6+z 8+z 10的值为( )A. 1B. −1C. iD. −i3.双曲线x 2−=1的离心率大于的充分必要条件是( )A. m >B. m ≥1C. m >1D. m >24.已知函数f(x)=12x −14sinx −√34cosx 的图象在点A(x 0,y 0)处的切线斜率为1，则tanx 0=( )A. −√3B. √3C. −√33 D. √335.质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m ，n ，且两次结果相互独立，互不影响．记m 2+n 2≤4为事件A ，则事件A 发生的概率为( )A. 38B. 316C. π8D. π166.某汽车的使用年数x 与所支出的维修费用y 的统计数据如表： 使用年数x(单位：年) 1 2345维修总费用y(单位：万元)0.51.22.23.34.5根据上表可得y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x −0.69，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用( )A. 8年B. 9年C. 10年D. 11年7. 已知：x 10=a 0+a 1(1−x)+a 2(1−x)2+⋯+a 10(1−x)10，其中a 0，a 1，a 2，…，a 10为常数，则a 0+a 2+a 4+⋯+a 10等于( )A. −210B. −29 C. 210D. 298. 已知函数f(x)=−|x|+1，若关于x 的方程f 2(x)+(2m −1)f(x)+4−2m =0有 4 个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( )A. m ≥32B. m >32C. m >−12D. m <−52二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是( )A. 若a ⃗ ⋅b ⃗ =b ⃗ ⋅c ⃗ ，则a⃗ =c ⃗ B. a ⃗ =(1,1),b ⃗ =(2,x)，若a ⃗ +b ⃗ 与4b ⃗ −2a ⃗ 平行，则x =2C. 非零向量a ⃗ 和b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，则a ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 与的夹角为60°D. 点A(1,3)，B(4,−1)，与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为(35,−45)10.已知三个正态分布密度函数P i(x)=1√2πσe−(x−μi )22σi2(x ∈R,i =1,2，3)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A. σ1=σ2=σ3B. σ1=σ2<σ3C. μ1=μ2>μ3D. μ1<μ2=μ311. 已知等差数列{a n }满足a 3=2，前3项和S 3=92，等比数列{b n }满足b 1=a 1，b 4=a 15，{b n }的前n 项和为T n .则下列命题错误的是( )A. {a n }的通项公式为a n =2n −4B. 等差数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+3n4C. 等比数列{b n }的公比为12 D. T n =2n −112. 给出下列各命题，其中正确的是( )A. 存在实数α，使sinα+cosα=1B. 要得到y =3sin(x −π5)的图象，只需把y =3sin(x +π5)向右平移2π5个单位 C. x =π8是函数y =sin(2x +5π4)图象的一条对称轴D. 函数y =log a (x +3)−1(a >0,a ≠1)的图象恒过定点(−2,−1)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边分别为1和√2的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为______．14. 适合条件|sinα|=−sinα的角α的取值范围是______．15. 若P为椭圆x216+y215=1上任意一点，EF为圆(x−1)2+y2=4的任意一条直径，则PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______．16. 设定义域为R的函数满足下列条件：对任意，且对任意，当时，有.给出下列四个结论：①②③④其中所有的正确结论的序号是____________．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 若等差数列{a n}中，a1=3，a4=12，{b n−a n}为等比数列，且数列{b n}满足b1=4，b4=20．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和．18. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积S满足2√33S=AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)求A；(2)若ac=bcosA+acosB，求△ABC的周长的最大值．19. 空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～250为重度污染；>300为严重污染．一环保人士记录2017年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数；(按这个月总共30天计算)(2)将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．20. 在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2√3，D在线段A1B上，且A1D：DB=3：1．(Ⅰ)求证：A1B⊥平面ACD；(Ⅱ)求二面角B−AC−D的大小．21. 已知函数f(x)=e x−ln(x+m)．(1)当m=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)当m≤2时，证明：f(x)>16．22. 求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程并求出其离心率．(1)焦点在x轴上，长轴长是10，短轴长8的椭圆方程；(2)与椭圆x227+y236=1有相同焦点，且过点(√15,4)的双曲线方程．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查了方程组解集的集合表示方法，是基础题．先解出方程组的解集，方程组的解集是x ，y 的一对值，所以用集合表示的话应该是点集，所以选项A ，B ，D 是正确的，选项C 是数集，不正确． 解：解方程组{2x +y =5x −y =1得：{x =2y =1，∵方程组的解集是x ，y 的一对值， ∴用集合表示的话应该是点集，∴选项A ，B ，D 是正确的；选项C 是数集，不正确， 故选：C ．2.答案：B解析：解：∵复数z =1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−i ，∴z 2=−1，则W =z 2+z 4+z 6+z 8+z 10=z 2(1−z 10)1−z 2=−1(1+1)2=−1，故选B ．化简复数z 为−i ，可得z 2=−1，再利用等比数列的前n 项和公式求得W =z 2+z 4+z 6+z 8+z 10的值．本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i 的幂运算性质，等比数列的前n 项和公式的应用，属于基础题．3.答案：C解析：依题意，e =，e 2=>2，得1+m >2，所以m >1．4.答案：A解析：解：∵f(x)=12x −14sinx −√34cosx ，∴f′(x)=12−14cosx +√34sinx =12+12sin(x −π6)，∵函数f(x)=12x −14sinx −√34cosx 的图象在点A(x 0,y 0)处的切线斜率为1，∴12+12sin(x 0−π6)=1，∴x 0=2π3+2kπ(k ∈Z)，∴tanx 0=tan(2π3+2kπ)=−√3故选：A ．先求函数f(x)的导数，然后令f′(x 0)=1，求出x 0的值后再求其正切值即可． 本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于在该点处切线的斜率．5.答案：A解析：解：质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字， 某同学随机的抛掷次正四面体2次，正四面体与地面重合的表面数字分别记为m ，n ， 且两次结果相互独立，互不影响． 基本事件总数N =42=16， 记m 2+n 2≤4为事件A ， 则事件A 包含的基本事件有：(0,0)，(1,1)，(0,1)，(1,0)，(0,2)，(2,0)共6个， ∴事件A 发生的概率为p =616=38． 故选：A ．先求出基本事件总数N =42=16，再利用列举法求出m 2+n 2≤4包含的基本事件个数，由此能求出事件A 发生的概率．本题考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等，是基础题．6.答案：D解析：本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，属于中档题．计算x −、y −，求出回归系数，写出回归方程，据此模型预测该汽车最多可使用年限． 解：计算x −=15×(1+2+3+4+5)=3， y −=15×(0.5+1.2+2.2+3.3+4.5)=2.34；代入回归方程y ̂=b ̂x −0.69得2.34=b ̂×3−0.69， 解得b ̂=1.01；∴回归方程为y ̂=1.01x −0.69， 令y ̂=1.01x −0.69≥10， 解得x ≥10.6≈11，据此模型预测该汽车最多可使用11年． 故选：D ．7.答案：D解析：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了用特殊值代入求值计算的问题，是基础题目． 解：令x =0得：a 0+a 1+a 2+a 3+⋯+a 10=0， 令x =2得：a 0−a 1+a 2−a 3+⋯+a 10=210， 两式相加即得2(a 0+a 2+a 4+⋯+a 10)=210， 故a 0+a 2+a 4+⋯+a 10=29． 故选D ．8.答案：B解析：解：函数f(x)的图象如图，设t =f(x)∈(−∞,1]，则关于x 的方程f 2(x)+(2m −1)f(x)+4−2m =0有 4 个不同 的实数解， 等价于方程t 2+(2m −1)t +4−2m =0有2个不同 的实数解， 设g(t)=t 2+(2m −1)t +4−2m ，则{△=(2m −1)2−4(4−2m)>0−2m−12<1g(1)=4>0，解得{m >32或m <−52m >−12m ∈R ，∴m >32．故选B ．题中原方程f 2(x)+(2m −1)f(x)+4−2m =0有 4 个不同 的实数解，设t =f(x)，等价于方程t 2+(2m −1)t +4−2m =0有2个不同 的实数解，再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案． 本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，属于难题，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．9.答案：BD解析：解：若a ⃗ ⋅b ⃗ =b ⃗ ⋅c ⃗ ，则有b ⃗ ⋅(a ⃗ −c ⃗ )=0，所以b ⃗ =0⃗ 或a ⃗ −c ⃗ =0⃗ 或b ⃗ ⊥(a ⃗ −c ⃗ )，故选项A 错误； 因为a ⃗ =(1,1),b ⃗ =(2,x)，若a ⃗ +b ⃗ 与4b ⃗ −2a ⃗ 平行，则有3(4x −2)=6(x +1)，解得x =2，故选项B 正确；因为非零向量a ⃗ 和b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ −b ⃗ |，则以向量a ⃗ 和b ⃗ 为边对应的四边形为一个角是60°的菱形，则a ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 的夹角为30°，故选项C 错误；因为点A(1,3)，B(4,−1)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4)，可得与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(35,−45)，故选项D 正确． 故选：BD ．运用向量数量积的定义可判断选项A ，利用向量共线的坐标表示列出方程，解方程即可判断选项B ，利用向量加法的平行四边形法则，结合向量的夹角即可判断选项C ，运用向量的坐标表示以及单位向量的求法，即可判断选项D ．本题考查了平面向量的理解和应用，涉及了向量共线和垂直的应用、平面向量数量积的性质、单位向量的求解，解题的关键是熟练掌握平面向量中的相关概念．10.答案：BD解析：解：因为x =μ是对称轴，观察图象可知：μ1<μ2=μ3，而y =φ1(x)与y =φ2(x)的图象可以相互平移得到，且y =φ3(x)的图象显得更“矮胖”， 故σ1=σ2<σ3．故选：BD ．根据正态分布曲线的性质，即对称轴为x =μ；σ表示的是标准差，反映在图象的“高瘦”或“矮胖”，由此作出选择．本题是一个识图问题，主要考查正态分布曲线的性质．属于基础题．11.答案：AC解析：解：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3=2，S 3=92，所以a 1+2d =2，3a 1+3d =92，解得a 1=1，d =12， 所以a n =1+12(n −1)=n+12，故A 错误； S n =n +12n(n −1)×12=n 2+3n 4，故B 正确；设等比数列{b n }的公比为q ，由b 1=a 1=1，b 4=a 15=8， 可得q 3=8，解得q =2，故C 错误； T n =1−2n 1−2=2n −1，故D 正确．故选：AC ．设等差数列{a n }的公差为d ，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ；由等差数列的求和公式，可判断B ；由等比数列的通项公式，解方程可得公比，可判断C ；由等比数列的求和公式，可判断D ．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.答案：ABCD解析：解：对于A ，存在实数α=π2，sinα=1，cosα=0，使sinα+cosα=1，所以A 对； 对于B ，把y =3sin(x +π5)向右平移2π5个单位，得y =3sin((x −2π5)+π5)=3sin(x −π5)，所以B 对； 对于C ，把x =π8，代入y =sin(2x +5π4)，得y =sin(3π2)=−1，所以C 对；对于D ，把x =−2，代入y =log a (x +3)−1，得y =−1，所以D 对． 故选：ABCD ．A 用特值法判断；B 求出平移后的函数图象；C 根据正弦函数性质，用特值法判断；D 求出函数值验证即可．本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数对称性及图象平移问题，考查了对数函数性质，属基础题．13.答案：3π解析：解：满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V−ABC，其中VA=AB=BC=1，VB=AC=√2，其外接球即为正方体的外接球，故外接球的半径即为正方体体对角线的一半，设三棱锥的外接球的半径为R，，所以R=√32)2=3π．所以该四面体的外接球的表面积为4π×(√32故答案为：3π．把三棱锥放到正方体里面，故故外接球的半径即为正方体体对角线的一半，进而求得外接球的半径，从而利用球的表面积公式求得答案．本题考查三棱锥的外接球，考查球的表面积公式，将三棱锥外接球转化为正方体的外接球是解题的关键，属于中档题．14.答案：[2kπ−π,2kπ]，k∈Z解析：解：∵|sinα|=−sinα，∴−sinα≥0，∴sinα≤0，由正弦曲线可以得到α∈[2kπ−π,2kπ]，k∈Z，故答案为：[2kπ−π,2kπ]，k∈Z由绝对值的特点得到−sinα和0的关系，由正弦曲线和角的正弦值可以得到角的范围，写出角的范围后注意加上k的取值．本题主要考查三角函数不等式，解题时最关键的是要掌握三角函数的图象，通过数形结合得到要求的角的范围，这个知识点应用非常广泛，可以和其他知识结合来考查．15.答案：[5,21]解析：解：因为PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−|NE|⋅|NF|⋅cosπ−0+|NP|2=−4+|NP|2． 又因为椭圆x 216+y 215=1的a =4，b =√15，c =1，N(1,0)为椭圆的右焦点，∴|NP|∈[a −c,a +c]=[3,5]∴PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[5,21]． 故答案为：[5,21]．先把PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为=(NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−|NE|⋅|NF|⋅cosπ−0+|NP|2=−4+|NP|2.再结合|NP|的范围即可求出结论．本题主要考查椭圆的基本性质．解决本题的关键在于知道N 为椭圆的右焦点并且会把所求问题转化．16.答案：①②④解析：试题分析：∵对任意x ∈R ，f(x)+f(−x)=0，∴函数f(x)是奇函数，∵对任意x 1，x 2∈[1,a]，当x 2>x 1时，有f(x 2)>f(x 1)>0，∴函数f(x)在区间[1,a]上是单调增函数．∵a >1，故①f(a)>f(0)一定成立．，故②一定成立．，，，由奇函数的对称性知：，④对．，但是否在[1,a]上不能确定，故意和的大小不能确定，③不对，故正确的为①②④．考点：1.函数的单调性；2.函数的奇偶性17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1=3，a 4=12，∴12=3+3d ，解得d =3．∴a n =a 1+(n −1)d =3+3(n −1)=3n ． ∵{b n −a n }为等比数列，设公比为q ， 又数列{b n }满足b 1=4，b 4=20．∴b4−a4=(b1−a1)q3，即(20−12)=(4−3)q3，解得q=2．∴b n−a n=2n−1，∴b n=3n+2n−1．(2)由(1)可得数列{b n}的前n项和=3(1+2+⋯+n)+1+2+22+⋯+2n−1=3n(n+1)2+2n−12−1=3n(n+1)2+2n−1．解析：(1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；(2)利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)由已知2√33×12bcsinA=bccosA，得tanA=√3．因为0°<A<180°，所以A=60°．(2)由题设及正弦定理得asinC=sinBcosA+sinAcosB，所以asinC=sin(B+A)，即asinC=sinC．由于0°<C<120°，sinC≠0，所以a=1．由余弦定理得a2=b2+c2−bc，所以(b+c)2−1=3bc≤3×(b+c2)2，当且仅当b=c=1时取等号．解得b+c≤2．即△ABC的周长的最大值为3．解析：(1)由向量的数量积可得，2√33×12bcsinA=bccosA，解得tan A，进而解得A．(2)由正弦定理得asinC=sinBcosA+sinAcosB，⇒asinC=sinC.⇒a=1.由余弦定理得a2=b2+ c2−bc，所以(b+c)2−1=3bc≤3×(b+c2)2，当且仅当b=c=1时取等号．解得b+c最大值，进而得出△ABC的周长的最大值．本题考查正余弦定理，向量的数量积，基本不等式，属于中档题．19.答案：解：(1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为610=35，从而估计该月空气质量优良的天数为30×35=18天． (2)由(1)估计某天空气质量优良的概率为35， ξ的所有可能取值为0，1，2，3.且ξ～B(3,35)， P(ξ=0)=(25)3=8125,P(ξ=1)=C 3135(25)2=36125,P(ξ=2)=C 32(35)225=54125，P(ξ=3)=(35)3=27125， ∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P8125361255412527125E(ξ)=0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=1.8．解析：(1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，从而求出该样本中空气质量优良的频率，由此能估计该月空气质量优良的天数．(2)估计某天空气质量优良的概率为35，ξ的所有可能取值为0，1，2，3.且ξ～B(3,35)，由此能求出结果．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．20.答案：解：(Ⅰ)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得A(0,0，0)，B(0,2，0)，C(2,0，0)，A 1(0,0，2√3)，B 1(0,2，2√3)，C 1(2,0，2√3)，D(0,32,√32)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,√32)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2√3)， 因为A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AC ∩AD =A ，所以A 1B ⊥平面ACD ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面ACD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2√3)， 平面ABC 的法向量为n⃗ =(0,0，1)， 设二面角B −AC −D 的大小为θ，cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√34⋅1=√32，所以θ=π6．故二面角B −AC −D 的大小为π6．解析：(Ⅰ)用向量数量积为零，证明直线A 1B 垂直平面ACD 内两相交直线AC 、AD 即可； (Ⅱ)直接用空间向量计算二面角的余弦值即可．本题考查了直线与平面位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．21.答案：解：(1)当m =0时，f(x)=e x −lnx ，f ′(x)=e x −1x ，又f(1)=e ，f′(1)=e −1∴切线方程为：y −e =(e −1)(x −1)，即(e −1)x −y +1=0， (2)当m ≤2时，f(x)=e x −ln(x +m)≥e x −ln(x +2)(x >−2)(x >−2) 令g(x)=e x −ln(x +2)(x >−2)，则g′(x)=e x −1x+2，g″(x)=e x +1(x+2)2>0 ∴y =g′(x)在(−2,+∞)上单调递增． 又g′(0)=1−12>0，g′(−12)=√e 23<0 ∴x 0∈(−12,0)，使得g′(x 0)=e x 0−1x0+2=0，两边同时取以e 为底的对数，即得ln(x 0+2)=−x 0 当x ∈(−2,x 0)，g′(x)<0，y =g(x)单调递减，当 x ∈(x 0,+∞)，g′(x)>0，y =g(x)g′(x)>0，y =g(x)单调递增g(x)min =g(x 0)=e x 0−ln(x 0+2)=1x 0+2+x 0,x 0∈(−12,0) ∵x 0∈(−12,0)，∴x 0+2∈(32,2)令t =x 0+2，则g(x)min =g(x 0)=e x 0−ln(x 0+2)=1x+2+x 0,x 0∈(−12,0) g(x 0)可表示成y ，y =t +1t −2，t ∈(32,2)此时函数单调递增，y >32+23−2=16，∴f(x)=e x −ln(x +m ≥g(x)=e x −ln(x +2)≥g(x 0)>16 故当m ≤2时，f(x)>16．解析：(1)常规题．根据导数求斜率，求出切点，再用点斜式即可得出切线方程(2)利用导数求最值，隐零点问题．本问要证明f(x)>16；是一个不等式问题，也是一个最值问题，因此我们自然想到利用导数求最值．但求导数前要适当的放缩f(x)=e x −ln(x +m)≥e x −ln(x +2)(x >−2)(x >−2)，本问要证明f(x)>16⇔g(x)=e x −ln(x +2)>16，引出要利用导数求函数g(x)=e x−ln(x+2)(x>−2)的最值，但在求g(x)的最值时要求二阶导数，得出隐零点．最后构造对勾函数得出y=t+1t −2，y>32+23−2=16，∴f(x)=e x−ln(x+m≥g(x)=e x−ln(x+2)≥g(x0)>1 6 ,故证明了f(x)>16．本题难度较大，主要考查了导数的综合应用，求最值，判断单调性，还用到了二阶导数确定隐零点，也是全国卷导数题常出现的一种类型的题目．22.答案：解：(1)由题意，a=5，b=4，焦点在x轴上的椭圆方程为x225+y216=1；(2)椭圆x227+y236=1的焦点坐标为(0,±3)，∵双曲线过点(√15,4)，∴2a=√15+49−√15+1=4，∴a=2，b=√5，∴双曲线方程为y24−x25=1．解析：(1)由题意，a=5，b=4，即可求出焦点在x轴上的椭圆方程；(2)求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义求出2a，即可得出结论．本题考查椭圆、双曲线的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．。

2021年高三3月模拟考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集，集合，则＝A． B．{1} C．{1,2} D．{1,2,3}【考点】集合的运算【试题解析】由题知：故答案为：C【答案】C2．设是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若，则复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【考点】复数乘除和乘方【试题解析】对应点为（-1，-1），位于第三象限。

故答案为：C【答案】C3．已知向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，则|a＋b|＝A．1 B．C． D．2【考点】数量积的应用开始 输入m ,n r =m MOD n m = nn = rr=0? 输出m结束是 否【试题解析】|a ＋b|＝故答案为：A 【答案】A4．已知随机变量，若，则A ．B ．C ．D ．【考点】正态分布 【试题解析】由题知： 故答案为：C 【答案】C 5．已知函数，则A ．B ．C ．D ．【考点】分段函数，抽象函数与复合函数 【试题解析】 故答案为：D 【答案】D6．右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的 “辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n ”表示 除以的余数），若输入的，分别为495，135，则输 出的=A ．0B ．5C ．45D ．90 【考点】算法和程序框图 【试题解析】否；否；是，输出m=45. 故答案为：C 【答案】C7．已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其 区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次 检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为2正视图侧视A ．B ．C ．D ． 【考点】独立事件与乘法公式【试题解析】第一次检测出的是次品的概率为第二次检测出的是正品的概率为 所以第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为： 故答案为：B 【答案】B8．已知圆C ：上存在两点关于直线： 对称，经过点作圆的两条切线，切 点分别为，，则 A ．3B ．C ．D ．【考点】直线与圆的位置关系【试题解析】圆C ：的圆心C 为（1,2），半径为2. 因为圆上存在两点关于直线l 对称，所以直线过圆心，即： 所以m=-1.所以M （-1，-1），所以又CP=2，CQ=2，MP=3，MQ=3.设PQ 的中点为H ， 在直角中，故2PH=。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试一､选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.若,2z i i =-+则z= A.2-iB.1-2iC.-1+2iD.-2+i 2.已知集合2{|30},{2,2}A x x x a B =-+==-,若A∩B={2},则A ∪B=A.{-2,1,2}B.{-2,-1,2}C.{-2,3,2}D.{-2,2}3.62()x x-的展开式的常数项为 A.-120 B.-60 C.120 D.604.某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗,并在500名志愿者身上进行了人体注射实验,发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答｡若这些志愿者的某免疫反应蛋白M 的数值X(单位:mg/L)近似服从正态分布2(15,),N σ且X 在区间(10,20)内的人数占总人数的19,25则这些志愿者中免疫反应蛋白M 的数值X 不低于20的人数大约为A.30B.60C.70D.140 5.天文学中为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念｡星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大,它的光就越暗｡到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念｡天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述｡两颗星的星等与亮度满足12212.5(lg lg )m m E E -=-,其中星等为i m 的星星的亮度为(1,2).i E i =已知"角宿一"的星等是0.97,"水委一"的星等是0.47.“水委一”的亮度是"角宿一"亮度的r 倍,则与r 最接近的是(当|x|较小时,2101 2.3 2.7x x x ≈++)A.1.56B.1.57C.1.58D.1.596.已知圆C:22(3)(3)9x y -++=,直线l:(m+1)x+(2-m)y-3m=0,则当圆心C 到直线l 的距离最大时,直线l 被圆C 所截得的弦长为A.4 .25B .23C .27D7.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,底面ABCD 是梯形,2//,,43AB CD BCD AB π∠==,PD=BC=CD=2,则四棱锥P-ABCD 的外接球的表面积为A.16πB.18πC.20πD.24π8.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F(1,0),准线为l,过焦点F 的直线交抛物线C 于点A ､B(A 在x 轴上方),且点A 的横坐标为3,D 是y 轴正半轴上一点,O 为坐标原点,∠ODA 的角平分线过AF 的中点,则点D 的坐标为A.(0,2) 53.(0,)2B C.(0,3) .(0,33)D二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分｡9.已知曲线C:221.x y a b+= A.若C 是双曲线,则ab<0B.若a>0,C 是离心率为2的双曲线,则3b a =- C.若ab>0,则C 是椭圆D.若C 是离心率为12的椭圆,则34b a = 10.已知()cos()(0,0,0)f x A x B A ωϕωϕπ=++>><<,其部分图象如图所示,M ､N 分别为最高点､最低点,则A.A=7B.B=29 .4C πϕ= D.f(11)=32.511.如图,平面α∩平面β=直线l,点A,C ∈α,点B,D ∈β,且A ､B ､C ､D ∉l,点M ､N 分别是线段AB ､CD 的中点｡A.当直线AC 与BD 相交时,交点一定在直线l 上B.当直线AB 与CD 异面时,MN 可能与l 平行C.当A ､B ､C ､D 四点共面且AC//l 时,BD//lD.当M 、N 两点重合时,直线AC 与l 不可能相交12.已知数列{}n a 的通项公式是2,n n a =1a 和2a 之间插入1个数11,x 使1112,,a x a 成等差数列;在2a 和3a 之间插入2个数2122,x x ,使221223,,,a x x a 成等差数列;…;在n a 和1n a +之间插入n 个数12,,,n n n n x x x ,使121,,,,,n nn n n n a x x x a +成等差数列｡这样得到新数列{}:n b 1112212233132334,,,,,,,,,a x a x x a x x x a …,记数列{}n b 的前n 项和为,n S 则836.A a b =B.112132n n n n n n n a x x x a n -++++++=⋅ 38.320C b = 45.6401D S =三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡把答案填在答题卡中的横线上｡13.若向量a =(1,2),b -a =(-2,1),则a ·b =____.14.若函数21()7ln 2f x x x a x =-++在x=2处取极值,则a=____ ,f(x)的极大值为____.15.已知正实数a,b,c 满足22243,a b c +=则2c c a b +的最小值为____. 16.如图,在△ABC 中,,3BAC A π∠=B=3,AC=2,点D 为边BC 上一个动点,将△ABD 沿AD 翻折,使得点B到达B '的位置,且平面AB D '⊥平面ACD.当CD=_____时,B C '到最小值｡四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡17.(本小题满分10分)在3210,9,3a S b ==<-①②③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中｡设n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,满足____2,36nn n a a S b +=+是否存在实数b,使得数列{}n a 成为等差数列?若存在,求出b 和数列{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由｡(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)18.(本小题满分12分)第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查,普查标准时点是2020年11月1日零时,将彻查人口出生变动情况以及房屋情况｡普查对象是普查标准时点在中华人民共和国境内的自然人以及在中华人民共和国境外但未定居的中国公民,不包括在中华人民共和国境内短期停留的境外人员｡普查主要调查人口和住户的基本情况,内容包括:姓名､公民身份证号码､性别､年龄､民族､受教育程度､行业､职业､迁移流动､婚姻生育､死亡､住房情况等｡普查登记方式全程电子化方式普查,由普查员使用手机上门入户登记或由普查对象通过互联网自主填报｡某机构调查了100位居名的普查登记方式,数据统计如下表,部分数据缺失 普查员使用手机上门入户登记 通过互联网自主填报 年龄不超过40岁10 a 年龄超过40岁b 15已知从调查的居民中任取一人,其年龄不超过40岁的概率比其年龄超过40岁的概率大110. (1)求a,b 的值；(2)是否有99%的把握认为年龄与普查登记方式有关?附:22()()()()()n ad bc a b c K d a c b d -=++++其中n=a+b+c+d.P(K 2≥k 0) 0.050 0.010 0.001K 0 3.841 6.635 10.82819.(本小题满分12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知28sin 72cos2.2B C A -+-=(1)求A;(2)若7,a =b+c=5,求BC 边上的高.20.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,∠ACB=90°,1,.AC BC AB AA ==D ､E 分别是1CC 、1BB 的中点.(1)证明:1C E ⊥平面ACB 1；(2)求二面角1C AB D --的余弦值.21.(本小题满分12分)已知12F F 、分别为椭圆C:22184x y +=的左､右焦点,点M 是椭圆C 上异于左､右顶点的一点,过点1F 作12F MF ∠的外角平分线的垂线交2F M 的延长线于P 点.(1)当M 点在椭圆C.上运动时,求P 点的轨迹方程E.(2)设点N(t,0)(t≠0),过点N 作一条斜率存在且不为0的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,点B 关于x 轴的对称点为B '直线AB '交x 轴于点T,O 是坐标原点,求证:|ON|·|OT|为定值.22.(本小题满分12分)已知函数2()ln 1.f x x x =-+(1)求曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若方程f(x)=b 有两个实数根12,,x x 且12,x x <证明:2112.x x b -<-。

广东省东莞市2021届新高考三诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A ．若//αβ，则l//m B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l β⊥，则αβ⊥ D ．若αβ⊥，则m α⊥【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果. 【详解】对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误； 对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误； 对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确； 对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误. 故选：C . 【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.2．已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为（）A ．1B ．2C ．12D ．4【答案】B 【解析】 【分析】因为圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于 半径，可知p 的值为2，选B. 【详解】 请在此输入详解！3．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1由A C B ⋃=可确定集合C 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案. 【详解】由A C B ⋃=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A 项. 【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.4．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）A ．3()3x f x x=-B ．e e ()x xf x x --= C ．2()f x x x =-D ．||e ()xf x x=【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可知，函数()f x 为奇函数，以及函数在()0,∞+上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出． 【详解】首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，e e ()x xf x x--=为偶函数，不符合题意，排除B ；其次，在剩下的3个选项,对其在()0,∞+上的零点个数进行判断, ||e ()xf x x=在()0,∞+上无零点, 不符合题意，排除D ；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 2()f x x x=-在()0,∞+上单调递减, 不符合题意，排除C. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题． 5．已知复数z 满足()125z i ⋅+=（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限根据复数运算，求得z ，再求其对应点即可判断. 【详解】51212z i i==-+Q ，故其对应点的坐标为()1,2-. 其位于第四象限. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题.6．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( ) A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】做出函数(),()f x g x 的图象，问题转化为函数(),()f x g x 的图象在[5,5]-有7个交点，而函数(),()f x g x 在[5,0]-上有3个交点，则在[0,5]上有4个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】作出函数(),f x ()g x 的图象如图所示，由图可知方程()()f x g x =在[5,0]-上有3个不同的实数根， 则在[0,5]上有4个不同的实数根， 当直线y kx =经过(4,1)时，14k =；当直线y kx =经过(5,1)时，15k =， 可知当1154k ≤<时，直线y kx =与()f x 的图象在[0,5]上有4个交点， 即方程()()f x g x =，在[0,5]上有4个不同的实数根. 故选:D. 【点睛】本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.7．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-< D ．1,0a b >->【答案】C 【解析】 【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得． 【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，当10a +„，即1a -„时，0y '…，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如图：∴01ba<-且3211(1)(1)(1)032ba a a b->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩，解得0b<，10a->，310(116,)b aa>>-+∴>-．故选C．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.8．已知1F，2F是椭圆22221(0)x yC a ba b+=>>：的左、右焦点，过2F的直线交椭圆于,P Q两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF依次构成等差数列，且1||PQ PF=，则椭圆C的离心率为A．23B．34C．155D．105【答案】D【解析】【分析】【详解】如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF依次构成等差数列{}n a，其公差为d.根据椭圆定义得12344a a a a a +++=，又123a a a +=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d aa a d a d++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a =，12342468,,,5555a a a a a a a a ====.所以18||5QF a =，16||5PF a =，24||5PF a =，6||5PQ a =.在12PF F △和1PFQ V 中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos 4666225555a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⋅⋅⋅⋅，整理解得105c e a ==.故选D ． 9．定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（） A ．-1 B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】推导出()()()()220194035441log 2f f f f =⨯+==-=，由此能求出()2019f 的值． 【详解】∵定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩， ∴()()()()22019403544211log f f f f =⨯+=-===，故选C ． 【点睛】本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.10．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，c 的表述正确的是（ ）A ．1a >，1c >B ．1a >，01c <<C ．01a <<，1c >D ．01a <<，01c <<【答案】D【解析】 【分析】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项. 【详解】从题设中提供的图像可以看出()01,log 0,log 10a a a c c <<>+>， 故得01,01c a <<<<， 故选：D ． 【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题. 11．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（ ）A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 【答案】D 【解析】 【分析】 先求得()'fx ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.【详解】 依题意()'553cos 33cos 33sin 33626fx x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3sin 363x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以由()sin(3)3f x x π=+向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到()'f x 的图像.故选：D 【点睛】本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题. 12．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174π B ．214π C ．4π D ．5π【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值． 【详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2,,a b ，∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，且球半径为2222224a b a b R ++++==， ∴三棱锥外接球表面积为()()22222242144514a b a b a ππππ++=++=-+⎝⎭， ∴当且仅当1a =，12b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214π．故选B ． 【点睛】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省东莞市2021届新高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( ) A ．{}1,3- B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3-【答案】A 【解析】 【分析】先求得全集包含的元素，由此求得集合A 的补集. 【详解】由()()130x x +-≤解得13x -≤≤，故{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U C A =-，故选A. 【点睛】本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．已知复数21iz i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．i -C ．1D ．i【答案】A 【解析】 【分析】分子分母同乘分母的共轭复数即可. 【详解】2i 2i(i 1)22i 1i i 1(i 1)(i+1)2z +-+====----，故z 的虚部为1-. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题. 3．已知无穷等比数列{}n a 的公比为2，且13211112lim()3n n a a a →∞-++⋅⋅⋅+=，则242111lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=（ ）A ．13B ．23 C ．1D ．43【答案】A 【解析】因为无穷等比数列{}n a 的公比为2，则无穷等比数列1{}n a 的公比为12。

由13211112lim()3n n a a a →∞-++⋅⋅⋅+=有，1121314a =-，解得12a =，所以24a =， 242111114lim()1314n n a a a →∞++⋅⋅⋅+==-，故选A 。

【点睛】本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。

4．若集合{}2|0,|121x A x B x x x +⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭，则A B I =（ ） A ．[2,2)- B ．(]1,1-C ．()11-，D ．()12-， 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A ，然后与集合B 取交集即可． 【详解】 由题意，{}2|0|211x A x x x x +⎧⎫=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭，{|12}B x x =-<<，则{|11}A B x x =-<<I ，故答案为C. 【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题． 5．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】讨论当1a >时，2210ax x ++>是否恒成立；讨论当2210ax x ++>恒成立时，1a >是否成立，即可选解：当1a >时，440a ∆=-<，由221y ax x =++开口向上，则2210ax x ++>恒成立； 当2210ax x ++>恒成立时，若0a =，则210x +> 不恒成立，不符合题意， 若0a ≠ 时，要使得2210ax x ++>恒成立，则0440a a >⎧⎨∆=-<⎩ ，即1a > .所以“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的充要条件. 故选:C. 【点睛】本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若p q ⇒，则推出p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则推出p 是q 的必要条件.6．已知,x y 满足001x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩………，则32y x --的取值范围为（ ）A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(1,2]C ．(,0][2,)-∞+∞UD ．(,1)[2,)-∞⋃+∞【答案】C 【解析】 【分析】 设32y k x -=-，则k 的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)的斜率，利用数形结合即可得到结论. 【详解】 解：设32y k x -=-，则k 的几何意义为点(,)P x y 到点(2,3)D 的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图：由图可知当过点D 的直线平行于x 轴时，此时30y k -==成立；32y k x -=-取所有负值都成立； 当过点A 时，32y k x -=-取正值中的最小值，1(1,1)0x A x y =⎧⇒⎨-=⎩，此时3132212y k x --===--； 故32y x --的取值范围为(,0][2,)-∞+∞U ； 故选：C. 【点睛】本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键．对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π.正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数. 【详解】设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，()()()12,0,0,0,2,2,2,1,2AC G ，()()()()()()10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0C E D B F B .①，()()112,2,2,1,1,0,2200AC EG AC EG =-=⋅=-++=u u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以1AC EG ⊥，故①正确.②，()()2,1,2,1,0,2GC ED =--=--u u u r u u u r ，不存在实数λ使GC ED λ=u u u r u u u r，故//GC ED 不成立，故②错误. ③，()()()112,2,1,0,1,2,2,0,2B F BG BC =---=-=-u u u u r u u u r u u u u r ，1110,20B F BG B F BC ⋅=⋅=≠u u u u r u u u r u u u u r u u u u r，故1B F ⊥平面1BGC 不成立，故③错误.④，()()11,0,1,0,0,2EF BB =--=u u u r u u u r ，设EF 和1BB 成角为θ，则11cos 2EF BB EF BB θ⋅===⋅u u u r u u u ru u ur u u u r ，由于0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以4πθ=，故④正确.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题. 8．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ）A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x 表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调区间，由此确定正确选项. 【详解】因为22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-1cos 21sin 22224x x x π⎛⎫=+++-=+ ⎪⎝⎭，由()f x 单调递增，则222242k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ），解得388k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），当1k =时，D 选项正确.C 选项是递减区间，A ，B 选项中有部分增区间部分减区间. 故选：D 【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.9．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞和0,1x x ==处函数的特征即可确定函数图像. 【详解】Q 函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在1x =处取得极大值，∴当1x >时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '=；当1x <时，()0f x '>.0x ∴<时，()0y xf x '=->，01x <<时，()0y xf x '=-<，当0x =或1x =时，()0y xf x '=-=；当1x >时，()0xf x '->. 故选：B 【点睛】根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度.10． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A 32 B 322 C ．1252 D ．1272【答案】D 【解析】所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1nn a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.11．()()()()()*121311x x x nx n N +++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ）A ．3n C B ．21n C +C ．1n n C -D ．3112n C + 【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论． 【详解】由题意展开式中x 的一次项系数为21(1)122n n n n C +++++==L ． 故选：B ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式．12．若实数x 、y 满足21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．32【答案】D 【解析】 【分析】根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案作出不等式组21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立1y x x y =⎧⎨+=⎩，得12x y ==，可得点11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，由2z x y =+得12y x z =-+，平移直线12y x z =-+， 当该直线经过可行域的顶点A 时，该直线在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即min 1132222z =+⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省东莞市2021届新高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知52i 12ia =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（ ）A B ．3C ．1D ．5【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案. 【详解】 由52i 12ia =+-，得12i 2i a +=+，解得1a =. 故选:C. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算,是基础题. 2．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ） A ．2019πB ．22019π C ．42019πD ．4038π【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的两角和差公式得到()f x =2sin(2019)4x π+，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果. 【详解】 函数()sin 2019cos 201944f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)sin 2019cos 2019cos 2019sin 20192x x x x +++)sin 2019cos 20192sin(2019)4x x x π=+=+则函数的最大值为2，2M m n m n ⋅-=-存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即min 2220192019m n m n ππ-≥∴-=故答案为：B.【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.3．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．23B．1 C．43D．83【答案】C 【解析】该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积114222323V⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭．故选C.4．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（）A．16 B．12 C．8 D．6【答案】B【解析】【分析】根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果. 【详解】由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2 所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形， 所以该正三棱柱的侧面积为32212⨯⨯= 故选：B 【点睛】本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题. 5．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（ ） A ．6i B ．6i -C ．6-D ．6【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算法则计算． 【详解】因为()()5z i i --=，所以56z i i i=+=- 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的运算．属于简单题． 6．设i 为虚数单位，z 为复数，若z i z+为实数m ，则m =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】可设(,)z a bi a b R =+∈，将z i z+化简，a b i +由复数为实数，0b =，解方程即可求解 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，则)22a b i za bi i i i z a bia b+-+=+=+=++.由题意有2200a b b a +-=⇒=，所以0m =. 故选：B 【点睛】本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题 7．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 【详解】z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+， 代入可得221x y x +=+， 解得221y x =+. 故选：B. 【点睛】本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.8．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为A ．83B ．433C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为2的等边三角形，三棱锥的高为3，所以该几何体的体积113223132V=⨯⨯⨯⨯⨯=，故选C．9．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（）A．且B．且C．且D．且【答案】A【解析】试题分析：由题意得，，∴，，∵，∴，∴，∴若：，，∴，若：，，∴，若：，，∴，综上可知，同理可知，故选A.考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致与大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.10．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48 B ．72 C ．90 D ．96【答案】D 【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种 故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题． 11．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=I ，则“m ⊥n”是“m ⊥l”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】构造长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，令平面α为面ADD 1A 1，底面ABCD 为β，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m ，n 即可进行判断． 【详解】如图，取长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，令平面α为面ADD 1A 1，底面ABCD 为β，直线AD =直线l 。

最新高考数学三模试卷（文科）一、选择题1．设集合A={x|x （x ﹣3）＜0}，B={x|x ﹣2≤0}，则A ∩B=（ ）A ．（0，2]B ．（0，2）C ．（0，3）D ．[2，3）2．设z 满足i （1+z ）=2+i ，则|z|=（ ）A ．B ．C ．2D ．13．设命题p ：∀x ＞0，xe x ＞0，则￢p 为（ ）A ．∀x ≤0，xe x ≤0B ．∃x 0≤0，x 0e x0≤0C ．∀x ＞0，xe x ≤0D ．∃x 0＞0，x 0e x0≤04．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（ ）A ．26B ．48C ．57D ．646．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（ ）A ．39πB ．48πC ．57πD ．63π7．已知x ，y 满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．D ．28．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0）的图象与直线y=b （0＜b ＜A ）相交，其中一个交点P 的横坐标为4，若与P 相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f （x ）（ ）A ．在[0，3]上是减函数B ．在[﹣3，0]上是减函数C ．在[0，π]上是减函数D ．在[﹣π，0]上是减函数9．设函数f （x ）=e x +ax 在（0，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[﹣1，+∞）B ．（﹣1，+∞）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π11．已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，f （2）=0，g （x ）=f （x+2），则不等式xg （x ）≤0的解集是（ ）A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B ．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C ．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）12．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点A ，B 在C 上，且点F 是△AOB 的重心，则cos ∠AFB 为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣二、填空题13．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|=_______．14．已知α为锐角，cos α=，则sin （﹣α）=_______．15．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别是x+1，x ，x ﹣1，且∠A=2∠C ，则△ABC 的周长为_______．16．已知圆C ：（x ﹣a ）2+y 2=1（a ＞0），过直线l ：2x+2y+3=0上任意一点P 作圆C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若∠APB 为锐角，则a 的取值范围为_______．三、解答题17．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2a n ﹣1．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．18．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC ⊥BD ．（1）证明：PB=PD ；（2）若平面PBD ⊥平面ABCD ，且∠DPB=90°，求点B 到平面PDC 的距离．19．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y 表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m 3）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=， =﹣．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使||=λ•恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b．（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD•AB．（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），若直线l经过点Q，且与曲线C 相交于A，B两点，求△GAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题1．设集合A={x|x （x ﹣3）＜0}，B={x|x ﹣2≤0}，则A ∩B=（ ）A ．（0，2]B ．（0，2）C ．（0，3）D ．[2，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出A 与B 中不等式的解集分别确定出A 与B ，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A 中不等式解得：0＜x ＜3，即A=（0，3），由B 中不等式解得：x ≤2，即B=（﹣∞，2]，则A ∩B=（0，2]，故选：A ．2．设z 满足i （1+z ）=2+i ，则|z|=（ ）A ．B ．C ．2D ．1【考点】复数求模．【分析】根据复数的四则运算求出z ，然后利用复数的模长公式进行求解即可．【解答】解：由i （1+z ）=2+i ，得1+z==1﹣2i ，则z=﹣2i ，则|z|=2，故选：C3．设命题p ：∀x ＞0，xe x ＞0，则￢p 为（ ）A ．∀x ≤0，xe x ≤0B ．∃x 0≤0，x 0e x0≤0C ．∀x ＞0，xe x ≤0D ．∃x 0＞0，x 0e x0≤0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，则￢p ：∃x 0＞0，x 0e x0≤0，故选：D4．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件数是C 52种结果，满足条件的事件是抽到的2名学生恰好是1男1女，有C 31C 21，进而得到概率．【解答】解：从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，共有C 52=10种选法， 选出的2名选手恰好是1男1女有C 31C 21=6种，故推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是=，故选：C ．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（ ）A．26 B．48 C．57 D．64【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=2，n=5，v=1，k=2执行循环体，v=4，k=3满足条件k＜5，执行循环体，v=11，k=4满足条件k＜5，执行循环体，v=26，k=5不满足条件k＜5，退出循环，输出v的值为26．故选：A．6．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39π B．48π C．57π D．63π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积．【解答】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是=5，∴剩余部分的表面积S=π×32+2π×3×4+π×3×5=48π，故选：B．7．已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由得，即A（2，4），此时的最大值是，故选：D8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）（）A．在[0，3]上是减函数B．在[﹣3，0]上是减函数C．在[0，π]上是减函数D．在[﹣π，0]上是减函数【考点】正弦函数的图象．【分析】先根据正弦函数的图象的对称性可得函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，从而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，故选：B．9．设函数f（x）=e x+ax在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增⇔函数f′（x）=e x+a≥0在区间在区间（0，+∞）上成立．（0，+∞）上恒成立⇔a≥[﹣e x]min【解答】解：f′（x）=e x+a，∵函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增，∴函数f′（x）=e x+a≥0在区间（0，+∞）上恒成立，∴a≥[﹣e x]在区间（0，+∞）上成立，min∵在区间（0，+∞）上﹣e x＜﹣1，∴a≥﹣1，故选：A．10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．8πC．12π D．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据正三棱柱的对称性，它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点．再由正三角形的性质和勾股定理，结合题中数据算出外接球半径，用球表面积公式即可算出该球的表面积．【解答】解：设三棱柱ABC﹣A′B′C′的上、下底面的中心分别为O、O′，，根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段OO′中点O1∵OA=AB=1，OO=AA′=11A=∴O1因此，正三棱柱的外接球半径R=，可得该球的表面积为S=4πR2=8π故选：B．11．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，f（2）=0，g（x）=f（x+2），则不等式xg（x）≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可得g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，画出g（x）的单调性示意图，数形结合求得不等式xg（x）≤0的解集．【解答】解：由题意可得g（x）的图象是把f（x）的图象向左平移2个单位得到的，故g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，它的单调性示意图，如图所示：根据不等式xg（x）≤0可得，x的符号和g（x）的符号相反，∴xg（x）≤0的解集为（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞），故选：C．12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在C上，且点F是△AOB的重心，则cos∠AFB为（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（m，）、B（m，﹣），则=，p=，可得A的坐标，求出AF，利用二倍角公式可求．【解答】解：由抛物线的对称性知，A、B关于x轴对称．设A（m，）、B（m，﹣），则=，∴p=．∴A（m， m），∴AF=m，∴cos∠AFB==，∴cos∠AFB=2cos2∠AFB﹣1=﹣．故选：D．二、填空题13．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】计算（）2，然后开方即可．【解答】解：∵和是两个互相垂直的单位向量，∴，．∴（）2==5，∴||=．故答案为：．14．已知α为锐角，cosα=，则sin（﹣α）= ．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，利用特殊角的三角函数值及两角差的正弦函数公式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵α为锐角，cosα=，∴sin==，∴sin（﹣α）=sin cosα﹣cos sinα=﹣×=．故答案为：．15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，则△ABC 的周长为15 ．【考点】余弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式可得：cosC=，又由余弦定理可得：cosC=，从而可得=，解得x，即可得解三角形的周长．【解答】解：∵∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，∴由正弦定理可得：，∴，可得：cosC=，又∵由余弦定理可得：cosC=，∴=，整理即可解得x=5，∴△ABC的周长为：（x+1）+x+（x﹣1）=3x=15．故答案为：15．16．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1（a＞0），过直线l：2x+2y+3=0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB为锐角，则a的取值范围为（，+∞）．【考点】圆的切线方程．【分析】作出直线l和圆C，PA，PB为圆的两条切线，连接AC，BC，PC，由∠APB为锐角，可得0＜∠APC＜，运用解直角三角形可得可得1＜PA恒成立，由勾股定理可得PA2=PC2﹣1，求得PC的最小值，可得PA的最小值，解不等式即可得到所求a的范围．【解答】解：作出直线l和圆C，PA，PB为圆的两条切线，连接AC，BC，PC，由圆心C（a，0）到直线l的距离为d=＞＞1，可得直线和圆相离．由∠APB为锐角，可得0＜∠APC＜，即0＜tan∠APC＜1，在Rt△APC中，tan∠APC==，可得1＜PA恒成立，由勾股定理可得PA2=PC2﹣1，当PC⊥l时，PC取得最小值，且为，即有1＜，解得a＞．故答案为：（，+∞）．三、解答题17．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2a n ﹣1．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由S n =2a n ﹣1．可得当n=1时，a 1=2a 1﹣1，解得a 1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，化为：a n =2a n ﹣1．利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可得：a n =2n ﹣1．na n =n •2n ﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】（1）证明：∵S n =2a n ﹣1．∴当n=1时，a 1=2a 1﹣1，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣1﹣（2a n ﹣1﹣1），化为：a n =2a n ﹣1．∴数列{a n }是等比数列，首项为1，公比为2．（2）解：由（1）可得：a n =2n ﹣1．na n =n •2n ﹣1．∴数列{na n }的前n 项和T n =1+2×2+3×22+…+n •2n ﹣1，2T n =2+2×22+…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，∴﹣T n =1+2+22+…+2n ﹣1﹣n •2n =﹣n •2n =（1﹣n ）•2n ﹣1，∴T n =（n ﹣1）•2n +1．18．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC ⊥BD ．（1）证明：PB=PD ；（2）若平面PBD ⊥平面ABCD ，且∠DPB=90°，求点B 到平面PDC 的距离．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（1）如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接OP ．利用菱形的性质可得AC ⊥BD ，利用线面垂直的判定与性质定理可证明BD ⊥PO ．又O 是BD 的中点，可得PB=PD ．（2）底面ABCD 是菱形，AB=2，∠BAD=60°，可得△PBD 与△BCD 都是等边三角形．由平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ∩平面ABCD=BD ，PO ⊥BD ．可得PO ⊥平面ABCD ，因此PO ⊥AC ，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，利用点B到平面PDC的距离d=即可得出．【解答】（1）证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OP．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PC⊥BD，且PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC．则BD⊥PO．又O是BD的中点，∴PB=PD．（2）解：底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴△PBD与△BCD都是等边三角形．∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO⊥BD．∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．∵∠DPB=90°，PB=PD，BD=2，∴PO=1，∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），C（0，，0），=（﹣1，0，﹣1），=（0，，﹣1），=（1，﹣，0），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，∴，取=，则点B到平面PDC的距离d===．19．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m3）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=， =﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据折线图中的数据，完成表格即可；（2）计算线性回归方程中的系数，可得线性回归方程；（3）x=5代入线性回归方程，可得结论．【解答】解：（1）年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）90 88 70 64（2）=2.5， =78，（xi ﹣）（yi﹣）=﹣48，=5，==﹣9.6， =﹣=102，∴y关于x的线性回归方程是： =﹣9.6x+102；（3）2017年的年份代号是5，当x=5时， =﹣9.6×5+102=54，∴该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值的预测值是54μg/m3．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使||=λ•恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由=，2a+2c=6，a2=b2+c2，联立解出即可得出椭圆C的方程．（2）F（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=﹣1，不妨取y1=，可得λ==﹣．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△＞0，利用根与系数的关系可得=，•=（x1+1）（x2+1）+y1y2，计算即可得出．【解答】解：（1）∵=，2a+2c=6，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆C的方程为=1．（2）F（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=﹣1，不妨取y1=，||=3， =， =.•=，则λ===﹣．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），则，整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=122（1+k2）＞0，x 1+x2=，x1x2=.==，=（x1+1，y1），=（x2+1，y2）..• =（x1+1）（x2+1）+y1y2=（k2+1）[x1x2+（x1+x2）+1]=，则==﹣．综上所述：可得存在常数λ=﹣，使||=λ•恒成立．21．已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b．（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，根据f（1）=2，f′（1）=﹣1，求出a，b的值即可；（2）问题转化为（x﹣﹣2lnx）＞0，令g（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），求出g（x）的单调区间，从而证出结论即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f（x）=+b，切点是（1，2），∴f（1）=b=2，f′（x）=，∴f′（1）=a=﹣1，故a=﹣1，b=2；（2）证明：由（1）得：f（x）=+2，f（x）＞，∴（x﹣﹣2lnx）＞0，令g（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），则g′（x）=（x﹣1）2＞0，∴g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递增，∵g（1）=0，∴g（x）＞0⇔x＞1，g（x）＜0⇔0＜x＜1，∴x＞1时， g（x）＞0，0＜x＜1时， g（x）＞0，x＞0且x≠1时，（x﹣﹣2lnx）＞0，∴当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD•AB．（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明AC是⊙O的切线，根据切割线定理可得：AE2=AD•AB．（2）根据切割线定理求出AD，即可求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，∴∠CBO=∠CBE+∠OBE=90°．∵CE=CB，OE=OB，∴∠CEB=∠CBE，∠OEB=∠OBE，∴∠CEO=∠CEB+∠OEB=∠CBE+∠OBE=90°，∴CE⊥OE，∵OE是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线，根据切割线定理可得AE2=AD•AB．（2）解：∵CE=CB=6，AE=4，∴AC=10，∴AB=8∵AE2=AD•AB，AE=4，∴42=AD•8，∴AD=2，∴BD=8﹣2=6，∴⊙O的半径为3．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）ρsin2θ﹣8cosθ=0，化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0，令，即可得出直角坐标方程．直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），分别化为：Q（0，﹣2），G（﹣2，0）．kl=1，倾斜角为，可得直线l的参数方程：（t为参数）．将参数方程代入曲线C的方程可得：t2﹣8t﹣32=0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得|AB|=|t1﹣t2|=．点G到直线l的距离d．即可得出S△GAB=|BA|•d．【解答】解：（1）ρsin2θ﹣8cosθ=0，化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0，∴直角坐标方程为：y2=8x．直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），分别化为：Q（0，﹣2），G（﹣2，0），kl==1，倾斜角为，直角坐标方程为：y=x﹣2．可得直线l的参数方程：（t为参数）．将参数方程代入曲线C的方程可得：t2﹣8t﹣32=0，△=128+4×32＞0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得：t1+t2=，t1t2=﹣32．∴|AB|=|t1﹣t2|===16．点G到直线l的距离d==2．∴S △GAB=|BA|•d==16．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）记g（x）=|x+3|﹣|x﹣1|+5，分类讨论求得g（x）=，从而求值域；（2）由柯西不等式知（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，从而求取值范围．【解答】解：（1）记g（x）=|x+3|﹣|x﹣1|+5，则g（x）=，故g（x）∈[1，9]，故f（x）∈[1，3]．（2）由（1）知，a2+b2=1，c2+d2=3，由柯西不等式知，（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，（当且仅当ad=bc时，取等号；）即（ac+bd）2≤3，故﹣≤ac+bd≤，故ac+bd的取值范围为[﹣，]．2016年9月12日。

2021年新高考数学模拟试卷(1) 2021年新高考数学模拟试卷1一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.（5分）设集合A={0,-2}，B={-1,2}，则A∪B=（）A。

{0,2}B。

{-2,1,2}C。

{-2,0,-1,2}D。

{0,-2,-1,2}2.（5分）复数z满足(-2-i)z=|3+4i|（i为虚数单位），则z=（）A。

-2+i/3B。

2-i/3C。

-2-i/3D。

2+i/33.（5分）已知a=3^(log3π)，b=π^(logπ3)，c=log3π，则a，b，c的大小关系为（）A。

a>b>cB。

a>b<cC。

c>a>bD。

c>b>a4.（5分）已知向量|z|=1，|z|=2，z•z=√3，则向量z与向量z的夹角为（）A。

π/6B。

π/4C。

π/3D。

2π/35.（5分）已知等比数列{an}满足a1+a2=6，a2+a3=12，则a1的值为（）A。

1B。

2C。

3D。

46.（5分）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则上面第1节的容量为（）A。

13/22升B。

14/33升C。

26/33升D。

1升7.（5分）已知函数z(z)=3sin(z+2)，若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为（）A。

4B。

1C。

2/3D。

28.（5分）已知函数z(z)=lnx-m(x+n)/(x+1)（m>n>0）在(0,+∞)上不单调，若m-n(x+1)>λ恒成立，则实数λ的取值范围为（）A。

[3,+∞)B。

[4,+∞)C。

(-∞,3]D。

(-∞,4]二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9.（5分）已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（）A。

2021年广东省东莞高级中学高考数学模拟试卷（3月份）一、单选题（每题5分）.1．集合M＝{x|x＝5k﹣2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n+3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m+3，m∈Z}之间的关系是（）A．S⫋P⫋M B．S＝P⫋M C．S⫋P＝M D．P＝M⫋S2．在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点的坐标为（）A．（3，4）B．（﹣4，3）C．（，﹣）D．（﹣，）3．已知a，b∈R，那么“a+b＞1”是“a2+b2＞1”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）＝lnx+2x2﹣4x，则函数f（x）的图象在x＝1处的切线方程为（）A．x﹣y+3＝0B．x+y﹣3＝0C．x﹣y﹣3＝0D．x+y+3＝05．一块由5根灯管构成的广告宣传屏幕，每个时刻每根灯管分别可以发出红、黄、蓝、绿、紫5种颜色的光，则在某一时刻恰好出现2根灯管发出红色光的概率为（）A．B．C．D．6．在一次实验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，2），B（2，3），C（3，4），D （4，5），则x与y之间的回归直线方程为（）A．＝x+1B．＝x+2C．＝2x+1D．＝x﹣17．若，则的值为（）A．2B．0C．﹣1D．﹣28．函数f（x）＝（x﹣1）cos x2在区间[0，4]上的零点个数是（）A．4B．5C．6D．7二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9．对于任意的平面向量，，，下列说法错误的是（）A．若∥且∥，则∥B．（+）•＝•+•C．若•＝•，且≠0，则＝D．（•）•＝•（•）10．已知三个正态分布密度函数φi（x）＝e（x∈R，I＝1，2，3）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．σ1＝σ2B．μ1＞μ3C．μ1＝μ2D．σ2＜σ311．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N+），则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是（）A．a7＝13B．a1+a3+a5+……+a2019＝a2020C．S7＝54D．a2+a4+a6+……+a2020＝a202112．已知函数y＝f（x），x∈R，下列结论正确的是（）A．若对任意x1，x2，且x1≠x2，都有＜0，则f（x）为R上减函数B．若f（x）为R上的偶函数，且在（﹣∞，0）内是减函数，f（﹣2）＝0，则f（x）＞0解集为（﹣2，2）C．若f（x）为R上的奇函数，则y＝f（x）•f（|x|）也是R上的奇函数D．若一个函数定义域（﹣1，1）且x≠0的奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x+1，则当x ＜0时，f（x）＝2﹣x+1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13．阿基米德（公元前287年﹣公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为．14．已知函数f（x）＝sin[（1﹣a）x]+cos[（1﹣a）x]的最大值为2，则f（x）的最小正周期为15．椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．16．已知函数f（x）＝x（|x|+4），且f（a2）+f（a）＜0，则a的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．已知数列{a n}是等比数列，公比q＜1，前n项和为S n，若a2＝2，S3＝7．（1）求{a n}的通项公式；（2）设m∈Z，若S n＜m恒成立，求m的最小值．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2b，又sin A，sin C，sin B成等差数列．（Ⅰ）求cos（B+C）的值；（Ⅱ）若S△ABC＝，求c的值．19．某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，已知每名男射手每次的命中率为，女射手每次的命中率为．（1）当每人射击2次时，求该射击小组共射中目标4次的概率；（2）当每人射击1次时，规定两名男射手先射击，如果两名男射手都没有射中，那么女射手失去射击资格．一个小组共射中目标3次得100分，射中目标2次得60分，射中目标1次得10分，没有射中目标得﹣50分．用随机变量X表示这个射击小组的总得分，求X的分布列及数学期望．20．如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝AB，E 为PD中点．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．21．已知函数．（1）求函数f（x）的极值点；（2）设，若g（x）的最大值大于，求a的取值范围．22．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线右支上一点，PF2⊥F1F2，OH⊥PF1，垂足为点H，OH＝λOF1，λ∈[，]．（1）当λ＝时，求双曲线的渐近线方程；（2）求双曲线的离心率e的取值范围．参考答案一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1．集合M＝{x|x＝5k﹣2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n+3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m+3，m∈Z}之间的关系是（）A．S⫋P⫋M B．S＝P⫋M C．S⫋P＝M D．P＝M⫋S解：∵集合M＝{x|x＝5k﹣2＝5（k﹣1）+3，k∈Z}，P＝{x|x＝5n+3，n∈Z}，∴M＝P，S＝{x|x＝10m+3，m∈Z}＝S＝{x|x＝5×2m+3，m∈Z}⫋P＝{x|x＝5n+3，n∈Z}，∴S⫋P＝M，故选：C．2．在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点的坐标为（）A．（3，4）B．（﹣4，3）C．（，﹣）D．（﹣，）解：∵＝＝＝﹣+i，∴复数所对应的点的坐标为（﹣，）．故选：D．3．已知a，b∈R，那么“a+b＞1”是“a2+b2＞1”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：若“a+b＞1”推不出“a2+b2＞1”，如a＝0.5，b＝0.6，不是充分条件，若“a2+b2＞1”推不出“a+b＞1”，如a＝1，b＝﹣2，不是必要条件，故选：D．4．已知函数f（x）＝lnx+2x2﹣4x，则函数f（x）的图象在x＝1处的切线方程为（）A．x﹣y+3＝0B．x+y﹣3＝0C．x﹣y﹣3＝0D．x+y+3＝0解：由f（x）＝lnx+2x2﹣4x，得f′（x）＝，∴f′（1）＝1．又f（1）＝﹣2．∴函数f（x）的图象在x＝1处的切线方程为y+2＝1×（x﹣1），即x﹣y﹣3＝0．故选：C．5．一块由5根灯管构成的广告宣传屏幕，每个时刻每根灯管分别可以发出红、黄、蓝、绿、紫5种颜色的光，则在某一时刻恰好出现2根灯管发出红色光的概率为（）A．B．C．D．解：首先从五根灯管中选出2根为红色，五根灯管记为a，b，c，d，e，从五根灯管中选出两根有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10种情况，其他三根不能是红色，则其他三根有4种颜色可选，∴在某一时刻恰好出现2根灯管发出红色光的概率为：P＝＝．故选：C．6．在一次实验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，2），B（2，3），C（3，4），D （4，5），则x与y之间的回归直线方程为（）A．＝x+1B．＝x+2C．＝2x+1D．＝x﹣1解：计算＝×（1+2+3+4）＝2.5，＝×（2+3+4+5）＝3.5，∴这组数据的样本中心点是（2.5，3.5）；把样本中心点代入四个选项中，只有＝x+1成立．故选：A．7．若，则的值为（）A．2B．0C．﹣1D．﹣2解：在中，令x＝0，可得a0＝1，再令x＝，可得a0+＝0，∴＝﹣1，故选：C．8．函数f（x）＝（x﹣1）cos x2在区间[0，4]上的零点个数是（）A．4B．5C．6D．7解：令f（x）＝0，可得x＝1或cos x2＝0∴x＝1或x2＝kπ+，k∈Z，∵x∈[0，4]，则x2∈[0，16]，∴k可取的值有0，1，2，3，4，∴方程共有6个解，∴函数f（x）＝（x﹣1）cos x2在区间[0，4]上的零点个数为6个，故选：C．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9．对于任意的平面向量，，，下列说法错误的是（）A．若∥且∥，则∥B．（+）•＝•+•C．若•＝•，且≠0，则＝D．（•）•＝•（•）解：∥且∥，当为零向量时，则与不一定共线，即A错误，由向量乘法的分配律可得：（+）•＝•+•，即B正确，因为•＝•，则（）＝0，又≠0，则＝或⊥（），即C错误，取为非零向量，且与垂直，与不垂直，则，，即D错误，故选：ACD．10．已知三个正态分布密度函数φi（x）＝e（x∈R，I＝1，2，3）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．σ1＝σ2B．μ1＞μ3C．μ1＝μ2D．σ2＜σ3解：根据正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，所以μ1＜μ2＝μ3，BC错误；又σ越小数据越集中，图象越瘦长，所以σ1＝σ2＜σ3，AD正确．故选：AD．11．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N+），则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是（）A．a7＝13B．a1+a3+a5+……+a2019＝a2020C．S7＝54D．a2+a4+a6+……+a2020＝a2021解：因为a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N+），所以a3＝a2+a1＝2，a4＝a3+a2＝3，a5＝a4+a3＝5，a6＝a5+a4＝8，a7＝a6+a5＝13，所以A 正确；S7＝1+1+2+3+5+8+13＝33，所以C不正确；a1+a3+a5+……+a2019＝a1+a2+a1+a4+a3+……+a2018+a2017＝a1+S2018＝1+S2018，又a n+2＝a n+1+a n＝a n+a n﹣1+a n﹣1+a n﹣2＝a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣3+a n﹣3+a n﹣4＝……＝S n+1，所以a2020＝S2018+1＝a1+a3+a5+……+a2019，所以B正确；a2+a4+a6+……+a2020＝a2+a3+a2+a5+a4+……+a2019+a2018＝a1+a2+a3+a4+a5+……+a2019＝S2019，但S2019+1＝a2021，所以a2+a4+a6+……+a2020≠a2021，所以D不正确．故选：AB．12．已知函数y＝f（x），x∈R，下列结论正确的是（）A．若对任意x1，x2，且x1≠x2，都有＜0，则f（x）为R上减函数B．若f（x）为R上的偶函数，且在（﹣∞，0）内是减函数，f（﹣2）＝0，则f（x）＞0解集为（﹣2，2）C．若f（x）为R上的奇函数，则y＝f（x）•f（|x|）也是R上的奇函数D．若一个函数定义域（﹣1，1）且x≠0的奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x+1，则当x ＜0时，f（x）＝2﹣x+1解：对于A，若对于任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，即当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2），则f（x）为R上的减函数，则A正确；对于B，若f（x）为R上的偶函数，且在（﹣∞，0）内是减函数，则f（x）在（0，+∞）上递增，f（2）＝f（﹣2）＝0，则f（x）＞0即为f（|x|）＞f（2），即有|x|＞2，解得x＞2或x＜﹣2，则B错误；对于C，若f（x）为R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），f（﹣x）•f（|﹣x|）＝﹣f（x）f（|x|），即有y＝f（x）f（|x|）是奇函数，则C正确；对于D，当x＞0时，f（x）＝2x+1，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝2﹣x+1＝﹣f（x），故f（x）＝﹣2﹣x﹣1，故D错误．故选：AC．三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13．阿基米德（公元前287年﹣公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为．解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r，所以圆柱的表面积为：2πr×2r+2πr2＝24π，解得：r＝2，所以圆柱的体积为：πr2×2r＝16π，根据阿基米德的结论，该圆柱的内切球体积为：16π×＝，故答案为：．14．已知函数f（x）＝sin[（1﹣a）x]+cos[（1﹣a）x]的最大值为2，则f（x）的最小正周期为π解：＝sin[（1﹣a）x+arctan1]最大值为2，就是＝2，得a＝3所以最小正周期是T＝＝π故答案为π15．椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．解：如图所示，由直线可知倾斜角α与斜率有关系＝tanα，∴α＝60°．又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，∴∠MF2F1＝30°，∴∠F1MF2＝90°．设|MF2|＝m，|MF1|＝n，则，解得．∴该椭圆的离心率e＝．故答案为．16．已知函数f（x）＝x（|x|+4），且f（a2）+f（a）＜0，则a的取值范围是（﹣1，0）．解：∵f（﹣x）＝﹣x（|﹣x|+4）＝﹣x（|x|+4）＝﹣f（x），∴函数f（x））＝x（|x|+4）为奇函数，又，图象如图，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，由f（a2）+f（a）＜0，得f（a2）＜﹣f（a）＝f（﹣a），得a2＜﹣a，解得﹣1＜a＜0．故答案为：（﹣1，0）．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．已知数列{a n}是等比数列，公比q＜1，前n项和为S n，若a2＝2，S3＝7．（1）求{a n}的通项公式；（2）设m∈Z，若S n＜m恒成立，求m的最小值．解：（1）∵a2＝2．S3＝7，∴解得，q＝，a1＝4或a1＝1，q＝2（舍去）故a n＝4×（）n﹣1＝（）n﹣3，（2）由（1）可知S n＝＝8（1﹣）＜8，∵a n＞0，∴S n单调递减，∵S3＝7，∴当n≥4∈（7，8），∵m∈Z，若S n＜m恒成立，∴m的最小值为8．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2b，又sin A，sin C，sin B成等差数列．（Ⅰ）求cos（B+C）的值；（Ⅱ）若S△ABC＝，求c的值．解：（Ⅰ）△ABC中，sin A，sin C，sin B成等差数列，∴sin A+sin B＝2sin C，由正弦定理得a+b＝2c，又a＝2b，可得b＝c，∴cos A＝＝＝﹣，∵A+B+C＝π，∴B+C＝π﹣A，∴cos（B+C）＝cos（π﹣A）＝﹣cos A＝；（Ⅱ）△ABC中，由cos A＝﹣，得sin A＝＝，∴S△ABC＝bc sin A＝×c2×＝c2，∴c2＝，解得c＝4．19．某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，已知每名男射手每次的命中率为，女射手每次的命中率为．（1）当每人射击2次时，求该射击小组共射中目标4次的概率；（2）当每人射击1次时，规定两名男射手先射击，如果两名男射手都没有射中，那么女射手失去射击资格．一个小组共射中目标3次得100分，射中目标2次得60分，射中目标1次得10分，没有射中目标得﹣50分．用随机变量X表示这个射击小组的总得分，求X的分布列及数学期望．解：（1）某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，每名男射手每次的命中率为，女射手每次的命中率为．当每人射击2次时，该射击小组共射中目标4次的概率为：P＝++＝．（2）随机变量X表示这个射击小组的总得分，则X的可能取值为﹣50，10，60，100，P（X＝﹣50）＝＝，P（X＝10）＝＝，P（X＝60）＝+＝，P（X＝100）＝（）2（）＝，∴X的分布列为：X﹣501060100P数学期望E（X）＝＝．20．如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝AB，E 为PD中点．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．解：（1）证明：∵底面ABCD为正方形，∴BC⊥AB，又BC⊥PB，AB∩PB＝B，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA．同理CD⊥PA，BC∩CD＝C，∴PA⊥平面ABCD．（2）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2．则A（0，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），B（2，0，0），设＝（x，y，z）为平面ABE的一个法向量，又＝（0，1，1），＝（2，0，0），，令y＝﹣1，z＝1，得＝（0，﹣1，1），同理＝（1，0，2）是平面BCE的一个法向量，则cos＜＞＝＝＝．∴二面角A﹣BE﹣C的余弦值为．21．已知函数．（1）求函数f（x）的极值点；（2）设，若g（x）的最大值大于，求a的取值范围．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），∵f′（x）＝，令f′（x）＝0得x＝e，∴x∈（0，e）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴f（x）的极大值点为x＝e，无极小值点，（2）g（x）＝lnx﹣ax2+，（a＞0），∴g′（x）＝﹣2ax＝，x＞0，a＞0，令g′（x）＝0，得x＝，∴x∈（0，）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，∴g（x）max＝g（）＝ln（）﹣a×+＝﹣（lna+1）由g（x）max＝﹣（lna+1）＞﹣1，得lna+a﹣1＜0，令h（a）＝lna+a﹣1，∴h′（a）＝+1＞0，∴h（a）单调递增，而h（1）＝0，∴h（a）＜0时，a∈（0，1）22．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线右支上一点，PF2⊥F1F2，OH⊥PF1，垂足为点H，OH＝λOF1，λ∈[，]．（1）当λ＝时，求双曲线的渐近线方程；（2）求双曲线的离心率e的取值范围．解：当x＝c时，代入双曲线可得，由相似三角形可知，，得，∴2a2λ+b2λ＝b2，整理得．（1）当时，，则a＝b，双曲线的渐近线方程为y＝±x；（2）∵，∴，在λ∈[，]上是单调增函数，∴λ＝时，e2的最大值为3，当λ＝时，e2的最小值为．∴，即．。