2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课时达标5函数的单调性与最值理

课时达标 第15讲[解密考纲]本考点主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值、或者已知最值求参数等问题．高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合，作为中档题或压轴题出现．三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大．一、选择题1．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为( D ) A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析 若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有根，故Δ＝(－4c )2－12>0，从而c >32或c <－32. 2．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( A )A ．12 B ．1 C ．0D ．不存在解析 f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x >0，令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1， ∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值， 且f (1)＝12－ln 1＝12，故选A ．3．已知x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，那么函数f (x )的极大值为( D ) A ．15 B ．16 C ．17D ．18解析 x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，即x ＝2是f ′(x )＝3x 2－3a ＝0的根，将x ＝2代入得a ＝4，所以函数解析式为f (x )＝x 3－12x ＋2.令f ′(x )＝3x 2－12＝0，得x ＝±2，故函数在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x ＝－2时函数f (x )取得极大值f (－2)＝18，故选D ．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1，x ≤0，e ax，x >0，在[－2,2]上的最大值为2，则实数a 的取值范围是( D )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12ln 2，＋∞B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12ln 2C ．(－∞，0)D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12ln 2 解析 当x ∈[－2,0)时，因为f ′(x )＝6x 2＋6x ＝6x (x ＋1)，所以在[－2，－1)上f ′(x )>0，在(－1,0]上，f ′(x )≤0，则当x ∈[－2,0]时函数有最大值，为f (－1)＝2.当a ≤0时，若x >0，显然e ax≤1，此时函数在[－2,2]上的最大值为2，符合题意；当a >0时，若函数在[－2,2]上的最大值为2，则e 2a ≤2，得a ≤12ln 2，综上可知a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12ln 2，故选D ．5．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( A )A ．－37B ．－29C ．－5D ．－11解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2.∵f (0)＝m ，f (2)＝－8＋m ，f (－2)＝－40＋m ，显然f (0)>f (2)>f (－2)，∴m ＝3，最小值为f (－2)＝－37，故选A ．6．(2018·河北三市联考二)若函数f (x )＝13x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极小值为( A )A ．2b －43B ．32b －23C ．0D ．b 2－16b 3解析 f ′(x )＝x 2－(2＋b )x ＋2b ＝(x －b )(x －2)． ∵函数f (x )在区间[－3,1]上不是单调函数，∴－3<b <1， 则由f ′(x )>0，得x <b 或x >2.由f ′(x )<0，得b <x <2， ∴函数f (x )的极小值为f (2)＝2b －43，故选A ．二、填空题7．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝__32__.解析 f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x ＝2和x ＝－2为其两个极值点，f (3)＝－1，f (－3)＝17，f (2)＝－8，f (－2)＝24，∴M ＝24，m ＝－8，M －m ＝32.8．(2018·东北八校月考)已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为__4__.解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f＝3×12＋6a ×1＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2， ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.9．已知函数f (x )的定义域是[－1,5]，部分对应值如下表.f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的极小值为__0__.解析 由y ＝f ′(x )的图象知，f ′(x )与f (x )随x 的变化情况如下表.所以f (x )的极小值为f (2)＝0. 三、解答题10．(2017·北京卷)已知函数f (x )＝e xcos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解析 (1)因为f (x )＝e xcos x －x ，所以f ′(x )＝ e x(cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0.又因为f (0)＝1， 所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1． (2)设h (x )＝e x(cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x .当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )<0，所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0. 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2. 11．已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值． 解析 (1)由f (x )＝x －1＋ae x ，得f ′(x )＝1－aex .由曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴， 得f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解得a ＝e.(2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，即x ＝ln a .x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增， 故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值f (ln a )＝ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．12．已知函数f (x )＝ax 2－e x(a ∈R ，e 为自然对数的底数)，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)解关于x 的不等式：f (x )>f ′(x )；(2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2，求实数a 的取值范围． 解析 (1)f ′(x )＝2ax －e x ，f (x )－f ′(x )＝ax (x －2)>0. 当a ＝0时，无解；当a >0时，解集为{x |x <0或x >2}； 当a <0时，解集为{x |0<x <2}．(2)设g (x )＝f ′(x )＝2ax －e x ，则x 1，x 2是方程g (x )＝0的两个根．g ′(x )＝2a －e x ，若a ≤0，g ′(x )<0恒成立，g (x )单调递减，方程g (x )＝0不可能有两个根；若a >0，则当x ∈(－∞，ln 2a )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x ∈(ln 2a ，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减． ∴g (x )max ＝g (ln 2a )＝2a ln 2a －2a >0，得a >e2.故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞.。

第5讲 函数的单调性与最值1．增函数与减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，(1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的__任意两个__自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__增函数__.(2)如果对于定义域I 内某个区间D 上的__任意两个__自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__减函数__.2．单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)__单调性__，区间D 叫做y ＝f (x )的__单调区间__.3．函数的最大值与最小值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(1)对于任意的x ∈I ，都有__f (x )≤M __；存在x 0∈I ，使得__f (x 0)＝M __，那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值．(2)对于任意的x ∈I ，都有__f (x )≥M __；存在x 0∈I ，使得__f (x 0)＝M __，那么我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值．4．函数单调性的常用结论5．对勾函数的单调性对勾函数y ＝x ＋a x(a >0)的递增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)；递减区间为[－a ，0)和(0，a ]，且对勾函数为奇函数．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数y ＝1x的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(2)函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则函数f (x )的单调递增区间为[a ，b ]．( × ) (3)若f (x )是增函数，g (x )是增函数，则f (x )·g (x )也是增函数．( × ) (4)已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，则函数y ＝f (－x )在R 上是减函数．( √ ) 解析 (1)错误．一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．(2)错误．f (x )在区间[a ，b ]上是递增的并不能排除f (x )在其他区间上单调递增，而f (x )的单调递增区间为[a ，b ]意味着f (x )在其他区间上不可能是递增的．(3)错误．举反例：设f (x )＝x ，g (x )＝x －2都是定义域R 上的增函数，但是 f (x )·g (x )＝x 2－2x 在R 上不是增函数．(4)正确．易知函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，由对称性可知结论正确． 2．(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( D ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x解析 A 项中，y ＝11－x ＝1－(x －1)的图象是将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位得到的，故y ＝11－x在(－1,1)上为增函数，不符合题意；B 项中，y ＝cos x 在(－1,0)上为增函数，在(0,1)上为减函数，不符合题意；C 项中，y ＝ln (x ＋1)的图象是将y ＝ln x 的图象向左平移1个单位得到的，故y ＝ln (x ＋1)在(－1,1)上为增函数，不符合题意；D 项符合题意．3．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( C )A ．2B ．－2C ．2或－2D ．0解析 当a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，则a ＝2；当a <0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，即a ＝－2，所以a ＝±2，故选C ．4．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为__(－∞，－2)__.解析 函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．5．设a 为常数，函数f (x )＝x 2－4x ＋3.若f (x ＋a )在[0，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是__[2，＋∞)__.解析 ∵f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴f (x ＋a )＝(x ＋a －2)2－1，且当x ∈[2－a ，＋∞)时，函数f (x ＋a )单调递增，因此2－a ≤0，即a ≥2.一 判断(或证明)函数的单调性对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．(2)可导函数则可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断．【例1】 (1)判断函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性． (2)判断并证明函数f (x )＝axx 2－1(其中a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性．解析 (1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2， 则y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1). ∵x 1>－1，x 2>－1，∴x 1＋1>0，x 2＋1>0，又x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0，即y 1－y 2>0.∴y 1>y 2，∴函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．(2)f ′(x )＝a (x 2－1)－2ax 2(x 2－1)2＝－a (x 2＋1)(x 2－1)2.又a >0，所以f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－1,1)上为减函数．二 求函数的单调区间求函数单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性的定义求单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数值的正负确定函数的单调区间．注意：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开．【例2】 求下列函数的单调区间．(1)y ＝－x 2＋2|x |＋1；(2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．解析 (1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0.画出函数图象如图所示，则单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2.∴函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴为x ＝32，且开口向上，∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．三 求函数的值域(最值)求函数值域(最值)的常用方法(1)分离常数法．形如y ＝cx ＋dax ＋b(ac ≠0)的函数的值域经常使用“分离常数法”求解． (2)配方法．配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a (f (x ))2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法．(3)换元法．①代数换元，形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数，ac ≠0)的函数，可设cx ＋d ＝t (t ≥0)，转化为二次函数求值域．②三角换元．对于换元法求值域，一定要注意新元的范围对值域的影响．另外，还可用判别式法、有界性法、基本不等式法、数形结合法和函数的单调性法等来求值域(最值)．【例3】 求下列函数的值域．(1)y ＝5x －14x ＋2，x ∈[－3，－1]；(2)y ＝2x ＋1－2x ；(3)y ＝x ＋4＋9－x 2；(4)y ＝(x ＋3)2＋16＋(x －5)2＋4. 解析 (1)(有界性法)由y ＝5x －14x ＋2， 得x ＝2y ＋15－4y.∵－3≤x ≤－1，∴－3≤2y ＋15－4y ≤－1，解得85≤y ≤3，∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，3. (2)(代数换元法)令t ＝1－2x (t ≥0)，则x ＝1－t 22，∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54.∴当t ＝12，即x ＝38时，y 取最大值，y max ＝54，且y 无最小值，∴函数的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54.(3)(三角换元法)令x ＝3cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝3cos θ＋4＋3sin θ＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋4.∵0≤θ≤π，∴π4≤θ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1． ∴1≤y ≤32＋4，∴函数的值域为[1,32＋4]．(4)(数形结合法)如图，函数y ＝(x ＋3)2＋16＋(x －5)2＋4的几何意义为平面内一点P (x,0)到点A (－3,4)和点B (5,2)的距离之和．由平面解析几何知识，找出B 关于x 轴的对称点B ′(5，－2)，连接AB ′交x 轴于点P ，此时距离之和最小，∴y min ＝|AB ′|＝82＋62＝10，又y 无最大值，∴函数的值域为[10，＋∞)．四 函数单调性的应用(1)含“f ”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．(2)比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．(3)求参数的值或取值范围的思路：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．【例4】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数，若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( D )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3](2)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( D )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (3)若函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则实数a 的取值范围是( B )A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(1,3]D ．[3，＋∞)解析 (1)∵函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且f (1)＝－1， ∴f (－1)＝－f (1)，由－1≤f (x －2)≤1，得－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3，故选D ．(2)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的， 故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，得－14≤a <0.综上所述，得－14≤a ≤0.故选D ．(3)因为函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则有a >1且6－2a >0，解得1<a <3，故选B ．1．已知偶函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( A )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析 由函数f (x )为偶函数且在区间(－∞，0]上单调递减，得函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，于是将不等式f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13转化为f (|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.根据单调性，知|2x －1|<13，解得13<x <23，故选A ．2．(2017·浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( B )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析 f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a24＋b ，①当0≤－a2≤1，f (x )min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 有关，与b 无关；③当－a2>1时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关，故选B ．3．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝__－6__.解析 由图象的对称性，知函数f (x )＝|2x ＋a |关于直线x ＝－a2对称，因为函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，所以－a2＝3，即a ＝－6.4．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为！！！ 14###.解析 令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，结合图象知，当t ＝12，即x＝14时，y max ＝14.易错点1 忽视函数的定义域错因分析：不能忽略函数问题定义域优先原则；复合函数的“同增异减”原则；含绝对值函数和分段函数要分段讨论原则．【例1】 函数y ＝－x 2＋2x 的单调增区间为__________，减区间为__________. 解析 由－x 2＋2x ≥0得函数的定义域为[0,2]．∵t ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1在[0,1)上是增函数，在[1,2]上是减函数，又y ＝t 在[0，＋∞)上是增函数，∴函数y ＝－x 2＋2x 的单调增区间为[0,1)，减区间为[1,2]． 答案 [0,1) [1,2]【跟踪训练1】 若函数f (x )＝a |b －x |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a ，b 的取值范围分别为__(0，＋∞)，(－∞，0]__.解析 ∵|b －x |＝|x －b |，y ＝|x －b |的图象如下．∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴b ≤0，a >0.易错点2 忽视分段函数的分界点错因分析：单调递增(减)区间上的函数图象自左往右整体呈上升(下降)趋势，中间可能断开．【例2】 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，0<a <1，(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，解得17≤a <13.答案 C【跟踪训练2】 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 .解析 由已知条件得f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.课时达标 第5讲[解密考纲]本考点考查函数的单调性．单独命题多以选择题的形式呈现，排在中间靠前的位置，题目难度系数属于中等或中等偏上；另外，函数的性质也常常与三角函数、向量、不等式、导数等相结合出解答题，有一定难度．一、选择题1．下列函数中，在区间(0,1]上是增函数且最大值为－1的为( C ) A ．y ＝－x 2B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．y ＝－1xD ．y ＝2x解析 y ＝－x 2在区间(0,1]上是减函数，不满足条件；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在区间(0,1]上是减函数，不满足条件；y ＝－1x在区间(0,1]上是增函数，最大值为y ＝－1，满足条件；y ＝2x 在区间(0,1]上是增函数，最大值为y ＝2，不满足条件，故选C ．2．(2018·黑龙江牡丹江一中期中)函数y ＝3x 2－3x ＋2，x ∈[－1,2]的值域是( B ) A ．R B ．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤143，729 C ．[9,243]D ．[3，＋∞)解析 令t ＝x 2－3x ＋2，∵x ∈[－1,2]，∴t ＝x 2－3x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，6.又y ＝3t在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，6上单调递增，则y ＝3t∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤143，729. ∴函数y ＝3x 2－3x ＋2，x ∈[－1,2]的值域是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤143，729. 3．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x－1，则( B )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 解析 由题设知，当x <1时，f (x )单调递减，当x ≥1时，f (x )单调递增，而x ＝1为对称轴，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 又13<12<23<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，故选B ． 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( B )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析 ∵f (x )是R 上的增函数，∴a >1且4－a 2>0且a ≥4－a2＋2，解得，4≤a <8，故选B ．5．(2018·天津河西区一模)函数f (x )＝ln(x 2－2x －3)的单调递减区间为( C ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1)D ．(3，＋∞)解析 要使函数有意义，则x 2－2x －3>0， 即x >3或x <－1．设t ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4， 当x >3时，函数t ＝x 2－2x －3单调递增； 当x <－1时，函数t ＝x 2－2x －3单调递减． ∵函数y ＝ln t 在定义域上为单调递增函数， ∴f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，故选C ．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，)若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4，x ≥04x －x 2＝－(x －2)2＋4，x <0，由f (x )的图象可知f (x )在R 上是增函数，由f (2－a 2)>f (a )， 得2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2<a <1． 二、填空题7．(2018·山东日照调研)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为__2__.解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.8．函数f (x )＝x ＋21－x 的最大值为__2__. 解析 设1－x ＝t ，则x ＝1－t 2(t ≥0)．所以y ＝x ＋21－x ＝1－t 2＋2t ＝－t 2＋2t ＋1＝－(t －1)2＋2.所以当t ＝1，即x ＝0时，y max ＝2.9．(2017·浙江卷)已知函数f (x )＝ln(x ＋1＋x 2)＋3e x＋1e ＋1在区间[－k ，k ](k >0)上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝__4__.解析 ∵f (x )＝ln(x ＋1＋x 2)＋3e x＋1e x ＋1＝ln(x ＋1＋x 2)＋3－2e x ＋1，∴函数f (x )在R上为单调递增，∴M ＝f (k )＝ln(k ＋1＋k 2)＋3－2e k ＋1，m ＝f (－k )＝ln(－k ＋1＋k 2)＋3－2e －k＋1， ∴M ＋m ＝f (k )＋f (－k )＝ln 1＋6－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1e k ＋1＋1e －k ＋1＝6－2＝4.三、解答题10．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值．解析 设x 1，x 2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1＝－2(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1). 由0≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在区间[0,2]上是增函数． 因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23.11．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，满足f (x )＋f (y )＝f (xy )． (1)求证：f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ； (2)若f (4)＝－4，解不等式f (x )－f ⎝⎛⎭⎪⎫1x －12≥－12.解析 (1)证明：由条件f (x )＋f (y )＝f (xy )可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫xy ＋f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫xy·y ＝f (x )， 所以f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y.(2)因为f (4)＝－4，所以f (4)＋f (4)＝f (16)＝－8，f (4)＋f (16)＝f (64)＝－12.由(1)得f (x )－f ⎝⎛⎭⎪⎫1x －12＝f (x (x －12))，又f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，⎩⎪⎨⎪⎧x >01x －12>0⇒x >12，由f (x )－f ⎝⎛⎭⎪⎫1x －12≥－12，有f (x (x －12))≥f (64)，所以x (x －12)≤64. 所以x 2－12x －64＝(x －16)(x ＋4)≤0， 得－4≤x ≤16，又x >12，所以x ∈(12,16]．12．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若∀x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，任取1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝(x 1－x 2)(2x 1x 2－1)2x 1x 2，∵1≤x 1<x 2，∴x 1x 2>1，∴2x 1x 2－1>0.又x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)∵在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax>0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a >0，x ≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >－(x 2＋2x )，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．∵φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，∴当x ＝1时，φ(x )取最大值为φ(1)＝－3，∴a >－3，故a 的取值范围是(－3，＋∞)．。

第五节指数与指数函数2019考纲考题考情1．根式(1)根式的概念①na n＝⎩⎨⎧a(n为奇数)，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a＜0)(n为偶数)。

②(na)n＝a(注意a必须使na有意义)。

2．有理数的指数幂(1)幂的有关概念③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义，0的零次幂无意义。

(2)有理数指数幂的运算性质①a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)。

②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)。

③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)。

3．指数函数的图象与性质1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a 。

2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b >0。

由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大。

3．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a >1与0<a <1来研究。

一、走进教材1．(必修1P 59A 组T 4改编)化简416x 8y 4(x <0，y <0)＝________。

解析 因为x <0，y <0，所以416x 8y 4＝|2x 2y |＝－2x 2y 。

答案 －2x 2y2．(必修1P 56例6改编)若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (－1)＝________。

解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1＝2。