高考数学第二章 函数与导数第12课时 导数在研究函数中的应用

第二章 第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例1.(2009·广东高考)函数 ( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞) 解析：f (x )＝(x －3)·e x ，f ′(x )＝e x (x －2)＞0， ∴x ＞2.∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)． 答案：D2.若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是 ( )A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2] 解析：因为h ′(x )＝2＋k x 2，所以h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋kx 2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)． 答案：A3．已知函数y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调减区间为________． 解析：根据题意a ＜0，b ＜0.由y ＝ax 3＋bx 2＋5，得y ′＝3ax 2＋2bx ， 令y ′＜0，可得x ＞0或x ＜－2b3a ，故所求减区间为(－∞，－2b3a)和(0，＋∞)． 答案：(－∞，－2b3a)和(0，＋∞)4．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)．若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求： (1)a 的值；(2)函数f (x )的单调区间． 解：(1)因f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1， 所以f ′(x )＝3x 2＋2ax －9 ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a23.即当x ＝－a 3时，f ′(x )取得最小值－9－a 23.因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9.解得a ＝±3，由题设a <0，所以a ＝－3. (2)由(1)知a ＝－3，因此f (x )＝x 3－3x 2－9x －1， f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3. 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(－∞，－1)上为增函数； 当x ∈(－1,3)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(－1,3)上为减函数；当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(3，＋∞)上为增函数．由此可见，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(－1,3)．5.(文)函数f (x )＝x 3a ＝ ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意有f ′(－3)＝0，所以3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，由此解得a ＝5. 答案：D(理)设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则 ( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＞－1e D ．a ＜－1e解析：由y ′＝(e x ＋ax )′＝e x ＋a ＝0得e x ＝－a ， 即x ＝ln(－a )＞0⇒－a ＞1⇒a ＜－1. 答案：A6.若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－2,2) B ．[－2,2] C ．(－∞，－1) D ．(1，＋∞) 解析：由f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)， 且当x ＜－1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝－1时函数f (x )有极大值，当x ＝1时函数f (x )有极小值．要使函数f (x )有3个不同的零点，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0，f (1)＜0.解之得－2＜a ＜2. 答案：A7．函数y ＝sin2x －x ，x ∈[－π2，π2]的最大值是________，最小值是________．解析：∵y ′＝2cos2x －1＝0，∴x ＝±π6.而f (－π6)＝－32＋π6，f (π6)＝32－π6，端点f (－π2)＝π2，f (π2)＝－π2，所以y 的最大值是π2，最小值是－π2答案：π2 －π28．(文)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 的距离为1010，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值， (1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值． 解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0. ① 当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′(23)＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0. ② 由①②解得a ＝2，b ＝－4. 设切线l 的方程为y ＝3x ＋m . 由原点到切线l 的距离为1010，则|m |32＋1＝1010， 解得m ＝±1.∵切线l 不过第四象限，∴m ＝1. 由于切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4. ∴1＋a ＋b ＋c ＝4，∴c ＝5； (2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， ∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－2，x ＝23.f (x )和f ′(x )的变化情况如下表：∴f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝13， 在x ＝23处取得极小值f (23)＝9527.又f (－3)＝8，f (1)＝4，∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.(理)已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx －2的图象在与x 轴交点处的切线方程是y ＝5x －10. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝f (x )＋13，若g (x )的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数g (x )取得极值时对应的自变量x 的值．解：(1)由已知，切点为(2,0)，故有f (2)＝0，即4b ＋c ＋3＝0. ① f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，由已知，f ′(2)＝12＋8b ＋c ＝5.得8b ＋c ＋7＝0. ② 联立①、②，解得c ＝1，b ＝－1， 于是函数解析式为f (x )＝x 3－2x 2＋x －2. (2)g (x )＝x 3－2x 2＋x －2＋13mx ，g ′(x )＝3x 2－4x ＋1＋m3，令g ′(x )＝0.当函数有极值时，Δ≥0，方程3x 2－4x ＋1＋m3＝0有实根，由Δ＝4(1－m )≥0，得m ≤1.①当m ＝1时，g ′(x )＝0有实根x ＝23，在x ＝23左右两侧均有g ′(x )＞0，故函数g (x )无极值．②当m ＜1时，g ′(x )＝0有两个实根， x 1＝13(2－1－m )，x 2＝13(2＋1－m )，当x 变化时，g ′(x )、g (x )的变化情况如下表：当x ＝13(2－1－m )时g (x )有极大值；当x ＝13(2＋1－m )时g (x )有极小值．9.已知对任意实数x ，x >0时， f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时 ( ) A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0 B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0 C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0 D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0解析：由题意知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数．当x ＞0时，f (x )，g (x )都单调递增，则当x ＜0时，f (x )单调递增，g (x )单调递减，即f ′(x )＞0，g ′(x )＜0. 答案：B10．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x ＞400)，则总利润最大时，每年生产的产品是 ( )A ．100B ．150C ．200D ．300 解析：由题意得，总成本函数为C ＝C (x )＝20 000＋100x ， 所以总利润函数为 P ＝P (x )＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000 (0≤x ≤400)，60 000－100x (x ＞400)，而P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x (0≤x ≤400)，－100 (x ＞400)，令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，P 最大． 答案：D11．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 ( )解析：对于图A 来说，抛物线为函数f (x )，直线为f ′(x )；对于图B 来说，上凸的曲线为函数f (x )，下凹的曲线为f ′(x )；对于图C 来说，下面的曲线为函数f (x )，上面的曲线f ′(x )．只有图D 不符合题设条件． 答案：D12．(2010·南通模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值，(1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围． 解：(1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′(－23)＝129－43＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝－12，b ＝－2，f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，函数f (x )的单调区间如下表：所以函数f (x )的递增区间是(－∞，－3)与(1，＋∞)，递减区间(－3，1)；(2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，当x ＝－23时，f (－23)＝2227＋c 为极大值，而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值，要使f (x )＜c 2，x ∈[－1,2]恒成立，则只需要c 2＞f (2)＝2＋c ，得c ＜－1，或c ＞2.。

13《导数在研究函数中的应用》选修导数是微积分中非常重要的概念，它被广泛应用在研究函数的各种性质中。

导数可以告诉我们函数在其中一点的变化速率，这对于理解函数的形态和性质非常有帮助。

在本文中，我们将介绍导数在研究函数中的应用，并探讨导数在不同领域中的重要性。

首先，导数在函数的极值问题中扮演着非常重要的角色。

通过求解函数的导数并找到导数为零的点，我们可以确定函数的极值点。

这些极值点可以告诉我们函数的最大值和最小值，帮助我们优化函数的性能。

在实际生活中，比如经济学中的成本函数和收益函数，通过求解导数我们可以找到最大利润的生产量或者最小成本的生产方式。

其次，导数在函数的连续性和光滑性的研究中也扮演着重要的角色。

通过求解函数的导数，我们可以判断函数在其中一点是否连续，或者函数是否具有一阶或者二阶导数。

这些信息对于理解函数的性态和特性非常有帮助。

在物理学中，速度和加速度分别是位移函数和速度函数的导数，通过求解导数我们可以得到精确的运动轨迹和加速度曲线。

另外，导数在函数的图像和曲线的绘制中也发挥着至关重要的作用。

通过求解函数的导数，我们可以找到函数的拐点和弯曲点，这些点对于绘制函数的准确曲线非常重要。

在工程学中，比如控制系统和信号处理中，求解导数可以帮助我们设计稳定和高效的系统。

最后，导数在函数的微分方程中也被广泛应用。

微分方程描述了函数和导数之间的关系，通过求解微分方程我们可以找到函数的解析解。

这对于预测和模拟函数的行为非常重要。

在生物学和医学中，通过建立生物系统的微分方程，我们可以模拟疾病的发展过程和治疗效果。

总之，导数在研究函数中的应用是非常广泛和重要的。

通过求解导数，我们可以研究函数的极值问题，连续性和光滑性，图像和曲线的绘制，以及微分方程的建模和求解。

导数不仅是微积分中的基本概念，也是现代科学和工程中不可或缺的工具。

希望本文可以帮助读者更好地理解导数在函数中的应用和重要性。

导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。

导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。

导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。

在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。

切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。

利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。

2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。

在函数的极值点上，导数等于零。

根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。

此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。

3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。

如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。

通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。

4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。

如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。

通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。

5.近似计算：导数还可以用于近似计算。

在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。

通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。

总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。

通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。

第2课时利用导数证明不等式构造函数证明不等式：构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有:(1）直接构造法:证明不等式f(x）〉g(x)（f（x)<g(x))转化为证明f(x)－g（x）>0（f（x）－g(x）〈0），进而构造辅助函数h（x）＝f(x）－g(x)；(2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩,二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，e x≥x＋1，ln x〈x<e x（x〉0),错误!≤ln（x＋1)≤x（x>－1）；(3)特征分析构造法：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构"构造辅助函数；(4）构造双函数:若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f（x)和g(x)，利用其最值求解．方法1直接构造差函数法【例1】已知函数f(x)＝1－错误!,g(x)＝错误!＋错误!－bx(e为自然对数的底数），若曲线y＝f(x)与曲线y＝g（x）的一个公共点是A（1,1）,且在点A处的切线互相垂直．(1）求a，b的值；(2)求证：当x≥1时,f（x）＋g(x)≥错误!.【解】（1）因为f（x)＝1－ln x x，所以f′（x)＝错误!，f′（1)＝－1。

因为g(x)＝错误!＋错误!－bx，所以g′(x）＝－错误!－错误!－b。

因为曲线y＝f(x）与曲线y＝g(x）的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g（1）＝1，且f′（1)·g′(1)＝－1，即g(1）＝1＋a－b＝1，g′（1）＝－a－1－b＝1，解得a＝－1，b＝－1。

（2)证明：由(1)知,g（x）＝－错误!＋错误!＋x,则f(x)＋g（x)≥2x⇔1－错误!－错误!－错误!＋x≥0.令h(x)＝1－错误!－错误!－错误!＋x(x≥1),则h′(x)＝－错误!＋错误!＋错误!＋1＝错误!＋错误!＋1.因为x≥1，所以h′(x)＝ln xx2＋错误!＋1>0，所以h(x）在[1，＋∞)上单调递增，所以h（x)≥h（1)＝0,即1－错误!－错误!－错误!＋x≥0,所以当x≥1时,f(x)＋g(x）≥错误!。

课时规范练 A 组 基础对点练1．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫179，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫179，＋∞ C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)解析：f ′(x )＝x 2－4x ，由f ′(x )>0，得x >4或x <0. ∴f (x )在(0,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增， ∴当x ∈[0，＋∞)时，f (x )min ＝f (4)．∴要使f (x )＋5≥0恒成立，只需f (4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m ≥179. 答案：A2．对x ∈R ，函数f (x )的导数存在，若f ′(x )>f (x )，且a >0，则以下说法正确的是( ) A ．f (a )>e a ·f (0) B ．f (a )<e a ·f (0) C ．f (a )>f (0)D ．f (a )<f (0)解析：设g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x>0，故g (x )＝f (x )e x 为R 上的单调递增函数，因此g (a )>g (0)，即f (a )e a >f (0)e 0 ＝f (0)，所以f (a )>e a ·f (0)，选A. 答案：A3．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：∵2x (x －a )<1，∴a >x －12x . 令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2>0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )>f (0)＝0－1＝－1，∴a 的取值范围为(－1，＋∞)，故选D.答案：D4．做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积的价格为b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( ) A.a b B.a 2b C.b aD.b 2a解析：如图，设圆柱的底面半径为R ，高为h ，则V ＝πR 2h .设造价为y ＝2πR 2a ＋2πRhb ＝2πaR 2＋2πRb ·V πR 2＝2πaR 2＋2bV R ，所以y ′＝4πaR －2bVR 2.令y ′＝0，得2R h ＝ba . 答案：C5．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，则银行获得最大收益的存款利率为( ) A ．3.2% B ．2.4% C ．4%D ．3.6%解析：依题意知，存款量是kx 2，银行应支付的利息是kx 3，银行应获得的利息是0.048kx 2，所以银行的收益y ＝0.048kx 2－kx 3，故y ′＝0.096kx －3kx 2，令y ′＝0，得x ＝0.032或x ＝0(舍去)．因为k >0，所以当0<x <0.032时，y ′>0；当0.032<x <0.048时，y ′<0.因此，当x ＝0.032时，y 取得极大值，也是最大值，即当存款利率定为3.2%时，银行可获得最大收益．答案：A6．设1＜x ＜2，则ln x x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2，ln x 2x 2的大小关系是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＜ln x x ＜ln x2x 2 B.ln x x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＜ln x 2x 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＜ln x 2x 2＜ln xx D.ln x 2x 2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＜ln x x 解析：令f (x )＝x －ln x (1＜x ＜2)，则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ＞0， 所以函数y ＝f (x )在(1,2)内为增函数． 所以f (x )＞f (1)＝1＞0，所以x ＞ln x ＞0⇒0＜ln xx ＜1.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＜ln x x .又ln x 2x 2－ln x x ＝2ln x －x ln x x 2＝(2－x )ln x x 2＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＜ln x x ＜ln x 2x 2.答案：A7．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2， 如图，观察得－2＜a ＜2时恰有三个不同的公共点． 答案：(－2,2)8．电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x ＞0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．解析：令y ′＝x 2－39x －40＝0，得x ＝－1或x ＝40， 由于0＜x ＜40时，y ′＜0； 当x ＞40时，y ′＞0.所以当x ＝40时，y 有最小值． 答案：409．若关于x 的不等式x 3－3x 2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2,2]恒成立，则m 的取值范围是________．解析：令f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋2，则f ′(x )＝3x 2－6x －9，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或3(舍去)．因为f (－1)＝7，f (－2)＝0，f (2)＝－20. 所以f (x )的最小值为f (2)＝－20，故m ≤－20. 答案：(－∞，－20]10．定义在实数集上的函数f (x )＝x 2＋x ，g (x )＝13x 3－2x ＋m .(1)求函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程．(2)若f (x )≥g (x )对任意的x ∈[－4,4]恒成立，求实数m 的取值范围． 解析：(1)因为f (x )＝x 2＋x ，所以当x ＝1时，f (1)＝2， 因为f ′(x )＝2x ＋1，所以f ′(1)＝3，所以所求切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0. (2)令h (x )＝g (x )－f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋m ， 则h ′(x )＝(x －3)(x ＋1)．所以当－4＜x ＜－1时，h ′(x )＞0； 当－1＜x ＜3时，h ′(x )＜0； 当3＜x ＜4时，h ′(x )＞0.要使f (x )≥g (x )恒成立，即h (x )max ≤0， 由上知h (x )的最大值在x ＝－1或x ＝4处取得， 而h (－1)＝m ＋53，h (4)＝m －203， 所以m ＋53≤0，即m ≤－53，所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－53. B 组 能力提升练11．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4，所以a ≤h (x )min ＝4. 答案：B12．已知函数f (x )＝ln x ＋tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2的导函数为f ′(x )，若方程f ′(x )＝f (x )的根x 0小于1，则α的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4 解析：因为f (x )＝ln x ＋tan α，所以f ′(x )＝1x ，令f (x )＝f ′(x )，得ln x ＋tan α＝1x ，即tan α＝1x －ln x ．设g (x )＝1x －ln x ，显然g (x )在(0，＋∞)上单调递减， 而当x →0时，g (x )→＋∞，所以要使满足f ′(x )＝f (x )的根x 0<1，只需tan α>g (1)＝1， 又因为0<α<π2，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.答案：A13．(2019·长沙模拟)已知函数f (x )＝x |x 2－a |，若存在x ∈[1,2]，使得f (x )<2，则实数a 的取值范围是__________． 解析：当x ∈[1,2]时，f (x )＝|x 3－ax |， 由f (x )<2可得－2<x 3－ax <2，即为－x 2－2x <－a <－x 2＋2x，设g (x )＝－x 2－2x ，导数为g ′(x )＝－2x ＋2x 2， 当x ∈[1,2]时，g ′(x )≤0， 即g (x )在[1,2]上单调递减， 所以g (x )min ＝－4－1＝－5， 即有－a >－5，即a <5；设h(x)＝－x2＋2x，导数为h′(x)＝－2x－2x2，当x∈[1,2]时，h′(x)<0，即h(x)在[1,2]上单调递减，可得h(x)max＝－1＋2＝1.即有－a<1，即a>－1.综上可得，a的取值范围是－1<a<5.答案：(－1,5)14．(2019·德州中学月考)已知函数f(x)＝mx2－x＋ln x.(1)若在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求实数m的取值范围；(2)当0<m≤12时，若曲线C：y＝f(x)在点x＝1处的切线l与曲线C有且只有一个公共点，求m的值或取值范围．解析：(1)f′(x)＝2mx－1＋1x＝2mx2－x＋1x，即2mx2－x＋1<0在(0，＋∞)上有解．当m≤0时显然成立；当m>0时，由于函数y＝2mx2－x＋1的图象的对称轴x＝14m>0，故需且只需Δ>0，即1－8m>0，解得m<1 8.故0<m<18，综上所述，实数m的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，18.(2)f(1)＝m－1，f′(1)＝2m，故切线方程为y－m＋1＝2m(x－1)，即y＝2mx－m－1.从而方程mx2－x＋ln x＝2mx－m－1在(0，＋∞)上有且只有一解．设g(x)＝mx2－x＋ln x－(2mx－m－1)，则g(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．又g(1)＝0，故函数g(x)有零点x＝1.则g′(x)＝2mx－1＋1x－2m＝2mx2－(2m＋1)x＋1x＝(2mx－1)(x－1)x.当m＝12时，g′(x)≥0，又g(x)不是常数函数，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴函数g(x)有且只有一个零点x＝1，满足题意．当0<m <12时，由g ′(x )＝0，得x ＝12m 或x ＝1，且12m >1， 由g ′(x )>0，得0<x <1或x >12m ； 由g ′(x )<0，得1<x <12m .故当x 在(0，＋∞)上变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：根据上表知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <0.又g (x )＝mx ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m ＋m ＋ln x ＋1.∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m >0，故在⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞上，函数g (x )又有一个零点，不满足题意．综上所述，m ＝12.15．(2019·衡水模拟)已知a 为实数，函数f (x )＝a ln x ＋x 2－4x .(1)是否存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取得极值？证明你的结论． (2)设g (x )＝(a －2)x ，若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，使得f (x 0)≤g (x 0)成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax ＋2x －4＝2x 2－4x ＋a x .假设存在实数a ，使f (x )在x ＝1处取极值，则f ′(1)＝0，所以a ＝2，此时，f ′(x )＝2(x －1)2x ，当x >0时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以x ＝1不是f (x )的极值点．故不存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取得极值．(2)由f (x 0)≤g (x 0)，得(x 0－ln x 0)a ≥x 20－2x 0，记F (x )＝x －ln x (x >0)，所以F ′(x )＝x －1x (x >0)，所以当0<x <1时，F ′(x )<0，F (x )单调递减； 当x >1时，F ′(x )>0，F (x )单调递增． 所以F (x )≥F (1)＝1>0，所以a ≥x 20－2x 0x 0－ln x 0，记G (x )＝x 2－2x x －ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，所以G ′(x )＝(2x －2)(x －ln x )－(x －2)(x －1)(x －ln x )2＝(x －1)(x －2ln x ＋2)(x －ln x )2.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，所以2－2ln x ＝2(1－ln x )≥0，所以x －2ln x ＋2>0，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1时，G ′(x )<0，G (x )单调递减；x ∈(1，e)时，G ′(x )>0，G (x )单调递增， 所以G (x )min ＝G (1)＝－1，所以a ≥G (x )min ＝－1. 故实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．。

1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性教案12017-2018学年高中数学苏教版选修2-2导数在研究函数中的应用——单调性【教学分析】1.教材分析本节课是高中数学苏教版教材选修2-2第1.3.1节导数在研究函数单调性中的应用.这节内容是导数作为研究函数的工具的起点,是本节的重点,学生对本节的收获直接影响着后面极值、最值的学习.函数单调性是高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质.学生在中学阶段对于单调性的学习共分为三个阶段：第一阶段,在初中以具体函数为载体,从图形直观上感知单调性；第二阶段在高中学习必修一时,用运算的性质研究单调性；第三阶段就是在本节课中,用导数的性质研究单调性.本节内容属于导数的应用,是本章的重点,学生在学习了导数的概念、几何意义、基本函数的导数、导数的四则运算的基础上学习本节内容.学好它既可加深对导数的理解,又为研究函数的极值和最值打好基础,具有承前启后的重要作用.研究过程蕴含了数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法,以及研究数学问题的一般方法,即从特殊到一般,从简单到复杂,培养了学生应用导数解决实际问题的意识.2.学情分析《普通高中数学新课程标准（实验）》中要求：结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数间的关系.对于函数的单调性学生已经掌握图象、定义两种判断方法,但是图象和定义法不是万能的.对于不能用这两种方法解决的单调性问题学生需要思考.学生之前学习了导数的概念,经历过从平均变化率到瞬时变化率的过程,研究过导数的几何意义是函数图象在某点处的切线,从数和形的角度认识了导数也是刻画函数变化陡峭程度的量,但是沟通导数和单调性之间的练习对学生来说是教学中要突破的难点和重点.3. 教学目标(1)了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.(2)通过实例,借助几何直观、数形结合探索函数的单调性与导数的关系；通过初等方法与导数方法研究函数性质过程中的比较,体会导数在研究函数性质中的一般性和有效性,同时感受和体会数学自身发展的一般规律.(3)通过教师指导下的学生交流探索活动,激发学生的学习兴趣,培养学生转化与化归的思维方式,并引导学生掌握从特殊到一般,从简单到复杂的思维方法,用联系的观点认识问题,提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.4. 教学重点：利用导数研究函数的单调性5. 教学难点：发现和揭示导数的正负与函数单调性的关系.6. 教学方法与教学手段：问题教学法、合作学习法、多媒体课件等【教学过程】1.创设情境,激发兴趣情境一：过山车章头图情境二：观看过山车视频【设计意图】通过章头图拉近学生与数学的关系，让学生感受到生活处处有数学，也为本节课的研究埋下伏笔。

第二章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用练习 理[A 组·基础达标练]1．函数f (x )＝x 4－4x 3＋4x 2的极值点是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝0，x ＝1和x ＝2 答案 D解析 f ′(x )＝4x 3－12x 2＋8x ＝4x (x 2－3x ＋2)＝4x (x －1)(x －2)，则结合列表可得f (x )的极值点为x ＝0，x ＝1和x ＝2.2．[2015·某某一检]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．则不等式f (x )<1的解集是( )A ．(－3,0)B ．(－3,5)C ．(0,5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞) 答案 B解析 依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3,5)，选B.3．[2016·某某师大附中月考]若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518B ．(－∞，3]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞D ．[3，＋∞) 答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，因为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C.4．[2013·某某高考]已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A ．f (x 1)>0，f (x 2)>－12B ．f (x 1)<0，f (x 2)<－12C ．f (x 1)>0，f (x 2)<－12D ．f (x 1)<0，f (x 2)>－12答案 D解析 f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，依题意知f ′(x )＝0有两个不等实根x 1，x 2. 即曲线y 1＝1＋ln x 与y 2＝2ax 有两个不同交点，如图．由直线y ＝x 是曲线y ＝1＋ln x 的切线，可知：0<2a <1，且0<x 1<1<x 2.∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 由0<x 1<1，得f (x 1)＝x 1(ln x 1－ax 1)<0， 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0， 当x >x 2时，f ′(x )<0，∴f (x 2)>f (1)＝－a >－12，故选D.5．[2015·某某一模]若定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )>1，f (0)＝4，则不等式f (x )>3ex ＋1(e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(3，＋∞) 答案 A解析 由f (x )>3ex ＋1得，e x f (x )>3＋e x ，构造函数F (x )＝e x f (x )－e x－3，对F (x )求导得F ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]．由f (x )＋f ′(x )>1，e x >0，可知F ′(x )>0，即F (x )在R 上单调递增，又因为F (0)＝e 0f (0)－e 0－3＝f (0)－4＝0，所以F (x )>0的解集为(0，＋∞)，所以选A.6．[2013·某某高考]已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x－1)(x －1)k(k ＝1,2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 答案 C解析 当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，f ′(x )＝x e x－1，f ′(1)≠0，故A ，B 错；当k ＝2时，f (x )＝(e x－1)(x －1)2，f ′(x )＝(x 2－1)e x －2x ＋2＝(x －1)[(x ＋1)e x－2]，故f ′(x )＝0有一根为x 1＝1，另一根x 2∈(0,1)．当x ∈(x 2,1)时，f ′(x )<0，f (x )递减；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )递增，∴f (x )在x ＝1处取得极小值，故选C.7．[2016·东北八校月考]已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．答案 4解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f ′1＝3×12＋6a ×1＋3b ＝－3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2， ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.8．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值X 围是________．答案 (0,1)∪(2,3)解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－x －1x －3x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内， 函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调， 由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.9．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．答案 －13解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 根据已知2a3＝2，得a ＝3，即f (x )＝－x 3＋3x 2－4.根据函数f (x )的极值点，可得函数f (m )在[－1,1]上的最小值为f (0)＝－4，f ′(n )＝－3n 2＋6n 在[－1,1]上单调递增，所以f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－9.[f (m )＋f ′(n )]min ＝f (m )min ＋f ′(n )min ＝－4－9＝－13. 10．[2015·某某一检]已知函数f (x )＝ln x －x1＋2x .(1)求证：f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增； (2)若f [x (3x －2)]<－13，某某数x 的取值X 围．解 (1)证明：由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝ln x －x1＋2x， ∴f ′(x )＝1x －1＋2x －2x 1＋2x 2＝4x 2＋3x ＋1x 1＋2x 2. ∵x >0，∴4x 2＋3x ＋1>0，x (1＋2x )2>0. ∴当x >0时，f ′(x )>0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f (x )＝ln x －x 1＋2x ，∴f (1)＝ln 1－11＋2×1＝－13.由f [x (3x －2)]<－13得f [x (3x －2)]<f (1)．由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x 3x －2>0x3x －2<1，解得－13<x <0或23<x <1.综上所述，x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.11．[2015·某某一检]已知函数f (x )＝x ·ln x ，g (x )＝ax 3－12x －23e .(1)求f (x )的单调递增区间和最小值；(2)若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点处存在公共切线，某某数a 的值． 解 (1)∵f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )>0，得x >1e，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， ∴f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .(2)∵f ′(x )＝ln x ＋1，g ′(x )＝3ax 2－12，设公切点的横坐标为x 0，则与f (x )的图象相切的直线方程为：y ＝(ln x 0＋1)x －x 0， 与g (x )的图象相切的直线方程为：y ＝⎝⎛⎭⎪⎫3ax 20－12x －2ax 30－23e ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝3ax 2－12，－x 0＝－2ax 30－23e解之得x 0ln x 0＝－1e ，由(1)知x 0＝1e ，∴a ＝e26.12．[2016·某某检测]已知f (x )＝e x(x 3＋mx 2－2x ＋2)． (1)假设m ＝－2，求f (x )的极大值与极小值；(2)是否存在实数m ，使f (x )在[－2，－1]上单调递增？如果存在，求m 的取值X 围；如果不存在，请说明理由．解 (1)当m ＝－2时，f (x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)，其定义域为(－∞，＋∞)．则f ′(x )＝e x(x 3－2x 2－2x ＋2)＋e x (3x 2－4x －2)＝x e x (x 2＋x －6)＝(x ＋3)x (x －2)e x， ∴当x ∈(－∞，－3)或x ∈(0,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－3,0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0；f ′(－3)＝f ′(0)＝f ′(2)＝0，∴f (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增； 在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝－3或x ＝2时，f (x )取得极小值； 当x ＝0时，f (x )取得极大值， ∴f (x )极小值＝f (－3)＝－37e －3，f (x )极小值＝f (2)＝－2e 2， f (x )极大值＝f (0)＝2.(2)f ′(x )＝e x(x 3＋mx 2－2x ＋2)＋e x (3x 2＋2mx －2)＝x e x [x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2]． ∵f (x )在[－2，－1]上单调递增， ∴当x ∈[－2，－1]时，f ′(x )≥0. 又∵当x ∈[－2，－1]时，x e x<0， ∴当x ∈[－2，－1]时，x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′－2＝－22－2m ＋3＋2m －2≤0，f ′－1＝－12－m ＋3＋2m －2≤0，解得m ≤4，∴当m ∈(－∞，4]时，f (x )在[－2，－1]上单调递增．[B 组·能力提升练]1．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－5，1)B ．[－5，1)C ．[－2,1)D ．(－5，－2] 答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，且x ＝1为函数的极小值点，x ＝－1为函数的极大值点．函数f (x )在区间(a,6－a 2)上有最小值， 则函数f (x )极小值点必在区间(a,6－a 2)内， 即实数a 满足a <1<6－a 2且f (a )＝a 3－3a ≥f (1)＝－2. 解a <1<6－a 2，得－5<a <1， 不等式a 3－3a ≥f (1)＝－2，即a 3－3a ＋2≥0，即a 3－1－3(a －1)≥0， 即(a －1)(a 2＋a －2)≥0， 即(a －1)2(a ＋2)≥0， 即a ≥－2.故实数a 的取值X 围是[－2,1)． 故选C.2．[2016·某某调研]已知函数f (x )＝ln x ＋1ln x ，则下列结论中正确的是( )A ．若x 1，x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)内是增函数B ．若x 1，x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)内是减函数C ．∀x >0，且x ≠1，f (x )≥2D ．∃x 0>0，f (x )在(x 0，＋∞)内是增函数 答案 D解析 由已知得，f ′(x )＝1x ·ln 2x －1ln 2x(x >0且x ≠1)，令f ′(x )＝0，得ln x ＝±1，得x ＝e 或x ＝1e.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1e，1，x ∈(1，e)时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.故x ＝1e和x ＝e 分别是函数f (x )的极大值点和极小值点，但是由函数的定义域可知x ≠1，故函数f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 内不是单调的，所以A ，B 错；当0<x <1时，ln x <0，此时f (x )<0，C 错；只要x 0≥e，则f (x )在(x 0，＋∞)内是增函数，D 正确．3．[2015·某某高考]已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f x 1－f x 2x 1－x 2，n ＝g x 1－g x 2x 1－x 2.现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0；③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)． 答案 ①④解析 ①f (x )＝2x是增函数，∴对任意不相等的实数x 1，x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0，即m >0，∴①成立．②由g (x )＝x 2＋ax 图象可知，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2时，g (x )是减函数，∴当不相等的实数x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2时，g x 1－g x 2x 1－x 2<0，即n <0，∴②不成立． ③若m ＝n ，则有f x 1－f x 2x 1－x 2＝g x 1－g x 2x 1－x 2，即f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)，f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，令h (x )＝f (x )－g (x )， 则h (x )＝2x－x 2－ax ，h ′(x )＝2x ln 2－2x －a ，令h ′(x )＝2xln 2－2x －a ＝0， 得2xln 2＝2x ＋a .由y ＝2x ln 2与y ＝2x ＋a 的图象知， 存在a 使对任意x ∈R 恒有2xln 2>2x ＋a ， 此时h (x )在R 上是增函数． 若h (x 1)＝h (x 2)，则x 1＝x 2， ∴③不成立． ④若m ＝－n ，则有f x 1－f x 2x 1－x 2＝－g x 1－g x 2x 1－x 2，f (x 1)＋g (x 1)＝f (x 2)＋g (x 2)，令φ(x )＝f (x )＋g (x )， 则φ(x )＝2x＋x 2＋ax ，φ′(x )＝2x ln 2＋2x ＋a .令φ′(x )＝0，得2xln 2＋2x ＋a ＝0， 即2xln 2＝－2x －a .由y 1＝2xln 2与y 2＝－2x －a 的图象可知，对任意的a ，存在x 0，使x >x 0时y 1>y 2，x <x 0时y 1<y 2，故对任意的a ，存在x 0，使x >x 0时，φ′(x )>0，x <x 0时φ′(x )<0， 故对任意的a ，φ(x )在R 上不是单调函数．故对任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使m ＝－n ， ∴④成立． 综上，①④正确．4．已知函数f (x )＝e x－ln (x ＋m )．(1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )>0. 解 (1)f ′(x )＝e x－1x ＋m. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x－ln (x ＋1)，x ∈(－1，＋∞)． 函数f ′(x )＝e x －1x ＋1在(－1，＋∞)单调递增，且f ′(0)＝0. 因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)证明：当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln (x ＋m )≤ln (x ＋2)，故只需证当m ＝2时f (x )>0. 当m ＝2时，f ′(x )＝e x－1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增． 又f ′(－1)<0，f ′(0)>0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一的解x 0，且x 0∈(－1,0)． 当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故当x ＝x 0时，f (x )取极小值． 故f ′(x )＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln (x 0＋2)＝－x 0. 故f (x )≥f (x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝x 0＋12x 0＋2>0.综上所述，当m ≤2时，f (x )>0.。