课时跟踪检测(一) 集 合

(—g, 3) U [5 , + g)(2019 大纲全国卷)已知集合 A = {1,3 , .m}, B = {1 , m}, A U B = A ，贝U m =()0或 3 1或，3（2019 中山模拟）设 S = {x|x< — 1，或 x>5},值范围是（）A. (一 3，一 1)B. [ — 3, — 1]C. ( —g,— 3]U (— 1,+g ) D . ( — g, — 3) U (— 1,+g )9. _____________________________________________________________ 若集合 U = R , A = {x|x + 2>0} , B = {x|x > 1}，贝U AA (?u B) = ____________________________课时跟踪检测(一)集合1. (2019 新课标全国卷)已知集合 A = {xlx 2 — x — 2<0} , B = {x|— 1<x<1}，则( ) A . AB B . BA C . A = B D . A A B = ?2. (2019 广州毕业测试)设集合 A = {(x , y)|2x + y = 6}, B = {(x , y)|3x + 2y = 4}，满足 C? (A A B)的集合C 的个数为( ) A . 1 B . 2 C . 33.设集合 P = {3 , log 2a}, Q = {a , b}，若 P A Q = {0}，则 P U Q =( ) A . {3,0} B . {3,0,1} C . {3,0,2} D . {3,0,1,2}4 . （2019辽宁高考）已知全集 U = {0,123,4,5,6,7,8,9}，集合 A = {0,1,3,5,8}，集合 B ={2,4,5,6,8}，则(?u A)A (?u B)=( A . {5,8} B . {7,9} C . {0,1,3} D . {2,4,6}5 . （2019合肥质检）已知集合 的实数a 的一个值为（ ） A = { — 2, — 1,0,1,2},集合 B = {x € Z|x S a},贝U 满足 A B6 . （2019汕头质检）已知全集 U = R ，集合 A = {x|3W x<7} , B = {xlx 2 — 7x + 10<0}，则？U (A A B)=( )( — g, 3) U (5,+^ ) B . ( — g, 3] U [5 ,+g )D . (— g, 3] U (5,+g )T = {x|a<x<a + 8}, SU T = R ，贝U a 的取第1页(?u B)n A = {1} , (?u A)Q (?U B)= {2,4}，贝U B Q (?U A) = ________ .11. ____________________________________________________________________ 已知R 是实数集，M = x -<1 , N = {y|y=\/x—1}，贝U N n (?R M)=__________________________ .12. (2019 吉林模拟)已知U = R ,集合A= {xlx2—x— 2 = 0} , B ={x|mx+ 1 = 0}, B n (?u A) =?，贝U m= _______ .13. (2019苏北四市调研)已知集合A = {x|x2+ a< (a + 1)x, a€ R}，存在a€ R，使得集合A中所有整数元素的和为28，则实数a的取值范围是__________ .14. (2019安徽名校模拟)设集合S n= {1,2,3，…，n}，若X? S n,把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数，则称X为S n的奇(偶)子集.则S4的所有奇子集的容量之和为11. (2019 杭州十四中月考)若集合A = y y= lg x,帀w x< 10, B = { —2,—1,1,2}, 全集U = R，则下列结论正确的是()A . A n B= { —1,1}B . (?U A) U B= [ —1,1]C. A U B= (—2,2) D . (?U A) n B= [ —2,2]2. (2019湛江模拟)设集合P= {(x, y)|x+ y<4, x, y€ N*}，则集合P的非空子集个数是()A . 2B . 3C. 7D. 83. 设A是自然数集的一个非空子集，对于k€ A，如果k2?A，且.k?A,那么k是A的一个“酷元”，给定S= {x€ N|y= lg(36 —x2)}，设M? S,且集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M有()A . 3个B . 4个C . 5个D . 6个4. 给定集合A，若对于任意a, b€ A,有a + b€ A，且a—b€ A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A = { —4,—2,0,2,4}为闭集合；②集合A = {n|n= 3k, k€ Z}为闭集合；③若集合A1, A2为闭集合，则A1U A2为闭集合.其中正确结论的序号是___________ .5 . (2019 清远调研)已知集合A= {x|x2—2x—3< 0, x € R}, B = {x|m —2w x w m+ 2}.(1)若A n B= [1,3]，求实数m的值；⑵若A?? R B，求实数m的取值范围.6 . (2019 衡水模拟)设全集1 = R，已知集合M = {x|(x+ 3)2< 0}, N= {x|x2+ x—6= 0}.⑴求(？I M)n N；(2)记集合A = (?i M)n N,已知集合B = {x|a —1 < x< 5-a, a€ R}，若B U A= A,求实数a的取值范围.答案课时跟踪检测（一）A级1. 选B A= {xlx2—x—2<0} = {x|—1<x<2},B= {x|—1<x<1},所以B A.2•选B 由条件可知集合A, B分别表示直线2x+ y= 6,3x+ 2y= 4上的点，且这两条直线不平行，也不重合，则这两条直线必有一个交点，即A n B只有一个元素，满足条件的集合C,只可能是？或A n B这两种情况.3. 选B 因为P n Q= {0}，所以0€ P, log2a= 0, a= 1，而0 € Q,所以b= 0•所以P U Q = {3,0,1}.4. 选B 因为A U B= {0,123,4,5,6,8}，所以(?U A) n (?U B)=?U(A U B) = {7,9}.5 .选D 当a = 0 时，B = {0};当 a = 1 时，B= { —1,0,1};当 a = 2 时，B= { —2,—1,0,1,2};当 a = 3 时，B= { —3,—2,—1,0,1,2,3},显然只有a = 3时满足条件.6. 选C x2—7x+ 10<0? (x—2) (•—5)<0? 2<x<5, A n B = {x|3< x<5},故？u(A n B)= (— 8, 3) U [5 ,+s ).7. 选B 法一：vAU B = A, AB? A.又 A = {1,3 , . m}, B = {1 , m} , u m= 3 或m= , m. 由m= . m得m = 0或m= 1.但m= 1不符合集合中元素的互异性，故舍去，故m= 0或m= 3.法••B = {1 , m} ,「.m M 1 ,•••可排除选项二：又当m= 3 时，A = {1,3 , 3}, B = {1,3}，满足 A U B= {1,3 , .3} = A,故选 B.a< —1,8. 选A在数轴上表示两个集合，因为S U T = R，由图可得a + 8>5，解得-3<a<9. 解析：由题意得？u B = (—g,1),又因为 A = {x|x+ 2>0} = {x|x> —2},于是 A A (?u B) = (—2,1).答案：(一2,1)10. 解析：依题意及韦恩图得， B A (?u A)= {5,6}.答案：{5,6}11. 解析：M = {x|x<0，或x>2}，所以?R M = [0,2],又N= [0,+^),所以N A?R M)= [0,2].答案：[0,2]12. 解析：A= { —1,2}, B= ?时，m= 0;1B= { —1}时，m= 1; B= {2}时，m= —71答案：0,1,—-13. 解析：不等式x2+ a w (a+ 1)x可化为(x—a)(x—1)< 0，由题意知不等式的解集为{X|1W x< a}. A中所有整数元素构成以1为首项，1为公差的等差数列，其前7项和为7X 1 + 72 = 28,所以7w a<8,即实数a的取值范围是[7,8).答案：[7,8)14. 解析：.S4= {1,2,3,4} ,「.X = ?, {1} , {2} , {3} , {4} , {1,2} , {1,3} , {1,4} , {2,3}, {2,4} , {3,4} , {1,2,3} , {1,2,4} , {1,3,4} , {2,3,4} , {1,2,3,4}.其中是奇子集的为X= {1},⑶，{1,3},其容量分别为1,3,3 ,所以S4的所有奇子集的容量之和为7.答案：7B级1.选A1•/x€ 10 , 10, • y€ [ —1,1],••• A A B= { —1,1}.2. 选C 当x= 1 时，y<3 ,又y € N* ,因此y= 1 或y= 2;当x = 2 时，y<2，又y€ N*，因此y= 1;当x = 3时，y<1，又y€ N*，因此这样的y不存在.综上所述，集合P中的元素有(1,1), (1,2), (2,1)，集合P的非空子集的个数是23- 1 = 7.3. 选C 由36- x2>0，解得—6<x<6.又因为x€ N，所以S= {0,1,2,3,4,5}.依题意，可知若k是集合M的"酷元”是指k2与.k都不属于集合M.显然k= 0,1都不是“酷元”.若k = 2,则k2= 4;若k= 4,则.k=2.所以2与4不同时在集合M中，才能成为“酷—??兀 .显然3与5都是集合S中的“酷元”.综上，若集合M中的两个元素都是“酷元”，则这两个元素的选择可分为两类：(1)只选3 与5,即M = {3,5};⑵从3与5中任选一个，从2与4中任选一个，即M = {3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}.所以满足条件的集合M共有5个.4. 解析：①中，一4 + (—2) = —6?A，所以不正确；②中设n1, n2€A, n1= 3k1, n2= 3k2, k1, k2 € Z,贝U m+ n2€ A, n1—n2€ A，所以②正确；③令A1= { —4,0,4} , A2= { —2,0,2}，贝U A1, A2为闭集合，但A1 U A不是闭集合，所以③不正确.答案：②5. 解：A= {x|—K x w 3} , B= {x|m—2< x< m + 2}.m—2 = 1,(1) '/An B= [1,3] ,•••得m= 3.m+ 2 > 3,(2) ?R B = {x|x v m—2,或x> m+ 2}.'•'A?? R B, Am —2>3 或m+ 2v—1.•'■m >5 或m v—3.即m的取值范围为(一g,—3) U (5 ,+s).6. 解：(1) VM = {x|(x+ 3)2w 0} = { —3}, N = {xlx2+ x—6= 0} = { - 3,2},•■•?I M = {x|x€ R 且X M—3}, ••(?i M)n N= {2}.(2)A = (?i M)n N= {2},••A U B= A,「.B? A,「.B = ?或B = {2},当B= ?时，a—1>5 —a,「.a>3 ;a—1 = 2,当B= {2}时，解得a = 3,5 —a = 2,综上所述，所求a的取值范围为{a|a> 3}.。

课时跟踪检测（一）集合的含义A级——学考合格性考试达标练1．下列说法正确的是()A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合B．由1，2，3和9，1，4组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素解析：选C A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．2．已知集合A中的元素x满足x－1<3，则下列各式正确的是()A．3∈A且－3∉A B．3∈A且－3∈AC．3∉A且－3∉A D．3∉A且－3∈A解析：选D∵3－1＝2>3，∴3∉A.又－3－1＝－4<3，∴－3∈A.3．下面几个命题中正确命题的个数是()①N*中最小的数是1；②若－a∉N*，则a∈N*；③若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2；④x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a∉N*，且a∉N*，故②错；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．4．已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为()A．2 B．2或4C．4 D．0解析：选B若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；若a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.故选B.5．由实数－a，a，|a|，a2所组成的集合最多含有的元素个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B 当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a ≠0时，a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a >0，－a ，a <0，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中最多含有两个元素，故选B.6．下列说法中：①集合N 与集合N ＋是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________(填序号)．解析：因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ________A ，ab ________A ．(填∈或∉)．解析：∵a 是偶数，b 是奇数，∴a ＋b 是奇数，ab 是偶数，故a ＋b ∉A ，ab ∈A .答案：∉ ∈8．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________．解析：∵x ∈N ，2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素，易知a ＝6.答案：69．设A 是由满足不等式x <6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值． 解：∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ， ∴a ＝0或1.10．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．解：因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去．综上可知：x ＝1，y ＝0.B 级——面向全国卷高考高分练1．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π组成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|组成的集合B ．P 是由π组成的集合，Q 是由3.141 59组成的集合C ．P 是由2，3组成的集合，Q 是由有序数对(2，3) 组成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数组成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集解析：选A 由于A 中P ，Q 元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B 、C 、D 中元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.2．若以集合A 的四个元素a ，b ，c ，d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：选A 由于a ，b ，c ，d 四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．3．若集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ；集合B 中有三个元素0，b a，b .若集合A 与集合B 相等，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 由题意可知a ＋b ＝0且a ≠0，∴a ＝－b ，∴b a＝－1.∴a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝2. 4．已知a ，b 是非零实数，代数式|a |a ＋|b |b ＋|ab |ab的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∈MB ．－1∈MC ．3∉MD ．1∈M解析：选B 当a ，b 全为正数时，代数式的值是3；当a ，b 全是负数时，代数式的值是－1；当a ，b 是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B 正确．5．不等式x －a ≥0的解集为A ，若3∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为3∉A ，所以3是不等式x －a <0的解，所以3－a <0，解得a >3.答案：a >36．若集合A 中含有三个元素a －3，2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为________． 解析：(1)若a －3＝－3，则a ＝0，此时A ＝{－3，－1，－4}，满足题意．(2)若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．(3)若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A＝{－2，1，－3}，满足题意；当a＝－1时，由(2)知不合题意．综上可知：a＝0或a＝1.答案：0或17．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明：(1)若a∈A，则11－a∈A.∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－（－1）＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中必还有另外两个元素，且为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴集合A不可能是单元素集．C级——拓展探索性题目应用练集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4，9，25；B中的元素为9，0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4，5，9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a＝－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意．综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3.。

姓名，年级：时间：阶段性测试题一第一章集合（时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷（选择题，共50分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2018·浙江卷）已知全集U＝{1，2,3，4，5｝，A＝｛1,3｝,则∁U A＝（) A．∅B．{1，3｝C．{2，4，5｝D．{1，2，3，4，5｝解析：因为全集U＝{1,2，3，4，5｝，A＝｛1,3}，所以根据补集的定义得∁U A＝{2,4，5｝，故选C．答案：C2．（2018·全国卷Ⅱ）已知集合A＝{（x,y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（)A．9 B．8C．5 D．4解析：∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1，0,1，当x＝－1时,y＝－1，0,1；当x＝0时，y＝－1，0，1；当x＝1时，y＝－1,0，1.所以共有9个，故选A．答案:A3．已知集合A＝｛x∈Z|－1＜x＜2｝,B＝｛x∈Z|0＜x＜3｝，则A∪B＝( ）A．{0,1｝B．{1，2}C．{0,1，2｝D．｛0,1，2,3}解析：∵A＝{0,1｝，B＝｛1，2}，∴A∪B＝{0,1，2}．答案：C4．设全集U＝{a，b，c，d，e}，集合M＝｛a,b，c}，N＝｛a，c,e｝，那么（∁U M)∩N＝( ）A．∅B．{e｝C．｛a，c} D．{b，e}解析：∵U＝{a，b,c，d，e},M＝{a，b，c}，∴∁U M＝｛d，e｝．又N＝｛a，c，e},∴(∁U M)∩N＝{e}．答案：B5.如图所示，阴影部分所表示的集合为( )A．A∩(B∩C)B．(∁S A)∩(B∩C)C．（∁S A)∪(B∩C）D．(∁S A）∪（B∪C)答案：B6．设全集U＝｛1,2，3，4,5,6,7｝，集合A＝｛1，3,5}，集合B＝{3，5｝，则（)A．U＝A∪B B．U＝（∁U A）∪BC．U＝A∪（∁U B）D．U＝(∁U A)∪(∁U B）解析：∵∁U B＝{1，2，4，6,7｝，∴A∪(∁U B）＝{1,2,3，4,5，6,7}＝U。

课时跟踪检测（一） 集合的含义层级一 学业水平达标1．下列说法正确的是( )A ．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B ．由1,2,3和 9，1，4组成的集合不相等C ．不超过20的非负数组成一个集合D ．方程(x －1)(x ＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素解析：选C A 项中元素不确定．B 项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D 项中方程的解分别是x 1＝1，x 2＝x 3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．2．已知集合A 由x <1的数构成，则有( )A ．3∈AB ．1∈AC ．0∈AD ．－1∉A 解析：选C 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．3．下面几个命题中正确命题的个数是( )①集合N *中最小的数是1；②若－a ∉N *，则a ∈N *；③若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 最小值是2；④x 2＋4＝4x 的解集是{2,2}．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，且a ∉N *，故②错；若a ∈N *，则a 的最小值是1，又b ∈N *，b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．4．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．0解析：选B 若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A .故选B.5．由实数－a ，a ，|a |，a 2所组成的集合最多含有的元素个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a ≠0时，a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a >0，－a ，a <0，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中有两个元素，故选B.6．下列说法中：①集合N 与集合N ＋是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________(填序号)．解析：因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ________A ，ab ________A ．(填∈或∉)．解析：∵a 是偶数，b 是奇数，∴a ＋b 是奇数，ab 是偶数，故a ＋b ∉A ，ab ∈A .答案：∉ ∈8．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.解析：∵x ∈N,2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素，∴结合数轴知a ＝6.答案：69．设A 是由满足不等式x <6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值． 解：∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ， ∴a ＝0或1.10．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．解：因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去．综上知：x ＝1，y ＝0.层级二 应试能力达标1．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集解析：选A 由于A 中P ，Q 元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B 、C 、D 中元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.2．若以集合A 的四个元素a ，b ，c ，d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：选A 由于a ，b ，c ，d 四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．3．若集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ；集合B 中有三个元素0，b a ，b .若集合A 与集合B 相等，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 由题意可知a ＋b ＝0且a ≠0，∴a ＝－b ，∴b a＝－1.∴a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝2. 4．已知a ，b 是非零实数，代数式|a |a ＋|b |b ＋|ab |ab 的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∈MB ．－1∈MC ．3∉MD ．1∈M解析：选B 当a ，b 全为正数时，代数式的值是3；当a ，b 全是负数时，代数式的值是－1；当a ，b 是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B 正确．5．不等式x －a ≥0的解集为A ，若3∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为3∉A ，所以3是不等式x －a <0的解，所以3－a <0，解得a >3.答案：a >36．若集合A 中含有三个元素a －3,2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为________． 解析：(1)若a －3＝－3，则a ＝0，此时A ＝{－3，－1，－4}，满足题意．(2)若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．(3)若a 2－4＝－3，则a ＝±1.当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}，满足题意；当a ＝－1时，由(2)知不合题意．综上可知：a ＝0或a ＝1.答案：0或17．集合A 中共有3个元素－4,2a －1，a 2，集合B 中也共有3个元素9，a －5,1－a ，现知9∈A 且集合B 中再没有其他元素属于A ，能否根据上述条件求出实数a 的值？若能，则求出a 的值，若不能，则说明理由．解：∵9∈A ，∴2a －1＝9或a 2＝9，若2a －1＝9，则a ＝5，此时A 中的元素为－4,9,25；B 中的元素为9,0，－4，显然－4∈A 且－4∈B ，与已知矛盾，故舍去．若a 2＝9，则a ＝±3，当a ＝3时，A 中的元素为－4,5,9；B 中的元素为9，－2，－2，B 中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a ＝－3时，A 中的元素为－4，－7,9；B 中的元素为9，－8,4，符合题意． 综上所述，满足条件的a 存在，且a ＝－3.8．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集． 证明：(1)若a ∈A ，则11－a∈A . 又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A . ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12∈A . ∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中必还有另外两个元素，且为－1，12. (2)若A 为单元素集，则a ＝11－a， 即a 2－a ＋1＝0，方程无解．∴a ≠11－a，∴集合A 不可能是单元素集．。

第一章 集 合 1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念课时跟踪检测[A 组 基础过关]1．给出下列关系：①2∈R ；②5∈Q ；③4.5∈Q ；④0∈N ＋，其中正确的命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：无限不循环小数均为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以①③正确，②错误；正整数集N ＋是除了0以外的所有自然数组成的集合，所以④错误．答案：B2．方程组⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，2x －3y ＋6＝0的解集中元素的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：∵方程组有一组解，∴解集中有1个元素． 答案：B3．已知集合A 是方程ax ＋b －x ＋2＝0的解集，若集合A 为无限集，则a ，b 的值为( )A ．1，－2B ．1,2C ．0，－2D ．－2,1解析：若A 为无限集，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，b ＋2＝0.∴a ＝1，b ＝－2.答案：A4．给出以下四个命题：①元素0组成的集合是空集；②满足x＞8，且x＜5的元素x组成的集合是空集；③满足x2－1＝0的正整数x组成的集合是空集；④满足x＜1的元素x组成的集合是无限集．其中正确的是()A．①②B．③④C．②④D．①③答案：C5．由下列对象组成的集体属于集合的是()①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．A．①③B．②④C．①④D．②③答案：C6．用符号∈或∉填空：(1)3________R；(2)0________∅；(3)(－1)0________N；(4)－5________Z.答案：(1)∈(2)∉(3)∈(4)∈7．若方程ax2＋2x－1＝0的解集为∅，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得Δ＝4＋4a＜0，∴a＜－1.答案：a＜－18．说出下面集合的元素．(1)小于12的质数构成的集合；(2)倒数等于其本身的数组成的集合；(3)由6的约数组成的集合；(4)方程2x2－3x－2＝0的解组成的集合．解：(1)中的元素为2,3,5,7,11.(2)中的元素为1，－1.(3)中的元素为6,3,2,1，－1，－2，－3，－6.(4)中的元素为2，－12.[B组技能提升]1．a，a，b，b，a2，b2构成集合M，则M中元素的个数最多有()A．6个B．5个C．4个D．3个解析：由集合元素的互异性，知集合中的元素最多为a，b，a2，b2，且4个元素互不相等．答案：C2．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为() A．2 B．2或4C．4 D．0解析：若a＝2，则6－a＝4∈A；若a＝4,6－a＝2∈A；若a＝6,6－a＝0∉A；∴a的值为2或4，故选B．答案：B3．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，则实数a 的值为________．解析：由－3∈A，可得a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，∴a＝－1或a＝－3 2.当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1舍去；当a＝－32时，a－2＝－72，2a2＋5a＝－3，符合题意，∴a＝－3 2.答案：－3 24．已知集合P中元素x满足：x∈N，且4<x<a，又知集合P中恰有四个元素，则实数a的取值范围是________．解析：由题可知集合P中含有元素5,6,7,8，故8<a≤9.答案：8<a≤95．关于x的方程x2＋ax＋b＝0，当a，b满足什么条件时，解集为空集？含有一个元素？含有两个元素？解：当a2－4b<0时，方程的解集为空集；当a2－4b＝0时，方程的解集含一个元素；当a2－4b>0时，方程的解集含两个元素．6．设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？解：当a＝0时，b依次取1,2,6，a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，a＋b的值分别有6,7,11，依据集合元素的互异性可知，P＋Q中元素有1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．。

精品“正版”资料系列，由本公司独创。

旨在将“人教版”、”苏教版“、”北师大版“、”华师大版“等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友。

本资源创作于2020年12月，是当前最新版本的教材资源。

包含本课对应内容，是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最佳选择。

通过我们的努力，能够为您解决问题，这是我们的宗旨，欢迎您下载使用!（含各章节检测题）（共31套）最新高中人教化学必修1（全册）同步练习课时跟踪检测汇总（含所有课时练习附答案）课时跟踪检测（一）化学实验安全过滤和蒸发1．下列实验基本操作中，主要是出于实验安全考虑的是( )A．实验剩余的药品不能放回原试剂瓶B．点燃可燃性气体前的验纯C．气体实验装置在实验前进行气密性检查D．胶头滴管不能交叉使用解析：选B A、D项防止污染原试剂，B项防止可燃性气体不纯引起爆炸，C项防止漏气。

2．进行化学实验必须注意安全。

下列说法正确的是( )A．不能用手直接接触药品B．可用酒精灯对烧杯直接加热C．用鼻孔凑到容器口去闻气体的气味D．尝一下实验室里酒精的味道解析：选A 烧杯不能直接加热；在闻有毒气体时，应用手在瓶口轻轻扇动，仅使极少量的气体飘进鼻孔；在实验室里，不能品尝药品的味道。

3．下列仪器常用于进行物质分离的是( )解析：选B 应用烧杯、漏斗、玻璃棒等可进行过滤操作，可用于分离难溶性固体与液体。

4．实验室进行过滤和蒸发操作时，都要用到的仪器是( )A．烧杯B．玻璃棒C．蒸发皿D．酒精灯解析：选B 过滤时要用玻璃棒引流，以免外洒；蒸发时要用玻璃棒搅拌，防止由于局部液体温度过高，造成液滴飞溅。

5．下列生产、生活、实验中的行为，符合安全要求的是( )A．进入煤矿井下作业，戴上安全帽，用帽上的矿灯照明B．节日期间，可以在热闹繁华的商场里燃放烟花爆竹，欢庆节日C．点燃打火机，可以检验液化气钢瓶口是否漏气D．实验室里，可以将水倒入浓硫酸中及时用玻璃棒搅拌，配制稀硫酸解析：选A 煤矿中的瓦斯气体和液化气都是可燃性气体，遇明火容易发生爆炸，A正确，C不正确；燃放烟花爆竹应在人少的空旷处燃放，B不正确；将水倒入浓硫酸中容易因放热过多而导致酸液沸腾溅出，D不正确。

课时跟踪检测(一)集合第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·哈尔滨四校统考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，xy∈A}，则B的所有真子集的个数为()A．512B．256C．255 D．2542．(2013·佛山一模)设全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,4} B．{2,4}C．{2,5} D．{1,5}3．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D.A⊆B4．(2014·太原诊断)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|y＝ln(x－2)}，则(∁R B)∩A＝()A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}5．(2013·郑州质检)若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．(2014·湖北八校联考)已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有()A．1个B．2个C．4个D．8个7．(2014·江西七校联考)若集合P＝{x|3<x≤22}，非空集合Q＝{x|2a＋1≤x<3a－5}，则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值范围为()A．(1,9) B．[1,9]C．[6,9) D．(6,9]8．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝()A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}9．已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝________. 10．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________．11．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝________.12．设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，若X ⊆S n ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．则S 4的所有奇子集的容量之和为________．第Ⅱ组：重点选做题1．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，求实数a 的取值范围．2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ log 12(x ＋2)>－3x 2≤2x ＋15，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)求集合A ；(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选C 由题意知当x ＝1时，y 可取1,2,3,4；当x ＝2时，y 可取1,2；当x ＝3时，y 可取1；当x ＝4时，y 可取1.综上，B 中所含元素共有8个，所以其真子集有28－1＝255个．选C.2．选B 由题意易得U ＝{1,2,3,4,5}，A ∪B ＝{1,3,5}，所以∁U (A ∪B )＝{2,4}．故选B.3．选B 集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R .4．选C 集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |x >2}，则(∁R B )∩A ＝{x |1<x ≤2}，选C.5．选B ∵A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴x 2＝0或x 2＝2或x 2＝x ，解得x ＝0或2或－2或1.经检验当x ＝2或－2时满足题意．6．选B |a |≥2⇒a ≥2或a ≤－2.又a ∈M ，(a －2)·(a 2－3)＝0⇒a ＝2或a ＝±3(舍)，即A 中只有一个元素2，故A 的子集只有2个．7．选D 依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1<3a －5，2a ＋1>3，3a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围是(6,9]．8．选B 由log 2x <1，得0<x <2，所以P ＝{x |0<x <2}；由|x －2|<1，得1<x <3，所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．9．解析：因为A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ， 当n ＝0时，x ＝－2；n ＝1时不合题意；n ＝2时，x ＝2；n ＝3时，x ＝1；n ≥4时，x ∉Z ；n ＝－1时，x ＝－1；n ≤－2时，x ∉Z .故A ＝{－2,2,1，－1}，又U ＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁U A ＝{0}．答案：{0}10．解析：∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.答案：(－∞，1]11．解析：A ＝{－1,2}，B ＝∅时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12. 答案：0,1，－1212．解析：∵S 4＝{1,2,3,4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S 4的所有奇子集的容量之和为7.答案：7第Ⅱ组：重点选做题1．解：A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－3}，函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a ＞0，f (－3)＝6a ＋8＞0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，所以⎩⎨⎧ a ≥34，a ＜43，即34≤a ＜43.故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，43.2．解：(1)解不等式log 12(x ＋2)>－3得：－2<x <6.①解不等式x 2≤2x ＋15得：－3≤x ≤5.② 由①②求交集得－2<x ≤5，即集合A ＝(－2,5]．(2)当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，解得m <2；当B ≠∅时，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>－2，2m －1≤5解得2≤m ≤3，故实数m 的取值范围为(－∞，3]．。

课时跟踪检测(一)1(多选)当用丝绸摩擦过的玻璃棒去接触验电器的金属球后,金属箔片张开。

此时,金属箔片的带电情况有（）A带正电荷 B带负电荷 C接触起电 D感应起电2.如图1-1所示的装置叫做“雅各布天梯”,两个用金属丝弯成的电极A,B与起电机的正,负端子相连,金属丝电极上能够集大量的正,负电荷,正负电荷通过电极之间的空气放电,产生明亮的电弧,电弧随着热空气上升,就像以色列的祖先雅各布梦中见到的天梯。

在电极放电过程中下面说法正确的是（）A.电极A得到的电荷数多于电极B失去的电荷数B.电极A得到的电荷数少于电极B失去的电简数C.电极A得到的电荷数等于电极B失去的电荷数D.不能判定电极A、B得失电荷之间的数量关系3.使带电的金属球靠近不带电的验电器,验电器的箔片张开。

图1-2中表示验电器上感应电荷的分布情况,正确的是（）4.(多选)如图1-3所示,不带电的枕形导体的A、B两端各贴有一对金箔。

当枕形导体的A端近一带电导体C时( )A.A端金箔张开,B端金闭合B用手触摸枕形导体后,A端金箔仍张开,B端金箔闭合C.用于触摸枕形导体后,将手和C都移走,两对金箔均张开D选项A中两对金箔分别带异种电荷,选项C中两对金箔带同种荷 5.四个塑料少球,A和B相互排斥，B和C相互吸引,C和D相互排斥,如果D带正电,则B球的带电情况是A.带正电B.带负电C.不带电D.可能带正电或不带电6.如图1-4所示,A、B为带异种电荷的小球,将两条不带电的导体棒C、D放在两球之间,在用导线将C棒左端点x和D棒右端点y连接起来的瞬间,导线中自由电子移动的方向是（）A.x→yB y-xC.没有电流D.先是y→x,然后x→y7.导体A带5Q的正电荷,另一完全相同的导体B带Q的负电荷,将两导体接触一会儿后再分开,则B导体的带电荷量为A.QB QC.2QD 4Q能力提升8.有三个相同的绝缘金属小球A、B、C,其中A小球带有3×10-3C 的正电荷,B小球带有2×10-3C的负电荷,小球C不带电。

2020年高中数学课时跟踪检测含解析新人教A版课时跟踪检测一变化率问题导数的概念课时跟踪检测二导数的几何意义课时跟踪检测三几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课时跟踪检测四复合函数求导及应用课时跟踪检测五函数的单调性与导数课时跟踪检测六函数的极值与导数课时跟踪检测七函数的最大小值与导数课时跟踪检测八生活中的优化问题举例课时跟踪检测九定积分的概念课时跟踪检测十微积分基本定理课时跟踪检测十一定积分的简单应用课时跟踪检测十二合情推理课时跟踪检测十三演绎推理课时跟踪检测十四综合法和分析法课时跟踪检测十五反证法课时跟踪检测十六数学归纳法课时跟踪检测十七数系的扩充和复数的概念课时跟踪检测十八 复数的几何意义课时跟踪检测十九 复数代数形式的加减运算及其几何意义 课时跟踪检测二十 复数代数形式的乘除运算课时跟踪检测（一） 变化率问题、导数的概念一、题组对点训练对点练一 函数的平均变化率1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2解析：选C 根据平均变化率的定义,可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3.2．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，314及邻近一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx ，314＋Δy ,则Δy Δx ＝( )A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3解析：选D ∵Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－3Δx －(Δx )2,∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx . 3．求函数y ＝f (x )＝1x在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率．解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )(1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx(1＋1＋Δx )1＋Δx, ∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx. 对点练二 求瞬时速度4．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 3－2表示,则此物体在t ＝1 s 时的瞬时速度(单位：m/s)为( )A ．1B ．3C ．－1D ．0 答案：B5．求第4题中的物体在t 0时的瞬时速度． 解：物体在t 0时的平均速度为v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt ＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2.因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20,故此物体在t ＝t 0时的瞬时速度为3t 20 m/s. 6．若第4题中的物体在t 0时刻的瞬时速度为27 m/s,求t 0的值．解：由v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt ＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2,因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20. 所以由3t 20＝27,解得t 0＝±3, 因为t 0>0,故t 0＝3,所以物体在3 s 时的瞬时速度为27 m/s. 对点练三 利用定义求函数在某一点处的导数 7．设函数f (x )可导,则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C ．13f ′(1) D ．f ′(3)解析：选A lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1)．8．设函数f (x )＝ax ＋3,若f ′(1)＝3,则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 解析：选C ∵f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx＝a ,∴a ＝3.9．求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数f ′(1)．解：由导数的定义知,函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx,而f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1,又lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12,所以f ′(1)＝12.二、综合过关训练1．若f (x )在x ＝x 0处存在导数,则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0,h 都有关B ．仅与x 0有关,而与h 无关C ．仅与h 有关,而与x 0无关D ．以上答案都不对解析：选B 由导数的定义知,函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．2．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1,在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2,则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 2<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：选D k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ；k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可正也可负,所以k 1与k 2的大小关系不确定． 3．A ,B 两机关开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W 1(t ),W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示,则一定有( )A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大解析：选B 由题图可知,A 机关所对应的图象比较陡峭,B 机关所对应的图象比较平缓,且用电量在[0,t 0]上的平均变化率都小于0,故一定有A 机关比B 机关节能效果好．4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2,其中s 的单位是：m,t 的单位是：s,那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s解析：选C ∵Δs Δt ＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋32)Δt＝5＋Δt ,∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (5＋Δt )＝5 (m/s)． 5．如图是函数y ＝f (x )的图象,则(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以,函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.答案：(1)12 (2)346．函数y ＝－1x在点x ＝4处的导数是________．解析：∵Δy ＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴Δy Δx ＝124＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0124＋Δx (4＋Δx ＋2) ＝12×4×(4＋2)＝116.∴y ′|x ＝4＝116.答案：1167．一做直线运动的物体,其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时平均速度．解：(1)初速度v 0＝lim Δt →0 s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0 3Δt －(Δt 2)Δt＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3(m/s)． 即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝lim Δt →0 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝lim Δt →0 －(Δt )2－Δt Δt ＝lim Δt →0 (－Δt －1)＝－1(m/s)． 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s,方向与初速度相反． (3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.8．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1,求Δx 的范围．解：因为函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx ,所以由－3－Δx ≤－1, 得Δx ≥－2. 又因为Δx >0,即Δx 的取值范围是(0,＋∞)．课时跟踪检测（二） 导数的几何意义一、题组对点训练对点练一 求曲线的切线方程1．曲线y ＝x 3＋11在点(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15解析：选C ∵切线的斜率k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (1＋Δx )3＋11－12Δx ＝lim Δx →0 1＋3·Δx ＋3·(Δx )2＋(Δx )3－1Δx ＝lim Δx →0[3＋3(Δx )＋(Δx )2]＝3, ∴切线的方程为y －12＝3(x －1)． 令x ＝0得y ＝12－3＝9.2．求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线方程．解：因为y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0 －1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2, 所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.故所求切线方程为y －2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,即4x ＋y －4＝0.对点练二 求切点坐标3．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0,b )处的切线方程是x －y ＋1＝0,则( ) A ．a ＝1,b ＝1 B ．a ＝－1,b ＝1 C ．a ＝1,b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1解析：选A ∵点(0,b )在直线x －y ＋1＝0上,∴b ＝1. 又y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋1－x 2－ax －1Δx ＝2x ＋a , ∴过点(0,b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1.4．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16,则点P 坐标为________． 解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0),则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4, 又∵f ′(x 0)＝16,∴4x 0＋4＝16,∴x 0＝3,∴P (3,30)． 答案：(3,30)5．曲线y ＝f (x )＝x 2的切线分别满足下列条件,求出切点的坐标． (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)切线的倾斜角为135°.解：f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x2Δx＝2x , 设P (x 0,y 0)是满足条件的点．(1)∵切线与直线y ＝4x －5平行,∴2x 0＝4,∴x 0＝2,y 0＝4,即P (2,4),显然P (2,4)不在直线y ＝4x －5上,∴符合题意．(2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直,∴2x 0·13＝－1,∴x 0＝－32,y 0＝94,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94.(3)∵切线的倾斜角为135°,∴其斜率为－1,即2x 0＝－1,∴x 0＝－12,y 0＝14,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14. 对点练三 导数几何意义的应用 6．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )点(x 0,f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处有切线,则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处没有切线,则f ′(x 0)有可能存在解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0,y 0)处有导数,则切线一定存在,但反之不一定成立,故A,B,D 错误．7．设曲线y ＝f (x )在某点处的导数值为0,则过曲线上该点的切线( ) A ．垂直于x 轴B ．垂直于y 轴C ．既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴D ．方向不能确定解析：选B 由导数的几何意义知曲线f (x )在此点处的切线的斜率为0,故切线与y 轴垂直．8．如图所示,单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍,则函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选D 不妨设A 固定,B 从A 点出发绕圆周旋转一周,刚开始时x 很小,即弧AB 长度很小,这时给x 一个改变量Δx ,那么弦AB 与弧AB 所围成的弓形面积的改变量非常小,即弓形面积的变化较慢；当弦AB 接近于圆的直径时,同样给x 一个改变量Δx ,那么弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的改变量将较大,即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始,随着B点的继续旋转,弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．由上可知函数y ＝f (x )图象的上升趋势应该是首先比较平缓,然后变得比较陡峭,最后又变得比较平缓,对比各选项知D 正确．9．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示, 则函数y ＝f ′(x )的图象可能是________(填序号)．解析：由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知,当x <0时f ′(x )>0,当x ＝0时,f ′(x )＝0,当x >0时,f ′(x )<0,故②符合．答案：②二、综合过关训练1．函数f (x )的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A ．0<f ′(a )<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a ) B ．0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a ) C ．0<f ′(a ＋1)<f ′(a )<f (a ＋1)－f (a ) D ．0<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )<f ′(a ＋1)解析：选B f ′(a ),f ′(a ＋1)分别为曲线f (x )在x ＝a ,x ＝a ＋1处的切线的斜率,由题图可知f ′(a )>f ′(a ＋1)>0,而f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a表示(a ,f (a ))与(a ＋1,f (a＋1))两点连线的斜率,且在f ′(a )与f ′(a ＋1)之间．∴0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )．2．曲线y ＝1x －1在点P (2,1)处的切线的倾斜角为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．3π4解析：选D Δy ＝12＋Δx －1－12－1＝11＋Δx －1＝－Δx 1＋Δx ,lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx ＝－1,斜率为－1,倾斜角为3π4.3．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x ＋2解析：选 A 由Δy ＝(1＋Δx )3－2(1＋Δx )＋1－(1－2＋1)＝(Δx )3＋3(Δx )2＋Δx 得lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋3Δx ＋1＝1,所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得切线方程为y ＝x －1.4．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点,且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,则P 0点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1,－4)D ．(2,8)或(－1,－4)解析：选C f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－2－(x 3＋x －2)Δx＝lim Δx →0 (3x 2＋1)Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝3x 2＋1.由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,所以f (x )在P 0处的导数值等于4.设P 0(x 0,y 0),则有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4,解得x 0＝±1,P 0的坐标为(1,0)或(－1,－4)．5．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示,则y ＝f (x )在A 、B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )________f ′(b )(填“<”或“>”)．解析：f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率,故f ′(a )>f ′(b )．答案：>6．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程为____________．解析：曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →03(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx＝lim Δx →0 (3Δx ＋2)＝2.所以过点 P (－1,2)的直线的斜率为2.由点斜式得y－2＝2(x＋1),即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.答案：2x－y＋4＝07．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②,试问：(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑,问快到终点时,谁跑得较快？解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大,故乙跑得快；(2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大,故快到终点时,乙跑得快．8．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象,结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．解：如图,结合导数的几何意义,我们可以看出：在t＝1.5 s附近曲线比较平坦,也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0,达到最高点并爆裂；在0～1.5 s之间,曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小,也就是说烟花在达到最高点前,以越来越小的速度升空；在1.5 s后,曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大,即烟花达到最高点后,以越来越大的速度下降,直到落地．课时跟踪检测（三） 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、题组对点训练对点练一 利用导数公式求函数的导数 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2,则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 因为(cos x )′＝－sin x ,所以①错误．sin π3＝32,而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0,所以②错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－(x 2)′x 4＝－2x x 4＝－2x 3,所以③错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－(x 12)′x ＝12x －12x ＝12x －32＝12x x,所以④正确． 2．已知f (x )＝x α(α∈Q *),若f ′(1)＝14,则α等于( )A ．13B ．12C ．18D ．14 解析：选D ∵f (x )＝x α,∴f ′(x )＝αx α－1.∴f ′(1)＝α＝14.对点练二 利用导数的运算法则求导数 3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析：选B y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 4．函数y ＝x 2x ＋3的导数为________．解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝(x 2)′(x ＋3)－x 2(x ＋3)′(x ＋3)2＝2x (x ＋3)－x 2(x ＋3)2＝x 2＋6x (x ＋3)2.答案：x 2＋6x (x ＋3)25．已知函数f (x )＝ax ln x ,x ∈(0,＋∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3,则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ,又f ′(1)＝3, 所以a ＝3.答案：36．求下列函数的导数．(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝exsin x.解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos xx.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x ·(sin x )′sin 2x ＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x ＝e x(sin x －cos x )sin 2x. 对点练三 利用导数公式研究曲线的切线问题7．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0,0)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3), ∴切线斜率k ＝e 0×3＝3,∴切线方程为y ＝3x . 答案：y ＝3x8．若曲线f (x )＝x ·sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直,则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ,所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2,所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1,解得a ＝2.答案：29．已知a ∈R,设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x,所以f ′(1)＝a －1,又f (1)＝a ,所以切线l 的方程为y －a＝(a －1)(x －1),令x ＝0,得y ＝1.答案：110．在平面直角坐标系xOy 中,点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上,且在第一象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,求点P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x 0,y 0),因为y ′＝3x 2－10,所以3x 20－10＝2,解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内,所以x 0＝2,又点P 在曲线C 上,所以y 0＝23－10×2＋13＝1,所以点P 的坐标为(2,1)．二、综合过关训练1．f 0(x )＝sin x ,f 1(x )＝f ′0(x ),f 2(x )＝f ′1(x ),…,f n ＋1(x )＝f ′n (x ),n ∈N,则f 2 019(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：选D 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ,f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ,f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ,f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ,f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ,所以循环周期为4,因此f 2 019(x )＝f 3(x )＝－cos x .2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．12解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ,所以根据导数的几何意义可知,x 2－3x ＝12,解得x ＝3(x ＝－2不合题意,舍去)．3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12B ．12C ．－22D ．22解析：选B y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x ,把x ＝π4代入得导数值为12,即为所求切线的斜率．4．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1D ．－2解析：选A 设切点为(x 0,y 0),则y 0＝3x 0＋1,且y 0＝ax 30＋3,所以3x 0＋1＝ax 30＋3…①.对y ＝ax 3＋3求导得y ′＝3ax 2,则3ax 20＝3,ax 20＝1…②,由①②可得x 0＝1,所以a ＝1.5．设a 为实数,函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x ),且f ′(x )是偶函数,则曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为____________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3, ∵f ′(x )是偶函数,∴a ＝0, ∴f (x )＝x 3－3x ,f ′(x )＝3x 2－3, ∴f (2)＝8－6＝2,f ′(2)＝9,∴曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y －2＝9(x －2), 即9x －y －16＝0. 答案：9x －y －16＝06．设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f ′(0)＝________. 解析：令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f (x )＝xg (x ), 求导得f ′(x )＝x ′g (x )＋xg ′(x )＝g (x )＋xg ′(x ), 所以f ′(0)＝g (0)＋0×g ′(0)＝g (0)＝1×2×3×…×n . 答案：1×2×3×…×n7．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,则a ＝________.解析：法一：∵y ＝x ＋ln x , ∴y ′＝1＋1x,y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1),即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ,得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0,解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0,ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2), ∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：88．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ,f ′(2)＝－b ,其中常数a ,b ∈R.求曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1,所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1,得f ′(1)＝3＋2a ＋b , 又f ′(1)＝2a,3＋2a ＋b ＝2a , 解得b ＝－3,令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b , 又f ′(2)＝－b , 所以12＋4a ＋b ＝－b , 解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1,从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3, 所以曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1), 即6x ＋2y －1＝0.9．已知两条直线y ＝sin x ,y ＝cos x ,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．由于y ＝sin x ,y ＝cos x ,设两条曲线的一个公共点为P (x 0,y 0),所以两条曲线在P (x 0,y 0)处的斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0,k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sinx 0.若使两条切线互相垂直,必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1,即sin x 0·cos x 0＝1,也就是sin 2x 0＝2,这是不可能的,所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直．课时跟踪检测（四） 复合函数求导及应用一、题组对点训练对点练一 简单复合函数求导问题 1．y ＝cos 3x 的导数是( ) A ．y ′＝－3cos 2x sin x B ．y ′＝－3cos 2x C ．y ′＝－3sin 2xD ．y ′＝－3cos x sin 2x解析：选A 令t ＝cos x ,则y ＝t 3,y ′＝y t ′·t x ′＝3t 2·(－sin x )＝－3cos 2x sin x . 2．求下列函数的导数． (1)y ＝ln(e x ＋x 2)； (2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)令u ＝e x ＋x 2,则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x＋2x )＝e x＋2x e x ＋x2.(2)令u ＝2x ＋3,则y ＝10u,∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u·ln 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3ln10.(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x ·cos 2x ＝1－12sin 22x ＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x . 所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos 4x ′＝－sin 4x . 对点练二 复合函数与导数运算法则的综合应用 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x解析：选B y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D ．x2x ＋5解析：选 B y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 5．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是________． 解析：∵y ＝sin 2x cos 3x ,∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x . 答案：2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x6．已知f (x )＝e πxsin πx ,求f ′(x )及f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12.解：∵f (x )＝e πxsin πx ,∴f ′(x )＝πe πxsin πx ＋πe πxcos πx ＝πe πx(sin πx ＋cos πx )． f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝πe π2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝πe 2π. 对点练三 复合函数导数的综合问题7．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ,则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 令y ＝ax －ln(x ＋1),则f ′(x )＝a －1x ＋1.所以f (0)＝0,且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.8．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．0解析：选A 设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0,y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． ∵y ′＝22x －1,∴y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2,解得x 0＝1,∴y 0＝ln(2－1)＝0,即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5,即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.9．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30,其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时,铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年),则M (60)＝( )A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2 太贝克D ．150太贝克解析：选D M ′(t )＝－130ln 2×M 02-t30,由M ′(30)＝－130ln 2×M 02-3030＝－10 ln 2,解得M 0＝600, 所以M (t )＝600×2-t 30,所以t ＝60时,铯137的含量为M (60)＝600×2-6030＝600×14＝150(太贝克)．二、综合过关训练1．函数y ＝(2 019－8x )3的导数y ′＝( ) A ．3(2 019－8x )2B ．－24xC ．－24(2 019－8x )2D ．24(2 019－8x 2)解析：选C y ′＝3(2 019－8x )2×(2 019－8x )′＝3(2 019－8x )2×(－8)＝－24(2 019－8x )2.2．函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数是( )A ．12(e x －e －x) B ．12(e x ＋e －x) C ．e x－e －xD ．e x＋e －x解析：选A y ′＝12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x)．3．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：选B 设切点坐标是(x 0,x 0＋1),依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0,x 0＝－1,a ＝2.4．函数y ＝ln ex1＋ex 在x ＝0处的导数为________．解析：y ＝ln e x1＋e x ＝ln e x －ln(1＋e x )＝x －ln(1＋e x),则y ′＝1－e x1＋e x .当x ＝0时,y ′＝1－11＋1＝12. 答案：125．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,则a ＝________. 解析：令y ＝f (x ),则曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0),又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ,所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax,所以f ′(0)＝a e 0＝a ,故a ＝2.答案：26．f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2,则a 的值为________．解析：∵f (x )＝(ax 2－1)12,∴f ′(x )＝12(ax 2－1)－12·(ax 2－1)′＝ax ax 2－1 .又f ′(1)＝2,∴aa －1＝2,∴a ＝2. 答案：27．求函数y ＝a sin x3＋b cos 22x (a ,b 是实常数)的导数．解：∵⎝⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＝a cos x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝a 3cos x3,又(cos 22x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 4x ′＝12(－sin 4x )×4＝－2sin 4x , ∴y ＝a sin x3＋b cos 22x 的导数为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＋b (cos 22x )′＝a 3cos x 3－2b sin 4x .8．曲线y ＝e 2xcos 3x 在(0,1)处的切线与l 的距离为5,求l 的方程． 解：由题意知y ′＝(e 2x)′cos 3x ＋e 2x(cos 3x )′ ＝2e 2x cos 3x ＋3(－sin 3x )·e 2x＝2e 2x cos 3x －3e 2xsin 3x ,所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝0＝2. 所以该切线方程为y －1＝2x ,即y ＝2x ＋1. 设l 的方程为y ＝2x ＋m ,则d ＝|m －1|5＝ 5.解得m ＝－4或m ＝6.当m ＝－4时,l 的方程为y ＝2x －4;当m＝6时,l的方程为y＝2x＋6.综上,可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.课时跟踪检测（五）函数的单调性与导数一、题组对点训练对点练一函数与导函数图象间的关系1．f′(x)是函数f(x)的导函数,y＝f′(x)的图象如图所示,则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的( )解析：选C 题目所给出的是导函数的图象,导函数的图象在x轴的上方,表示导函数大于零,原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在x轴的下方,表示导函数小于零,原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞,0)时导函数图象在x轴的上方,表示在此区间上,原函数的图象呈上升趋势,可排除B、D两选项．由x∈(0,2)时导函数图象在x轴的下方,表示在此区间上,原函数的图象呈下降趋势,可排除A选项．故选C.2．若函数y＝f′(x)在区间(x1,x2)内是单调递减函数,则函数y＝f(x)在区间(x1,x2)内的图象可以是( )解析：选B 选项A中,f′(x)>0且为常数函数；选项C中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内单调递增；选项D中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内先增后减．故选B.3．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象,则在[－2,5]上函数f(x)的递增区间为________．解析：因为在(－1,2)和(4,5]上f′(x)>0,所以f(x)在[－2,5]上的单调递增区间为(－1,2)和(4,5]．答案：(－1,2)和(4,5]对点练二判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间4．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞,2)B．(0,3)C．(1,4) D．(2,＋∞)解析：选D f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝e x(x－2)．由f′(x)>0得x>2,∴f(x)的单调递增区间是(2,＋∞)．5．函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：选C 由题意得,函数的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝(2x ＋1)(2x －1)x ,令f ′(x )＝(2x ＋1)(2x －1)x >0,解得x >12,故函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.故选C. 6．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),且在x ＝1处的切线方程是y ＝x . (1)求y ＝f (x )的解析式； (2)求y ＝f (x )的单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),∴c ＝1,f ′(x )＝3ax 2＋2bx ,f ′(1)＝3a ＋2b ＝1,切点为(1,1),则f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(1,1),得a ＋b ＋c ＝1,解得a ＝1,b ＝－1,即f (x )＝x 3－x 2＋1.(2)由f ′(x )＝3x 2－2x >0得x <0或x >23,所以单调递增区间为(－∞,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.对点练三 与参数有关的函数单调性问题7．若函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,则实数a 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．5解析：选C 函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,只需f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立即可,令f ′(x )＝1－12ax －12≤0,解得a ≥2x ,则a ≥4.∴a min ＝4.8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2),则b ＝________,c ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ,由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解,即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根,把－1,2分别代入方程,解得b ＝－32,c ＝－6.答案：－32－69．已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性． 解：f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)·(e x＋2a )．(1)设a ≥0,则当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )<0；当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增．(2)设a <0,由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①若a ＝－e 2,则f ′(x )＝(x －1)(e x－e),所以f (x )在(－∞,＋∞)上单调递增；②若－e2<a <0,则ln(－2a )<1,故当x ∈(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)时,f ′(x )>0；当x∈(ln(－2a ),1)时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)上单调递增,在(ln(－2a ),1)上单调递减；③若a <－e2,则ln(－2a )>1,故当x ∈(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,ln(－2a ))时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)上单调递增,在(1,ln(－2a ))上单调递减．二、综合过关训练1．若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A 对于选项A,f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ,∵e 2＞1,∴e x f (x )在R 上单调递增,∴f (x )＝2－x具有M 性质．对于选项B,f (x )＝x 2,e xf (x )＝e x x 2,[e xf (x )]′＝e x(x 2＋2x ),令e x (x 2＋2x )＞0,得x ＞0或x ＜－2；令e x (x 2＋2x )＜0,得－2＜x ＜0,∴函数e xf (x )在(－∞,－2)和(0,＋∞)上单调递增,在(－2,0)上单调递减,∴f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C,f (x )＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x ,∵e3＜1, ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在R 上单调递减,∴f (x )＝3－x不具有M 性质．对于选项D,f (x )＝cos x ,e xf (x )＝e xcos x ,则[e x f (x )]′＝e x (cos x －sin x )≥0在R 上不恒成立,故e x f (x )＝e xcos x 在R 上不是单调递增的,∴f (x )＝cos x 不具有M 性质．故选A.2．若函数f (x )＝x －eln x,0<a <e<b ,则下列说法一定正确的是( ) A ．f (a )<f (b ) B ．f (a )>f (b ) C ．f (a )>f (e)D ．f (e)>f (b )解析：选C f ′(x )＝1－e x ＝x －ex,x >0,令f ′(x )＝0,得x ＝e,f (x )在(0,e)上为减函数,在(e,＋∞)上为增函数,所以f (a )>f (e),f (b )>f (e),f (a )与f (b )的大小不确定．3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数,将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中,不可能正确的是( )解析：选D 对于选项A,若曲线C 1为y ＝f (x )的图象,曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则函数y ＝f (x )在(－∞,0)内是减函数,从而在(－∞,0)内有f ′(x )<0；y ＝f (x )在(0,＋∞)内是增函数,从而在(0,＋∞)内有f ′(x )>0.因此,选项A 可能正确．同理,选项B 、C 也可能正确．对于选项D,若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为增函数,与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为减函数,与C 1不相符．因此,选项D 不可能正确．4．设f (x ),g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数,且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2,又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,所以f (x )g (x )在R 上为减函数．又因为a <x <b ,所以f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b ),又因为f (x )>0,g (x )>0,所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．5．(2019·北京高考)设函数f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)．若f (x )为奇函数,则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)的定义域为R, ∴f (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0,∴a ＝－1.∵f (x )＝e x ＋a e －x ,∴f ′(x )＝e x －a e －x ＝e x－ae x .∵f (x )是R 上的增函数,∴f ′(x )≥0在R 上恒成立, 即e x≥ae x 在R 上恒成立,∴a ≤e 2x在R 上恒成立．又e 2x>0,∴a ≤0,即a 的取值范围是(－∞,0]． 答案：－1 (－∞,0]6．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,则实数k 的取值范围是________．解析：函数f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0,得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )<0,得函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.由于函数在区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得：1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 7．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)讨论函数f (x )在区间(0,t ](t >0)上的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝ln x ＋1. 曲线f (x )在x ＝1处的切线的斜率为k ＝f ′(1)＝1.把x ＝1代入f (x )＝x ln x 中得f (1)＝0,即切点坐标为(1,0)．所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －1.(2)令f ′(x )＝1＋ln x ＝0,得x ＝1e.①当0<t <1e时,在区间(0,t ]上,f ′(x )<0,函数f (x )为减函数．②当t >1e 时,在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上,f ′(x )<0,f (x )为减函数；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，t 上,f ′(x )>0,f (x )为增函数．8．已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝12ax 2＋2x ,a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减,求a 的取值范围．解：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ,x ∈(0,＋∞),所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减,所以x ∈[1,4]时,h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立,即a ≥1x 2－2x恒成立,令G (x )＝1x 2－2x,则a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1.因为x ∈[1,4],所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1,所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4),所以a ≥－716.当a ＝－716时,h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝(7x －4)(x －4)16x .因为x ∈[1,4],所以h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x ≤0,即h (x )在[1,4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数一、题组对点训练对点练一 求函数的极值1．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5,极小值－27 B ．极大值5,极小值－11 C ．极大值5,无极小值D ．极小值－27,无极大值解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0, 得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时,y ′>0； 当－1<x <3时,y ′<0.∴当x ＝－1时,函数有极大值5； 3∉(－2,2),故无极小值．2．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点,则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．427,0 B ．0,427C ．－427,0D ．0,－427解析：选A f ′(x )＝3x 2－2px －q , 由f ′(1)＝0,f (1)＝0,得⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1,易得当x ＝13时f (x )取极大值427,当x ＝1时f (x )取极小值0.3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ,其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中不正确的序号是________． ①当x ＝32时,函数取得极小值；②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时,函数取得极小值； ④当x ＝1时,函数取得极大值．解析：由题图知,当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时,f ′(x )<0；当x ∈(2,＋∞)时,f ′(x )>0,所以f (x )有两个极值点,分别为1和2,且当x ＝2时函数取得极小值,当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案：①对点练二 已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2,则a ,b 的值分别为( )A ．1,－3B ．1,3C ．－1,3D ．－1,－3解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b , 由题意知f ′(1)＝0,f (1)＝－2,∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1,b ＝－3.5．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0,1)内有极小值,则实数b 的取值范围是( ) A ．b <1 B ．b >1 C ．0<b <1 D ．b <12解析：选C f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b ),令f ′(x )＝0,解得x ＝b ,由于函数f (x )在区间(0,1)内有极小值,则有0<b <1.当0<x <b 时,f ′(x )<0；当b <x <1时,f ′(x )>0,符合题意．所以实数b 的取值范围是0<b <1.6．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值,则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2),∵函数f (x )既有极大值又有极小值,∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根,∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0.即a 2－a －2>0,解之得a >2或a <－1.答案：(－∞,－1)∪(2,＋∞) 对点练三 函数极值的综合问题7．设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ,a ∈R. (1)令g (x )＝f ′(x ),求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值,求实数a 的取值范围． 解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a , 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ,x ∈(0,＋∞)． 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x.当a ≤0时,x ∈(0,＋∞)时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增；当a >0时,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时,函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时,g (x )的单调增区间为(0,＋∞)； 当a >0时,g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ,单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知,f ′(1)＝0.。