由特殊到一般的方法在高数教学中的应用

从特殊到一般思想方法在解决数学问题中的应用摘要：从特殊到一般思想方法是一种重要的解题策略，同时也是一种重要的思维方法。

本文从四个方面论述了从特殊到一般思想方法在解决数学问题中的具体应用。

关键词：数学思想方法特殊化不完全归纳法现实中，人们在对某个一般性的数学问题解决有困难时，常常会想到先解决它的特殊情况，然后再把解决特殊情况的方法或结果推广到一般问题之上，从而获得一般性问题的解决。

这种从特殊到一般的数学思想方法也称之为特殊化方法，它作为一种化归策略，在解决数学问题中有着广泛的应用，其基本思想却很简单：相对于“一般”而言，“特殊”问题往往显得简单直观和具体，容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常孕育着一般问题的解决。

现在通过实例论述从特殊到一般的数学思想方法在解决数学问题中的具体应用。

一、在指示数学解题方向中的应用众多数学问题都具有各自的特殊性，依据“普遍性存在于特殊性之中”的普遍规律，把那些题目的结论不明确，通过“退”即将问题的条件特殊化，找到结论，从而明确解题方向。

运用这种特殊化能使这类问题的解法变得简洁、明快。

例1：如图，设△ABC三边上的高分别为ha,hb,hc,△ABC内的任一点P到三边BC、CA、AB的距离分别是da,db,dc，则＋＋为定植。

图１图2分析：当△ABC为任意三角形时，难以确定＋＋的值。

现设原命题为真，即＋＋为定值成立。

将条件特殊化，设△ABC为正三角形，则＋＋为定值也必定成立，如图，在正△ABC中，由P的任意性，取P为垂心H，依据正三角形四心合一的性质知＋＋＝，从而预测＋＋=1（定值）。

证明：连结PA、PB、PC，在△ABC和△PBC中，BC为同底（图1），∴＝，同理，＝，＝，将此三式相加得＋＋=1，原命题成立。

二、在一般性命题检验中的应用由于一般性总是寓于特殊性之中，所以命题在特殊情形下为假，则它在一般情况下也假，从而通过特殊化就能达到对命题结论的检验和判断。

我们往往从问题的特性入手，考察合乎条件的特殊情形，比如：特殊植、特殊位置、特例等进行特殊化处理。

ABCD 数学中的“特殊与一般”思想方法在数学学习的过程中，对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过总结归纳得出来的，经过证明后，成为一般性结论，又使用它们来解决相关的数学问题。

在数学中经常使用的归纳法、演绎法就是特殊与一般思想的集中体现。

由特殊到一般、由一般到特殊的过程是认识事物的基本过程，数学也不例外。

所谓特殊与一般的思想包括两个方面：通过对某些个体的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，再逐渐形成对这类事物的总体认识，发现特点，掌握规律，形成公式，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，从实践到理论，这种认识事物的过程就是由特殊到一般的认识过程；在理论指导下，用已有的规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物的过程就是由一般到特殊的认识过程。

由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程。

在数学高考中，对特殊与一般思想的考查方式主要有，利用一般的归纳法进行猜想；通过构造特殊函数、特殊数列、寻求特殊点、特殊位置关系；利用特殊值、特殊方程等，研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题、不确定的问题，等等。

高考特别注重利用选择题、填空题的特点，重点考查由特殊到一般的思想；利用解答题的严密性，重点考查由一般到特殊的思想，或综合考查特殊与一般的思想。

一．利用特殊情形判断一般性结论是否成立辩证法告诉我们：矛盾的一般性寓于特殊性之中。

相对于一般情形而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知。

解题时若能注意到问题的特殊性，进而分析考虑有无可能把待解决问题化归为某个特殊问题或极端情形，不仅是可行的，也是必要的。

例1．（2005年北京春季高考题）若不等式nnn a 1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A ),2[23-B ),2(23-C ),3[23-D ),3(23-解析：当n 为正奇数时，不等式为n a 12+<-，又221>+n，所以要使不等式对任意正奇数n 恒成立，应有2≤-a ，即2-≥a ；当n 为正偶数时，不等式为n a 12-<，又2312112,≥-≤nn ，所以要使不等式对任意正偶数n 恒成立，应有23<a 。

特殊与一般思想在高考数学中的应用作者：张刚来源：《广东教育·高中》2018年第06期在数学学习中，单纯地进行题海战术，是很难取得理想成绩的. 因此，我们要想提高数学解题能力和意识，就必须注重数学思想的领会和运用，对平时所用的数学思想进行梳理与总结，认识本质，提高能力，以便灵活运用这些数学思想解决高考数学题.本文以特殊与一般思想在高考数学中的应用为例，来说明如何领会和运用这一思想.一、依据题型，赋予特值一般与特殊之间的转化是在解题的过程中将某些一般问题进行特殊化处理或者是将某些特殊问题进行一般化处理的方法.此法多用于选择题或者填空题的解答.因此，破解此类问题的关键是确定关键元素寻找转化元素转化为新问题④得出结论.例1. 已知数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1，b1，a1+b1=5，a1，b1∈Z+，设cn={n∈Z+}，则数列{cn}前10项和等于（）A. 55B. 70C. 85D. 100解析：用特殊化策略.设b1=1，则a1==4. 从而bn=n，于是有cn==+（bn-1）·1=4+n-1=n+3. c1+c2+…+c10=（1+2+…+10）+30=85.点评：本题根据选择题的特点，对赋予特殊值处理，求出数列{cn}的前10项和，从而排除错误的结果，选出符合题目要求的选项.二、巧抓结构，构造公式数学中的很多新符号、新定义都很抽象，对于同学们来说，往往难以理解，如果能够根据所给式子的结构特征，恰当合理的构造出相关的数学公式或者定理，就可以将抽象问题具体化，实现数学问题的明朗化，从而转化为所学的内容进行解决.例2. 记max{a，b}为a，b两数的最大值，当正数x，y变化时，t=max{，，x2+y2}的最小值为 .解析：由题意知：t≥，t≥，t≥x2+y2，所以3t≥++x2+y2.又因为++x2+y2≥++2xy≥3=3，所以3t≥3，即t≥.所以，当正数x，y（x>y）变化时，t=max{，，x2+y2}的最小值为.点评：本题属于抽象函数的最值问题，通过观察所求式子中含有，，与x2+y2之间的结构特征，故考虑构造具体的不等式t≥，t≥，t≥x2+y2，然后将三式相加即可求解.因此，对于有些抽象的数学问题常可以通过观察结构特征，转化为具体问题求解.通常遇到求t=max{，，+}最小值问题或者求t=min{，， + }的最大值问题，都可以考虑构造具体的基本不等式，进行类似处理.三、特殊探路，猜测规律很多较为复杂的高考数学压轴题，由于题目长，数学符号多，往往考查特殊现象背后隐藏的一般性抽象规律，学生往往难于从题设条件寻找出一般规律，从而草草收场，丢分太多.如果能够抓住图中的特殊位置，取值范围中的特殊值或者特殊角等等，通过尝试代入特殊情况之进行试探，大胆猜测，或许会收到意想不到的效果.例3. 椭圆E：++1（a>b>0）的左右焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=，过点F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.（1）求椭圆E的方程.（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.解析：（1）只需根据ABF2的周长为8的条件，结合椭圆定义即可求得椭圆方程为+=1.（2）通过联立直线与椭圆方程，即由y=kx+m，+=1，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，化简得4k2-m2+3=0.此时x0=-=-， y0=kx0+m=，所以P（-，）.由x=4，y=kx+m，得 Q（4，4k+m）. 下面探求点M的存在性.假设平面内存在点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上. 取k=0，m=，此时P （0，），Q（4，），以为PQ直径的圆为（x-2）2+（y-）2=4，交x轴于点M1（1，0）， M2（3，0），取k=-，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x-）2+（y-）2=，交轴x于点M1（1， 0）， M2（4， 0）. 所以若符合条件的点M存在，则点M的坐标必为（1，0）. 以下证明M（1，0）就是满足条件的点.因为点M的坐标（1，0）. 所以 =（--1，）， =（3， 4k+m），从而 ·=--3++3=0，故恒有⊥，即存在定点M（1， 0），使得以PQ为直径的圆恒过定点M.点评：对于这类圆过定点的问题，常常通过试探性的选取一些特殊点，进行探路，尝试寻找是否有一般性的问题结果，然后在进行证明，显得自然、合理. 这里从特殊到一般的数学思想体现了价值.也有了用武之地.四、一般位置，特殊对待形体位置关系主要针对几何问题，往往采用特殊化位置处理，主要适用于空间几何图形的平行、垂直的证明以及几何体的体积求法，有时需要将几何体切割、挖补、延展、转化形成便于观察和计算的常见几何体来处理.例4. 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积是（）A. B. 5 C. 6 D.解析：将图形特殊化，如图所示，使ED⊥平面ABCD，且使ED=2. 连接DF、AF，则EF⊥面ADE，△ADE为直角三角形.S△ADE=·AD·DE =×3×2=3.于是VF-ADE=·EF·S△ADE=××3=，VF-ABCD=·DE·S△ABCD=×2×32=6.所以VABCDEF=+6=.答案选D.点评：题目中提供的图形，除底面是正方形以外，其他没有任何特殊之处，如果直接用割补法求解，难度和计算量都会增加不小.因此，对于一般图形求面积或者体积时，可以通过改变线线关系或线面关系，使之转化为垂直或者平行等特殊化位置，进而使用换底、变高等方法分割求解.五、由形悟数，数形结合以形悟数，即借助形的直观性来阐明、领悟数量之间的关系，常用手段是将图形中的变化规律，数量变化代替图形变化，将图形变化转化为具体的可推理的数字符号推理，再借助于相关数学知识解决. 形数结合现在普遍存在于高考中的数列通项公式、前n项求和、函数图像、方程曲线的等问题中.例5. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或者用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数，1，3，6，10…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：（1）b2012是数列{an}中的第项.（2）b2k-1= .（用k表示）解析：由以上规律可知三角形数1，3，6，10，…的一个通项公式为an=，写出其若干项有：1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…发现其中能被5整除的为10，15，45，105，120，故b1=a4，b2=a5，b3=a9，b4=a10，b5=a14，b6=a15.从而由上述规律可猜想：b2k=a5k=（k为正整数），b2k-1=a5k-1==，故b2012=b2×1006=b5×1006=a5030，即b2012是数列{an}中的第5030项.答案：（1）5030；（2）.点评：遇到图形问题，要善于将直观的图形与抽象的数学符号语言联系起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的出现引发对数量变化的思考，使问题化难为易. 本题通过对三角形数的前几项的归纳猜想，寻找出能被5整除的数字变化规律，发现数列{bn}的各项与数列{an}的各项的变化联系，进而得出数列{bn}通项公式，再求出第2012项.这样，由图想数，数形结合使问题解决达到事半功倍之效.责任编辑徐国坚。

苏州大学本科生毕业设计（论文）目录摘要-------------------------------------------------------------------------------------（1）Abstract---------------------------------------------------------------------------------（1）前言-------------------------------------------------------------------------------------（2）第1章中学数学中的特殊化-----------------------------------（3）第1.1节何为特殊化---------------------------------------------------------（3）第1.2节特殊化的应用------------------------------------------------------（3）第1.3节如何培养中学生的特殊化思维---------------------------------（5）第2章中学数学中的一般化-----------------------------------（5）第1.1节何为一般化---------------------------------------------------------（5）第1.2节一般化的应用------------------------------------------------------（5）第1.3节如何培养中学生的一般化思维---------------------------------（7）第3章特殊化与一般化的辩证关系-----------------------------（8）结论-------------------------------------------------------------------------------------（9）参考文献-------------------------------------------------------------------------------（9）苏州大学本科生毕业设计（论文）摘要在中学学习过程中，数学思想方法是学习数学、运用数学的灵魂。

“一般到特殊”与“特殊到一般” 在探究“是否存在型问题”中的应用１ 一道高考试题的两种解法 设椭圆22221(,0)x y E a b a b+=>:过M N ，O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒在两个交点,A B 且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围；若不存在，说明理由．此题是２００９年山东省高考试题，请同学们比较第（Ⅱ）问的两种解法：解：（1）因为椭圆22221(,0)x y E a b a b+=>:过M N 两点, 2222421611a b a b +=+⎧⎪⎨⎪=⎪⎪⎩∴22118114a b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴2284a b ⎧=⎨=⎩∴∴椭圆E 的方程为22184x y +=． （2）解法１ 一般到特殊的方法假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点 ,A B ，且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y kx m =+． 由22184x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=，即222(12)4280k x kmx m +++-=， 则222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22840k m -+>， 由根与系数关系得12221224,1228.12km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∴2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++2222222222(28)48121212k m k m m k m k k k--=-+=+++， 要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k --+=++， ∴223880m k --=， ∴223808m k -=≥．又22840k m -+>，∴22238m m ⎧>⎨≥⎩，∴283m ≥，即m ≥或m ≤． ∵直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线，∴圆的半径为r =∴222228381318m m r m k ===-++，r =， ∴所求的圆为2283x y +=， 此时圆的切线y kx m =+都满足m ≥m ≤，而当切线的斜率不存在时，切线为x =与椭圆22184x y +=的两个交点为或(，满足OA OB ⊥． 综上，存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥．下面求弦长||AB ：（１）当AB 的斜率不存在时,两个交点为或(,所以此时||AB =． （２）当AB 的斜率存在时， ∵22222212121222224288(84)()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--⨯=+++， ∴||AB ===== ①当0k ≠时||AB ∵221448k k ++≥，∴221101844k k <≤++, ∴2232321[1]1213344k k <+≤++,||AB ≤k =时取”=”． ②当0k =时,||AB =； 综上, ||AB的取值范围是． 解法２ 特殊到一般的方法取满足OA OB ⊥的两个点A ，(0,2)B ，作OD AB ⊥于D ，则OD == ∴以O为圆心，半径为OD =的圆O ：2283x y +=与AB 相切． 猜想圆O 符合条件，下面给出证明：（１）当,OA OB 有一条斜率为0，另一条斜率不存在时，由上面的计算以及椭圆的对称性知，圆O ：2283x y +=与AB 相切．（２）当,OA OB 斜率存在且不为0时， 设OA∶y kx =，OB ∶1y x k=-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由112211184x y y kx =+=⎧⎪⎨⎪⎩得21222128,218.21x k k y k =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩同理22122128,28.2k x k y k ⎧⎪⎪⎨=+=+⎪⎪⎩ ∴2228(1)21k OA k ++=，2228(1)2k OB k ++=， ∴221138OA OB +=（这一个结果对于下面的简化计算很重要）， ∴O 到AB的距离OD ==， ∴AB 与圆O 相切．这就证明了存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥．下面求弦长AB ：222222222221188()()(2)33OA OB OA OB OA OB OA OB OB OA AB +=++=++⋅=⋅，令22222213(1)21221k k OA t OB k +=+++==，∵20k ≥，∴1(,2]2t ∈，∴232[,12]3AB ∈，∴AB ∈． 当,OA OB 有一条斜率为0，另一条斜率不存在时，AB ==综上, ||AB 的取值范围是． ２ 两种解法的比较比较两种解法可以看出，解法２比解法１简单的多！简单的原因至少有以下三条： （１）使用了特殊到一般的方法；（２）利用了互相线垂直的直线的斜率关系，只设了一个参数（也可以用和方法１一样，设直线AB 的方程，但是计算量较大，读者可以尝试）；（３）利用了整体代换．上述方法显然方法中，显然“使用了特殊到一般的方法”起了决定性的作用，理由如下：本题属于探究是否存在的问题，用一般到特殊的方法必须利用待定系数法求解，一般参考资料都用了这个方法，但是用这个方法，由于不知道结果，一旦计算稍有失误，就求不出正确结果，以致前功尽弃；而用特殊到一般的方法，可以早早明确了目标，然后根据情况选择合适的方法去证明这个结果满足一般情况．特殊到一般的方法可以说是“无中生有”．也就是说，这种“探究性问题”直接做的话并不知道结果是多少，只能一步一步往下做；而特殊到一般的方法即“归纳，猜想，证明”却早早确定了方向！高考越来越重视“探究性问题”，“由特殊到一般”是一种重要的探究问题和解决问题的方法，换句话说，“归纳，猜想，证明”是值得重视的．巩固练习：１、已知椭圆22:12x C y +=，(0,1)M 是C 的一个顶点，作射线MA MB 、交椭圆C 于A B 、，M A M B ⊥．求直线AB 所过定点的坐标．（请给出用两种解法）．参考答案：１、解法１：显然直线AB 有斜率，设直线AB 的方程为y kx m =+， 联立2212x y +=得：222(21)4220k x kmx m +++-=， 当0∆>时，设1122((A x y B x y ,)、,)， 则2121222422,,2121km m x x x x k k -+=-=++ 又M A M B ⊥，∴0MA MB ⋅=，即12120x x y y =+(-1)(-1)，121212()10x x y y y y +-++=，又1y kx m =+，2y kx m =+，∴221212(1)(1)()210k x x k m x x m m ++-++-+=，把2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++代入上式得： 22222224(1)(1)2102121m km k k m m m k k -+⋅--⋅+-+=++，注意到1m =显然不合题意， 于是上式化为：2222(1)4(1)(1)02121m km k k m k k ++⋅-⋅+-=++， 整理得310m +=，∴13m =-． 即直线AB 的方程为13y kx =-， 显然直线AB 过定点1(0,)3Q -． 解法２：当直线AB 斜率为0时，根据对称性不妨设MA 的方程为1y x =-， 由22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得A 点的纵坐标为13-，∴直线AB 的方程为13y =-， 根据对称性可以猜想直线AB 过定点1(0,)3Q -．下面给出证明：设直线AB 的方程为13y kx =-． 由221213x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得22(189)12160k x kx +--=，显然0∆>， 1212221216,,189189k x x x x k k -+==++ 121212124433MA MB x x y y x x kx kx ⋅==∴+(-1)(-1)+(-)(-) 222416(1)3161201891899k k k k k =+-⋅+-=++， ∴M A M B ⊥．∴直线AB 过定点1(0,)3Q -．。

由特殊到一般方法在高数学习中的应用【摘要】在高数学习中，特殊到一般方法起着重要的作用。

本文首先介绍了高数学习中的挑战以及特殊到一般方法的重要性。

然后详细解释了特殊到一般方法的定义，并探讨了它在微积分、线性代数、概率论和数学建模中的具体应用。

特殊到一般方法的全面性、灵活性和实用性也在结论部分得到了强调。

通过本文的阐述，读者可以更好地理解特殊到一般方法在高数学习中的应用价值，以及如何运用这一方法提升数学学习的效率与深度。

【关键词】关键词：高数学习、特殊到一般方法、微积分、线性代数、概率论、数学建模、全面性、灵活性、实用性1. 引言1.1 高数学习中的挑战高数学习通常包含大量的抽象概念和复杂的数学理论，对于学生来说需要具备较强的逻辑思维能力和抽象思维能力。

这对于一些学生来说是一种挑战，需要花费更多的时间和精力来理解和掌握。

高数学习中常常涉及到大量的数学公式和定理，需要学生具备扎实的基础知识和良好的记忆能力。

而且很多数学问题需要学生进行较为复杂的推导和计算，这就需要学生具备较强的数学运算能力和解决问题的能力。

高数学习中的一些概念和思想可能与学生之前所接触到的数学知识有所不同，需要学生具备较强的学习能力和适应能力，能够灵活地运用特殊到一般方法解决问题。

高数学习中的挑战主要表现在思维能力、记忆能力、运算能力和学习适应能力等方面。

只有克服这些挑战，才能更好地理解和掌握高等数学知识，提高数学学习的效果。

1.2 特殊到一般方法的重要性在高数学习中，特殊到一般方法的重要性不可忽视。

特殊到一般方法是一种重要的学习策略，通过从具体例子出发逐渐推广到一般情况，帮助学生逐步理解抽象、复杂的数学概念和定理。

这种方法在高数学习中具有以下重要性：特殊到一般方法能够激发学生的兴趣和动力。

通过具体问题的解决和推广，学生可以感受到数学的神奇和魅力，增强学习的积极性。

特殊到一般方法使数学不再是冰冷抽象的符号，而是具有生动性和实用性的知识体系。

高考数学核心专题：特殊到一般的思想运用 人类的认识活动，人们对于某类事物的认知，总是先对具体的个别事物，通过观察、实验、分析、综合，归纳出其甄选，再通过理性分析、逻辑推理加以证明，从特殊推及一般。

德国数学家希尔伯特说：在讨论数学问题时，特殊化比一般化起着更为重要的作用。

例1已知点Ｐ是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任一点，Ｆ为椭圆的焦点，求证：以ＰＦ为直径的圆总与某一定圆相切。

分析：设Ｆ为椭圆的右顶点，当Ｐ分别为椭圆的左、右顶点Ａ、Ｂ和上、下顶点Ｃ、Ｄ时，分别以ＡＦ、ＢＦ、ＣＦ、ＤＦ为直径的同时内切于以原点为圆心半径为a 的圆，由此可猜想以ＰＦ为直径的圆总与圆x 2+y 2＝a 2相切。

验证：设ＰＦ的中点为Ｍ，椭圆的另一焦点为Ｆ1，易由三角形中位线定理和椭圆的定义可得1111(2)222OM PF a PF a PF ==-=-，所以圆Ｍ恒与圆Ｏ内切。

故以ＰＦ为直径的圆总与圆x 2+y 2＝a 2相切。

注：由特殊情形归纳猜想结论，再验证一般情形下结论的正确性。

例2若数列{}n a 的各项均为正数，212,n n n n N a a a t *++∀∈=+（t 为常数），且3242a a a =+ .(1)求132a a a +的值; (2)求证：数列{}n a 为等差数列.分析（1）令1n =，则有2213a a a t =+ ① 令，则有 ②①②可得：（2）所给的递推公式中含有，而且原递推公式也很难变形，所以考虑再写一个式子两式相减，构造新的递推公式，仿照（1）进行变形.解： ③ ④③④可得：，从而 ，数列{}n a 为等差数列注：特殊情形的研究不只是为了归纳猜想得结论，更是能帮助发现研究问题的方法。

例3 设函数f(x)=ax 3-3x+1(x ∈R)，是否存在实数a ，使得对于任意的x ∈[-1,1],都有f(x) ≥0成立？若存在，试求出满足条件的实数a 取值集，若不存在，说明理由.（2008年江2n =2324a a a t =+-()()2222231324224313224313a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=-⇒+=+⇒+=+1324232a a a a a a ++∴==t 212n n n a a a t ++=+2213n n n a a a t +++=+∴-22221221311322n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++++++-=-⇒+=+()()11322n n n n n n a a a a a a +++++⇒+=+13221n n n n n n a a a a a a +++++++∴=132********n n n n n n n n n aa a a a a a a a a a a +++-+++++++=====221122n n n n n n a a a a a a +++++∴=⇒+=1+21n n n n a a a a ++∴-=-∴苏高考题）分析：想法一、假设存在a ，使得f(x) ≥0成立。

由特殊到一般方法在高数学习中的运用分析摘要：一个良好的数学学习方法属于学好数学知识的首要条件，更是一项基本功，而基本功越扎实，学习者能够攀爬的高度便会越高。

对于高数而言，其具备着较强的严谨性以及抽象性，一个优秀的数学学习方法是提高学习高数知识效率和质量的重要手段。

因此，本文便针对由特殊到一般方法如何在高数学习中进行运用做出分析和探讨。

关键词：高数学习；特殊到一般；方法运用前言：通常情况下，人们在认识世界的过程中，都是从特殊到一般，然后再从一般到特殊。

对于数学知识而言，其是研究现实世界数量关系以及空间形式的一种科学知识，而对于现实世界当中事物的特殊性来说具备着一定的普遍性，同时个性当中也具备着一定的共性，这一点在高等数学当中便呈现出了特殊与一般之间的辩证关系。

在高等数学当中对这一思想方法进行科学合理的运用，有助于更好地掌握高数知识，推动学习质量和效率不断提高。

1.特殊到一般方法的领会对于高等数学而言，其属于中学数学的推陈出新，也可以看作是中学数学知识通过重新组合之后诞生的一些解决新问题的方法[1]。

因此想要学习高等数学，便需要对中学数学的内容进行回顾。

而结合高等数学教材的第一章以及第二章，来对中学数学的过程进行回顾，可以帮助学习者有效领会从特殊到一般的学习方法，从而使得学习者可以在充分了解“特殊到一般”这一思想方法的基础上，熟练地对其进行科学合理的利用。

例如：在对函数的概念进行学习时，可以先举出一个较为简单的做匀速直线运动的相应物体的实例，通过这一实例，充分认识到取值发生变化的量分别是变量时间以及路程，针对于时间的每一个值，相应的路程都会有一个唯一的值与其进行对应。

这样一来，就可以将本身发生变化的量称作为自变量，由于自变量的变化而出现变化的量称之为因变量。

对于这种由初中数学知识反映出来的变量关系，便是最为朴素的函数关系，从而可以想到自变量的取值范围称之为定义域，而相应的因变量的取值范围称之为值域。