武汉理工大学 矩阵论第一章考试要点

武汉理工大学研究生考试试题（2017）A 卷课程: 矩阵论（答题时不必抄题，标明题目序号）一．填空题（每题3分，共15分）1．已知矩阵1111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则432822A A A A −−+= 2. 若矩阵A 相似于对角阵100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的最小多项式为 3. 已知矩阵234321556A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的LU 分解为 4. 已知103540231i A i +−⎛⎫⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭，则A 的范数1m A = ； m A ∞= ；F A = ；5. 已知12102101,11111137A B −⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭，设1V 和2V 分别为齐次线性方程组0Ax =和0Bx =的解空间，则12dim()V V +=二．（15分）设311202113A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−−⎝⎭（1）求A 的行列式因子，不变因子，初等因子；（2）求A 的Jordan 标准形；（3）求A 的最小多项式。

三．（15分）设1102A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2101B −⎛⎫= ⎪⎝⎭, 11122122|x x V X AX XA x x ⎧⎫⎛⎫===⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭为线性空间，对于任意的X V ∈，定义：()T X XB =（1）（5分）证明：T 是V 上的线性变换；（2）（10分）求V 的一组基，并求T 在所求基下的矩阵.四．（15分）已知微分方程组0()()(0)dx t Ax t dt x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，03111202,11131A x −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭（1）（7分）求A e ；（2）（8分）求At e ，并求微分方程组的解。

五．（20分）设101211211,122211A b −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭。

（1）求A 的满秩分解；（2）求A 的广义逆A +；（3）求Ax b =的最小二乘解；（4）求Ax b =的极小范数最小二乘解。

矩阵论第一章4 §4.正交变换与酉变换一、正交变换与酉变换二、正交矩阵与酉矩阵的性质12一、正交变换与酉变换将R 2中的旋转变换推广到内积空间：正交变换与酉变换设V 为数域K 上的n 维内积空间,是V 上的一个线性变换, 若对则当K 为实数域时称为欧氏空间V 上的正交变换；当为复数域时称为酉空间V 上的酉变换.σ,||()||||||V ασαα?∈=有，σσ3一、正交变换与酉变换性质设是酉空间V 上的一个线性变换,则下面四个命题等价:σ将欧氏空间看作酉空间的“特例”，性质仅就酉空间讨论。

1是酉变换；σ()()2,,,,;V αβσασβαβ?∈<>=<> 3 若是V 的一组标准正交基, 则()()()12,,,n σεσεσε?12,,n εεε?，也是V 的一组标准正交基;(保持标准正交基不变)4 在V 的任一组标准正交基下的变换矩阵A 满足: 称为酉矩阵（正交矩阵）。

,H HA A AA E ==σ4证明:采用循环推证1→2→3→4→1()22()()σαβσασβ?=?一、正交变换与酉变换1→2 设是正交变换σ,,V αβ?∈()()222Re (),()σασασβσβ=?<>+()(),()()σασβσασβ=2222Re ,αβααββ=?<>+()22Re (),()Re ,σαβαβσασβαβ?=??<>=<>由()22Im (),()Im ,i i σαβαβσασβαβ?=??<>=<>同理，由(),(),σασβαβ<>=<>()()22(),()(),()σασασβσβσασβ=?<>?<>+证即5一、正交变换与酉变换(),,1,2,,i j ij i j n εεδ<>==?也是V 的一组标准正交基. ()()()12,,,n σεσεσε?()()(),,,1,2,,i j i j iji j n σεσεεεδ<>=<>==?即2→3 设保持内积不变，是V 的一组标准正交基, 12,,n εεε?，σ记3→4 设保持标准正交基不变，是V 的一组标准正交基,12,,n εεε?，σ()()()()()1212,,,,,,n n A σεσεσεεεε=??()11 121212221212,,,n n n n n nn a a a a a a A a a a ααα??==??6()1122112n j j j nj n kj k k a a a a j =,,,nσεεεεε==+++=∑??得，一、正交变换与酉变换()()()()()1112121222121212,,,,,,n n n n n n nn a a a a a a a a a σεσεσεεεε?? =??由()(),ij i j δσεσε=<>1122H i j i j ni nj jia a a a a a αα=+++=?()111121221221212,,,HH H H n H H H H H nn n H H H H n n n n n A A Eαααααααααααααααααααααα===7()()()()()1212,,,,,,n n Aσεσεσεεεε=??1122,,n n x V x x x x εεε?∈=++?一、正交变换与酉变换4→1 设在任一标准正交基下地表示矩阵为酉矩阵，为V的一组标准正交基,12,,,n εεε?σ()()()()()1212,,,,,,Tn n x x x σεσεσε=??()()1212,,,,,,Tn n A x x x εεε=??()()()1122()n n x x x x σσεσεσε=++()()()()21212,,,,,,HTTn n x A x x x A x x x σ=??()()2Hn n x x x A A x x x x==??8二、正交矩阵与酉矩阵的性质将正交矩阵看作酉矩阵的“特例”，仅就酉矩阵讨论。

矩阵论知识点最近考试不断，今天终于告一段落了。

矩阵论我花了将近两个礼拜复习，多少有点感悟，所以赶紧写下来，不然估计到时候又还给老师了，也希望自己的见解对你们也有帮助！！总的来说矩阵论就讲了如下6个知识点：（1）线性空间与线性变换（2）范数理论及其应用（3）矩阵分析及其应用（4）矩阵分解（5）特征值的估计（6）广义逆矩阵1.线性空间与线性变换1.1线性空间首先我们需要知道什么是空间？？空间其实就是向量的集合，而什么是线性空间呢？？线性空间就是满足8条性质的向量集合，这8条性质分别如下:所以矩阵论考试里面如果要你证明一个向量集合是线性空间？？只需要证明集合满足上述8条性质就可以了，该证明的难度在于怎么表示该集合中的向量。

然后对于线性空间中的元素（元素很多），我们肯定不可能通过枚举法将每个元素枚举出来的吧，这样不太现实。

最好的方法就是找到线性空间中的基，通过这些基和坐标我们就可以表示出线性空间中所有的向量。

针对上述想法，我们就应该考虑满足条件基的存在性和唯一性，得到的结果是这样的基是存在的但是不唯一！！当时这里就牵涉到另一个问题，线性空间的基是不唯一的，对于同一个元素在不同基下坐标肯定是不同的！！如果我们知道基与基之间的关系，我们是否可以知道坐标与坐标的关系，这就推导出了下面公式：之后的一个概念就是线性子空间，这个名词我们可以拆开进行理解，子空间说明了该空间是一个线性空间的子集，线性说明这个子空间满足齐次性和叠加性，具体形式如下：最后一个概念是线性子空间的交与和，这和集合的交与和性质差不多，这里我需要重点介绍的直和的概念，直和的概念和集合的并类似，不同的是直和中并的两个集合是不相交的，即两个集合中没有共同元素。

以上就是线性空间中所有的知识点。

1.2线性变换及其矩阵这一节出现一个概念叫做线性变换，记为T，出现线性变换的原因就是对于一个向量我们希望通过某种变换将该向量转变成我希望的目标向量，换句话说线性变换就相当于函数，自变量就相当于我们已知的向量，因变量就是我们的目标向量，这样应该好理解点。