(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第6课时 二 次 函 数

第二章 函数与导数第2课时 函数的定义域和值域第三章 (对应学生用书(文)、(理)9～10页)1. (必修1P 27练习6改编)函数f(x)＝x ＋1＋12－x的定义域为________． 答案：{x|x≥－1且x≠2}2. (必修1P 27练习7改编)函数f(x)＝(x －1)2－1，x ∈{－1，0，1，2，3}的值域是________．答案：{－1，0，3}解析：f(－1)＝f(3)＝3，f(0)＝f(2)＝0，f(1)＝－1，则所求函数f(x)的值域为{－1，0，3}．3. (必修1P 31习题3改编)函数f(x)＝2x5x ＋1的值域为____________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y≠25解析：由题可得f(x)＝2x 5x ＋1＝25－25（5x ＋1）.∵ 5x ＋1≠0，∴ f (x)≠25，∴ 值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y≠25. 4. (原创)下列四组函数中的f(x)与g(x)表示同一函数的有________．(填序号) ① f(x)＝x 0，g(x)＝1x ；② f(x)＝x x，g(x)＝x ；③ f(x)＝x 2，g(x)＝(x)4；④ f(x)＝|x|，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x<0.答案：④解析：两个函数是否为同一函数，主要是考查函数三要素是否相同，而值域是由定义域和对应法则所唯一确定的，故只须判断定义域和对应法则是否相同，④符合．5. (必修1P 36习题13改编)已知函数f(x)＝x 2－2x ，x ∈[a ，b]的值域为[－1，3]，则b －a 的取值范围是________．答案：[2，4]解析：f(x)＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，因为x∈[a，b]的值域为[－1，3]，所以当a ＝－1时，1≤b ≤3；当b ＝3时，－1≤a≤1，所以b －a∈[2，4]．1. 函数的定义域(1) 函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合． (2) 求定义域的步骤① 写出使函数式有意义的不等式(组)． ② 解不等式组．③ 写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)． (3) 常见基本初等函数的定义域 ① 分式函数中分母不等于零．② 偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③ 一次函数、二次函数的定义域为R ．④ y ＝a x，y ＝sinx ，y ＝cosx ，定义域均为R ． ⑤ y ＝tanx 的定义域为{x|x≠k π＋π2，k ∈Z }．⑥ 函数f(x)＝x a的定义域为{x|x≠0}． 2. 函数的值域(1) 在函数y ＝f(x)中，与自变量x 的值对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域．(2) 基本初等函数的值域① y ＝kx ＋b(k≠0)的值域是R ．② y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为[4ac －b24a，＋∞)；当a<0时，值域为⎝ ⎛⎥⎤－∞，4ac －b 24a ． ③ y ＝kx(k≠0)的值域为{y|y≠0}．④ y ＝a x(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤ y ＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R ． ⑥ y ＝sinx ，y ＝cosx 的值域是[－1，1]． ⑦ y ＝tanx 的值域是R ． 3. 最大(小)值一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足： (1) 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；(2) 存在x 0∈I ，使得f(x 0)＝M ，那么称M 是函数y ＝f(x)的最大(小)值． [备课札记]题型1 求函数的定义域例1 求下列函数的定义域： (1) y ＝12－|x|＋lg(3x ＋1)；(2) y ＝4－x2ln （x ＋1）.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2－|x|≠0，3x ＋1>0 ⎩⎪⎨⎪⎧x≠－2且x≠2，x>－13，解得x>－13且x≠2，所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x>－13且x≠2. (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧ln （x ＋1）≠0，4－x 2≥0 ⎩⎪⎨⎪⎧x>－1且x≠0，－2≤x≤2， 解得－1<x<0或0<x≤2，所求函数的定义域为(－1，0)∪(0，2]． 变式训练(1) 求函数y ＝（x ＋1）|x|－x的定义域；(2) 若函数y ＝f(x)的定义域是[0，2]，求函数g(x)＝f （2x ）x －1的定义域．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x|－x>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x≠－1，x<0， 所以x<－1或－1<x<0，即定义域是(－∞，－1)∪(－1，0)．(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，得0≤x<1，即定义域是[0，1)．题型2 求函数的值域例2 求下列函数的值域： (1) y ＝x －3x －2；(2) y ＝x 2－2x －3，x ∈(－1，4]； (3) y ＝2x －1x ＋1，x ∈[3，5]；(4) y ＝x 2－4x ＋5x －1(x>1)．解：(1) (换元法)设3x －2＝t ，t ≥0，则y ＝13(t 2＋2)－t ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－112，当t ＝32时，y 有最小值－112，故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－112，＋∞.(2) (配方法)配方，得y ＝(x －1)2－4，因为x∈(－1，4]，结合图象知，所求函数的值域为[－4，5]．(3) (解法1)由y ＝2x －1x ＋1＝2－3x ＋1，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以y max＝32，y min ＝54，故所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32.(解法2)由y ＝2x －1x ＋1，得x ＝1＋y 2－y.因为x ∈[3，5]，所以3≤1＋y 2－y ≤5，解得54≤y ≤32，即所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32. (4) (基本不等式法)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1(t>0)，所以y ＝（t ＋1）2－4（t ＋1）＋5t ＝t 2－2t ＋2t ＝t ＋2t －2(t>0)．因为t ＋2t≥2t·2t＝22，当且仅当t ＝2，即x ＝2＋1时，等号成立， 故所求函数的值域为[22－2，＋∞)． 备选变式（教师专享） 求下列函数的值域： (1) f(x)＝1－x ＋x ＋3；(2) g(x)＝x 2－9x 2－7x ＋12；(3) y ＝log 3x ＋log x 3－1.解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，x ＋3≥0，解得－3≤x≤1.∴ f ()x ＝1－x ＋x ＋3的定义域是[]－3，1. ∵ y ≥0，∴ y 2＝4＋2()1－x ()x ＋3，即y 2＝4＋2－()x ＋12＋4()－3≤x≤1.令t ()x ＝－()x ＋12＋4()－3≤x≤1.∵ x ∈[]－3，1，由t ()－3＝0，t ()－1＝4，t ()1＝0， ∴ 0≤t ≤4，从而y 2∈[]4，8，即y∈[]2，22，∴ 函数f ()x 的值域是[]2，22.(2) g ()x ＝x 2－9x 2－7x ＋12＝()x ＋3()x －3()x －3()x －4＝x ＋3x －4＝1＋7x －4()x≠3且x≠4. ∵ x ≠3且x≠4，∴ g ()x ≠1且g ()x ≠－6.∴ 函数g ()x 的值域是()－∞，－6∪()－6，1∪()1，＋∞. (3) 函数的定义域为{x|x>0且x≠1}． 当x>1时，log 3x>0，y ＝log 3x ＋log x 3－1≥2log 3x ·log x 3－1＝1；当0<x<1时，log 3x<0，y ＝log 3x ＋log x 3－1 ＝－[(－log 3x)＋(－log x 3)]≤－2－1＝－3. 所以函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 题型3 函数值域和最值的应用例3 已知函数f(x)＝x 2＋4ax ＋2a ＋6. (1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a 的值；(2) 若函数f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a －1|的值域． 解：(1) ∵ f(x)的值域是[0，＋∞)， 即f min (x)＝0，∴ 4（2a ＋6）－（4a ）24＝0，∴ a ＝－1或32.(2) 若函数f(x)≥0恒成立，则Δ＝(4a)2－4(2a ＋6)≤0，即2a 2－a －3≤0， ∴ －1≤a≤32，∴ g(a)＝2－a|a －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2，－1≤a≤1，－a 2＋a ＋2，1<a ≤32. 当－1≤a≤1，g(a)＝a 2－a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋74，∴ g (a)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4； 当1<a≤32，g(a)＝－a 2＋a ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋94，∴ g (a)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，2. ∴ 函数g(a)＝2－a|a －1|的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，4. 备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝1－2a x －a 2x(a>1)． (1) 求函数f(x)的值域；(2) 若x∈[－2，1]时，函数f(x)的最小值是－7，求a 的值及函数f(x)的最大值．解：(1) 由题意，知f(x)＝2－(1＋a x )2，因为a x>0，所以f(x)<2－1＝1，所以函数f(x)的值域为(－∞，1)．(2) 因为a>1，所以当x∈[－2，1]时，a －2≤a x ≤a ，于是f min (x)＝2－(a ＋1)2＝－7，所以a ＝2，此时，函数f(x)的最大值为2－(2－2＋1)2＝716.1. (2013·大纲)已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 解析：由－1<2x ＋1<0，得－1<x<－12，所以函数f(2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.2. (2013·山东)函数f(x)＝1－2x＋1x ＋3的定义域为________．答案：(－3，0]解析：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，所以－3<x≤0，即定义域为(－3，0]．3. (2013·北京)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x<1的值域为________．答案：(－∞，2)解析：当x≥1时，log 12x ≤log 121＝0，即f(x)≤0；当x<1时，0<2x <21，即0<f(x)<2，所以函数f(x)的值域为(－∞，2)．4. (2013·徐州三模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，0≤x<1，2x ＋12，x ≥1，若a>b ≥0，且f(a)＝f(b)，则bf(a)的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，3解析：画出分段函数的图象，从图象可知，12≤b<1，1≤a<log 252，f(a)＝f(b)，得bf(a)＝bf(b)＝b(b ＋2)＝(b ＋1)2－1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上单调增，故bf(a)的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，3.1. 设函数g(x)＝x 2－2(x∈R )，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x ＜g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f(x)的值域是________． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)解析：由题意f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜g （x ），x 2－x －2，x ≥g （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ∈（－∞，－1）∪（2，＋∞），x 2－x －2，x ≥g （x ），x ∈（－1，2），下面分段求值域，再取并集． 2. 已知二次函数f(x)＝ax 2－x ＋c(x∈R )的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c 的最小值为________．答案：10解析：由二次函数的值域是[0，＋∞)，可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，因此有a ＞0，4ac －14a ＝0，从而c ＝14a ＞0.又c ＋2a ＋a ＋2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋8a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋4a 2≥2×4＋2＝10，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝8a ，14a 2＝4a 2，即a ＝12时取等号，故所求的最小值为10.3. 已知函数f(x)＝log 13(－|x|＋3)的定义域是[a ，b](a 、b∈Z )，值域是[－1，0]，则满足条件的整数对(a ，b)有________对．答案：5解析：由f(x)＝log 13(－|x|＋3)的值域是[－1，0]，易知t(x)＝|x|的值域是[0，2]，∵ 定义域是[a ，b](a 、b∈Z )，∴ 符合条件的(a ，b)有(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(0，2)，(－1，2)共5个．4. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx(a 、b 为常数，且a≠0)满足条件：f(x －1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x 有等根．(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在实数m 、n(m ＜n)，使f(x)定义域和值域分别为[m ，n]和[4m ，4n]？如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由．解：(1) f(x)＝－x 2＋2x.(2) 由f(x)＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，知f max (x)＝1，∴ 4n ≤1，即n≤14＜1.故f(x)在[m ，n]上为增函数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝4m ，f （n ）＝4n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝0， ∴ 存在m ＝－1，n ＝0，满足条件．1. 函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础，因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用．3. 求函数值域的常用方法有：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法、导数法等，理论上一切函数求值域或最值均可考虑“导数法”，但在具体的解题中要与初等方法密切配合．请使用课时训练（A）第2课时（见活页）.[备课札记]。

第二章 函数与导数第8课时 指数函数、对数函数及幂函数(2)第三章 (对应学生用书(文)、(理)22～23页)考情分析考点新知高考对指数函数的考查近三年有所升温，重点是指数函数的图象和性质，以及指数函数的实际应用问题，在复习时要特别重视对指数函数性质的理解与应用．① 了解指数函数模型的实际背景. ②理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点. ③知道指数函数是一类重要的函数模型.1. (必修1P 110复习9改编)函数y ＝a x －3＋3恒过定点________． 答案：(3，4)解析：当x ＝3时，f(3)＝a 3－3＋3＝4，∴ f(x)必过定点(3，4)． 2. (必修1P 110复习3改编)函数y ＝8－16x的定义域是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 解析：由8－16x ≥0，所以24x ≤23，即4x≤3，定义域是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34.3. (必修1P 67练习3)函数f(x)＝(a 2－1)x 是R 上的减函数，则a 的取值X 围是________________．答案：(－2，－1)∪(1，2)解析：由0＜a 2－1＜1，得1＜a 2＜2，所以1＜|a|＜2，即－2＜a ＜－1或1＜a ＜ 2.4. (必修1P 71习题13改编)已知函数f(x)＝a ＋14x ＋1是奇函数，则常数a ＝________.答案：－12解析：由f(－x)＋f(x)＝0，得a ＝－12.5. (原创)函数y ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45|x －1|的值域为__________.答案：(1，2]解析：设y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45u，u ＝|x －1|.由于u ≥0且y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45u是减函数，故0<⎝ ⎛⎭⎪⎫45|x －1|≤1，则1＜y≤2.1. 指数函数定义一般地，函数y ＝a x(a>0，a ≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R ． 2. 指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质(1) 过定点(0，1)，即x ＝0时，y＝1(1) 过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1(2) 当x ＞0时，f(x)>1；x ＜0时，0<f(x)<1(2) 当x ＞0时，0<f(x)<1；x ＜0时，f(x)>1 (3) 在(－∞，＋∞)上是增函数(3) 在(－∞，＋∞)上是减函数[备课札记]题型1 指数型函数的定义域、值域例1 已知x∈[－3，2]，求f(x)＝14x －12x ＋1的最小值与最大值．解：f(x)＝14x －12x ＋1＝4－x －2－x ＋1＝2－2x －2－x＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x －122＋34.∵ x ∈[－3，2], ∴14≤2－x ≤8.则当2－x ＝12，即x ＝1时，f(x)有最小值34；当2－x＝8，即x ＝－3时，f(x)有最大值57.备选变式（教师专享）已知9x－10×3x＋9≤0，求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2的最大值和最小值．解：由9x－10·3x＋9≤0，得(3x－1)(3x－9)≤0，解得1≤3x≤9，∴ 0≤x ≤2.令(12)x ＝t ，则14≤t ≤1，y ＝4t 2－4t ＋2＝4(t －12)2＋1， 当t ＝12即x ＝1时，y min ＝1；当t ＝1即x ＝0时，y max ＝2.题型2 指数型函数的图象例2 已知函数f(x)＝|2x －1－1|. (1) 作出函数y ＝f(x)的图象；(2) 若a<c ，且f(a)>f(c)，求证：2a ＋2c<4.(1) 解：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－1，x ≥1，1－2x －1，x<1，其图象如图所示．(2) 证明：由图知，f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a<1.若c≤1，则2a <2，2c ≤2，所以2a ＋2c<4；若c>1，则由f(a)>f(c)，得1－2a －1>2c －1－1，即2c －1＋2a －1<2，所以2a ＋2c<4.综上知，总有2a ＋2c<4. 备选变式（教师专享）画出函数y ＝||3x －1的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程||3x－1＝k 无解？有一个解？有两个解？解：.由图知，当k<0时，方程无解；当k ＝0或k≥1时，方程有一个解；当0<k<1时，方程有两个解．题型3 指数函数的综合运用例3 已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a>0且a≠1)．(1) 求函数f(x)的定义域； (2) 讨论函数f(x)的奇偶性；(3) 求a 的取值X 围，使f(x)>0在定义域上恒成立．解：(1) 由于a x －1≠0，则a x≠1，所以x≠0， 所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R ，且x≠0}． (2) 对于定义域内任意的x ，有f(－x)＝(1a －x －1＋12)(－x)3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a x ＋12x 3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(3) ① 当a>1时，对x>0，所以a x>1，即a x－1>0，所以1a x－1＋12>0. 又x>0时，x 3>0，所以x 3⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12>0，即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)， 则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立． 综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立． ②当0<a<1时，f(x)＝（a x＋1）x32（a x－1）， 当x>0时，0<a x<1，此时f(x)<0，不满足题意；当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意． 综上可知，所求a 的取值X 围是a>1. 变式训练设a ＞0，f(x)＝3x a ＋a3x 是R 上的偶函数．(1) 求a 的值；(2) 判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性； (3) 求函数的值域．解：(1) 因为f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)， 于是3a ＋a 3＝13a ＋3a ，即9＋a 23a ＝9a 2＋13a .因为a ＞0，故a ＝1.(2) 设x 2＞x 1≥0，f(x 1)－f(x 2)＝(3x 2－3x 1)(13x 2＋x 1－1)．因为3x为增函数，且x 2＞x 1，故3x 2－3x 1＞0.因为x 2＞0，x 1≥0，故x 2＋x 1＞0，于是13x 2＋x 1＜1，即13x 2＋x 1－1＜0，所以f(x 1)－f(x 2)＜0，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数．(3) 因为函数为偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，故f(0)＝2为函数的最小值，于是函数的值域为[2，＋∞)．1. (2013·某某一检)函数y ＝a x－1a(a>0，a ≠1)的图象可能是________．(填序号)答案：④解析：当a>1时，y ＝a x－1a 为增函数，且在y 轴上的截距0<1－1a <1，故①②不正确；当0<a<1时，y ＝a x－1a 为减函数，且在y 轴上的截距1－1a<0，故④正确．2. (2013·某某二模)以下函数中满足f(x ＋1)>f(x)＋1的是________．(填序号)① f(x)＝lnx ；② f(x)＝e x ；③ f(x)＝e x －x ；④ f(x)＝e x＋x. 答案：④解析：若f(x)＝e x ＋x ，则f(x ＋1)＝e x ＋1＋x ＋1＝e ·e x ＋x ＋1>e x＋x ＋1＝f(x)＋1.3. (2013·某某)设函数f(x)＝e x ＋x －2，g(x)＝lnx ＋x 2－3.若实数a 、b 满足f(a)＝0，g(b)＝0，则g(a)、f(b)、0三个数的大小关系为________．答案：g(a)<0<f(b)解析：易知f(x)是增函数，g(x)在(0，＋∞)上也是增函数，由于f(a)＝0，而f(0)＝－1<0，f(1)＝e －1>0，所以0<a<1；又g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，所以1<b<2，所以f(b)>0，g(a)<0，故g(a)<0<f(b)．4. (2013·某某)设函数f(x)＝a x ＋b x －c x，其中c>a>0，c>b>0.(1) 记集合M ＝{(a ，b ，c)|a 、b 、c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b}，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为________．(2) 若a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(填序号) ①x ∈(－∞，1)，f(x)>0；②x ∈R ，使a x 、b x 、c x不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则x ∈(1，2)，使f(x)＝0. 答案：(1) {x|0<x≤1} (2) ①②③解析：(1) 因为c>a>0，c>b>0，a ＝b 且a 、b 、c 不能构成一个三角形的三条边长，所以0<2a≤c，所以ca ≥2.令f(x)＝0，得2a x＝c x，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a x＝2， 即x ＝log c a2，1x ＝log 2ca ≥1，所以0<x≤1.(2) 由a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，知a ＋b>c ， 因为c>a>0，c>b>0，所以0<a c <1，0<bc <1，当x∈(－∞，1)时，f(x)＝a x ＋b x －c x ＝c x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x －1>c x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac ＋b c －1＝c x ·a ＋b －c c >0，①正确；令a ＝2，b ＝3，c ＝4，则a 、b 、c 可以构成三角形，而a 2＝4，b 2＝9，c 2＝16不能构成三角形，②正确；由c>a ，c>b ，且△ABC 为钝角三角形，则a 2＋b 2－c 2<0.因为f(1)＝a ＋b －c>0，f(2)＝a 2＋b 2－c 2<0，所以f(x)在(1，2)上存在零点，③正确．1. 已知函数f(x)＝a －12x －1是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则f(x)的值域是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32解析：因为f(x)是奇函数，f(－1)＋f(1)＝0，解得a ＝－12，所以f(x)＝－12－12x －1，易知f(x)在(－∞，－1]上为增函数，在[1，＋∞)上也是增函数．当x∈[1，＋∞)时，f(x)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－12.又f(x)是奇函数，所以f(x)的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32.2. 已知f(x)＝(e x－1)2＋(e －x－1)2，则f(x)的最小值为________． 答案：－2解析：将f(x)展开重新配方得f(x)＝(e x ＋e －x )2－2(e x ＋e －x )－2，令t ＝e x ＋e －x，则g(t)＝t 2－2t －2＝(t －1)2－3，t ∈[2，＋∞)， 所以，最小值为－2.3. 设函数y ＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤K，K ，f （x ）>K.取函数f(x)＝2－|x|.当K ＝12时，函数f K (x)的单调递增区间为________．答案：(－∞，－1)解析：函数f(x)＝2－|x|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|，作图易知f(x)≤K＝12x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故在(－∞，－1)上是单调递增的．4. 若函数f(x)＝a x(a>1)的定义域和值域均为[m ，n]，某某数a 的取值X 围．解：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a m＝m ，a n ＝n ，即方程a x ＝x 有两个不同的解，设f(x)＝a x －x ，f ′(x)＝a xlna－1，令f′(x)＝0，得x ＝log a 1lna＝－log a lna ，分析得f(－log a lna)<0即可，∴ 1<a<e 1e.1. 指数函数是中学数学中基本初等函数之一，是高考必考内容．本部分知识在高考中主要考查指数函数的定义域、值域、图象以及主要性质(单调性)．2. 将指数函数y ＝a x(a>0，a ≠1)的图象进行平移、翻折，可作出y －y 0＝f(x －x 0)，y ＝|f(x)|，y ＝f(|x|)等函数的图象，要善于灵活应用这类函数图象变换画图和解题．3. 对可转化为a 2x ＋b·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b·a x＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助于换元法解决，但应注意换元后“新元”的X 围．请使用课时训练（A ）第8课时（见活页）.[备课札记]。

第二章 函数与导数第13课时 函数模型及其应用第三章 (对应学生用书(文)、(理)33～36页),1. (必修1P 110练习1)某地高山上温度从山脚起每升高100 m 降低0.6 ℃.已知山顶的温度是14.6 ℃，山脚的温度是26 ℃，则此山的高为________m.答案：1 900解析：(26－14.6)÷0.6×100＝1 900.2. (必修1P 71习题10改编)已知某种产品今年产量为1 000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为________件．答案：1 331解析：1 000×(1＋10%)3＝1 331.3. (必修1P 35练习3改编)已知等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则该函数的定义域为________．答案：(5，10)4. (必修1P 110复习10)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系式为v ＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可以达到12 km/s.答案：e 6－1解析：由2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝12 000，得1＋M m ＝e 6，所以Mm＝e 6－1. 5. (必修1P 100练习3改编)某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t<25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N ，且该商品的日销售量Q 与时间t(天)的函数关系为Q ＝－t ＋40(0<t ≤30，t ∈N )，则这种商品日销量金额最大的一天是30天中的第________天． 答案：25解析：设日销量金额为W 元，则W ＝P·Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧（t ＋20）（－t ＋40），0<t<25，t ∈N （－t ＋100）（－t ＋40），25≤t ≤30，t ∈N ，当0<t<25，t ∈N 时，W(t)<W(25)；当25≤t ≤30，t ∈N 时，W(t)≤W(25)．1. 常用的函数模型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．2. 指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较：一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a>1)，y ＝log a x(a>1)和y ＝x n (n>0)都是增函数，但是它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次上”．随着x 的增大，y ＝a x (a>1)的增长速度越快，会越过并远远大于y ＝x n (n>0)的增长速度；而y ＝log a x(a>1)的增长速度会越慢．因此，总会存在一个x 0，当x>x 0时，有ax 0>x n 0>log a x 0(比较ax 0，x n0，log a x 0的大小)．3. 函数模型的应用实例的基本题型 (1) 给定函数模型解决实际问题． (2) 建立合适的函数模型解决问题． (3) 建立拟合函数模型解决实际问题．4. 函数建模的基本程序题型1 一次、二次函数模型例1 市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%(x>0)，销售数量就减少kx%(其中k 为正常数)．目前该商品定价为每个a 元，统计其销售数量为b 个．(1) 当k ＝12时，该商品的价格上涨多少，才能使销售的总金额达到最大？(2) 在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k 的取值范围.解：由题意，价格上涨x%以后，销售总金额为y ＝a(1＋x%)·b(1－kx%)＝ab10 000[－kx 2＋100(1－k)x ＋10 000]．(1) 当k ＝12时，y ＝ab 10 000(－12x 2＋50x ＋10 000)＝ab20 000[22 500－(x －50)2]，因此当x ＝50，即价格上涨50%时，y 取最大值98ab.(2) y ＝ab10 000[－kx 2＋100(1－k)x ＋10 000]，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x ＝50（1－k ）k.在适当涨价的过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x 在{x|x>0}的一个子集内增大时，y 也增大，因此50（1－k ）k>0，解得0<k<1.备选变式（教师专享）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k>0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：(1) 令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k≤202＝10.当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10 km. (2) 因为a>0，所以炮弹可击中目标存在k>0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立关于k的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根判别式Δ＝(－20a)2－4a 2(a 2＋64)≥0a ≤6.所以当a 不超过6(km)时，可击中目标．题型2 指数、对数函数模型例2 设在海拔xm 处的大气压强是yPa ，y 与x 之间的函数关系为y ＝ce kx ，其中c 、k 为常量．已知某天的海平面的大气压为1.01×105 Pa ，1000m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强．(保留3位有效数字)解：将x ＝0时，y ＝1.01×105Pa 和x ＝1000时，y ＝0.90×105 Pa 分别代入函数式y ＝ce kx，得⎩⎪⎨⎪⎧1.01×105＝ce 0，0.90×105＝ce 1 000k， ∴ c ＝1.01×105， ∴ e1 000k＝0.90×1051.01×105＝0.901.01， ∴ k ＝11000×ln 0.901.01，用计算器算得k ≈－1.154×10－4， ∴ y ＝1.01×105×e －1.154×10－4x ，将x ＝600代入上述函数式，得y ≈9.42×104Pa ，即在600m 高空的大气压强约为9.42×104 Pa.备选变式（教师专享）我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法．在动植物的体内都含有微量的放射性14C ，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C 会自动衰变，经过5570年(叫做14C 的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半，经过科学家测定知道，若14C 的原始含量为a ，则经过t 年后的残余量a′(与a 之间满足a′＝a·e －kt )．现测得出土的古莲子中14C 残余量占原量的87.9%，试推算古莲子的生活年代．解：因a′＝a·e－kt，即a′a＝e －kt .两边取对数，得lg a′a＝－ktlge.①又知14C 的半衰期是5570年，即t ＝5570时，a′a ＝12.故lg 12＝－5570klge ，即klge ＝lg25570.代入①式，并整理，得t ＝－5570lga′alg2.这就是利用放射性碳法计算古生物年代的公式．现测得古莲子的a′a 是0.879，代入公式，得t ＝－5570lg0.879lg2≈1 036.即古莲子约是1 036年前的遗物．题型3 分段函数模型例3 已知美国苹果公司生产某款iPhone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone 手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x>40.(1) 写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(2) 当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．解：(1) 当0<x ≤40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40；当x>40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以，W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x>40.(2) ① 当0<x ≤40，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W(32)＝6 104；② 当x>40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取最大值为6 104.备选变式（教师专享）经市场调查，某种商品在过去50天的销量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )，前30天价格为g(t)＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g(t)＝45(31≤t ≤50，t ∈N )．(1) 写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系式； (2) 求日销售额S 的最大值． 解：(1)根据题意得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2t ＋200）⎝⎛⎭⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N ，45（－2t ＋200），31≤t ≤50，t ∈N ，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9000，31≤t ≤50，t ∈N .(2)①当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6400， 当t ＝20时，S 的最大值为6400；②当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9000为减函数， 当t ＝31时，S 的最大值是6210，∵ 6210<6400，∴ 当t ＝20时，日销售额S 有最大值6400. 题型4 分式函数模型例4 如图，ABCD 是正方形空地，边长为30m ，电源在点P 处，点P 到边AD 、AB 距离分别为9m 、3m.某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，MN ∶NE ＝16∶9.线段MN 必须过点P ，端点M 、N 分别在边AD 、AB 上，设AN ＝x(m)，液晶广告屏幕MNEF 的面积为S(m 2)．(1) 用x 的代数式表示AM ；(2) 求S 关于x 的函数关系式及该函数的定义域；(3) 当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？解：(1) AM ＝3xx －9(10≤x ≤30)． (2) MN 2＝AN 2＋AM 2＝x 2＋9x 2（x －9）2.∵ MN ∶NE ＝16∶9，∴ NE ＝916MN.∴ S ＝MN·NE ＝916MN 2＝916⎣⎡⎦⎤x 2＋9x 2（x －9）2，定义域为[10，30]．(3) S′＝916⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋18x （x －9）2－9x 2（2x －18）（x －9）4 ＝98×x[（x －9）3－81]（x －9）3，令S′＝0，得x ＝0(舍)或9＋333.当10≤x<9＋333时，S ′<0，S 关于x 为减函数；当9＋333<x ≤30时，S ′>0，S 关于x 为增函数．∴ 当x ＝9＋333时，S 取得最小值．故当AN 长为9＋333 m 时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小． 备选变式（教师专享）如图，两个工厂A 、B 相距2km ，点O 为AB 的中点，要在以O 为圆心，2km 为半径的圆弧MN 上的某一点P 处建一幢办公楼，其中MA ⊥AB ，NB ⊥AB.据测算此办公楼受工厂A 的“噪音影响度”与距离AP 的平方成反比，比例系数为1；办公楼受工厂B 的“噪音影响度”与距离BP 的平方也成反比，比例系数为4，办公楼与A 、B 两厂的“总噪音影响度”y 是A 、B 两厂“噪音影响度”的和，设AP 为xkm.(1) 求“总噪音影响度”y 关于x 的函数关系式，并求出该函数的定义域； (2) 当AP 为多少时，“总噪音影响度”最小？解：(1) (解法1)如图，连结OP ， 设∠AOP ＝α，则π3≤α≤2π3.在△AOP 中，由余弦定理得x 2＝12＋22－2×1×2cos α＝5－4cos α， 在△BOP 中，由余弦定理得BP 2＝12＋22－2×1×2cos(π－α)＝5＋4cos α， ∴ BP 2＝10－x 2， ∴ y ＝1AP 2＋4BP 2＝1x 2＋410－x 2. ∵π3≤α≤2π3，∴ 3≤x ≤ 7， ∴ y ＝1x 2＋410－x 2(3≤x ≤7)．(解法2)建立如图所示的直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，设P(m ，n)，则PA 2＝(m＋1)2＋n 2，PB 2＝(m －1)2＋n 2.∵ m 2＋n 2＝4，PA ＝x ，∴ PB 2＝10－x 2(后面解法过程同解法1)．(2) (解法1)y ＝1x 2＋410－x 2＝110(1x 2＋410－x 2)[x 2＋(10－x 2)] ＝110(5＋10－x 2x 2＋4x 210－x 2)≥110(5＋210－x 2x 2·4x 210－x 2)＝910，当且仅当10－x 2x 2＝4x 210－x 2，即x ＝303∈[3，7]时取等号． 故当AP ＝303km 时，“总噪音影响度”最小． (解法2)由y ＝1x 2＋410－x 2，得y′＝－2x 3＋8x（10－x 2）2＝6x 4＋40x 2－200x 3（10－x 2）2＝2（x 2＋10）（3x 2－10）x 3（10－x 2）2.∵ 3≤x ≤7 ，∴ 令y′＝0，得x ＝303，且当x ∈⎣⎡⎭⎫3，303时，y ′<0；当x ∈(303，7]时，y ′>0.∴ x ＝303时，y ＝1x 2＋410－x 2取极小值，也即最小值．故当AP ＝303km 时，“总噪音影响度”最小．【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：① 报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；② 报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③ 报销的医疗费用不得超过8万元．(1) 请你分析该单位能否采用函数模型y ＝0.05(x 2＋4x ＋8)作为报销方案；(2) 若该单位决定采用函数模型y ＝x －2lnx ＋a(a 为常数)作为报销方案，请你确定整数a 的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)审题引导： 正确理解三个条件：① 要求模型函数在[2，10]上是增函数；② 要满足y ≥x2恒成立；③ 要满足y 的最大值小于8.规范解答： 解：(1) 函数y ＝0.05(x 2＋4x ＋8)在[2，10]上是增函数，满足条件①，(2分) 当x ＝10时，y 有最大值7.4万元，小于8万元，满足条件③.(4分)但当x ＝3时，y ＝2920<32，即y ≥x2不恒成立，不满足条件②，故该函数模型不符合该单位报销方案．(6分)(2) 对于函数模型y ＝x －2lnx ＋a ，设f(x)＝x －2lnx ＋a ，则f′(x)＝1－2x ＝x －2x ≥0.∴ f(x)在[2，10]上是增函数，满足条件①.由条件②，得x －2lnx ＋a ≥x 2，即a ≥2lnx －x2在x ∈[2，10]上恒成立，令g(x)＝2lnx －x 2，则g′(x)＝2x －12＝4－x2x，由g′(x)>0得0＜x<4，∴ g(x)在(0，4)上是增函数，在(4，10)上是减函数．∴ a ≥g(4)＝2ln4－2＝4ln2－2.(10分)由条件③，得f(10)＝10－2ln10＋a ≤8，解得a ≤2ln10－2.另一方面，由x －2lnx ＋a ≤x ，得a ≤2lnx 在x ∈[2，10]上恒成立，∴ a ≤2ln2.(12分) 综上所述，a 的取值范围为[4ln2－2，2ln2]， ∴ 满足条件的整数a 的值为1.(14分)1. (2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．答案：20解析：设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y 40，所以y ＝40－x ，所以矩形花园的面积S ＝x(40－x)＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20时，面积最大．2. (2013·通州模拟)将一个边长分别为a 、b(0<a<b)的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子．若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ba的取值范围是________． 答案：⎝⎛⎭⎫1，54 解析：设减去的正方形边长为x ，其外接球直径的平方R 2＝(a －2x)2＋(b －2x)2＋x 2，由R′＝0，∴ x ＝29(a ＋b)．∵ a<b ，∴ x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 2，∴ 0<29(a ＋b)<a 2， ∴ 1<b a <54.3. (2013·无锡期末)要制作一个如图的框架(单位：m)，要求所围成的总面积为19.5(m 2)，其中ABCD 是一个矩形，EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h ＝12AB ，tan ∠FED ＝34，设AB＝x m ，BC ＝y m.(1) 求y 关于x 的表达式；(2) 如何设计x 、y 的长度，才能使所用材料最少？解：(1) 如图，在等腰梯形CDEF 中，DH 是高．依题意：DH ＝12AB ＝12x ，EH ＝DH tan ∠FED ＝43×12x ＝23x ，∴392＝xy ＋12⎝⎛⎭⎫x ＋x ＋43x 12x ＝xy ＋56x 2， ∴ y ＝392x －56x.∵ x ＞0，y ＞0， ∴392x －56x ＞0，解之得0＜x ＜3655. ∴ 所求表达式为y ＝392x －56x ⎝⎛⎭⎫0＜x ＜3655.(2) 在Rt △DEH 中，∵ tan ∠FED ＝34，∴ sin ∠FED ＝35，∴ DE ＝DH sin ∠FED ＝12x ×53＝56x ，∴ l ＝(2x ＋2y)＋2×56x ＋⎝⎛⎭⎫2×23x ＋x ＝2y ＋6x ＝39x －53x ＋6x ＝39x ＋133x ≥239x ×133x ＝26，当且仅当39x ＝133x ，即x ＝3时取等号，此时y ＝392x －56x ＝4，∴ AB ＝3 m ，BC ＝4 m 时，能使整个框架所用材料最少．4. (2013·南通一模)某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4 m ．这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB ＞AD)为长方形薄板，沿AC 折叠后AB′交DC 于点P.当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD 的面积最大时制冷效果最好．(1) 设AB ＝x m ，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； (2) 若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？(3) 若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？ 解：(1) 由题意，AB ＝x ，BC ＝2－x.因x ＞2－x ，故1＜x ＜2.设DP ＝y ，则PC ＝x －y.因△ADP ≌△CB′P ，故PA ＝PC ＝x －y. 由PA 2＝AD 2＋DP 2，得 (x －y)2＝(2－x)2＋y 2y ＝2⎝⎛⎭⎫1－1x ，1＜x ＜2. (2) 记△ADP 的面积为S 1，则S 1＝⎝⎛⎭⎫1－1x (2－x)＝3－⎝⎛⎭⎫x ＋2x ≤3－22， 当且仅当x ＝2∈(1，2)时，S 1取得最大值．故当薄板长为2m ，宽为(2－2)m 时，节能效果最好． (3) 记多边形ACB′PD 的面积为S 2，则 S 2＝12x(2－x)＋⎝⎛⎭⎫1－1x (2－x) ＝3－12⎝⎛⎭⎫x 2＋4x ，1＜x ＜2. 于是S 2′＝－12⎝⎛⎭⎫2x －4x 2＝－x 3＋2x 2＝0x ＝32.关于x 的函数S 2在(1，32)上递增，在(32，2)上递减．所以当x ＝32时，S 2取得最大值．故当薄板长为32 m ，宽为(2－32)m 时，制冷效果最好．1. 某驾驶员喝了mL 酒后，血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)随时间x(h)变化的规律近似满足表达式f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧5x －2，0≤x ≤1，35·⎝⎛⎭⎫13x ，x ＞1.《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定为驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02mg/mL ，据此可知，此驾驶员至少要过________h 后才能开车．(精确到1h)答案：4解析：当0≤x ≤1时，125≤5x －2≤15，此时不宜开车；由35·⎝⎛⎭⎫13x ≤0.02，得x ≥4.2. 一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t s 内列车前进的距离为S ＝27t －0.45t 2 m ，则列车刹车后________s 车停下来，期间列车前进了________m.答案：30 405解析：S′(t)＝27－0.9t ，由瞬时速度v(t)＝S′(t)＝0得t ＝30(s)，期间列车前进了S(30)＝27×30－0.45×302＝405(m)．3. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(km/h)是车流密度x(辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/km 时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/km 时，车流速度为60km/h ，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1) 当0≤x ≤200时，求函数v(x)的表达式；(2) 当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出其最大值．(精确到1辆/小时)解：(1) 由题意，当0≤x ≤20时，v(x)＝60；当20≤x ≤200时，设v(x)＝ax ＋b.再由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13（200－x ），20<x ≤200. (2) 依题意并由(1)可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x （200－x ），20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f(x)为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x ≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13⎣⎡⎦⎤x ＋（200－x ）22＝100003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f(x)在区间[20，200]上取得最大值100003. 综上，当x ＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值100003≈3333， 即当车流密度为100辆/km 时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/h.4. 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上)，公共设施边界为曲线f(x)＝1－ax 2(a ＞0)的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线于点P ，设P(t ，f(t))．(1) 将△OMN(O 为坐标原点)的面积S 表示成t 的函数S(t)；(2) 若在t ＝12处，S(t)取得最小值，求此时a 的值及S(t)的最小值．解：(1) y′＝－2ax ，∴ 切线斜率是－2at ，∴ 切线方程为y －(1－at 2)＝－2at(x －t)．令y ＝0，得x ＝1＋at 22at ，∴ M ⎝⎛⎭⎫1＋at 22at ，0，令x ＝0，得y ＝1＋at 2，∴ N(0，1＋at 2)，∴ △OMN 的面积S(t)＝（1＋at 2）24at. (2) S′(t)＝3a 2t 4＋2at 2－14at 2＝（at 2＋1）（3at 2－1）4at 2，由a ＞0，t ＞0，S ′(t)＝0，得3at 2－1＝0，即t ＝13a . 当3at 2－1＞0，即t ＞13a 时，S ′(t)>0； 当3at 2－1<0，即0<t<13a 时，S ′(t)<0. ∴ 当t ＝13a时，S(t)有最小值． 已知在t ＝12处，S(t)取得最小值，故有13a ＝12， ∴ a ＝43. 故当a ＝43，t ＝12时，S(t)min ＝S ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1＋43·1424·43·12＝23.1. 与函数有关的应用型问题，函数模型可以是已知条件中给出其表达式，也可以是由已知条件建立函数模型，显然后者难度较大，在解题过程中不要忘记考虑函数的定义域．2. 解应用问题，首先，应通过审题，分析原型结构，深刻认识问题的实际背景，确定主要矛盾，提出必要假设，将应用问题转化为数学问题求解；然后，经过检验，求出应用问题的解．要能顺利解答一个应用问题重点要过三关：(1) 事理关：通过阅读，知道讲的是什么，培养学生独立获取知识的能力；(2) 文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；(3) 数理关：在构建数学模型的过程中，要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，构建了数学模型后，要正确解出数学问题的答案，需要扎实的基础知识和较强的数理能力．请使用课时训练(B)第13课时(见活页)．[备课札记]。

第二章 函数与导数第5课时 函数的图象第三章 (对应学生用书(文)、(理)15～17页)1. (必修1P 53复习14)函数y ＝f(x)与y ＝f(－x)的图象关于________对称． 答案：y 轴2. (必修1P 64练习6)函数y ＝2－x的图象是________．(填序号)答案：①3. (必修1P 30练习3改编)函数y ＝f(x)的图象如图所示，则 (1) f(0)＝________，f(－1)＝________，f(4)＝________．(2) 若－1<x 1≤x 2<2，则f(x 1)与f(x 2)的大小关系是________________．答案：(1) 4 5 6 (2) f(x 1)≥f(x 2)4. (原创)函数y ＝x －2x ＋2的图象关于________对称．答案：(－2，1)解析：由y ＝x －2x ＋2＝1－4x ＋2，知y ＝x －2x ＋2的图象可以由y ＝－4x 的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位而得．由于函数y ＝－4x 的图象关于原点对称，所以y ＝x －2x ＋2的图象关于(－2，1)对称．5. (必修1P 36习题9改编)某同学从A 地跑步到B 地，随路程的增加速度减小．若以y 表示该同学离B 地的距离，x 表示出发后的时间，则下列图象中较符合该同学走法的是____________．(填序号)答案：③解析：由于y 表示该同学离B 地的距离，所以答案在①③中选，又随路程的增加速度减小，一半的时间内所走的路程要大于总路程的一半，故选③.1. 基本初等函数及其图象 (1) 一次函数y ＝ax ＋b(a≠0)(2) 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)(3) 反比例函数y ＝kx(k≠0)(4) 指数函数y＝a x(a>0，a≠1)(5) 对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)(1) 平移变换(2) 对称变换(3) 翻折变换[备课札记]题型1 利用描点法画函数图象 例1 画出下列函数的图象． (1) y ＝2x －1，x ∈Z ，|x|≤2；(2) y ＝2x 2－4x －3(0≤x<3)； (3) y ＝12(lgx ＋|lgx|)．解：(1) (2)(3)解析：(1) ∵ x∈Z ，|x|≤2，∴ x ＝±2、±1、0，图象由五个孤立点组成，如(1)图所示．(2) ∵ y＝2x 2－4x －3＝2(x －1)2－5(0≤x<3)，∴ 图象为抛物线上的一段弧，如(2)图所示．(3) ∵ y＝12(lgx ＋|lgx|)＝⎩⎪⎨⎪⎧lgx ，x ≥1，0，0<x<1，∴ 图象由两部分组成，如图(3)所示．备选变式（教师专享） 画出下列函数的图象： (1) y ＝x 2－2x ()||x >1；(2) f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ；(3) y ＝x|2－x|.解：(1)∵ ||x >1，∴ x<－1或x>1，图象是两段曲线，如图①.(2)f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x()x>0－1x()x<0 ，图象如图②.,①),②)(3) ∵ y＝x|2－x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x （x≥2）－x 2＋2x （x<2），∴ 图象由两部分组成，如图③.③题型2 利用图象的平移变换作函数图象例2 (1) 已知函数y ＝f(x)的图象如图所示，请根据已知图象作出下列函数的图象： ①y ＝f(x ＋1)；②y＝f(x)＋2；(2) 作出函数y ＝2－x －3＋1的图象．解：(1) 将函数y ＝f(x)的图象向左平移一个单位得到y ＝f(x ＋1)的图象(如图①所示)，将函数y ＝f(x)的图象向上平移两个单位得到y ＝f(x)＋2的图象(如图②所示)．(2) 由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3＋1，只需将函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝2－x －3＋1的图象，如图③.③变式训练作下列函数的图象． (1) y ＝3x －1x －2；(2) y ＝log 13[3(x ＋1)]．解：(1) 由y ＝3＋5x －2，将函数y ＝5x 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到函数y ＝3x －1x －2的图象，如图．(2) 由y ＝log 133＋log 13(x ＋1)＝log 13(x ＋1)－1，将函数y ＝log 13x 的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到函数y ＝log 13[3(x ＋1)]的图象，图略．题型3 函数图象的应用例3 当m 为何值时，方程x 2－4|x|＋5－m ＝0有四个不相等的实数根？解：方程x 2－4|x|＋5－m ＝0变形为x 2－4|x|＋5＝m ，设y 1＝x 2－4|x|＋5＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋5（x≥0），x 2＋4x ＋5（x<0），y 2＝m ，在同一坐标系下分别作出函数y 1和y 2的图象，如图所示．由两个函数图象的交点可以知道，当两函数图象有四个不同交点，即方程有四个不同的实数根，满足条件的m 取值范围是1<m<5.备选变式（教师专享）已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，求实数k 的取值范围．解：y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>1，－x －1，－1≤x<1x ＋1，x<－1，在同一直角坐标系下画出两函数的图象，当x>1时，有两交点的实数k 的取值范围为1<k<4；当x<1时，有两交点的实数k 的取值范围为0<k<1，所以实数k 的取值范围是0<k<1或1<k<4.1. (2013·福建)函数f(x)＝ln(x 2＋1)的图象大致是________．(填序号)答案：①解析：f(x)＝ln(x 2＋1)，x ∈R ，当x ＝0时，f(0)＝ln1＝0，即f(x)过点(0，0)．又f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f(x)，即f(x)是偶函数，其图象关于y 轴对称，所以选①.2. (2013·徐州期初)已知直线y ＝a 与函数f(x)＝2x 及g(x)＝3·2x的图象分别相交于A 、B 两点，则A 、B 两点之间的距离为________．答案：log 23解析：由题意知A(log 2a ，a)，B(log 2a3，a)，所以A 、B 之间的距离AB ＝|x A －x B |＝log 23.3. (2013·安徽)函数y ＝f(x)的图象如图所示，在区间[a ，b]上可以找到n(n≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n，则n 的取值集合是________．答案：{}2，3，4解析：由题意，函数y ＝f(x)上的任一点坐标为(x ，f(x))，故f （x ）x 表示曲线上任一点与坐标原点连线的斜率．若f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n ，则曲线上存在n 个点与原点连线的斜率相等，即过原点的直线与曲线y ＝f(x)有n 个交点，数形结合可得n 的取值可为2，3，4.4. (2013·新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是________．答案：[－2，0]解析：作出函数y ＝|f(x)|的图象，当|f(x)|≥ax 时，必有k ≤a ≤0，其中k 是y ＝x 2－2x(x≤0)在原点处的切线斜率，显然k ＝－2.所以a 的取值范围是[－2，0]．1. 函数y ＝e x＋e－xe x －e－x 的图象大致为________．(填序号)答案：①解析：由e x－e －x≠0，得定义域为{x|x≠0}，排除③、④.又y ＝e x＋e －xe x －e －x ＝e 2x＋1e 2x －1＝1＋2e 2x－1，所以当x ＞0时函数为减函数，故应为①. 2. 对实数a 和b ，定义运算“ ”：a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b≤1，b ，a －b>1.设函数f(x)＝(x 2－2) (x－1)，x ∈R .若函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是________．答案：(－2，－1]∪(1，2]解析：由题意，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x≤2，x －1，x<－1或x>2，作出图象，数形结合知，c ∈(－2，－1]∪(1，2]．3. 设函数f(x)(x∈R )满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x ∈[0，1]时f(x)＝x 3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为________． 答案：6解析：因为当x∈[0，1]时f(x)＝x 3，所以当x∈[1，2]时，(2－x)∈[0，1]，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3.当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，g(x)＝xcos(πx)；当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32时，g(x)＝－xcos(πx)，注意到函数f(x)、g(x)都是偶函数，且f(0)＝ g(0), f(1)＝ g(1)，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0，作出函数f(x)、g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上各有一个零点，所以共有6个零点． 4. 已知函数f(x)＝ax 3－3ax ，g(x)＝bx 2＋clnx ，且g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为2y －1＝0.(1) 求g(x)的解析式；(2) 设函数G(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ≤0，g （x ），x ＞0，若方程G(x)＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解：(1) g′(x)＝2bx ＋cx.由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧g′（1）＝0，g （1）＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c ＝0，b ＝12，∴ b ＝12，c ＝－1， ∴ g(x)＝12x 2－lnx.(2) G(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 3－3ax ，x ≤0，12x 2－lnx ，x ＞0，当x ＞0时，G(x)＝g(x)＝12x 2－lnx ，g ′(x)＝x －1x ＝（x ＋1）（x －1）x.令g′(x)＝0，得x ＝1，且当x∈(0，1)，g ′(x)＜0，x ∈(1，＋∞)，g ′(x)＞0，∴ g(x)在(0，＋∞)上有极小值，即最小值为g(1)＝12.当x≤0时，G(x)＝f(x)＝ax 3－3ax ，f ′(x)＝3ax 2－3a ＝3a(x ＋1)(x －1)． 令f′(x)＝0，得x ＝－1.①若a ＝0，方程G(x)＝a 2不可能有四个解；②若a ＜0时，当x∈(－∞，－1)，f ′(x)＜0，当x∈(－1，0)，f ′(x)＞0，∴ f(x)在(－∞，0]上有极小值，即最小值为f(－1)＝2a.又f(0)＝0，∴ G(x)的图象如图①所示，从图象可以看出方程G(x)＝a 2不可能有四个解；,①) ,②)③若a ＞0时，当x∈(－∞，－1)，f ′(x)＞0，当x∈(－1，0)，f ′(x)＜0，∴ f(x)在(－∞，0]上有极大值，即最大值为f(－1)＝2a.又f(0)＝0，∴ G(x)的图象如图②所示．从图象可以看出方程G(x)＝a 2若有四个解，必须12＜a 2＜2a ，∴ 22＜a ＜2.综上所述，满足条件的实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，2.1. 作图的前提要能熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数图象等．2. 掌握几种图象的变换的方法技巧，如平移变换、伸缩变换、对称变换、周期变换、翻折变换等，能帮助我们简化作图过程．3. 利用函数图象可以解决一些形如f(x)＝g(x)的方程解的个数问题，解题中要注意对方程适当变形，选择适当的函数作图．请使用课时训练（B ）第5课时（见活页）.第11 页共11 页。

第二章 函数与导数第7课时 指数函数、对数函数及幂函数(1)第三章 (对应学生用书(文)、(理)20～21页),1. (必修1P 63习题2改编)用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)： (1) 3a 2＝________；(2) a a a ＝________；(3) ⎝⎛⎭⎫3a 2·ab 3＝________．答案：(1) a 23 (2) a 78 (3) a 76b 322. (必修1P 80习题6改编)计算：(lg5)2＋lg2×lg50＝________． 答案：1解析：原式＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5)＝lg5(lg2＋lg5)＋lg2＝1.3. (必修1P 80习题12改编)已知lg6＝a ，lg12＝b ，则用a 、b 表示lg24＝________． 答案：2b －a解析：lg24＝lg 1446＝2lg12－lg6＝2b －a.4. (必修1P 63习题6改编)若a ＋a －1＝3，则a 32－a －32＝______．答案：±4解析：a 32－a －32＝(a 12－a －12)(a ＋a －1＋1)．∵ (a 12－a －12)2＝a ＋a －1－2＝1，∴ (a 12－a －12)＝±1，∴ 原式＝(±1)×(3＋1)＝±4. 5. 已知实数a 、b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式：① 0＜b ＜a ；② a＜b ＜0；③ 0＜a ＜b ；④ b＜a ＜0；⑤ a＝b. 其中所有不可能成立的关系式为________．(填序号) 答案：③④解析：条件中的等式⇔2a =3b⇔a lg2=b lg3．若a ≠0，则lg2lg3b a =∈（0，1）．（1）当a ＞0时，有a ＞b ＞0，即关系式①成立，而③不可能成立； （2）当a ＜0时，则b ＜0，b ＞a ，即关系式②成立，而④不可能成立； 若a =0，则b =0，故关系式⑤可能成立．1. 根式(1) 根式的概念① n a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a （n 为奇数），|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a≥0），－a （a<0）（n 为偶数）； ② (n a)n ＝a(注意a 必须使na 有意义)． 2. 有理指数幂(1) 分数指数幂的表示① 正数的正分数指数幂是a mn ，m 、n∈N *，n>1)； ② 正数的负分数指数幂是a －m n ＝1a m n＝1(a>0，m 、n∈N *，n>1)；③ 0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义．(2) 有理指数幂的运算性质① a s a t ＝a s ＋t(a>0，t 、s∈Q )；② (a s )t ＝a st(a>0，t 、s∈Q )；③ (ab)t ＝a t b t(a>0，b ＞0，t∈Q )． 3. 对数的概念 (1) 对数的定义如果a b＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2) 几种常见对数4. 对数的性质与运算法则 (1) 对数的性质① alog a N ＝N ；② log a a N＝N(a>0且a≠1)． (2) 对数的重要公式① 换底公式：log b N ＝log a N log a b (a 、b 均大于零且不等于1)；② log a b ＝1log b a .(3)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ① log a (MN)＝log a M ＋log a N ； ② log a MN ＝log a M －log a N ；③ log a M n＝nlog a M (n∈R )； ④ log am M n＝n m log a M.[备课札记]题型1 指数幂的运算例1 化简下列各式(其中各字母均为正数)： (1) 1.5－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋80.25×42＋(32×3)6－⎝ ⎛⎭⎪⎫2323； (2) （a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5；(3) a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3a.解：(1) 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＋234×214＋22×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2＋108＝110.(2) 原式＝a －13·b 12·a －12·b 13a 16·b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a.(3) 原式＝a 13（a －8b ）（2b 13）2＋2b 13a 13＋（a 13）2×a 13a 13－2b 13×a 13＝a 13（a －8b ）a －8b×a 13×a 13＝a.备选变式（教师专享） 化简下列各式：(1) 12523＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋34313－⎝ ⎛⎭⎪⎫127－13；(2) 56a 13·b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23·b －3)12.解：(1)33；(2)－5ab 4ab 2.题型2 对数的运算例2 求下列各式的值．(1) log 535＋2log 12 2－log 5150－log 514；(2) log 2125×log 318×log 519.解：(1) 原式＝log 535×5014＋2log 12212＝log 553－1＝2.(2) 原式＝lg 125lg2×lg 18lg3×lg 19lg5＝－2lg5lg2×－3lg2lg3×－2lg3lg5＝－12.变式训练(1) 计算：lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 278；(2) 已知log 189＝a ，18b＝5，用a 、b 表示log 3645.解：(1) 原式＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1258×12.5－lg9lg8·lg8lg27＝1－2lg33lg3＝13. (2) 由题意，得b ＝log 185，故log 3645＝log 1845log 1836＝log 189＋log 185log 18324－log 189＝a ＋b2－a.题型3 指数与对数的混合运算例3 已知实数x 、y 、z 满足3x ＝4y ＝6z＞1. (1) 求证：2x ＋1y ＝2z；(2) 试比较3x 、4y 、6z 的大小．(1) 证明：令k ＝3x ＝4y ＝6z＞1，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，于是1x ＝log k 3，1y ＝log k 4，1z ＝log k 6，从而2x ＋1y ＝2log k 3＋log k 4＝log k 32＋log k 4＝log k 36＝2log k 6，等式成立．(2) 解：由于k ＞1，故x 、y 、z ＞0.3x 4y ＝3log 3k 4log 4k ＝3lgklg34lgk lg4＝3lg44lg3＝lg43lg34＝lg64lg81＜1； 4y 6z ＝2log 4k 3log 6k ＝2lgklg43lgk lg6＝2lg63lg4＝lg62lg43＝lg36lg64＜1， 故3x ＜4y ＜6z.备选变式（教师专享）若xlog 34＝1，求23x－2－3x2x ＋2－x 的值．解：由xlog 34＝1，知4x＝3， ∴23x－2－3x2x ＋2－x ＝()2x －2－x ()22x ＋2－2x ＋12x＋2－x＝（22x －1）（22x ＋2－2x＋1）22x＋1＝（3－1）⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋13＋13＋1＝136.1. (2013·四川)计算：lg 5＋lg 20＝________． 答案：1解析：lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg10＝1.2. (2013·长春调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≥4，f （x ＋1），则f(2＋log 23)＝________．答案：124解析：由3<2＋log 23<4，得3＋log 23>4，所以f(2＋log 23)＝f(3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 224＝124. 3. (2013·新课标)已知a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a 、b 、c 的大小关系为________．答案：a>b>c解析：a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由于log 32>log 52>log 72，所以a>b>c.4. (2013·温州二模)已知2a ＝3b ＝6c，若a ＋b c ∈(k ，k ＋1)，则整数k 的值是________．答案：4解析：设2a ＝3b ＝6c＝t ，则a ＝log 2t ，b ＝log 3t ，c ＝log 6t ，所以a ＋b c ＝log 2t log 6t ＋log 3t log 6t ＝log t 6log t 2＋log t 6log t 3＝log 26＋log 36＝2＋log 23＋log 32.因为2<log 23＋log 32<3，所以4<a ＋bc <5，即整数k 的值是4.1. 设a ＝lge ，b ＝(lge)2，c ＝lg e ，则a 、b 、c 的大小关系是________．答案：a ＞c ＞b解析：本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0，知a>b.又c ＝lge ，作商比较知c>b ，故a>c>b.2. 已知三数x ＋log 272，x ＋log 92，x ＋log 32成等比数列，则公比为________． 答案：3解析：∵ 三数x ＋log 272，x ＋log 92，x ＋log 32成等比数列，∴ (x ＋log 92)2＝(x ＋log 272)(x ＋log 32)，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12log 322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13log 32(x ＋log 32)，解得x ＝－14log 32，∴ 公比q ＝x ＋log 32x ＋12log 32＝3.3. 设a ＞1，若对任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，则a 的取值范围是________．答案：a≥2解析：∵ a＞1，x ∈[a ，2a]， ∴ log a x ∈[1，1＋log a 2]．又由y∈[a，a 2]，得 log a y∈[1，2]， ∵ log a y ＝3－log a x ，∴ 3－log a x ∈[1，2]， ∴ log a x ∈[1，2]，∴ 1＋log a 2≤2，log a 2≤1，即a≥2.4. 已知m 、n 为正整数，a ＞0且a≠1，且log a m ＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＋1＋…＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＋n －1＝log a m ＋log a n ，求m 、n 的值．解：左边＝log a m ＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m ＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2m ＋1＋…＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n m ＋n －1＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫m·m ＋1m ·m ＋2m ＋1·…·m ＋n m ＋n －1＝log a (m ＋n)，∴ 已知等式可化为log a (m ＋n)＝log a m ＋log a n ＝log a mn. 比较真数得m ＋n ＝mn ，即(m －1)(n －1)＝1.∵ m 、n 为正整数，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝1，n －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.1. 根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．2. 对数运算法则是在化同底的情况下进行的，在对含有字母的对数式化简时必须保证恒等变形．3. 在解决指数、对数问题时，指数式与对数式的互化起着重要作用．请使用课时训练（B ）第7课时（见活页）.[备课札记]。

第二章 函数与导数第1课时 函数及其表示第三章 (对应学生用书(文)、(理)7～8页)考情分析考点新知① 本节是函数部分的起始部分，以考查函数概念、三要素及表示法为主，同时考查学生在实际问题中的建模能力.②本节内容曾以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低，但很重要，特别是函数的解析式仍会是2015年高考的重要题型．① 理解函数的概念，了解构成函数的要素. ② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.③了解简单的分段函数，并能简单应用1. (必修1P 24练习5改编)若f(x)＝x －x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________，f(n ＋1)－f(n)＝________．答案：14－2n2. (必修1P 29习题8改编)若函数f(x)和g(x)分别由下表给出：x 1 2 3 4 x 1 2 3 4 f(x)2341g(x)2143则f(g(1))＝____________，满足g(f(x))＝1的x 值是________． 答案：3 1解析：f(g(1))＝f(2)＝3；由g(f(x))＝1，知f(x)＝2，所以x ＝1.3. (必修1P 31练习4)下列图象表示函数关系y ＝f(x)的有________．(填序号)答案：①④解析：根据函数定义，定义域内任意的一个自变量x 的值都有唯一一个y 与之对应．4. (必修1P 31练习3改编)用长为30cm 的铁丝围成矩形，若将矩形面积S(cm 2)表示为矩形一边长x(cm)的函数，则函数解析式为____________，其函数定义域为______________.答案：S ＝x(15－x) x∈(0，15)解析：矩形的另一条边长为15－x ，且x>0，15－x>0.5. (必修1P 32习题7改编)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－12x ，x ≥0，1x，x<0，若f(a)＝a ，则实数a ＝________．答案：23或－1解析：若a≥0，则1－12a ＝a ，得a ＝23；若a<0，则1a＝a ，得a ＝－1.1. 函数的定义一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的一个元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y ＝f(x)，x ∈A ．2. 函数的三要素函数的构成三要素为定义域、值域、对应法则．由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．3. 函数的表示方法表示函数的常用方法有列表法、解析法、图象法． 4. 分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集．5. 映射的概念一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个映射．[备课札记]题型1 函数的概念例1 判断下列对应是否是从集合A 到集合B 的函数．(1) A ＝B ＝N *，对应法则f ：x→y＝|x －3|，x ∈A ，y ∈B ；(2) A ＝[0，＋∞)，B ＝R ，对应法则f ：x→y，这里y 2＝x ，x ∈A ，y ∈B ；(3) A ＝[1，8]，B ＝[1，3]，对应法则f ：x→y，这里y 3＝x ，x ∈A ，y ∈B ；(4) A ＝{(x ，y)|x 、y∈R }，B ＝R ，对应法则：对任意(x ，y )∈A，(x ，y )→z＝x ＋3y ，z ∈B.解：(1) 对于A 中的元素3，在f 的作用下得到0，但0不属于B ，即3在B 中没有元素与之对应，所以不是函数．(2) 集合A 中的一个正数在集合B 中有两个元素与之对应，所以不是函数．(3) 由y 3＝x ，即y ＝3x ，因为A ＝[1，8]，B ＝[1，3]，对应法则f ：x→y，符合函数对应．(4) 由于集合A 不是数集，所以此对应法则不是函数． 备选变式（教师专享）下列说法正确的是______________．(填序号) ①函数是其定义域到值域的映射；②设A ＝B ＝R ，对应法则f ：x→y＝x －2＋1－x ，x ∈A ，y ∈B ，满足条件的对应法则f 构成从集合A 到集合B 的函数；③函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点有且只有1个；④映射f ：{1，2，3}→{1，2，3，4}满足f(x)＝x ，则这样的映射f 共有1个． 答案：①④ 解析：②中满足y ＝x －2＋1－x 的x 值不存在，故对应法则f 不能构成从集合A 到集合B 的函数；③中函数y ＝f(x)的定义域中若不含x ＝1的值，则其图象与直线x ＝1没有交点．题型2 函数的解析式例2 求下列各题中的函数f(x)的解析式．(1) 已知f(x ＋2)＝x ＋4x ，求f(x)；(2) 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lgx ，求f(x)； (3) 已知函数y ＝f(x)满足2f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，x ∈R 且x≠0，求f(x)； (4) 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，求f(x)． 解：(1) (解法1)设t ＝x ＋2，则x ＝t －2，即x ＝(t －2)2，∴ f(t)＝(t －2)2＋4(t －2)＝t 2－4，∴ f(x)＝x 2－4(x≥2)．(解法2)∵ f(x ＋2)＝(x ＋2)2－4，∴ f(x)＝x 2－4(x≥2)．(2) 设t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴ f(t)＝lg 2t －1，即f(x)＝lg 2x －1(x>1)．(3) 由2f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，① 将x 换成1x ，则1x 换成x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f ()x ＝2x ，②①×2－②，得3f(x)＝4x －2x ，得f(x)＝43x －23x.(4) ∵ f(x)是二次函数，∴设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c ＝1. 由f(x ＋1)＝f(x)＋2x ，得a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝(ax 2＋bx ＋1)＋2x ， 整理，得(2a －2)x ＋(a ＋b)＝0，由恒等式原理，知⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＝0，a ＋b ＝0⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1， ∴ f(x)＝x 2－x ＋1.变式训练求下列函数f(x)的解析式．(1) 已知f(1－x)＝2x 2－x ＋1，求f(x)；(2) 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，求f(x)；(3) 已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x －1，求f(x)；(4) 定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x ＋1)，求f(x)． 解：(1) (换元法)设t ＝1－x ，则x ＝1－t ，∴ f(t)＝2(1－t)2－(1－t)＋1＝2t 2－3t ＋2，∴ f(x)＝2x 2－3x ＋2.(2) (配凑法)∵ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴ f(x)＝x 2＋2.(3) (待定系数法)∵ f(x)是一次函数， ∴ 设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax ＋b)＝a(ax ＋b)＋b ＝a 2x ＋ab ＋b. ∵ f(f(x))＝4x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1， ∴ f(x)＝2x －13或f(x)＝－2x ＋1.(4) (消去法)当x∈(－1，1)时，有 2f(x)－f(－x)＝lg(x ＋1)，①以－x 代替x 得2f(－x)－f(x)＝lg(－x ＋1)，② 由①②消去f(－x)得，f(x)＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x)，x ∈(－1，1)．题型3 分段函数例3 已知实数a≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x<1，－x －2a ，x ≥1.(1) 若a ＝－3，求f(10)，f(f(10))的值；(2) 若f(1－a)＝f(1＋a)，求a 的值．解：(1) 若a ＝－3，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x<1，－x ＋6，x ≥1.所以f(10)＝－4，f(f(10))＝f(－4)＝－11.(2) 当a>0时，1－a<1，1＋a>1，所以2(1－a)＋a ＝－(1＋a)－2a ，解得a ＝－32，不合，舍去；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，所以－(1－a)－2a ＝2(1＋a)＋a ，解得a ＝－34，符合．综上可知，a ＝－34.备选变式（教师专享）如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y.(1) 求y 与x 之间的函数关系式； (2) 画出y ＝f(x)的图象．解：(1)y ＝⎩⎨⎧2x ()0≤x≤4，8()4<x ≤8，－2x ＋24()8<x≤12.(2)y ＝f ()x 的图象如图．1. (2013·某某期末)若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤0，log 2x ，x>0，则f(f(0))＝________．答案：0解析：f(0)＝30＝1，f(f(0))＝f(1)＝log 21＝0.2. (2013·某某一模)定义在R 上的函数f(x)，对任意x∈R 都有f(x ＋2)＝f(x)，当x∈(－2，0)时，f(x)＝4x，则f(2 013)＝________．答案：14解析：由已知，f(x)是以2为周期的周期函数，故f(2 013)＝f(－1)＝4－1＝14.3. (2013·某某期末)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ∈[0，1]，x ，x [0，1]，则使f(f(x))＝2成立的实数x的集合为________．答案：{x|0≤x≤1或x ＝2}解析：当x∈[0，1]时，f(f(x))＝f(2)＝2成立；当x [0，1]时，f(f(x))＝f(x)＝x ，要使f(f(x))＝2成立，只需x ＝2.综上，实数x 的集合为{x|0≤x≤1或x ＝2}．4. (2013·苏南四市一模)已知函数f(x)＝x x ＋1＋x ＋1x ＋2＋x ＋2x ＋3＋x ＋3x ＋4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52－2＝________．答案：8解析：因为f(x)＝x x ＋1＋x ＋1x ＋2＋x ＋2x ＋3＋x ＋3x ＋4＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1x ＋2＋1x ＋3＋1x ＋4. 设g(x)＝1x ＋1＋1x ＋2＋1x ＋3＋1x ＋4，则g(－5－x)＝－⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋4＋1x ＋3＋1x ＋2＋1x ＋1，所以g(x)＋g(－5－x)＝0，从而f(x)＋f(－5－x)＝8，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52－2＝8.1. 已知函数f(x)＝alog 2x －blog 3x ＋2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＝4，则f(2014)的值为________． 答案：0 解析：∵ f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＝alog 212 014－blog 312 014＋2＝－(alog 22 014－blog 32 014)＋2＝4，∴ f(2 014)＝alog 22 014－blog 32 014＋2＝(－2)＋2＝0.2. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，2x ，x ≤0，则满足不等式f(f(x))>1的x 的取值X 围是________．答案：(4，＋∞)解析：当x≤0时，2x ∈(0，1]，f(f(x))＝log 22x＝x>1，不符合；当0<x≤1时，log 2x ≤0，f(f(x))＝2log 2x ＝x>1，不符合；当x>1时，log 2x>0，f(f(x))＝log 2(log 2x)>1，解得x>4.3. 集合M ＝{f(x)|存在实数t 使得函数f(x)满足f(t ＋1)＝f(t)＋f(1)}，则下列函数(a 、b 、c 、k 都是常数)：① y ＝kx ＋b(k≠0，b ≠0)；② y＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)；③ y ＝a x(0<a<1)；④ y＝k x(k≠0)；⑤ y＝sinx.其中属于集合M 的函数是________．(填序号) 答案：②⑤解析：对于①，由k(t ＋1)＋b ＝kt ＋b ＋k ＋b ，得b ＝0，矛盾，不符合；对于②，由a(t ＋1)2＋b(t ＋1)＋c ＝at 2＋bt ＋c ＋a ＋b ＋c ，得t ＝c 2a，符合题意；对于③，由a t ＋1＝a t ＋a 1，所以a t＝a a －1，由于0<a<1，a t＝a a －1<0，无解；对于④，由k t ＋1＝k t＋k ，无解；对于⑤，由sin(t ＋1)＝sint ＋sin1，取t ＝2k π，k ∈Z ，符合题意．综上，属于集合M 的函数是②⑤.4. 已知f(x)为二次函数，不等式f(x)＋2＜0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13，且对任意α、β∈R 恒有f (sinα)≤0，f(2＋cosβ)≥0，求函数f(x)的解析式．解：设f(x)＝a(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13－2(a ＞0)，∵函数f(x)对任意α、β∈R 恒有f(sinα)≤0，f(2＋cosβ)≥0，取sinα＝1，cos β＝－1，则f(1)≤0与f(1)≥0同时成立，∴ f(1)＝0，∴ a ＝32，∴ f(x)＝32x 2＋x －52.1. 函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射；而映射不一定是函数从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射不是函数．2. 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量是否具有函数关系，只需要检验：① 定义域和对应法则是否给出；②根据给出的对应法则，自变量在定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．3. 函数解析式的求解方法通常有：配凑法，换元法，待定系数法及消去法．用换元法求解时要特别注意新元的X围，即所求函数的定义域；而消去法体现的方程思想，即根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．请使用课时训练（B）第1课时（见活页）.[备课札记]。

第二章 函数与导数第3课时 函数的单调性第三章 (对应学生用书(文)、(理)11～12页)1. (必修1P 54测试4)已知函数y ＝f(x)的图象如图所示，那么该函数的单调减区间是________．答案：[－3，－1]和[1，2] 2. (必修1P 44习题2改编)下列函数中，在区间(0，2)上是单调增函数的是________．(填序号)① y ＝1－3x ；② y＝－1x；③ y＝x 2＋1；④ y＝|x ＋1|.答案：②③④3. (必修1P 44习题4改编)函数y ＝f(x)是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f(a ＋1)<f(2a)，则实数a 的取值范围是________．答案：[－1，1)解析：由条件⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a<1.4. (必修1P 44习题3改编)函数y ＝(x －3)|x|的单调递减区间是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 解析：y ＝(x －3)|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x （x －3），x<0，x （x －3），x ≥0，画图可知单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.5. (必修1P 54测试6改编)已知函数f(x)＝mx 2＋x ＋m ＋2在(－∞，2)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 解析：当m ＝0时，f(x)＝x ＋2，符合；当m≠0时，必须⎩⎪⎨⎪⎧m<0，－12m ≥2，解得－14≤m<0.综上，实数m 的取值范围是－14≤m ≤0.1. 增函数和减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调增函数．(如图(1)所示)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调减函数．(如图(2)所示)2. 单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M 上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间)．3. 判断函数单调性的方法(1) 定义法：利用定义严格判断． (2) 利用函数的运算性质．如若f(x)、g(x)为增函数，则：① f(x)＋g(x)为增函数；② 1f （x ）为减函数(f(x)>0)；③ f （x ）为增函数(f(x)≥0)；④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)为减函数．(3) 利用复合函数关系判断单调性 法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．(4) 图象法奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．[备课札记]题型1 函数单调性的判断例1 判断函数f(x)＝e x＋1e x 在区间(0，＋∞)上的单调性．解：(解法1)设0＜x 1＜x 2，则 f(x 1)－f(x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫ex 1＋1ex 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫ex 2＋1ex 2 ＝()ex 1－ex 2＋ex 2－ex 1ex 1·ex 2＝()ex 1－ex 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1ex 1＋x 2 ＝()ex 1－x 2－1·ex 1＋x 2－1ex 1.∵ 0＜x 1＜x 2，∴ x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞0，∴ ex 1－x 2＜1，ex 1＋x 2＞1，ex 1＞0， ∴ f(x 1)＜f(x 2)．∴ f(x)在(0，＋∞)上是增函数． (解法2)对f(x)＝e x＋1e x 求导，得f′(x)＝e x－1e x ＝1e x (e 2x －1)，当x ＞0时，e x＞0，e 2x＞1， ∴ f ′(x)＞0,∴ f(x)在(0，＋∞)上为增函数． 备选变式（教师专享）证明函数f(x)＝x1＋x 在区间[1，＋∞)上是减函数．证明：设x 1、x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2.f(x 1)－f(x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1（1＋x 22）－x 2（1＋x 21）（1＋x 21）（1＋x 22）＝（x 1－x 2）（1－x 1x 2）（1＋x 21）（1＋x 22）. ∵ x 1、x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0.又(1＋x 21)(1＋x 22)>0，∴ f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)． ∴ f(x)＝x1＋x 2在[1，＋∞)上为减函数．题型2 已知函数的单调性求参数的值或范围 例2 已知函数f(x)＝lg kx －1x －1(k∈R ，且k>0)．(1) 求函数f(x)的定义域；(2) 若函数f(x)在[10，＋∞)上单调递增，求k 的取值范围．解：(1) 由kx －1x －1>0，k>0，得x －1k x －1>0，当0<k<1时，得x<1或x>1k ；当k ＝1时，得x∈R且x ≠1；当k>1时，得x<1k或x>1.综上，当0<k<1时，函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<1或x>1k ；当k≥1时，函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<1k 或x>1.(2) 由函数f(x)在[10，＋∞)上单调递增，知10k －110－1>0，∴ k>110.又f(x)＝lg kx －1x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x －1，由题意，对任意的x 1、x 2，当10≤x 1<x 2，有f(x 1)<f(x 2)，即lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x 1－1<lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋k －1x 2－1， 得k －1x 1－1<k －1x 2－1 (k －1)(1x 1－1－1x 2－1)<0. ∵ x 1<x 2，∴ 1x 1－1>1x 2－1，∴ k －1<0，即k<1.综上可知，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1. 变式训练已知函数f(x)＝2x －ax，x ∈(0，1]．(1) 当a ＝－1时，求函数y ＝f(x)的值域；(2) 若函数y ＝f(x)在x∈(0，1]上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：(1) 当a ＝－1时，f(x)＝2x ＋1x ，因为0<x≤1，所以f(x)＝2x ＋1x≥22x·1x ＝22，当且仅当x ＝22时，等号成立，所以函数y ＝f(x)的值域是[22，＋∞)．(2) (解法1)设0<x 1<x 2≤1，由f(x 1)－f(x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－a x 2＝2(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 2－a x 1＝（x 1－x 2）（2x 1x 2＋a ）x 1x 2，因为函数y ＝f(x)在x∈(0，1]上是减函数，所以f(x 1)－f(x 2)>0恒成立，所以2x 1x 2＋a<0，即a<－2x 1x 2在x∈(0，1]上恒成立， 所以a≤－2，即实数a 的取值范围是(－∞，－2]． (解法2)由f(x)＝2x －a x ，知f′(x)＝2＋ax 2，因为函数y ＝f(x)在x∈(0，1]上是减函数， 所以f ′(x)＝2＋ax 2≤0在x∈(0，1]上恒成立，即a≤－2x 2在x∈(0，1]上恒成立，所以a≤－2，即实数a 的取值范围是(－∞，－2]．题型3 函数的单调性与最值例3 已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)．(1) 当a ＝12时，求f(x)的最小值；(2) 若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1) 当a ＝12时，f(x)＝x ＋12x ＋2.设x 1＞x 2≥1，则f(x 1)－f(x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝(x 1－x 2)·2x 1x 2－12x 1x 2.∵ x 1＞x 2≥1， ∴ f(x 1)＞f(x 2)，∴ f(x)在[1，＋∞)上为增函数． ∴ f (x)≥f(1)＝72，即f(x)的最小值为72.(2) ∵ f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，即x 2＋2x ＋a ＞0在[1，＋∞)上恒成立，∴ a ＞[－(x 2＋2x)]max .∵ t(x)＝－(x 2＋2x)在[1，＋∞)上为减函数， ∴ t(x)max ＝t(1)＝－3, ∴ a ＞－3. 备选变式（教师专享）已知a∈R 且a≠1，求函数f(x)＝ax ＋1x ＋1在[1，4]上的最值．解：由f(x)＝ax ＋1x ＋1＝a ＋1－ax ＋1.若1－a>0，即a<1时，f(x)在[1，4]上为减函数， ∴ f max (x)＝f(1)＝a ＋12，f min (x)＝f(4)＝4a ＋15；若1－a<0，即a>1时，f(x)在[1，4]上为增函数， ∴ f max (x)＝f(4)＝4a ＋15，f min (x)＝f(1)＝a ＋12.1. (2013·南京期初)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－2k ，x ≤0（1－k ）x ，x>0是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e 0－2k≤0，1－k>0，解得12≤k<1.2. 若函数f(x)＝a x(a>0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g(x)＝(1－4m)x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．答案：14解析：若a>1，有a 2＝4，a －1＝m ，所以a ＝2，m ＝12，此时g(x)＝－x 是[0，＋∞)上的减函数，不符合；当0<a<1，有a －1＝4，a 2＝m ，所以a ＝14，m ＝116，此时g(x)＝3x 4，符合．3. (2013·安徽)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在区间是(0，＋∞)内单调递增”的________条件．答案：充要解析：① 当a ＝0时，f(x)＝|x|在区间(0，＋∞)内单调递增；② 当a<0时，结合函数f(x)＝|ax 2－x|的图象知函数在(0，＋∞)内单调递增；③当a>0时，结合函数f(x)＝|ax 2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合．所以“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的充要条件．4. 已知函数f(x)是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x ＞0，都有f(f(x)－lnx)＝1＋e ，则f(1)＝________．答案：e解析：f(x)－lnx 必为常数函数，否则存在两个不同数，其对应值均为1＋e ，与单调函数矛盾．所以可设f(x)－lnx ＝c ，则f(x)＝lnx ＋c.将c 代入，得f(c)＝1＋e ，即lnc ＋c ＝1＋e.∵ y ＝lnx ＋x 是单调增函数，当c ＝e 时，lnc ＋c ＝1＋e 成立， ∴ f(x)＝lnx ＋e.则f(1)＝e.1. 给定函数：①y＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0，1)上单调递减的函数是____________．(填序号)答案：②③解析：①是幂函数，其在(0，＋∞)上是增函数，不符合；②中的函数是由函数y ＝log 12x 向左平移1个单位而得到的，因为原函数在(0，＋∞)上是减函数，故符合；③中的函数图象是由函数y ＝x －1的图象保留x 轴上方，下方图象翻折到x 轴上方而得到的，故由其图象可知正确；④中函数显然是增函数，故不符合．2. 设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝a x 在R 上是减函数 ”是“函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上是增函数”的__________条件．答案：充分不必要解析：函数f(x)＝a x 在R 上是减函数等价于0<a<1，函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上是增函数等价于0<a<1或1<a<2，所以“函数f(x)＝a x在R 上是减函数 ”，是“函数g(x)＝(2－a)x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件．3. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x ≥0，（a 2－1）e ax，x ＜0在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值范围是________．答案：(－∞，－2]∪(1，2]解析：若a>0，则f(x)＝ax 2＋1在[0，＋∞)上单调增，∴ f(x)＝(a 2－1)e ax在(－∞，0)上单调增，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，a 2－1≤1，∴ 1<a ≤ 2.同理，当a<0时，可求得a≤－2，故a∈(－∞，－2]∪(1，2]．4. 是否存在实数a ，使函数f(x)＝log a (ax 2－x)在区间[2，4]上是增函数？如果存在，说明a 可取哪些值；如果不存在，请说明理由．解：显然a>0且a≠1.当a>1时，则t(x)＝ax 2－x 的对称轴是x ＝12a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，只需t(2)＝4a －2＞0，即a＞12，所以a ＞1均成立； 当0＜a ＜1时，则t(x)＝ax 2－x 的对称轴是x ＝12a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，需要⎩⎪⎨⎪⎧12a≥4，t （4）＝16a －4＞0无解． 所以，存在实数a ＞1，满足条件．1. 求函数的单调区间，首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是定义域的子集，常用方法有：定义法、图象法、导数法、复合函数法等．2. 函数单调性的应用 (1) 比较函数值的大小； (2) 解不等式；(3) 求函数的值域或最值等．注意利用定义都是充要性命题，即若函数f(x)在区间D 上递增(减)且f(x 1)<f(x 2) x 1<x 2(x 1>x 2)(x 1、x 2∈D)．请使用课时训练（B ）第3课时（见活页）.[备课札记]。

函数与导数第9课时　指数函数、对数函数及幂函数(3) (对应学生用书(文)、(理)24～25页) 考情分析考点新知① 对数函数在高考中的考查主要是图象和性质同时考查数学思想方法以考查分类讨论及运算能力为主；考查形式主要是填空题同时也有综合性较强的解答题出现目的是结合其他章节的知识综合进行考查. 幂函数的考查较为基5种幂函数为载体考查求值、单调性、奇偶性、最值等问题是高考命题的出发点． 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性；掌握对数函数图象通过的特殊点.知道对数函数是一类重要的函数模型. 了解指数函数y＝a与对数函数y＝的相互关系(a>0). ④ 了解幂函数的概念结合函数y＝x＝x＝x＝x－1＝x－2的图象了解它们的变化情况. 1. (必修1112测试8改编)已知函数f(x)＝(a>0，a≠1)，若f(2)>f(3)则实数a的取值范围是________答案：(0) 解析：因为f(2)>f(3)所以f(x)＝单调递减则a∈(0)．(必修1练习3改编)若幂函数y＝f(x)的图象经过点则f(25)＝________答案：解析：设f(x)＝x则＝9＝－即f(x)＝x－(25)＝(必修1习题15改编)函数f(x)＝是(填“奇”或“偶”)函数．答案：奇解析：因为f(－x)＝＝＝－＝－f(x)所以f(x)是奇函数．(必修1习题13改编)不等式(x－1)<1的________. 答案：(1) 解析：由0<x－10，a≠1)叫做对数函数其中x是自变量函数的定义域是(0＋∞)．. 对数函数的图象与性质 a>100；当＜＜1时(x)<0(4) 当x＞1时(x)0(5) 是(0＋∞)上的增函数(5) 是(0＋∞)上的减函数 幂函数的定义形如y＝x(α∈R)的函数称为幂函数其中x是自变量为常数．幂函数的图象 5. 幂函数的性质 函数特 征性质y＝xy＝x＝x＝x＝x－1定义域RRR{x|x≥0}{x|x∈R且x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞]减[0，＋∞)增增增(－∞0)减(0，＋∞)减定点(1) [备课札记] 题型1　对数函数的概念与性质例1　(1) 设a>1函数f(x)＝在区间[a]上的最大值与最小值之差是则a＝________；2) 若a＝＝＝用小于号“<”将a、b、c连结起来________；(3) 设f(x)＝是奇函数则使f(x)<0的x的取值范围是________；(4) 已知函数f(x)＝|正实数m、n满足m1函数f(x)＝在区间[a]上是增函数－＝＝4.(2) 由于a>1所以c0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a.解得a<－1或， 即实数a的取值范围是a0，则方程(a－1)t－－1＝0有且只有一个正根．＝1＝－不合题意；②a≠1时＝0＝或－3.若a＝＝－2不合题意若a＝－3＝；③a≠1时一个正根与一个负根即综上实数a的取值范围是{－3}∪(1＋∞)． 已知函数f(x)＝(ax－b)(a>1>b>0)．(1) 求函数y＝f(x)的定义域；(2) 在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点使过此两点的直线平行于x轴；(3) 当a、b满足什么关系时(x)在区间上恒取正值．解：(1) 由a－b得因为a>1>b>0所以所以x>0即函数f(x)的定义域为(0＋∞)．(2) 设x因为a>1>b>0所以a则－b－b所以a－b－b于是(ax1－b)>lg(ax2－bx)，即f(x)>f(x2)，因此函数(x)在区间(0＋∞)上是增函数．假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x)、B(x)，使得直线AB平行于x轴即x＝y这与f(x)是增函数矛盾．故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过此两点的直线平行于x轴．(3) 由(2)知(x)在区间(1＋∞)上是增函数所以当x∈(1＋∞)时(x)>f(1)，故只需f1)≥0，即(a－b)≥0即a－b≥1所以当a≥b＋1时(x)在区间(1＋∞)上恒取正值． 1. (2013·南师大模拟)已知函数f(x)＝－2(x＋c)其中c>0若对任意x∈(0＋∞)都有f(x)≤1则c的取值范围是________．答案：c≥解析：由题意在x∈(0＋∞)上恒成立所以. 2. (2013·辽宁)已知函数f(x)＝＋1则f()＋f＝________．答案2 解析：f(x)＋f(－x)＝(－3x)＋(＋3x)＋2＝(1＋9x－9x)＋2＝2所以f()＋＝f()＋f(－)＝2.(2013·江西检测)已知x＋(0.5)－y(－y)＋(0.5)x，则实数x、y的关系为________．答案：x＋y<0解析：由x＋(0.5)－y(－y)＋(0.5)x，得x－(0.5)x<(－y)－(0.5)－y设f(x)＝x－(0.5)x，则(x)<f(－y)由于0<0.5<1，所以函数(x)是R上的增函数所以x<－y即x＋y0，由af(x)≥f(x)－1得a≥＝－＝≤(当且仅当f(x)＝2时等号成立)所以实数a的最小值为1. 若函数f(x)＝log－1|(a＞0)当x≠时有f(x)＝f(1－x)则a＝________．答案：2解析：由f(x)＝f(1－x)知函数f(x)的图象关于x＝对称而f(x)＝log＋log从而＝所以a＝2.已知函数f(x)＝x[－1]，函数g(x)＝ax＋2[－1]，若存在x∈[－1]，使f(x)＝g(x)成立则实数a的取值范围是________．答案：[1，＋∞)解析：分别作出函数f(x)＝x[－1]与函数gx)＝ax＋2[－1]的图象．当直线经过点(－1)时＝1；当直线经过点(8)时＝结合图象有a≤或a≥1.已知函数f(x)＝|lgx|若0(1) ＝1＋2＝3即a＋2b的取值范围是(3＋∞)．已知两条直线l：y＝m和l：y＝与函数y＝|的图象从左至右相交于点A、B与函数＝的图象从左至右相交于点C、D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b.当m变化时求的最小值．解：由题意得x＝B＝2＝＝2所以a＝|x－x＝＝|x－x＝即＝＝2＝2＋m因为＋m＝(2m＋1)＋－－＝当且仅当(2m＋1)＝，即m＝时取等号．所以的最小值为2＝8 1. 指数函数的底数、对数函数的底数、真数应满足的条件是求解有关指数、对数问题时必须予以重视的如果底数含有参数一般需分类讨论．与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤(1) 确定定义域；(2) 把复合函数分解为几个初等函数；(3) 确定各个基本初等函数的单调区间；(4) 根据“同增异减”判断复合函数的单调性．。

第二章 函数与导数第11课时 导数的概念与运算第三章 (对应学生用书(文)、(理)28～29页)1. (选修22P 7例4改编)已知函数f(x)＝1＋1x ，则f(x)在区间[1，2]，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上的平均变化率分别为________．答案：－12，－2解析：f （2）－f （1） 2－1＝－12；f （1）－f （12）1－12＝－2.2. (选修22P 12练习2改编)一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是_______m/s.答案：5解析：s′(t)＝2t －1，s ′(3)＝2×3－1＝5.3. (选修22P 26习题5)曲线y ＝12x －cosx 在x ＝π6处的切线方程为________．答案：x －y －π12－32＝0解析：设f(x)＝12x －cosx ，则f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12＋sin π6＝1，故切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－32＝x－π6，化简可得x －y －π12－32＝0. 4. (选修22P 26习题8)已知函数f(x)＝（x －2）2x ＋1，则f(x)的导函数f′(x)＝________．答案：x 2＋2x －8（x ＋1）2解析：由f(x)＝x 2－4x ＋4x ＋1，得f ′(x)＝（2x －4）×（x ＋1）－（x 2－4x ＋4）×1（x ＋1）2＝x 2＋2x －8（x ＋1）2.5. (选修22P 20练习7)若直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b ＝________．答案：ln2－1解析：设切点(x 0，lnx 0)，则切线斜率k ＝1x 0＝12，所以x 0＝2.又切点(2，ln2)在切线y＝12x ＋b 上，所以b ＝ln2－1.1. 平均变化率一般地，函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1．2. 函数f(x)在x ＝x 0处的导数设函数f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，当Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx __，无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f(x)在点x ＝x 0处的导数，记作f′(x 0)．3. 导数的几何意义导数f′(x 0)的几何意义就是曲线f(x)在点(x 0，f(x 0))的切线的斜率． 4. 导函数(导数)若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．5. 基本初等函数的导数公式 (1) C′＝0 (C 为常数)；(2) (x n )′＝nx n －1； (3) (sinx)′＝cosx ； (4) (cosx)′＝－sinx ；(5) (a x )′＝a xlna(a>0且a≠1)；(6) (e x )′＝e x；(7) (log a x)′＝1x log a e ＝1xlna __(a>0，且a≠1)；(8) (lnx)′＝1x.6. 导数的四则运算法则若u(x)，v(x)的导数都存在，则 (1) (u±v)′＝u′±v′；(2) (uv)′＝u′v＋uv′； (3) ⎝ ⎛⎭⎪⎫u v ′＝u′v－uv′v 2； (4) (mu)′＝mu′ (m 为常数)．[备课札记]题型1 平均变化率与瞬时变化率例1 某一运动物体，在x(s)时离出发点的距离(单位：m)是f(x)＝23x 3＋x 2＋2x.(1) 求在第1s 内的平均速度； (2) 求在1s 末的瞬时速度；(3) 经过多少时间该物体的运动速度达到14m/s ?解：(1) 物体在第1 s 内的平均变化率(即平均速度)为f （1） －f （0）1－0＝113 m/s.(2) Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝23（1＋Δx ）3＋（1＋Δx ）2＋2（1＋Δx ）－113Δx＝6＋3Δx ＋23(Δx)2.当Δx →0时，Δy Δx →6，所以物体在1 s 末的瞬时速度为6m/s.(3) Δy Δx ＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝23（x ＋Δx ）3＋（x ＋Δx ）2＋2（x ＋Δx ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3＋x 2＋2x Δx＝2x 2＋2x ＋2＋23(Δx)2＋2x·Δx ＋Δx.当Δx →0时，Δy Δx →2x 2＋2x ＋2，令2x 2＋2x ＋2＝14，解得x ＝2 s ，即经过2 s 该物体的运动速度达到14 m/s.备选变式（教师专享）在F1赛车中，赛车位移与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)．求：(1) t ＝20s ，Δt ＝0.1s 时的Δs 与ΔsΔt；(2) t ＝20s 时的瞬时速度．解：(1) Δs ＝s(20＋Δt)－s(20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202＝21.05 m.Δs Δt ＝21.050.1＝210.5 m/s. (2) 由导数的定义，知在t ＝20s 的瞬时速度为 v(t)＝Δs Δt ＝10（t ＋Δt ）＋5（t ＋Δt ）2－10t －5t 2Δt＝5Δt 2＋10t·Δt ＋10Δt Δt ＝5Δt ＋10t ＋10.当Δt→0，t ＝20 s 时，v ＝10×20＋10＝210 m/s.答：t ＝20s ，Δt ＝0.1 s 时的Δs 为21.05 m ，ΔsΔt 为210.5 m/s ，即在t ＝20s 时瞬时速度为210 m/s. 题型2 利用导数公式、求导法则求导 例2 求下列函数的导数．(1) y ＝1x ＋x 3；(2) y ＝e x lnx ； (3) y ＝tanx ；(4) y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(理)(5) y ＝ln （2＋3x ）x .解：(1) y′＝－12x －32＋3x 2.(2) y′＝e x ⎝⎛⎭⎪⎫lnx ＋1x .(3) y′＝1cos 2x . (4) y′＝3x 2－2x 3.(5) y′＝2x （2＋3x ）－ln （2＋3x ）x 2. 备选变式（教师专享）求下列函数的导数．(1) y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (2) y ＝lnxx；(3) y ＝11－x ＋11＋x ；(4) y ＝x －sin x 2cos x2；(理)(5) y ＝2x＋ln(1－5x)．解：(1) y′＝18x 2－8x ＋9；(2) y′＝1－lnx x 2； (3) y′＝2（1－x ）2；(4) y′＝1－12cosx ；(5) y′＝2xlnx ＋55x －1.题型3 利用导数的几何意义解题 例3 已知函数f(x)＝axx 2＋b，且f(x)的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切． (1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若P(x 0，y 0)为f(x)图象上的任意一点，直线l 与f(x)的图象切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1) 对函数f(x)求导，得f′(x)＝a （x 2＋b ）－ax （2x ）（x 2＋b ）2＝ab －ax2（x 2＋b ）2.∵ f(x)的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f′（1）＝0，f （1）＝2， 即⎩⎪⎨⎪⎧ab －a ＝0，1＋b≠0，a1＋b ＝2，∴ a ＝4，b ＝1，∴ f(x)＝4xx 2＋1. (2) ∵ f′(x)＝4－4x 2（x 2＋1）2，∴ 直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝4－4x 2（x 20＋1）2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x 20＋1）2－1x 20＋1，令t ＝1x 0＋1，t ∈(0，1]，则 k ＝4(2t 2－t)＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－12，∴ k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4. 变式训练(1) 已知曲线y ＝13x 3＋43，求曲线过点P(2，4)的切线方程；(2) 求抛物线y ＝x 2上点到直线x －y －2＝0的最短距离．解：(1) 设曲线y ＝13x 3＋43与过点P(2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝x 20，切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43.因为点P(2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(2) 由题意得，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x －y－2＝0距离最短，设切点为(x 0，x 20)，则切线的斜率为2x 0＝1，所以x 0＝12，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.1. (2013·大纲)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝________．答案：－6解析：y′＝4x 3＋2ax ，由题意，k ＝y′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，所以a ＝－6.2. (2013·南通一模)曲线f(x)＝f′（1）e e x －f(0)x ＋12x 2在点(1，f(1))处的切线方程为________．答案：y ＝ex －12解析：由已知得f(0)＝f′（1）e ，∴ f(x)＝f′（1）e e x －f′（1）e x ＋12x 2，∴ f ′(x)＝f′（1）e e x －f′（1）e＋x ，∴ f ′(1)＝f′（1）e e －f′（1）e ＋1，即f′(1)＝e ，从而f(x)＝e x －x ＋12x 2，f ′(x)＝e x－1＋x ，∴ f(1)＝e －12，f ′(1)＝e ，故切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫e －12＝e(x －1)，即y ＝ex －12. 3. (2013·南京三模)记定义在R 上的函数y ＝f(x)的导函数为f′(x )．如果存在x 0∈[a ，b]，使得f(b)－f(a)＝f ′(x 0)(b －a)成立，则称x 0为函数f(x)在区间[a ，b]上的“中值点”，那么函数f(x)＝x 3－3x 在区间[－2，2]上“中值点”的个数为________．答案：2 解析：f(2)＝2，f(－2)＝－2，f （b ）－f （a ）b －a ＝1，f ′(x)＝3x 2－3＝1，得x ＝±233∈[－2，2]，故有2个．4. (2013·盐城二模)若实数a 、b 、c 、d 满足a 2－2lna b ＝3c －4d ＝1，则(a －c)2＋(b －d)2的最小值为________．答案：25(1－ln2)2解析：∵ a 2－2lna b ＝3c －4d＝1，∴ b ＝a 2－2lna ，d ＝3c －4，∴ 点(a ，b)在曲线y ＝x 2－2lnx 上，点(c ，d)在曲线y ＝3x －4上，(a －c)2＋(b －d)2的几何意义就是曲线y ＝x 2－2lnx 到曲线y ＝3x －4上点的距离最小值的平方．考查曲线y ＝x 2－2lnx(x>0)平行于直线y ＝3x －4的切线，∵ y ′＝2x －2x ，令y′＝2x －2x ＝3，解得x ＝2，∴ 切点为(2，4－2ln2)，该切点到直线y ＝3x －4的距离d ＝|3×2－4＋2ln2－4|32＋（－1）2＝2－2ln210就是所要求的两曲线间的最小距离，故(a －c)2＋(b －d)2的最小值为d 2＝25(1－ln2)2.1. 已知函数f(x)＝e x－f(0)x ＋12x 2，则f′(1)＝____．答案：e解析：由条件，f(0)＝e 0－f(0)×0＋12×02＝1，则f(x)＝e x －x ＋12x 2，所以f′(x)＝ex－1＋x ，所以f′(1)＝e 1－1＋1＝e.2. 已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1、C 2都相切，则直线l 的方程是____________．答案：y ＝0或y ＝4x －4解析：设两个切点的坐标依次为(x 1，x 21)，(x 2，－(x 2－2)2)，由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝－2x 2＋4，x 21＋[]－（x 2－2）2x 1－x 2＝2x 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝0，从而可求直线方程为y ＝0或y ＝4x －4.3. 已知函数f(x)＝xlnx ，过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0作函数y ＝f(x)图象的切线，则切线的方程为________．答案：x ＋y ＋1e2＝0解析：设切点T(x 0，y 0)，则k AT ＝f′(x 0)，∴ x 0lnx 0x 0＋1e 2＝lnx 0＋1，即e 2x 0＋lnx 0＋1＝0，设h(x)＝e 2x ＋lnx ＋1，当x>0时h ′(x)>0，∴ h(x)是单调递增函数，∴ h(x)＝0最多只有一个根．又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝e 2×1e 2＋ln 1e 2＋1＝0，∴ x 0＝1e 2.由f ′(x 0)＝－1得切线方程是x ＋y ＋1e2＝0. 4. 已知函数f(x)＝lnx ，g(x)＝12ax 2＋bx(a≠0)，设函数f(x)的图象C 1与函数g(x)的图象C 2交于两点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线互相平行？若存在，求出点R 的横坐标；若不存在，请说明理由．解：设点P 、Q 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且0＜x 2＜x 1，则点M 、N 的横坐标均为x 1＋x 22.∴ C 1在点M 处的切线斜率为k 1＝1x |x ＝x 1＋x 22＝2x 1＋x 2，C 2在点N 处的切线斜率为k 2＝ax ＋b|x ＝x 1＋x 22＝a （x 1＋x 2）2＋b ，假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线互相平行， 则k 1＝k 2，即2x 1＋x 2＝a （x 1＋x 2）2＋b.∵ P 、Q 是曲线C 1、C 2的交点，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧lnx 1＝12ax 21＋bx 1，lnx 2＝12ax 22＋bx 2，两式相减，得lnx 1－lnx 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12ax 21＋bx 1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12ax 22＋bx 2， 即lnx 1－lnx 2＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a （x 1＋x 2）2＋b ，∴ lnx 1－lnx 2＝2（x 1－x 2）x 1＋x 2，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＋1.设u ＝x 1x 2＞1，则lnu ＝2（u －1）（u ＋1），u ＞1(*)．令r(u)＝lnu －2（u －1）（u ＋1），u ＞1，则r′(u)＝1u －4（u ＋1）2＝（u －1）2u （u ＋1）2.∵ u ＞1，∴ r ′(u)＞0，∴ r(u)在(1，＋∞)上单调递增， 故r(u)＞r(1)＝0，则lnu ＞2（u －1）（u ＋1），这与上面(*)相矛盾，所以，故假设不成立．故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行．1. 求函数的导数有两种方法，一是利用导数定义，这种方法虽然比较复杂，但需要了解；二是利用导数公式和运算法则求导数，这是求函数导数的主要方法，其关键是记住公式和法则，并适当进行简便运算．2. 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件： (1) 函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．(2) 切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．(3) 与导数几何意义有关的综合性问题，涉及到三角函数求值、方程和不等式的解，关键是要善于进行等价转化．请使用课时训练（B）第11课时（见活页）.[备课札记]。