武汉理工大学whut线性代数考试试题及其参考答案

武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸| 课程名称——线性代数—— （ A 卷） |一、填空题：（每小题3分，共15分）1．6；2．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--233421（未写出的元素为0）；3．-128；4．2；5．.3535<<-t二、选择题： 1.B ； 2.C ； 3.B ； 4.C ； 5.A （每小题3分，共15分）三、计算题： 1．()20092008000020082008000200920091200800020092008000020092008200820082007⨯⨯-+⨯=D （5分）=2007200720092008+ (10分)2．首先，11)(6---=E A B （3分）其次，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-7431A ， （5分）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--6321E A ， （7分）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---6/13/12/111EA， （9分） 最后， .123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B (10分) 注：矩阵中未写出的元素为0。

3．方程组的系数行列式()()⇒≠+-=---=012111111λλλλλA （3分） （1）21≠-≠λλand，时，方程组有唯一解； （5分）（2）当2=λ时，方程组的增广矩阵)()(100021104211~B R A R B <⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--此时方程组无解； （7分）（3）当1-=λ时，方程组的增广矩阵⇒<=⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3)()(000000001111~B R A R B此时方程组有无穷多个解，其通解为.),(0011010112121R k k k k X ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （10分）4．解：观察知，矩阵A 的第一列加上第二列的（-1）倍，然后再交换第二列和第三列即得B ，（4分）根据初等方阵的定义，两次初等 列变换所对应的初等方阵分别为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1111111，；（8分） 再根据初等行变换的实质得，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111111111X . （10分）注：矩阵中未写出的元素为0。

武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共12分）1、 2；2、 1；3、 21t ≠； 4、k >二、选择题（每小题3分，共12分）1、 A ；2、 C ；3、 B ；4、 D 三、解答题（每小题9分，共36分）1、11(2,,)(2,,)110001111110010002001200020001001i in i n i n r r r r n nn n n D nnn n n n n ==+++---=-------…..…（4分）()(1)(2)(1)112200001(1)1(1)(1)()(1)1222000000n n n n n n nnn n n n n n n n n n n -------+++=⋅=⋅⋅-⋅-=⋅⋅---...….（9分） 2、记 121624,1713A A ---⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则121,1A A =-=；…..…………………………………..…..……...（4分）又1112767637,111112A A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以17600110000370012A --⎛⎫⎪ ⎪= ⎪-⎪-⎝⎭－。

………………………...（9分）3、由题意有010100001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100011001B C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，……………..…………………………………………...（4分）于是 010100100011001001A C ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以011100001X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

……….……………………………………...（9分）4、()123403481011,,,21043211αααα⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭～1011034801220244-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭～1011012200220000-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭～100001040011000⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭………...（4分）则()1234,,,3R αααα=，且123,,ααα线性无关，所以123,,ααα即为1234,,,αααα的一个极大无关组，（7分） 且412304αααα=+-；…………………………………………………………………………………..………...（9分） 或者取124,,ααα，312404αααα=+-；还可以取134,,ααα，2341144ααα=+ 四、解()2111,1111tA b t t tt -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭～2223110110111t t t t t t t t t ⎛⎫-⎪--+-- ⎪ ⎪+-++⎝⎭～22321101100(1)(2)1t t t t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪--+-- ⎪ ⎪-+---+⎝⎭…………………………….…………..………...（4分） 所以当12t t ≠-≠且时，方程组有唯一解；…………………………………..…………………………….……...（6分）当2t ＝时，(),A b ～112403360001-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭ ()(),32R A b R A =≠=，所以方程组无解。

12n n n b b b ；12312⎛⎫ ⎪，2⎛武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、2A E +；2、1；3、4；4、3；5、 0.二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、C3、A4、D 5 、B三、解答题（每小题7分，共35分）1、 2212111nn nn i i n b b a b b D a b b a b =+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦+∑ ………………………………………………………（3分） 11n i iaa b a =⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑ ………………………………………………………………（6分）11n n i i a b a -=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑…………………………………………………………………………………（7分） 2、 因为()123240,312402231024A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭……………………………………………………………（2分） 553100444333010444131001222r r ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪−−→−−→- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭………………………………………………（6分）所以 X=55313334262-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………………………（7分） 3、 因 22|3|3||T AA A =29||A = ……………………………………………………（5分）2229()a b =+。

……………………………………………………（7分）4、设10,T X α= 即123220x x x ++= ……………………………………… （2分）解得基础解系12221,001ηη--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

……………………………………… （4分）Schmidt 正交化12,ηη，得到222132222252[,]41,[,]501ηααηαηααα⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭即为所求。

武汉理工大学考试试题纸（A 卷）课程名称 线 性 代 数专业班级 全校07级本科题号一二三四五六七八九十总分题分151532141410100 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 一、填空题（每小题3分，共15分）1、已知,B 均为三阶方阵，且=1，=－3，则=____________。

A AB 1T A B -2、设阶方阵的个列向量两两正交且均为单位向量，则＝ 。

n A n T A A 3、如果三阶方阵相似于对角矩阵，则行列式＝ 。

A )2,1,1(-=Λdiag 2A +E 4、设向量组，，，当满足 时，向量组1(1,1,1)T α=2(1,2,3)T α=3(1,3,)T t α=t 123,,ααα可以构成空间的一组基。

3R 5、已知实二次型，经过某个正交变换后，可以化成标222123121323()4()f a x x x x x x x x x =+++++准形，则＝ 。

216f y =a 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、设均为三维列向量，且，那么＝ 。

321,,ααα1321=ααα32122αααα-(A) 0 (B) 1 (C) (D) 不能确定1-2、设为阶方阵，且，则下列选项中错误的是___________。

A n 2A =0(A) 可逆 (B) 可逆 (C) 可逆 (D) 可逆 A A E +A E -2A E +3、设向量组的秩为2，则 ___________。

(,3,1),(1,2,1),(2,3,1)T T T a a =(A) 1 (B) 2 (C) 0 (D) －14、设是阶方阵，如果的秩，且的伴随矩阵，则齐次线性方程组A n (3)n ≥A ()R A n <A *0A ≠的基础解系中所含解向量的个数为___________。

0Ax =(A) (B) (C) 1 (D) 0n 1n -5、设阶方阵与相似，则下列说法中正确的是 ___________。

标准答案及评分标准用纸 课程名称:线性代数 （ A 卷） 一、选择题（每小题3分，共12分） 1.B 2.C 3.B 4.D二、填空题（每小题3分，共12分）1.2；2.113021002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； 3.a=1；4. 2,2,5；（注：本小题每个数字为一分，错一个则减一分）三、解答题（每小题8分，共40分）1. 解：从第二列起，将其后各列加到第一列，有：1(1)1110111011011101(1)1011101111111111c n n n n D n n n ÷---==---121(1)(2)(1)12200010010(1)01001111(1)(1)(1)(1)(1)nn n nr r r r r r n n n n n n n n -----+----=--=-⋅--=--4分注：若采用其他方法计算出正确结果也应给满分，其正确的步骤也相应给分。

2. 由题，有E A B E A +=-)(2 2分且2202030360,402A E --==≠--故2()A E -可逆。

2分在等式左右两边左乘21()A E --得21()()B A E A E -=-+ 2分 11001001/2()010*********A E ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭3.解：2分2分2分2分11111131132231213331 3--------=-=-=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭*()A A A A A A A A A 2分 1133-=∴= ,A A ,上式＝311339⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭2分注：若前面所有步骤正确，最后计算出现符号错误，扣一分。

4.解：令矩阵123413011031(,,,)27124142A αααα⎛⎫⎪-- ⎪== ⎪⎪⎝⎭，并通过初等行变化化成最简形，有：1301103010310110271200014142A r -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4分 故向量组A 的的一个最大无关组为124,,ααα， 2分 且3123ααα=-+。

一、单选( 每题参考分值2.5分)1、设总体服从泊松分布：，其中为未知参数，为样本，记，则下面几种说法错误的是（）A. 是的无偏估计B. 是的矩估计C. 是的矩估计D. 是的矩估计错误:【D】2、设随机变量的分布函数为，则（）A.B.C.D.错误:【B】3、A.-1B. 1C.D.错误:【B】4、在下列结果中，构成概率分布的是（）A.B.C.D.错误:【B】5、A.B.C.D.错误:【D】6、设是的特征值且，则是（）特征值A.B.C.D.错误:【D】7、已知，则为（）A.B.C.D.错误:【C】8、设三阶方阵的特征值为，对应的特征向量为，若，则A.B.C.D.错误:【D】9、已知向量，若可由线性表出那么（）A. ，B. ，C. ，D. ，错误:【A】10、实二次型，则负惯性指数为（）A.B.C.D.错误:【B】11、与的相关系数，表示与（）A. 相互独立B. 不线性相关C. 存在常数使D. 满足错误:【B】12、设总体为参数的动态分布，今测得的样本观测值为0.1,0.2,0.3,0.4，则参数的矩估计值为（）A. 0.2B. 0.25C. 1D. 4错误:【B】13、设是来自正态总体的样本，则服从的分布为（）A.B.C.D.错误:【A】14、若是矩阵，是的导出组，则（）A. 若有无穷多个解，则仅有零解B. 仅有零解，则有唯一解C. 若有无穷多个解，则有非零解D. 有非零解，则有无穷多个解错误:【C】15、以下结论中不正确的是（）A. 若存在可逆矩阵，使，则是正定矩阵B. 二次型是正定二次型C. 元实二次型正定的充分必要条件是的正惯性指数为D. 阶实对称矩阵正定的充分必要条件是的特征值全为正数错误:【B】16、设随机事件A与B相互独立，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，且，则（）B.C.D.错误:【B】17、对于正态分布，抽取容量为10的样本，算得样本均值，样本方差，给定显著水平，检验假设.则正确的方法和结论是（）A. 用检验法，查临界值表知，拒绝B. 用检验法，查临界值表知，拒绝C. 用检验法，查临界值表知，拒绝D. 用检验法，查临界值表知，拒绝错误:【C】18、设随机变量和的密度函数分别为若与相互独立，则（）B.C.D.错误:【D】19、设二维随机变量，则（）A.B. 3C. 18D. 36错误:【B】20、A.B.C.D.错误:【B】21、已知为阶方阵，以下说法错误的是（）A.B. 的全部特征向量为的全部解C. 若有个互不相同的特征值，则必有个线性无关的特征向量D. 若可逆，而矩阵的属于特征值的特征向量也是矩阵属于特征值的特征向量错误:【B】22、设离散的随机变量X的分布为则（）A.B. 任意正实数C.D.错误:【C】23、称是来自总体的一个简单随机样本（简称样本），即满足（）A. 相互独立，不一定同分布B. 相互独立同分布，但与总体分布不一定相同C. 相互独立且均与总体同分布D. 与总体同分布，但不一定相互独立错误:【C】24、设是次重复试验中事件出现的次数，是事件在每次试验中出现的概率，则对任意均有（）A. =0B. =1C. >0D. 不存在错误:【A】25、设随机变量为独立同分布序列，且服从参数为的指数分布，则下面式子中正确的是（）A.B.C.D.错误:【A】26、设4个3维列向量组成的矩阵经初等行变换后变为，则可表示为（）A.B.C.D.错误:【A】27、A.B.C.D.错误:【C】28、设是二阶矩阵的两个特征，那么它的特征方程是（）A.B.C.D.错误:【D】29、已知线性无关则（）A. 必线性无关B. 若为奇数，则必有线性无关C. 若为偶数，则线性无关D. 以上都不对错误:【C】30、设是一非齐次线性方程组，是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A. 是的一个解B. 是的一个解C. 是的一个解D. 是的一个解错误:【A】31、设总体的分布函数为,则总体均值和方差的矩估计分别为（）A.B.C.D.错误:【B】32、设一批产品有1000件，其中有50件次品，从中随机地、有放回地抽取500件产品，表示抽到次品的件数，则（）A.B.C.D.错误:【C】33、两个独立事件A和B发生的概率分别为和，则其中之一发生的概率为（）A.B.C.D.错误:【D】34、设A、B、C是三个事件，且，，，则A、B、C至少有1个发生的概率为（）A.B.C.D.错误:【C】35、A.B.C.D.错误:【D】36、设二维随机变量，且与相互独立，则（）A.B.C.D.错误:【D】37、下列结论正确的是（）A.正交向量组一定线性无关B.线性无关向量组一定是正交向量组C.正交向量组不含零向量D.线性无关向量组不含零向量错误:【D】38、向量空间的维数等于（）A. 0B. 1C. 2D. 3错误:【C】39、下列说法正确的是（）A.B.C.D.错误:【D】40、若阶可逆矩阵与相似，且则（）A.B.C.D.错误:【C】41、设总体的分布中带有未知参数，为样本，和是参数的两个无偏估计，若对任意的样本容量，若为比有效的估计量，则必有（）A.B.C.D.错误:【B 】42、若二次型 为正定二次型，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.错误:【C 】43、已知方阵相似于对角阵，则常数（ ）A.B.C.D.错误:【A】44、实二次型为正定的充要条件是（）A.的秩为B.的正惯性指数为C.的正惯性指数等于的秩D.的负惯性指数为错误:【B】45、A.B.C.D.错误:【C】46、A.B.C.D.以上都不对错误:【C】47、二次型的标准型为（）A.B.C.D.错误:【D】48、若，则的特征值为（）A.或B.或C.D.错误:【B】49、设与都是来自于总体的两独立样本，，与分别是两样本的均值和方差，，则有（）A.对于任意的常数是的无偏估计，且，，达到最小B.对于任意的常数是的无偏估计，且，，达到最小C.对于任意常数，都是的无偏估计，并且当时，达到最小D.对于任意常数，都是的无偏估计错误:【D】50、已知是正定矩阵，则（）A.B.C.D.错误:【B】。

222ds x y z++⎰将二次积分21(,xdx f x -⎰⎰以2π为周期，在围成的空间立体的表面外侧。

研究并求出空间曲线22:z x⎧=+Γ⎨试卷解答： 一、D 、D 、A 、A 、B ．二、1.（4，1，-2）；2.2π；3.10(,)dy f x y dx ⎰⎰; 4.2π; 5.3y x x =-.三、1. 1122211f f f dz dx dy f f '''+=+''++ 2. 特征根121,2r r =-=。

对应齐次方程的通解：212x x y c e c e -=+。

设非齐次方程的解为：()x y ax b e *=+代入方程得到：a =2,b =1.原方程得通解是：212(21)x x x yc e c e x e -=+++。

四、1．对z 轴的转动惯量为22()z I x y dS ρ∑=+⎰⎰=22221(x y x y ρ+≤+⎰⎰21302d r dr πθ=⎰⎰2．收敛域：（0，2）令x -1=t , 则111()(1)nnnn n n T t nt n t t ∞∞∞=====+-∑∑∑，而1111n n t t∞==--∑，211(1)1(1)nn n t t ∞=+=--∑， 2()(1)tT t t ∴=-。

和函数21()(1)(0,2)(2)x S x T x x x -=-=∈- 13()222nn n S ∞===∑。

五、1．加有向线段BO 、OA 。

其中B （0，3）、O （0，0）、A （2，0）,设曲线L+BO+OA 所包围的平面区域为D 。

原式=(sin 5)(cos 5)x x L BO OAe y y dx e y dy ++-+-⎰-(sin 5)(cos 5)x x BOe y y dx e y dy -+-⎰-(sin 5)(cos 5)x xOAe y y dx e y dy -+-⎰=3155(cos 5)sin3152Ddxdy y dy π+-=+-⎰⎰⎰。

…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线……………………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………5 1=-A0102 0000 0000…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………于是, 2)(=A R , 21αα，为列向量组的一个最大无关部分组, 且 132αα= , 21452ααα--= . ---8分三.15. 增广矩阵经过初等行变换, 化为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-20000008001221003211q p ---6分(1) 当2-≠q 时, 方程组无解. ---8分 (2)当2-=q 时, 有两种情形: I) 当8-≠p 时, 方程组的解为TTk x )01,2,1()0,0,1,1(--+-=, ---12分 II) 当8-=p 时, 方程组的解为TTTk k x )0,1,2,4()01,2,1()0,0,1,1(21-+--+-=. ---16分16. 1) 特征值为2(二重), 0. ---4分 属于2的特征向量为2211ξξk k +, 这里21,k k 为不全为零的任意常数; 其中 ,)0,1,1(1T=ξ T)1,0,2(2-=ξ. ---7分 因为属于不同特征值的特征向量正交, 所以属于0的特征向量为33ξk , 这里3k 为非零的任意常数; 其中 T )2,1,1(3-=ξ. ---10分2)将321,,ξξξ正交单位化得,)0,1,1(211T q =,)1,1,1(312T q -=.)2,1,1(613T q -= ---13分 取),,(321q q q Q =, 有 D diag AQ Q T==)0,2,2(,此时, )(22211TT T q q q q QDQ A +==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=22225121531. ---16分注解: 若取),,(213q q q Q =, 有 D diag AQ Q T==)2,2,0(;此时, )(22211TT T q q q q QDQ A +==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=22225121531.四.17.证明:记T n n T T k k k x ααα+++= 2211, Tn k k k ),,,(21 =ξ. 有 =Tx Aξ. ---2分于是, 内积 [,][,]()0====TT T T x x x AA x Ax ξξξ.则 0=x . ---6分。

《线性代数与概率统计》随堂练习参考答案？（．．．．行列式？．．．．用行列式地定义计算行列式中展开式,地系数=计算行列式=．．．．行列式=．．．．,＝,,计算行列式=?有非零解齐次线性方程组有非零解地条件是=总有设, ,求=．．．．,,设, 满足, 求=．．．．,,,,设,n则=．．．对任意地为对称矩阵．．若则设为,为且,,,则=．．．．．．设,求=．．．．=设均为．．．．均为,都可逆,,,．．．．设,则=?(． B．． D．,=阶矩阵可逆且,则=． B．． D．阶行列式地代数余子式之间地关系是．．．．设矩阵地秩为．中有一个．中任意一个．中任意一个．中有一个地秩为？（求地秩为？（,=地秩,．．用消元法解线性方程组,．．．．有非零解．．．．已知线性方程组：无解则=中未知量个数为设是矩阵齐次线性方程组仅有零解地充分条件是（．地列向量组线性相关．地列向量组线性无关．地行向量组线性无关．地行向量组线性无关=．．求齐次线性方程组地基础解系是（．．．．求齐次线性方程组地基础解系为（）．．．．元非齐次方程组地导出组仅有零解则（）设为矩阵线性方程组地对应导出组为,．若仅有零解则有唯一解有非零解则有无穷多解．若有无穷多解则有非零解有无穷多解则仅有零解．样本空间为,事件“出现奇数点”为．样本空间为,事件“出现奇数点”为．样本空间为,事件“出现奇数点”为．样本空间为,事件“出现奇数点”为．用表示“第一次取到数字,第二次取到数字”则样本空间.．事件可以表示为．事件可以表示为．事件可以表示为用表示“第次射中目标”试用表示．．．用表示“第次射中目标”试用表示．．．．用表示“第次射中目标”试用表示．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．,,,,=．．．．,,,,=?( ) ．．．．．．．．．．．．．．．．甲厂地产品占,乙厂地产品占,品占,甲厂产品地合格率为,乙厂产品地合格率为,格率为,．．．．．．．．．．．．地分布函数为,用分别表示下列各概率：．．．．令地分布函数.． B．． D．可以得为多少？．．．．．．．．地分布列为,？（）．．．．,．．．．．．．．则分别为（地密度函数为则常数．．．．地密度函数为,．．．试求地概率为（．．．．．．．．由某机器生产地螺栓长度服从,规定长度在内．．．地密度函数,说法正确地是（．=0．．．位移函数地多项式形式表示为已知标准正态分布地分布函数为,则有.设~,求概率分别为.X~,则.( )设行列式,则中元素地代数余子式=m n设,,则=.。

经济数学—线性代数_武汉理工大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.设A为n阶方阵，且【图片】. 则下列选项中错误的是答案:A可逆2.【图片】则X=______________答案:3.设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为答案:4.设A为5阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中有2个解向量，则其伴随矩阵【图片】的秩为答案:5.当a取何值时，线性方程组【图片】有唯一解.答案:6.已知三阶方阵A的特征值为1,-1,2, 则矩阵【图片】的特征值为答案:4,2,117.以下命题正确的是：答案:8.设A为【图片】矩阵，则答案:当A有n阶子式不为零，则线性方程组Ax=0仅有零解9.如下两个方程哪个是线性方程？(1)【图片】(2)【图片】答案:（1）10.将矩阵【图片】化为行最简行矩阵，正确的是：答案:11.设A为n阶可逆矩阵，则以下说法正确的是：答案:A总可以通过有限次初等变换化为单位矩阵E12.设方阵【图片】,其特征值为答案:0,0,0,1013.使用初等行变换化矩阵【图片】为行最简行，其结果为答案:14.行列式【图片】=_________________答案:15.n阶矩阵A有n个不同的特征值，是A可对角化的（）条件答案:充分非必要16.若方阵A满足【图片】,则其特征值为答案:0或117.行列式【图片】=答案:18.关于行列式和矩阵，下列说法错误的是答案:行列式和矩阵一样，只是写法有区别19.【图片】=______________________答案:20.设3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是答案:-2E-A21.下列命题中正确的是：答案:n阶方阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似.22.已知三阶方阵A的特征值为1,-1,2，则方阵【图片】的行列式为答案:8823.设方阵【图片】,属于特征值10的特征向量为答案:24.矩阵【图片】的等价标准形为答案:25.设n阶方阵A与B相似。

AA A A123001nnββαααα（8分）四、当a 、b 为何值时，线性方程组()12342342341234022132321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩ 有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时地通解．（10分）五、设矩阵A 与B 相似，其中200200001,01001001A B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，①求x ; ②求正交阵P ，使得T P AP B =.（10分）六、证明题.（每题5分，共10分）1、设A 是n 阶矩阵，如果存在正整数k ，使得A O k =（O 为n 阶零矩阵）， 则矩阵A 地特征值全为0．2、设向量组12,,,r ααα是齐次方程组0AX =地一个基础解系，向量β不是方程组0AX =地解，求证：1,,,r ββαβα++线性无关.武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称：线性代数A（A 卷）一、选择题（每题3分，共15分）1、A2、B3、B4、A5、D二、填空题（每题3分，共15分）1、1，1，-12、33、24、15、4λ三、解答题（每题8分，共40分）1．1122112233...123111000100001000100001000100001000100000(8)n n nr r r rnn nn i iini iiαααββββββββαααααβαβ----==−−−−−−−→-=-∑∑分（5分）123100123100321010088310111001034101123100123100313101100110(3)888803410113011881191203881101012213001188⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪--⎝⎭⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎝⎭2.解：分31100188110101(5)2213001188⎛⎫- ⎪⎪⎪→- ⎪⎪⎪--⎪⎪⎝⎭分131188123113211(6)2211113188-⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪∴-=-⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪-- ⎪⎝⎭分 故1X A B -==131881112231188⎛⎫- ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭（8分）123001123001321010088013111100034101123001123001131301100110(3)8888034101310011889111203881101012231001188⎛⎫⎛⎫⎪⎪-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪--⎝⎭⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪→- ⎪ -- ⎝⎭(解法2)：分13100188110101(6)2231001188⎛⎫-⎪⎪⎪→- ⎪⎪⎪⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭分 故X =131881112231188⎛⎫- ⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭（8分）3．2222311101111110(1)1110032k k k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛+⎫+⎪ ⎪+→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+----⎝⎭⎝⎭221110(1)00(3)(12)k k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪→-- ⎪ ⎪-+--⎝⎭，（4分）当0k ≠且3k ≠-时α可由123,,ααα线性表出，并且表示法唯一.（8分） 4．解:221102(1)(2)413I A λλλλλλ+---=-=+---解得特征值1231,2λλλ=-==. （3分）解齐次线性方程组()0E A X --=得基础解系为1101ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故对应于11λ=-地特征值为：1111100c c c c ξ⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭其中 （5分）解齐次线性方程组(2)0E A X -=得基础解系为：2311441,001ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（7分）故对应于232λλ==地特征值向量为：23223322331()4,0c c c c c c c c ξξ⎛⎫+ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中不全. （8分）5．解：因为*||11A A A =-， （2分）所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A （5分）=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16.（8分）四、解： 将方程组地增广矩阵A 用初等行变换化为阶梯矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=01000101001221001111112323101221001111a b a a b a A （3分） 所以，⑴ 当1≠a 时，()()4==A A r r ，此时线性方程组有唯一解．⑵ 当1=a ，1-≠b 时，()2=A r ，()3=A r ，此时线性方程组无解．⑶ 当1=a ，1-=b 时，()()2==A A r r ，此时线性方程组有无穷多组解．（6分） 此时，原线性方程组化为12342340221x x x x x x x +++=⎧⎨++=⎩因此，原线性方程组地通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+--=-+=44334324311221x x x x x x x x x x 或者写为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡001110210121213321k k x x x x （10分） 五、解：因A 与B 相似，故有21(1)20x ++-=++解得0x =.（2分）A 地特征根为1231,1,2λλλ=-==.（3分） 解齐次线性方程组()0E A X λ-=，得对应于11λ=-地特征向量为*1011P ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭，将它单位化得10P ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎝.（5分）对应于21λ=地特征向量为*2011P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，将它单位化得20P ⎛⎫ ⎪ ⎪=.（7分） 对应于32λ=地特征向量为*33100P P ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.（9分）令()321,,P P P P =，则()321,,P P P P =即为所求正交矩阵.（10分）六．1、设λ是矩阵A 地特征值，0α≠是矩阵A 地属于λ地特征向量，则有αA αλ=．所以，()ααA A αAαA k k k kλλ====-- 11， （3分）但是O A =k，所以0α=kλ，但0α≠，所以0=λ． （5分） 2、假设1,,,r ββαβα++线性有关，则存在不全为零地01,,,r λλλ使得011()()0r r λβλβαλβα++++=，于是01()r λλλβ-+++=11r r λαλα+， （2分）又由于12,,,r ααα地线性无关性知01()0r λλλ-+++≠，于是 （4分）011rβλλλ=-+++（11r r λαλα+），这与已知向量β不是方程组0AX =地解矛盾.（5分）版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有 This article includes some parts, including text, pictures, and design.Copyright is personal ownership.5PCzV。