2015届高考数学总复习第二章函数与导数第2课时函数的定义域和值域教学案(含最新模拟、试题改编)

第2课时 函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式，就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域，就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域：1．函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值 的集合.2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法） 例如：①形如y ＝221x +，可采用 法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ，可采用 法或法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可采用 法；④ y ＝x －x -1，可采用 法；⑤ y ＝x －21x -，可采用 法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可采用 法等.例1. 求下列函数的定义域： （1）y=xx x -+||)1(0; (2)y=232531x x -+-; (3)y=1·1-+x x .解：（1）由题意得,0||01⎩⎨⎧>-≠+x x x 化简得,||1⎩⎨⎧>-≠x x x 即.01⎩⎨⎧<-≠x x 故函数的定义域为{x|x ＜0且x≠-1}.（2）由题意可得,050322⎩⎨⎧≥-≠-x x 解得.553⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-±≠x x故函数的定义域为{x|-5≤x≤5且x≠±3}. （3）要使函数有意义，必须有,0101⎩⎨⎧≥-≥+x x 即,11⎩⎨⎧≥-≥x x ∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞）.变式训练1：求下列函数的定义域：（1）y=212)2lg(xx x -+-+(x-1)0; (2)y=)34lg(2+x x +(5x-4)0; (3)y=225x -+lgcosx;解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-+>-01,012022x x x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-<1,432x x x 所以-3＜x ＜2且x≠1.基础过关典型例题故所求函数的定义域为（-3，1）∪(1,2).（2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠+>+045,134034x x x 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-≠->54,2143x x x ∴函数的定义域为).,54()54,21(21,43+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛--Y Y（3）由⎩⎨⎧>≥-0cos 0252x x ,得,)(222255⎪⎩⎪⎨⎧∈+<<-≤≤-Z k k x k x ππππ 借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为.5,23)2,2(23,5⎥⎦⎤⎝⎛-⎪⎭⎫⎢⎣⎡--ππππY Y 例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f(x1);(3)y=f()31()31-++x f x ;(4)y=f(x+a)+f(x-a).解：（1）0≤3x≤1,故0≤x≤31,y=f(3x)的定义域为［0, 31］.（2）仿（1）解得定义域为［1，+∞).（3）由条件，y 的定义域是f )31(+x 与)31(-x 定义域的交集.列出不等式组,32313431323113101310≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+≤x x x x x 故y=f )31()31(-++x f x 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,31. （４）由条件得,111010⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a x a ax a a x a x 讨论：①当⎩⎨⎧+≤--≤,11,1a a a a 即0≤a≤21时，定义域为［a,1-a ］;②当⎩⎨⎧+≤--≤,1,a a a a 即-21≤a≤0时，定义域为［-a,1+a ］.综上所述：当0≤a≤21时，定义域为［a ，1-a ］；当-21≤a≤0时，定义域为［-a ，1+a ］. 变式训练2：若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f (x+a)·f(x -a)（0＜a ＜21）的定义域是 （ ） A.∅ B.［a ，1-a ］ C.［-a ，1+a ］ D.［0，1］解： B例3. 求下列函数的值域：（1）y=;122+--x x xx (2)y=x-x 21-;(3)y=1e 1e +-x x .解：（1）方法一 （配方法）∵y=1-,112+-x x 而,4343)21(122≥+-=+-x x x∴0＜,34112≤+-x x ∴.131<≤-y ∴值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31.方法二 （判别式法）由y=,122+--x x xx 得(y-1).0)1(2=+-+y x y x ∵y=1时,≠∴∅∈y x , 1.又∵∈x R ，∴必须∆=(1-y)2-4y(y-1)≥0.∴.131≤≤-y ∵,1≠y ∴函数的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31.（2）方法一 （单调性法） 定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21|x x ，函数y=x,y=-x 21-均在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,上递增，故y≤.21212121=⨯--∴函数的值域为⎥⎦⎤⎝⎛∞-21,.方法二 （换元法）令x 21-=t,则t≥0，且x=.212t -∴y=-21（t+1）2+1≤21（t≥0）,∴y∈（-∞，21］.（3）由y=1e 1e +-x x 得,e x =.11y y-+∵e x＞0,即yy-+11＞0,解得-1＜y ＜1.∴函数的值域为{y|-1＜y ＜1}. 变式训练3：求下列函数的值域： （1）y=521+-x x; (2)y=|x|21x -.解：（1）(分离常数法)y=-)52(2721++x ，∵)52(27+x ≠0,∴y≠-21.故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-21}.(2)方法一 (换元法)∵1-x 2≥0,令x=sin α,则有y=|sin αcos α|=21|sin2α|, 故函数值域为［0，21］.方法二 y=|x|·,41)21(122242+--=+-=-x x x x∴0≤y≤,21即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0.例4．若函数f （x ）=21x 2-x+a 的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值. 解：∵f（x ）=21(x-1)2+a-21.∴其对称轴为x=1，即［1，b ］为f （x ）的单调递增区间. ∴f（x ）min =f （1）=a-21=1 ① f （x ）max =f （b ）=21b 2-b+a=b ②由①②解得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,23b a变式训练4：已知函数f(x)=x 2-4ax+2a+6 (x∈R).（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a 的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.解： (1）∵函数的值域为［0，+∞),∴Δ=16a 2-4(2a+6)=0⇒2a 2-a-3=0∴a=-1或a=23.（2）对一切x∈R ，函数值均非负,∴Δ=8(2a 2-a-3)≤0⇒-1≤a≤23,∴a+3＞0,∴f(a)=2-a(a+3)=-a 2-3a+2=-(a+23)2+417(a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,1).∵二次函数f(a)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1上单调递减，∴f（a ）min =f )23(=-419，f （a ）max =f （-1）=4， ∴f(a)的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,419.1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义. 2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.小结归纳。

高中数学教学备课教案函数的定义域与值域高中数学教学备课教案函数的定义域与值域介绍：函数是数学中的重要概念，对于高中数学教学来说，理解函数的定义域与值域是非常关键的。

本教案将围绕函数的定义域与值域展开，旨在帮助学生深入理解函数的特性和应用。

一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是两个集合之间的对应关系，其中一个集合称为定义域，另一个集合称为值域。

在数学中，我们常以字母f表示函数，用x表示定义域中的元素。

1.2 定义域的确定定义域是函数中可以取得实际意义的自变量的取值范围。

它由函数的解析式、图像、实际问题和常识共同确定。

1.3 值域的确定值域是函数在定义域上所有可能的取值的集合。

通过函数的解析式、图像以及实际问题，我们可以较为准确地确定函数的值域。

二、定义域的常见类型有理函数是指可以表示为两个多项式的比值的函数。

有理函数的定义域通常由其分母的零点确定。

2.2 幂函数及其定义域幂函数是指以x为底数的指数函数，形如f(x) = x^a。

对于幂函数，定义域为实数集。

2.3 指数函数及其定义域指数函数是以一个正实数为底的指数函数，形如f(x) = a^x。

对于指数函数，定义域为实数集。

2.4 对数函数及其定义域对数函数是指以一个正实数为底的对数函数，形如f(x) = loga(x)。

对于对数函数，定义域为正实数集。

三、值域的常见类型3.1 有界函数及其值域有界函数是指在定义域上，函数的值上下都有限制的函数。

值域是一个有限的区间。

3.2 无界函数及其值域无界函数是指函数在定义域上，函数的值没有上下限的函数。

值域为整个实数集。

单调递增函数是指在定义域上，随着自变量的增大，函数值也随之增大的函数。

值域为一个区间。

3.4 单调递减函数及其值域单调递减函数是指在定义域上，随着自变量的增大，函数值反而减小的函数。

值域为一个区间。

结论：通过本教案，我们对高中数学中函数的定义域和值域有了更深入的理解。

定义域是函数自变量的取值范围，它由函数的解析式、图像、实际问题和常识共同确定。

2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】第二章 函数与基本初等函数I第02节 函数的定义域、值域及函数的解析式一、课前小测摸底细1.【教材改编】若c bx x x f ++=2)(，且0)1(=f ，0)3(=f ，则=-))1((f f （ ） A.8- B. 8 C. 32 D.292.【2014年高考安徽卷】设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A.21 B. 23 C.0 D.21-3.【2014年高考江西卷】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）A.)1,0(B. ]1,0[C. ),1()0,(+∞-∞D. ),1[]0,(+∞-∞ 【答案】C【解析】由题意得02>-x x ，解得0<x 或1>x ，所以选C. 4.函数xy 416-=的值域是 . 【答案】)4,0[【解析】由已知得164160<-≤x，所以4164160=<-≤x，即函数x y 416-=的值域是)4,0[.5.已知定义域为R |{∈x x ，且}1≠x 的函数)(x f 满足1)(21)11(+=-x f x f ，则=)3(f .二、课中考点全掌握 考点1：函数的定义域 【题组全面展示】【1-1】【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 . 【答案】]6,0(【解析】由题意可得:612log 0x -≥,可得61log 2x ≤，解得06x <≤. 【1-2】【2012年天津耀华中学月考】已知)(x f 的定义域为]21,21[-，则函数)21(2--x x f 的定义域为 .【1-3】【2012年天津耀华中学月考】已知函数)23(x f -的定义域为]2,1[-，则函数)(x f 的定义域为 ．【1-4】【2012年合肥模拟】若函数122)(2+-+=a ax x x f 的定义域为R ，则a 的取值范围为________．【1-5】【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学（文科）】函数234y x x =--+的定义域为( )A. (4,1)--B. (4,1)-C. (1,1)-D. (1,1]- 【答案】C【解析】由题意得210340x x x +>⎧⎨--+>⎩，解得11x -<<，所以所求函数的定义域为(1,1)-.综合定评：当函数解析式是由两个或两个以上数学式的和、差、积、商的形式时，定义域是使各个部分有意义的公共部分的集合，要注意全面考虑问题，不逆漏.第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域或由)]([x g f 的定义域确定函数()f x 的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．【新题变式探究】【变式一】【广东省佛山市一中2014届高三10月考】函数12()ln1xf x x x =+-的定义域为 ( ) A ．),0(+∞ B ．),1(+∞ C ． )1,0(),+∞【变式二】【苏北四市2014届高三第一次质量检测】 函数()lg(23)x x f x =-的定义域为 ．考点二：函数的解析式【题组全面展示】【2-1】已知是一次函数，并且(())43f f x x =+，求()f x .【2-2】【湖北孝感高中2014届高三年级九月调研考试】已知()y f x =是定义在R 上周期为4的奇函数，且02x ≤≤时，2()2f x x x =-，则1012x ≤≤时，()f x =_________________.【2-3】已知x xf lg )12(=+，则=)(x f .【2-4】已知)(x f )是二次函数，若0)0(=f ，且1)()1(++=+x x f x f ，试求)(x f 的表达式． 【答案】x x x f 2121)(2+=【解析】设)0()(2≠++=a c bx ax x f ， 由0)0(=f 知0=c ，所以bx ax x f +=2)(， 又由1)()1(++=+x x f x f ，得1)1()1(22+++=+++x bx ax x b x a ， 即1)1()2(22+++=++++x b ax b a x b a ax ， 故有⎩⎨⎧=++=+112b a b b a ，解得21==b a ，所以x x x f 2121)(2+=. 【2-5】若函数)0()(≠+=a bax xx f ，1)2(=f ，又方程x x f =)(有唯一解，求)(x f 的解析式．综合点评：已知函数解析式的类型，一般用待定系数法求解，对含有参数的解析式，一般根据已知条件及函数的性质求出参数，从而得到其解析式. 【基础知识重温】1. 函数的表示法：解析法；列表法；图象法. 2．函数的三要素：定义域、值域和对应关系. 【方法规律技巧】1.求函数的解析式的常用方法：○1代入法：如已知2()1,f x x =-求2()f x x +时，有222()()1f x x x x +=+-.○2待定系数法：已知()f x 的函数类型，要求()f x 的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可.○3拼凑法：已知[()]f g x 的解析式，要求()f x 的解析式时，可从[()]f g x 的解析式中拼凑出“()g x ”，即用()g x 来表示，，再将解析式的两边的()g x 用x 代替即可.○4换元法：令()t g x =，在求出()f t 的解析式，然后用x 代替()f t 解析式中所有的t 即可.○5方程组法：已知()f x 与[()]f g x 满足的关系式，要求()f x 时，可用()g x 代替两边的所有的x ，得到关于[()]f g x 的方程组，解之即可得出()f x .○6赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式. 【新题变式探究】【变式一】下列函数中，不满足)2()(2x f x f =的是( )A ．x x f -=)(B ．||)(x x f =C ．||)(x x x f -=D ．1)(+=x x f【变式二】【湖北孝感高中2014届高三年级九月调研考试】已函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,在[0,1]上()()2ln 11xf x x =++-.（1）求函数()f x 的解析式；并判断()f x 在[]1,1-上的单调性(不要求证明); （2）解不等式()()22110f x f x -+-≥．考点三：函数的值域【题组全面展示】【3-1】【北京北师特学校2013届高三第二次月考】函数21y x =-的定义域是(,1)[2,5)-∞，则其值域是（ ） A.1(,0)(,2]2-∞ B.(,2]-∞ C.1(,)[2,)2-∞+∞ D.(0,)+∞【3-2】【湖北孝感高中2014届高三年级九月调研考试文】若函数()(0,1)xf x a a a =>≠在[]2,1-上的最大值为4，最小值为m ，则m 的值是 .【3-3】【湖北省重点中学2014届高三10月阶段性统一考试（文）】已知函数()()()()cos 0260x x f x f x x ππ⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-<⎩，则()5f -等于（ ）A.12 B.12- C.32 D.32- 【答案】A【解析】()()()()cos 0260x x f x f x x ππ⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-<⎩，()()5155cos sin 2662f f πππ⎛⎫∴-==-==⎪⎝⎭，故选A. 【3-4】【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考】已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<．（1）求函数()f x 的定义域 ；（2）若函数()f x 的最小值为4-，求实数a 的值．【3-5】【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考】已知函数[]6,2,12)(∈-=x x x f ，试判断此函数)(x f 在[]2,6x ∈上的单调性，并求此函数)(x f 在[]2,6x ∈上的最大值和最小值.综合点评：1. 若已知函数)(x f 的定义域为],[b a ，则函数)]([x g f 的定义域由不等式b x g a ≤≤)(求出；2.若已知函数))((x g f 的定义域为],[b a ，则)(x f 的定义域为)(x g 在],[b a x ∈时的值域．3.求解定义域为R 或值域为R 的函数问题时，都是依据题意，对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法．【基础知识重温】1.在函数)(x f y =中与自变量x 相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域..函数的值域与最值均在定义域上研究.函数值域的几何意义是对应函数图像上纵坐标的变化范围.2.函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．在函数概念的三要素中，值域是由定义域和对应关系所确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用． 【方法规律技巧】函数值域的求法:利用函数的单调性:若)(x f 是],[b a 上的单调增(减)函数,则)(a f ,)(b f 分别是)(x f 在区间],[b a 上取得最小(大)值,最大(小)值.利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围.利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.利用“分离常数”法:形如y=ax b cx d ++ 或2ax bx ey cx d++=+ (c a ,至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.利用换元法:形如y ax b cx d =+±+型,可用此法求其值域. 利用基本不等式法:导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域2.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．3.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部 分剔除.【新题变式探究】【变式一】【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考】已知函数2()21,()1xf xg x x =-=-，构造函数()F x 的定义如下：当|()|()f x g x ≥时，()|()|F x f x =，当|()|()f x g x <时，()()F x g x =-，则()F x ( )A ．有最小值0，无最大值B ．有最小值－1，无最大值C ．有最大值1，无最小值D ．无最大值，也无最小值【变式二】【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】方程083492sin sin =-+⋅+⋅a a a x x有解，则a 的取值范围（ ）A.0>a 或8-≤aB.0>aC.3180≤<aD.2372318≤≤a【答案】D 【解析】方程083492sin sin =-+⋅+⋅a a a x x有解，即sin 282(31)1x a+=+，因为1sin 1x -≤≤, 所以sin 1333x≤≤，sin 2322(31)329x ≤+≤，即3281329a ≤+≤，解得8723123a ≤≤.三、易错试题常警惕例1.已知函数(1)2f x x x +=+，求函数()f x 的解析式.例2.设函数2(0)()2(0)x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，若(2)(0)f f -=，(1)3f -=-，则关于x 的方程()f x x =的根的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411。

函数的定义域和值域教案【教案】一、教学目标：1.了解函数的定义域和值域的概念；2.掌握求函数的定义域的方法；3.掌握求函数的值域的方法；4.能够应用所学知识解决实际问题。

二、教学内容：1.函数的定义域和值域的概念；2.求函数的定义域的方法；3.求函数的值域的方法；4.实际问题的应用。

三、教学过程：1.引入（1）复习巩固：复习一元一次方程和二元一次方程的求解方法。

（2）引入新知：通过实际问题引入函数的概念。

比如：某老师设置的体测项目中，小明的体重与身高呈正比关系，我们可以用函数的方式来表达这个关系。

2.教学展开（1）定义域- 介绍函数的定义域的概念：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合。

- 通过例题讲解：比如给出函数f(x) = √(x + 2)，问函数 f(x) 的定义域是什么？我们可以解方程x + 2 ≥ 0，得到x ≥ -2，所以函数的定义域为 [-2, +∞)。

（2）值域- 介绍函数的值域的概念：函数的值域是指因变量可能取到的值的集合。

- 通过例题讲解：比如给出函数 f(x) = x^2，问函数 f(x) 的值域是什么？我们可以通过计算函数的图像或者利用二次函数的性质知道，该函数的值域为[0, +∞)。

（3）求解定义域和值域的方法总结：- 定义域的求解方法：根据函数中涉及到的有限性、无理数和分式的限制条件，来确定定义域的范围。

- 值域的求解方法：根据函数的图像或者利用函数的性质来判断函数的取值范围。

3.实践应用通过实际问题的应用来巩固所学内容：（1）例题一：某物体下落的高度与时间的关系可以表示为函数 h(t) = 9.8t^2/2，其中 t 为时间，单位为秒。

请问该函数的定义域和值域分别是什么？- 解答：根据物理知识，时间 t 为正值，所以函数的定义域为 [0,+∞)；而高度 h(t) 不会是负值，所以函数的值域为[0, +∞)。

（2）例题二：某商品的销售价格与销售数量的关系可以表示为函数 p(x) = 100 - 2x，其中 x 为销售数量，单位为件。

2.1函数及其表示一、学习目标:考纲点击：理解函数的有关概念热点提示：1.函数是高考数学的核心内容，在历年高考中，函数知识覆盖面广、综合性强，在难中易各类考题中都会出现。

而在江苏高考中，函数题的难度一般偏大，同其他省比有其独特性。

2、本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要素及表示法为主，同时函数的图像，分段函数的考查是热点，另外，实际问题中的建模能力也经常考查。

本节复习重点:函数的定义域和表达式二、知识要点：1.函数的概念定义:设A,B 是___________,如果按照某种对应法则f,对于集合A 中的______，在集合B 中都有______元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数记作____________. 其中,x 叫做______,x 的取值范围A 叫做函数的_______;与x 的值相对应的y 的值叫做______,函数值的集合{ f(x) |x ∈A}叫做函数的_______.2.函数的三要素:①_________;②__________________;③_________ 。

注：两个函数当且仅当_______和________，都相同时，才称作相同的函数.3．常用的函数表示法（1）解析法：；（2）列表法：；（3）图象法：。

4．分段函数5．复合函数若y =f (u)，u=g(x ),x ∈ (a ，b )，u∈ (m,n)，那么y =f [g(x )]称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是g(x )的值域。

三、课前检测：1. (09山东理)定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为________2.（09福建文）下列函数中，与函数y= 有相同定义域的是（ ） A .()ln f x x = B.1()f x x =C. ()||f x x =D.()x f x e = 3. （09江西理）函数y =的定义域为________4. （09北京文）已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =，则x = .5. .（09安徽理）已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 .四．经典例题：热点考向一：求函数定义域例1:（1）求函数02)4(1||21)(-+-+-=x x x x f 的定义域。

2.2函数的值域与最值一、学习目标:考纲点击：掌握函数的值域的基本求法热点提示：求函数值域比求函数定义域要复杂得多，求值域常和求函数最值问题紧密相关，历届高考试卷中经常出现，要适当注意。

近年偏向利用导数知识来求有关最值（极值）问题和抽象函数的取值问题。

二、知识要点：求值域的常用方法1、观察法2、反函数法3、分离常数法4、配方法5、判别式法6、单调性法7、基本不等式法8、数形结合法9、导数法10、换元法三、课前检测：1.（09辽宁卷文）已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1()2x；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝_________2.（08四川卷）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =________3.（08江西）若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是____________4.（08陕西）定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(3)f -=__________5.（08江苏）()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ． 6.(08浙江）已知t 为常数，函数t x x y --=22在区间[0，3]上的最大值为2，则t=___。

四．经典例题：1、直接观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1 求函数的值域（1）y = x1 （2）y = 3 -x2 、配方法：配方法是求二次函数值域最基本的方法之一，利用二次函数的有关性质、图象作出分析，特别是求某一给定区间的最值与值域。

此方法一般可解决形如 y = a [f(x)]2 + b f(x) + c (a ≠0)的函数的值域与最值例2 、求函数的值域（1）y=2x -2x+5，x ∈[-1，2] （2）y = sin 2x - 6sinx + 2（3）y=cos2x-6sinx+23 、判别式法一般地，求形如 y = 22ax bx c Ax Bx C++++的有理分式函数的值域，可把原函数化成关于x 的一元二次方程： f(y)x 2 +g(y)x+ψ(y) = 0,根据方程的判别式Δ＝g 2(y) - 4f(y)ψ(y)≥0求出y 的取值范围，从而得出原函数的值域。

2015届高考数学教材知识点复习函数的定义域和值域导学案【学习目标】1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．了解简单的分段函数，并能简单应用．预习案1．函数的定义域(1)求定义域的步骤：①写出使函数式有意义的不等式(组)；②解不等式(组)；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)(2)函数f(x)＝x0的定义域为；(3)指数函数的定义域为；对数函数的定义域为．2．函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是．(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为；当a(3)y＝kx(k≠0)的值域是．(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是．(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是．【预习自测】1．函数y＝1log2 x－2 的定义域是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(2,3)∪(3，＋∞)D．(2,4)∪(4，＋∞) 2．若函数y＝f(x)的定义域是，则函数g(x)＝f 2x x－1的定义域是() A．B．D．(0,1)3．函数y＝log0.3(x2＋4x＋5)的值域为________．4．函数y＝x2＋3x2＋2的值域为________．探究案题型一函数的定义域例1.(1)函数y＝1log0.5 x－1 的定义域为．(2)函数y＝1loga x－1 (a>0且a≠1)的定义域为．(3)函数f(x)＝x＋2x2lg |x|－x 的定义域为探究1.求函数y＝25－x2＋lgcosx的定义域．例2.(1)已知y＝f(x)的定义域为，求y＝f(3x－1)的定义域．(2)已知y＝f(log2x)的定义域为，求y＝f(x)的定义域．探究2.(1)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(2)若函数f(2x)的定义域是，则f(log2x)的定义域为．题型二函数的值域例3.求下列函数的值域：(1)y＝1－x21＋x2；(2)y＝－2x2＋x＋3；(3)y＝x＋1x＋1；(4)y＝x－1－2x；(5)y＝x＋4－x2；(6)y＝|x＋1|＋|x－2|.探究3.(1).函数的值域为()A．(－∞，12]B．12，1]C．12，1)D．12，＋∞)(2)函数y＝2－sinx2＋sinx的值域是．(3)函数y＝x2＋x＋1x＋1的值域为．题型三定义域与值域的应用例4.已知函数f(x)＝lg．(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．探究4.已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6，x∈R.(1)若函数的值域为我的学习总结：（1）我对知识的总结.（2）我对数学思想及方法的总结。

高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 教案 文专题二 函数与导数【重点知识回顾】1．函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势．函数的图象也是高考命题的热点之一．近几年来考查导数的综合题基本已经定位到压轴题的位置了．2．对于函数部分考查的重点为：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性对称性和函数的图象；指数函数、对数函数的概念、图象和性质；应用函数知识解决一些实际问题；导数的基本公式，复合函数的求导法则；可导函数的单调性与其导数的关系，求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【典型例题】 1．函数的性质与图象函数的性质是高考考查的重点内容．根据函数单调性和奇偶性的定义，能判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，掌握求函数最大值和最小值的常用方法．函数的图象是函数性质的直观载体，能够利用函数的图象归纳函数的性质．对于抽象函数一类，也要尽量画出函数的大致图象，利用数形结合讨论函数的性质．例1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（ ）答案：BA B C D解析：在选项B 中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．点评：函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视．例2．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=答案：-8解析：因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-，344x x +=．所以12341248x x x x +++=-+=-．点评：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．2．函数与解方程、不等式的综合问题函数与方程、不等式、数列是密切相关的几个部分，通过建立函数模型来解决有关他们的综合问题是高考的考查方向之一，解决该类问题要善于运用转化的思想方法，将问题进行不断转化，构建模型来解决问题．例2．x 为何值时，不等式()23log log 2-<x x m m 成立．解析：当1>m 时，212132023023022<<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x ． 当10<<m 时，21322132023023022><<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x x x 或或． 故1>m 时，21<<x ．10<<m 时，2132><<x x 或为所求．点评：该题考查了对数不等式的解法，其基本的解题思路为将对数不等式转化为普通不等式，需要注意转化之后x 的范围发生了变化，因此最后要检验，或者转化时将限制条件联立．3．函数的实际应用函数的实际运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，考生应具备用初等数学思想方法研究函数的能力，运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．例3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积购地总费用）解析：设楼房每平方米的平均综合费为y 元，依题意得：*21601000010800(56048)56048(10,)2000y x x x x N x x⨯=++=++≥∈．则21080048y x '=-，令0y '=，即210800480x -=，解得15x =． 当15x >时，0y '>；当015x <<时，0y '<， 因此，当15x =时，y 取得最小值，min 2000y =元．答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．点评：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题．利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法．4．导数与单调性、极（最）值问题．导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数的单调性，极值、最值时，具有其独特的优越性，要理解导数的几何意义，熟练导数的运算公式，善于借助导数解决有关的问题．例4．已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠． （1）当b a ,满足什么条件时，)(x f 取得极值?（2）已知0>a ，且)(x f 在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围． 解析： （1）由已知得2'()21f x ax bx =++，令0)('=x f ，得2210ax bx ++=，)(x f 要取得极值，方程2210ax bx ++=必须有解，所以△2440b a =->，即2b a >， 此时方程2210ax bx ++=的根为：122b b x a a ---==，222b b x a a--+==，所以12'()()()f x a x x x x =-- 当0>a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值． 当0<a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值． 综上，当b a ,满足2b a >时，)(x f 取得极值．（2）要使)(x f 在区间(0,1]上单调递增，需使2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立．即1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立，所以max 1()22ax b x≥--， 设1()22ax g x x =--，2221()1'()222a x a a g x x x -=-+=， 令'()0g x =得x =或x =舍去)，当1>a 时，101a <<，当x ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--单调增函数；当x ∈时'()0g x<，1()22ax g x x =--单调减函数，所以当x =()g x取得最大，最大值为g = 所以b ≥ 当01a <≤1≥，此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立， 所以1()22ax g x x=--在区间(0,1]上单调递增，当1x =时()g x 最大，最大值为1(1)2a g +=-，所以12a b +≥-．综上，当1>a 时， b ≥01a <≤时， 12a b +≥-．点评：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值．运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题．【模拟演练】1．函数22log 2xy x-=+的图象（ ） A ． 关于原点对称 B ．关于主线y x =-对称 C ． 关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 2． 定义在R 上的偶函数()f x 的部分图象如右图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是（ ）A ．21y x =+ B ． ||1y x =+C ． 321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩D ．,,0x x e x oy e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩3．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ． (80)(11)(25)f f f <<-C ． (11)(80)(25)f f f <<-D ． (25)(80)(11)f f f -<<4． 定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为 ．5． 已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ．6．已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -= （I ）试用含a 的代数式表示b ； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点．7．已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）设函数1()()3g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值．【参考答案】 1．答案：A解析：由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A ． 2．答案：C解析：根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在()2,0-上单调递减，注意到要与()f x 的单调性不同，故所求的函数在()2,0-上应单调递增．而函数21y x =+在(],1-∞上递减；函数1y x =+在(],0-∞时单调递减；函数321,01,0x x y x x +>⎧=⎨+<⎩在（,0]-∞上单调递减，理由如下y ＇=3x 2>0(x<0)，故函数单调递增，显然符合题意；而函数,0,0x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，有y ＇=-x e -<0(x<0)，故其在（,0]-∞上单调递减，不符合题意，综上选C ． 3． 答案：D解析：因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，则)1()25(-=-f f ，)0()80(f f =，)3()11(f f =，又因为)(x f 在R 上是奇函数， (0)0f =，得0)0()80(==f f ，)1()1()25(f f f -=-=-，而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以0)0()1(=>f f ，所以0)1(<-f ，即(25)(80)(11)f f f -<<，故选D ． 4．答案：1解析：由已知得2(1)log 21f -==，(0)0f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)(1)(0)1f f f =-=-，(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=，(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=，(5)(4)(3)1f f f =-=，(6)(5)(4)0f f f =-=， 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现．，所以f （2009）= f （5）=1． 5．答案：21y x =-解析：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得：2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =， ∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=． 6．解析：（I ）依题意，得2'()2f x x ax b =++， 由'(1)120f a b -=-+=得21b a =-． （Ⅱ）由（I ）得321()(21)3f x x ax a x =++-， 故2'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-， 令'()0f x =，则1x =-或12x a =-， ①当1a >时，121a -<-，当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --． ②由1a =时，121a -=-，此时，'()0f x ≥恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调区间为R ；③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --．综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --（Ⅲ）当1a =-时，得321()33f x x x x x=--，由2'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=．由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在121,3x x =-=处取得极值，故5(1,),(3,9)3M N --，所以直线MN 的方程为813y x =--，由32133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得32330x x x --+= 解得1231, 1.3x x x =-==，1233121135119,,33x x x y y y =-=⎧⎧=⎧⎪⎪∴⎨⎨⎨=-==-⎩⎪⎪⎩⎩， 所以线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点11(1,)3-． 7．解析：（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……① 又2()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……② 联立①②，解得1,1b c =-=．所以函数的解析式为32()22f x x x x =-+-．（II ）因为321()223g x x x x mx =-+-+．令21()34103g x x x m '=-++=．当函数有极值时，则0∆≥，方程2134103x x m -++=有实数解， 由4(1)0m ∆=-≥，得1m ≤． ①当1m =时，()0g x '=有实数23x =，在23x =左右两侧均有()0g x '>，故函数()g x 无极值； ②当1m <时，()0g x '=有两个实数根1211(2(2x x =-=+(),()g x g x '情况如下表：所以在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值；当1(23=-x 时，()g x 有极大值；当1(23=x 时，()g x 有极小值．.精品资料。

江苏省包场高级中学2015届高考数学一轮复习 2.2 函数的定义域、值域学案一、考点要求：内 容要 求 A BC 函数概念与基本初等函数I函数的概念√二、学习目标：了解函数定义域、值域的概念；掌握基本初等函数的定义域、值域；会求简单函数的定义域和值域。

三、课前热身：1．(2012江苏3)函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ． 2．若函数222(1)(1)1y a x a x a =-+-++ 的定义域为R ，则实数a 的取值范围为________. 函数的定义域：3.（2010重庆文）函数x y 416-=的值域为 .4.（2010苏北12）已知函数[]b a x x x x f ,,2)(2∈-=的值域为[]3,1-，则a b -的取值范围是 . 函数的值域：5.函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数；②存在[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域为[,]b a --．那么()y f x =叫做对称函数．现有()2f x x k =--是对称函数，那么k 的取值范围是 ．四、例题选讲：例1：求下列函数的定义域：(1)y ＝x ＋1＋x －0－x ；(2若函数)(x f y =的定义域是[]2,0，求函数1)2()(-=x x f x g 的定义域.变式：已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，那么g (x )＝f x 21＋x ＋的定义域是___________________．例2：求下列函数的值域：（1）234y x x =--+； （2）21xy x =+； （3）12y x x =++-； （4）12y x x =--； （5）11y x x =++-；（6）231xy x x =++；（7） 2sin 1cos 2x y x +=+；五、课堂检测：1.已知(21)f x +的定义域为[1,3]，则()f x 的定义域为________. 2．函数24xy x =+的值域是_____________ 3．函数2lg(2)y x x m =++的定义域为R ，则实数m 的取值范围为____________； 4．规定符号“*”表示一种运算，即,,a b ab a b a b R *=++∈，已知17k *=，则函数()f x k x =*的值域为_______；六、反思感悟：1、求函数的值域主要方法：① 具体函数法；②配方法；③换元法；④基本不等式法；⑤数形结合法；⑥几何法；⑦函数法；⑧导数法等 2、注意在求函数的值域时应先求函数的定义域； 七、千思百练：1.设函数)1ln()(x x f -=的定义域为M ，x x x g +-=11)(2的定义域为N ，则=N M . 2.设函数f (x )＝－x 2－2x ＋15，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则A ∩B ＝________.3.已知223()43x f x kx kx +=++，（1）若()f x 得定义域为R ，则实数k 的取值范围为 ；（2）若()f x 的定义域为(6,2)-，则实数k 的值为 。

函数的定义域和值域教案模板【前导部分】（引入概念，简述重要性）函数的定义域和值域是数学中非常重要的概念。

函数的定义域指的是自变量的取值范围，而值域指的是函数在定义域内能够取到的所有函数值。

了解一个函数的定义域和值域，有助于我们理解函数的性质和应用，能够更好地解决与函数相关的问题。

【正文部分】一、定义域的概念及判定方法在介绍函数的定义域之前，我们先回顾一下函数的定义。

函数是一种将一个集合中的元素与另一个集合中的元素建立起对应关系的规则。

在函数的定义中，自变量是我们输入的元素，而函数值则是和输入元素对应的输出。

1. 定义域的概念函数的定义域是指在这个函数中，自变量可以取哪些值。

在数学中，我们通常用一组数的集合来表示定义域。

2. 判定定义域的方法a. 对于代数式函数，我们需要注意函数中是否存在某些禁止的运算，例如分母为零的情况，以及根号内是负数的情况；b. 对于分段函数，我们则需要考虑每一段函数的定义域，并求取它们的交集。

二、值域的概念及判定方法1. 值域的概念函数的值域是函数在定义域内可以取到的所有函数值所组成的集合。

换句话说，值域是函数在纵坐标上的投影。

2. 判定值域的方法针对不同类型的函数，我们有不同的方法来判定其值域：a. 对于线性函数，我们可以通过函数的斜率来判断值域的范围；b. 对于二次函数，我们可以观察其开口方向和顶点坐标，从而确定值域的区间；c. 对于三角函数，我们则需要根据其周期性、奇偶性等特点来判定值域；d. 对于指数函数和对数函数，我们需要注意底数和对数的取值范围等条件。

【拓展应用】函数的定义域和值域不仅仅在数学中有重要的应用，也在其他学科中发挥着重要的作用。

1. 物理学中的应用在物理学中，我们经常需要建立各种物理量之间的函数关系。

函数的定义域和值域在解决物理问题时能够帮助我们确定物理量的取值范围、判断物理规律的适用范围等。

2. 经济学中的应用在经济学中，函数的定义域和值域能够帮助我们确定经济模型中各个变量的取值范围，理解经济规律的限制条件，以及进行经济政策的制定和分析。

▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生█ ■ ▓第二十七教时教材：函数的应用举例一目的：让学生熟悉借助“几何图形”和“计算利润”两种常见类型的应用问题。

过程：一、应用问题的解答绝大部分是通过建立模型（常常是函数模型）并借助图 象和性质来进行研究的，研究结果再应用于实践。

1． 数学模型来源于实践，是实际问题的抽象和概括，因此首先必须对实际问题要有深刻的理解。

2． 其次，应不断培养自己的抽象概括能力和坚实的数学基础。

3． 最后，当然需要有较强的运算能力。

二、例一 （课本P90）有一块半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上。

写出这个梯形周长y与腰长x 间的函数式，并写出它的定义域。

分析：关键是用半径R 与由对称性：CD=AB -2AE 因此只要求AE 解：设腰长AD=BC=x 作DE ⊥AB 垂足为E 连结BD 则∠ADB=90︒ 由此：Rt △ADE ∽Rt △ABDAB ⋅ R x AE 22= ∴R x R AE AB CD 222-=-= ∴周长R x Rx R x R x R y 42)2(2222++-=-++= ∵ABCD 是圆内接梯形 ∴0,0,0>>>CD AE AD{}R x x R x R Rx x 20|020022<<⇒>->> 《课课练》 P98 3 —此题作为作业例二 如图，已知⊙O 的半径为R ，由直径AB 的端点B 作圆的切线，从圆周上任一点P 引该切线的垂线，垂足为M ，连AP 设AP=x1． 写出AP+2PM 关于x 的函数关系式 2．求此函数的最值解：1．过P 作PD ⊥AB 于D ，连PB 设AD=a 则a R x ⋅=22R x a 22= Rx R PM 222-=▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ ∴R x Rx PM AP x f 42)(2++-=+= )20(R x ≤≤2．417)2(1)(2R R x R x f +--= 当2R x =时R x f 417)(max = 当R x 2=时R x f 2)(min = 例三 《教学与测试》34课 例一 （P69） 距离船只方向100海里处有一船只B ，以每小时20北偏西60︒角的方向行驶，A 船只以每小时15向正北方向行驶，两船同时出发，问几小时后两船相 解：设t 小时后A 行驶到点C ，B 行驶到点D ，则 过D 作DE ⊥BC 于E DE=BDsin60︒=103t BE=BDcos60︒=10t∴EC=BC+BE=100-5tCD=()()22225100310t t CE DE -+=+=1000010003252+-t t∴t =1320时CD 最小，最小值为200133，即两船行驶1320小时相距最近。

高中数学函数二教案模板
教学内容：高中数学
教学目标：
1. 理解函数的概念，掌握函数的定义和性质；
2. 掌握函数的运算，包括函数的加减乘除、函数的复合、函数的逆运算等；
3. 能够解决与函数相关的实际问题。

教学重点与难点：
1. 函数的定义和性质；
2. 函数的运算；
3. 实际问题的应用。

教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、电子白板；
3. 辅助资料：相关习题、实际问题。

教学步骤：
一、复习导入（5分钟）
1. 复习函数的定义和性质，并与学生讨论函数的概念；
2. 提出本节课的学习目标和重点。

二、函数的运算（10分钟）
1. 讲解函数的加减乘除运算，并进行相关练习；
2. 讲解函数的复合运算，并进行相关练习。

三、函数的逆运算（10分钟）
1. 讲解函数的逆运算，并进行相关练习；
2. 引导学生运用函数的逆运算解决实际问题。

四、综合练习（15分钟）
1. 给学生布置综合练习题，并让他们在课堂上完成；
2. 对学生的答题情况进行点评和讲解。

五、课堂总结（5分钟）
1. 对本节课的重点内容进行总结，并强调学习要点；
2. 提出下节课的预习任务。

教学反思：
本节课的教学重点是函数的运算和实际问题的应用，通过丰富的练习和例题，学生能够更好地掌握函数的相关知识和运用方法。

在教学过程中，要注重引导学生思考和解决问题的能力，提高他们对数学知识的理解和运用能力。

教学过程一、课堂导入函数的三要素为：定义域，值域，对应法则。

那么对于求函数的定义域及值域，我们一般都采用什么方法呢，本节课我们就一起来学习如何求解函数的定义域及值域二、复习预习1、函数的概念及三要素2、函数的表示方法三、知识讲解考点1 常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R .(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R .(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(6)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z . (7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．考点2 基本初等函数的值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y ≥4ac －b 24a ；当a <0时，值域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |y ≤4ac －b 24a .(3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0}．(5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R .(6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]．(7)y ＝tan x 的值域是R .考点3 分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间的关系分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集三、例题精析【例题1】【题干】(1)(2012·江苏高考)函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．(2)已知f(x)的定义域是[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域．【答案】(0， 6 ]【解析】(1)由1－2log6x≥0解得log6x≤12⇒0＜x≤6，故所求定义域为(0， 6 ]．(2)∵f(x)的定义域是[－2,4]，∴－2≤x2－3x≤4，由二次函数的图象可得，－1≤x≤1或2≤x≤4. ∴定义域为[－1,1]∪[2,4]【例题2】【题干】求下列函数的值域．(1)y＝x2＋2x，x∈[0,3]；(2)y＝x2－xx2－x＋1；(3)y＝log3x＋log x3－1.【解析】(1)(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵0≤x ≤3，∴1≤x ＋1≤4.∴1≤(x ＋1)2≤16. ∴0≤y ≤15， 即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]．(2)y ＝x 2－x ＋1－1x 2－x ＋1＝1－1x 2－x ＋1，∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴0<1x 2－x ＋1≤43， ∴－13≤y <1，即值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1.(3)y ＝log 3x ＋1log 3x －1，令log 3x ＝t ，则y ＝t ＋1t －1(t ≠0)，当x >1时，t >0，y ≥2 t ·1t －1＝1，当且仅当t ＝1t 即log 3x ＝1，x ＝3时，等号成立；当0<x <1时，t <0，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－t )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1t －1≤－2－1＝－3. 当且仅当－t ＝－1t 即log 3x ＝－1，x ＝13时，等号成立．综上所述，函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞).【例题3】【题干】若函数f(x)＝1x－1在区间[a，b]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1，则a＋b＝________.【答案】6【解析】∵由题意知x－1>0，又x∈[a，b]，∴a>1.则f(x)＝1x－1在[a，b]上为减函数，则f(a)＝1a－1＝1且f(b)＝1b－1＝13，∴a＝2，b＝4，a＋b＝6.【例题4】【题干】若函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，5C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，103【答案】 C【解析】令t ＝f (x )，则12≤t ≤3.易知函数g (t )＝t ＋1t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数，在[1,3]上是增函数． 又因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝52，g (1)＝2，g (3)＝103.可知函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.五、课堂运用【基础】1．已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是() A．f(x)＝x2＋a B．f(x)＝ax2＋1C．f(x)＝ax2＋x＋1 D．f(x)＝x2＋ax＋1解析：选C当a＝0时，f(x)＝ax2＋x＋1＝x＋1为一次函数，其定义域和值域都是R.2．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是()解析：选A A中定义域是[－2,2]，值域为[0,2]；B中定义域为[－2,0]，值域为[0,2]；C不表示函数；D中的值域不是[0,2]．3．函数y＝2－－x2＋4x的值域是()A．[－2,2] B．[1,2] C．[0,2] D．[－2， 2 ]解析：选C∵－x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4，0≤－x2＋4x≤2，－2≤－－x2＋4x≤0，0≤2－－x2＋4x≤2，∴0≤y≤2.【巩固】4．函数y＝16－x－x2的定义域是________．解析：由函数解析式可知6－x－x2>0，即x2＋x－6<0，故－3<x<2. 答案：(－3,2)5．(2013·厦门模拟)定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]，则函数f(x)的值域为________．解析：由题意知，f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈1，2].当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]，故当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6]． 答案：[－4,6]【拔高】6．下列函数中，与函数y＝1x有相同定义域的是()A．f(x)＝ln x B．f(x)＝1 xC．f(x)＝|x| D．f(x)＝e x解析：选A当x>0时，1x有意义，因此函数y＝1x的定义域为{x|x>0}．对于A，函数f(x)＝ln x的定义域为{x|x>0}；对于B，函数f(x)＝1x的定义域为{x|x≠0，x∈R}；对于C，函数f(x)＝|x|的定义域为R；对于D，函数f(x)＝e x的定义域为R.所以与函数y＝1x有相同定义域的是f(x)＝ln x.7．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负，∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32.∴a ＋3>0.∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. ∵二次函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4. ∴g (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4.课程小结1、求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合．(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2、妙求函数的值域(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解.。

第二讲 函数的定义域、值域知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 函数的定义域 函数y ＝f (x )的定义域1．求定义域的步骤：(1)写出使函数式有意义的不等式(组)； (2)解不等式(组)；(3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) 2．求函数定义域的主要依据 (1)整式函数的定义域为R . (2)分式函数中分母__不等于0__.(3)偶次根式函数被开方式__大于或等于0__. (4)一次函数、二次函数的定义域均为__R __. (5)函数f (x )＝x 0的定义域为__{x |x ≠0}__. (6)指数函数的定义域为__R __. (7)对数函数的定义域为__(0，＋∞)__. 知识点二 函数的值域 基本初等函数的值域：1．y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是__R __. 2．y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为__⎩⎨⎧y ⎪⎪⎭⎬⎫y ≥4ac －b 24a __；当a <0时，值域为__⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪y ≤4ac －b 24a __. 3．y ＝kx(k ≠0)的值域是__{y |y ≠0}__.4．y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是__(0，＋∞)__. 5．y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是__R __.归纳拓展1．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的__并集__.3．函数f (x )与f (x ＋a )(a 为常数a ≠0)的值域相同．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (2)函数y ＝xx －1定义域为x >1.( × ) (3)函数y ＝f (x )定义域为[－1,2]，则y ＝f (x )＋f (－x )定义域为[－1,1]．( √ ) (4)函数y ＝log 2(x 2＋x ＋a )的值域为R ，则a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，14.( √ ) (5)求函数y ＝x 2＋3x 2＋2的值域时有以下四种解法．判断哪种解法是正确的．[解法一](不等式法)：y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，∴值域为[2，＋∞)．( × )[解法二](判别式法)：设x 2＋2＝t (t ≥2)，则y ＝t ＋1t ，即t 2－ty ＋1＝0，∵t ∈R ，∴Δ＝y 2－4≥0，∴y ≥2或y ≤－2(舍去)．( × )[解法三](配方法)：令x 2＋2＝t (t ≥2)，则y ＝t ＋1t ＝⎝⎛⎭⎫t －1t 2＋2≥2.( × )[解法四](单调性法)：易证y ＝t ＋1t 在t ≥2时是增函数，所以t ＝2时，y min ＝322，故y∈⎣⎡⎭⎫322，＋∞.( √ )[解析] (4)y ＝log 2(x 2＋x ＋a )值域为R 应满足Δ≥0，即1－4a ≥0，∴a ≤14.题组二 走进教材2．(必修1P 17例1改编)函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( C ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)[解析] 使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2，故选C ．3．(必修1P 32T5改编)函数f (x )的图象如图，则其最大值、最小值分别为( B )A ．f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫－32 B ．f (0)，f ⎝⎛⎭⎫32 C ．f ⎝⎛⎭⎫－32，f (0) D ．f (0)，f (3)4．(必修1P 39BT1改编)已知函数f (x )＝x ＋9x ，x ∈[2,4]的值域为__⎣⎡⎦⎤6，132__. [解析] 当x ＝3时取得最小值6，当x ＝2取得最大值132，值域为⎣⎡⎦⎤6，132. 题组三 走向高考5．(2020·北京，11,5分)函数f (x )＝1x ＋1＋ln x 的定义域是__(0，＋∞)__.[解析] 要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，x >0，故x >0，因此函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．6．(2016·北京，5分)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为__2__. [解析] 解法一：(分离常数法)f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1，∴x ≥2，∴x －1≥1,0<1x －1≤1，∴1＋1x －1∈(1,2]，故当x ＝2时，函数f (x )＝xx －1取得最大值2.解法二：(反解法)令y ＝x x －1，∴xy －y ＝x ，∴x ＝y y －1.∵x ≥2，∴y y －1≥2，∴y y －1－2＝2－y y －1≥0，解得1<y ≤2，故函数f (x )的最大值为2.解法三：(导数法)∵f (x )＝xx －1，∴f ′(x )＝x －1－x (x －1)2＝－1(x －1)2<0，∴函数f (x )在[2，＋∞)上单调递减，故当x ＝2时，函数f (x )＝xx －1取得最大值2.考点突破·互动探究考点一 求函数的定义域——多维探究 角度1 求具体函数的定义域例1 (1)(2021·长春质检)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x 的定义域是( D )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)(2021·宣城八校联考期末)函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg (x ＋1)的定义域为( B )A ．(－1,3]B ．(－1,0)∪(0,3]C ．[－1,3]D ．[－1,0)∪(0,3][解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)要使函数有意义，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤3，所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,3]． 角度2 求抽象函数的定义域例2 已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( B ) A ．(－1,1) B ．⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D ．⎝⎛⎭⎫12，1[分析] 求抽象函数定义域的关键，f 后面括号内部分取值范围相同．[解析] 由函数f (x )的定义域为(－1,0)，则使函数f (2x ＋1)有意义，需满足－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，即所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－1，－12. [引申1]若将本例中f (x )与f (2x ＋1)互换，结果如何？ [解析] f (2x ＋1)的定义域为(－1,0)，即－1<x <0， ∴－1<2x ＋1<1，∴f (x )的定义域为(－1,1)．[引申2]若将本例中f (x )改为f (2x －1)定义域改为[0,1]，求y ＝f (2x ＋1)的定义域，又该怎么办？[解析] ∵y ＝f (2x －1)定义域为[0,1]．∴－1≤2x －1≤1，要使y ＝f (2x ＋1)有意义应满足－1≤2x ＋1≤1，解得－1≤x ≤0， 因此y ＝f (2x ＋1)定义域为[－1,0]．名师点拨函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f [g (x )]的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 〔变式训练1〕 (1)(角度1)函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( B )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2](2)(角度1)(2021·安徽芜湖检测)如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( D )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(3)(角度2)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为__[－1,2]__.[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.故选B ．(2)因为－2x ＋a >0，所以x <a 2，所以a2＝1，得a ＝2.故选D ．(3)因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]，所以y＝f (x )的定义域为[－1,2]．考点二 求函数的值域——师生共研例3 求下列函数的值域． (1)y ＝1－|x |1＋|x |；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x 2＋x ＋1x ；(4)y ＝x －1－2x ； (5)y ＝x ＋1－x 2； (6)y ＝|x ＋1|＋|x －2|.[解析] (1)解法一：分离常数法： y ＝1－|x |1＋|x |＝－1＋21＋|x |， ∵|x |≥0，∴|x |＋1≥1，∴0<2|x |＋1≤2.∴－1<－1＋21＋|x |≤1.即函数值域为(－1,1]． 解法二：反解法： 由y ＝1－|x |1＋|x |，得|x |＝1－y 1＋y.∵|x |≥0，∴1－y 1＋y ≥0，∴－1<y ≤1，即函数值域(－1,1]．(2)解法一：配方法：y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －142＋258， ∴0≤y ≤524，∴值域为⎣⎡⎦⎤0，524.解法二：复合函数法： y ＝t ，t ＝－2x 2＋x ＋3， 由t ＝－2x 2＋x ＋3，解得t ≤258，又∵y ＝t 有意义，∴0≤t ≤258，∴0≤y ≤524，∴值域为⎣⎡⎦⎤0，524.(3)y ＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1解法一：基本不等式法由y ＝x ＋1x ＋1(x ≠0)，得y －1＝x ＋1x .∵⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋⎪⎪⎪⎪1x ≥2|x |·⎪⎪⎪⎪1x ＝2， ∴|y －1|≥2，即y ≤－1或y ≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞) 解法二：判别式法由y ＝x 2＋x ＋1x ，得x 2＋(1－y )x ＋1＝0.∵方程有实根，∴Δ＝(1－y )2－4≥0. 即(y －1)2≥4，∴y －1≤－2或y －1≥2.得y ≤－1或y ≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞) 解法三：导数法(单调性法) 令y ′＝1－1x 2＝(x ＋1)(x －1)x 2<0，得－1<x <0或0<x <1.∴函数在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y ≥3； 函数在(－1,0)上递减，在(－∞，－1)上递增，此时y ≤－1. ∴y ≤－1或y ≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (4)解法一：换元法 设1－2x ＝t (t ≥0)，得x ＝1－t 22，∴y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1≤12(t ≥0)，∴y ∈⎝⎛⎦⎤－∞，12.即函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，12.解法二：单调性法∵1－2x ≥0，∴x ≤12，∴定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，12.又∵函数y ＝x ，y ＝－1－2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，12上均单调递增，∴y ≤12－1－2×12＝12，∴y ∈⎝⎛⎦⎤－∞，12. (5)三角换元法：设x ＝sin θ，θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， y ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， ∵θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴θ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∴sin(θ＋π4)∈⎣⎡⎦⎤－22，1，∴y ∈[－1，2]．(6)解法一：绝对值不等式法：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 所以函数值域为[3，＋∞)． 解法二：数形结合法：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1(x <－1)，3(－1≤x ≤2)，2x －1(x >2).画出此分段函数的图象如图，可知值域为[3，＋∞)．名师点拨求函数值域的一般方法(1)分离常数法：形如y ＝cx ＋d ax ＋b(a ≠0)的函数；如例3(1)．(2)反解法：形如y ＝cf (x )＋daf (x )＋b (a ≠0，f (x )值域易求)的函数；如例3(1)．(3)配方法：形如y ＝af 2(x )＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数；如例3(2)． (4)不等式法；如例3(3)．(5)单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进而确定值域．(6)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (c ≠0)的函数；如例3(4)；形如y ＝ax ＋b ±c 2－x 2(c ≠0)的函数采用三角换元，如例3(5)．(7)数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如例3(6)． (8)导数法． 〔变式训练2〕 (理)求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝x ＋41－x ； (3)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝⎛⎭⎫x >12.(文)函数y ＝x 2＋2x ＋3x －1(x >1)的值域为[解析] (理)(1)解法一：y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，因为x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<21＋x 2≤2.所以－1<－1＋21＋x 2≤1.即函数的值域为(－1,1]．解法二：由y ＝1－x 21＋x 2，得x 2＝1－y1＋y .因为x 2≥0，所以1－y1＋y≥0.所以－1<y ≤1，即函数的值域为(－1,1]． (2)设t ＝1－x ，t ≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t ≥0)，所以y ≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]． (3)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x (2x －1)＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12，因为x >12，所以x －12>0，所以x －12＋12x －12≥2⎝⎛⎭⎫x －12·12⎝⎛⎭⎫x －12＝2，当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号．所以y ≥2＋12，即原函数的值域为⎣⎡⎭⎫2＋12，＋∞. 导数法：y ′＝4x 2－4x ＋1(2x －1)2，∴y 在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1＋22递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22，＋∞递增，∴y ≥2＋12.(文)∵换元法：令x －1＝t >0，∴x ＝t ＋1.∴y ＝(t ＋1)2＋2(t ＋1)＋3t ＝t 2＋4t ＋6t ＝t ＋6t ＋4≥26＋4，当且仅当“t ＝6t ”时等号成立．即t ＝6时，取最小值26＋4.∴函数y ＝x 2＋2x ＋3x －1(x >1)的值域为[26＋4，＋∞)．名师讲坛·素养提升已知函数的定义域或值域求参数的取值范围例4 已知函数f (x )＝lg [(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．[分析] (1)由f (x )的定义域为R 知(a 2－1)x 2＋(a ＋1)·x ＋1>0的解集为R ，即(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0恒成立；(2)由f (x )的值域为R 知(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取所有正数，即y ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1图象的开口向上且与x 轴必有交点．[解析] (1)依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0，对一切x ∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1>0，Δ＝(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >1或a <－1，a >53或a <－1.∴a <－1或a >53.又a ＝－1时，f (x )＝1>0，满足题意． ∴a ≤－1或a >53. (2)依题意，只要t ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f (x )的值域为R ，故有a 2－1>0，Δ≥0，解得－1≤a ≤53，又当a 2－1＝0，即a ＝1时，t ＝2x ＋1符合题意；a ＝－1时不合题意，∴－1<a ≤53.名师点拨已知函数的定义域，等于是知道了x 的范围，(1)当定义域不是R 时，往往转化为解集问题，进而转化为与之对应的方程解的问题，此时常利用代入法或待定系数法求解；(2)当定义域为R 时，往往转化为恒成立的问题，常常结合图形或利用最值求解．〔变式训练3〕(1)已知函数y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8的定义域为R ，则实数m 的取值范围为__[0,1]__.(2)(2021·甘肃天水三中阶段测试)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则实数m 的取值范围是( C )A ．(0,4]B ．⎣⎡⎦⎤32，4C ．⎣⎡⎦⎤32，3D ．⎣⎡⎭⎫32，＋∞ [解析] (1)①当m ＝0时，y ＝8，其定义域为R .②当m ≠0时，由定义域为R 可知，mx 2－6mx ＋m ＋8≥0对一切实数x 均成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，Δ＝(－6m )2－4m (m ＋8)≤0， 解得0<m ≤1，∴m 的取值范围是[0,1]．(2)由x 2－3x －4＝－254得x ＝32；由x 2－3x －4＝－4，得x ＝0或x ＝3，又函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，∴32≤m ≤3. 另：由y ＝x 2－3x －4＝⎝⎛⎭⎫x －322－254，∴32≤m ≤3.。